单调性与凹凸性
1、函数单调性
2、极值
3、曲线的凹凸性及拐点4、曲线的渐近线5、函数作图
函数的单调性
单调性判定定理
设函数y
f(x)在区间I上连续，在I对应的开区间I内可导，
0，则f(x)在I上单调递增；0，则f(x)在I上单调递减。
(1)若在I内f(x)(2)若在I内f(x)证明：x1,x2
I，不妨设x1x2，
(x1,x
2)
I
f(x)在[x1,x2]上满足拉格朗日中值定理的条件，
f(x2)
f(x1)
f()(x2
x1)
f(x1)f
(x2)
f(x
)在I上单调递增
解：f(x)在定义域Df
(
x
,
)内连续，
f(x)以x
e
x
10
0划分定义域得：(
,0)
Df
f(x)
(0,)
f(x)在(,0]上单调递减，在[0,)上单调递增。
解：f(x)在定义域Df
(
x
,
)内连续，
f(x)以x
3x
2
0划分定义域得：(
,0)
Df
f(x)
(
0,)
f(x)在(f(x)在x
,0]上单调递增，在[0,
)上单调递增。,
)上单调递增。
0处连续，f(x)在(
例3、讨论函数
f(x)
和g(x)
,
的单调性。
解：f(x)、g(x)在定义域(
)内连续，
f(x
)
1(x0)以x0划分定义域得：f
(
,0)0(0,
)
f(x)
f(x
)在(
,
)上单调递增。
g(x)
2(x0)
以x0划分定义域得：f
(
,0)0(0,
)
f(x)
f(x)在(,0]上单调递减，在[0,
)上单调递增。
单调区间
定义：若函数在某区间内单调增，称该区间为函数的单调增区间。
问题：方法：减
减
单调增区间、单调减区间统称为单调区间。
如何确定函数的单调区间
首要任务是确定函数单调性的分界点。单调性分界点只可能产生于：驻点与不可导点处
用驻点及不可导点划分函数定义域，在各个开区间内确定
导数的正负，从而确定单调区间。
例4、确定函数f(x)2x
3
9x
2
12x3的单调区间。
解：f(x)在定义域Df
(,
)内连续，
f(x)6x
2
18x12
6(x1)(x2)
x1以x1
1、x
22划分定义域得：Df
(
,1)
1
(1,2)
2
(2,)
f(x)
(
,1]及[2,
)为f(x)的单调增区间，
[1,2]为f(x)的单调减区间。
1x2
2
1例5、确定函数f(x)6
x2的单调区间。解：f(x)在定义域Df
(
,
)内连续，
f(x)
11111
3
x3x1
3
(x0以x1、x0划分定义域得：
Df
(,
1)
1(1,0)0
(0,)
f(x)(,1]为f(x)的单调减区间，[1,
)为f(x)的单调增区间。
x0)
(
例6、证明：当x证明：令f(x)
0时，x
ln(1x)
xln(1x)
)内可导，x(0,
)
则f(x)在[0,且f(x)
1
11
)上连续，在(0,
xx
1
x
f
(x
)在[0,当x即当x
)上单调递增，
xln(1
x)
0时，有f(x)0时，x
ln(1
x)f(0)0
例7、证明：当0证明：令f(x)
x
2
时，tanxsinx2x
tanxsinx2x
则f(x)在[0,)上连续，在(0,)内可导，
22且f(x)
secx
2
cosx2
x(0,)
2
f(x)在[
0,)上单调递增，
2当0即当0
xx
22
时，有f(x)时，tanx
tanx
2x
sinx2xf(0)0
sinx
例8、证明：方程x证明：令f(x)
3
3x
2
6x1
0在区间(0,1)内有唯一实根。
x
3
3x
2
6x1
13
则f(x)在[0,1]上连续，f(0)f(1)
(0,1)，使得f()即方程x
f(x)
3
3
3
2
61
0，
3x3x
2
2
6x16x
6
0在区间(0
,1)内至少有一个实根。3(x
1)
2
3
方程x
3
3x
3
2
6x1
2
0在区间(0
,1)内最多有一个实根。
0在区间(0,1)内有唯一实根。
综上可知：方程x
3x6x1
函数的极值
1、定义
设函数y(1)(2)
f(x)在U(x0)内有定义，若xU(x0)，都有
f(x)f(x)
f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的一个极小值，x0极小值点；f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的一个极大值，x0极大值点；
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。注：(1)极值是局部概念，极大值有可能小于极小值；
(2)闭区间的端点不是极值点。
2、极值存在的必要条件
若xx0是yf(x)的极值点，且yf(x)在x
x0处可导，
则f
(x0)
驻点：f(x)
0的点称为f(x)的驻点。
注：(1)该定理表明f(x)
0的点一定不是极值点；
(2)该定理的逆命题不成立，即驻点不一定是极值点；(3)f(x)的不可导点也可能是极值点。y
x
极值点只可能产生于：驻点和不可导点。
yx
3
3、极值存在的第一充分条件
设x0为f(x)的可能极值点，且f(x)在x0处连续，在U(x0)内可导，(1)若x(2)若x
x0时f(x)
x0时f(x)
0，x
x0时f(x)
x0时f(x)
0，则x0为f(x)的极大值点；0，则x0为f(x)的极小值点；
0，x
(3)若在x0的两侧，f(x)保持同号，则x0不是f(x)的极值点。
例1、求函数f(x)
2x
3
6x
2
18x7的极值。
解：函数f(x)在其定义域(
,
)内连续，
f(x)
6x
2
12x18
6(x1)(x3)
x11以x11和x
2
3划分函数定义域，得：
Df
(,1)
1(1,3)3
(3,)
f(x)
f(1)
3为极大值，f(3)
61为极小值。
x2
3
例2、求函数f(x)(x2)(x1)的极值。
,
)内连续，
2
23
解：函数f
(x)在其定义域(
f(x)以x
2(x2)(
4x1)0
x1
14
x
2
2
(x1)
f
(
1
1、x1及x22划分函数定义域，得：
4
,1)14(14,2)2(2,1(1,14)
)
f(x)f(1)
f(2)
1
0为极小值，f()
4
81
64
为极大值。
4、极值存在的第二充分条件
设x0为f(x)的驻点，且f(x0)
0，则x0为f(x)的极值点，
(1)当f(x0)0时，(2)当f(x0)
0时，x0为f(x)的极小值点；x0为f(x)的极大值点。
例3、求函数f(x)
3x
x3
的极值。
解：函数f(x)在其定义域(
,
)内连续，
f(x)
33x
2
3(1x)(1
x)
x11f(x)6xf(1)
6
f(1)
6
f(1)2为极小值，f(1)2为极大值。
x2
1
曲线的凹凸性及拐点
1、定义
设函数y
f(x)在区间I上连续，若x1,x2)
)
I，且x1x2，都有
(1)(2)
f(
f(
x1
2
x1
2
x2
x2
f(x1)
2
f(x1)
2
f(x2)
f(x2)
，称曲线yf(x)在I上是向下凸的；
，称曲线yf(x)在I上是向上凸的。
如果一条连续曲线上既有向上凸的部分，也有向下凸的部分，则连续曲线上向上凸部分与向下凸部分的分界点称为曲线的拐点。
2、曲线凸性的判定定理设函数y
f(x)在区间I上连续，在I对应的开区间I内有二阶导数，
(1)若在I内f(x)
0，(2)若在I内f(x)
0，y
f(x)在I上是向下凸的；y
f(x)在I上是向上凸的；
则曲线则曲线
例1、判断曲线f(x)
x
3
3x
2
x1的凹凸性及拐点
解：函数f(x)在其定义域(
,
)内连续，
f(x)以x
3x
2
6x1f(x)Df
6x6(
,1)
x1
1划分定义域得：
1
(1,
)
f(x)
曲线f(x)在区间(曲线f(x)在区间[1,
,1]上是向上凸的，
)上是向下凸的。
(1,0)为曲线f(x)的拐点。
例2、判断曲线f(x)x的凹凸性及拐点
,12xDf
4
解：函数f(x)在其定义域()内连续，
2
f(x)以x
4x
3
f(x)0
x0
0划分定义域得：
(,0)
(
0,
)
f(x)
曲线f(x)在区间(曲线f(x)在区间[0,曲线f(x)在区间(
,0]上是向下凸的，
)上是向下凸的。
,
)内是向下凸的。曲线f(x)无拐点。
例3、判断曲线f(x)
的凹凸性及拐点
解：函数f(x)在其定义域(
f(x
)
1,
29
)内连续，
1
f(x)
(x0)
以x0划分定义域得：
Df
(,0)
(0,)
f(x)
曲线f(x)在区间(曲线f(x)在区间[0,
,0]上是向下凸的，
)上是向上凸的。(0,0)为曲线f(x)的拐点。
例4、判断曲线f(x)
的凹凸性及拐点
解：函数f(x)在其定义域(
f(x
)
2,
29
)内连续，
1f(x)(x0)
以x0划分定义域得：
Df
f(x)
(,0)
(0,)
曲线f(x)在区间(曲线f(x)在区间[0,
,0]上是向上凸的，
)上是向上凸的。曲线f(x)无拐点。
凹凸性的判断
问题：如何确定曲线的凹凸性
方法：首要任务是确定曲线凹凸性的分界点，即拐点。拐点只可能产生于：f(x)
0的点与f(x)不存在的点处。
用上述各点点划分函数定义域，在各个开区间内确定二阶
导数的正负，从而确定凹凸性。
例5、判断曲线f(x)1x29
的凹凸性及拐点。
解：f(x)在定义域Df
(
,
)内连续，
f(x)2119x3f(x)
22129
9(11
9
0x1
以x1、x
0划分定义域得：
Df
(
,1)
1(1,0)0
(0,)
f(x)
x
)x
0)
((
例5、判断曲线f(x)
12x9
的凹凸性及拐点。
(0,
)
Df
f(x)
(,1)
1(1,0)0
曲线f(x)在区间(,1]及[0,)上是向下凸的，
曲线f(x)在区间[1,0]上是向上凸的。
10
(1,)及(0,0)为曲线f(x)的拐点。
9
曲线的渐近线
1、定义
若曲线C上的动点P沿着曲线C无限地远离原点L无限接近，就称直线L是曲线C的一条渐近线。
时，能与某直线
limf(x)若x
A，则直线y
A是曲线yf(x)的水平渐近线。
x
limf(x)
A，
x
limf(x)
A，
设x
x0为函数y
若limx
x
f(x)0
，x
limxf(x)
，x
limxf(x)
，
f(x)的间断点，
x
x0是曲线y
f(x)的垂直渐近线。
则直线
4、斜渐近线
f(x)lim若x
x
f(x)limxx
k(kk(k
0)，且lim[f(x)kx]
x0)，且xlim[f(x)kx]
b，b，
f(x)limxx
k(k
0)，且xlim[f(x)kx]
b，
则直线y
kx
b是曲线yf(x)的斜渐近线。
2解：
(1x)
2
lim2x1
x(1x)
22
曲线的水平渐近线只有一条：y
2
x
1
是函数的间断点，且2x
2
xlim1
1(
1x
)2
曲线的垂直渐近线只有一条：x1
limf(x)
xx
无斜渐近线。
x
解：
1ex
lim
11
e
x
x
lim
11e
x
1曲线的水平渐近线有两条：y0及y
1
函数无间断点，曲线无垂直渐近线
limf(x)
xx
lim1
xx
f(x)0
(f(x)1)
无斜渐近线。
3
例3、求曲线f(x)
x
x
2
2x3
的渐近线。3
解：
x
lim
x
x
2
2x3
曲线无水平渐近线
x1及x3是函数的间断点，3
且lim
x
3
x1
x
2
2x3
x
lim
x
3
x
2
2x3
曲线的垂直渐近线只有两条：x1及x
3limf(x)3
xxlimxxx(x
22x3)
1且lim[xf(x)1x]lim2x2
3x
xx22x3
2只有一条斜渐近线：yx2
曲线作图
函数作图的主要步骤：1、确定函数y
f(x)的定义域Df，考察函数的奇偶性、周期性；
2、求出下列各点：f(x)
f(x)
0及f(x)不存在的点，0及f(x)不存在的点；
3、以上述各点划分函数定义域，在各定义区间内考察函数的单调性
和凸性，进一步确定极值点和拐点；(列表完成)
4、考察曲线是否有渐近线；
5、在坐标系中描出第2步中的所有点及曲线与坐标轴的交点，
并用光滑曲线连接。
例1、作函数yf(x)
1
1x(
2
x
的图像
,0)(0,
)内连续，2x64x
解：函数f(x)在定义域D
f(x)
xx
3
2
0x2
f(x)
x3
以x3及x
(
,3)
2划分定义域，得：
f
3(
3,2)
2
(2,0)(0,)
f(x)f(x)
y有一条水平渐近线：
1
有一条垂直渐近线：x0
f
f(x)f(x)
(,3)
3(
3,2)
2
(2,0)(0,)
单调性与凹凸性
1、函数单调性
2、极值
3、曲线的凹凸性及拐点4、曲线的渐近线5、函数作图
函数的单调性
单调性判定定理
设函数y
f(x)在区间I上连续，在I对应的开区间I内可导，
0，则f(x)在I上单调递增；0，则f(x)在I上单调递减。
(1)若在I内f(x)(2)若在I内f(x)证明：x1,x2
I，不妨设x1x2，
(x1,x
2)
I
f(x)在[x1,x2]上满足拉格朗日中值定理的条件，
f(x2)
f(x1)
f()(x2
x1)
f(x1)f
(x2)
f(x
)在I上单调递增
解：f(x)在定义域Df
(
x
,
)内连续，
f(x)以x
e
x
10
0划分定义域得：(
,0)
Df
f(x)
(0,)
f(x)在(,0]上单调递减，在[0,)上单调递增。
解：f(x)在定义域Df
(
x
,
)内连续，
f(x)以x
3x
2
0划分定义域得：(
,0)
Df
f(x)
(
0,)
f(x)在(f(x)在x
,0]上单调递增，在[0,
)上单调递增。,
)上单调递增。
0处连续，f(x)在(
例3、讨论函数
f(x)
和g(x)
,
的单调性。
解：f(x)、g(x)在定义域(
)内连续，
f(x
)
1(x0)以x0划分定义域得：f
(
,0)0(0,
)
f(x)
f(x
)在(
,
)上单调递增。
g(x)
2(x0)
以x0划分定义域得：f
(
,0)0(0,
)
f(x)
f(x)在(,0]上单调递减，在[0,
)上单调递增。
单调区间
定义：若函数在某区间内单调增，称该区间为函数的单调增区间。
问题：方法：减
减
单调增区间、单调减区间统称为单调区间。
如何确定函数的单调区间
首要任务是确定函数单调性的分界点。单调性分界点只可能产生于：驻点与不可导点处
用驻点及不可导点划分函数定义域，在各个开区间内确定
导数的正负，从而确定单调区间。
例4、确定函数f(x)2x
3
9x
2
12x3的单调区间。
解：f(x)在定义域Df
(,
)内连续，
f(x)6x
2
18x12
6(x1)(x2)
x1以x1
1、x
22划分定义域得：Df
(
,1)
1
(1,2)
2
(2,)
f(x)
(
,1]及[2,
)为f(x)的单调增区间，
[1,2]为f(x)的单调减区间。
1x2
2
1例5、确定函数f(x)6
x2的单调区间。解：f(x)在定义域Df
(
,
)内连续，
f(x)
11111
3
x3x1
3
(x0以x1、x0划分定义域得：
Df
(,
1)
1(1,0)0
(0,)
f(x)(,1]为f(x)的单调减区间，[1,
)为f(x)的单调增区间。
x0)
(
例6、证明：当x证明：令f(x)
0时，x
ln(1x)
xln(1x)
)内可导，x(0,
)
则f(x)在[0,且f(x)
1
11
)上连续，在(0,
xx
1
x
f
(x
)在[0,当x即当x
)上单调递增，
xln(1
x)
0时，有f(x)0时，x
ln(1
x)f(0)0
例7、证明：当0证明：令f(x)
x
2
时，tanxsinx2x
tanxsinx2x
则f(x)在[0,)上连续，在(0,)内可导，
22且f(x)
secx
2
cosx2
x(0,)
2
f(x)在[
0,)上单调递增，
2当0即当0
xx
22
时，有f(x)时，tanx
tanx
2x
sinx2xf(0)0
sinx
例8、证明：方程x证明：令f(x)
3
3x
2
6x1
0在区间(0,1)内有唯一实根。
x
3
3x
2
6x1
13
则f(x)在[0,1]上连续，f(0)f(1)
(0,1)，使得f()即方程x
f(x)
3
3
3
2
61
0，
3x3x
2
2
6x16x
6
0在区间(0
,1)内至少有一个实根。3(x
1)
2
3
方程x
3
3x
3
2
6x1
2
0在区间(0
,1)内最多有一个实根。
0在区间(0,1)内有唯一实根。
综上可知：方程x
3x6x1
函数的极值
1、定义
设函数y(1)(2)
f(x)在U(x0)内有定义，若xU(x0)，都有
f(x)f(x)
f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的一个极小值，x0极小值点；f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的一个极大值，x0极大值点；
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。注：(1)极值是局部概念，极大值有可能小于极小值；
(2)闭区间的端点不是极值点。
2、极值存在的必要条件
若xx0是yf(x)的极值点，且yf(x)在x
x0处可导，
则f
(x0)
驻点：f(x)
0的点称为f(x)的驻点。
注：(1)该定理表明f(x)
0的点一定不是极值点；
(2)该定理的逆命题不成立，即驻点不一定是极值点；(3)f(x)的不可导点也可能是极值点。y
x
极值点只可能产生于：驻点和不可导点。
yx
3
3、极值存在的第一充分条件
设x0为f(x)的可能极值点，且f(x)在x0处连续，在U(x0)内可导，(1)若x(2)若x
x0时f(x)
x0时f(x)
0，x
x0时f(x)
x0时f(x)
0，则x0为f(x)的极大值点；0，则x0为f(x)的极小值点；
0，x
(3)若在x0的两侧，f(x)保持同号，则x0不是f(x)的极值点。
例1、求函数f(x)
2x
3
6x
2
18x7的极值。
解：函数f(x)在其定义域(
,
)内连续，
f(x)
6x
2
12x18
6(x1)(x3)
x11以x11和x
2
3划分函数定义域，得：
Df
(,1)
1(1,3)3
(3,)
f(x)
f(1)
3为极大值，f(3)
61为极小值。
x2
3
例2、求函数f(x)(x2)(x1)的极值。
,
)内连续，
2
23
解：函数f
(x)在其定义域(
f(x)以x
2(x2)(
4x1)0
x1
14
x
2
2
(x1)
f
(
1
1、x1及x22划分函数定义域，得：
4
,1)14(14,2)2(2,1(1,14)
)
f(x)f(1)
f(2)
1
0为极小值，f()
4
81
64
为极大值。
4、极值存在的第二充分条件
设x0为f(x)的驻点，且f(x0)
0，则x0为f(x)的极值点，
(1)当f(x0)0时，(2)当f(x0)
0时，x0为f(x)的极小值点；x0为f(x)的极大值点。
例3、求函数f(x)
3x
x3
的极值。
解：函数f(x)在其定义域(
,
)内连续，
f(x)
33x
2
3(1x)(1
x)
x11f(x)6xf(1)
6
f(1)
6
f(1)2为极小值，f(1)2为极大值。
x2
1
曲线的凹凸性及拐点
1、定义
设函数y
f(x)在区间I上连续，若x1,x2)
)
I，且x1x2，都有
(1)(2)
f(
f(
x1
2
x1
2
x2
x2
f(x1)
2
f(x1)
2
f(x2)
f(x2)
，称曲线yf(x)在I上是向下凸的；
，称曲线yf(x)在I上是向上凸的。
如果一条连续曲线上既有向上凸的部分，也有向下凸的部分，则连续曲线上向上凸部分与向下凸部分的分界点称为曲线的拐点。
2、曲线凸性的判定定理设函数y
f(x)在区间I上连续，在I对应的开区间I内有二阶导数，
(1)若在I内f(x)
0，(2)若在I内f(x)
0，y
f(x)在I上是向下凸的；y
f(x)在I上是向上凸的；
则曲线则曲线
例1、判断曲线f(x)
x
3
3x
2
x1的凹凸性及拐点
解：函数f(x)在其定义域(
,
)内连续，
f(x)以x
3x
2
6x1f(x)Df
6x6(
,1)
x1
1划分定义域得：
1
(1,
)
f(x)
曲线f(x)在区间(曲线f(x)在区间[1,
,1]上是向上凸的，
)上是向下凸的。
(1,0)为曲线f(x)的拐点。
例2、判断曲线f(x)x的凹凸性及拐点
,12xDf
4
解：函数f(x)在其定义域()内连续，
2
f(x)以x
4x
3
f(x)0
x0
0划分定义域得：
(,0)
(
0,
)
f(x)
曲线f(x)在区间(曲线f(x)在区间[0,曲线f(x)在区间(
,0]上是向下凸的，
)上是向下凸的。
,
)内是向下凸的。曲线f(x)无拐点。
例3、判断曲线f(x)
的凹凸性及拐点
解：函数f(x)在其定义域(
f(x
)
1,
29
)内连续，
1
f(x)
(x0)
以x0划分定义域得：
Df
(,0)
(0,)
f(x)
曲线f(x)在区间(曲线f(x)在区间[0,
,0]上是向下凸的，
)上是向上凸的。(0,0)为曲线f(x)的拐点。
例4、判断曲线f(x)
的凹凸性及拐点
解：函数f(x)在其定义域(
f(x
)
2,
29
)内连续，
1f(x)(x0)
以x0划分定义域得：
Df
f(x)
(,0)
(0,)
曲线f(x)在区间(曲线f(x)在区间[0,
,0]上是向上凸的，
)上是向上凸的。曲线f(x)无拐点。
凹凸性的判断
问题：如何确定曲线的凹凸性
方法：首要任务是确定曲线凹凸性的分界点，即拐点。拐点只可能产生于：f(x)
0的点与f(x)不存在的点处。
用上述各点点划分函数定义域，在各个开区间内确定二阶
导数的正负，从而确定凹凸性。
例5、判断曲线f(x)1x29
的凹凸性及拐点。
解：f(x)在定义域Df
(
,
)内连续，
f(x)2119x3f(x)
22129
9(11
9
0x1
以x1、x
0划分定义域得：
Df
(
,1)
1(1,0)0
(0,)
f(x)
x
)x
0)
((
例5、判断曲线f(x)
12x9
的凹凸性及拐点。
(0,
)
Df
f(x)
(,1)
1(1,0)0
曲线f(x)在区间(,1]及[0,)上是向下凸的，
曲线f(x)在区间[1,0]上是向上凸的。
10
(1,)及(0,0)为曲线f(x)的拐点。
9
曲线的渐近线
1、定义
若曲线C上的动点P沿着曲线C无限地远离原点L无限接近，就称直线L是曲线C的一条渐近线。
时，能与某直线
limf(x)若x
A，则直线y
A是曲线yf(x)的水平渐近线。
x
limf(x)
A，
x
limf(x)
A，
设x
x0为函数y
若limx
x
f(x)0
，x
limxf(x)
，x
limxf(x)
，
f(x)的间断点，
x
x0是曲线y
f(x)的垂直渐近线。
则直线
4、斜渐近线
f(x)lim若x
x
f(x)limxx
k(kk(k
0)，且lim[f(x)kx]
x0)，且xlim[f(x)kx]
b，b，
f(x)limxx
k(k
0)，且xlim[f(x)kx]
b，
则直线y
kx
b是曲线yf(x)的斜渐近线。
2解：
(1x)
2
lim2x1
x(1x)
22
曲线的水平渐近线只有一条：y
2
x
1
是函数的间断点，且2x
2
xlim1
1(
1x
)2
曲线的垂直渐近线只有一条：x1
limf(x)
xx
无斜渐近线。
x
解：
1ex
lim
11
e
x
x
lim
11e
x
1曲线的水平渐近线有两条：y0及y
1
函数无间断点，曲线无垂直渐近线
limf(x)
xx
lim1
xx
f(x)0
(f(x)1)
无斜渐近线。
3
例3、求曲线f(x)
x
x
2
2x3
的渐近线。3
解：
x
lim
x
x
2
2x3
曲线无水平渐近线
x1及x3是函数的间断点，3
且lim
x
3
x1
x
2
2x3
x
lim
x
3
x
2
2x3
曲线的垂直渐近线只有两条：x1及x
3limf(x)3
xxlimxxx(x
22x3)
1且lim[xf(x)1x]lim2x2
3x
xx22x3
2只有一条斜渐近线：yx2
曲线作图
函数作图的主要步骤：1、确定函数y
f(x)的定义域Df，考察函数的奇偶性、周期性；
2、求出下列各点：f(x)
f(x)
0及f(x)不存在的点，0及f(x)不存在的点；
3、以上述各点划分函数定义域，在各定义区间内考察函数的单调性
和凸性，进一步确定极值点和拐点；(列表完成)
4、考察曲线是否有渐近线；
5、在坐标系中描出第2步中的所有点及曲线与坐标轴的交点，
并用光滑曲线连接。
例1、作函数yf(x)
1
1x(
2
x
的图像
,0)(0,
)内连续，2x64x
解：函数f(x)在定义域D
f(x)
xx
3
2
0x2
f(x)
x3
以x3及x
(
,3)
2划分定义域，得：
f
3(
3,2)
2
(2,0)(0,)
f(x)f(x)
y有一条水平渐近线：
1
有一条垂直渐近线：x0
f
f(x)f(x)
(,3)
3(
3,2)
2
(2,0)(0,)