1、 （1）过点Q作于H，则
（2）当点E与点A重合时
∵
∴
又∵ ∴ △BAP∽△HPQ
∴ ∴ ∴或4
∴点Q运动2秒或4秒时，点E与点A重合.
（3）①由（2）知BAP∽△HPQ
∴ ∴ ∴
②假设存在点E与点A重合，则y=5
∴
∴ △＜0，此方程无解. ∴ 不存在点E与点A重合
∴当t=3时，AE最小=
2、：（1）当点在上时，，．
当点在上时，．
（2），．．
由条件知，若四边形为矩形，需，即，
．
当s时，四边形为矩形．
（3）由（2）知，当s时，四边形为矩形，此时，
除此之外，当时，，此时．
，．． ，． 又， ，． 当s或s时，以为顶点的三角形与相似．
3、（1）∵ 点A在抛物线C1上，∴ 把点A坐标代入得 =1. ∴ 抛物线C1的解析式为,
设B(－2,b)， ∴ b＝－4, ∴ B(－2,－4) .
（2）①如图1，
∵ M(1, 5)，D(1, 2), 且DH⊥x轴，∴ 点M在DH上，MH=5.
过点G作GE⊥DH,垂足为E,
由△DHG是正三角形,可得EG=
∴ ME＝4.
设N ( x, 0 ), 则 NH＝x－1, , EH=1，
由△MEG∽△MHN,得 ,
∴ , ∴ ,
∴ 点N的横坐标为．
② 当点Ｄ移到与点A重合时,如图2，
直线与DG交于点G,此时点Ｎ的横坐标最大．
过点Ｇ,Ｍ作x轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F,
设Ｎ（x，0），
∵ A (2, 4), ∴ G (, 2),
∴ NQ=，ＮF =, GQ=2, MF =5.
∵ △NGQ∽△NMF，
∴ ,
∴ ,
∴ .
当点D移到与点B重合时,如图3，
直线与DG交于点D,即点B,
此时点N的横坐标最小.
∵ B(－2, －4), ∴ H(－2, 0), D(－2, －4),
设N（x，0），
∵ △BHN∽△MFN，
∴ ， ∴ , ∴ .
∴ 点N横坐标的范围为 ≤x≤.
4、(1)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°．又∵PC⊥CD，∴∠PCD＝90°．
而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PCD．∴
∴AC·CD＝PC·BC； ．
(2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．
∵P是AB中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝BC＝2．
又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝．∴PE＝＝＝． 从而PC＝PE＋EC＝．由(1)得CD＝PC＝
(3)当点P在AB上运动时，S△PCD＝PC·CD．由(1)可知，CD＝PC．
∴S△PCD＝PC2．故PC最大时，S△PCD取得最大值；
而PC为直径时最大，∴S△PCD的最大值S＝×5＝2．
5、：（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图 （1），过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为M.
∵S△ABC=48，BC=12，∴AM=8.
∵DE∥BC，△
ADE∽△
ABC,
∴，
而AN=AM－MN=AM－DE，∴.
解之得.
∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8.…3
分
（2）分两种情况：
①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图（2），△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积，∵DE=x，∴，此时x的范围是≤4.8
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，
如图（2），设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点P
，
△ABC的高AM交DE于N，
∵DE=x，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC,
即，而AN=AM－
MN=AM－EP,
∴，解得.
所以, 即.
由题意，x>4.8，x
因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为
(0
当≤4.8时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.8=23.04 2
当时，因为，所以当时， △ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为.
因为24>23.04，
所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24. 、（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，
∴=90°，HD=HA，
∴，
（2）①如图1，当时，
ED=，QH=，
此时．
当时，最大值．
②如图2，当时，
ED=，QH=，
此时． DHQ∽△ABC．6∴△
当时，最大值．
∴y与x之间的函数解析式为 y的最大值是．
（3）①如图1，当时，
若DE=DH，∵DH=AH=， DE=，
∴=，．
显然ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当时，
若DE=DH，=，；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，； 若ED=EH，则△EDH∽△HDA，
∴，，．
∴当x的值为时，△HDE是等腰三角形.
7、是等边三角形
∴ ∵∴是中点 ∵
∴
∴
∴
∴梯形是等腰梯形
（2）解：在等边中，
∴ ∴ ∴ ∴∵
∴ ∴ ∴
（3）解：为直角三角形
理由是：
∵
∴当取最小值时，
∴是的中点，而
∴∴
8、（1）连结PC
∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点
（2）共有四种情况
①当点C与点E重合，即CE＝0时，PE＝PB
③当CE＝1时，此时PE＝BE
（3）MD：ME＝1：3
1、 （1）过点Q作于H，则
（2）当点E与点A重合时
∵
∴
又∵ ∴ △BAP∽△HPQ
∴ ∴ ∴或4
∴点Q运动2秒或4秒时，点E与点A重合.
（3）①由（2）知BAP∽△HPQ
∴ ∴ ∴
②假设存在点E与点A重合，则y=5
∴
∴ △＜0，此方程无解. ∴ 不存在点E与点A重合
∴当t=3时，AE最小=
2、：（1）当点在上时，，．
当点在上时，．
（2），．．
由条件知，若四边形为矩形，需，即，
．
当s时，四边形为矩形．
（3）由（2）知，当s时，四边形为矩形，此时，
除此之外，当时，，此时．
，．． ，． 又， ，． 当s或s时，以为顶点的三角形与相似．
3、（1）∵ 点A在抛物线C1上，∴ 把点A坐标代入得 =1. ∴ 抛物线C1的解析式为,
设B(－2,b)， ∴ b＝－4, ∴ B(－2,－4) .
（2）①如图1，
∵ M(1, 5)，D(1, 2), 且DH⊥x轴，∴ 点M在DH上，MH=5.
过点G作GE⊥DH,垂足为E,
由△DHG是正三角形,可得EG=
∴ ME＝4.
设N ( x, 0 ), 则 NH＝x－1, , EH=1，
由△MEG∽△MHN,得 ,
∴ , ∴ ,
∴ 点N的横坐标为．
② 当点Ｄ移到与点A重合时,如图2，
直线与DG交于点G,此时点Ｎ的横坐标最大．
过点Ｇ,Ｍ作x轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F,
设Ｎ（x，0），
∵ A (2, 4), ∴ G (, 2),
∴ NQ=，ＮF =, GQ=2, MF =5.
∵ △NGQ∽△NMF，
∴ ,
∴ ,
∴ .
当点D移到与点B重合时,如图3，
直线与DG交于点D,即点B,
此时点N的横坐标最小.
∵ B(－2, －4), ∴ H(－2, 0), D(－2, －4),
设N（x，0），
∵ △BHN∽△MFN，
∴ ， ∴ , ∴ .
∴ 点N横坐标的范围为 ≤x≤.
4、(1)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°．又∵PC⊥CD，∴∠PCD＝90°．
而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PCD．∴
∴AC·CD＝PC·BC； ．
(2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．
∵P是AB中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝BC＝2．
又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝．∴PE＝＝＝． 从而PC＝PE＋EC＝．由(1)得CD＝PC＝
(3)当点P在AB上运动时，S△PCD＝PC·CD．由(1)可知，CD＝PC．
∴S△PCD＝PC2．故PC最大时，S△PCD取得最大值；
而PC为直径时最大，∴S△PCD的最大值S＝×5＝2．
5、：（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图 （1），过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为M.
∵S△ABC=48，BC=12，∴AM=8.
∵DE∥BC，△
ADE∽△
ABC,
∴，
而AN=AM－MN=AM－DE，∴.
解之得.
∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8.…3
分
（2）分两种情况：
①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图（2），△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积，∵DE=x，∴，此时x的范围是≤4.8
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，
如图（2），设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点P
，
△ABC的高AM交DE于N，
∵DE=x，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC,
即，而AN=AM－
MN=AM－EP,
∴，解得.
所以, 即.
由题意，x>4.8，x
因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为
(0
当≤4.8时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.8=23.04 2
当时，因为，所以当时， △ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为.
因为24>23.04，
所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24. 、（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，
∴=90°，HD=HA，
∴，
（2）①如图1，当时，
ED=，QH=，
此时．
当时，最大值．
②如图2，当时，
ED=，QH=，
此时． DHQ∽△ABC．6∴△
当时，最大值．
∴y与x之间的函数解析式为 y的最大值是．
（3）①如图1，当时，
若DE=DH，∵DH=AH=， DE=，
∴=，．
显然ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当时，
若DE=DH，=，；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，； 若ED=EH，则△EDH∽△HDA，
∴，，．
∴当x的值为时，△HDE是等腰三角形.
7、是等边三角形
∴ ∵∴是中点 ∵
∴
∴
∴
∴梯形是等腰梯形
（2）解：在等边中，
∴ ∴ ∴ ∴∵
∴ ∴ ∴
（3）解：为直角三角形
理由是：
∵
∴当取最小值时，
∴是的中点，而
∴∴
8、（1）连结PC
∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点
（2）共有四种情况
①当点C与点E重合，即CE＝0时，PE＝PB
③当CE＝1时，此时PE＝BE
（3）MD：ME＝1：3