Matlab 平台上函数单调性与凹凸性判定的数学实验
崔秋珍，李龙星
（洛阳工业高等专科学校 471003计算机系，河南洛阳）
摘 要： Matlab 软件平台是功能强大的计算机数学实验系统，大量的数学计算可以在Matlab 上实现。系统介绍在Matlab 软件平台上实现函数单调性与凹凸性判定可视化的数学实验方法。关键词：数学实验；Matlab ；计算机图形
中图分类号： O212.6 A 1008-8814(2003)02-0046-02 文献标识码：文章编号：数学实验是教育部高等教育面向二十一世纪教学内容和课程体系改革中列为非数学专业类的四门基础课之一。数学实验的目的是将抽象的数学内容与计算机应用软件相结合，借助计算机迅速的计算和图形处理能力, 实现数学的“可视化”，为抽象思维提供直观模型，从而降低数学问题的难度，增强学生学习数学的兴趣和积极性。实现数学实验的软件平台通常可以选择Matlab 和Mathmatica ，它们都是功能强大的计算机数学软件系统。本文探讨在Matlab 平台下实现函数单调性与凹凸性判定的数学实验。
则得到： f ' (x ) =3x 2−2x −1 f ' ' (x ) =6x −2
(2) 同一坐标系下作出f (x ), f ' (x ), f ' ' (x ) 的图象在matlab 命令窗口输入语句：
fplot ('x ^3−x ^2−x +1' , [−5, 5, −15, 15],' k −' ); hold on;fplot ('3*x ^2−2*x −1' , [−5, 5, −15, 15],' k :'); hold on;
fplot ('6*x −2' , [−5, 5, −15, 15],' k −' ); ('y =x ^3−x ^2−x +1' , ' dy /dx legend
=3x ^2−2x −1' , ' d ^2y /dx ^2=6x −2' , 0) grid on
运行命令得到图1所示图形(这里选取 −5
1 函数单调性与凹凸性判定的结论
高等数学中导数应用的一个主要内容是利用导数判定函数的单调性与极值、凹凸性与拐点。其相应的结论有：
定理1：设f (x ) 在(a,b)内可导，则：
'
(1) (a,b) 若在内f (x ) >0，则f (x ) 在(a,b)内单调
增加；
' (2) (a,b) 若在内f (x )
减少。
定理2：设f (x ) 在(a,b)内具有二阶导数，则：
' ' (1) (a,b) 若在内恒有f (x ) >0，则曲线f (x ) 在(a,
b) 内上凹；
' ' (2) (a,b) 若在内恒f (x )
内下凹(凸) 。
2 Matlab平台下实现函数单调性与凹凸性的判定
下面通过实例说明在Matlab 平台下实现函数单调性与凹凸性判定的可视化方法。
32
例：确定函数 f (x ) =x −x −x +1的单调区间与极
f (x ), f ' (x ), f ' ' (x ) 1 图图象
, f ' (x ), f ' ' (x ) 之间的关 观察图1分析f (x ）
系得到结论：
① (-1' 2有两个零点，分别在，0) 和
f （x ）=3x
−2x −1
值、凹凸区间与拐点。
(1) 求
f (x )
'
和
f
' '
(x )
(0 ，2) 区间。且在零点的左右两侧f ' (x ) 异号，所以 f (x ) 在两个零点处取得极值；
f (x ) =6x −1有一个零点，位于，1) 区间。由② (0于零点的左右两侧f (x )
'
' '
matlab 语句序列如下：
syms =x ; f =sym ('x ^3−x ^2−x +1' ); diff (f ) ;diff (f , 2)
的单调性改变，因此
f (x )
' '
异
号，曲线在零点的左右两侧发生凹向改变，在曲线的相应位置上有拐点。
(3) 确定函数的单调区间极值点、凹凸区间和拐点输入matlab 语句：
输入命令：
text(-0.3333,1.1852,'\bullet');text(0.3333,0.5926,'\bullet') ; text(1,0,'\bullet')
在曲线上标注相应点，并添加说明文字。如图2所示。
x =fzero ('3*x ^2−2*x −1' , [−1, 0]) %求f ' (x )
在(-10)上的零点
x =fzero ('3*x ^2−2*x −1' , [0, 2]) %求f ' (x ) 在(0,2)上的零点
x =fzero ('6*x −2' , [0, 1])%求f ' ' (x ) 在，1) 上的 (0零点
运行命令后得到：
极大值点x max =−0. 3333; 极小值点x min =1；拐点的横坐标 x =0. 3333
输入命令：
x =[−0. 3333; 1; 0. 3333];y =x .^3−x .^2−x +1; y
则得
y =1. 1852; 0; 0.5926
即极大值y max =1.1852；极小值y =拐点min 0; (0.3333,0.5926)
由实验得出结论：
当x 1时，f (x ) 单调递增；当 , −0. 3333
当x 0. 3333曲线为凹的。 (对于f (x ) 在f ' (x ) 不存在点处取得极值的情况，可以借助图形的观察结果，利用单变量最小化的方法确定极值。)
(4) 在图形上添加极值点和拐点标注
The Mathematics Experement on Decision for Function Monotonicity and Cancave-conves Effects Based on MATLAB
CUI Qiu-zhen, LI Long-xing
(Dept. of Computer, Luoyang Technology College, Luoyang 471003,China)
Abstrct: MATLAB is a powerful software system of mathematical experiment in which a large number of mathematical problems can be resulved. In this paper, a method of decision in MATLAB is systematically introduced for function monotonicity and concave-conves effects and visualized.
Key words: Mathematics; Experiment; Matlab; Computer graphics
(上接第22页)
2 f (x ) 单调性与凹凸性图示图
3 结语
通过上面数学实验的实现，不仅使学生对利用导数研究函数的特征有了直观的认识，对抽象的定理加深了理解和掌握。同时也掌握了利用Matlab 绘制函数曲线图形、求导、计算零点、确定极值等数学运算的方法。
参 考文献：
[1] ,苏金明阮沈勇. Matlab6.1实用指南[M].北京:电子工业出版社, 2002.
[2] ,丁永胜李朝红.mathcad 平台上函数间断点的数学实验[J].高师理科学刊,2001,(8).
收稿日期：2003-03-07
Computer Network System of Books Management Integration Scheme and Actualize
LI Zi, WU Jian-wei, ZHANG Ling-ling
(Luoyang Technology College, Luoyang 471003, China)
Abstract: The computer network system of books management is regarded as the important respect of the modern library, Occupying the outstanding position in the construction of the library.Because of network safety and reliablity, data resource-sharing and share range special request of result nature, there is its particularity in the integrated respect of the network. How to realize the above-mentioned functions requirement is the main research of this Article.
Key words: Books management; Computer network system; Network configuration; Data security resource sharing
Matlab 平台上函数单调性与凹凸性判定的数学实验
崔秋珍，李龙星
（洛阳工业高等专科学校 471003计算机系，河南洛阳）
摘 要： Matlab 软件平台是功能强大的计算机数学实验系统，大量的数学计算可以在Matlab 上实现。系统介绍在Matlab 软件平台上实现函数单调性与凹凸性判定可视化的数学实验方法。关键词：数学实验；Matlab ；计算机图形
中图分类号： O212.6 A 1008-8814(2003)02-0046-02 文献标识码：文章编号：数学实验是教育部高等教育面向二十一世纪教学内容和课程体系改革中列为非数学专业类的四门基础课之一。数学实验的目的是将抽象的数学内容与计算机应用软件相结合，借助计算机迅速的计算和图形处理能力, 实现数学的“可视化”，为抽象思维提供直观模型，从而降低数学问题的难度，增强学生学习数学的兴趣和积极性。实现数学实验的软件平台通常可以选择Matlab 和Mathmatica ，它们都是功能强大的计算机数学软件系统。本文探讨在Matlab 平台下实现函数单调性与凹凸性判定的数学实验。
则得到： f ' (x ) =3x 2−2x −1 f ' ' (x ) =6x −2
(2) 同一坐标系下作出f (x ), f ' (x ), f ' ' (x ) 的图象在matlab 命令窗口输入语句：
fplot ('x ^3−x ^2−x +1' , [−5, 5, −15, 15],' k −' ); hold on;fplot ('3*x ^2−2*x −1' , [−5, 5, −15, 15],' k :'); hold on;
fplot ('6*x −2' , [−5, 5, −15, 15],' k −' ); ('y =x ^3−x ^2−x +1' , ' dy /dx legend
=3x ^2−2x −1' , ' d ^2y /dx ^2=6x −2' , 0) grid on
运行命令得到图1所示图形(这里选取 −5
1 函数单调性与凹凸性判定的结论
高等数学中导数应用的一个主要内容是利用导数判定函数的单调性与极值、凹凸性与拐点。其相应的结论有：
定理1：设f (x ) 在(a,b)内可导，则：
'
(1) (a,b) 若在内f (x ) >0，则f (x ) 在(a,b)内单调
增加；
' (2) (a,b) 若在内f (x )
减少。
定理2：设f (x ) 在(a,b)内具有二阶导数，则：
' ' (1) (a,b) 若在内恒有f (x ) >0，则曲线f (x ) 在(a,
b) 内上凹；
' ' (2) (a,b) 若在内恒f (x )
内下凹(凸) 。
2 Matlab平台下实现函数单调性与凹凸性的判定
下面通过实例说明在Matlab 平台下实现函数单调性与凹凸性判定的可视化方法。
32
例：确定函数 f (x ) =x −x −x +1的单调区间与极
f (x ), f ' (x ), f ' ' (x ) 1 图图象
, f ' (x ), f ' ' (x ) 之间的关 观察图1分析f (x ）
系得到结论：
① (-1' 2有两个零点，分别在，0) 和
f （x ）=3x
−2x −1
值、凹凸区间与拐点。
(1) 求
f (x )
'
和
f
' '
(x )
(0 ，2) 区间。且在零点的左右两侧f ' (x ) 异号，所以 f (x ) 在两个零点处取得极值；
f (x ) =6x −1有一个零点，位于，1) 区间。由② (0于零点的左右两侧f (x )
'
' '
matlab 语句序列如下：
syms =x ; f =sym ('x ^3−x ^2−x +1' ); diff (f ) ;diff (f , 2)
的单调性改变，因此
f (x )
' '
异
号，曲线在零点的左右两侧发生凹向改变，在曲线的相应位置上有拐点。
(3) 确定函数的单调区间极值点、凹凸区间和拐点输入matlab 语句：
输入命令：
text(-0.3333,1.1852,'\bullet');text(0.3333,0.5926,'\bullet') ; text(1,0,'\bullet')
在曲线上标注相应点，并添加说明文字。如图2所示。
x =fzero ('3*x ^2−2*x −1' , [−1, 0]) %求f ' (x )
在(-10)上的零点
x =fzero ('3*x ^2−2*x −1' , [0, 2]) %求f ' (x ) 在(0,2)上的零点
x =fzero ('6*x −2' , [0, 1])%求f ' ' (x ) 在，1) 上的 (0零点
运行命令后得到：
极大值点x max =−0. 3333; 极小值点x min =1；拐点的横坐标 x =0. 3333
输入命令：
x =[−0. 3333; 1; 0. 3333];y =x .^3−x .^2−x +1; y
则得
y =1. 1852; 0; 0.5926
即极大值y max =1.1852；极小值y =拐点min 0; (0.3333,0.5926)
由实验得出结论：
当x 1时，f (x ) 单调递增；当 , −0. 3333
当x 0. 3333曲线为凹的。 (对于f (x ) 在f ' (x ) 不存在点处取得极值的情况，可以借助图形的观察结果，利用单变量最小化的方法确定极值。)
(4) 在图形上添加极值点和拐点标注
The Mathematics Experement on Decision for Function Monotonicity and Cancave-conves Effects Based on MATLAB
CUI Qiu-zhen, LI Long-xing
(Dept. of Computer, Luoyang Technology College, Luoyang 471003,China)
Abstrct: MATLAB is a powerful software system of mathematical experiment in which a large number of mathematical problems can be resulved. In this paper, a method of decision in MATLAB is systematically introduced for function monotonicity and concave-conves effects and visualized.
Key words: Mathematics; Experiment; Matlab; Computer graphics
(上接第22页)
2 f (x ) 单调性与凹凸性图示图
3 结语
通过上面数学实验的实现，不仅使学生对利用导数研究函数的特征有了直观的认识，对抽象的定理加深了理解和掌握。同时也掌握了利用Matlab 绘制函数曲线图形、求导、计算零点、确定极值等数学运算的方法。
参 考文献：
[1] ,苏金明阮沈勇. Matlab6.1实用指南[M].北京:电子工业出版社, 2002.
[2] ,丁永胜李朝红.mathcad 平台上函数间断点的数学实验[J].高师理科学刊,2001,(8).
收稿日期：2003-03-07
Computer Network System of Books Management Integration Scheme and Actualize
LI Zi, WU Jian-wei, ZHANG Ling-ling
(Luoyang Technology College, Luoyang 471003, China)
Abstract: The computer network system of books management is regarded as the important respect of the modern library, Occupying the outstanding position in the construction of the library.Because of network safety and reliablity, data resource-sharing and share range special request of result nature, there is its particularity in the integrated respect of the network. How to realize the above-mentioned functions requirement is the main research of this Article.
Key words: Books management; Computer network system; Network configuration; Data security resource sharing