立体几何小题练习
1．将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是 .
2.设P,A,B,C是球O表面上的四个点，PA,PB,PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，则球的表面积为 3..已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的表面积为12π，则这个正三棱柱的体积为 。
4.如图，已知球O点面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC， AB⊥BC，DA=AB=BC=3
，则球O点体积等于
D
A
5、
体积为，则它的侧棱与底面所成角的大小为 。
3
6.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均等于1，且
C1
∠A1AB=∠A1AC=60，则该三棱柱的体积是
7.用垂直于直径的平面截球，所得的截面圆的半径为3，并且此直径的一个端点到截面的距离为3，则球的半径等于_________
C
B
（第6题）
8、正三棱锥P-ABC高为2，侧棱与底面成45角，则点A到侧面PBC的距离是
9．已知正六棱锥P-ABCDEF的底面边长为1cm，侧面积为3cm，则该棱锥的体积为cm． 10．将边长为3的正四面体以各顶点为顶点各截去(使截面平行于底面)边长为1的小正四面体，所得几何体的表面积为________ ．
11. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，将该正方体沿对角面 BB1D1D切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为______ 12. 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱
1
A
23
锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1:h2:h=
13.设A、B、C、D是半径为R的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则的最大值是____________ S∆
ABC+S∆ABD+S∆ACD
14.2，它的所有顶点在一个球面上，则此球的表面积等于
15.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=，AA1=3，M为线段BB1上的一动点，则当AM+MC1
最小时，△AMC1的面积为______。
(第17题) 16.四棱锥P-ABCD的地面ABCD为正方形，且PD垂直于地面ABCD，N是PB
上靠近P的一个三等分点，则三棱锥P-ANC与四棱锥P-ABCD的体积比为 17. 若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1内接于半径为R的半球,上底面顶点A1、B1、C1、D1在半球球面上,下底面ABCD在半球的底面上,则该正四棱柱体积的最大值为 ．
18.在直三棱柱中，AC⊥BC，AC=4,BC=CC1=2,若用平行于三棱柱A1B1C1-ABC的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小 值为 。
19..将一个长宽分别是a,b(0a
若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是 .
b20．一个半径为1的小球在一个棱长为46的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 .
21三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90，AB=BC=BB1=2， M,N分别是AB，（Ⅰ）求证： MN∥平面BCC1B1； （Ⅱ）求证：MN⊥平AC1的中点．
面A1B1C；（Ⅲ）求三棱锥M-A1B1C的体积．
'
'
'
C
22.如图，所有棱长都为2的正三棱柱BCD-BCD，四边形ABCD是菱形，其中E为BD的中点。(1) 求证：CE//面ABD；（2）求证：面ACD'⊥面BDD'； （3）求四棱锥B'-ABCD与D'-ABCD的公共部分体积.
'
'
'
''
'
C
E
A
9π0
9.
5. 60
2 8.
7311. (4+22)a2 12.
2. 3π 3. 54 4.
2 2:213. 2R2
3 16.
35VP-ACN1
R18. 24 19. (1,) 20. = 17.
VP-ABCD64 9
21. （3）由（Ⅱ）知MN是三棱锥M-A1B1C的高．在直角MNC中
，MC=,A=
，1C
∴MN=
S
14
V=MN⋅S=． =M-ABCABCA1B1C1111
33
'''
22 （2）连接AC,CD',因ABCD是菱形故有AC⊥BD又BCD-BCD为正三棱柱故有
AC⊥DD'
所以AC⊥面BDD',而AC⊆面ACD' 所以面ACD'⊥面BDD' （3）设B’D与BD’的交点为O ,由图得
四棱锥B'-ABCD与D'-ABCD的公共部分为 四棱锥O-ABCD
且易得O到下底面的距离为1，
S=2⨯1
ABCD
2
⨯2⨯2sin600=2
所以公共部分的体积为1⨯23⨯1=23
33
。
D' C'
C
A
B
立体几何小题练习
1．将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是 .
2.设P,A,B,C是球O表面上的四个点，PA,PB,PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，则球的表面积为 3..已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的表面积为12π，则这个正三棱柱的体积为 。
4.如图，已知球O点面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC， AB⊥BC，DA=AB=BC=3
，则球O点体积等于
D
A
5、
体积为，则它的侧棱与底面所成角的大小为 。
3
6.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均等于1，且
C1
∠A1AB=∠A1AC=60，则该三棱柱的体积是
7.用垂直于直径的平面截球，所得的截面圆的半径为3，并且此直径的一个端点到截面的距离为3，则球的半径等于_________
C
B
（第6题）
8、正三棱锥P-ABC高为2，侧棱与底面成45角，则点A到侧面PBC的距离是
9．已知正六棱锥P-ABCDEF的底面边长为1cm，侧面积为3cm，则该棱锥的体积为cm． 10．将边长为3的正四面体以各顶点为顶点各截去(使截面平行于底面)边长为1的小正四面体，所得几何体的表面积为________ ．
11. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，将该正方体沿对角面 BB1D1D切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为______ 12. 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱
1
A
23
锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1:h2:h=
13.设A、B、C、D是半径为R的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则的最大值是____________ S∆
ABC+S∆ABD+S∆ACD
14.2，它的所有顶点在一个球面上，则此球的表面积等于
15.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=，AA1=3，M为线段BB1上的一动点，则当AM+MC1
最小时，△AMC1的面积为______。
(第17题) 16.四棱锥P-ABCD的地面ABCD为正方形，且PD垂直于地面ABCD，N是PB
上靠近P的一个三等分点，则三棱锥P-ANC与四棱锥P-ABCD的体积比为 17. 若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1内接于半径为R的半球,上底面顶点A1、B1、C1、D1在半球球面上,下底面ABCD在半球的底面上,则该正四棱柱体积的最大值为 ．
18.在直三棱柱中，AC⊥BC，AC=4,BC=CC1=2,若用平行于三棱柱A1B1C1-ABC的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小 值为 。
19..将一个长宽分别是a,b(0a
若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是 .
b20．一个半径为1的小球在一个棱长为46的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 .
21三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90，AB=BC=BB1=2， M,N分别是AB，（Ⅰ）求证： MN∥平面BCC1B1； （Ⅱ）求证：MN⊥平AC1的中点．
面A1B1C；（Ⅲ）求三棱锥M-A1B1C的体积．
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C
22.如图，所有棱长都为2的正三棱柱BCD-BCD，四边形ABCD是菱形，其中E为BD的中点。(1) 求证：CE//面ABD；（2）求证：面ACD'⊥面BDD'； （3）求四棱锥B'-ABCD与D'-ABCD的公共部分体积.
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C
E
A
9π0
9.
5. 60
2 8.
7311. (4+22)a2 12.
2. 3π 3. 54 4.
2 2:213. 2R2
3 16.
35VP-ACN1
R18. 24 19. (1,) 20. = 17.
VP-ABCD64 9
21. （3）由（Ⅱ）知MN是三棱锥M-A1B1C的高．在直角MNC中
，MC=,A=
，1C
∴MN=
S
14
V=MN⋅S=． =M-ABCABCA1B1C1111
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22 （2）连接AC,CD',因ABCD是菱形故有AC⊥BD又BCD-BCD为正三棱柱故有
AC⊥DD'
所以AC⊥面BDD',而AC⊆面ACD' 所以面ACD'⊥面BDD' （3）设B’D与BD’的交点为O ,由图得
四棱锥B'-ABCD与D'-ABCD的公共部分为 四棱锥O-ABCD
且易得O到下底面的距离为1，
S=2⨯1
ABCD
2
⨯2⨯2sin600=2
所以公共部分的体积为1⨯23⨯1=23
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。
D' C'
C
A
B