5.示范教案(3.2.3直线的一般式方程)

3.2.3 直线的一般式方程

整体设计

教学分析

直线是最基本、最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.直线方程是这一章的重点内容，在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形式.掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系确定为“了解”层次.两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式.直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化.引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想，通过直线方程各种形式的互化,渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数A、B、C的几何意义时,渗透数形结合的数学思想.

三维目标

1.掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.

2.会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想.

3.通过教学，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练. 重点难点

教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化.

教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于x和y的一次方程的对应关系，关键是直线方程各种形式的互化.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题.

思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.

(1)斜率是1，经过点A（1，8）；(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P1（－1，6）、P2（2，9）；(4)y轴上的截距是7，倾斜角是45°.

由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、xy=1、77y6x1、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.9621

原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式.

推进新课

新知探究

提出问题

①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y的二元一次方程?

②关于x,y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A、B不同时为零）是否都表示一条直线?

③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化?

④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化?

⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A、B、C有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?

讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.

1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b. 2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x、y的二元一次方程，其中y的系数是零.

结论1°：直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程.

ACAx-，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-，BBB

CC在y轴上的截距为-的直线.b当B=0时，由于A、B不同时为零必有A≠0，方程化为x=-，BA②分析：a当B≠0时，方程可化为y=-

表示一条与y轴平行或重合的直线.

结论2°：关于x,y的一次方程都表示一条直线.

综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B不同时为0）叫做直线方程的一般式.

注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式.

在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来. ③引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化.

④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）

.

图1

⑤列表说明如下：

应用示例 4，求直线的点斜式和一般式方程. 3

44解：经过点A(6,-4)且斜率为-的直线方程的点斜式方程为y+4=-(x-6). 33 例1 已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-

化成一般式，得4x+3y-12=0.

变式训练

1.已知直线Ax+By+C=0，

（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线?

（2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交?

（3）系数满足什么条件时,只与x轴相交?

（4）系数满足什么条件时,是x轴?

（5）设P(x0,y0)为直线Ax+By+C=0上一点,

证明这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0.

答案：（1）C=0；

（2）A≠0且B≠0；

（3）B=0且C≠0；

（4）A=C=0且B≠0;

（5）证明：∵P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上,

∴Ax0+By0+C+0,C=-Ax0-By0.

∴A(x-x0)+B(y-y0)=0.

2.(2007上海高考,理2)若直线l1:2x+my+1=0与l2:y=3x-1平行,则m=____________. 答案：-2 3

例2 把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.

解：由方程一般式x－2y＋6=0，

① 移项，去系数得斜截式y=x＋3. ② 2

由②知l在y轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6.

即直线在x轴上的截距是－6.

因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x轴，y轴上的截距点)，过这两点作出直线l（图2）.

图2

点评：要根据题目条件，掌握直线方程间的“互化”.

变式训练

直线l过点P(-6,3)，且它在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍，求直线l的方程. 答案：x+3y-3=0或x+2y=0.

知能训练

课本本节练习1、２、３.

拓展提升

求证：不论m取何实数，直线(2m－1)x－(m+3)y－(m－11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标.

解：将方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0，

它表示过两直线x+3y-11=0与2x-y-1=0的交点的直线系.

x3y110,x2,解方程组,得. 2xy10,y3

∴直线恒过(2,3)点.

课堂小结

通过本节学习，要求大家：

（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系；

（2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；

（3）通过学习，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练. 作业

习题3.2 A组11.

设计感想

本节课的教学流程是这样设计的：激活旧知→归纳猜想→习得新知→转化巩固→重组网络→变式训练→迁移应用→小结归纳.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于x,y的一次方程的对应关系确定为“了解”层次.两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式.直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化.

3.2.3 直线的一般式方程

整体设计

教学分析

直线是最基本、最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.直线方程是这一章的重点内容，在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形式.掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系确定为“了解”层次.两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式.直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化.引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想，通过直线方程各种形式的互化,渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数A、B、C的几何意义时,渗透数形结合的数学思想.

三维目标

1.掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.

2.会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想.

3.通过教学，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练. 重点难点

教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化.

教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于x和y的一次方程的对应关系，关键是直线方程各种形式的互化.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题.

思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.

(1)斜率是1，经过点A（1，8）；(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P1（－1，6）、P2（2，9）；(4)y轴上的截距是7，倾斜角是45°.

由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、xy=1、77y6x1、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.9621

原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式.

推进新课

新知探究

提出问题

①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y的二元一次方程?

②关于x,y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A、B不同时为零）是否都表示一条直线?

③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化?

④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化?

⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A、B、C有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?

讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.

1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b. 2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x、y的二元一次方程，其中y的系数是零.

结论1°：直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程.

ACAx-，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-，BBB

CC在y轴上的截距为-的直线.b当B=0时，由于A、B不同时为零必有A≠0，方程化为x=-，BA②分析：a当B≠0时，方程可化为y=-

表示一条与y轴平行或重合的直线.

结论2°：关于x,y的一次方程都表示一条直线.

综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B不同时为0）叫做直线方程的一般式.

注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式.

在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来. ③引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化.

④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）

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图1

⑤列表说明如下：

应用示例 4，求直线的点斜式和一般式方程. 3

44解：经过点A(6,-4)且斜率为-的直线方程的点斜式方程为y+4=-(x-6). 33 例1 已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-

化成一般式，得4x+3y-12=0.

变式训练

1.已知直线Ax+By+C=0，

（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线?

（2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交?

（3）系数满足什么条件时,只与x轴相交?

（4）系数满足什么条件时,是x轴?

（5）设P(x0,y0)为直线Ax+By+C=0上一点,

证明这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0.

答案：（1）C=0；

（2）A≠0且B≠0；

（3）B=0且C≠0；

（4）A=C=0且B≠0;

（5）证明：∵P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上,

∴Ax0+By0+C+0,C=-Ax0-By0.

∴A(x-x0)+B(y-y0)=0.

2.(2007上海高考,理2)若直线l1:2x+my+1=0与l2:y=3x-1平行,则m=____________. 答案：-2 3

例2 把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.

解：由方程一般式x－2y＋6=0，

① 移项，去系数得斜截式y=x＋3. ② 2

由②知l在y轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6.

即直线在x轴上的截距是－6.

因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x轴，y轴上的截距点)，过这两点作出直线l（图2）.

图2

点评：要根据题目条件，掌握直线方程间的“互化”.

变式训练

直线l过点P(-6,3)，且它在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍，求直线l的方程. 答案：x+3y-3=0或x+2y=0.

知能训练

课本本节练习1、２、３.

拓展提升

求证：不论m取何实数，直线(2m－1)x－(m+3)y－(m－11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标.

解：将方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0，

它表示过两直线x+3y-11=0与2x-y-1=0的交点的直线系.

x3y110,x2,解方程组,得. 2xy10,y3

∴直线恒过(2,3)点.

课堂小结

通过本节学习，要求大家：

（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系；

（2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；

（3）通过学习，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练. 作业

习题3.2 A组11.

设计感想

本节课的教学流程是这样设计的：激活旧知→归纳猜想→习得新知→转化巩固→重组网络→变式训练→迁移应用→小结归纳.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于x,y的一次方程的对应关系确定为“了解”层次.两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式.直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化.