圆的证明
题型一 圆的切线证明及做弦心距与半径辅助线的做法 思路导航
判定切线的方法：
（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。
常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；
总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化, 要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线. 例：
a. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，AD ∥OC 交⊙O 于D 点，求证：CD 为⊙O 的切线.
b. 如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O ，交斜边AC 于D ，点E 为BC 的中点，连结DE ，求证：DE 是⊙O 的切线.
c. 如图，以等腰△ABC 的一腰为直径作⊙O ，交底边BC 于D ，交另一腰于F ，若DE ⊥AC 于E （或E 为CF 中点），求证：DE 是⊙O 的切线.
d. 如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAF ，交⊙O 于点E ，过点E 作直线ED ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C ，求证：CD 是⊙O 的切线.
A
B 作弦心距 连半径（与半径和弦有关的简单计算、已知圆中有切线的有关计算和证明时，常作辅助线的方法是连半径） 既作弦心距又连半径（与半径和弦都有关的计算时，常作辅助线的方法是既作弦心距又连半径，利用勾股定理来解决） 典题精练
【例】如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，点E 在⊙O 外，∠EAC=∠D=60°． （1）求∠ABC 的度数； （2）求证：AE 是⊙O 的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC 的长．
考点：切线的判定；圆周角定理；弧长的计算。 解答：解：（1）∵∠ABC 与∠D 都是弧AC 所对的圆周角， ∴∠ABC=∠D=60°； （2）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°． ∴∠BAC=30°， ∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°， 即BA ⊥AE ，
∴AE 是⊙O 的切线； （3）如图，连接OC ， ∵OB=OC，∠ABC=60°， ∴△OBC 是等边三角形， ∴OB=BC=4，∠BOC=60°， ∴∠AOC=120°， ∴劣弧AC 的长为
．
【例】如图1，AB 为⊙Ｏ的直径，PQ 切⊙Ｏ于T ，AC ⊥PQ 于C ，交⊙Ｏ于D ，AD=2，TC=. 求⊙Ｏ的半径。
解：过点O 作OM ⊥AC 于M ，∴AM=MD=AD/2=1.
∵PQ 切⊙Ｏ于T ，
∴OT ⊥PQ ．又∵AC ⊥PQ ，OM ⊥AC ， ∴∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，
∴四边形OTCM 为矩形．∴OM=TC=，
∴在Rt △AOM 中，AO =2．
图1
即⊙Ｏ的半径为2．
【例】如图2，已知在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点.
求证：AC=BD. 证明：过点O 作OE ⊥AB 于E ，则AE=BE，CE=DE，
Ｏ
∴AE-CE=BE-DE.
∵AC=AE-CE，BD=BE-DE. ∴AC=BD. 图2
【例】如图，在同一平面内，有一组平行线l 1、l 2、l 3，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O 在直线l 1上，⊙O与直线l 3的交点为A 、B ，AB=12，求⊙O的半径．
答案：解：过点O 作OD⊥AB，垂足为点D ，连接OA 。
∵AB=12，∴AD=
11
AB=×12=6。 22
∵相邻两条平行线之间的距离均为4，∴OD=8。 在Rt△AOD中，∵AD=6，OD=8， ∴OA ==10。
答：⊙O的半径为10。
考点：垂径定理，平行线之间的距离，勾股定理。 分析：过点O 作OD⊥AB，由垂径定理可知AD=
1
AB ，再根据相邻两条平行线之间的距离均为4可知OD=8，2
在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出OA 的长。
【例】如图3，⊙O 的直径CD=20cm，直线l ⊥CO ，垂足为H ，交⊙O 于A 、B 两点，AB=16 cm，直线l 平移多少厘米时能于⊙O 相切？
解：连接OA ，
∵l ⊥CO ，∴OC 平分AB ∴AH=8cm.
C 2222
在Rt △AHO 中，OH=AO -AH =-8=6cm.
∴CH=4cm，DH=16 cm.
答：直线l 向左平移4cm ，或向右平移16cm 时能于⊙O 相切。
l 图3
【例】如图4，PA 是⊙O 的切线，切点是A ，过点A 作AH ⊥OP 于点H ，交⊙O 于点B.
求证：PB 是⊙O 的切线.
证明：连接OA 、OB.
∵PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP=90°. P
∵OA=OB，AB ⊥OP ，∴∠AOP=∠BOP. 又∵OA=OB，OP=OP，∴△AOP ≌△BOP.
∴∠OPB=∠OAP=90°.
图
4 ∴PB 是⊙O 的切线.
【例】直径为52厘米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图5，若油最大深度为16厘米. 那么油面宽度AB 的长是多少厘米？
解：连接OA ，作OC ⊥AB 于C ，则AC=BC=
在Rt △OAC 中，OA=
1
AB. 2
O
1
×52=26厘米，OC=26-16=10厘米， 2
图5
【例】如图，在⊙O中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，∠CAB=40°，∠APD=65°． （1）求∠B的大小；
（2）已知AD=6，求圆心O 到BD 的距离．
∴AC=OA 2-OC 2=∴AB=2AC=48厘米.
262-102=24厘米.
答案：解：（1）∵∠APD=∠C+∠CAB，∠CAB=40°，∠APD=65°，
∴∠C=65°﹣40°=25°。 ∴∠B=∠C=25°。
（2）过点O 作OE⊥BD于E ，则DE=BE，
又∵AO=BO，∴OE=
11
AD=×6=3。 22
∴圆心O 到BD 的距离为3。
考点：圆周角定理，三角形外角性质，垂径定理，三角形中位线定理。 分析：（1）根据圆周定理以及三角形外角求出即可。
（2）利用三角形中位线定理得出OE=
1
AD，即可得出答案。 2
【例】如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，O 是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆与AB 边相切于点D ，与AC 、BC 边分别交于点E 、F 、G ，连接OD ，已知BD=2，AE=3，tan ∠BOD=． （1）求⊙O 的半径OD ； （2）求证：AE 是⊙O 的切线； （3）求图中两部分阴影面积的和．
． （1）求证：DP 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为3cm ，求图中阴影部分的面积．
BA 的延长线于点E ．
（1）求证：CD 为⊙O 的切线； （2）若BD 的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
，AM=2，AE=
（1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）求
的长．
考点：切线的判定；勾股定理的逆定理；弧长的计算；解直角三角形． 分析：（1）欲证明BC 是⊙O 的切线，只需证明OB ⊥BC 即可； （2）首先，在Rt △AEM 中，根据特殊角的三角函数值求得∠A=30°； 其次，利用圆心角、弧、弦间的关系、圆周角定理求得∠BON=2∠A=60°，由三角形函数的定义求得ON=
=
；
计算
的长．
最后，由弧长公式l=
解答：（1）证明：如图， ∵ME=1，AM=2，AE=，
222∴ME +AE=AM=4， ∴△AME 是直角三角形，且∠AEM=90°． 又∵MN ∥BC ， ∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB ⊥BC ． 又∵OB 是⊙O 的半径， ∴BC 是⊙O 的切线；
（2）解：如图，连接ON ． 在Rt △AEM 中，sinA=∴∠A=30°． ∵AB ⊥MN ，
∴=，EN=EM=1， ∴∠BON=2∠A=60°． 在Rt △OEN 中，sin ∠EON=∴ON=∴
的长度是：
=
， •
=
．
， =
1
， 2
点评：本题综合考查了切线的判定与性质、勾股定理的逆定理，弧长的计算，解直角三角形等．要证某线
是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
【例】如图1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB ，如图2所示，量得连杆OA 长为10cm ，雨刮杆AB 长为48cm ，∠OAB =120°．若启动一次刮雨器，雨刮杆AB 正好扫到水平线CD 的位置，如图3所示．
（1）求雨刮杆AB 旋转的最大角度及O 、B 两点之间的距离；（结果精确到0.01） （2）求雨刮杆AB 扫过的最大面积．（结果保留π的整数倍）
（参考数据：sin60°=
31
，cos60°=，tan60°=，≈26.851，可使用科学计算器）
22
答案：解：（1）雨刮杆AB 旋转的最大角度为180° ．
连接OB ，过O 点作AB 的垂线交BA 的延长线于EH ， ∵∠OAB =120°， ∴∠OAE =60° 在Rt △OAE 中，
∵∠OAE =60°，OA =10，
∴sin ∠OAE =
OE OE
=， OA 10
∴OE =5， ∴AE =5.
∴EB =AE +AB =53， 在Rt △OEB 中， ∵OE =5，EB =53，
∴OB =OE BE =2884=2≈53.70；
（2）∵雨刮杆AB 旋转180°得到CD ，即△OCD 与△OAB 关于点O 中心对称， ∴△BAO ≌△OCD ，∴S △BAO =S△OCD ， ∴雨刮杆AB 扫过的最大面积S =
2
2
1
π(OB 2－OA 2) 2
=1392π.
考点剖析： 本题考查的是解直角三角形的应用，以及扇形面积的求法，难点是考生缺乏生活经验，弄不懂题意（提供的实物图也不够清晰，人为造成一定的理解困难）．
解题思路： 将实际问题转化为数学问题，（1）AB 旋转的最大角度为180°；在△OAB 中，已知两边及其夹角，可求出另外两角和一边，只不过它不是直角三角形，需要转化为直角三角形来求解，由∠
OAB =120°想到作AB 边上的高，得到一个含60°角的Rt △OAE 和一个非特殊角的Rt △OEB . 在Rt △OAE 中，已知∠OAE =60°，斜边OA =10，可求出OE 、AE 的长，进而求得Rt △OEB 中EB 的长，再由勾股定理求出斜边OB 的长；（2）雨刮杆AB 扫过的最大面积就是一个半圆环的面积（以OB 、OA 为半径的半圆面积之差）.
方法规律： 将斜三角形转化为直角三角形求解. 在直角三角形中，已知两边或一边一角都可求出其余的量. 关键词： 刮雨器 三角函数 解直角三角形 中心对称 扇形的面积
题型二 切线证明与构造相似三角形、直角三角形与等边三角形辅助线的做法
连弦构造相似三角形或直角三角形（在圆中与弦或其他有关的计算或证明时，常作辅助线的方法是连弦，利用同弧所对的圆周角相等连弦构造相似三角形或利用直径所对的圆周角为直角这个性质连弦构造出直角三角形，从而将问题转化到相似三角形或直角三角形中去计算或证明）
作直径构造直角三角形（在圆中牵涉到三角函数的运算或与直径的计算与证明时，常作辅助线的方法是作直径，利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，从而将问题转化到直角三角形中去解决）
【例】如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N ，点M 在⊙O上，∠1=∠C
（1）求证：CB∥MD； （2）若BC=4，sinM=
2
，求⊙O的直径．
3
答案：解：（1）证明：∵∠C与∠M是BD 所对的圆周角，∴∠C=∠M。
又∵∠1=∠C，∴∠1=∠M。∴CB∥MD。 （2）连接AC ，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°。
又∵CD⊥AB，∴BC =BD 。∴∠A=∠M。∴sinA=sinM。在
Rt△ACB中，sinA=直径为6。
考点：圆周角定理，平行的判定，垂径定理；锐角三角函数定义。
分析：（1）由∠C与∠M是BD 所对的圆周角，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠C=∠M，又由∠1=∠C，易得∠1=∠M，即可判定CB∥MD。
（2）连接AC ，AB 为⊙O的直径，可得∠ACB=90°，又由弦CD⊥AB，根据垂径定理的即可求得
2BC 24
，∵sinM=，BC=4，∴=。∴AB=6，即⊙O的
3AB 3AB
2
BC =BD ，从而可得∠A=∠M，又由BC=4，sinM=，即可求得⊙O的直径。
3
【例】 如图△ABC中，BC=3，以BC 为直径的⊙O交AC 于点D ，若D 是AC 中点，∠ABC=120°. （1）求∠ACB的大小； （2）求点A 到直线BC 的距离．
答案：解：（1）连接BD ，
∵以BC 为直径的⊙O交AC 于点D ，∴∠BDC=90°。 ∵D是AC 中点，∴BD是AC 的垂直平分线。 ∴AB=BC。∴∠A=∠C。
∵∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°。即∠ACB=30°。 （2）过点A 作AE⊥BC于点E ，
∵BC=3，∠ACB=30°，∠BDC=90°， ∴cos30°=
CD CD
。
=
BC 3
∵AD=CD，∴AC= ∵在Rt△AEC中，∠ACE=30°，
1∴AE =AC sin300。
2∴点A 到直线
BC 。 考点：圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，匀角三角函数定义，特殊角的三角函数值。11928 分析：（1）根据垂直平分线的性质得出AB=BC，从而得出∠A=∠C=30°即可。
（2）根据BC=3，∠ACB=30°，∠BDC=90°，得出CD 的长，从而求出AE 的长度即可。
【例】 如图，在△ABC 中，∠ACB=90， E为BC 上一点，以CE 为直径作⊙O,AB 与⊙O 相切于点D ，连接CD, 若BE=OE=2.
（1）求证：∠A=2∠DCB ；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）.
解析： (1)证明：连接OD. ∵AB 与⊙O 相切于点D , ∴∠ODB =90o ，∴∠B +∠DOB =90o .
[来源:学+科+网Z+X+X+K]
o
A
D
C
O
E
B
∵∠ACB =90o , ∴∠A +∠B =90o , ∴∠A =∠DOB ∵OC=OD, ∴∠DOB =2∠DCB . ∴∠A =2∠DCB
(2)方法一：在R t △ODB 中，OD =OE,OE=BE
OD 1
= OB 2
∴∠B =30o , ∠DOB =60o „„6分
1.c Om
∴ sin ∠B =
∵ BD =OB ⋅sin60=
o
11
=OD DB =⨯2⨯= DOB
2260π⋅OD 22
=π S 扇形ODE =
3603
2
S 阴影=S D OB -S 扇形O DE =π
3
∴S
BE=OE=2 方法二：连接DE, 在R t △ODB 中，∵∴DE =
1
OB =OE , 2
o
∵OD=OE, ∴△DOE 为等边三角形，即∠DOB =60
【例】如图，已知⊙O 的半径为4，CD 是⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，B
为CD 延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．
（1）求证：AB 为⊙O 的切线；
（2）求弦AC 的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
D ，AD 交⊙O 于E ，连接CE 。
（1）判断CD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若E 是 的中点，⊙O 的半径为1，求图中阴影部分的面积。
解（1）直线CD 与⊙O 相切。 证明：连结AC ，OA=OC， ∠OAC=∠OCA ，
AC 平分∠DAB ，∠DAC=∠OAC ， ∠DAC=∠OCA ，AD//OC，AD ⊥CD ，OC ⊥CD ，CD 与⊙O （2）连结OE ，， 点E 是 的中点， ，∠DAC=∠ECA （相等的弧所对的圆周角相等），
∠DAC=∠OAC （（1）中已证），∠ECA=∠OAC ，CE//OA，AD//OC， 四边形AOCE 是平行四边形，CE=OA，AE=OC， OA=OC=OE=1， OC=OE=CE=OA=AE=1，四边形AOCE 是菱形，△OCE 是等边三角形， ∠OCE=60º，∠OCD=90º，∠DCE=∠OCD-∠OCE=90º-60º=30º，
113
AD ⊥CD ，在Rt △DCE 中，ED= CE = ,DC=cos30º•CE= ,
222
CE 弧与CE 弦所围成部分的面积 = AE弧与AE 弦所围成部分的面积，
11133
S 阴影=S△DCE =•ED •DC=× × = 222283
。 8
【例】在⊙O中，直径AB⊥CD于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F, 且CF⊥AD.
答：图中阴影部分的面积为求∠D的度数.
相切。
答案：解：连接BD 。
∵AB ⊙O 是直径，∴BD ⊥AD 。
又∵CF ⊥AD ，∴BD ∥CF 。∴∠BDC=∠C 。 又∵∠BDC=
11
∠BOC ，∴∠C=∠BOC 。 22
∵AB ⊥CD ，∴∠C=30°。∴∠ADC ＝60°。
考点：圆周角定理，平行线的判定和性质，三角形内角和定理。
分析：连接BD ，根据平行线的判定和性质可得：BD∥CF，则∠BDC=∠C，根据圆周角定理可得 ∠BDC=
11
∠BOC，则∠C=∠BOC，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解。 22
【例】如图，⊙O的半径为17cm ，弦AB∥CD，AB ＝30cm ，CD ＝16cm ，圆心O 位于AB 、CD
的上方，求
AB
和
CD 间的距离．
答案：解：分别作弦AB 、CD 的弦心距，设垂足为E 、F ，连接OA ，OC 。
∵AB=30，CD=16，∴AE=
11
AB=15，CF=CD=8。 22
又∵⊙O的半径为17，即OA=OC=17。
∴在Rt△AOE
中，OE 8。 在Rt△OCF
中，OF =15。 ∴EF=OF－OE=15－8=7。 答：AB 和CD 的距离为7cm 。
考点：垂径定理，勾股定理。
分析：分别作弦AB 、CD 的弦心距，设垂足为E 、F ；由于AB∥CD，则E 、O 、F 三点共线，EF 即为AB 、CD 间的距离；由垂径定理，易求得AE 、CF 的长，可连接OA 、ODC 在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE 、OF 的长，也就求出了EF 的长，即弦AB 、CD 间的距离。
【例】如图所示，在⊙O中，AD =AC ，弦AB 与弦AC 交于点A ，弦CD 与AB 交于点F ，连接BC ． （1）求证：AC =AB•AF；
（2）若⊙O的半径长为2cm ，∠B=60°，求图中阴影部分面积．
2
答案：（1）证明：∵AD =AC ，∴∠ACD=∠ABC。
又∵∠BAC=∠CAF，∴△ACF∽△ABC。 ∴
AC AF 2
，即AC =AB•AF。 =
AB AC
（2）解：如图，连接OA ，OC ，过O 作OE⊥AC，垂足为点E ，
∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°。 又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE=
1
×120°=60°。 2
在Rt△AOE中，OA=2， OE=OAcos60°=1
∴
∴S 阴影=S 扇形OAC -S ∆AOC
120⋅π⋅2214=-⋅1=πcm 2。
36023
)
考点：圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。
分析：（1）由AD =AC ，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF∽△ABC，根据相似得比例可得证。
（2）连接OA ，OC ，过O 作OE 垂直于AC ，垂足为点E ，由扇形AOC 的面积﹣△AOC的面积表示出阴影部分的面积，利用等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义求出各线段长即可。 【例】如图，AB 是⊙O的直径，AC 是弦．
（1）请你按下面步骤画图（画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）； 第一步，过点A 作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D ； 第二步，过点D 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点E ． 第三步，连接BD ． （2）求证：AD =AE•AB；
（3）连接EO ，交AD 于点F ，若5AC=3AB，求
2
EO
的值．
FO
答案：解：（1）如图；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°。
又∵DE⊥AC，∴∠AED=90°。
∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB。∴Rt△ADE∽Rt△ABD。 ∴AD：AB=AE：AD ，∴AD=AE•AB。
（3）如图，连接OD 、BC ，它们交于点G ，
∵5AC=3AB，即AC ：AB=3：5，∴不妨设AC=3x，AB=5x， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。∴∠ECG=90°。
2
又∵∠CAD=∠DAB，∴DC=DB。∴OD垂直平分BC 。 ∴OD∥AE，OG=
13
AC=x 。∴四边形ECGD 为矩形。 2253
x －x =x。∴AE=AC+CE=3x+x=4x。 22
5
x=8：5。 2
∴CE=DG=OD－OG=
∵AE∥OD，∴△AEF∽△DOF。∴AE：OD=EF：OF ，∴EF：OF=4x：
∴
EO 8+513
==。 FO 55
考点：圆的综合题，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，矩形的判定和性质。 分析：（1）根据基本作图作出∠BAC的角平分线AD 交⊙O于点D ；点D 作AC 的垂线，垂足为点E 。
（2）根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，DE⊥AC，则∠AED=90°，又由AD 平分∠CAB
得到∠CAD=∠DAB，根据相似三角形的判定得到Rt△ADE∽Rt△ABD，根据相似的性质得到AD ：AB=AE：AD ，利用比例的性质即可得到AD =AE•AB。
（3）连接OD 、BC ，它们交于点G ，由5AC=3AB，则不妨设AC=3x，AB=5x，根据直径所对的
圆周角为直角得到∠ACB=90°，由∠CAD=∠DAB得到DC=DB，根据垂径定理的推论得到OD 垂直平分BC ，则有OD∥AE，OG=
2
13
AC=x ，并且得到四边形ECGD 为矩形，则可求出CE ，从而计算出AE ，利用AE∥OD22
5
2
EO
的FO
可得到△AEF∽△DOF，则AE ：OD=EF：OF ，即EF ：OF=4x：x=8：5，然后根据比例的性质即可得到值。
题型三 其他辅助线的做法和涉及计算 思路导航
作公共弦或连心线（在解答有关两圆相交的问题时，常作辅助线的方法是作公共弦或连心线，利用连心线垂直平分两圆的公共弦和连心线可沟通圆心距、公共弦、两圆半径之间的关系这特点来解决问题）
作公切线（在解答有关两圆相切的问题时，常作辅助线的方法是做两圆的公切线，它是连接两圆的桥梁，可使两圆的圆周角发生联系，尤其是弦切角定理的应用） 与圆有关的计算：
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：
（1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数.
（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。
（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
典型基本图型：
图形1：如图1：AB 是⊙O 的直径，点E 、C 是⊙O 上的两点，基本结论有： （1）在“AC 平分∠BAE ”；“AD ⊥CD ”；“DC 是⊙O 的切线”三个论断中，知二推一。
图形2：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ACB =90°。点O 是AC 上一点，以OC 为半径作⊙O 交AC 于点E ，基本结论有：
图1
（1）在“BO 平分∠CBA ”; “BO ∥DE ”; “AB 是⊙O 的切线”; “BD=BC”。四个论断中，知一推三。 （2）在图（1）中的线段BC 、CE 、AE 、AD 中，知二求四。 （3）如图（3），若①BC=CEAE 1
==tan ∠ADE ；③BC ：AC ：AB =3：4：5 ；（在①、②、③中AD 2
知一推二）④设BE 、CD 交于点H ，, 则BH=2EH
图形3：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ABC =90°, 以AB 为直径作⊙O 交AC 于D ，如右图：（1）DE 切⊙O ⇔E 是BC 的中点； （2）若DE 切⊙O ，则：①DE=BE=CE； 图形特殊化：在（1）的条件下
A 如图1：DE ∥AB ⇔⊿ABC 、⊿CDE 是等腰直角三角形；
图形4：如图，⊿ABC 中，AB=AC，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交AC 于点F ， 基本结论有：
（1）DE ⊥AC ⇔DE 切⊙O ；
（2）在DE ⊥AC 或DE 切⊙O 下，有：①⊿DFC 是等腰三角形；
②EF=EC；③D 是 BF 的中点。④与基本图形1的结论重合。 ⑤连AD ，产生母子三角形。
A
图形5：：以直角梯形ABCD 的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ， 基本结论有：
B
（
1）如图1：①AD+BC＝CD ； ②∠COD =∠AEB =90°； ③OD 平分∠ADC （或OC 平分∠BCD ）；（注：在①、②、③及④“CD 是⊙O 的切线”四个论断中，知一推三）
④AD·BC ＝
1
AB 2=R 2； 4
（2）如图2，连AE 、CO ，则有：CO ∥AE ，CO •AE =2R 2(与基本图形2重合) （3）如图3，若EF ⊥AB 于F ，交AC 于G ，则：EG =FG .
图形6：如图：直线PR ⊥⊙O 的半径OB 于E ，PQ 切⊙O 于Q ，BQ 交直线PQ 于R 。 基本结论有：
（1）PQ=PR (⊿PQR 是等腰三角形) ；
（2）在“PR ⊥OB ”、“PQ 切⊙O ”、“PQ=PR”中，知二推一 （3）2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB2
图形7：如图，⊿ABC 内接于⊙O ，I 为△ABC 的内心。基本结论有： （
1）如图1，①BD=CD=ID；②DI 2＝DE·DA ；
③∠AIB =90°+
1
∠ACB ; 2
（2）如图2，若∠BAC =60°，则：BD+CE=BC.
图1
图形8：已知，AB 是⊙O 的直径，C 是 BG 中点，CD ⊥AB 于D 。BG 交CD 、AC 于E 、F 。基本结论有：
图2
1
BG ；BE=EF=CE；GF=2DE 2
1
(反之，由CD =BG 或BE=EF可得：C 是
BG 中点)
21
（2）OE=AF ，OE ∥AC ；⊿ODE ∽⊿
AGF
2
（1）CD =
（3）BE·BG=BD·BA
（4）若D 是OB 的中点，则：①⊿CEF 是等边三角形；②
A
典题精练
【例】如图，圆内接四边形ABCD ，AB 是⊙O的直径，OD⊥BC于E ． （1）请你写出四个不同类型的正确结论； （2）若BE=4，AC=6，求DE ．
答案：解：（1）四个不同类型的正确结论分别为：∠ACB=90°；BE=CE；BD =CD ；OD∥AC。 （2）∵OD⊥BC，BE=4，∴BE=CE=4，即BC=2BE=8。
∵AB为圆O 的直径，∴∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，根据勾股定理得：AB=10。∴OB=5。 在Rt△OBE中，OB=5，BE=4，根据勾股定理得：OE=3。 ∴ED=OD﹣OE=5﹣3=2。
考点：垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理。
分析：（1）由AB 为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角；由OD 垂直于BC ，利用垂径定理得到E 为BC 的中点，即BE=CE，BD =CD ，由OD 垂直于BC ，AC 也垂直于BC ，利用垂直于同一条直线的两直线平行可得出OD 与AC 平行。
（2）由OD 垂直于BC ，利用垂径定理得到E 为BC 的中点，由BE 的长求出BC 的长，由AB 为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角，在Rt△ABC中，由BC 与AC 的长，利用勾股定理求出AB 的长，从而求出半径OB 与OD 的长，在Rt△BOE中，由OB 与BE 的长，利用勾股定理求出OE 的长，由OD ﹣OE 即可求出DE 的长。
【例】 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB 是⊙O的直径，D 为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E ，连接BD.
(1)求证：BD 平分∠ABC；
(2) 当∠ODB=30°时，求证：
BC=OD.
答案：证明：（1）∵OD⊥AC OD为半径，∴CD =AD 。
∴∠CBD=∠ABD。 ∴BD平分∠ABC。
（2）∵OB=OD，∠ODB=30°，∴∠OBD=∠ODB=30°。
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°。 又∵OD⊥AC于E ，∴∠OEA=90°。
∴∠A=180°－∠OEA－∠AOD=180°－90°－60°=30°。 又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°。
∴在Rt△ACB中，BC=∵OD=
1
AB 。 2
1
AB ，∴BC=OD。 2
考点：圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形内角定理和外角性质，含30角直角三角形的性质。
分析：（1）由OD⊥AC OD 为半径，根据垂径定理，即可得CD AD ，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD 平分∠ABC。
（2）由OB=OD，根据等腰三角形等边对等角的性质，求得∠AOD的度数；由OD⊥AC于E ，可求得
∠A的度数，然后由AB 是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，从而根据含30角直角三角形中30角所对直角边是斜边一半的性质，可证得BC=OD。
【例】 已知，如图10，⊙O 1和⊙O 2相交于点A 和B ，O 2O 1的延长线交⊙O 1于点C ，CA 、CB 的延长线分别和⊙O 2相交于点D 、E. 求证：AD=BE.
证明：连结AB 交O 2O 1于P 点 ，
∵O 1O 2⊥AB 且O 1O 2的平分AB ， ∴CA=CB，∴∠ACP=∠BCP ，
O 2 1 图10
∴点O 2到线段AD 、CE 的距离相等， ∴AD=BE.
【例】 如图11，已知⊙O 1与⊙O 2是等圆，它们相交于A 、B 两点，O 2在⊙01上，AC 是⊙O 2的直径，直线CB 交⊙O 1于D ，E 为AB 延长线上一点，连接DE. （1）请你连接AD ，证明：AD 是⊙O 1的直径； （2）若∠E=60°，求证：DE 是⊙O 1的切线.
证明：（1）连接AD ，
∵AD 是⊙O 1直径，
∴AB ⊥AC ，∴∠ABD=90°，
2 O ∴AD 是⊙O 1的直径.
（2）连接01O 2，
∵点O 2在⊙01上，⊙O 1与⊙O 2是等圆， ∴点01在⊙O 2上，∴AO 1=AO2=O1O 2， ∴∠O 1AO 2=60°. ∵AB 是公共弦， 图11 ∴AB ⊥O 1O 2，∴∠O 1AB=30°. ∵∠E=60°，
∴∠ADE=180°-（∠E+∠O 1AB ）=180°-（60°+30°）=90°. 由（1）知AD 是⊙O 1的直径，∴DE 是⊙O 1的切线.
【例】 如图12，已知⊙O1与⊙O2外切于点P ，⊙O2的弦AB 的延长线切⊙O1于点C ，AP 的延长线交⊙O1于点D.
求证：∠BPC=∠CPD.
A
证明：过点P 作⊙O1与⊙O2的公切线PE 交AC 于E ， C
则∠BPE =∠BAP. ∵BC 切⊙O1于点C ， · · O 2 O 1 ∴∠CPE=BCP.
∵∠BPE +∠CPE =∠BPC，∠BAP+∠BCP=∠CPD，
∴∠BPC=∠CPD.
图12
总之，在解答几何问题时，辅助线添加是非常关键的，辅助线是沟通题设和结论的桥梁，也是解答几何问题的重要手段。然而，添加辅助线则是几何学习的一个难点。因此，能正确地添加辅助线，会使问题迎刃而解，这不仅调动了学生积极性、学习兴趣，而且开发了学生的智力，掌握了解题技能和技巧，提高了解题的效率。
【例】如图，三角形ABC 的两个顶点B 、C 在圆上，顶点A 在圆外，AB 、AC 分别交圆于E 、D 两点，连结EC 、BD ．
(1)求证：ΔABD∽ΔACE ；
(2)若ΔBEC 与ΔBDC 的面积相等，试判定三角形ABC 的形状．
答案：（1）证明：∵弧ED 所对的圆周角相等，∴∠EBD=∠ECD，
又∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACE。
（2）解：△ABC为等腰三角形。理由如下：
∵S△BEC=S△BCD，S △ACE=S△ABC－S △BEC，S △ABD=S△ABC－S △BCD， ∴S△ACE=S△ABD。
又由（1）知△ABD∽△ACE，∴对应边之比等于1。 ∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形。
考点：圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。
分析：（1）利用圆周角定理得出∠EBD=∠ECD，再利用∠A=∠A，得出△ABD∽△ACE。 （2）根据△BEC与△BDC的面积相等，得出S △ACE=S△ABD，进而求出AB=AC，得出答案。
【例】如图，AE 切⊙O 于点E ，AT 交⊙O 于点M
，N ，线段OE 交AT 于点C ，OB ⊥AT 于点B ，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2． （1）求∠COB 的度数； （2）求⊙O 的半径R ； （3）点F 在⊙O 上（是劣弧），且EF=5，把△OBC 经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E ，F 重合．在EF 的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O 上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC 的周长之比．
考点： 切线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；平移的性质；旋转的
性质；相似三角形的判定与性质。 专题： 计算题。 分析： （1）由AE 与圆O 相切，根据切线的性质得到AE 与CE 垂直，又OB 与AT 垂直，
可得出两直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEC 与三角形OBC 相似，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与∠A 相等，由∠A 的度数即可求出所求角的度数；
（2）在直角三角形AEC 中，由AE 及tanA 的值，利用锐角三角函数定义求出CE 的长，再由OB 垂直于MN ，由垂径定理得到B 为MN 的中点，根据MN 的长求出MB 的长，在直角三角形OBM 中，由半径OM=R，及MB 的长，利用勾股定理表示出OB 的长，在直角三角形OBC 中，由表示出OB 及cos30°的值，利用锐角三角函数定义表示出OC ，用OE ﹣OC=EC列出关于R 的方程，求出方程的解得到半径R 的值； （3）把△OBC 经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E ，F 重合．在EF 的同一侧，这样的三角形共有6个，如图所示，每小图2个，顶点在圆上的三角形，延长EO 与圆交于点D ，连接DF ，由第二问求出半径，的长直径ED 的长，根据ED 为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到三角形EFD 为直角三角形，由∠FDE 为30°，利用锐角三角函数定义求出DF 的长，表示出三角形EFD 的周长，再由第二问求出的三角形OBC 的三边表示出三角形BOC 的周长，即可求出两三角形的周长之比． 解答： 解：（1）∵AE 切⊙O 于点E ，
∴AE ⊥CE ，又OB ⊥AT ， ∴∠AEC=∠CBO=90°， 又∠BCO=∠ACE ， ∴△AEC ∽△OBC ，又∠A=30°， ∴∠COB=∠A=30°；
（2）∵AE=3
，∠A=30°，
，即EC=AEtan30°=3，
，
∴在Rt △AEC 中，tanA=tan30°
=
∵OB ⊥MN ，∴B 为MN 的中点，又MN=2∴MB=MN=
，
连接OM ，在△MOB 中，OM=R，MB=∴OB==， 在△COB 中，∠BOC=30°， ∵cos ∠BOC=cos30°
=∴BO=∴OC=
OC ， OB=
，
=
，
，
又OC+EC=OM=R， ∴
R=
2
+3，
整理得：R +18R﹣115=0，即（R+23）（R ﹣5）=0， 解得：R=﹣23（舍去）或R=5， 则R=5；
（3）在EF 同一侧，△COB 经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有6个， 如图，每小图2个，顶点在圆上的三角形，如图所示：
延长EO 交圆O 于点D ，连接DF ，如图所示， ∵EF=5，直径ED=10，可得出∠FDE=30°， ∴FD=5，
则C △EFD =5+10+5=15+5， 由（2）可得C △COB =3+， ∴C △EFD ：C △COB =（15+5）：（3+）=5：1． 点评： 此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含30°直
角三角形的性质，平移及旋转的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键． 【例】如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，CF ⊥AF ，且CF=CE． （1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）若sin ∠BAC=，求
的值．
考点： 切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。 分析： （1）首先连接OC ，由CD ⊥AB ，CF ⊥AF ，CF=CE，即可判定AC 平分∠BAF ，由圆
周角定理即可得∠BOC=2∠BAC ，则可证得∠BOC=∠BAF ，即可判定OC ∥AF ，即可证得CF 是⊙O 的切线；
（2）由垂径定理可得CE=DE，即可得S △CBD =2S△CEB ，由△ABC ∽△CBE ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，易求得△CBE 与△ABC 的面积比，继而可求得
的值．
解答： （1）证明：连接OC ．
∵CE ⊥AB ，CF ⊥AF ，CE=CF， ∴AC 平分∠BAF ，即∠BAF=2∠BAC ． ∵∠BOC=2∠BAC ， ∴∠BOC=∠BAF ． ∴OC ∥AF ． ∴CF ⊥OC ． ∴CF 是⊙O 的切线．
（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ， ∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°． ∴S △CBD =2S△CEB ，∠BAC=∠BCE ， ∴△ABC ∽△CBE ．
∴∴
==
．
=（sin ∠BAC ）=
2
=．
点评： 此题考查了切线的判定、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知
识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
【例】如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD 交AC 于点E ． （1）求证：△ADE ∽△BCE ；
2
（2）如果AD =AE•AC，求证：CD=CB．
考点： 圆周角定理；相似三角形的判定与性质。 专题： 证明题。 分析： （1）由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠B ，又由对顶
角相等，可证得：△ADE ∽△BCE ；
（2）由AD =AE•AC，可得
2
，又由∠A 是公共角，可证得△ADE ∽△ACD ，又
由AC 是⊙O 的直径，以求得AC ⊥BD ，由垂径定理即可证得CD=CB． 解答： （1）证明：如图∵∠A 与∠B 是对的圆周角，
∴∠A=∠B ，
又∵∠1=∠2， ∴△ADE ∽△BCE ；
（2）证明：如图，
2∵AD =AE•AC， ∴
，
又∵∠A=∠A ， ∴△ADE ∽△ACD ， ∴∠AED=∠ADC ， 又∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ADC=90°， 即∠AED=90°， ∴直径AC ⊥BD ， ∴CD=CB．
点评： 此题考查了圆周角定理、垂径定理一相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意
数形结合思想的应用．
【例】如图，点A ．B ．C 分别是⊙O 上的点，∠B=60°，AC=3，CD 是⊙O 的直径，P 是CD 延长线上的一点，且AP=AC． （1）求证：AP 是⊙O 的切线； （2）求PD 的长．
考点：切线的判定；圆周角定理；解直角三角形。 解答：（1）证明：连接OA ． ∵∠B=60°， ∴∠AOC=2∠B=120°， 又∵OA=OC， ∴∠ACP=∠CAO=30°， ∴∠AOP=60°， ∵AP=AC， ∴∠P=∠ACP=30°， ∴∠OAP=90°， ∴OA ⊥AP ， ∴AP 是⊙O 的切线， （2）解：连接AD ． ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠CAD=90°， ∴AD=AC•tan30°=3×
=
，
∵∠ADC=∠B=60°， ∴∠PAD=∠ADC ﹣∠P=60°﹣30°， ∴∠P=∠PAD ， ∴PD=AD=．
【例】如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AD 垂直于过点C 的切线，垂足为D ． (1) 求证：AC 平分BAD ；
(2) 若AC ＝2，CD ＝2，求⊙O 的直径．
考点： 切线的性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。 专题： 计算题。
分析： (1) 连接OC ，根据切线的性质判断出AD ∥OC ，得到∠DAC ＝∠OCA ，再根据OA
＝OC 得到∠OAC ＝∠OCA ， 可得AC 平分∠BAD ．
(2) 连接BC ，得到△ADC ∽△ACB ，根据相似三角形的性质即可求出AB 的长．
解答： 解：(1) 如图：连接OC ，
∵DC 切⊙O 于C ， ∴AD ⊥CD ，
∴∠ADC ＝∠OCF ＝90°， ∴AD ∥OC ，
∴∠DAC ＝∠OCA ， ∵OA ＝OC ，
∴∠OAC ＝∠OCA ， 即AC 平分∠BAD ．
(2) 连接BC ． ∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°＝∠ADC ， ∵∠OAC ＝∠OCA ， ∴△ADC ∽△ACB ，
∴
，
，CD ＝2，
在Rt △ADC 中，AC ＝2∴AD ＝4， ∴∴AB ＝5．
，
点评： 本题考查了切线的性质、角平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，
是一道综合性较强的题目，作出相应辅助线是解题的关键．
【例】如图，点A ，E 是半圆周上的三等分点，直径BC=2，AD ⊥BC ，垂足为D ，连接BE 交AD 于F ，过A 作AG ∥BE 交BC 于G ． （1）判断直线AG 与⊙O 的位置关系，并说明理由． （2）求线段AF 的长．
考点： 切线的判定；等边三角形的判定与性质；垂径定理；解直角三角形。 专题： 计算题；证明题。
分析： （1）求出弧AB=弧AE=弧EC ，推出OA ⊥BE ，根据AG ∥BE ，推出OA ⊥AG ，根据
切线的判定即可得出答案；
（2）求出等边三角形AOB ，求出BD 、AD 长，求出∠EBC=30°，在△FBD 中，通过解直角三角形求出DF 即可．
解答： 解：（1）直线AG 与⊙O 的位置关系是AG 与⊙O 相切，
理由是：连接OA ，
∵点A ，E 是半圆周上的三等分点， ∴弧AB=弧AE=弧EC ， ∴点A 是弧BE 的中点， ∴OA ⊥BE ， 又∵AG ∥BE ， ∴OA ⊥AG ， ∴AG 与⊙O 相切．
（2）∵点A ，E 是半圆周上的三等分点， ∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°， 又∵OA=OB， ∴△ABO 为正三角形， 又∵AD ⊥OB ，OB=1， ∴BD=OD=，AD=
，
又∵∠EBC=∠EOC=30°，
在Rt △FBD 中，FD=BD•tan∠EBC=BD•tan30°=
，
∴AF=AD﹣
DF=答：AF 的长是
﹣．
=．
点评： 本题考查了解直角三角形，垂径定理，切线的判定等知识点的应用，能运用定理进行推理和计算是解此题的关键，注意：垂径定理和解直角三角形的巧妙运用，题目比较好，难度也适中．
【例】如图，在⊙O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，AC=AB，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过点C 作直线PB 的垂线CD 交PB 于D 点．
（1）如图1，求证：△PCD ∽△ABC ； （2）当点P 运动到什么位置时，△PCD ≌△ABC ？请在图2中画出△PCD 并说明理由； （3）如图3，当点P 运动到CP ⊥AB 时，求∠BCD 的度数．
考点： 圆周角定理；全等三角形的性质；垂径定理；相似三角形的判定。 专题： 几何综合题。 分析： （1）由AB 是⊙O 的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由
PD ⊥CD ，可得∠D=∠ACB ，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠P ，根据有两角对应相等的三角形相似，即可判定：△PCD ∽△ABC ； （2）由△PCD ∽△ABC ，可知当PC=AB时，△PCD ≌△ABC ，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得； （3）由∠ACB=90°，AC=AB，可求得∠ABC 的度数，然后利用相似，即可得∠PCD 的度数，又由垂径定理，求得=而求得答案．
解答： （1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°， ∵PD ⊥CD ， ∴∠D=90°， ∴∠D=∠ACB ，
，然后利用圆周角定理求得∠ACP 的度数，继
∵∠A 与∠P 是对的圆周角， ∴∠A=∠P ， ∴△PCD ∽△ABC ；
（2）解：当PC 是⊙O 的直径时，△PCD ≌△ABC ， 理由：∵AB ，PC 是⊙O 的半径， ∴AB=PC， ∵△PCD ∽△ABC ， ∴△PCD ≌△ABC ；
（3）解：∵∠ACB=90°，AC=AB， ∴∠ABC=30°， ∵△PCD ∽△ABC ， ∴∠PCD=∠ABC=30°， ∵CP ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径， ∴
=
，
∴∠ACP=∠ABC=30°， ∴∠BCD=∠AC ﹣∠ACP ﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°．
点评： 此题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定
与性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．
（第二讲）【例】如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AC 于点D ，过点A 作⊙O 的切线AP ，AP 与OD 的延长线交于点P ，连接PC 、BC ．
（1）猜想：线段OD 与BC 有何数量和位置关系，并证明你的结论． （2）求证：PC 是⊙O 的切线．
考点： 切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；圆周角定理。 分析： （1）根据垂径定理可以得到D 是AC 的中点，则OD 是△ABC 的中位线，根据三角
形的中位线定理可以得到OD ∥BC ，CD=BC ；
（2）连接OC ，设OP 与⊙O 交于点E ，可以证得△OAP ≌△OCP ，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC ⊥PC ，即可等证．
解答： （1）猜想：OD ∥BC ，CD=BC ．
证明：∵OD ⊥AC ，
∴AD=DC ∵AB 是⊙O 的直径， ∴OA=OB…2分 ∴OD 是△ABC 的中位线， ∴OD ∥BC ，OD=BC
（2）证明：连接OC ，设OP 与⊙O 交于点E ． ∵OD ⊥AC ，OD 经过圆心O ， ∴，即∠AOE=∠COE 在△OAP 和△OCP 中， ∵OA=OC，OP=OP， ∴△OAP ≌△OCP ， ∴∠OCP=∠OAP ∵PA 是⊙O 的切线， ∴∠OAP=90°． ∴∠OCP=90°，即OC ⊥PC ∴PC 是⊙O 的切线．
点评： 本题考查了切线的性质定理以及判定定理，三角形的中位线定理，证明圆的切线的
问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．
圆的证明
题型一 圆的切线证明及做弦心距与半径辅助线的做法 思路导航
判定切线的方法：
（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。
常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；
总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化, 要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线. 例：
a. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，AD ∥OC 交⊙O 于D 点，求证：CD 为⊙O 的切线.
b. 如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O ，交斜边AC 于D ，点E 为BC 的中点，连结DE ，求证：DE 是⊙O 的切线.
c. 如图，以等腰△ABC 的一腰为直径作⊙O ，交底边BC 于D ，交另一腰于F ，若DE ⊥AC 于E （或E 为CF 中点），求证：DE 是⊙O 的切线.
d. 如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAF ，交⊙O 于点E ，过点E 作直线ED ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C ，求证：CD 是⊙O 的切线.
A
B 作弦心距 连半径（与半径和弦有关的简单计算、已知圆中有切线的有关计算和证明时，常作辅助线的方法是连半径） 既作弦心距又连半径（与半径和弦都有关的计算时，常作辅助线的方法是既作弦心距又连半径，利用勾股定理来解决） 典题精练
【例】如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，点E 在⊙O 外，∠EAC=∠D=60°． （1）求∠ABC 的度数； （2）求证：AE 是⊙O 的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC 的长．
考点：切线的判定；圆周角定理；弧长的计算。 解答：解：（1）∵∠ABC 与∠D 都是弧AC 所对的圆周角， ∴∠ABC=∠D=60°； （2）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°． ∴∠BAC=30°， ∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°， 即BA ⊥AE ，
∴AE 是⊙O 的切线； （3）如图，连接OC ， ∵OB=OC，∠ABC=60°， ∴△OBC 是等边三角形， ∴OB=BC=4，∠BOC=60°， ∴∠AOC=120°， ∴劣弧AC 的长为
．
【例】如图1，AB 为⊙Ｏ的直径，PQ 切⊙Ｏ于T ，AC ⊥PQ 于C ，交⊙Ｏ于D ，AD=2，TC=. 求⊙Ｏ的半径。
解：过点O 作OM ⊥AC 于M ，∴AM=MD=AD/2=1.
∵PQ 切⊙Ｏ于T ，
∴OT ⊥PQ ．又∵AC ⊥PQ ，OM ⊥AC ， ∴∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，
∴四边形OTCM 为矩形．∴OM=TC=，
∴在Rt △AOM 中，AO =2．
图1
即⊙Ｏ的半径为2．
【例】如图2，已知在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点.
求证：AC=BD. 证明：过点O 作OE ⊥AB 于E ，则AE=BE，CE=DE，
Ｏ
∴AE-CE=BE-DE.
∵AC=AE-CE，BD=BE-DE. ∴AC=BD. 图2
【例】如图，在同一平面内，有一组平行线l 1、l 2、l 3，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O 在直线l 1上，⊙O与直线l 3的交点为A 、B ，AB=12，求⊙O的半径．
答案：解：过点O 作OD⊥AB，垂足为点D ，连接OA 。
∵AB=12，∴AD=
11
AB=×12=6。 22
∵相邻两条平行线之间的距离均为4，∴OD=8。 在Rt△AOD中，∵AD=6，OD=8， ∴OA ==10。
答：⊙O的半径为10。
考点：垂径定理，平行线之间的距离，勾股定理。 分析：过点O 作OD⊥AB，由垂径定理可知AD=
1
AB ，再根据相邻两条平行线之间的距离均为4可知OD=8，2
在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出OA 的长。
【例】如图3，⊙O 的直径CD=20cm，直线l ⊥CO ，垂足为H ，交⊙O 于A 、B 两点，AB=16 cm，直线l 平移多少厘米时能于⊙O 相切？
解：连接OA ，
∵l ⊥CO ，∴OC 平分AB ∴AH=8cm.
C 2222
在Rt △AHO 中，OH=AO -AH =-8=6cm.
∴CH=4cm，DH=16 cm.
答：直线l 向左平移4cm ，或向右平移16cm 时能于⊙O 相切。
l 图3
【例】如图4，PA 是⊙O 的切线，切点是A ，过点A 作AH ⊥OP 于点H ，交⊙O 于点B.
求证：PB 是⊙O 的切线.
证明：连接OA 、OB.
∵PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP=90°. P
∵OA=OB，AB ⊥OP ，∴∠AOP=∠BOP. 又∵OA=OB，OP=OP，∴△AOP ≌△BOP.
∴∠OPB=∠OAP=90°.
图
4 ∴PB 是⊙O 的切线.
【例】直径为52厘米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图5，若油最大深度为16厘米. 那么油面宽度AB 的长是多少厘米？
解：连接OA ，作OC ⊥AB 于C ，则AC=BC=
在Rt △OAC 中，OA=
1
AB. 2
O
1
×52=26厘米，OC=26-16=10厘米， 2
图5
【例】如图，在⊙O中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，∠CAB=40°，∠APD=65°． （1）求∠B的大小；
（2）已知AD=6，求圆心O 到BD 的距离．
∴AC=OA 2-OC 2=∴AB=2AC=48厘米.
262-102=24厘米.
答案：解：（1）∵∠APD=∠C+∠CAB，∠CAB=40°，∠APD=65°，
∴∠C=65°﹣40°=25°。 ∴∠B=∠C=25°。
（2）过点O 作OE⊥BD于E ，则DE=BE，
又∵AO=BO，∴OE=
11
AD=×6=3。 22
∴圆心O 到BD 的距离为3。
考点：圆周角定理，三角形外角性质，垂径定理，三角形中位线定理。 分析：（1）根据圆周定理以及三角形外角求出即可。
（2）利用三角形中位线定理得出OE=
1
AD，即可得出答案。 2
【例】如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，O 是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆与AB 边相切于点D ，与AC 、BC 边分别交于点E 、F 、G ，连接OD ，已知BD=2，AE=3，tan ∠BOD=． （1）求⊙O 的半径OD ； （2）求证：AE 是⊙O 的切线； （3）求图中两部分阴影面积的和．
． （1）求证：DP 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为3cm ，求图中阴影部分的面积．
BA 的延长线于点E ．
（1）求证：CD 为⊙O 的切线； （2）若BD 的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
，AM=2，AE=
（1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）求
的长．
考点：切线的判定；勾股定理的逆定理；弧长的计算；解直角三角形． 分析：（1）欲证明BC 是⊙O 的切线，只需证明OB ⊥BC 即可； （2）首先，在Rt △AEM 中，根据特殊角的三角函数值求得∠A=30°； 其次，利用圆心角、弧、弦间的关系、圆周角定理求得∠BON=2∠A=60°，由三角形函数的定义求得ON=
=
；
计算
的长．
最后，由弧长公式l=
解答：（1）证明：如图， ∵ME=1，AM=2，AE=，
222∴ME +AE=AM=4， ∴△AME 是直角三角形，且∠AEM=90°． 又∵MN ∥BC ， ∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB ⊥BC ． 又∵OB 是⊙O 的半径， ∴BC 是⊙O 的切线；
（2）解：如图，连接ON ． 在Rt △AEM 中，sinA=∴∠A=30°． ∵AB ⊥MN ，
∴=，EN=EM=1， ∴∠BON=2∠A=60°． 在Rt △OEN 中，sin ∠EON=∴ON=∴
的长度是：
=
， •
=
．
， =
1
， 2
点评：本题综合考查了切线的判定与性质、勾股定理的逆定理，弧长的计算，解直角三角形等．要证某线
是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
【例】如图1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB ，如图2所示，量得连杆OA 长为10cm ，雨刮杆AB 长为48cm ，∠OAB =120°．若启动一次刮雨器，雨刮杆AB 正好扫到水平线CD 的位置，如图3所示．
（1）求雨刮杆AB 旋转的最大角度及O 、B 两点之间的距离；（结果精确到0.01） （2）求雨刮杆AB 扫过的最大面积．（结果保留π的整数倍）
（参考数据：sin60°=
31
，cos60°=，tan60°=，≈26.851，可使用科学计算器）
22
答案：解：（1）雨刮杆AB 旋转的最大角度为180° ．
连接OB ，过O 点作AB 的垂线交BA 的延长线于EH ， ∵∠OAB =120°， ∴∠OAE =60° 在Rt △OAE 中，
∵∠OAE =60°，OA =10，
∴sin ∠OAE =
OE OE
=， OA 10
∴OE =5， ∴AE =5.
∴EB =AE +AB =53， 在Rt △OEB 中， ∵OE =5，EB =53，
∴OB =OE BE =2884=2≈53.70；
（2）∵雨刮杆AB 旋转180°得到CD ，即△OCD 与△OAB 关于点O 中心对称， ∴△BAO ≌△OCD ，∴S △BAO =S△OCD ， ∴雨刮杆AB 扫过的最大面积S =
2
2
1
π(OB 2－OA 2) 2
=1392π.
考点剖析： 本题考查的是解直角三角形的应用，以及扇形面积的求法，难点是考生缺乏生活经验，弄不懂题意（提供的实物图也不够清晰，人为造成一定的理解困难）．
解题思路： 将实际问题转化为数学问题，（1）AB 旋转的最大角度为180°；在△OAB 中，已知两边及其夹角，可求出另外两角和一边，只不过它不是直角三角形，需要转化为直角三角形来求解，由∠
OAB =120°想到作AB 边上的高，得到一个含60°角的Rt △OAE 和一个非特殊角的Rt △OEB . 在Rt △OAE 中，已知∠OAE =60°，斜边OA =10，可求出OE 、AE 的长，进而求得Rt △OEB 中EB 的长，再由勾股定理求出斜边OB 的长；（2）雨刮杆AB 扫过的最大面积就是一个半圆环的面积（以OB 、OA 为半径的半圆面积之差）.
方法规律： 将斜三角形转化为直角三角形求解. 在直角三角形中，已知两边或一边一角都可求出其余的量. 关键词： 刮雨器 三角函数 解直角三角形 中心对称 扇形的面积
题型二 切线证明与构造相似三角形、直角三角形与等边三角形辅助线的做法
连弦构造相似三角形或直角三角形（在圆中与弦或其他有关的计算或证明时，常作辅助线的方法是连弦，利用同弧所对的圆周角相等连弦构造相似三角形或利用直径所对的圆周角为直角这个性质连弦构造出直角三角形，从而将问题转化到相似三角形或直角三角形中去计算或证明）
作直径构造直角三角形（在圆中牵涉到三角函数的运算或与直径的计算与证明时，常作辅助线的方法是作直径，利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，从而将问题转化到直角三角形中去解决）
【例】如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N ，点M 在⊙O上，∠1=∠C
（1）求证：CB∥MD； （2）若BC=4，sinM=
2
，求⊙O的直径．
3
答案：解：（1）证明：∵∠C与∠M是BD 所对的圆周角，∴∠C=∠M。
又∵∠1=∠C，∴∠1=∠M。∴CB∥MD。 （2）连接AC ，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°。
又∵CD⊥AB，∴BC =BD 。∴∠A=∠M。∴sinA=sinM。在
Rt△ACB中，sinA=直径为6。
考点：圆周角定理，平行的判定，垂径定理；锐角三角函数定义。
分析：（1）由∠C与∠M是BD 所对的圆周角，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠C=∠M，又由∠1=∠C，易得∠1=∠M，即可判定CB∥MD。
（2）连接AC ，AB 为⊙O的直径，可得∠ACB=90°，又由弦CD⊥AB，根据垂径定理的即可求得
2BC 24
，∵sinM=，BC=4，∴=。∴AB=6，即⊙O的
3AB 3AB
2
BC =BD ，从而可得∠A=∠M，又由BC=4，sinM=，即可求得⊙O的直径。
3
【例】 如图△ABC中，BC=3，以BC 为直径的⊙O交AC 于点D ，若D 是AC 中点，∠ABC=120°. （1）求∠ACB的大小； （2）求点A 到直线BC 的距离．
答案：解：（1）连接BD ，
∵以BC 为直径的⊙O交AC 于点D ，∴∠BDC=90°。 ∵D是AC 中点，∴BD是AC 的垂直平分线。 ∴AB=BC。∴∠A=∠C。
∵∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°。即∠ACB=30°。 （2）过点A 作AE⊥BC于点E ，
∵BC=3，∠ACB=30°，∠BDC=90°， ∴cos30°=
CD CD
。
=
BC 3
∵AD=CD，∴AC= ∵在Rt△AEC中，∠ACE=30°，
1∴AE =AC sin300。
2∴点A 到直线
BC 。 考点：圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，匀角三角函数定义，特殊角的三角函数值。11928 分析：（1）根据垂直平分线的性质得出AB=BC，从而得出∠A=∠C=30°即可。
（2）根据BC=3，∠ACB=30°，∠BDC=90°，得出CD 的长，从而求出AE 的长度即可。
【例】 如图，在△ABC 中，∠ACB=90， E为BC 上一点，以CE 为直径作⊙O,AB 与⊙O 相切于点D ，连接CD, 若BE=OE=2.
（1）求证：∠A=2∠DCB ；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）.
解析： (1)证明：连接OD. ∵AB 与⊙O 相切于点D , ∴∠ODB =90o ，∴∠B +∠DOB =90o .
[来源:学+科+网Z+X+X+K]
o
A
D
C
O
E
B
∵∠ACB =90o , ∴∠A +∠B =90o , ∴∠A =∠DOB ∵OC=OD, ∴∠DOB =2∠DCB . ∴∠A =2∠DCB
(2)方法一：在R t △ODB 中，OD =OE,OE=BE
OD 1
= OB 2
∴∠B =30o , ∠DOB =60o „„6分
1.c Om
∴ sin ∠B =
∵ BD =OB ⋅sin60=
o
11
=OD DB =⨯2⨯= DOB
2260π⋅OD 22
=π S 扇形ODE =
3603
2
S 阴影=S D OB -S 扇形O DE =π
3
∴S
BE=OE=2 方法二：连接DE, 在R t △ODB 中，∵∴DE =
1
OB =OE , 2
o
∵OD=OE, ∴△DOE 为等边三角形，即∠DOB =60
【例】如图，已知⊙O 的半径为4，CD 是⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，B
为CD 延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．
（1）求证：AB 为⊙O 的切线；
（2）求弦AC 的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
D ，AD 交⊙O 于E ，连接CE 。
（1）判断CD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若E 是 的中点，⊙O 的半径为1，求图中阴影部分的面积。
解（1）直线CD 与⊙O 相切。 证明：连结AC ，OA=OC， ∠OAC=∠OCA ，
AC 平分∠DAB ，∠DAC=∠OAC ， ∠DAC=∠OCA ，AD//OC，AD ⊥CD ，OC ⊥CD ，CD 与⊙O （2）连结OE ，， 点E 是 的中点， ，∠DAC=∠ECA （相等的弧所对的圆周角相等），
∠DAC=∠OAC （（1）中已证），∠ECA=∠OAC ，CE//OA，AD//OC， 四边形AOCE 是平行四边形，CE=OA，AE=OC， OA=OC=OE=1， OC=OE=CE=OA=AE=1，四边形AOCE 是菱形，△OCE 是等边三角形， ∠OCE=60º，∠OCD=90º，∠DCE=∠OCD-∠OCE=90º-60º=30º，
113
AD ⊥CD ，在Rt △DCE 中，ED= CE = ,DC=cos30º•CE= ,
222
CE 弧与CE 弦所围成部分的面积 = AE弧与AE 弦所围成部分的面积，
11133
S 阴影=S△DCE =•ED •DC=× × = 222283
。 8
【例】在⊙O中，直径AB⊥CD于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F, 且CF⊥AD.
答：图中阴影部分的面积为求∠D的度数.
相切。
答案：解：连接BD 。
∵AB ⊙O 是直径，∴BD ⊥AD 。
又∵CF ⊥AD ，∴BD ∥CF 。∴∠BDC=∠C 。 又∵∠BDC=
11
∠BOC ，∴∠C=∠BOC 。 22
∵AB ⊥CD ，∴∠C=30°。∴∠ADC ＝60°。
考点：圆周角定理，平行线的判定和性质，三角形内角和定理。
分析：连接BD ，根据平行线的判定和性质可得：BD∥CF，则∠BDC=∠C，根据圆周角定理可得 ∠BDC=
11
∠BOC，则∠C=∠BOC，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解。 22
【例】如图，⊙O的半径为17cm ，弦AB∥CD，AB ＝30cm ，CD ＝16cm ，圆心O 位于AB 、CD
的上方，求
AB
和
CD 间的距离．
答案：解：分别作弦AB 、CD 的弦心距，设垂足为E 、F ，连接OA ，OC 。
∵AB=30，CD=16，∴AE=
11
AB=15，CF=CD=8。 22
又∵⊙O的半径为17，即OA=OC=17。
∴在Rt△AOE
中，OE 8。 在Rt△OCF
中，OF =15。 ∴EF=OF－OE=15－8=7。 答：AB 和CD 的距离为7cm 。
考点：垂径定理，勾股定理。
分析：分别作弦AB 、CD 的弦心距，设垂足为E 、F ；由于AB∥CD，则E 、O 、F 三点共线，EF 即为AB 、CD 间的距离；由垂径定理，易求得AE 、CF 的长，可连接OA 、ODC 在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE 、OF 的长，也就求出了EF 的长，即弦AB 、CD 间的距离。
【例】如图所示，在⊙O中，AD =AC ，弦AB 与弦AC 交于点A ，弦CD 与AB 交于点F ，连接BC ． （1）求证：AC =AB•AF；
（2）若⊙O的半径长为2cm ，∠B=60°，求图中阴影部分面积．
2
答案：（1）证明：∵AD =AC ，∴∠ACD=∠ABC。
又∵∠BAC=∠CAF，∴△ACF∽△ABC。 ∴
AC AF 2
，即AC =AB•AF。 =
AB AC
（2）解：如图，连接OA ，OC ，过O 作OE⊥AC，垂足为点E ，
∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°。 又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE=
1
×120°=60°。 2
在Rt△AOE中，OA=2， OE=OAcos60°=1
∴
∴S 阴影=S 扇形OAC -S ∆AOC
120⋅π⋅2214=-⋅1=πcm 2。
36023
)
考点：圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。
分析：（1）由AD =AC ，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF∽△ABC，根据相似得比例可得证。
（2）连接OA ，OC ，过O 作OE 垂直于AC ，垂足为点E ，由扇形AOC 的面积﹣△AOC的面积表示出阴影部分的面积，利用等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义求出各线段长即可。 【例】如图，AB 是⊙O的直径，AC 是弦．
（1）请你按下面步骤画图（画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）； 第一步，过点A 作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D ； 第二步，过点D 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点E ． 第三步，连接BD ． （2）求证：AD =AE•AB；
（3）连接EO ，交AD 于点F ，若5AC=3AB，求
2
EO
的值．
FO
答案：解：（1）如图；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°。
又∵DE⊥AC，∴∠AED=90°。
∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB。∴Rt△ADE∽Rt△ABD。 ∴AD：AB=AE：AD ，∴AD=AE•AB。
（3）如图，连接OD 、BC ，它们交于点G ，
∵5AC=3AB，即AC ：AB=3：5，∴不妨设AC=3x，AB=5x， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。∴∠ECG=90°。
2
又∵∠CAD=∠DAB，∴DC=DB。∴OD垂直平分BC 。 ∴OD∥AE，OG=
13
AC=x 。∴四边形ECGD 为矩形。 2253
x －x =x。∴AE=AC+CE=3x+x=4x。 22
5
x=8：5。 2
∴CE=DG=OD－OG=
∵AE∥OD，∴△AEF∽△DOF。∴AE：OD=EF：OF ，∴EF：OF=4x：
∴
EO 8+513
==。 FO 55
考点：圆的综合题，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，矩形的判定和性质。 分析：（1）根据基本作图作出∠BAC的角平分线AD 交⊙O于点D ；点D 作AC 的垂线，垂足为点E 。
（2）根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，DE⊥AC，则∠AED=90°，又由AD 平分∠CAB
得到∠CAD=∠DAB，根据相似三角形的判定得到Rt△ADE∽Rt△ABD，根据相似的性质得到AD ：AB=AE：AD ，利用比例的性质即可得到AD =AE•AB。
（3）连接OD 、BC ，它们交于点G ，由5AC=3AB，则不妨设AC=3x，AB=5x，根据直径所对的
圆周角为直角得到∠ACB=90°，由∠CAD=∠DAB得到DC=DB，根据垂径定理的推论得到OD 垂直平分BC ，则有OD∥AE，OG=
2
13
AC=x ，并且得到四边形ECGD 为矩形，则可求出CE ，从而计算出AE ，利用AE∥OD22
5
2
EO
的FO
可得到△AEF∽△DOF，则AE ：OD=EF：OF ，即EF ：OF=4x：x=8：5，然后根据比例的性质即可得到值。
题型三 其他辅助线的做法和涉及计算 思路导航
作公共弦或连心线（在解答有关两圆相交的问题时，常作辅助线的方法是作公共弦或连心线，利用连心线垂直平分两圆的公共弦和连心线可沟通圆心距、公共弦、两圆半径之间的关系这特点来解决问题）
作公切线（在解答有关两圆相切的问题时，常作辅助线的方法是做两圆的公切线，它是连接两圆的桥梁，可使两圆的圆周角发生联系，尤其是弦切角定理的应用） 与圆有关的计算：
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：
（1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数.
（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。
（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
典型基本图型：
图形1：如图1：AB 是⊙O 的直径，点E 、C 是⊙O 上的两点，基本结论有： （1）在“AC 平分∠BAE ”；“AD ⊥CD ”；“DC 是⊙O 的切线”三个论断中，知二推一。
图形2：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ACB =90°。点O 是AC 上一点，以OC 为半径作⊙O 交AC 于点E ，基本结论有：
图1
（1）在“BO 平分∠CBA ”; “BO ∥DE ”; “AB 是⊙O 的切线”; “BD=BC”。四个论断中，知一推三。 （2）在图（1）中的线段BC 、CE 、AE 、AD 中，知二求四。 （3）如图（3），若①BC=CEAE 1
==tan ∠ADE ；③BC ：AC ：AB =3：4：5 ；（在①、②、③中AD 2
知一推二）④设BE 、CD 交于点H ，, 则BH=2EH
图形3：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ABC =90°, 以AB 为直径作⊙O 交AC 于D ，如右图：（1）DE 切⊙O ⇔E 是BC 的中点； （2）若DE 切⊙O ，则：①DE=BE=CE； 图形特殊化：在（1）的条件下
A 如图1：DE ∥AB ⇔⊿ABC 、⊿CDE 是等腰直角三角形；
图形4：如图，⊿ABC 中，AB=AC，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交AC 于点F ， 基本结论有：
（1）DE ⊥AC ⇔DE 切⊙O ；
（2）在DE ⊥AC 或DE 切⊙O 下，有：①⊿DFC 是等腰三角形；
②EF=EC；③D 是 BF 的中点。④与基本图形1的结论重合。 ⑤连AD ，产生母子三角形。
A
图形5：：以直角梯形ABCD 的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ， 基本结论有：
B
（
1）如图1：①AD+BC＝CD ； ②∠COD =∠AEB =90°； ③OD 平分∠ADC （或OC 平分∠BCD ）；（注：在①、②、③及④“CD 是⊙O 的切线”四个论断中，知一推三）
④AD·BC ＝
1
AB 2=R 2； 4
（2）如图2，连AE 、CO ，则有：CO ∥AE ，CO •AE =2R 2(与基本图形2重合) （3）如图3，若EF ⊥AB 于F ，交AC 于G ，则：EG =FG .
图形6：如图：直线PR ⊥⊙O 的半径OB 于E ，PQ 切⊙O 于Q ，BQ 交直线PQ 于R 。 基本结论有：
（1）PQ=PR (⊿PQR 是等腰三角形) ；
（2）在“PR ⊥OB ”、“PQ 切⊙O ”、“PQ=PR”中，知二推一 （3）2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB2
图形7：如图，⊿ABC 内接于⊙O ，I 为△ABC 的内心。基本结论有： （
1）如图1，①BD=CD=ID；②DI 2＝DE·DA ；
③∠AIB =90°+
1
∠ACB ; 2
（2）如图2，若∠BAC =60°，则：BD+CE=BC.
图1
图形8：已知，AB 是⊙O 的直径，C 是 BG 中点，CD ⊥AB 于D 。BG 交CD 、AC 于E 、F 。基本结论有：
图2
1
BG ；BE=EF=CE；GF=2DE 2
1
(反之，由CD =BG 或BE=EF可得：C 是
BG 中点)
21
（2）OE=AF ，OE ∥AC ；⊿ODE ∽⊿
AGF
2
（1）CD =
（3）BE·BG=BD·BA
（4）若D 是OB 的中点，则：①⊿CEF 是等边三角形；②
A
典题精练
【例】如图，圆内接四边形ABCD ，AB 是⊙O的直径，OD⊥BC于E ． （1）请你写出四个不同类型的正确结论； （2）若BE=4，AC=6，求DE ．
答案：解：（1）四个不同类型的正确结论分别为：∠ACB=90°；BE=CE；BD =CD ；OD∥AC。 （2）∵OD⊥BC，BE=4，∴BE=CE=4，即BC=2BE=8。
∵AB为圆O 的直径，∴∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，根据勾股定理得：AB=10。∴OB=5。 在Rt△OBE中，OB=5，BE=4，根据勾股定理得：OE=3。 ∴ED=OD﹣OE=5﹣3=2。
考点：垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理。
分析：（1）由AB 为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角；由OD 垂直于BC ，利用垂径定理得到E 为BC 的中点，即BE=CE，BD =CD ，由OD 垂直于BC ，AC 也垂直于BC ，利用垂直于同一条直线的两直线平行可得出OD 与AC 平行。
（2）由OD 垂直于BC ，利用垂径定理得到E 为BC 的中点，由BE 的长求出BC 的长，由AB 为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角，在Rt△ABC中，由BC 与AC 的长，利用勾股定理求出AB 的长，从而求出半径OB 与OD 的长，在Rt△BOE中，由OB 与BE 的长，利用勾股定理求出OE 的长，由OD ﹣OE 即可求出DE 的长。
【例】 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB 是⊙O的直径，D 为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E ，连接BD.
(1)求证：BD 平分∠ABC；
(2) 当∠ODB=30°时，求证：
BC=OD.
答案：证明：（1）∵OD⊥AC OD为半径，∴CD =AD 。
∴∠CBD=∠ABD。 ∴BD平分∠ABC。
（2）∵OB=OD，∠ODB=30°，∴∠OBD=∠ODB=30°。
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°。 又∵OD⊥AC于E ，∴∠OEA=90°。
∴∠A=180°－∠OEA－∠AOD=180°－90°－60°=30°。 又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°。
∴在Rt△ACB中，BC=∵OD=
1
AB 。 2
1
AB ，∴BC=OD。 2
考点：圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形内角定理和外角性质，含30角直角三角形的性质。
分析：（1）由OD⊥AC OD 为半径，根据垂径定理，即可得CD AD ，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD 平分∠ABC。
（2）由OB=OD，根据等腰三角形等边对等角的性质，求得∠AOD的度数；由OD⊥AC于E ，可求得
∠A的度数，然后由AB 是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，从而根据含30角直角三角形中30角所对直角边是斜边一半的性质，可证得BC=OD。
【例】 已知，如图10，⊙O 1和⊙O 2相交于点A 和B ，O 2O 1的延长线交⊙O 1于点C ，CA 、CB 的延长线分别和⊙O 2相交于点D 、E. 求证：AD=BE.
证明：连结AB 交O 2O 1于P 点 ，
∵O 1O 2⊥AB 且O 1O 2的平分AB ， ∴CA=CB，∴∠ACP=∠BCP ，
O 2 1 图10
∴点O 2到线段AD 、CE 的距离相等， ∴AD=BE.
【例】 如图11，已知⊙O 1与⊙O 2是等圆，它们相交于A 、B 两点，O 2在⊙01上，AC 是⊙O 2的直径，直线CB 交⊙O 1于D ，E 为AB 延长线上一点，连接DE. （1）请你连接AD ，证明：AD 是⊙O 1的直径； （2）若∠E=60°，求证：DE 是⊙O 1的切线.
证明：（1）连接AD ，
∵AD 是⊙O 1直径，
∴AB ⊥AC ，∴∠ABD=90°，
2 O ∴AD 是⊙O 1的直径.
（2）连接01O 2，
∵点O 2在⊙01上，⊙O 1与⊙O 2是等圆， ∴点01在⊙O 2上，∴AO 1=AO2=O1O 2， ∴∠O 1AO 2=60°. ∵AB 是公共弦， 图11 ∴AB ⊥O 1O 2，∴∠O 1AB=30°. ∵∠E=60°，
∴∠ADE=180°-（∠E+∠O 1AB ）=180°-（60°+30°）=90°. 由（1）知AD 是⊙O 1的直径，∴DE 是⊙O 1的切线.
【例】 如图12，已知⊙O1与⊙O2外切于点P ，⊙O2的弦AB 的延长线切⊙O1于点C ，AP 的延长线交⊙O1于点D.
求证：∠BPC=∠CPD.
A
证明：过点P 作⊙O1与⊙O2的公切线PE 交AC 于E ， C
则∠BPE =∠BAP. ∵BC 切⊙O1于点C ， · · O 2 O 1 ∴∠CPE=BCP.
∵∠BPE +∠CPE =∠BPC，∠BAP+∠BCP=∠CPD，
∴∠BPC=∠CPD.
图12
总之，在解答几何问题时，辅助线添加是非常关键的，辅助线是沟通题设和结论的桥梁，也是解答几何问题的重要手段。然而，添加辅助线则是几何学习的一个难点。因此，能正确地添加辅助线，会使问题迎刃而解，这不仅调动了学生积极性、学习兴趣，而且开发了学生的智力，掌握了解题技能和技巧，提高了解题的效率。
【例】如图，三角形ABC 的两个顶点B 、C 在圆上，顶点A 在圆外，AB 、AC 分别交圆于E 、D 两点，连结EC 、BD ．
(1)求证：ΔABD∽ΔACE ；
(2)若ΔBEC 与ΔBDC 的面积相等，试判定三角形ABC 的形状．
答案：（1）证明：∵弧ED 所对的圆周角相等，∴∠EBD=∠ECD，
又∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACE。
（2）解：△ABC为等腰三角形。理由如下：
∵S△BEC=S△BCD，S △ACE=S△ABC－S △BEC，S △ABD=S△ABC－S △BCD， ∴S△ACE=S△ABD。
又由（1）知△ABD∽△ACE，∴对应边之比等于1。 ∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形。
考点：圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。
分析：（1）利用圆周角定理得出∠EBD=∠ECD，再利用∠A=∠A，得出△ABD∽△ACE。 （2）根据△BEC与△BDC的面积相等，得出S △ACE=S△ABD，进而求出AB=AC，得出答案。
【例】如图，AE 切⊙O 于点E ，AT 交⊙O 于点M
，N ，线段OE 交AT 于点C ，OB ⊥AT 于点B ，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2． （1）求∠COB 的度数； （2）求⊙O 的半径R ； （3）点F 在⊙O 上（是劣弧），且EF=5，把△OBC 经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E ，F 重合．在EF 的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O 上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC 的周长之比．
考点： 切线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；平移的性质；旋转的
性质；相似三角形的判定与性质。 专题： 计算题。 分析： （1）由AE 与圆O 相切，根据切线的性质得到AE 与CE 垂直，又OB 与AT 垂直，
可得出两直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEC 与三角形OBC 相似，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与∠A 相等，由∠A 的度数即可求出所求角的度数；
（2）在直角三角形AEC 中，由AE 及tanA 的值，利用锐角三角函数定义求出CE 的长，再由OB 垂直于MN ，由垂径定理得到B 为MN 的中点，根据MN 的长求出MB 的长，在直角三角形OBM 中，由半径OM=R，及MB 的长，利用勾股定理表示出OB 的长，在直角三角形OBC 中，由表示出OB 及cos30°的值，利用锐角三角函数定义表示出OC ，用OE ﹣OC=EC列出关于R 的方程，求出方程的解得到半径R 的值； （3）把△OBC 经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E ，F 重合．在EF 的同一侧，这样的三角形共有6个，如图所示，每小图2个，顶点在圆上的三角形，延长EO 与圆交于点D ，连接DF ，由第二问求出半径，的长直径ED 的长，根据ED 为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到三角形EFD 为直角三角形，由∠FDE 为30°，利用锐角三角函数定义求出DF 的长，表示出三角形EFD 的周长，再由第二问求出的三角形OBC 的三边表示出三角形BOC 的周长，即可求出两三角形的周长之比． 解答： 解：（1）∵AE 切⊙O 于点E ，
∴AE ⊥CE ，又OB ⊥AT ， ∴∠AEC=∠CBO=90°， 又∠BCO=∠ACE ， ∴△AEC ∽△OBC ，又∠A=30°， ∴∠COB=∠A=30°；
（2）∵AE=3
，∠A=30°，
，即EC=AEtan30°=3，
，
∴在Rt △AEC 中，tanA=tan30°
=
∵OB ⊥MN ，∴B 为MN 的中点，又MN=2∴MB=MN=
，
连接OM ，在△MOB 中，OM=R，MB=∴OB==， 在△COB 中，∠BOC=30°， ∵cos ∠BOC=cos30°
=∴BO=∴OC=
OC ， OB=
，
=
，
，
又OC+EC=OM=R， ∴
R=
2
+3，
整理得：R +18R﹣115=0，即（R+23）（R ﹣5）=0， 解得：R=﹣23（舍去）或R=5， 则R=5；
（3）在EF 同一侧，△COB 经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有6个， 如图，每小图2个，顶点在圆上的三角形，如图所示：
延长EO 交圆O 于点D ，连接DF ，如图所示， ∵EF=5，直径ED=10，可得出∠FDE=30°， ∴FD=5，
则C △EFD =5+10+5=15+5， 由（2）可得C △COB =3+， ∴C △EFD ：C △COB =（15+5）：（3+）=5：1． 点评： 此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含30°直
角三角形的性质，平移及旋转的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键． 【例】如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，CF ⊥AF ，且CF=CE． （1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）若sin ∠BAC=，求
的值．
考点： 切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。 分析： （1）首先连接OC ，由CD ⊥AB ，CF ⊥AF ，CF=CE，即可判定AC 平分∠BAF ，由圆
周角定理即可得∠BOC=2∠BAC ，则可证得∠BOC=∠BAF ，即可判定OC ∥AF ，即可证得CF 是⊙O 的切线；
（2）由垂径定理可得CE=DE，即可得S △CBD =2S△CEB ，由△ABC ∽△CBE ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，易求得△CBE 与△ABC 的面积比，继而可求得
的值．
解答： （1）证明：连接OC ．
∵CE ⊥AB ，CF ⊥AF ，CE=CF， ∴AC 平分∠BAF ，即∠BAF=2∠BAC ． ∵∠BOC=2∠BAC ， ∴∠BOC=∠BAF ． ∴OC ∥AF ． ∴CF ⊥OC ． ∴CF 是⊙O 的切线．
（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ， ∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°． ∴S △CBD =2S△CEB ，∠BAC=∠BCE ， ∴△ABC ∽△CBE ．
∴∴
==
．
=（sin ∠BAC ）=
2
=．
点评： 此题考查了切线的判定、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知
识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
【例】如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD 交AC 于点E ． （1）求证：△ADE ∽△BCE ；
2
（2）如果AD =AE•AC，求证：CD=CB．
考点： 圆周角定理；相似三角形的判定与性质。 专题： 证明题。 分析： （1）由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠B ，又由对顶
角相等，可证得：△ADE ∽△BCE ；
（2）由AD =AE•AC，可得
2
，又由∠A 是公共角，可证得△ADE ∽△ACD ，又
由AC 是⊙O 的直径，以求得AC ⊥BD ，由垂径定理即可证得CD=CB． 解答： （1）证明：如图∵∠A 与∠B 是对的圆周角，
∴∠A=∠B ，
又∵∠1=∠2， ∴△ADE ∽△BCE ；
（2）证明：如图，
2∵AD =AE•AC， ∴
，
又∵∠A=∠A ， ∴△ADE ∽△ACD ， ∴∠AED=∠ADC ， 又∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ADC=90°， 即∠AED=90°， ∴直径AC ⊥BD ， ∴CD=CB．
点评： 此题考查了圆周角定理、垂径定理一相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意
数形结合思想的应用．
【例】如图，点A ．B ．C 分别是⊙O 上的点，∠B=60°，AC=3，CD 是⊙O 的直径，P 是CD 延长线上的一点，且AP=AC． （1）求证：AP 是⊙O 的切线； （2）求PD 的长．
考点：切线的判定；圆周角定理；解直角三角形。 解答：（1）证明：连接OA ． ∵∠B=60°， ∴∠AOC=2∠B=120°， 又∵OA=OC， ∴∠ACP=∠CAO=30°， ∴∠AOP=60°， ∵AP=AC， ∴∠P=∠ACP=30°， ∴∠OAP=90°， ∴OA ⊥AP ， ∴AP 是⊙O 的切线， （2）解：连接AD ． ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠CAD=90°， ∴AD=AC•tan30°=3×
=
，
∵∠ADC=∠B=60°， ∴∠PAD=∠ADC ﹣∠P=60°﹣30°， ∴∠P=∠PAD ， ∴PD=AD=．
【例】如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AD 垂直于过点C 的切线，垂足为D ． (1) 求证：AC 平分BAD ；
(2) 若AC ＝2，CD ＝2，求⊙O 的直径．
考点： 切线的性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。 专题： 计算题。
分析： (1) 连接OC ，根据切线的性质判断出AD ∥OC ，得到∠DAC ＝∠OCA ，再根据OA
＝OC 得到∠OAC ＝∠OCA ， 可得AC 平分∠BAD ．
(2) 连接BC ，得到△ADC ∽△ACB ，根据相似三角形的性质即可求出AB 的长．
解答： 解：(1) 如图：连接OC ，
∵DC 切⊙O 于C ， ∴AD ⊥CD ，
∴∠ADC ＝∠OCF ＝90°， ∴AD ∥OC ，
∴∠DAC ＝∠OCA ， ∵OA ＝OC ，
∴∠OAC ＝∠OCA ， 即AC 平分∠BAD ．
(2) 连接BC ． ∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°＝∠ADC ， ∵∠OAC ＝∠OCA ， ∴△ADC ∽△ACB ，
∴
，
，CD ＝2，
在Rt △ADC 中，AC ＝2∴AD ＝4， ∴∴AB ＝5．
，
点评： 本题考查了切线的性质、角平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，
是一道综合性较强的题目，作出相应辅助线是解题的关键．
【例】如图，点A ，E 是半圆周上的三等分点，直径BC=2，AD ⊥BC ，垂足为D ，连接BE 交AD 于F ，过A 作AG ∥BE 交BC 于G ． （1）判断直线AG 与⊙O 的位置关系，并说明理由． （2）求线段AF 的长．
考点： 切线的判定；等边三角形的判定与性质；垂径定理；解直角三角形。 专题： 计算题；证明题。
分析： （1）求出弧AB=弧AE=弧EC ，推出OA ⊥BE ，根据AG ∥BE ，推出OA ⊥AG ，根据
切线的判定即可得出答案；
（2）求出等边三角形AOB ，求出BD 、AD 长，求出∠EBC=30°，在△FBD 中，通过解直角三角形求出DF 即可．
解答： 解：（1）直线AG 与⊙O 的位置关系是AG 与⊙O 相切，
理由是：连接OA ，
∵点A ，E 是半圆周上的三等分点， ∴弧AB=弧AE=弧EC ， ∴点A 是弧BE 的中点， ∴OA ⊥BE ， 又∵AG ∥BE ， ∴OA ⊥AG ， ∴AG 与⊙O 相切．
（2）∵点A ，E 是半圆周上的三等分点， ∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°， 又∵OA=OB， ∴△ABO 为正三角形， 又∵AD ⊥OB ，OB=1， ∴BD=OD=，AD=
，
又∵∠EBC=∠EOC=30°，
在Rt △FBD 中，FD=BD•tan∠EBC=BD•tan30°=
，
∴AF=AD﹣
DF=答：AF 的长是
﹣．
=．
点评： 本题考查了解直角三角形，垂径定理，切线的判定等知识点的应用，能运用定理进行推理和计算是解此题的关键，注意：垂径定理和解直角三角形的巧妙运用，题目比较好，难度也适中．
【例】如图，在⊙O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，AC=AB，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过点C 作直线PB 的垂线CD 交PB 于D 点．
（1）如图1，求证：△PCD ∽△ABC ； （2）当点P 运动到什么位置时，△PCD ≌△ABC ？请在图2中画出△PCD 并说明理由； （3）如图3，当点P 运动到CP ⊥AB 时，求∠BCD 的度数．
考点： 圆周角定理；全等三角形的性质；垂径定理；相似三角形的判定。 专题： 几何综合题。 分析： （1）由AB 是⊙O 的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由
PD ⊥CD ，可得∠D=∠ACB ，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠P ，根据有两角对应相等的三角形相似，即可判定：△PCD ∽△ABC ； （2）由△PCD ∽△ABC ，可知当PC=AB时，△PCD ≌△ABC ，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得； （3）由∠ACB=90°，AC=AB，可求得∠ABC 的度数，然后利用相似，即可得∠PCD 的度数，又由垂径定理，求得=而求得答案．
解答： （1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°， ∵PD ⊥CD ， ∴∠D=90°， ∴∠D=∠ACB ，
，然后利用圆周角定理求得∠ACP 的度数，继
∵∠A 与∠P 是对的圆周角， ∴∠A=∠P ， ∴△PCD ∽△ABC ；
（2）解：当PC 是⊙O 的直径时，△PCD ≌△ABC ， 理由：∵AB ，PC 是⊙O 的半径， ∴AB=PC， ∵△PCD ∽△ABC ， ∴△PCD ≌△ABC ；
（3）解：∵∠ACB=90°，AC=AB， ∴∠ABC=30°， ∵△PCD ∽△ABC ， ∴∠PCD=∠ABC=30°， ∵CP ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径， ∴
=
，
∴∠ACP=∠ABC=30°， ∴∠BCD=∠AC ﹣∠ACP ﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°．
点评： 此题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定
与性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．
（第二讲）【例】如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AC 于点D ，过点A 作⊙O 的切线AP ，AP 与OD 的延长线交于点P ，连接PC 、BC ．
（1）猜想：线段OD 与BC 有何数量和位置关系，并证明你的结论． （2）求证：PC 是⊙O 的切线．
考点： 切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；圆周角定理。 分析： （1）根据垂径定理可以得到D 是AC 的中点，则OD 是△ABC 的中位线，根据三角
形的中位线定理可以得到OD ∥BC ，CD=BC ；
（2）连接OC ，设OP 与⊙O 交于点E ，可以证得△OAP ≌△OCP ，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC ⊥PC ，即可等证．
解答： （1）猜想：OD ∥BC ，CD=BC ．
证明：∵OD ⊥AC ，
∴AD=DC ∵AB 是⊙O 的直径， ∴OA=OB…2分 ∴OD 是△ABC 的中位线， ∴OD ∥BC ，OD=BC
（2）证明：连接OC ，设OP 与⊙O 交于点E ． ∵OD ⊥AC ，OD 经过圆心O ， ∴，即∠AOE=∠COE 在△OAP 和△OCP 中， ∵OA=OC，OP=OP， ∴△OAP ≌△OCP ， ∴∠OCP=∠OAP ∵PA 是⊙O 的切线， ∴∠OAP=90°． ∴∠OCP=90°，即OC ⊥PC ∴PC 是⊙O 的切线．
点评： 本题考查了切线的性质定理以及判定定理，三角形的中位线定理，证明圆的切线的
问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．