学术论坛
Ｓｃｉｅｎｃｅａｎｄ
Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
Ｉｎｎｏｖａ试百ｉ赢
２００９
ＮＯ？ｃ
利用曲线积分计算旋转曲面面积的公式及几种证法
李淑俊田红晓刘兴薇
（内蒙古科技大学数理与生物工程学院包头０１４０１０）
摘要：介绍了利用由线积分计算旋转曲面面积的公式及其几种证法。
关键词：曲线积分曲面积分旋转曲面曲面面积
中图分类号：０１５１文献标识码：Ａ文章编号：１６７４—０９８Ｘ（２００９）１２（ｂ）一０２４９一０１
１平面曲线绕坐标轴旋转一周所得旋转曲面面积的计算公式
定理：设ｃ：ｙ＝ｆ（ｘ）（口ｓｘ≤ｂ）是平面上一
条光滑的曲线，绕ｘ周旋转一周得一旋转曲面，则此旋转曲面面积Ａ＝２ｎＩｆ（ｘ）ｄｓ其中
ｄｓ＝再７丽ｄｘ
１．１用曲线积分证明计算旋转曲面面积公式
证：任意插入分点ａ＝Ｘｏ＜Ｘｌ＜…＜Ｊ。＝ｂ，
分【ａ，ｂ】为ｎ个小区间Ａ置＝ｘｔ一工“（ｉ＝１，２…，ｎ）及ｎ个小窄旋转曲面，
△Ａｉ＊丽，（‘）＋厂（而－１）】、／（缸；）２＋（缈，）２
＝研，（‘）＋，（¨听而△Ｘｉ，
Ｖ磊∈Ｉｘｐｌ，工ｆ】，（ｉ＝ｌ，２…，ｎ）。
Ａ＝烛乏ＡＡ；
＝ｌ…ｉｍＳ．ａ＇［ｆ（ｘ，）＋／（茗一）】√１＋，”（夤）△ｔ
＝翱ｚ∑Ⅱ厂（毒）＋，（磊）“ｌ＋，“（毒）△ｔ＋，
∑ｑ缸心Ｅ［Ｘｔ＿。，五】
４ｊ＝｛【．，ｂ）一以磊）】＋Ｌ，Ｉ确）一八盏）】｝、／１＋／“（磊）
Ａ２麟｛缸ｔ｝
：’，（工）在【ａ，ｂｌ－－ｆ，．燧续，ｖ占＞０，弓Ｊ＞０，
对№’，工。∈【口，６】，ｂ’－ｘｌ＜Ｊ，ＩＳ（ｘ’）一ｆ（ｘ’Ｘ＜Ｅ，
慷一而Ｉ＜而一毛。＝△畸≤五≤Ｊ，ｌ，“）一／皤Ｉ＜占。
Ｉ，（葺一。）一，（毒）Ｉ＜占，
ｌ∑ｑＡｘ，卜∑ｈｋ＜２Ｍ（ｂ－ａ）ｓ
ｌｌ＝ｌ
ｔ＝１
．・．烛∑ａｔ４ｋｌｃｉ＿．－，＾＿’Ｏ一
，
Ａ＝ｌ…ｉｒａ百了－＂ＡＡｉ
＝慨∑砸，∽）＋，（¨】√ｌ＋，“（磊）△墨
＝ｌ。ｉｒａ石乏｛［，（参）＋，（最）】√ｌ＋，”（参）△ｘｉ＋
∑口ｆ
Ａ
ｘ。｝
砌烛喜聪）Ｆ丽
万方数据
＝２ｎ
ｅ，（ｘ）√ｌ＋，“∽ｄｘ＝２兀ｅｆ（ｘ）ｄｓ．
Ｖ毒∈［ｘｉ－１，一】，（ｉ＝１，２，．．．，ｎ）
１．２用微元法证明计算旋转曲面面积公式
Ａ＝娥∑△Ａｔ
证：在［ａ．ｂ】上的任意小区间【ｘ，ｘ＋ｄｘ］的小截锥面积近似于小旋转曲面的面积．
＝烛∑硝ｄ（工。）＋ｄ（ｘ。）】√ｌ＋，“（磊）△ｔ
从而得面积元素ｄＡ＝２矽（石）ｄｓ所以旋
转曲面的面积Ａ＝ｆｄＡ＝２ｘ；ｆ（ｘ）ｄｓ
＝ｌ。ｉ。ｍ玎∑｛【ｄ（皇）＋ｄ（夤州ｌ＋，”（最）△而＋
１．３用曲面积分求面积的方法证明计算旋∑ｑ△而｝
转曲面面积公式
证：设曲线Ｃ：ｙ＝ｆ（ｘ）（ａ≤ｘ≤ｂ）绕ｘ周旋ａｉ＝｛【ｄ（而）一ｄ（｛，）】＋【ｄ（而一，）一ｄ（毛）】｝√ｆ弓孑ｉ趸了，
转一周得旋转曲面方程为
∑：ｍ）＝：√万了
ｚ＝懋｛缸ｊ｝陲ｑ缸ｆｆ≤喜ｋｋ＜ｚⅣ（ａ一４弦
小一妒＝４孵Ⅲｙ
令∑。：ｚ＝护丽了，工＞０，Ｙ＞０
．・．嘞∑ｑ缸，＝０
ＪⅫ…
Ａ＝溉∑△Ａ；
＝４∽√巧丽ｘｒ丽ｄＹ
＝姆∑冗【ｄ（‘）＋ｄ（ｘＩ＿－）“ｌ＋厂“氆，）△‘＝。ｌｉ。ｍ。７【∑Ⅱｄ心，）＋ｄ心。）】、／ｌ＋，”（；，）△＿＋
＝２兀ｆｆ（ｘ）４１＋厂’２＠）ｄｘ＝２兀ｆｆ（ｘ）ｄｓ
喜ｑ圳嘲￡‰警出
证毕。
２平面曲线绕平面上任一直线旋转一周所：２兀ｆＩ！三兰；占
掣√ｉ＿而ｄ工４
。、’
Ａ２Ｊ＿Ｂ２’
得旋转曲面面积的计算公式
定理设Ｃ：ｙ＝ｆ（ｘ）（ａ≤ｘ≤ｂ）是平面上一
２．２用微元法证明计算旋转曲面面积公式
条光滑的曲线．绕直线三：Ａｘ＋研＋Ｃ＝Ｏ。在【ａ＇ｂ】上的任意小区间【ｘ，ｘ＋ｄｘ］的小（Ａ，Ｂ，ｃ常数）旋转一周得一旋转曲面，则此截锥面积近似于此小旋转曲面的面积．
旋转曲面面积
设坂工）：—ｌａｘｌ＋—ａｆ—（ｘ一）＋ｃ１。得面积元素
、／彳。＋Ｂ。
Ａ＝２兀￡了ｌａｘ＋露缈Ｆ＋ｃｌ
ｄｓ
鲥捌州一等警山
＝２兀占ｅ
ｌＡ√＝４＋：Ｓ＋Ｙ口＋：Ｃ１．…，ｄ工
彳＝ｐ＝知￡公譬如
２．１用曲线积分证明计算旋转曲面面积公式
证：任意插入分点ａ＝‰＜‘＜…＜Ｘｎ＝ｂ，
嘲ｅ掣历ｄ工
上√爿２＋Ｂ２’。…“
分［ａ＇ｂ】为ｎ个小区间Ａｆ＝工，一‘一１（＝１，２…，ｎ），设ｄ（工）为Ｃ：），＝ｆ（ｘ）上点（工，，（工））到直
线￡的距离，ｄ（工）＝盥等。
参考文献
【ｌ】同济大学应用数学系．高等数学【Ｍ】．北
京：高等教育出版社，２００２（５）．
鲋；ｚ尢【ｄ（工Ｈ）＋毗）厄萌而
面积
【２】张春跃．利用球面坐标及柱面坐标计算
曲面面积［Ｊ】．大学数学，１６７２～１４５４
（２００３）０４～００９８～０３．
：ｎ［ｄ（ｘ．，）＋ｄ（ｘ，）】、压ｊｉｉ五。ｉｉ了▲ｑ
科技创新导报Ｓｃｉｅｎｃｅ
ａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＩｎｎｏｖａｔｉｏｎＨｅｒａｌｄ２４９
利用曲线积分计算旋转曲面面积的公式及几种证法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
李淑俊， 田红晓， 刘兴薇
内蒙古科技大学数理与生物工程学院,包头,014010科技创新导报
SCIENCE AND TECHNOLOGY INNOVATION HERALD2009，""(35)0次
参考文献(2条)
1. 同济大学应用数学系 高等数学[期刊论文]-北京:高等教育出版社 20022. 张春跃 利用球面坐标及柱面坐标计算曲面面积[期刊论文]-大学数学
相似文献(10条)
1.期刊论文 殷月竹. 杨忠连. Yin Yuezhu. Yang Zhonglian 巧用对称性解第二类曲线积分和第二类曲面积分 -科技信息2008,""(30)
本文探讨了对称性在第二类曲线积分和第二类曲面积分中的应用,给出了一些有用的结论,并举例说明.利用对称性,使许多用"正规"的方法处理十分麻烦的第二类曲线积分和第二类曲面积分都能简单解决,事半功倍.
2.期刊论文 刘富贵. 鲁凯生. Liu Fugui. Lu Kaisheng 利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法 -武汉理工大学学报（交通科学与工程版）2006,30(6)
由于第二类曲线积分与曲面积分涉及到方向性问题,因此利用对称性来计算较为困难.文中给出了利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法,并证明了方法的可行性,并通过实例表明,此方法有时能起到简化计算的作用.
3.期刊论文 徐龙封 关于曲线积分和曲面积分教学中几个难点的突破 -安徽工业大学学报(社会科学版)2003,20(3)
加强曲线、曲面积分概念讲解,标准化曲线、曲面积分的计算程序,沟通有关积分之间关系,以消除学生对斯托克斯等公式的深奥感,有效地突破了曲线、曲面积分教学中的几个难点.
4.期刊论文 赵清波. 李文潮. 赵东涛. 张辉 曲线积分与曲面积分的一题多解 -数理医药学杂志2008,21(3)
就曲线积分与曲面积分的多解问题作一探究.尽可能多地找出它的解决途径和方法,不仅能拓宽思路,也可总结规律、积累经验,并找到解决问题的最佳途径和方法.
5.期刊论文 程希旺. CHENG Xi-wang 对称性在曲线积分和曲面积分计算中的应用 -遵义师范学院学报2007,9(5)
引进了函数关于点、直线与平面的奇偶性的概念,对文[1]-[4]中所给出的关于利用积分孤段与积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性计算曲线积分与曲面积分的结果作了进一步推广,得到了一些更为一般性的结果.
6.期刊论文 李育强. 石瑞民 曲线积分在曲面积分中的应用 -大学数学2003,19(3)
提出用曲线积分解决投影为曲线的一类曲面积分的方法,证明了方法的可行性.并通过实例表明该方法在解决问题时所带来的方便.
7.会议论文 于兴江. 孟晗 区间值函数与Fuzzy值函数的曲线积分和曲面积分 1998
该文在文［１］的基础上，定义了区间值函数与Ｆｕｚｚｙ值函数在平面或空间的可度量的几何体上的积分，从而给出了区间值函数与Ｆｕｚｚｙ值函数的曲线积分和曲面积分，讨论了它们的性质和计算方法。
8.期刊论文 纪荣芳. 娄本平 对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用 -泰山学院学报2004,26(3)
给出了利用对称性简化曲线积分和曲面积分计算的一些定理和方法,并对定理的结论予以证明.
9.期刊论文 彭一鸣. 马新科. 宁荣健 第一型曲面积分转为第一型曲线积分的算法 -高等数学研究2010,13(2)
本文提供了一种将第一型曲面积分转化为第一型曲线积分计算的方法,并且讨论了第一型曲线积分和定积分的换序情形.
10.期刊论文 吴世玕. 杜红霞. WU Shi-gan. DU Hong-xia 曲线积分与曲面积分中值定理 -赣南师范学院学报2006,27(6)
给出了第一类曲线积分和第一类曲面积分中值定理,利用两类曲线积分的联系得出第二类曲线、曲面积分的中值定理.
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_kjzxdb200935212.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：ec7cfc8c-db08-4fba-8d97-9dce0110eeb2
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Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
Ｉｎｎｏｖａ试百ｉ赢
２００９
ＮＯ？ｃ
利用曲线积分计算旋转曲面面积的公式及几种证法
李淑俊田红晓刘兴薇
（内蒙古科技大学数理与生物工程学院包头０１４０１０）
摘要：介绍了利用由线积分计算旋转曲面面积的公式及其几种证法。
关键词：曲线积分曲面积分旋转曲面曲面面积
中图分类号：０１５１文献标识码：Ａ文章编号：１６７４—０９８Ｘ（２００９）１２（ｂ）一０２４９一０１
１平面曲线绕坐标轴旋转一周所得旋转曲面面积的计算公式
定理：设ｃ：ｙ＝ｆ（ｘ）（口ｓｘ≤ｂ）是平面上一
条光滑的曲线，绕ｘ周旋转一周得一旋转曲面，则此旋转曲面面积Ａ＝２ｎＩｆ（ｘ）ｄｓ其中
ｄｓ＝再７丽ｄｘ
１．１用曲线积分证明计算旋转曲面面积公式
证：任意插入分点ａ＝Ｘｏ＜Ｘｌ＜…＜Ｊ。＝ｂ，
分【ａ，ｂ】为ｎ个小区间Ａ置＝ｘｔ一工“（ｉ＝１，２…，ｎ）及ｎ个小窄旋转曲面，
△Ａｉ＊丽，（‘）＋厂（而－１）】、／（缸；）２＋（缈，）２
＝研，（‘）＋，（¨听而△Ｘｉ，
Ｖ磊∈Ｉｘｐｌ，工ｆ】，（ｉ＝ｌ，２…，ｎ）。
Ａ＝烛乏ＡＡ；
＝ｌ…ｉｍＳ．ａ＇［ｆ（ｘ，）＋／（茗一）】√１＋，”（夤）△ｔ
＝翱ｚ∑Ⅱ厂（毒）＋，（磊）“ｌ＋，“（毒）△ｔ＋，
∑ｑ缸心Ｅ［Ｘｔ＿。，五】
４ｊ＝｛【．，ｂ）一以磊）】＋Ｌ，Ｉ确）一八盏）】｝、／１＋／“（磊）
Ａ２麟｛缸ｔ｝
：’，（工）在【ａ，ｂｌ－－ｆ，．燧续，ｖ占＞０，弓Ｊ＞０，
对№’，工。∈【口，６】，ｂ’－ｘｌ＜Ｊ，ＩＳ（ｘ’）一ｆ（ｘ’Ｘ＜Ｅ，
慷一而Ｉ＜而一毛。＝△畸≤五≤Ｊ，ｌ，“）一／皤Ｉ＜占。
Ｉ，（葺一。）一，（毒）Ｉ＜占，
ｌ∑ｑＡｘ，卜∑ｈｋ＜２Ｍ（ｂ－ａ）ｓ
ｌｌ＝ｌ
ｔ＝１
．・．烛∑ａｔ４ｋｌｃｉ＿．－，＾＿’Ｏ一
，
Ａ＝ｌ…ｉｒａ百了－＂ＡＡｉ
＝慨∑砸，∽）＋，（¨】√ｌ＋，“（磊）△墨
＝ｌ。ｉｒａ石乏｛［，（参）＋，（最）】√ｌ＋，”（参）△ｘｉ＋
∑口ｆ
Ａ
ｘ。｝
砌烛喜聪）Ｆ丽
万方数据
＝２ｎ
ｅ，（ｘ）√ｌ＋，“∽ｄｘ＝２兀ｅｆ（ｘ）ｄｓ．
Ｖ毒∈［ｘｉ－１，一】，（ｉ＝１，２，．．．，ｎ）
１．２用微元法证明计算旋转曲面面积公式
Ａ＝娥∑△Ａｔ
证：在［ａ．ｂ】上的任意小区间【ｘ，ｘ＋ｄｘ］的小截锥面积近似于小旋转曲面的面积．
＝烛∑硝ｄ（工。）＋ｄ（ｘ。）】√ｌ＋，“（磊）△ｔ
从而得面积元素ｄＡ＝２矽（石）ｄｓ所以旋
转曲面的面积Ａ＝ｆｄＡ＝２ｘ；ｆ（ｘ）ｄｓ
＝ｌ。ｉ。ｍ玎∑｛【ｄ（皇）＋ｄ（夤州ｌ＋，”（最）△而＋
１．３用曲面积分求面积的方法证明计算旋∑ｑ△而｝
转曲面面积公式
证：设曲线Ｃ：ｙ＝ｆ（ｘ）（ａ≤ｘ≤ｂ）绕ｘ周旋ａｉ＝｛【ｄ（而）一ｄ（｛，）】＋【ｄ（而一，）一ｄ（毛）】｝√ｆ弓孑ｉ趸了，
转一周得旋转曲面方程为
∑：ｍ）＝：√万了
ｚ＝懋｛缸ｊ｝陲ｑ缸ｆｆ≤喜ｋｋ＜ｚⅣ（ａ一４弦
小一妒＝４孵Ⅲｙ
令∑。：ｚ＝护丽了，工＞０，Ｙ＞０
．・．嘞∑ｑ缸，＝０
ＪⅫ…
Ａ＝溉∑△Ａ；
＝４∽√巧丽ｘｒ丽ｄＹ
＝姆∑冗【ｄ（‘）＋ｄ（ｘＩ＿－）“ｌ＋厂“氆，）△‘＝。ｌｉ。ｍ。７【∑Ⅱｄ心，）＋ｄ心。）】、／ｌ＋，”（；，）△＿＋
＝２兀ｆｆ（ｘ）４１＋厂’２＠）ｄｘ＝２兀ｆｆ（ｘ）ｄｓ
喜ｑ圳嘲￡‰警出
证毕。
２平面曲线绕平面上任一直线旋转一周所：２兀ｆＩ！三兰；占
掣√ｉ＿而ｄ工４
。、’
Ａ２Ｊ＿Ｂ２’
得旋转曲面面积的计算公式
定理设Ｃ：ｙ＝ｆ（ｘ）（ａ≤ｘ≤ｂ）是平面上一
２．２用微元法证明计算旋转曲面面积公式
条光滑的曲线．绕直线三：Ａｘ＋研＋Ｃ＝Ｏ。在【ａ＇ｂ】上的任意小区间【ｘ，ｘ＋ｄｘ］的小（Ａ，Ｂ，ｃ常数）旋转一周得一旋转曲面，则此截锥面积近似于此小旋转曲面的面积．
旋转曲面面积
设坂工）：—ｌａｘｌ＋—ａｆ—（ｘ一）＋ｃ１。得面积元素
、／彳。＋Ｂ。
Ａ＝２兀￡了ｌａｘ＋露缈Ｆ＋ｃｌ
ｄｓ
鲥捌州一等警山
＝２兀占ｅ
ｌＡ√＝４＋：Ｓ＋Ｙ口＋：Ｃ１．…，ｄ工
彳＝ｐ＝知￡公譬如
２．１用曲线积分证明计算旋转曲面面积公式
证：任意插入分点ａ＝‰＜‘＜…＜Ｘｎ＝ｂ，
嘲ｅ掣历ｄ工
上√爿２＋Ｂ２’。…“
分［ａ＇ｂ】为ｎ个小区间Ａｆ＝工，一‘一１（＝１，２…，ｎ），设ｄ（工）为Ｃ：），＝ｆ（ｘ）上点（工，，（工））到直
线￡的距离，ｄ（工）＝盥等。
参考文献
【ｌ】同济大学应用数学系．高等数学【Ｍ】．北
京：高等教育出版社，２００２（５）．
鲋；ｚ尢【ｄ（工Ｈ）＋毗）厄萌而
面积
【２】张春跃．利用球面坐标及柱面坐标计算
曲面面积［Ｊ】．大学数学，１６７２～１４５４
（２００３）０４～００９８～０３．
：ｎ［ｄ（ｘ．，）＋ｄ（ｘ，）】、压ｊｉｉ五。ｉｉ了▲ｑ
科技创新导报Ｓｃｉｅｎｃｅ
ａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＩｎｎｏｖａｔｉｏｎＨｅｒａｌｄ２４９
利用曲线积分计算旋转曲面面积的公式及几种证法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
李淑俊， 田红晓， 刘兴薇
内蒙古科技大学数理与生物工程学院,包头,014010科技创新导报
SCIENCE AND TECHNOLOGY INNOVATION HERALD2009，""(35)0次
参考文献(2条)
1. 同济大学应用数学系 高等数学[期刊论文]-北京:高等教育出版社 20022. 张春跃 利用球面坐标及柱面坐标计算曲面面积[期刊论文]-大学数学
相似文献(10条)
1.期刊论文 殷月竹. 杨忠连. Yin Yuezhu. Yang Zhonglian 巧用对称性解第二类曲线积分和第二类曲面积分 -科技信息2008,""(30)
本文探讨了对称性在第二类曲线积分和第二类曲面积分中的应用,给出了一些有用的结论,并举例说明.利用对称性,使许多用"正规"的方法处理十分麻烦的第二类曲线积分和第二类曲面积分都能简单解决,事半功倍.
2.期刊论文 刘富贵. 鲁凯生. Liu Fugui. Lu Kaisheng 利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法 -武汉理工大学学报（交通科学与工程版）2006,30(6)
由于第二类曲线积分与曲面积分涉及到方向性问题,因此利用对称性来计算较为困难.文中给出了利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法,并证明了方法的可行性,并通过实例表明,此方法有时能起到简化计算的作用.
3.期刊论文 徐龙封 关于曲线积分和曲面积分教学中几个难点的突破 -安徽工业大学学报(社会科学版)2003,20(3)
加强曲线、曲面积分概念讲解,标准化曲线、曲面积分的计算程序,沟通有关积分之间关系,以消除学生对斯托克斯等公式的深奥感,有效地突破了曲线、曲面积分教学中的几个难点.
4.期刊论文 赵清波. 李文潮. 赵东涛. 张辉 曲线积分与曲面积分的一题多解 -数理医药学杂志2008,21(3)
就曲线积分与曲面积分的多解问题作一探究.尽可能多地找出它的解决途径和方法,不仅能拓宽思路,也可总结规律、积累经验,并找到解决问题的最佳途径和方法.
5.期刊论文 程希旺. CHENG Xi-wang 对称性在曲线积分和曲面积分计算中的应用 -遵义师范学院学报2007,9(5)
引进了函数关于点、直线与平面的奇偶性的概念,对文[1]-[4]中所给出的关于利用积分孤段与积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性计算曲线积分与曲面积分的结果作了进一步推广,得到了一些更为一般性的结果.
6.期刊论文 李育强. 石瑞民 曲线积分在曲面积分中的应用 -大学数学2003,19(3)
提出用曲线积分解决投影为曲线的一类曲面积分的方法,证明了方法的可行性.并通过实例表明该方法在解决问题时所带来的方便.
7.会议论文 于兴江. 孟晗 区间值函数与Fuzzy值函数的曲线积分和曲面积分 1998
该文在文［１］的基础上，定义了区间值函数与Ｆｕｚｚｙ值函数在平面或空间的可度量的几何体上的积分，从而给出了区间值函数与Ｆｕｚｚｙ值函数的曲线积分和曲面积分，讨论了它们的性质和计算方法。
8.期刊论文 纪荣芳. 娄本平 对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用 -泰山学院学报2004,26(3)
给出了利用对称性简化曲线积分和曲面积分计算的一些定理和方法,并对定理的结论予以证明.
9.期刊论文 彭一鸣. 马新科. 宁荣健 第一型曲面积分转为第一型曲线积分的算法 -高等数学研究2010,13(2)
本文提供了一种将第一型曲面积分转化为第一型曲线积分计算的方法,并且讨论了第一型曲线积分和定积分的换序情形.
10.期刊论文 吴世玕. 杜红霞. WU Shi-gan. DU Hong-xia 曲线积分与曲面积分中值定理 -赣南师范学院学报2006,27(6)
给出了第一类曲线积分和第一类曲面积分中值定理,利用两类曲线积分的联系得出第二类曲线、曲面积分的中值定理.
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_kjzxdb200935212.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：ec7cfc8c-db08-4fba-8d97-9dce0110eeb2
下载时间：2010年8月10日