福建农林大学学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｕｉｌａｎＡｇｒｉｃｕｌｔｕｒｅａｎｄＦｏｒｅｓｔｒｙＵｎｉｖｅｒｓｉｏｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）第３２卷第４期２００３年１２月关于辅助函数法与高等数学解题关系的探讨
陈绩馨
（福建农林大学计算机与信息学院，福建福州３５０００２）
捕要：探讨了辅助函数法在高等数学定理、不等式的证明．函数零点的讨论，隐函数的求导．以及微分法、最值中的应用．并对其进行了分析和论证．
关键词：辅助函数法；高等数学；解题
中圈分类号：０１３
Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ
ｉｎｏｎ文献标识码：Ａｔｈｅ文重编号：１００６—７８１７（２００３）０４一０５０６一０４ｒｅｌａ“ｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎａｕｘｉｌｉａｒｙｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｎｄｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｈｉｇｈｅｒｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
ＣＨＥＮＪｉ—ｘｉｎｇ
（Ｃｏｌｌ８９ｅｏｆｃｏｍｐｕｔｅｒａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｌｏｎ，ＦｕｊｉａｎＡｇｒｉｃｕｈｕｒｅａｎｄＦｏｒｅｓｔ。ｙＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｆｕｚｈｏｕ，Ｆｕｊｉａｎ３５０００２，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ
ｓｉｏｎｏｆａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆａｕｘｉｌｌａ。ｙｆｕｎｃｔｉｏｎｉｎｈｉｇｈｅｒｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｔｏｔｈｅｐｒ００ｆｏｆｓｏｍｅｔｈｅｏｒｅｍｓａｎｄｉｎ８ｑｕａｎｌｉｔｙ，ｄｉｓｃｕｓ—ｆｕｎｃｔｉｏｎｚｅｒｏ—ｐｏｉｎｔ，ｔｈｅｄｅｒｉｖａ“ｏｎｏｆｉｍｐｌｉｃｉｔｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎａｎｄｅｘｔｒｅｍｕｍｓｗｅｒｅｓｔｕｄｉｅｄ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅｔｈｅａｎａｌｙｓ诗ａｎｄｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｌｏｎａｂｏｕｔｔｈｅｓｅｔｈｅｏｒｉｅｓｗｅｒｅａｌｓｏｃｏｎｄｕｃｔｅｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ａｕｘｉｌｌａｒｙｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅｔｈ。ｄ；ｈｉｇｈｅｒｍａｔｈｅｍａｔｉｃ５｝ｓ０１ｕｔｉｏｎ
在某些定理、不等式的证明，函数零点的讨论，隐函数的求导，微分法在几何上的应用，以及求极值或最值时，引入构造辅助函数法，是高等数学解题的一个重要方法．
１构造辅助函数证明新定理
构造辅助函数，将问题转化为已证定理来证明新定理．证明闭区间上连续函数的介值定理、微分学中的拉格朗日中值定理及柯西中值定理等，可通过构造辅助函数法，将问题转化为已证定理，从而达到解决问题的目的．
１．１介值定理的证明
构造辅助函数认ｚ）一，（ｚ）一ｃ，则认ｚ）在闭区间■，６］上连续，且“ｎ）与认６）异号，满足零点定理的条件，将问题转化为可应用零点定理证明介值定理［１］．
１．２拉格朗日中值定理的证明
构造辅助函数仪。）：，ｈ）一，（ｄ）一￡堕；二；型。一。），≯ｂ）满足罗尔定理的条件，“ｎ）一Ｐ（６）一ｏ，将问题转化为可应用罗尔定理证明拉格朗日中值定理．
１．３柯西中值定理的证明
构造辅助函数“ｚ）一，ｂ）一厂（ｎ）一蛊；罟；；嘉器・［Ｆ（ｚ）一Ｆ妇）］，“ｚ）满足罗尔定理的条件，“ｎ）一烈６）一ｏ，将问题转化为可应用罗尔定理证明柯西中值定理．
２构造辅助函数讨论函数的零点
讨论函数的零点或方程的根可通过构造辅助函数将问题转化为该函数的导函数在某区间内存在零点的问题，再应用相应的零点定理、介值定理、微分中值定理来证明．
２．１转化为可应用闭区间上连续函数的零点定理
设＇厂∈［ｏ，２ａ］，ｎ＞ｏ，且，（ｏ）一厂（２ｎ），求证：存在ｅ∈（ｏ，ｎ），使，（ｅ）一，（￡十ｄ）．
收稿日期：２００３０９ｌｏ
作者简介：陈绩馨（１９５８一），女，高教教师．研究方向：高等撤学教学与应用
第４期陈绩馨：关于辅助函数法与高等数学解题关系的探讨・５０７・
将该问题转化成某个连续函数在区间（ｏ，ｏ。）的零点存在性问题．构造辅助函数ｐ（ｚ）一，（ｚ＋ａ）一，（ｚ）＇贝Ⅱ“ｏ）与烈ｎ）符号相反，应用零点定理，可证明存在车∈（ｏ，ｎ），使烈ｅ）一ｏ，即，（搴）一，（｝＋ｎ）．２．２将问题转化为可应用闭区间上莲续函数的介值定理
证明方程ｚ５—３ｚ—ｌ至少有１个根介于ｌ和２之间．
将方程根的问题转化为某个函数的零点问题．构造辅助函数，ｈ）一矿～３ｚ一１，则，（ｚ）在［１，２］上连续，又，（１）＜ｏ，，（２）＞Ｏ，由介值定理可知至少存在一点｝∈（１，２），使，（亭）一ｏ，即方程ｚ３—３ｚ＝１在（１，２）中至少有１个根＃．
２．３将问题转化为可应用罗尔定理
设函数，ｂ）在［ｏ，１］上连续，在（ｏ，１）内可导，且，（１）一ｏ，证明：至少存在一点｝∈（ｏ，１），使｝厂（Ｓ）＋，（｝）一０．
将该问题转化为要证［ｚ，ｂ）］’ｆ。；Ｐｏ．构造辅助函数，ｏ）一ｚ，ｏ），则Ｆｏ）在［ｏ，１］上连续，在（ｏ，１）内可导，又Ｆ（ｏ）一Ｆ（１）一ｏ，因此，Ｆ（ｚ）在［ｏ，１］上满足罗尔定理的条件，存在｝∈（ｏ，１），使得Ｆ，（ｚ）一ｏ，即芋，（芋）＋厂（亭）一Ｏ．
２．４将问题转化为讨论导函数的零点
若，（ｚ）可导，试证在，（ｚ）的２个零点之间，一定有，ｂ）十厂（ｚ）一。的零点．
构造辅助函数Ｆｂ），使Ｆ’（ｚ）一，（ｚ）＋，，（ｚ），则问题可转化为求Ｆ（ｚ）的零点存在问题．可用罗尔定理证明Ｆ（ｚ），因为（ｅ。）７一ｅ。，因此，构造辅助函数Ｆ（ｚ）一ｅ２，ｂ），且，（ｚ。）一，（＿ｒ：）一０，ｚ。＜ｚ：，由于，（ｚ）可导，可知Ｆｂ）在ｂ。，ｚ：］上满足罗尔定理的条件，至少存在一点｝∈（ｚ，，ｚ：），使得∥（｝）一ｏ，即一（ｅ）一ｅｙ（｝）＋ｅ。厂（｝）一ｅ５［，（｝）＋，，（＃）］一ｏ，由于ｅ５≠ｏ，因此，（ｆ）＋厂（ｆ）一ｏ．
２．５将问题转化为可应用微分中值定理
设函数，（ｚ）在＿，６］连续，在（ｎ，６）可导，并且，（－ｒ）≠ｏ，试证存在ｅ、＿∈（ａ，６），使得务器一号三荨・ｅ～．
上述结论中出现｝、＿，因而可考虑用２次中值定理，同时出现，ｏ）与ｅ。２个函数．因此，可考虑对，ｈ）与ｅ。在■，６］上应用柯西中值定理，又因为结论中有６一ｎ，故可考虑对，（ｚ）在■，６］上应用拉格朗日中值定理．
丛掣一￡笋，所以，丛掣一生专兰芋二二，，（叩），又因为，（ｚ）在＿，６］上满足拉格朗日中值定理条件，存在亭∈（ｎ，６），使得丛掣一，（车），因为，（ｚ）≠ｏ，所以尸（叩）≠ｏ，故笋器一譬三・ｅ．２．６将问题转化为讨论函数在给定区间上零点的个数构造辅助函数占（ｚ）一ｅ１，则ｇ（ｚ）与，（ｚ）在■，６］上满足柯西中值定理条件，存在７∈（ｎ，６），使得
求证：方程１ｎｚ一詈一Ｉ／Ｆ＝＿ｉ五五ｄｚ，在（ｏ，＋。。）内只有２个不同实根．
构造辅助函数，（ｚ）一ｌｎｚ一÷＋Ｉ
，一Ｏ十ｚ一十”￣／ｌ—ｃｏｓ２ｚｄｚ，由于，（ｚ）在（ｏ，＋。。）连续，，（ｅ）＞ｏ，ｌｉｍ，（ｚ）一一∞，ｌｉｍ，（ｚ）一一。。，则ｚ１∈（０，ｅ），，（ｚ１）＜Ｏ；ｚ：∈（ｅ，＋∞），，（ｚ２）＜Ｏ．所以，（ｚ）在（ｚｌ，ｅ）
和（ｅ，ｚ：）分别有零点，可证，妇）在（ｏ，ｅ）和（ｅ，＋ｏ。）上分别单调，因此，（ｚ）在（ｏ，ｅ）和（ｅ，＋。。）上分别只有１个零点，即在（Ｏ，十。。）只有２个零点．
２．７将问题转化为可应用反证法
构造辅助函数，将问题转化为可用反证法讨论函数的零点ｏ］．设，（ｚ）在［一２，２］连续，在（一２，２）二阶可导，且ｌ，（ｚ）Ｉ≤１，，，（ｏ）＞１，求证：存在ｅ∈（一２，２），使得尸（｛）一ｏ．
假设尸（｝）≠ｏ，构造辅助函数Ｆ（ｚ）一，（ｚ）一［，（ｏ）＋，『（ｏ）ｚ］，则Ｆ”ｈ）一尸（｛）在（一２，２）大于零或
ｆ＜０，一２＜ｚ＜Ｏｒ＞０，一２＜＿ｒ＜Ｏ
小于零，Ｆ’（＿ｒ）在（一２，２）单调上升或单调下降，Ｆ’（ｚ）＜一ｏ，ｚ—ｏ或∥（ｚ）＜一ｏ，ｚ—ｏ，因为
【＞ｏ，ｏ＜ｚ＜２【＜ｏ，ｏ＜ｚ＜２
Ｆ（ｏ）之ｏ，则Ｆ（ｚ）＞ｏ，或Ｆ（工）＜ｏ，ｚ∈［一ｚ，２］，＇ｒ≠ｏ，Ｆ（２）＜ｏ，Ｆ（一２）＞ｏ矛盾，因此，存在车∈（一２，２），使得Ｐｂ）一，（＃）＝ｏ．
・５０８・福建农林大学学报（自然科学版）第３２卷３构造辅助函数，证明不等式
有些不等式的证明要构造辅助函数，并对所构造的辅助函数求导，将问题转化为可应用微分学中值定理、函数的单调性、函数的极值或最值、函数的凹凸性证明不等式．
３．１将问题转化为应用微分中值定理证明函数，ｈ）在ｋ，胡上连续，在（。，６）内可导，则存在｝∈（。，６），使得，『（丰）一丛掣，如果，（｝）可
如：设ｄ＞６＞ｏ，证明：！≠＜ｌｎ詈＜！≠．得估计式，就可得到关于￡竺；二；堕的有关不等式．因此，这一类不等式可通过构造辅助函数，（ｚ），转化为应用微分中值定理来证明．
构造辅助函数，ｏ）一ｌｎｚ，则，（ｚ）在［６，口］上连续，在（６，ｄ）内可导，由拉格朗日中值定理可知，存在｝∈（６，ｎ），使得ｌＩｌｎ—ｌｎ６一宰，因为丢＜专＜丢且４—６＞ｏ，从而证得字＜ｌｎ詈＜≮生．
３．２将问题转化为应用函数的单调性证明
函数，（ｚ）在ｋ，６］上单调增加（或减少），则，（ｚ）＞ｏ（或＜ｏ），ｚ∈（ｎ，６）．即由单调性可得一类不等式，要证明这类不等式，可构造辅助函数，（ｚ），将问题转化为应用函数的单调性证明．
证明：当ｚ＞４时，２。＞ｚ２．
构造辅助函数，ｏ）一ｚｌｎ２—２１ｎｚ，则，ｂ）在［４，＋ｏ。）上连续、可导，且，ｏ）一ｌｎ２一÷一等一号＞警一车一ｏ，ｚ∈（４，＋∞），所以，（ｚ）在［４，＋ｏ。）上单调增加，从而，（ｚ）＞，（４）一ｏ，ｚ∈（４，＋ｏ。），即Ｉｎ２。＞ｌｎｚ２，ｚ∈（４，十。。），所以，ｅ础‘＞ｅｈ‘，即当ｚ＞４时，２。＞ｚ２．
３．３将问题转化为应用函数的最值证明
若函数，（ｚ）在［４，６］上有最大值Ｍ，则，（ｚ）≤Ｍ；若函数，（ｚ）在ｋ，６］上有最小值ｍ，则，（ｚ）≥ｍ，也就是说由函数的最大值或最小值可得一些不等式．要证明这些不等式，可通过构造辅助函数－ｒ（ｚ），将问题转化为应用最大值或最小值来证明“］．
证明：ｚ∈［ｏ，１］时，若ｉ≤，＋（１一ｚ）’≤１（户＞１），１≤一十（１一ｚ）’≤；与（ｏ＜户＜１）．
构造辅助函数，ｏ）一一＋（１一ｚ）一，则，（ｚ）在［ｏ，１］上连续，在（ｏ，１）内可导，且有，（ｚ）一ｐ一～一户（１一ｚ）’～，令，（ｚ）一ｏ，得ｚ一专，则，（ｏ）一，（１）一１，，｛专Ｉ一嘉．当户＞１时，１＞嘉，则，（ｚ）在［ｏ，１］上的最大值为１，最小值为杀了，从而击≤一＋（１一ｚ）’≤１；当ｏ＜户＜１，１＜ｉ与，则，ｏ）在［ｏ，１］上的最大值为杀了，最小值为１，从而ｌ≤一＋（１一ｚ）’≤赤．
３．４将问题转化为应用函数的凹凸性证明
函数，ｈ）在［ｎ，６］上连续，在（４，６）内具有二阶导数，则在（ｎ，６）内，由，’（ｚ）＞ｏ（或＜ｏ），可判别函数，（ｚ）的凹凸性，由函数的凹凸性可得到一些不等式．因此，可构造辅助函数，（ｚ）来证明一些不等式．
证明：ｚｌｎｚ＋ｙｌｎｙ＞（ｚ＋ｙ）１ｎ兰—｝』ｏ＞ｏ，ｙ＞ｏ，ｚ≠ｙ）．
构造辅助函数，（ｆ）一ｆｌｎ￡，则，’（ｆ）＝÷＞ｏ，￡∈（ｏ，＋ｏ。），所以，（ｆ）的图形向上凹，对任意ｚ、ｙ∈（ｏ，＋ｏ。），．ｒ≠ｙ，有，ｆ墨＃１＜』鱼２；；』业，即ｏ＋ｙ）ｌ。！弓型＜。ｌｎ。＋ｙｌｎ∥，命题得证．
４构造辅助函数，求隐函数的导数
构造辅助函数，用公式法求隐函数的导数“］．
４．１求一元隐函数的导数
嵩求导．
设ｓｉｎｙ＋ｅ，一ｚｙｚ—ｏ，求笔．构造辅助函数Ｆ（ｚ，ｙ）一ｓｉｎｙ＋ｆ—ｚ，，则可应用公式￡一一瓮一
第４期陈绩馨：关于辅助函数法与高等数学解题关系的探讨・５０９・４．２求多元隐函数的偏导数
设ｒ～ｚ掣一。，求嘉．构造辅助函数Ｆｂ，ｙ，ｚ）一ｅ２一ｚｙｚ，则可应用公式恚一一瓮一尚一；；笔求导．
４．３求方程组所确定的函数的导数或偏导数
５构造辅助函数，将问题转化为可应用微分法求解设方程组｛篙耋，确定ｙ与ｚ是ｚ的函数’求塞和塞．一篇求导塞一铡一精’塞足生Ｂ２（５ｙ＋３２）…。构造辅助函数Ｆｏ，ｙ，ｚ）一ｚ２＋ｙ２十２２—３ｚ，Ｇｈ，ｙ，ｚ）一２ｚ一３ｙ＋妊～４，应用公式｜Ｆ：Ｆ，Ｉｑ一ｑ一凡ｅ
构造辅助函数，把曲面方程、空间曲线转化为函数问题，通过求导求出血面的切平面方程和空间曲线的切线方程．
５．１求曲面的切平面方程
求曲面ｅ２一ｚ＋ｚｙ一３在点（２，１，ｏ）处的切平面方程
构造辘助函数Ｆ（ｚ，ｙ，ｚ）一ｅ。一ｚ＋ｚｙ一３，将该问题转化为函数问题，则曲面在点（２，１，ｏ）处的法向量为”ｋ。。一ｆＲ，Ｅ，凡）ｋ。，＝｛ｙ，ｚ，ｅ２—１）ｋ。产｛ｌ，２，ｏ），故曲面在点（２．１，ｏ）处的切平面方程为１・（ｚ一２）＋２・（，一１）＋Ｏ・ｏ一０）一Ｏ即ｚ十２，一４一Ｏ．
ｓ．２求空间曲线的切线方程
求空间曲线｛三：薹三嚣在点Ｍ。（３，１，１）处的切线方程．
构造辅助函数Ｆｂ，ｙ，ｚ）一≯＋ｙ２—１０，Ｇｏ，ｙ，ｚ）一＿ｒ２＋ｚ２—１０，则点Ｍ。（３，１，１）处有：；蒉舅Ｉ”。一４，；善差；Ｉ％一一１２，甍；焉｝Ｉ‰一一】２，所以，曲线在点肘。处的切向量为７１一｛４，一１２，一１２）或７１一｛ｌ，一３，一３｝，切线方程为兰≯＝笠二≠一兰二；．
６构造辅助函数，将问题转化为最值问题
可通过构造辅助函数将问题转化为求函数的最值问题，如求函数，（ｚ）在区间上的最大值或最小值．例如：求内接于半径为ｎ的球且有最大体积的长方体．
解：设球面方程为一＋，＋ｚ２一ｎ２，ｂ，ｙ，ｚ）是它的内接长方体在第一卦限内的一个顶点，则此长方体的长、宽、高分别为２ｚ、２ｙ、２ｚ，体积（ｙ）一２ｚ・２ｙ・２ｚ＝８∞伫．构造辅助函数Ｆｂ，ｙ，ｚ，＾）一８ｚ）嘭＋＾（ｚ２＋ｙ２＋≯一∥）．
ｆ只一８弦＋２ｋ—ｏ
ＩＦ：一８ｚｙ十２ｋ＝ｏｆ４＂＋妇一ｏ【４∞，＋ｋ—ｏ．由｛Ｆ，一８崩＋２如一ｏ，即｛４黜＋毋一ｏ，解得ｚ—ｙ＝２一一÷，并将其代人ｚ２十ｙ２＋≯一口２，解得＾一一
—筹，故（去，寺，六）为唯一驻点，因此长方津必有最大体积，所以当长方体的长、宽，高都为号等时体积最大．
参考文献：
［１］同济大学数学教研室．高等数学（上册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社．２００１．８８—８９．
［２］李正元．数学复习全书［Ｍ］．北京：国家行政学院出版杜，２００２．１４６，１５０．
［３］胨同英，高等数学（下册）［Ｍ］．厦门：厦门大学出版杜．２０００．８７—９０．
（责任编辑：叶济蓉）
关于辅助函数法与高等数学解题关系的探讨
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：陈绩馨福建农林大学计算机与信息学院,福建,福州,350002福建农林大学学报(自然科学版)JOURNAL OF FUJIAN AGRICULTURE AND FORESTRY UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION)2003,32(4)1次
参考文献(3条)
1. 陈同英 高等数学 2000
2. 李正元 数学复习全书 2002
3. 同济大学数学教研室 高等数学 2001
引证文献(1条)
1. 毛巨根 证明不等式的一种巧妙方法——构造辅助函数法[期刊论文]-绍兴文理学院学报 2009(9)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_fjnydxxb200304024.aspx
福建农林大学学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｕｉｌａｎＡｇｒｉｃｕｌｔｕｒｅａｎｄＦｏｒｅｓｔｒｙＵｎｉｖｅｒｓｉｏｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）第３２卷第４期２００３年１２月关于辅助函数法与高等数学解题关系的探讨
陈绩馨
（福建农林大学计算机与信息学院，福建福州３５０００２）
捕要：探讨了辅助函数法在高等数学定理、不等式的证明．函数零点的讨论，隐函数的求导．以及微分法、最值中的应用．并对其进行了分析和论证．
关键词：辅助函数法；高等数学；解题
中圈分类号：０１３
Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ
ｉｎｏｎ文献标识码：Ａｔｈｅ文重编号：１００６—７８１７（２００３）０４一０５０６一０４ｒｅｌａ“ｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎａｕｘｉｌｉａｒｙｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｎｄｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｈｉｇｈｅｒｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
ＣＨＥＮＪｉ—ｘｉｎｇ
（Ｃｏｌｌ８９ｅｏｆｃｏｍｐｕｔｅｒａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｌｏｎ，ＦｕｊｉａｎＡｇｒｉｃｕｈｕｒｅａｎｄＦｏｒｅｓｔ。ｙＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｆｕｚｈｏｕ，Ｆｕｊｉａｎ３５０００２，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ
ｓｉｏｎｏｆａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆａｕｘｉｌｌａ。ｙｆｕｎｃｔｉｏｎｉｎｈｉｇｈｅｒｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｔｏｔｈｅｐｒ００ｆｏｆｓｏｍｅｔｈｅｏｒｅｍｓａｎｄｉｎ８ｑｕａｎｌｉｔｙ，ｄｉｓｃｕｓ—ｆｕｎｃｔｉｏｎｚｅｒｏ—ｐｏｉｎｔ，ｔｈｅｄｅｒｉｖａ“ｏｎｏｆｉｍｐｌｉｃｉｔｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎａｎｄｅｘｔｒｅｍｕｍｓｗｅｒｅｓｔｕｄｉｅｄ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅｔｈｅａｎａｌｙｓ诗ａｎｄｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｌｏｎａｂｏｕｔｔｈｅｓｅｔｈｅｏｒｉｅｓｗｅｒｅａｌｓｏｃｏｎｄｕｃｔｅｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ａｕｘｉｌｌａｒｙｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅｔｈ。ｄ；ｈｉｇｈｅｒｍａｔｈｅｍａｔｉｃ５｝ｓ０１ｕｔｉｏｎ
在某些定理、不等式的证明，函数零点的讨论，隐函数的求导，微分法在几何上的应用，以及求极值或最值时，引入构造辅助函数法，是高等数学解题的一个重要方法．
１构造辅助函数证明新定理
构造辅助函数，将问题转化为已证定理来证明新定理．证明闭区间上连续函数的介值定理、微分学中的拉格朗日中值定理及柯西中值定理等，可通过构造辅助函数法，将问题转化为已证定理，从而达到解决问题的目的．
１．１介值定理的证明
构造辅助函数认ｚ）一，（ｚ）一ｃ，则认ｚ）在闭区间■，６］上连续，且“ｎ）与认６）异号，满足零点定理的条件，将问题转化为可应用零点定理证明介值定理［１］．
１．２拉格朗日中值定理的证明
构造辅助函数仪。）：，ｈ）一，（ｄ）一￡堕；二；型。一。），≯ｂ）满足罗尔定理的条件，“ｎ）一Ｐ（６）一ｏ，将问题转化为可应用罗尔定理证明拉格朗日中值定理．
１．３柯西中值定理的证明
构造辅助函数“ｚ）一，ｂ）一厂（ｎ）一蛊；罟；；嘉器・［Ｆ（ｚ）一Ｆ妇）］，“ｚ）满足罗尔定理的条件，“ｎ）一烈６）一ｏ，将问题转化为可应用罗尔定理证明柯西中值定理．
２构造辅助函数讨论函数的零点
讨论函数的零点或方程的根可通过构造辅助函数将问题转化为该函数的导函数在某区间内存在零点的问题，再应用相应的零点定理、介值定理、微分中值定理来证明．
２．１转化为可应用闭区间上连续函数的零点定理
设＇厂∈［ｏ，２ａ］，ｎ＞ｏ，且，（ｏ）一厂（２ｎ），求证：存在ｅ∈（ｏ，ｎ），使，（ｅ）一，（￡十ｄ）．
收稿日期：２００３０９ｌｏ
作者简介：陈绩馨（１９５８一），女，高教教师．研究方向：高等撤学教学与应用
第４期陈绩馨：关于辅助函数法与高等数学解题关系的探讨・５０７・
将该问题转化成某个连续函数在区间（ｏ，ｏ。）的零点存在性问题．构造辅助函数ｐ（ｚ）一，（ｚ＋ａ）一，（ｚ）＇贝Ⅱ“ｏ）与烈ｎ）符号相反，应用零点定理，可证明存在车∈（ｏ，ｎ），使烈ｅ）一ｏ，即，（搴）一，（｝＋ｎ）．２．２将问题转化为可应用闭区间上莲续函数的介值定理
证明方程ｚ５—３ｚ—ｌ至少有１个根介于ｌ和２之间．
将方程根的问题转化为某个函数的零点问题．构造辅助函数，ｈ）一矿～３ｚ一１，则，（ｚ）在［１，２］上连续，又，（１）＜ｏ，，（２）＞Ｏ，由介值定理可知至少存在一点｝∈（１，２），使，（亭）一ｏ，即方程ｚ３—３ｚ＝１在（１，２）中至少有１个根＃．
２．３将问题转化为可应用罗尔定理
设函数，ｂ）在［ｏ，１］上连续，在（ｏ，１）内可导，且，（１）一ｏ，证明：至少存在一点｝∈（ｏ，１），使｝厂（Ｓ）＋，（｝）一０．
将该问题转化为要证［ｚ，ｂ）］’ｆ。；Ｐｏ．构造辅助函数，ｏ）一ｚ，ｏ），则Ｆｏ）在［ｏ，１］上连续，在（ｏ，１）内可导，又Ｆ（ｏ）一Ｆ（１）一ｏ，因此，Ｆ（ｚ）在［ｏ，１］上满足罗尔定理的条件，存在｝∈（ｏ，１），使得Ｆ，（ｚ）一ｏ，即芋，（芋）＋厂（亭）一Ｏ．
２．４将问题转化为讨论导函数的零点
若，（ｚ）可导，试证在，（ｚ）的２个零点之间，一定有，ｂ）十厂（ｚ）一。的零点．
构造辅助函数Ｆｂ），使Ｆ’（ｚ）一，（ｚ）＋，，（ｚ），则问题可转化为求Ｆ（ｚ）的零点存在问题．可用罗尔定理证明Ｆ（ｚ），因为（ｅ。）７一ｅ。，因此，构造辅助函数Ｆ（ｚ）一ｅ２，ｂ），且，（ｚ。）一，（＿ｒ：）一０，ｚ。＜ｚ：，由于，（ｚ）可导，可知Ｆｂ）在ｂ。，ｚ：］上满足罗尔定理的条件，至少存在一点｝∈（ｚ，，ｚ：），使得∥（｝）一ｏ，即一（ｅ）一ｅｙ（｝）＋ｅ。厂（｝）一ｅ５［，（｝）＋，，（＃）］一ｏ，由于ｅ５≠ｏ，因此，（ｆ）＋厂（ｆ）一ｏ．
２．５将问题转化为可应用微分中值定理
设函数，（ｚ）在＿，６］连续，在（ｎ，６）可导，并且，（－ｒ）≠ｏ，试证存在ｅ、＿∈（ａ，６），使得务器一号三荨・ｅ～．
上述结论中出现｝、＿，因而可考虑用２次中值定理，同时出现，ｏ）与ｅ。２个函数．因此，可考虑对，ｈ）与ｅ。在■，６］上应用柯西中值定理，又因为结论中有６一ｎ，故可考虑对，（ｚ）在■，６］上应用拉格朗日中值定理．
丛掣一￡笋，所以，丛掣一生专兰芋二二，，（叩），又因为，（ｚ）在＿，６］上满足拉格朗日中值定理条件，存在亭∈（ｎ，６），使得丛掣一，（车），因为，（ｚ）≠ｏ，所以尸（叩）≠ｏ，故笋器一譬三・ｅ．２．６将问题转化为讨论函数在给定区间上零点的个数构造辅助函数占（ｚ）一ｅ１，则ｇ（ｚ）与，（ｚ）在■，６］上满足柯西中值定理条件，存在７∈（ｎ，６），使得
求证：方程１ｎｚ一詈一Ｉ／Ｆ＝＿ｉ五五ｄｚ，在（ｏ，＋。。）内只有２个不同实根．
构造辅助函数，（ｚ）一ｌｎｚ一÷＋Ｉ
，一Ｏ十ｚ一十”￣／ｌ—ｃｏｓ２ｚｄｚ，由于，（ｚ）在（ｏ，＋。。）连续，，（ｅ）＞ｏ，ｌｉｍ，（ｚ）一一∞，ｌｉｍ，（ｚ）一一。。，则ｚ１∈（０，ｅ），，（ｚ１）＜Ｏ；ｚ：∈（ｅ，＋∞），，（ｚ２）＜Ｏ．所以，（ｚ）在（ｚｌ，ｅ）
和（ｅ，ｚ：）分别有零点，可证，妇）在（ｏ，ｅ）和（ｅ，＋ｏ。）上分别单调，因此，（ｚ）在（ｏ，ｅ）和（ｅ，＋。。）上分别只有１个零点，即在（Ｏ，十。。）只有２个零点．
２．７将问题转化为可应用反证法
构造辅助函数，将问题转化为可用反证法讨论函数的零点ｏ］．设，（ｚ）在［一２，２］连续，在（一２，２）二阶可导，且ｌ，（ｚ）Ｉ≤１，，，（ｏ）＞１，求证：存在ｅ∈（一２，２），使得尸（｛）一ｏ．
假设尸（｝）≠ｏ，构造辅助函数Ｆ（ｚ）一，（ｚ）一［，（ｏ）＋，『（ｏ）ｚ］，则Ｆ”ｈ）一尸（｛）在（一２，２）大于零或
ｆ＜０，一２＜ｚ＜Ｏｒ＞０，一２＜＿ｒ＜Ｏ
小于零，Ｆ’（＿ｒ）在（一２，２）单调上升或单调下降，Ｆ’（ｚ）＜一ｏ，ｚ—ｏ或∥（ｚ）＜一ｏ，ｚ—ｏ，因为
【＞ｏ，ｏ＜ｚ＜２【＜ｏ，ｏ＜ｚ＜２
Ｆ（ｏ）之ｏ，则Ｆ（ｚ）＞ｏ，或Ｆ（工）＜ｏ，ｚ∈［一ｚ，２］，＇ｒ≠ｏ，Ｆ（２）＜ｏ，Ｆ（一２）＞ｏ矛盾，因此，存在车∈（一２，２），使得Ｐｂ）一，（＃）＝ｏ．
・５０８・福建农林大学学报（自然科学版）第３２卷３构造辅助函数，证明不等式
有些不等式的证明要构造辅助函数，并对所构造的辅助函数求导，将问题转化为可应用微分学中值定理、函数的单调性、函数的极值或最值、函数的凹凸性证明不等式．
３．１将问题转化为应用微分中值定理证明函数，ｈ）在ｋ，胡上连续，在（。，６）内可导，则存在｝∈（。，６），使得，『（丰）一丛掣，如果，（｝）可
如：设ｄ＞６＞ｏ，证明：！≠＜ｌｎ詈＜！≠．得估计式，就可得到关于￡竺；二；堕的有关不等式．因此，这一类不等式可通过构造辅助函数，（ｚ），转化为应用微分中值定理来证明．
构造辅助函数，ｏ）一ｌｎｚ，则，（ｚ）在［６，口］上连续，在（６，ｄ）内可导，由拉格朗日中值定理可知，存在｝∈（６，ｎ），使得ｌＩｌｎ—ｌｎ６一宰，因为丢＜专＜丢且４—６＞ｏ，从而证得字＜ｌｎ詈＜≮生．
３．２将问题转化为应用函数的单调性证明
函数，（ｚ）在ｋ，６］上单调增加（或减少），则，（ｚ）＞ｏ（或＜ｏ），ｚ∈（ｎ，６）．即由单调性可得一类不等式，要证明这类不等式，可构造辅助函数，（ｚ），将问题转化为应用函数的单调性证明．
证明：当ｚ＞４时，２。＞ｚ２．
构造辅助函数，ｏ）一ｚｌｎ２—２１ｎｚ，则，ｂ）在［４，＋ｏ。）上连续、可导，且，ｏ）一ｌｎ２一÷一等一号＞警一车一ｏ，ｚ∈（４，＋∞），所以，（ｚ）在［４，＋ｏ。）上单调增加，从而，（ｚ）＞，（４）一ｏ，ｚ∈（４，＋ｏ。），即Ｉｎ２。＞ｌｎｚ２，ｚ∈（４，十。。），所以，ｅ础‘＞ｅｈ‘，即当ｚ＞４时，２。＞ｚ２．
３．３将问题转化为应用函数的最值证明
若函数，（ｚ）在［４，６］上有最大值Ｍ，则，（ｚ）≤Ｍ；若函数，（ｚ）在ｋ，６］上有最小值ｍ，则，（ｚ）≥ｍ，也就是说由函数的最大值或最小值可得一些不等式．要证明这些不等式，可通过构造辅助函数－ｒ（ｚ），将问题转化为应用最大值或最小值来证明“］．
证明：ｚ∈［ｏ，１］时，若ｉ≤，＋（１一ｚ）’≤１（户＞１），１≤一十（１一ｚ）’≤；与（ｏ＜户＜１）．
构造辅助函数，ｏ）一一＋（１一ｚ）一，则，（ｚ）在［ｏ，１］上连续，在（ｏ，１）内可导，且有，（ｚ）一ｐ一～一户（１一ｚ）’～，令，（ｚ）一ｏ，得ｚ一专，则，（ｏ）一，（１）一１，，｛专Ｉ一嘉．当户＞１时，１＞嘉，则，（ｚ）在［ｏ，１］上的最大值为１，最小值为杀了，从而击≤一＋（１一ｚ）’≤１；当ｏ＜户＜１，１＜ｉ与，则，ｏ）在［ｏ，１］上的最大值为杀了，最小值为１，从而ｌ≤一＋（１一ｚ）’≤赤．
３．４将问题转化为应用函数的凹凸性证明
函数，ｈ）在［ｎ，６］上连续，在（４，６）内具有二阶导数，则在（ｎ，６）内，由，’（ｚ）＞ｏ（或＜ｏ），可判别函数，（ｚ）的凹凸性，由函数的凹凸性可得到一些不等式．因此，可构造辅助函数，（ｚ）来证明一些不等式．
证明：ｚｌｎｚ＋ｙｌｎｙ＞（ｚ＋ｙ）１ｎ兰—｝』ｏ＞ｏ，ｙ＞ｏ，ｚ≠ｙ）．
构造辅助函数，（ｆ）一ｆｌｎ￡，则，’（ｆ）＝÷＞ｏ，￡∈（ｏ，＋ｏ。），所以，（ｆ）的图形向上凹，对任意ｚ、ｙ∈（ｏ，＋ｏ。），．ｒ≠ｙ，有，ｆ墨＃１＜』鱼２；；』业，即ｏ＋ｙ）ｌ。！弓型＜。ｌｎ。＋ｙｌｎ∥，命题得证．
４构造辅助函数，求隐函数的导数
构造辅助函数，用公式法求隐函数的导数“］．
４．１求一元隐函数的导数
嵩求导．
设ｓｉｎｙ＋ｅ，一ｚｙｚ—ｏ，求笔．构造辅助函数Ｆ（ｚ，ｙ）一ｓｉｎｙ＋ｆ—ｚ，，则可应用公式￡一一瓮一
第４期陈绩馨：关于辅助函数法与高等数学解题关系的探讨・５０９・４．２求多元隐函数的偏导数
设ｒ～ｚ掣一。，求嘉．构造辅助函数Ｆｂ，ｙ，ｚ）一ｅ２一ｚｙｚ，则可应用公式恚一一瓮一尚一；；笔求导．
４．３求方程组所确定的函数的导数或偏导数
５构造辅助函数，将问题转化为可应用微分法求解设方程组｛篙耋，确定ｙ与ｚ是ｚ的函数’求塞和塞．一篇求导塞一铡一精’塞足生Ｂ２（５ｙ＋３２）…。构造辅助函数Ｆｏ，ｙ，ｚ）一ｚ２＋ｙ２十２２—３ｚ，Ｇｈ，ｙ，ｚ）一２ｚ一３ｙ＋妊～４，应用公式｜Ｆ：Ｆ，Ｉｑ一ｑ一凡ｅ
构造辅助函数，把曲面方程、空间曲线转化为函数问题，通过求导求出血面的切平面方程和空间曲线的切线方程．
５．１求曲面的切平面方程
求曲面ｅ２一ｚ＋ｚｙ一３在点（２，１，ｏ）处的切平面方程
构造辘助函数Ｆ（ｚ，ｙ，ｚ）一ｅ。一ｚ＋ｚｙ一３，将该问题转化为函数问题，则曲面在点（２，１，ｏ）处的法向量为”ｋ。。一ｆＲ，Ｅ，凡）ｋ。，＝｛ｙ，ｚ，ｅ２—１）ｋ。产｛ｌ，２，ｏ），故曲面在点（２．１，ｏ）处的切平面方程为１・（ｚ一２）＋２・（，一１）＋Ｏ・ｏ一０）一Ｏ即ｚ十２，一４一Ｏ．
ｓ．２求空间曲线的切线方程
求空间曲线｛三：薹三嚣在点Ｍ。（３，１，１）处的切线方程．
构造辅助函数Ｆｂ，ｙ，ｚ）一≯＋ｙ２—１０，Ｇｏ，ｙ，ｚ）一＿ｒ２＋ｚ２—１０，则点Ｍ。（３，１，１）处有：；蒉舅Ｉ”。一４，；善差；Ｉ％一一１２，甍；焉｝Ｉ‰一一】２，所以，曲线在点肘。处的切向量为７１一｛４，一１２，一１２）或７１一｛ｌ，一３，一３｝，切线方程为兰≯＝笠二≠一兰二；．
６构造辅助函数，将问题转化为最值问题
可通过构造辅助函数将问题转化为求函数的最值问题，如求函数，（ｚ）在区间上的最大值或最小值．例如：求内接于半径为ｎ的球且有最大体积的长方体．
解：设球面方程为一＋，＋ｚ２一ｎ２，ｂ，ｙ，ｚ）是它的内接长方体在第一卦限内的一个顶点，则此长方体的长、宽、高分别为２ｚ、２ｙ、２ｚ，体积（ｙ）一２ｚ・２ｙ・２ｚ＝８∞伫．构造辅助函数Ｆｂ，ｙ，ｚ，＾）一８ｚ）嘭＋＾（ｚ２＋ｙ２＋≯一∥）．
ｆ只一８弦＋２ｋ—ｏ
ＩＦ：一８ｚｙ十２ｋ＝ｏｆ４＂＋妇一ｏ【４∞，＋ｋ—ｏ．由｛Ｆ，一８崩＋２如一ｏ，即｛４黜＋毋一ｏ，解得ｚ—ｙ＝２一一÷，并将其代人ｚ２十ｙ２＋≯一口２，解得＾一一
—筹，故（去，寺，六）为唯一驻点，因此长方津必有最大体积，所以当长方体的长、宽，高都为号等时体积最大．
参考文献：
［１］同济大学数学教研室．高等数学（上册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社．２００１．８８—８９．
［２］李正元．数学复习全书［Ｍ］．北京：国家行政学院出版杜，２００２．１４６，１５０．
［３］胨同英，高等数学（下册）［Ｍ］．厦门：厦门大学出版杜．２０００．８７—９０．
（责任编辑：叶济蓉）
关于辅助函数法与高等数学解题关系的探讨
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英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：陈绩馨福建农林大学计算机与信息学院,福建,福州,350002福建农林大学学报(自然科学版)JOURNAL OF FUJIAN AGRICULTURE AND FORESTRY UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION)2003,32(4)1次
参考文献(3条)
1. 陈同英 高等数学 2000
2. 李正元 数学复习全书 2002
3. 同济大学数学教研室 高等数学 2001
引证文献(1条)
1. 毛巨根 证明不等式的一种巧妙方法——构造辅助函数法[期刊论文]-绍兴文理学院学报 2009(9)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_fjnydxxb200304024.aspx