积分不等式的证明
摘要 :本文主要从以下几个方面去研究积分不等式的证明：利用单
调性来证积分不等式, 利用拉格朗日中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用Taylor 公式来证积分不等式、利用函数的凹凸性来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式。
关键词：积分不等式 单调性 拉格朗日中值定理 taylor 公式
二重积分 凹凸性 柯西不等式
英文题目: to study integral inequality proof: using the
monotonous integral inequality, use l Schwartz inequality certificate integral inequality, using Lagrange's mean value theorem of integral inequality, l using integral mean value theorem of integral inequality, l Taylor formula to card integral inequality, use the concave and convex function sex to card integral inequality, use the double integral to card integral inequality.
Key word: Integral inequality， monotonous ,Lagrange's mean value theorem, Taylor formula, double integral, Cauchyinequality
1引言：
数学分析是数学专业的一门重要的专业基础课，其中很多问题的解
决都离不开不等式。而积分不等式是数学分析中应用较广的一类不等式。它的证明方法与应用是数学分析的中的一个难点。它的证明，使数学不同分支之间架起了桥梁，对于我们的创造思维有很大的帮助作用。它的应用及推广也是很灵活巧妙的，使一些较为困难的问题迎刃而解。因此，深刻理解和掌握积分不等式的证明方法，及其在数学分析中不同方面的应用，有助于我们对理论知识的理解和应用，同时也对我们以后的学习有所帮助，对提高我们的思维能力和技能、技巧也是很有益的。
2 研究问题及结果
1）函数的单调性在证明积分不等式上的应用
例
1
2
若
f (x ) 、g (x )
在
[a , b ]
上可积，则
b b b
22⎛⎫f (x ) g (x ) dx ≤f (x ) dx g (x ) dx ⎰a ⎪⎰⎰a a ⎝⎭
证：
2
将
b
改写为
x
，并设
x x x
2⎛⎫F (x ) = ⎰f (t ) g (t ) dt ⎪-⎰f (t )dt ⎰g 2(t )dt ， a a ⎝a ⎭
F ' (x )=2⎰f (t )g (t )dt ⋅f (x )g (x )-f 2(x )⎰g 2(t )dt -g 2(x )⎰f 2(t )dt
a
a
a
x x x
= ⎰a f (t )g (t )f (x )g (x )-f 2(x )g 2(t )-g 2(x )f 2(t )dt =-⎰a (f (t )g (x )-f (x )g (t )) 2dt ≤0
从而知F (x ) 为减函数，于是有F (b ) ≤F (a ) ，又F (a ) =0，所以
F (b ) ≤0因此有
b b b
2⎛⎫ ⎰a f (x ) g (x ) dx ⎪≤⎰a f (x ) dx ⎰a g 2(x ) dx
⎝⎭
2
x
x
注：利用函数的单调增减性证明积分不等式，先将定积分改写
成变上限的积分，移项使不等式一端为0，另一端设为F (x ) ，再验证F (x ) 的单调增减性。
2）利用拉格朗日中值定理来证积分不等式
［1］定理4: 设函数f (x ) 满足如下条件： （1）f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续；
（2）f (x ) 在开区间(a , b ) 内可导， 则在(a , b ) 内至少存在一点ξ，使得注：称
f (b ) -f (a )
=f '(ξ) 。
b -a
f (b ) -f (a )
=f '(ξ) 为拉格朗日公式
b -a
例1．设f (x ) 在[a , b ]上有一阶连续导数，且f (a ) =0，证明： （１）|⎰a
b
(b -a ) 2
f (x ) dx |≤max |f '(x ) |
x ∈[a , b ]2
证明：（１）令M =x max |f '(x ) |，由拉氏中值定理知 ∈[a , b ]
f (x ) =f (x ) -f (a ) =f '(ξ)(x -a )
从而 |f (x ) |=|f '(ξ)(x -a ) |≤M (x -a ), x ∈[a , b ] 所以 |⎰a （２）⎰a
b b
(b -a ) 2
f (x ) dx |≤⎰|f (x ) |dx ≤⎰M (x -a ) dx =M a a 2
b
b
2
(b -a ) 2f (x ) dx ≤
2
x
⎰[f '(x ) ]
a
b
2
dx
x
证明：２）f (x ) =⎰a f '(t ) dt +f (a ) =⎰a f '(t ) dt ，则
f 2(x ) =[⎰f '(t ) dt ]2≤⎰1dt ⎰[f '(t )]2dt ≤(x -a ) ⎰[f '(t )]2dt
a
a
a
a
x
x
x
b
故⎰a
b
(b -a ) 2
f (x ) dx ≤⎰[f '(t )]dt ⎰(x -a ) dx ≤
a a 2
2
b
2
b
⎰[f '(x ) ]
a
b
2
dx
注：如果积分不等式的条件中有一阶可导, 则我们常常可以用拉
格朗日中值定理来证积分不等式.
3）. 利用积分中值定理来证积分不等式
［6］定理设f (x ) 在[a , b ]上连续，g (x ) 在[a , b ]上可积且不变号，则存在ξ∈[a , b ]，使得⎰f (x ) g (x ) dx =f (ξ) ⎰g (x ) dx
a
a
b
b
特别地，当g (x ) =1时，存在ξ∈[a , b ]，使得⎰a f (x ) dx =f (ξ)(b -a ) 例(1)设f (x ) 在[0,1]上可导，证明对于x ∈[0,1]，有
f (x ) ≤⎰
10
b
(f (t ) +f (t ) )dt
'
1
x
证：由积分中值定理，知⎰0f (t ) dt =f (ξ) ，其中ξ∈[0,1]，
又对任意的x ∈[0,1]，有f (x ) -f (ξ) =⎰ξf ' (t ) dt ， 即f (x ) =f (ξ) +⎰ξf ' (t ) dt ，当x >ξ时，
f (x ) ≤f (ξ) +⎰ξf ' (t ) dt ≤f (ξ) +⎰t f ' (t ) dt =⎰0(f (t ) +f ' (t ) )dt
x
1
1
x
当x
'
'
ξξξ
⎰(f (t ) +f (t ) )dt
从而当x ∈[0,1]时，f (x ) ≤⎰(f (t ) +f (t ) )dt
≤f (ξ) +⎰f (t ) dt =
' 01
1
'
1
'
4）利用Taylor 公式来证积分不等式
∀x ∈[a , b ]，f (x )≥0, f '' (x )≤0 例1：设•
求证f (x )≤
2b
f (x )dx ⎰a b -a
证明：将f (x )在x 处展开成一阶泰勒公式
f (x )=f (t )+f ' (t )(x -t )+
12
f '' (ξ)(x -t ), ξ位于x 与t 之间 2
由于f " (x )≤0
∴f (x )≤f (t )+f ' (t )(x -t )
将上式两边在[a , b ]上对t 积分得，
(b -a )f (ξ)≤⎰f (t )dt +⎰f ' (t )(x -t )dt
a
a
b b
即(b -a )f (ξ)≤⎰a f (t )dt +(x -t )f (t )/b a +⎰a f (t )dt =2⎰a f (t )dt +(x -b )f (b )-(x -a )f (a )
∴2⎰f (t )dt ≥(b -a )f (ξ)+(b -x )f (b )+(x -a )f (a )
a b
b b
b
f (x )≥0, x -a >0, b -x >0
∴2⎰f (x )dx ≥(b -a )f (x )
a
b
即f (x )≤
2b
f (x )dx 。 ⎰a b -a
5）利用函数的凹凸性来证积分不等式
例1. 设f (x ) 是[a , b ]的连续函数，而且是非负和下凸的，f (0) =0 求证：⎰
1
20
11
f (x ) dx ≤⎰f (x ) dx 。
40
x
1x
证明：令Φ(x ) =⎰0f (t ) dt -⎰02f (t ) dt ，则
4
11x 11x
f (x ) -f () =f (x ) -f () +f (0) 422422
x 1
由于f (x ) 下凸的，故f () ≤[f (x ) +f (0)]。
22Φ(0) =0，Φ'(x ) =
所以Φ'(x ) ≥0，Φ(x ) 在[0, 1]上单调增加，从而Φ(x ) ≥Φ(0) =0即
1x
f (t ) dt -⎰2f (t ) dt ≥0，其中，x ∈[0, 1] ⎰004
x
特 别，当x =1时，⎰f (t ) dt ≤
1
20
11
f (t ) dt 。 ⎰04
6）利用二重积分来证积分不等式
例1设函数f (x )为[0,1]上的单调减少且大于0的连续函数，
求证：⎰01
1
xf 2(x )dx xf (x )dx
1
⎰
≤
⎰ ⎰f (x )dx
010
1
f 2(x )dx
证明：令I =⎰0xf (x )dx ⎰0f 2(x )dx -⎰0xf 2(x )dx ⎰0f (x )dx =⎰0xf (x )dx ⎰0f 2(y )dy -⎰0xf 2(x )dx ⎰0f (y )dy
=⎰0⎰0xf (y )f (x )(f (y )-f (x ))dxdy
同理I=⎰0⎰0yf (x )f (y )(f (x )-f (y ))dxdy 两边相加整理得 2I=⎰0⎰0f (y )f (x )(x -y )[f (y )-f (x )]dxdy ，
f (x )>0且在[0,1]上单调减少，
11
11
11
111
1111
∴(x -y )[f (y )-f (x )]≥0
∴I ≥0命题得证。
7）柯西不等式中证明积分不等是式
例1．柯西不等式的证明。
证明:柯西不等式为[⎰a f (x ) g (x ) dx ]2≤⎰a f 2(x ) dx ⎰a g 2(x ) dx 。 设ψ(u ) =[⎰a f (x ) g (x ) dx ]-⎰a f (x ) dx ⎰a g 2(x ) dx
2
2
b
b
b
b
b
b
显然ψ(u ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，且
ψ'（u ) =2f (u ) g (u ) ⎰f (x ) g (x ) dx -f 2(u ) ⎰g 2(x ) dx -g 2(u ) ⎰f 2(x ) dx
a
a
a
u
u
u
=2⎰a f (u ) g (u ) f (x ) g (x ) dx -⎰a f 2(u ) g 2(u ) dx -⎰a f 2(x ) g 2(u ) dx =-⎰a [f 2(u ) g 2(x ) -2f (u ) g (u ) f (x ) g (x ) +f 2(x ) g 2(u )]dx =-⎰a [f (u ) g (x ) -f (x ) g (u )]2dx ≤0
所以ψ(u ) 在[a , b ]上单调减少，则ψ(b ) ≤ψ(a ) =0，即 ψ(b ) =[⎰a f (x ) g (x ) dx ]-⎰a f (x ) dx ⎰a g 2(x ) dx ≤0
2
2
b
b
b
u u
u u u
得到结论[⎰a f (x ) g (x ) dx ]≤⎰a f (x ) dx ⎰a g 2(x ) dx 。
2
2
b b b
8) 利用线性变换证明积分不等式..
例1：设f (x )为[a , b ]上单调增加的可积函数，g (x )=⎰a f (t )dt , a ≤x ≤b 则
g (x )≤
x -a
g (b ), a ≤x ≤b b -a
x
证明：当x =a 时结论成立，只需证
1x 1b
()f t dt ≤f (t )dt , a
经线性变换后，即证⎰0f [a +(x -a )u ]du ≤⎰0f [a +(b -a )u ]du ，
由于f (x )在[a , b ]上单调增加，利用定积分的单调性知结论成立。
11
结束语：从以上文章分析可见，根据不同积分不等式特征，采取
不同的方法 . 它使高等数学的不同分支之间架起了桥梁，对于我们的创造思维有很大的帮助作用。通过这次的实践课论文，我学到很多知识，跨越了传统方式下的教与学的体制束缚，通过查资料和搜集有关文献培养了自学能力，在写论文的过程中也学到了一些做事情的心态和态度
参考文献
[1]李治飞 赤峰学院报（自然科学版）[J]
[2]斐礼文 数学分析的典型问题与方法[M]。北京：高等教育出版社，1993
[3]王艳红 积分不等式的证明[J]。内江科技
[4]华东师范大学，数学分析（第三版）[M] 北京：高等教育出版社 2001
分工情况：
1) 2) 3) 4) 引言 结束语 由丁发虎完成。
5) 6) 7） 8） 摘要 关键词 由赵钢筋完成。
积分不等式的证明
摘要 :本文主要从以下几个方面去研究积分不等式的证明：利用单
调性来证积分不等式, 利用拉格朗日中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用Taylor 公式来证积分不等式、利用函数的凹凸性来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式。
关键词：积分不等式 单调性 拉格朗日中值定理 taylor 公式
二重积分 凹凸性 柯西不等式
英文题目: to study integral inequality proof: using the
monotonous integral inequality, use l Schwartz inequality certificate integral inequality, using Lagrange's mean value theorem of integral inequality, l using integral mean value theorem of integral inequality, l Taylor formula to card integral inequality, use the concave and convex function sex to card integral inequality, use the double integral to card integral inequality.
Key word: Integral inequality， monotonous ,Lagrange's mean value theorem, Taylor formula, double integral, Cauchyinequality
1引言：
数学分析是数学专业的一门重要的专业基础课，其中很多问题的解
决都离不开不等式。而积分不等式是数学分析中应用较广的一类不等式。它的证明方法与应用是数学分析的中的一个难点。它的证明，使数学不同分支之间架起了桥梁，对于我们的创造思维有很大的帮助作用。它的应用及推广也是很灵活巧妙的，使一些较为困难的问题迎刃而解。因此，深刻理解和掌握积分不等式的证明方法，及其在数学分析中不同方面的应用，有助于我们对理论知识的理解和应用，同时也对我们以后的学习有所帮助，对提高我们的思维能力和技能、技巧也是很有益的。
2 研究问题及结果
1）函数的单调性在证明积分不等式上的应用
例
1
2
若
f (x ) 、g (x )
在
[a , b ]
上可积，则
b b b
22⎛⎫f (x ) g (x ) dx ≤f (x ) dx g (x ) dx ⎰a ⎪⎰⎰a a ⎝⎭
证：
2
将
b
改写为
x
，并设
x x x
2⎛⎫F (x ) = ⎰f (t ) g (t ) dt ⎪-⎰f (t )dt ⎰g 2(t )dt ， a a ⎝a ⎭
F ' (x )=2⎰f (t )g (t )dt ⋅f (x )g (x )-f 2(x )⎰g 2(t )dt -g 2(x )⎰f 2(t )dt
a
a
a
x x x
= ⎰a f (t )g (t )f (x )g (x )-f 2(x )g 2(t )-g 2(x )f 2(t )dt =-⎰a (f (t )g (x )-f (x )g (t )) 2dt ≤0
从而知F (x ) 为减函数，于是有F (b ) ≤F (a ) ，又F (a ) =0，所以
F (b ) ≤0因此有
b b b
2⎛⎫ ⎰a f (x ) g (x ) dx ⎪≤⎰a f (x ) dx ⎰a g 2(x ) dx
⎝⎭
2
x
x
注：利用函数的单调增减性证明积分不等式，先将定积分改写
成变上限的积分，移项使不等式一端为0，另一端设为F (x ) ，再验证F (x ) 的单调增减性。
2）利用拉格朗日中值定理来证积分不等式
［1］定理4: 设函数f (x ) 满足如下条件： （1）f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续；
（2）f (x ) 在开区间(a , b ) 内可导， 则在(a , b ) 内至少存在一点ξ，使得注：称
f (b ) -f (a )
=f '(ξ) 。
b -a
f (b ) -f (a )
=f '(ξ) 为拉格朗日公式
b -a
例1．设f (x ) 在[a , b ]上有一阶连续导数，且f (a ) =0，证明： （１）|⎰a
b
(b -a ) 2
f (x ) dx |≤max |f '(x ) |
x ∈[a , b ]2
证明：（１）令M =x max |f '(x ) |，由拉氏中值定理知 ∈[a , b ]
f (x ) =f (x ) -f (a ) =f '(ξ)(x -a )
从而 |f (x ) |=|f '(ξ)(x -a ) |≤M (x -a ), x ∈[a , b ] 所以 |⎰a （２）⎰a
b b
(b -a ) 2
f (x ) dx |≤⎰|f (x ) |dx ≤⎰M (x -a ) dx =M a a 2
b
b
2
(b -a ) 2f (x ) dx ≤
2
x
⎰[f '(x ) ]
a
b
2
dx
x
证明：２）f (x ) =⎰a f '(t ) dt +f (a ) =⎰a f '(t ) dt ，则
f 2(x ) =[⎰f '(t ) dt ]2≤⎰1dt ⎰[f '(t )]2dt ≤(x -a ) ⎰[f '(t )]2dt
a
a
a
a
x
x
x
b
故⎰a
b
(b -a ) 2
f (x ) dx ≤⎰[f '(t )]dt ⎰(x -a ) dx ≤
a a 2
2
b
2
b
⎰[f '(x ) ]
a
b
2
dx
注：如果积分不等式的条件中有一阶可导, 则我们常常可以用拉
格朗日中值定理来证积分不等式.
3）. 利用积分中值定理来证积分不等式
［6］定理设f (x ) 在[a , b ]上连续，g (x ) 在[a , b ]上可积且不变号，则存在ξ∈[a , b ]，使得⎰f (x ) g (x ) dx =f (ξ) ⎰g (x ) dx
a
a
b
b
特别地，当g (x ) =1时，存在ξ∈[a , b ]，使得⎰a f (x ) dx =f (ξ)(b -a ) 例(1)设f (x ) 在[0,1]上可导，证明对于x ∈[0,1]，有
f (x ) ≤⎰
10
b
(f (t ) +f (t ) )dt
'
1
x
证：由积分中值定理，知⎰0f (t ) dt =f (ξ) ，其中ξ∈[0,1]，
又对任意的x ∈[0,1]，有f (x ) -f (ξ) =⎰ξf ' (t ) dt ， 即f (x ) =f (ξ) +⎰ξf ' (t ) dt ，当x >ξ时，
f (x ) ≤f (ξ) +⎰ξf ' (t ) dt ≤f (ξ) +⎰t f ' (t ) dt =⎰0(f (t ) +f ' (t ) )dt
x
1
1
x
当x
'
'
ξξξ
⎰(f (t ) +f (t ) )dt
从而当x ∈[0,1]时，f (x ) ≤⎰(f (t ) +f (t ) )dt
≤f (ξ) +⎰f (t ) dt =
' 01
1
'
1
'
4）利用Taylor 公式来证积分不等式
∀x ∈[a , b ]，f (x )≥0, f '' (x )≤0 例1：设•
求证f (x )≤
2b
f (x )dx ⎰a b -a
证明：将f (x )在x 处展开成一阶泰勒公式
f (x )=f (t )+f ' (t )(x -t )+
12
f '' (ξ)(x -t ), ξ位于x 与t 之间 2
由于f " (x )≤0
∴f (x )≤f (t )+f ' (t )(x -t )
将上式两边在[a , b ]上对t 积分得，
(b -a )f (ξ)≤⎰f (t )dt +⎰f ' (t )(x -t )dt
a
a
b b
即(b -a )f (ξ)≤⎰a f (t )dt +(x -t )f (t )/b a +⎰a f (t )dt =2⎰a f (t )dt +(x -b )f (b )-(x -a )f (a )
∴2⎰f (t )dt ≥(b -a )f (ξ)+(b -x )f (b )+(x -a )f (a )
a b
b b
b
f (x )≥0, x -a >0, b -x >0
∴2⎰f (x )dx ≥(b -a )f (x )
a
b
即f (x )≤
2b
f (x )dx 。 ⎰a b -a
5）利用函数的凹凸性来证积分不等式
例1. 设f (x ) 是[a , b ]的连续函数，而且是非负和下凸的，f (0) =0 求证：⎰
1
20
11
f (x ) dx ≤⎰f (x ) dx 。
40
x
1x
证明：令Φ(x ) =⎰0f (t ) dt -⎰02f (t ) dt ，则
4
11x 11x
f (x ) -f () =f (x ) -f () +f (0) 422422
x 1
由于f (x ) 下凸的，故f () ≤[f (x ) +f (0)]。
22Φ(0) =0，Φ'(x ) =
所以Φ'(x ) ≥0，Φ(x ) 在[0, 1]上单调增加，从而Φ(x ) ≥Φ(0) =0即
1x
f (t ) dt -⎰2f (t ) dt ≥0，其中，x ∈[0, 1] ⎰004
x
特 别，当x =1时，⎰f (t ) dt ≤
1
20
11
f (t ) dt 。 ⎰04
6）利用二重积分来证积分不等式
例1设函数f (x )为[0,1]上的单调减少且大于0的连续函数，
求证：⎰01
1
xf 2(x )dx xf (x )dx
1
⎰
≤
⎰ ⎰f (x )dx
010
1
f 2(x )dx
证明：令I =⎰0xf (x )dx ⎰0f 2(x )dx -⎰0xf 2(x )dx ⎰0f (x )dx =⎰0xf (x )dx ⎰0f 2(y )dy -⎰0xf 2(x )dx ⎰0f (y )dy
=⎰0⎰0xf (y )f (x )(f (y )-f (x ))dxdy
同理I=⎰0⎰0yf (x )f (y )(f (x )-f (y ))dxdy 两边相加整理得 2I=⎰0⎰0f (y )f (x )(x -y )[f (y )-f (x )]dxdy ，
f (x )>0且在[0,1]上单调减少，
11
11
11
111
1111
∴(x -y )[f (y )-f (x )]≥0
∴I ≥0命题得证。
7）柯西不等式中证明积分不等是式
例1．柯西不等式的证明。
证明:柯西不等式为[⎰a f (x ) g (x ) dx ]2≤⎰a f 2(x ) dx ⎰a g 2(x ) dx 。 设ψ(u ) =[⎰a f (x ) g (x ) dx ]-⎰a f (x ) dx ⎰a g 2(x ) dx
2
2
b
b
b
b
b
b
显然ψ(u ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，且
ψ'（u ) =2f (u ) g (u ) ⎰f (x ) g (x ) dx -f 2(u ) ⎰g 2(x ) dx -g 2(u ) ⎰f 2(x ) dx
a
a
a
u
u
u
=2⎰a f (u ) g (u ) f (x ) g (x ) dx -⎰a f 2(u ) g 2(u ) dx -⎰a f 2(x ) g 2(u ) dx =-⎰a [f 2(u ) g 2(x ) -2f (u ) g (u ) f (x ) g (x ) +f 2(x ) g 2(u )]dx =-⎰a [f (u ) g (x ) -f (x ) g (u )]2dx ≤0
所以ψ(u ) 在[a , b ]上单调减少，则ψ(b ) ≤ψ(a ) =0，即 ψ(b ) =[⎰a f (x ) g (x ) dx ]-⎰a f (x ) dx ⎰a g 2(x ) dx ≤0
2
2
b
b
b
u u
u u u
得到结论[⎰a f (x ) g (x ) dx ]≤⎰a f (x ) dx ⎰a g 2(x ) dx 。
2
2
b b b
8) 利用线性变换证明积分不等式..
例1：设f (x )为[a , b ]上单调增加的可积函数，g (x )=⎰a f (t )dt , a ≤x ≤b 则
g (x )≤
x -a
g (b ), a ≤x ≤b b -a
x
证明：当x =a 时结论成立，只需证
1x 1b
()f t dt ≤f (t )dt , a
经线性变换后，即证⎰0f [a +(x -a )u ]du ≤⎰0f [a +(b -a )u ]du ，
由于f (x )在[a , b ]上单调增加，利用定积分的单调性知结论成立。
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结束语：从以上文章分析可见，根据不同积分不等式特征，采取
不同的方法 . 它使高等数学的不同分支之间架起了桥梁，对于我们的创造思维有很大的帮助作用。通过这次的实践课论文，我学到很多知识，跨越了传统方式下的教与学的体制束缚，通过查资料和搜集有关文献培养了自学能力，在写论文的过程中也学到了一些做事情的心态和态度
参考文献
[1]李治飞 赤峰学院报（自然科学版）[J]
[2]斐礼文 数学分析的典型问题与方法[M]。北京：高等教育出版社，1993
[3]王艳红 积分不等式的证明[J]。内江科技
[4]华东师范大学，数学分析（第三版）[M] 北京：高等教育出版社 2001
分工情况：
1) 2) 3) 4) 引言 结束语 由丁发虎完成。
5) 6) 7） 8） 摘要 关键词 由赵钢筋完成。