第五节函数的凹凸性、拐点、渐近线
一、函数的凹凸性与拐点二、曲线的渐近线
一、曲线的凹凸性与拐点1、曲线凹凸性(1) 曲线凹凸性的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?
图形上任意弧段位于所张弦的下方
图形上任意弧段位于所张弦的上方
定义设f (x ) 在区间I 上连续, 如果对I 上任意两
x +x f (x ) +f (x )
点x 1, x 2, 恒有f ()
22
f (x ) 在I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）; x +x f (x ) +f (x ) 如果恒有f () >, 那末称f (x )
22
在I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．
如果f (x ) 在[a , b ]内连续, 且在(a , b ) 内的图形是凹(或凸) 的, 那末称f (x ) 在[a , b ]内的图形是凹(或凸) 的;
(2) 曲线凹凸的判定
y ′′>0
f ′(x ) 递减
f ′(x ) 递增
y ′′
定理4.10
如果f (x ) 在[a , b ]上连续, 在(a , b )
内具有二阶导数, 若在(a , b ) 内
(1)f ′′(x ) >0, 则f (x ) 在[a , b ]上的图形是凹的; (2)f ′′(x )
2、曲线的拐点及其求法(1)定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
注: 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.
(2)拐点的求法
方法1:设函数f (x ) 在x 0的邻域内二阶可导, 且
f ′′(x 0) =0,
(1)x 0两近旁f ′′(x ) 变号, 点(x 0, f (x 0)) 即为拐点; (2)x 0两近旁f ′′(x ) 不变号, 点(x 0, f (x 0)) 不是拐点.
第五节函数的凹凸性、拐点、渐近线
一、函数的凹凸性与拐点二、曲线的渐近线
一、曲线的凹凸性与拐点1、曲线凹凸性(1) 曲线凹凸性的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?
图形上任意弧段位于所张弦的下方
图形上任意弧段位于所张弦的上方
定义设f (x ) 在区间I 上连续, 如果对I 上任意两
x +x f (x ) +f (x )
点x 1, x 2, 恒有f ()
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f (x ) 在I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）; x +x f (x ) +f (x ) 如果恒有f () >, 那末称f (x )
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在I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．
如果f (x ) 在[a , b ]内连续, 且在(a , b ) 内的图形是凹(或凸) 的, 那末称f (x ) 在[a , b ]内的图形是凹(或凸) 的;
(2) 曲线凹凸的判定
y ′′>0
f ′(x ) 递减
f ′(x ) 递增
y ′′
定理4.10
如果f (x ) 在[a , b ]上连续, 在(a , b )
内具有二阶导数, 若在(a , b ) 内
(1)f ′′(x ) >0, 则f (x ) 在[a , b ]上的图形是凹的; (2)f ′′(x )
2、曲线的拐点及其求法(1)定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
注: 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.
(2)拐点的求法
方法1:设函数f (x ) 在x 0的邻域内二阶可导, 且
f ′′(x 0) =0,
(1)x 0两近旁f ′′(x ) 变号, 点(x 0, f (x 0)) 即为拐点; (2)x 0两近旁f ′′(x ) 不变号, 点(x 0, f (x 0)) 不是拐点.