双曲线的定义及其标准方程导学及练习含答案

课题 双曲线及其标准方程

【学本研读】

【学习目标】

1.通过类比椭圆的定义理解并掌握双曲线的定义；

2.掌握双曲线的标准方程，体会数形结合和类比的数学思想.

【知识链接】

一、课前准备

1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？

x2y2

212ab2：在椭圆的标准方程中， a,b,c 有何关系？

3：阅读课本P52-55.

【研读学本问题】

一、双曲线的定义

1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？

2.双曲线的定义： 叫做双曲线。两定点F1 , F2 叫做双曲线的____，两焦

点间的距离|F1F2|叫做双曲线的．

3.设常数为2a ，为什么2a

2a = |F1F2|时，轨迹是__________ ；

2a > |F1F2|时，轨迹是____________

例1.点 A( 1,0) ， B (-1 ,0) ，

若 ||AC|- |BC||= 2 ，则点C 的轨迹方程是__________ ；

若 |AC|- |BC|= 1 ，则点C 的轨迹方程是__________ .

二、双曲线的标准方程

1．试根据双曲线的定义结合椭圆标准方程的推导过程推导双曲线的标准方程

2.总结双曲线的标准方程的特点，与椭圆的标准方程进行比较

例2：求满足下列条件的双曲线的标准方程：

（1）焦点在x轴上，a4，b3.

（2）焦点在x轴上，经过点(，. （3）焦点为(0,6)，(0,6)，且经过点(2,5).

x2y2

（5,0）例3双曲线1上一点p到焦点的距离为15，那么该点到另一个焦点 169

的距离为

【变式1】双曲线4xy640上一点P到它的一个焦点的距离等于1，求点P到另一个焦点的距离.

. 22

x2y2

【变式2】双曲线1上一点P到焦点的距离为17，那么该点到另 （10,0）6436

（-10,0）一个焦点的距离为___。

【基础测试】

1.已知A（2，－3），B（－4，－3），动点P满足|PA|-|PB|=6，则P点轨迹分别是（ ）

A.双曲线 B.两条射线 C.双曲线的一支 D.一条射线

x2y2

1的一个焦点为（2，0）2.双曲线，则m=（ ） m3m

A.1 B.1或3

23．k>9是方程x2

9－ky2

k－41表示双曲线的( )

A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件

x2y2

1表示焦点在y轴上的双曲线，求m的取值范围. 4.若方程m1m2

5.在△ABC中，已知c42，且三边a、b、c满足2a+c=2b，建立适当的坐标系，求定点C的轨迹

【拓展提升】

1．已知点F1(4,0)和F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2的距离之差为6，则曲线方程为（ ）

x2y2y2x2

1(y0) 1 B．A．9797

x2y2y2x2x2y2

1(x0) 1或1 D．C．979797

2．“ab

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

x2y2

3．P为双曲线221上的一点，F为一个焦点，以PF为直径的圆与圆ab

x2y2a2的位置关系是（ ）

A．内切 B．内切或外切

C．外切 D．相离或相交

x2y2x2y2

1(mn0)和双曲线1(ab0)有相同的焦4．若椭圆mnab

点F1、F2，P是两曲线的一个公共点，则|PF1||PF2|的值是（ )

1A．m-a B．(ma) 2

C．m2a2 D. m+a

5．双曲线2x2y2m的一个焦点是(0,)，则m的值是_________。

x2y2

6．过双曲线221(a0,b0)的焦点且垂直于x轴的弦的长度为_______。 ab

y2x2

1表示双曲线，则m的取值范围是_________，此时双曲7.已知方程9m1

线的焦点坐标是________________，焦距是________________；

【变式】若将9改成2m，则m的取值范围是_____。

8．已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是F1(1,0)，求它的另一个焦点F2的轨迹方程。

9．设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点且与椭圆相交，在第一象限的交点A

的纵坐标为4，求此双曲线的方程．

10.已知 A, B 两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s，且声速为340m/ s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．

11.已知方程x2

2－k＋y2

k－1＝1表示的图形是：(1)双曲线；(2)椭圆；(3)圆．试分

别求出k的取值范围．

2212.已知圆C1:(x3)y922和圆C2:(x3)y9，动圆M同时与圆C1及圆4

C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程.

x2y2

13.已知双曲线1的左.右焦点分别为F1.F2，若双曲线上一点P使得916

F1PF290，求F1PF2的面积.

若把本例中的“F1PF290”改为“F1PF260”，求F1PF2的面积．

【总结与反思】

答案：

例1：（1）y0x1或x1

（2）4x242y1 3

2yy2x22x2y21（3）1 1；例2：（1）（2）x32016169

例3 ： 7或23 变式1 ： 17 变式2 ： 33

基础测试

1-3 BAC 4.m

5.以BC边所在直线为x轴，BC中点为原点建系

x2y2

1x026

拓展提升 2b2

1-4 DABA 5.-2 6.a

7.m1m,02m 变式：m1或m2.

22x1y48.1y0 2516

y2x2

9.1 45

x2y2

1x0 10.

以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建系[1**********]

11.(1)k2或k1(2)1k2(3)k

16x2y2

1x0 12.9153 2

13.16 16

课题 双曲线及其标准方程

【学本研读】

【学习目标】

1.通过类比椭圆的定义理解并掌握双曲线的定义；

2.掌握双曲线的标准方程，体会数形结合和类比的数学思想.

【知识链接】

一、课前准备

1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？

x2y2

212ab2：在椭圆的标准方程中， a,b,c 有何关系？

3：阅读课本P52-55.

【研读学本问题】

一、双曲线的定义

1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？

2.双曲线的定义： 叫做双曲线。两定点F1 , F2 叫做双曲线的____，两焦

点间的距离|F1F2|叫做双曲线的．

3.设常数为2a ，为什么2a

2a = |F1F2|时，轨迹是__________ ；

2a > |F1F2|时，轨迹是____________

例1.点 A( 1,0) ， B (-1 ,0) ，

若 ||AC|- |BC||= 2 ，则点C 的轨迹方程是__________ ；

若 |AC|- |BC|= 1 ，则点C 的轨迹方程是__________ .

二、双曲线的标准方程

1．试根据双曲线的定义结合椭圆标准方程的推导过程推导双曲线的标准方程

2.总结双曲线的标准方程的特点，与椭圆的标准方程进行比较

例2：求满足下列条件的双曲线的标准方程：

（1）焦点在x轴上，a4，b3.

（2）焦点在x轴上，经过点(，. （3）焦点为(0,6)，(0,6)，且经过点(2,5).

x2y2

（5,0）例3双曲线1上一点p到焦点的距离为15，那么该点到另一个焦点 169

的距离为

【变式1】双曲线4xy640上一点P到它的一个焦点的距离等于1，求点P到另一个焦点的距离.

. 22

x2y2

【变式2】双曲线1上一点P到焦点的距离为17，那么该点到另 （10,0）6436

（-10,0）一个焦点的距离为___。

【基础测试】

1.已知A（2，－3），B（－4，－3），动点P满足|PA|-|PB|=6，则P点轨迹分别是（ ）

A.双曲线 B.两条射线 C.双曲线的一支 D.一条射线

x2y2

1的一个焦点为（2，0）2.双曲线，则m=（ ） m3m

A.1 B.1或3

23．k>9是方程x2

9－ky2

k－41表示双曲线的( )

A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件

x2y2

1表示焦点在y轴上的双曲线，求m的取值范围. 4.若方程m1m2

5.在△ABC中，已知c42，且三边a、b、c满足2a+c=2b，建立适当的坐标系，求定点C的轨迹

【拓展提升】

1．已知点F1(4,0)和F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2的距离之差为6，则曲线方程为（ ）

x2y2y2x2

1(y0) 1 B．A．9797

x2y2y2x2x2y2

1(x0) 1或1 D．C．979797

2．“ab

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

x2y2

3．P为双曲线221上的一点，F为一个焦点，以PF为直径的圆与圆ab

x2y2a2的位置关系是（ ）

A．内切 B．内切或外切

C．外切 D．相离或相交

x2y2x2y2

1(mn0)和双曲线1(ab0)有相同的焦4．若椭圆mnab

点F1、F2，P是两曲线的一个公共点，则|PF1||PF2|的值是（ )

1A．m-a B．(ma) 2

C．m2a2 D. m+a

5．双曲线2x2y2m的一个焦点是(0,)，则m的值是_________。

x2y2

6．过双曲线221(a0,b0)的焦点且垂直于x轴的弦的长度为_______。 ab

y2x2

1表示双曲线，则m的取值范围是_________，此时双曲7.已知方程9m1

线的焦点坐标是________________，焦距是________________；

【变式】若将9改成2m，则m的取值范围是_____。

8．已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是F1(1,0)，求它的另一个焦点F2的轨迹方程。

9．设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点且与椭圆相交，在第一象限的交点A

的纵坐标为4，求此双曲线的方程．

10.已知 A, B 两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s，且声速为340m/ s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．

11.已知方程x2

2－k＋y2

k－1＝1表示的图形是：(1)双曲线；(2)椭圆；(3)圆．试分

别求出k的取值范围．

2212.已知圆C1:(x3)y922和圆C2:(x3)y9，动圆M同时与圆C1及圆4

C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程.

x2y2

13.已知双曲线1的左.右焦点分别为F1.F2，若双曲线上一点P使得916

F1PF290，求F1PF2的面积.

若把本例中的“F1PF290”改为“F1PF260”，求F1PF2的面积．

【总结与反思】

答案：

例1：（1）y0x1或x1

（2）4x242y1 3

2yy2x22x2y21（3）1 1；例2：（1）（2）x32016169

例3 ： 7或23 变式1 ： 17 变式2 ： 33

基础测试

1-3 BAC 4.m

5.以BC边所在直线为x轴，BC中点为原点建系

x2y2

1x026

拓展提升 2b2

1-4 DABA 5.-2 6.a

7.m1m,02m 变式：m1或m2.

22x1y48.1y0 2516

y2x2

9.1 45

x2y2

1x0 10.

以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建系[1**********]

11.(1)k2或k1(2)1k2(3)k

16x2y2

1x0 12.9153 2

13.16 16