科技信息
高校理科研究
一类微分方程组特解硇求法
南通职业大学基础课部
周彤
［摘要】对于一阶微分方程组求特解这类问题，可以利用拉普拉斯变换法将原方程组化为二元一次线性方程组：然
后用克莱姆法则和留数法求出特解。
【关键词】微分方程组特解拉普拉斯变换留数
一般教科书中，绝大多数都是求解微分方程的通解和特解，很少涉及求解微分方程组的特解。微分方程组的特解这类问题的求解相对复杂一些，可以用托普拉斯变换法去求，其基本原理为：将微分方程中的未知函数和已知函数都映射为拉普拉斯变换的像函数，这样一来，微分方程转化为很容易处理的代数方程，通过简单变形，便可求得未知函数的像函数，然后作一次拉普拉斯逆变换，就得到微分方程的特解。下面具体举个例子。
所有奇点），将三个留数相加，得ｘ（ｔ）＝Ｌ－‘Ｄ【（ｓ）】＝一｝＋半ｅＬｅ气
求ＹＯ）的像原函数的过程几乎完全相同，这里仅给出结果。‘
ｙ（ｔ）＝Ｌ－１Ⅳ（ｓ）Ｐ一了Ｉ＋｛｝ｅ～一
注意到上例中。微分方程组的两个未知函数ｘ，ｙ位置是对
称的，因此这是一种特殊类型的微分方程组，故还可以用变量代换法求解。
．
例求微分方程组｛：’－篓薹ｉ
’出满足初始条件ｘ（０）－２，
一
ｙ（ｏ）：４的特解。
一’解法一：设Ｌ［ｘ（ｔ）ｌ＝Ｘ（ａ），Ｌ［ｙ（ｔ）ｌ＝Ｙ（ｓ），对方程（１）、（２）
ｚ：ｙ－ｘ，化为ｚ’＋ｚ－ｏ，此方程为可分离变量的微分方程：其通解为
ｚ＝℃ｅ。，即Ｙ，Ｘ＝Ｃｅｑ。
由初始条件ｘ（０）＝２，ｙ（０）＝４有Ｃ＝２＇．．．ｙ－ｘ＝２ｅ４为ｚ＇－３ｚ＝２
．。
解法二：将方程（１）减去方程（２）ｍ得（ｙ—ｘ）．＋（ｙ■＝０，令
（３）
ｂＨ。卜４．２ｘ（Ｂ卜Ｙ鲈上
分别取拉普拉斯变换，１１】得｛
：，整理后为
同理方程（１）加上方程（２）得（ｙ＋ｘ）｜Ｌ３（ｙ＋ｘ）＝２，令ｚ＝ｙ＋ｘ，化
．ｆｍｎ
ｔ
１８ｘ（ｇ卜２．．Ｘ（８）一２Ｙ（ｓ）２｝
ｆ－２）《蜘（ｓ－１）Ｙ《萨上＋４
｛
，６
此方程为一阶线性微分方程，由通解公式搿…‘【Ｉ
ｅｅ…’
Ｑ（ｔ）
，
Ｉ（ｓ－１ｐ【妒２Ｙ鲈｝＋２
程组’通过消去法或克莱姆法则，不难求得其解为ｘ辨掌，祟兰＊，
８Ｌｓ—ｊ＾ｓ十ＩＪ
・’
‘
这是关于未知量）【（ｓ》，Ⅷ的＝元一次线性方
Ｊ附
删有Ｃ＿譬，
有ｚ一争＋Ｃｐ。即ｙ＋ｘ－一争＋ｃ矿。由初始条件ｘ（ｏ）＝，
（４）
．‘．ｙ＋ｘ－一｝＋譬ｅＩ
方程（３）、（４）联立方程组解得
Ｙ（Ｂ）＝≠号等芸齐，ｘ（Ｂ）和ＹＯ）都有三个一级奇点，最适合用留数
法求像凉函数，按公式Ｒｅｓ［Ｆ（ｓ）ｅ＂，ａ］ａｌｉｍ（ｓ－ａ）Ｆ（ｓ）ｅ‘求留数，
ｘ（Ｏ一｝＋孚ｅｋ一，ｙ（ｔ）一｝＋孚ｅｘ－一。
从上例我们可以看出，拉普拉斯变换法和变量代换法对于一些微分方程组求特解的题目较适用，不失为一种很好的途径。
参考文献
社．１９９５．
［２］王高雄，常微分方程［Ｍ］．北京：高等教育出版社．１９８３．
Ｒｅ附件器旨ｅ－卜｝，
娜㈣｝≮芋ｅ．１曲＝争，
Ｒ嘏将１｝≮筝，Ｌ州，
（上接第１０１页）
１
ｅ１］周正中。夏变函数与积分变换［Ｍ］，北京：高等教育出版
表２南航大实验楼３５１１房间地磁场参量测量
２５．９ｌ３．１３６．５８１．９３
２８，
３５．９２３．１３６．５９１．９３
４５．９１３．１３６．５９１．９３
５５．９１３．１３６．５９１．９２
６５．９０３．１３６．５９１．９３
平均
５．９１３．１３６．５９１．９３
结果
Ｕ庐１．３９ｍｙＢ；ｐ－＇－Ｏ．２５ｘ１Ｏ－ｑ＂
Ｕ薏－－２．３３ｍｙ
正向／ｍｙ
Ｕ，
５．９ｌ３．１３６．５９１．９３
反向，ｍｖ正向／ｍｙ
Ｕ●
反向Ｉｍｖ
Ｂ簟＝０．４３ｘｉ婀
ｐ：且磐．．５４。２６＇，＇＋５２。３０＇－５３０５３
有易操作，测量结果准确的优点。
参考文献
［１］王易易，柳明，陆申龙．测量地磁场水平分量的两种方法［１］．物理实验．２０００。２０（９）：４５－４６
Ｂｉ＝Ｂ簋ｓｉｎＢ＝０．４３ｘｌＯ－４ｘｓｉｎ５３＂２８’＝匐．３５ｘ１０４（Ｔ）２．２．３直接测量Ｂ。
将传感器竖直放置并使铝合金带同Ｂ．方向平行，测量Ｕ。、Ｕ，ｍ，结果如下。
Ｕ—－６．３８ｍｙ，Ｕｍ－２。４８ｍｙ
［２］王震，米东，徐章遂氍阻传感器在弱磁场中的应用［Ｊ］．仪
表技术．２００６，６：７０—７１
［３］李涛，陈骏选．陆申龙．高斯法测量地磁场水平分量的改进［Ｉ］．物理与工程，２００６，１６（２）：２６－２８
［４］王国余，张欣，景亮．新型磁阻传感器在地磁场测量中的
由此可得：Ｕ＝旦嘎里ｋ一＝１９．５ｍｙ
卧｝＝嚣－－０．３５×１㈣
结果表明，上述两种方法测磁场所得结果吻合较好。３。结束语
本文利用磁阻传感器测量方法对南航大物理实验中心地
应用［Ｉ］．传感器技术．２００２，２１（１０）：４３—４５
［５］金惕若．测量技术Ｄ］．空阃磁场的测量，２０００，１９（ＩＩ）：３２—３５
［６］张开明．地磁场水平分量测量方法的探索［１］．太原师范学院学报，２００７，６（２）：８８－９１
磁场参量进行测量，实验结果表明，该方法较之正切电流计具．Ｊ１０２一
万方数据
一类微分方程组特解的求法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
周彤
南通职业大学基础课部
科技信息（学术版）
SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION2008，
参考文献(2条)
1.周正中 复变函数与积分变换 19952.王高雄 常微分方程 1983
相似文献(10条)
1.期刊论文 杜增吉.DU Zeng-ji 一类二阶常微分方程组特解形式的探讨 -徐州师范大学学报（自然科学版）2008,26(2)
采用待定系数法,给出了非齐次项为n次一元多项式的三维二阶常系数线性微分方程组的特解公式,并通过举例验证了特解公式的正确性.
2.期刊论文 吴幼明.孔碧洁.WU You-ming.KONG Bi-jie 一类二阶常微分方程组特解形式的探讨 -四川理工学院学报（自然科学版）2007,20(1)
采用待定系数法,给出了非齐次项为二次多项式与三角函数乘积的三维二阶常系数线性微分方程组的特解公式,并通过算例验证了特解公式的正确性.
3.期刊论文 吴幼明.孔碧洁.何小媚.WU You-ming.KONG Bi-jie.HE Xiao-mei 一类二阶常微分方程组的特解公式 -佛山科学技术学院学报（自然科学版）2006,24(4)
采用待定系数法,给出了非齐次项为三角函数与指数函数乘积的三维二阶常系数线性微分方程组的特解公式,并通过算例验证了微分方程组的特解公式的正确性.
4.期刊论文 吴幼明.周文苑.WU You-ming.ZHOU Wen-yuan 一类二阶微分方程组的特解 -洛阳师范学院学报2009,28(2)
采用待定矩阵法,给出了非齐次项为一次多项式与三角函数乘积的一类三维二阶常系数线性微分方程组的特解公式,并通过算例验证了微分方程组特解公式的正确性.
5.期刊论文 刘许成.王儒智.LIU Xu-cheng.WANG Ru-zhi 微分方程组(dX)/(dt)=AX+eαt∑mk=0Bktk特解结构定理及应用 -大学数学2007,23(5)
对于常系数非齐线性微分方程组(dX)/(dt)=AX+F(t),当强迫项F(t)=eαt∑mk=0Bktk时(这里Bk=(b1k,b2k,...,bnk)T∈Rn),给出了微分方程组(dX)/(dt)=AX+F(t)特解(t)的结构定理和计算方法,使求特解(t)的积分运算转化为简单的代数运算.解决了计算机特解(t)的计算问题.
6.期刊论文 吴幼明.何佩婷.WU You-ming.HE Pei-ting 一类矩阵微分方程的特解 -四川理工学院学报（自然科学版）2010,23(1)
基于微分方程组理论和矩阵理论,采用待定矩阵方法和按列比较方法,给出了非齐次项为二次多项式与指数函数乘积的一类三维二阶常系数线性微分方程组的特解公式,对二种特殊情况进行了讨论,并通过算例验证了微分方程组特解公式的正确性.为高阶微分方程组的解法研究提供了一条有效的途径.
7.会议论文 杜增吉 一类二阶常微分方程组特解形式的探讨 2008
采用待定系数法,给出了非齐次项为n次一元多项式的三维二阶常系数线性微分方程组的特解公式,并通过举例验证了特解公式的正确性.
8.期刊论文 王明建.王建锋.王新奇.WANG Ming-jian.WANG Jian-feng.WANG Xin-qi 用一阶微分方程组求Riccati方程的特解 -西安文理学院学报（自然科学版）2009,12(2)
直接利用一阶微分方程组求Riccati方程的特解,或通过对Riccati方程进行初等变换,再利用一阶微分方程组求其特解.并说明了一阶微分方程组(4)是方程(3)成立的充分条件.
9.期刊论文 陈健.王其申.CHEN Jian.WANG Qi-shen 关于二阶常微分方程组特解的探讨 -阜阳师范学院学报（自然科学版）2009,26(4)
利用待定系数法,在一类相当广泛的非齐次项的条件下,讨论了m维二阶非齐次常微分方程组的特解的存在性并给出了有解情况下的特解公式,文中给出了具体算例.
10.期刊论文 汤光宋.翁帆 一类n维变系数非齐线性微分方程组特解的简捷求法 -黔东南民族师范高等专科学校学报2002,20(6)
给出一类n维变系数非齐线性微分方程组特解的简捷求法,并提供了特解的表达式.
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_kjxx-xsb200834352.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：82fc453e-d39d-4cf4-9716-9dcc01247907
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科技信息
高校理科研究
一类微分方程组特解硇求法
南通职业大学基础课部
周彤
［摘要】对于一阶微分方程组求特解这类问题，可以利用拉普拉斯变换法将原方程组化为二元一次线性方程组：然
后用克莱姆法则和留数法求出特解。
【关键词】微分方程组特解拉普拉斯变换留数
一般教科书中，绝大多数都是求解微分方程的通解和特解，很少涉及求解微分方程组的特解。微分方程组的特解这类问题的求解相对复杂一些，可以用托普拉斯变换法去求，其基本原理为：将微分方程中的未知函数和已知函数都映射为拉普拉斯变换的像函数，这样一来，微分方程转化为很容易处理的代数方程，通过简单变形，便可求得未知函数的像函数，然后作一次拉普拉斯逆变换，就得到微分方程的特解。下面具体举个例子。
所有奇点），将三个留数相加，得ｘ（ｔ）＝Ｌ－‘Ｄ【（ｓ）】＝一｝＋半ｅＬｅ气
求ＹＯ）的像原函数的过程几乎完全相同，这里仅给出结果。‘
ｙ（ｔ）＝Ｌ－１Ⅳ（ｓ）Ｐ一了Ｉ＋｛｝ｅ～一
注意到上例中。微分方程组的两个未知函数ｘ，ｙ位置是对
称的，因此这是一种特殊类型的微分方程组，故还可以用变量代换法求解。
．
例求微分方程组｛：’－篓薹ｉ
’出满足初始条件ｘ（０）－２，
一
ｙ（ｏ）：４的特解。
一’解法一：设Ｌ［ｘ（ｔ）ｌ＝Ｘ（ａ），Ｌ［ｙ（ｔ）ｌ＝Ｙ（ｓ），对方程（１）、（２）
ｚ：ｙ－ｘ，化为ｚ’＋ｚ－ｏ，此方程为可分离变量的微分方程：其通解为
ｚ＝℃ｅ。，即Ｙ，Ｘ＝Ｃｅｑ。
由初始条件ｘ（０）＝２，ｙ（０）＝４有Ｃ＝２＇．．．ｙ－ｘ＝２ｅ４为ｚ＇－３ｚ＝２
．。
解法二：将方程（１）减去方程（２）ｍ得（ｙ—ｘ）．＋（ｙ■＝０，令
（３）
ｂＨ。卜４．２ｘ（Ｂ卜Ｙ鲈上
分别取拉普拉斯变换，１１】得｛
：，整理后为
同理方程（１）加上方程（２）得（ｙ＋ｘ）｜Ｌ３（ｙ＋ｘ）＝２，令ｚ＝ｙ＋ｘ，化
．ｆｍｎ
ｔ
１８ｘ（ｇ卜２．．Ｘ（８）一２Ｙ（ｓ）２｝
ｆ－２）《蜘（ｓ－１）Ｙ《萨上＋４
｛
，６
此方程为一阶线性微分方程，由通解公式搿…‘【Ｉ
ｅｅ…’
Ｑ（ｔ）
，
Ｉ（ｓ－１ｐ【妒２Ｙ鲈｝＋２
程组’通过消去法或克莱姆法则，不难求得其解为ｘ辨掌，祟兰＊，
８Ｌｓ—ｊ＾ｓ十ＩＪ
・’
‘
这是关于未知量）【（ｓ》，Ⅷ的＝元一次线性方
Ｊ附
删有Ｃ＿譬，
有ｚ一争＋Ｃｐ。即ｙ＋ｘ－一争＋ｃ矿。由初始条件ｘ（ｏ）＝，
（４）
．‘．ｙ＋ｘ－一｝＋譬ｅＩ
方程（３）、（４）联立方程组解得
Ｙ（Ｂ）＝≠号等芸齐，ｘ（Ｂ）和ＹＯ）都有三个一级奇点，最适合用留数
法求像凉函数，按公式Ｒｅｓ［Ｆ（ｓ）ｅ＂，ａ］ａｌｉｍ（ｓ－ａ）Ｆ（ｓ）ｅ‘求留数，
ｘ（Ｏ一｝＋孚ｅｋ一，ｙ（ｔ）一｝＋孚ｅｘ－一。
从上例我们可以看出，拉普拉斯变换法和变量代换法对于一些微分方程组求特解的题目较适用，不失为一种很好的途径。
参考文献
社．１９９５．
［２］王高雄，常微分方程［Ｍ］．北京：高等教育出版社．１９８３．
Ｒｅ附件器旨ｅ－卜｝，
娜㈣｝≮芋ｅ．１曲＝争，
Ｒ嘏将１｝≮筝，Ｌ州，
（上接第１０１页）
１
ｅ１］周正中。夏变函数与积分变换［Ｍ］，北京：高等教育出版
表２南航大实验楼３５１１房间地磁场参量测量
２５．９ｌ３．１３６．５８１．９３
２８，
３５．９２３．１３６．５９１．９３
４５．９１３．１３６．５９１．９３
５５．９１３．１３６．５９１．９２
６５．９０３．１３６．５９１．９３
平均
５．９１３．１３６．５９１．９３
结果
Ｕ庐１．３９ｍｙＢ；ｐ－＇－Ｏ．２５ｘ１Ｏ－ｑ＂
Ｕ薏－－２．３３ｍｙ
正向／ｍｙ
Ｕ，
５．９ｌ３．１３６．５９１．９３
反向，ｍｖ正向／ｍｙ
Ｕ●
反向Ｉｍｖ
Ｂ簟＝０．４３ｘｉ婀
ｐ：且磐．．５４。２６＇，＇＋５２。３０＇－５３０５３
有易操作，测量结果准确的优点。
参考文献
［１］王易易，柳明，陆申龙．测量地磁场水平分量的两种方法［１］．物理实验．２０００。２０（９）：４５－４６
Ｂｉ＝Ｂ簋ｓｉｎＢ＝０．４３ｘｌＯ－４ｘｓｉｎ５３＂２８’＝匐．３５ｘ１０４（Ｔ）２．２．３直接测量Ｂ。
将传感器竖直放置并使铝合金带同Ｂ．方向平行，测量Ｕ。、Ｕ，ｍ，结果如下。
Ｕ—－６．３８ｍｙ，Ｕｍ－２。４８ｍｙ
［２］王震，米东，徐章遂氍阻传感器在弱磁场中的应用［Ｊ］．仪
表技术．２００６，６：７０—７１
［３］李涛，陈骏选．陆申龙．高斯法测量地磁场水平分量的改进［Ｉ］．物理与工程，２００６，１６（２）：２６－２８
［４］王国余，张欣，景亮．新型磁阻传感器在地磁场测量中的
由此可得：Ｕ＝旦嘎里ｋ一＝１９．５ｍｙ
卧｝＝嚣－－０．３５×１㈣
结果表明，上述两种方法测磁场所得结果吻合较好。３。结束语
本文利用磁阻传感器测量方法对南航大物理实验中心地
应用［Ｉ］．传感器技术．２００２，２１（１０）：４３—４５
［５］金惕若．测量技术Ｄ］．空阃磁场的测量，２０００，１９（ＩＩ）：３２—３５
［６］张开明．地磁场水平分量测量方法的探索［１］．太原师范学院学报，２００７，６（２）：８８－９１
磁场参量进行测量，实验结果表明，该方法较之正切电流计具．Ｊ１０２一
万方数据
一类微分方程组特解的求法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
周彤
南通职业大学基础课部
科技信息（学术版）
SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION2008，
参考文献(2条)
1.周正中 复变函数与积分变换 19952.王高雄 常微分方程 1983
相似文献(10条)
1.期刊论文 杜增吉.DU Zeng-ji 一类二阶常微分方程组特解形式的探讨 -徐州师范大学学报（自然科学版）2008,26(2)
采用待定系数法,给出了非齐次项为n次一元多项式的三维二阶常系数线性微分方程组的特解公式,并通过举例验证了特解公式的正确性.
2.期刊论文 吴幼明.孔碧洁.WU You-ming.KONG Bi-jie 一类二阶常微分方程组特解形式的探讨 -四川理工学院学报（自然科学版）2007,20(1)
采用待定系数法,给出了非齐次项为二次多项式与三角函数乘积的三维二阶常系数线性微分方程组的特解公式,并通过算例验证了特解公式的正确性.
3.期刊论文 吴幼明.孔碧洁.何小媚.WU You-ming.KONG Bi-jie.HE Xiao-mei 一类二阶常微分方程组的特解公式 -佛山科学技术学院学报（自然科学版）2006,24(4)
采用待定系数法,给出了非齐次项为三角函数与指数函数乘积的三维二阶常系数线性微分方程组的特解公式,并通过算例验证了微分方程组的特解公式的正确性.
4.期刊论文 吴幼明.周文苑.WU You-ming.ZHOU Wen-yuan 一类二阶微分方程组的特解 -洛阳师范学院学报2009,28(2)
采用待定矩阵法,给出了非齐次项为一次多项式与三角函数乘积的一类三维二阶常系数线性微分方程组的特解公式,并通过算例验证了微分方程组特解公式的正确性.
5.期刊论文 刘许成.王儒智.LIU Xu-cheng.WANG Ru-zhi 微分方程组(dX)/(dt)=AX+eαt∑mk=0Bktk特解结构定理及应用 -大学数学2007,23(5)
对于常系数非齐线性微分方程组(dX)/(dt)=AX+F(t),当强迫项F(t)=eαt∑mk=0Bktk时(这里Bk=(b1k,b2k,...,bnk)T∈Rn),给出了微分方程组(dX)/(dt)=AX+F(t)特解(t)的结构定理和计算方法,使求特解(t)的积分运算转化为简单的代数运算.解决了计算机特解(t)的计算问题.
6.期刊论文 吴幼明.何佩婷.WU You-ming.HE Pei-ting 一类矩阵微分方程的特解 -四川理工学院学报（自然科学版）2010,23(1)
基于微分方程组理论和矩阵理论,采用待定矩阵方法和按列比较方法,给出了非齐次项为二次多项式与指数函数乘积的一类三维二阶常系数线性微分方程组的特解公式,对二种特殊情况进行了讨论,并通过算例验证了微分方程组特解公式的正确性.为高阶微分方程组的解法研究提供了一条有效的途径.
7.会议论文 杜增吉 一类二阶常微分方程组特解形式的探讨 2008
采用待定系数法,给出了非齐次项为n次一元多项式的三维二阶常系数线性微分方程组的特解公式,并通过举例验证了特解公式的正确性.
8.期刊论文 王明建.王建锋.王新奇.WANG Ming-jian.WANG Jian-feng.WANG Xin-qi 用一阶微分方程组求Riccati方程的特解 -西安文理学院学报（自然科学版）2009,12(2)
直接利用一阶微分方程组求Riccati方程的特解,或通过对Riccati方程进行初等变换,再利用一阶微分方程组求其特解.并说明了一阶微分方程组(4)是方程(3)成立的充分条件.
9.期刊论文 陈健.王其申.CHEN Jian.WANG Qi-shen 关于二阶常微分方程组特解的探讨 -阜阳师范学院学报（自然科学版）2009,26(4)
利用待定系数法,在一类相当广泛的非齐次项的条件下,讨论了m维二阶非齐次常微分方程组的特解的存在性并给出了有解情况下的特解公式,文中给出了具体算例.
10.期刊论文 汤光宋.翁帆 一类n维变系数非齐线性微分方程组特解的简捷求法 -黔东南民族师范高等专科学校学报2002,20(6)
给出一类n维变系数非齐线性微分方程组特解的简捷求法,并提供了特解的表达式.
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_kjxx-xsb200834352.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：82fc453e-d39d-4cf4-9716-9dcc01247907
下载时间：2010年8月8日