初三数学 圆教案
一、本章知识框架
二、本章重点
1．圆的定义：
(1)线段OA 绕着它的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的封闭曲线，叫做圆．
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．判定一个点P 是否在⊙O 上． 设⊙O 的半径为R ，OP ＝d ，则有 d>r点P 在⊙O 外； d ＝r 点P 在⊙O 上； d
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半． ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．
(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角． 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半． 4．圆的性质：
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴． 垂径定理及推论：
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)平分弦(不是直径) 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦． (5)平行弦夹的弧相等．
5．三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I ”表示．
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O 表示． (3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G 表示． (4)垂心：是三角形三边高线的交点． 6．切线的判定、性质： (1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ②到圆心的距离d 等于圆的半径的直线是圆的切线． (2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径．
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点． ③经过切点作切线的垂线经过圆心．
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 7．圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等． 8．直线和圆的位置关系：
设⊙O 半径为R ，点O 到直线l 的距离为d ．
(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．
(2)直线和⊙O 有唯一公共点直线l 和⊙O 相切d ＝R ． (3)直线l 和⊙O 有两个公共点直线l 和⊙O 相交d
的半径为R 、r(R>r)，圆心距
．
(1)
外离
(2)含(3)
外切
(4)
d
没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部d>R＋r ． 没有公共点，且
的每一个点都在
外部
内
有唯一公共点，除这个点外，
每个圆上的点都在另一个圆外部d ＝R ＋r ．
的每个点都在
内部
有唯一公共点，除这个点外，内切
d ＝R －r ．
相交
(5)
有两个公共点R －r
10．两圆的性质：
(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点． 11．圆中有关计算： 圆的面积公式：
，周长C ＝2πR ．
圆心角为n °、半径为R 的弧长．
圆心角为n °，半径为R ，弧长为l 的扇形的面积
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．
．
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R ，母线长为l 的圆柱的体积为面积为2πRl ，全面积为
．
，侧
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R ，母线长为l ，高为h 的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为【经典例题精讲】
例1 如图23-2，已知AB 为⊙O 直径，C 为上一点，CD ⊥AB 于D ，∠OCD 的平分线CP 交⊙O 于P ，试判断P 点位置是否随C 点位置改变而改变？
，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有
．
分析：要确定P 点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P 点位置的变化，然后从中观察规律． 解：
连结OP ，
P 点为中点．
小结：此题运用垂径定理进行推断． 例2 下列命题正确的是( ) A ．相等的圆周角对的弧相等 B ．等弧所对的弦相等 C ．三点确定一个圆
D ．平分弦的直径垂直于弦． 解：
A ．在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A 不正确． B ．等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B 正确． C ．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆． D ．平分弦(不是直径) 的直径垂直于此弦． 故选B ．
例3 四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ︰∠B ︰∠C ＝1︰2︰3，求∠D ． 分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等． 解：
设∠A ＝x ，∠B ＝2x ，∠C ＝3x ，则∠D ＝∠A ＋∠C －∠B ＝2x ． x ＋2x ＋3x ＋2x ＝360°， x ＝45°．
∴∠D ＝90°．
小结：此题可变形为：四边形ABCD 外切于⊙O ，周长为20，且AB ︰BC ︰CD ＝1︰2︰3，求AD 的长．
例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径．若测得PA ＝5cm ，则铁环的半径是__________cm．
分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、
解直角三角形的知识进行
合作解决，即过P 点作直线OP ⊥PA ，再用三角板画一个顶点为A 、一边为AP 、大小为60°的角，这个角的另一边与OP 的交点即为圆心O ，再用三角函数知识求解． 解：
．
小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型． 例5 已知
相交于A 、B 两点，
的半径是10，
的半径是17，
公共弦AB ＝16，求两圆的圆心距． 解：分两种情况讨论： (1)若
位于AB 的两侧(如图23-8) ，
设
与AB 交于C ，连
结
又∵AB ＝16
∴AC ＝8． 在在故(2)若
，则垂直平分AB ，∴
．
中，中，
．
． ．
位于AB 的同侧(如图23-9) ，设
．
的延长线与
AB 交于C ，连结
∵垂直平分AB ，
∴．
又∵AB ＝16，
∴AC ＝8． 在在故
中，中，
．
． ．
注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题． 三、相关定理：
1. 相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）
说明：几何语言： 若弦AB 、CD 交于点P ，则PA ·PB=PC·PD （相交弦定理）
例1． 已知P 为⊙O 内一点，P 任作一弦AB ，设为 。
，
，⊙O
半径为
，过
，则关于的函数关系式
解：由相交弦定理得，即，其中 2. 切割线定理 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
说明：几何语言：若AB 是直径，CD 垂直AB 于点P ，则PC^2=PA·PB
例2． 已知PT 切⊙O 于T ，PBA 为割线，交OC 于D ，CT 为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB 长。
解：设TD=，BP=
，由相交弦定理得：即
由切割线定理，理，∴
∴
，
（舍） 由勾股定
∴
四、辅助线总结 1. 圆中常见的辅助线
1）．作半径，利用同圆或等圆的半径相等．
2）．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明．
3）．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算．
4）．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角．
5) ．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角． 6) ．遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角． 7) ．遇到切线，作过切点的半径，构造直角．
8) ．欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径．
9) ．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点．
10) ．遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点．
11) ．遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线． 12) ．遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线．
13) ．求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边．
2、圆中较特殊的辅助线
1) ．过圆外一点或圆上一点作圆的切线． 2) ．将割线、相交弦补充完整． 3) ．作辅助圆．
例1如图23-10，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果AB ＝10，CD ＝8，那么AE 的长为( )
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 分析：连结OC ，由AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 知CD ＝DE ．设AE ＝x ，则在Rt △CEO 中，则
，
(舍去) ．
，即
，
答案：A ．
例2如图23-11，CA 为⊙O 的切线，切点为A ，点B 在⊙O 上，如果∠CAB ＝55°，那么∠AOB 等于( )
A ．35° B ．90° C ．110° D ．120°
分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道∠AOB ＝2∠BAC ＝2×55°＝110°．答案：C ．
例3 如果圆柱的底面半径为4cm ，母线长为5cm ，那么侧面积等于( ) A ．
B．
C．
D．
分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长；另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即
．答案：B ．
例4 如图23-12，在半径为4的⊙O 中，AB 、CD 是两条直径，M 为OB 的中点，延长CM 交⊙O 于E ，且EM>MC，连结OE 、DE ，求：EM 的长．
．
简析：(1)由DC 是⊙O 的直径，知DE ⊥EC ，于是则AM ·MB ＝x(7－x) ，即
．所以
．设EM ＝x ，
．而EM>MC，即EM ＝
4．
例5如图23-13，AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰好是关于x
的方程
(其中m 为实数) 的两根．
(1)求证：BE ＝BD ； (2)若
，求∠A 的度数．
简析：(1)由BE 、BD 是关于x
的方程
的两根，得
，则m
＝－2．所以，原方程为(2)由相交弦定理，得
．得
，即
．故BE ＝BD ．
．而PB 切⊙O 于点B ，
AB 为⊙O 的直径，得∠ABP ＝∠ACB ＝90°．又易证∠BPD ＝∠APE ，所以△PBD ∽△PAE ，△PDC ∽△PEB ，则
，
，
所以
，所以
．在
Rt △ACB 中，
，故∠A ＝60°．
初三数学 圆教案
一、本章知识框架
二、本章重点
1．圆的定义：
(1)线段OA 绕着它的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的封闭曲线，叫做圆．
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．判定一个点P 是否在⊙O 上． 设⊙O 的半径为R ，OP ＝d ，则有 d>r点P 在⊙O 外； d ＝r 点P 在⊙O 上； d
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半． ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．
(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角． 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半． 4．圆的性质：
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴． 垂径定理及推论：
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)平分弦(不是直径) 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦． (5)平行弦夹的弧相等．
5．三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I ”表示．
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O 表示． (3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G 表示． (4)垂心：是三角形三边高线的交点． 6．切线的判定、性质： (1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ②到圆心的距离d 等于圆的半径的直线是圆的切线． (2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径．
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点． ③经过切点作切线的垂线经过圆心．
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 7．圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等． 8．直线和圆的位置关系：
设⊙O 半径为R ，点O 到直线l 的距离为d ．
(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．
(2)直线和⊙O 有唯一公共点直线l 和⊙O 相切d ＝R ． (3)直线l 和⊙O 有两个公共点直线l 和⊙O 相交d
的半径为R 、r(R>r)，圆心距
．
(1)
外离
(2)含(3)
外切
(4)
d
没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部d>R＋r ． 没有公共点，且
的每一个点都在
外部
内
有唯一公共点，除这个点外，
每个圆上的点都在另一个圆外部d ＝R ＋r ．
的每个点都在
内部
有唯一公共点，除这个点外，内切
d ＝R －r ．
相交
(5)
有两个公共点R －r
10．两圆的性质：
(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点． 11．圆中有关计算： 圆的面积公式：
，周长C ＝2πR ．
圆心角为n °、半径为R 的弧长．
圆心角为n °，半径为R ，弧长为l 的扇形的面积
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．
．
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R ，母线长为l 的圆柱的体积为面积为2πRl ，全面积为
．
，侧
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R ，母线长为l ，高为h 的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为【经典例题精讲】
例1 如图23-2，已知AB 为⊙O 直径，C 为上一点，CD ⊥AB 于D ，∠OCD 的平分线CP 交⊙O 于P ，试判断P 点位置是否随C 点位置改变而改变？
，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有
．
分析：要确定P 点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P 点位置的变化，然后从中观察规律． 解：
连结OP ，
P 点为中点．
小结：此题运用垂径定理进行推断． 例2 下列命题正确的是( ) A ．相等的圆周角对的弧相等 B ．等弧所对的弦相等 C ．三点确定一个圆
D ．平分弦的直径垂直于弦． 解：
A ．在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A 不正确． B ．等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B 正确． C ．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆． D ．平分弦(不是直径) 的直径垂直于此弦． 故选B ．
例3 四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ︰∠B ︰∠C ＝1︰2︰3，求∠D ． 分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等． 解：
设∠A ＝x ，∠B ＝2x ，∠C ＝3x ，则∠D ＝∠A ＋∠C －∠B ＝2x ． x ＋2x ＋3x ＋2x ＝360°， x ＝45°．
∴∠D ＝90°．
小结：此题可变形为：四边形ABCD 外切于⊙O ，周长为20，且AB ︰BC ︰CD ＝1︰2︰3，求AD 的长．
例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径．若测得PA ＝5cm ，则铁环的半径是__________cm．
分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、
解直角三角形的知识进行
合作解决，即过P 点作直线OP ⊥PA ，再用三角板画一个顶点为A 、一边为AP 、大小为60°的角，这个角的另一边与OP 的交点即为圆心O ，再用三角函数知识求解． 解：
．
小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型． 例5 已知
相交于A 、B 两点，
的半径是10，
的半径是17，
公共弦AB ＝16，求两圆的圆心距． 解：分两种情况讨论： (1)若
位于AB 的两侧(如图23-8) ，
设
与AB 交于C ，连
结
又∵AB ＝16
∴AC ＝8． 在在故(2)若
，则垂直平分AB ，∴
．
中，中，
．
． ．
位于AB 的同侧(如图23-9) ，设
．
的延长线与
AB 交于C ，连结
∵垂直平分AB ，
∴．
又∵AB ＝16，
∴AC ＝8． 在在故
中，中，
．
． ．
注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题． 三、相关定理：
1. 相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）
说明：几何语言： 若弦AB 、CD 交于点P ，则PA ·PB=PC·PD （相交弦定理）
例1． 已知P 为⊙O 内一点，P 任作一弦AB ，设为 。
，
，⊙O
半径为
，过
，则关于的函数关系式
解：由相交弦定理得，即，其中 2. 切割线定理 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
说明：几何语言：若AB 是直径，CD 垂直AB 于点P ，则PC^2=PA·PB
例2． 已知PT 切⊙O 于T ，PBA 为割线，交OC 于D ，CT 为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB 长。
解：设TD=，BP=
，由相交弦定理得：即
由切割线定理，理，∴
∴
，
（舍） 由勾股定
∴
四、辅助线总结 1. 圆中常见的辅助线
1）．作半径，利用同圆或等圆的半径相等．
2）．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明．
3）．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算．
4）．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角．
5) ．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角． 6) ．遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角． 7) ．遇到切线，作过切点的半径，构造直角．
8) ．欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径．
9) ．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点．
10) ．遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点．
11) ．遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线． 12) ．遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线．
13) ．求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边．
2、圆中较特殊的辅助线
1) ．过圆外一点或圆上一点作圆的切线． 2) ．将割线、相交弦补充完整． 3) ．作辅助圆．
例1如图23-10，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果AB ＝10，CD ＝8，那么AE 的长为( )
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 分析：连结OC ，由AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 知CD ＝DE ．设AE ＝x ，则在Rt △CEO 中，则
，
(舍去) ．
，即
，
答案：A ．
例2如图23-11，CA 为⊙O 的切线，切点为A ，点B 在⊙O 上，如果∠CAB ＝55°，那么∠AOB 等于( )
A ．35° B ．90° C ．110° D ．120°
分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道∠AOB ＝2∠BAC ＝2×55°＝110°．答案：C ．
例3 如果圆柱的底面半径为4cm ，母线长为5cm ，那么侧面积等于( ) A ．
B．
C．
D．
分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长；另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即
．答案：B ．
例4 如图23-12，在半径为4的⊙O 中，AB 、CD 是两条直径，M 为OB 的中点，延长CM 交⊙O 于E ，且EM>MC，连结OE 、DE ，求：EM 的长．
．
简析：(1)由DC 是⊙O 的直径，知DE ⊥EC ，于是则AM ·MB ＝x(7－x) ，即
．所以
．设EM ＝x ，
．而EM>MC，即EM ＝
4．
例5如图23-13，AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰好是关于x
的方程
(其中m 为实数) 的两根．
(1)求证：BE ＝BD ； (2)若
，求∠A 的度数．
简析：(1)由BE 、BD 是关于x
的方程
的两根，得
，则m
＝－2．所以，原方程为(2)由相交弦定理，得
．得
，即
．故BE ＝BD ．
．而PB 切⊙O 于点B ，
AB 为⊙O 的直径，得∠ABP ＝∠ACB ＝90°．又易证∠BPD ＝∠APE ，所以△PBD ∽△PAE ，△PDC ∽△PEB ，则
，
，
所以
，所以
．在
Rt △ACB 中，
，故∠A ＝60°．