从一道高考试题谈函数的凹凸性
徐解清 （江苏省苏州市相城区教研室 ２１５１３１）
１ 引例
近日做到这样一题：已知函数犳（狓）＝ｔａｎ狓，）），若狓１，，且狓１≠狓２，证狓∈（０狓２∈（０积化和差公式与半角正切的有理表达正弦公式、
式，不等式的意义和基本性质等．覆盖的知识点比涉及了三角函数的大多数基础知识．试题设较多，
２２明２
［犳（狓１）＋犳（
狓２）］＞犳１２２）
．思路１ 根据不等式的意义，只要证明
２
［犳（狓１）＋犳（狓２）］－犳狓１狓２２）
＞０即可．
证明 ２［犳（
狓１）＋犳（狓２）］－犳狓１狓２
２）
＝狓１狓２
２
（
ｔａｎ狓１＋ｔａｎ狓２）－ｔａｎ
２
＝
＋
ｓｉｎ（狓１狓２）
２ｃｏｓ狓１
ｃｏｓ狓２）－
１＋ｃｏｓ狓１＋狓２＝
２
ｓｉｎ（狓１＋狓２）ｃｏｓ狓１ｃｏｓ狓２－
１＋ｃｏｓ狓１＋狓２］
＝
ｓｉｎ（狓１狓２）［
１２２ｃｏｓ狓１１ｃｏｓ狓２
－１＋ｃｏｓ（狓１＋狓２）］
＝
（１２）·（１２）２ｃｏｓ狓＋ｃｏｓ（狓．１ｃｏｓ狓２１１＋狓２）
因为狓１，狓２∈（０２
），且狓１≠狓２，所以ｓｉｎ（狓１＋狓２）＞０，１－ｃｏｓ（狓１－狓２）＞０，２
［犳（狓１）＋犳（
狓２）］＞犳狓１狓２２）
．运用了证明不等式的基本方法———比较法．证明能不能深入下去，关键在于能否根据题设条件正确地选择公式，进行三角恒等变形．
思路２ 本题要证２（ｔａｎ狓１＋ｔａｎ狓２）＞
ｔａｎ
狓１狓２２
，左边运用同角三角函数的基本关系
式与两角和的正弦公式，化为正余弦，得
１
２ｃｏｓ狓１＋２）
（１２）ｃｏｓ狓，右边运用２＝
２ｃｏｓ狓１ｃｏｓ狓２
半角正切的有理表达式，得（１２）
１＋ｃｏｓ（狓．
两１＋狓２）
式的分子相同，只要比较分母２ｃｏｓ狓１ｃｏｓ狓２与１＋ｃｏｓ（
狓１＋狓２）的大小，不等式即可得证（证略）．试题考查的数学知识主要包括：三角函数的图象和性质，同角三角函数的基本关系式，两角和
计在三角函数和不等式知识的交汇点处，匠心独具，使学生感到既熟悉又陌生，是一道构思巧妙、值得称道的好题．
实际上，此题为１９９４年全国高考数学（理科）
第２２题，该题还有多种证法，如分析法、换元法、几何方法和函数凹凸性等．
因为在高中数学教学中，对二阶导数没有教学要求，所以函数的凹凸性这一概念在高中数学的课本中还未曾被提及，
但是利用函数凹凸性解决某些函数类问题和不等式问题的案例已经在全国各地的高考中频繁出现，并且有些题目若利用函数的凹凸性解题，则可收到事半功倍的效果．２ 凹凸函数的定义
如果函数犳（狓）对其定义域中任意的狓１，狓２都
有如下不等式犳狓１狓２２）≤
２
［犳（狓１）＋犳（狓２）］①成立，
则称犳（狓）是下凸函数（图１），当且仅当狓１＝狓２时取等号；
如果函数犳（狓）对其定义域中任意的狓１，狓２都有如下不等式犳狓１狓２２）≥
２
［犳（狓１）＋犳（
狓２）］②成立，则称犳（狓）是上凸函数（图２），当且仅当狓１＝狓２时取等号．（注：国内外数学界对函
数凹凸性的定义尚不一致
）
图１ 图２
从几何意义来看，不等式①表示定义域中任意两点狓１，狓２的中点犕所对应的曲线上的点犙位于弦
上对应点犘的下面．不等式②则有相反的意义．
利用上述关系，不仅可以深刻地研究函数的有关性质，较为准确地绘制函数的图象，而且可以为许多问题的求解带来积极的启迪作用，对优化学生思维的品质十分有益．
３ 典例分析
狓
例１ （设函数犳（对２００５年北京卷）狓）＝２，于任意的狓１，，有下列命题：狓２（狓１≠狓２）狓１①犳（
；狓１）狓２）狓１狓２）＝犳（狓１）＋＋狓２）＝犳（②犳（犳（
犳（狓１）狓２）犳（；狓２）③④犳犳（＞０；＜
２狓１－狓２
（））其中正确的命题序号是（
．．
２
分析 ２狓１·２狓２＝２狓１＋狓２，所以①成立；２狓１＋，所以②不成立；函数犳（２≠２狓）＝２在犚狓２
狓１狓２
狓
）
图１
，则犳（因为狔＝ｓｉｎ狓，当狓∈狓）狓－ｓｉｎ狓．＝
２（时为上凸函数，当狓∈（时为下凸函０，２π）π）π，所以犳（当狓∈（数，狓）０，π）时为下＝狓－ｓｉｎ狓，凸函数，当狓（观察四个２）时为上凸函数．，上是单调递增函数，若狓１＞狓２，则犳（狓１）＞
（
狓２），则（１）（２）狓＞０；若狓１＜狓２，则１－狓２
（
狓（）１）＜犳（狓２），则犳狓１犳（狓２）狓１－狓２
＞０，故③正确；因为犳（狓）＝２狓是下凸函数，所以
狓１狓２）
犳（１）犳（２）２＜
２
，故④正确．本题根据指数的运算性质和指数函数的单调性以及凹凸性对①②③④进行逐一进行判定即可．
例２ （２００５年湖北卷）在狔＝２狓，狔＝ｌｏｇ２狓，＝狓２，狔＝ｃｏｓ２狓这四个函数中，
当０＜狓１＜狓２＜１时，犳１２犳（狓１）犳（狓２）２）
＞
２
恒成立的函数的个数是（ ）
．（Ａ）０ （Ｂ）１ （Ｃ）２ （Ｄ）３
分析 运用数形结合思想，考察各函数的图象．注意到对任意狓１，狓２∈犐，且狓１＜狓２，当犳（狓）
总满足犳狓１狓２２）
＞（１）（２）
２
时，函数
（
狓）在区间犐上的图象是上凸的，由此否定狔＝２狓
，狔＝狓２
，狔＝ｃｏｓ２狓，
应选Ｂ．本题主要考查函数的凹凸性，试题给出了四
个基本初等函数，要求考生根据函数的图象研究函数的性质———凹凸性．对试题中的不等关系式
既可以利用函数的图象直观地认识，也可以通过代数式的不等关系来理解．考查的重点是结合函数的图象准确理解凹凸的含义．
例３ （２００６年重庆卷）如图１，
单位圆中弧犅的长为狓，犳（
狓）表示弧犃犅与弦犃犅所围成的弓形面积的２倍，则函数狔＝犳（狓）的图象是（ ）
．分析 扇形犗犃犅的面积为２π·π＝２，
△犃
犅犗的面积为２，所以弓形面积为２
－∈ππ选项，只有Ｄ符合．
本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中根据已知计算出函数的解析式，从而分析函数犳（狓）＝狓－ｓｉｎ狓，利用凹凸函数的性质及图象表象是解答本题的关键．
４ 高中数学中常见函数的凹凸性
以下列出的中数学中常见函数的凹凸性：
（１）反比例函数狔＝狓
（犽≠０）
：当犽＞０且狓∈（
－∞，０）时，为上凸函数；当犽＞０且狓∈（０，＋∞）时，为下凸函数．当犽＜０且狓∈（－∞，０）
时，为下凸函数；当犽＜０且狓∈（０，＋∞）时，为上凸函数．
（２）二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋狓（犪≠０）：犪＞０时为下凸函数，犪＜０时为上凸函数．
（３）指数函数狔＝犪狓
（犪＞０，且犪≠１）为下凸函数．
（４）对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓（犪＞０，且犪≠１）：０＜＜１时为下凸函数，犪＞１时为上凸函数．
（５）“双勾”函数狔＝犪狓＋狓
（犪＞０，犫＞０）
：∈（－∞，０）时为上凸函数，狓∈（０，＋∞）时为下凸函数．
（６）三角函数狔＝ｓｉｎ狓：狓∈（０，π）
时为上凸函数，狓∈（π，２π）时为下凸函数；三角函数狔＝ｃｏｓ狓：狓∈（－２２）
时为上凸函数，狓∈２２）时为下凸函数；三角函数狔＝ｔａｎ狓：狓∈（－２，
０）时为上凸函数，狓∈（０２
）时为下凸函数．事实上，有些涉及对数函数、指数函数以及一些三角不等式的计算或证明，往往看起来很复杂，甚至无从下手，但如果利用凹凸函数的性质给予计算或证明，则会起到简捷明了、事半功倍的效果．
犳犳犳狔犪犳狓犃
从一道高考试题谈函数的凹凸性
徐解清 （江苏省苏州市相城区教研室 ２１５１３１）
１ 引例
近日做到这样一题：已知函数犳（狓）＝ｔａｎ狓，）），若狓１，，且狓１≠狓２，证狓∈（０狓２∈（０积化和差公式与半角正切的有理表达正弦公式、
式，不等式的意义和基本性质等．覆盖的知识点比涉及了三角函数的大多数基础知识．试题设较多，
２２明２
［犳（狓１）＋犳（
狓２）］＞犳１２２）
．思路１ 根据不等式的意义，只要证明
２
［犳（狓１）＋犳（狓２）］－犳狓１狓２２）
＞０即可．
证明 ２［犳（
狓１）＋犳（狓２）］－犳狓１狓２
２）
＝狓１狓２
２
（
ｔａｎ狓１＋ｔａｎ狓２）－ｔａｎ
２
＝
＋
ｓｉｎ（狓１狓２）
２ｃｏｓ狓１
ｃｏｓ狓２）－
１＋ｃｏｓ狓１＋狓２＝
２
ｓｉｎ（狓１＋狓２）ｃｏｓ狓１ｃｏｓ狓２－
１＋ｃｏｓ狓１＋狓２］
＝
ｓｉｎ（狓１狓２）［
１２２ｃｏｓ狓１１ｃｏｓ狓２
－１＋ｃｏｓ（狓１＋狓２）］
＝
（１２）·（１２）２ｃｏｓ狓＋ｃｏｓ（狓．１ｃｏｓ狓２１１＋狓２）
因为狓１，狓２∈（０２
），且狓１≠狓２，所以ｓｉｎ（狓１＋狓２）＞０，１－ｃｏｓ（狓１－狓２）＞０，２
［犳（狓１）＋犳（
狓２）］＞犳狓１狓２２）
．运用了证明不等式的基本方法———比较法．证明能不能深入下去，关键在于能否根据题设条件正确地选择公式，进行三角恒等变形．
思路２ 本题要证２（ｔａｎ狓１＋ｔａｎ狓２）＞
ｔａｎ
狓１狓２２
，左边运用同角三角函数的基本关系
式与两角和的正弦公式，化为正余弦，得
１
２ｃｏｓ狓１＋２）
（１２）ｃｏｓ狓，右边运用２＝
２ｃｏｓ狓１ｃｏｓ狓２
半角正切的有理表达式，得（１２）
１＋ｃｏｓ（狓．
两１＋狓２）
式的分子相同，只要比较分母２ｃｏｓ狓１ｃｏｓ狓２与１＋ｃｏｓ（
狓１＋狓２）的大小，不等式即可得证（证略）．试题考查的数学知识主要包括：三角函数的图象和性质，同角三角函数的基本关系式，两角和
计在三角函数和不等式知识的交汇点处，匠心独具，使学生感到既熟悉又陌生，是一道构思巧妙、值得称道的好题．
实际上，此题为１９９４年全国高考数学（理科）
第２２题，该题还有多种证法，如分析法、换元法、几何方法和函数凹凸性等．
因为在高中数学教学中，对二阶导数没有教学要求，所以函数的凹凸性这一概念在高中数学的课本中还未曾被提及，
但是利用函数凹凸性解决某些函数类问题和不等式问题的案例已经在全国各地的高考中频繁出现，并且有些题目若利用函数的凹凸性解题，则可收到事半功倍的效果．２ 凹凸函数的定义
如果函数犳（狓）对其定义域中任意的狓１，狓２都
有如下不等式犳狓１狓２２）≤
２
［犳（狓１）＋犳（狓２）］①成立，
则称犳（狓）是下凸函数（图１），当且仅当狓１＝狓２时取等号；
如果函数犳（狓）对其定义域中任意的狓１，狓２都有如下不等式犳狓１狓２２）≥
２
［犳（狓１）＋犳（
狓２）］②成立，则称犳（狓）是上凸函数（图２），当且仅当狓１＝狓２时取等号．（注：国内外数学界对函
数凹凸性的定义尚不一致
）
图１ 图２
从几何意义来看，不等式①表示定义域中任意两点狓１，狓２的中点犕所对应的曲线上的点犙位于弦
上对应点犘的下面．不等式②则有相反的意义．
利用上述关系，不仅可以深刻地研究函数的有关性质，较为准确地绘制函数的图象，而且可以为许多问题的求解带来积极的启迪作用，对优化学生思维的品质十分有益．
３ 典例分析
狓
例１ （设函数犳（对２００５年北京卷）狓）＝２，于任意的狓１，，有下列命题：狓２（狓１≠狓２）狓１①犳（
；狓１）狓２）狓１狓２）＝犳（狓１）＋＋狓２）＝犳（②犳（犳（
犳（狓１）狓２）犳（；狓２）③④犳犳（＞０；＜
２狓１－狓２
（））其中正确的命题序号是（
．．
２
分析 ２狓１·２狓２＝２狓１＋狓２，所以①成立；２狓１＋，所以②不成立；函数犳（２≠２狓）＝２在犚狓２
狓１狓２
狓
）
图１
，则犳（因为狔＝ｓｉｎ狓，当狓∈狓）狓－ｓｉｎ狓．＝
２（时为上凸函数，当狓∈（时为下凸函０，２π）π）π，所以犳（当狓∈（数，狓）０，π）时为下＝狓－ｓｉｎ狓，凸函数，当狓（观察四个２）时为上凸函数．，上是单调递增函数，若狓１＞狓２，则犳（狓１）＞
（
狓２），则（１）（２）狓＞０；若狓１＜狓２，则１－狓２
（
狓（）１）＜犳（狓２），则犳狓１犳（狓２）狓１－狓２
＞０，故③正确；因为犳（狓）＝２狓是下凸函数，所以
狓１狓２）
犳（１）犳（２）２＜
２
，故④正确．本题根据指数的运算性质和指数函数的单调性以及凹凸性对①②③④进行逐一进行判定即可．
例２ （２００５年湖北卷）在狔＝２狓，狔＝ｌｏｇ２狓，＝狓２，狔＝ｃｏｓ２狓这四个函数中，
当０＜狓１＜狓２＜１时，犳１２犳（狓１）犳（狓２）２）
＞
２
恒成立的函数的个数是（ ）
．（Ａ）０ （Ｂ）１ （Ｃ）２ （Ｄ）３
分析 运用数形结合思想，考察各函数的图象．注意到对任意狓１，狓２∈犐，且狓１＜狓２，当犳（狓）
总满足犳狓１狓２２）
＞（１）（２）
２
时，函数
（
狓）在区间犐上的图象是上凸的，由此否定狔＝２狓
，狔＝狓２
，狔＝ｃｏｓ２狓，
应选Ｂ．本题主要考查函数的凹凸性，试题给出了四
个基本初等函数，要求考生根据函数的图象研究函数的性质———凹凸性．对试题中的不等关系式
既可以利用函数的图象直观地认识，也可以通过代数式的不等关系来理解．考查的重点是结合函数的图象准确理解凹凸的含义．
例３ （２００６年重庆卷）如图１，
单位圆中弧犅的长为狓，犳（
狓）表示弧犃犅与弦犃犅所围成的弓形面积的２倍，则函数狔＝犳（狓）的图象是（ ）
．分析 扇形犗犃犅的面积为２π·π＝２，
△犃
犅犗的面积为２，所以弓形面积为２
－∈ππ选项，只有Ｄ符合．
本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中根据已知计算出函数的解析式，从而分析函数犳（狓）＝狓－ｓｉｎ狓，利用凹凸函数的性质及图象表象是解答本题的关键．
４ 高中数学中常见函数的凹凸性
以下列出的中数学中常见函数的凹凸性：
（１）反比例函数狔＝狓
（犽≠０）
：当犽＞０且狓∈（
－∞，０）时，为上凸函数；当犽＞０且狓∈（０，＋∞）时，为下凸函数．当犽＜０且狓∈（－∞，０）
时，为下凸函数；当犽＜０且狓∈（０，＋∞）时，为上凸函数．
（２）二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋狓（犪≠０）：犪＞０时为下凸函数，犪＜０时为上凸函数．
（３）指数函数狔＝犪狓
（犪＞０，且犪≠１）为下凸函数．
（４）对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓（犪＞０，且犪≠１）：０＜＜１时为下凸函数，犪＞１时为上凸函数．
（５）“双勾”函数狔＝犪狓＋狓
（犪＞０，犫＞０）
：∈（－∞，０）时为上凸函数，狓∈（０，＋∞）时为下凸函数．
（６）三角函数狔＝ｓｉｎ狓：狓∈（０，π）
时为上凸函数，狓∈（π，２π）时为下凸函数；三角函数狔＝ｃｏｓ狓：狓∈（－２２）
时为上凸函数，狓∈２２）时为下凸函数；三角函数狔＝ｔａｎ狓：狓∈（－２，
０）时为上凸函数，狓∈（０２
）时为下凸函数．事实上，有些涉及对数函数、指数函数以及一些三角不等式的计算或证明，往往看起来很复杂，甚至无从下手，但如果利用凹凸函数的性质给予计算或证明，则会起到简捷明了、事半功倍的效果．
犳犳犳狔犪犳狓犃