第十一章 三角形 11.1与三角形有关的线段
专题一 三角形个数的确定
1．如图，图中三角形的个数为（ ）
A ．2 B ．18 C ．19 D ．20
2．如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有
5个三角形，第3个图中共有9
个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形__________个．
3．阅读材料，并填表：
在△ABC 中，有一点P 1，当P 1、A 、B 、
C 没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC 内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？
完成下表：
专题二 根据三角形的三边不等关系确定未知字母的范围
4．三角形的三边分别为3，1－2a ，8，则a 的取值范围是（ ）
A ．－6＜a ＜－3 B ．－5＜a ＜－2 C ．2＜a ＜5 D ．a ＜－5或a ＞－2
5. 在△ABC 中，三边长分别为正整数a 、b 、c ，且c ≥b ≥a ＞0，如果b =4，则这样的三角形共有______个．
6．若三角形的三边长分别是2、x 、8，且x 是不等式三边x 的长．
x +21-2x
＞-的正整数解，试求第23
状元笔记
【知识要点】
1．三角形的三边关系
三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边． 2．三角形三条重要线段
(1)高：从三角形的顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高．
(2)中线：连接三角形的顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线．
(3)角平分线：三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
3．三角形的稳定性 三角形具有稳定性． 【温馨提示】
1．以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形．而不是分为三类：三边都不相等的三角形、等腰三角形、等边三角形，等边三角形是等腰三角形的一种．
2．三角形的高、中线、角平分线都是线段，而不是直线或射线． 【方法技巧】
1．根据三角形的三边关系判定三条线段能否组成三角形时，要看两条较短边之和是否大于最长边．
2．三角形的中线将三角形分成两个同底等高的三角形，这两个三角形面积相等．
参考答案:
1．D 解析：线段AB 上有5个点，线段AB 与点C 组成5×（5－1）÷2=10个三角形；同样，线段DE 上也有5个点，线段DE 与点C 组成5×（5－1）÷2=10个三角形，图中三角形的个数为20个．故选D ．
2．21 解析：根据前边的具体数据，再结合图形，不难发现：后边的总比前边多4，若把第一个图形中三角形的个数看作是1=4－3，则第n 个图形中，三角形的个数是4n －3．所以当n=6时，原式=21．
解析：当△ABC 内有1个点时，构成不重叠的三角形的个数是3=1×2＋1；当△ABC 内有2个点时，构成不重叠的三角形的个数是5=2×2＋1；参考上面数据可知，三角形的个数与点的个数之间的关系是：三角形内有n 个点时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1，故当有3个点时，三角形的个数是3×2＋1=7；当有1007个点时，三角形的个数是1007×2＋1=2015．
4．B 解析：根据题意，得8－3＜1－2a ＜8＋3，即5＜1－2a ＜11，解得－5＜a ＜－2．故选B ． 5．10 解析：∵在△ABC 中，三边长分别为正整数a 、b 、c ，且c ≥b ≥a ＞0，∴c ＜a +b ．∵b =4，
∴a =1，2，3，4．a =1时，c =4；a =2时，c =4或5；a =3时，c =4，5，6；a =4时，c =4，5，6，7．∴这样的三角形共有1+2+3+4=10个． 6．解：原不等式可化为3（x +2）＞－2（1－2x ），解得x ＜8． ∵x 是它的正整数解，
∴x 可取1，2，3，5，6，7．
再根据三角形三边关系，得6＜x ＜10， ∴x =7．
11.2与三角形有关的角
专题一 利用三角形的内角和求角度
1．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于D 点，∠A=50°，则∠D=（ ）
A ．15° B ．20° C ．25° D ．30°
2．如图，已知：在直角△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 且交AC 于D. 若AP 平分∠BAC
且交BD 于P ，求∠BPA 的度数．
3．已知：如图1，线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A 、∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关系：__________； （2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P 的度数；（写出解答过程）
（3）如果图2中∠D 和∠B 为任意角，其他条件不变，试写出∠P 与∠D 、∠B 之间的数量关系．（直接写出结论即可）
专题二 利用三角形外角的性质解决问题 4．如图，∠ABD ，∠ACD 的角平分线交于点P ，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P 的度数为（ ）
A ．15° B ．20° C ．25° D ．30° 5．如图，△ABC 中，CD 是∠ACB 的角平分线，CE 是AB 边上的高，若∠A=40°，∠B=72°． （1）求∠DCE 的度数；
（2）试写出∠DCE 与∠A 、∠B 的之间的关系式．（不必证明）
6．如图：
（1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C ；
（2）如果点D 与点A 分别在线段BC 的两侧，猜想∠BDC 、∠A 、∠ABD 、∠ACD 这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．
状元笔记
【知识要点】
1．三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°． 2．直角三角形的性质及判定
性质：直角三角形的两个锐角互余．
判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 3．三角形的外角及性质
外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【温馨提示】
1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角． 2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角． 【方法技巧】
1．在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形的两个锐角互余”．
2．由三角形的外角的性质可得出：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．
2．解：（法1） 因为∠C=90°，所以∠BAC ＋∠ABC=90°， 所以
1
(∠BAC ＋∠ABC)=45°. 2
因为BD 平分∠ABC ，AP 平分∠BAC ，
∠BAP=
11
∠BAC ，∠ABP=∠ABC ， 22
即∠BAP ＋∠ABP=45°，
所以∠APB=180°－45°=135°. （法2）因为∠C=90°，所以∠BAC ＋∠ABC=90°， 所以
1
(∠BAC ＋∠ABC)=45°， 2
因为BD 平分∠ABC ，AP 平分∠BAC ， ∠DBC=
11
∠ABC ，∠PAC=∠BAC ，所以∠DBC ＋∠PAD=45°. 22
所以∠APB=∠PDA ＋∠PAD =∠DBC ＋∠C ＋∠PAD=∠DBC ＋∠PAD ＋∠C =45°＋
90°=135°. 3．解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C ；
（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P ，∠2+∠P=∠4+∠B ，∴∠1－∠3=∠P －∠D ，∠2－∠4=∠B －∠P ，又∵AP 、CP 分别平分∠DAB 和∠BCD ，∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠P －∠D=∠B －∠P ，即2∠P=∠B+∠D ，∴∠P=（40°+30°）÷2=35°． （3）2∠P=∠B+∠D ．
4．B 解析：延长DC ，与AB 交于点E ．根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD －∠ABD=60°．设AC 与BP 相交于点O ，则∠AOB=∠POC ，∴∠P+=20°．故选B ．
111
∠ACD=∠A+∠ABD ，即∠P=50°－ACD －∠ABD ）222
11.3多边形及其内角和
专题一 根据正多边形的内角或外角求值 1．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（ ） A ．12 B ．11 C ．10 D ．9 2．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于________°．
3．已知一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角都等于与它相邻的外角的9倍，求这个多边形的边数．
专题二 求多个角的和
4．如图为某公司的产品标志图案，图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ）
A ．360° B ．540° C ．630° D ．720°
5．如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°．
6．如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数．
状元笔记
【知识要点】
1．多边形及相关概念
多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 2．多边形的内角和与外角和
内角和：n 边形的内角和等于(n－2) ²180°． 外角和：多边形的外角和等于360°． 【温馨提示】 1．从n 边形的一个顶点出发，可以做(n－3) 条对角线，它们将n 边形分为(n－2) 个三角形．对角线的条数与分成的三角形的个数不要弄错． 2．多边形的外角和等于360°，而不是180°． 【方法技巧】
1．连接多边形的对角线，将多边形转化为多个三角形，将多边形问题转化为三角形问题来解决．
2．多边形的内角和随边数的变化而变化，但外角和不变，都等于360°，可利用多边形的外角和不变求多边形的边数等．
参考答案:
1．A 解析：∵每个内角为150°，∴每个外角等于30°．∵多边形的外角和是360°，360°÷30°=12，∴这个正多边形的边数为12．故选A ． 2．1440 解析：∵多边形的边数为360°÷36°=10，多边形的内角为180°－36°=144°，∴多边形的内角和等于144°³10=1440°．
3．解：设多边形的边数为n ，根据题意，得(n－2) ²180°=9³360°，解得n=20．所以这个多边形的边数为20．
4．B 解析：∵∠1=∠C+∠D ，∠2=∠E+∠F ，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠B+∠1+∠2+∠G=540°．故选B ．
5．360° 解析：在四边形BEFG 中， ∵∠EBG=∠C+∠D ， ∠BGF=∠A+∠ABC ，
∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=∠EBG+∠BGF+∠E+∠F=360°．
6．解：∵∠POA 是△OEF 的外角，∴∠POA=∠E+∠F ． 同理：∠BPO=∠D+∠C ．
∵∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
第十二章 全等三角形
12.1全等三角形 12.2三角形全等的判定
专题一 三角形全等的判定
1．如图，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ． 求证：△A BE ≌△CDF ．
2．如图，在△AB C 中，D 是BC 边上的点（不与B ，C 重合），F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF ∥BE . 请你添加一个条件，使△BDE ≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母) ，并给出证明．
（1）你添加的条件是：__________； （2）证明：
3．如图，△ABC 中，点D 在BC 上，点E 在AB 上，BD=BE，要使△ADB ≌△CEB ，还需添加一个条件．
（1）给出下列四个条件： ①AD=CE； ②AE=CD；
③∠BAC=∠BCA ； ④∠ADB=∠CEB ；
请你从中选出一个能使△ADB ≌△CEB 的条件，并给出证明；
（2）在（1）中所给出的条件中，能使△ADB ≌△CEB 的还有哪些？直接在题后横线上写出满足题意的条件序号．__________________．
专题二 全等三角形的判定与性质 4．如图，已知△ABC 中，∠ABC =45°，AC =4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为（ ）
A
B ．4
C
．D ．5
5．【2013²襄阳】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，将△ADC 绕点A 顺时针旋转，使AC 与AB 重合，点D 落在点E 处，AE 的延长线交CB 的延长线于点M ，EB 的延长线交AD 的延长线于点N . 求证：AM ＝AN .
A
E M
D N
6．如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连接AE ．求证：AE ∥BC ．
专题三 全等三角形在实际生活中的应用
7．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC 与∠DFE 的度数和是（ ）
A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°
8．有一座小山，现要在小山A 、B 的两端开一条隧道，施工队要知道A 、B 两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD=CA，连
接BC
并延长到E ，使CE=CB，连接DE ，那么量出DE 的长，就是A 、B 两端的距离，你能说说其中的道理吗？
9．已知如图，要测量水池的宽AB ，可过点A 作直线AC ⊥AB ，再由点C 观测，在BA 延长线上找一点B′，使∠ACB′=∠ACB ，这时只要量出AB′的长，就知道AB 的长，对吗？为什么？
状元笔记
【知识要点】 1．全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 3．三角形全等的判定方法
(1)三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS ”) ．
(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS ”) ． (3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA ”) ． (4)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS ”) ．
4．直角三角形全等的判定方法
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL ”) ． 【温馨提示】
1．两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等，只有角分别相等不能证明两个三角形全等．
2．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 3．“HL ”定理指的是斜边和一条直角边分别相等，而不是斜边和直角分别相等． 【方法技巧】
1．应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规律主要有以下几点：
（1）以对应顶点为顶点的角是对应角； （2）对应顶点所对应的边是对应边； （3）公共边（角）是对应边（角）； （4）对顶角是对应角；
（5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）．
全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若△ABC ≌△DEF ， 说明A 与D ，B 与E ，C 与F 是对应点，则∠ABC 与∠DEF 是对应角，边AC 与边DF 是对应边．
2．判定两个三角形全等的解题思路：
⎧⎧找夹角——SAS 已知两边⎨⎪
⎩找另一边——SSS ⎪
⎪⎧边为角的对边——找任一角——AAS ⎪⎪⎪⎧找夹角的另一边——SAS ⎪⎪⎨已知一边一角⎨⎪
边为角的邻边⎨找夹边的另一角——ASA ⎪⎪
⎪找边的对角——AAS ⎪⎪
⎩⎩⎪
⎪ ⎧找夹边——ASA ⎪已知两角⎨⎪⎩找任一边——AAS ⎩
参考答案:
1．证明：平行四边形ABCD 中，AB=CD，∠A=∠C ，AB ∥CD ， ∴∠ABD=∠CDB ．
11
∵∠AB E=∠ABD ，∠CDF=∠CDB ，∴∠ABE=∠CDF ．
22
在△ABE 与△CDF 中，
⎧∠A =∠C ⎪
⎨AB =CD
⎪∠ABE =∠C D F ⎩
∴△ABE ≌△CDF ． 2．解：（1）BD =DC (或点D 是线段BC 的中点) ，FD =ED ，CF =BE 中任选一个即可﹒
（2）以BD =DC 为例进行证明： ∵CF ∥BE ，
∴∠FCD ﹦∠EBD ．
又∵BD =DC ，∠FDC =∠EDB ， ∴△BDE ≌△CDF ． 3．解：（1）添加条件②，③，④中任一个即可，以添加②为例说明． 证明：∵AE=CD，BE=BD， ∴AB=CB．
又∠ABD=∠CBE ，BE=BD， ∴△ADB ≌△CEB ． （2）③④．
4．B 解析：∵∠ABC =45°，AD ⊥BC ，∴AD =BD ，∠ADC =∠BDH ， ∠AHE =∠BHD =∠C ．∴△ADC ≌△BDH ．∴BH =AC =4．故选B ． 5．证明：如图所示，
M
∵△AEB 由△ADC 旋转而得， ∴△AEB ≌△ADC . ∴∠3＝∠1，∠6＝∠C ．∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠2＝∠1，∠7＝∠C . ∴∠3＝∠2，∠6＝∠7．∵∠4＝∠5，∴∠ABM ＝∠ABN ． 又∵AB ＝AB ，∴△AMB ≌△ANB ．∴AM ＝AN ．
6．证明：∵△ABC 和△EDC 是等边三角形， ∴∠BCA ＝∠DCE ＝60°． ∴∠BCA －∠ACD ＝∠DCE －∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ． 在△DBC 和△EAC 中，BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，DC ＝EC ， ∴△DBC ≌△EAC （SAS ）． ∴∠DBC ＝∠EAC ． 又∵∠DBC ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ACB ＝∠EAC ．∴AE ∥BC ．
7．B 解析：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，又∵BC=EF，AC=DF，∴Rt △ABC ≌Rt △DEF ．∴∠ABC=∠DEF ，∵∠DEF+∠DFE=90°，∴∠ABC+∠DFE=90°． 故选B ．
8．解：在△ABC 和△CED 中，AC=CD，∠ACB=∠ECD ，EC=BC，
∴△ABC ≌△CED ．∴AB=ED．即量出DE 的长，就是A 、B 两端的距离． 9．解：对．
理由：∵AC ⊥AB, ∴∠CAB=∠CAB′=90°. 在△ABC 和△AB′C中，
⎧∠ACB =∠ACB ′，⎪
⎨AC =AC ，
⎪∠CAB =∠CAB ′，⎩
∴△ABC ≌△AB′C （ASA ）．∴AB′=AB．
第十三章
轴对称
13.1轴对称 13.2画轴对称图形
专题一 轴对称图形
1
．下列图案是轴对称图形的是（ ）
2．众所周知，几何图形中有许多轴对称图形，写出一个你最喜欢的轴对称图形是：______________________．（答案不唯一）
3．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形，使它们成为轴对称图形．
专题二 轴对称的性质
4．如图，△ABC 和△ADE 关于直线l 对称，下列结论：①△ABC ≌△ADE ；②l 垂直平分DB ；③∠C=∠E ；④BC 与DE 的延长线的交点一定落在直线l 上．其中错误的有（ ）
A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．如图，∠A=90°，E 为BC 上一点，A 点和E 点关于BD 对称，B 点、C 点关于DE 对称，求∠AB C 和∠C 的度数．
6．如图，△ABC 和△A′B′C′关于直线m 对称． （1）结合图形指出对称点．
（2）连接A 、A′，直线m 与线段AA′有什么关系？
（3）延长线段AC 与A′C′，它们的交点与直线m 有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流．
专题三
灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题 7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB 的垂直平分线DE 交于BC 的延长线于F ，若∠
F=30°，DE=1，则EF 的长是（ ）
A ．3 B ．2 C D
．1
8．如图，在△ABC 中，BC=8，AB 的垂直平分线交BC 于D ，AC 的垂直平分线交BC 与E ，则△ADE 的周长等于________．
9．如图，AD ⊥BC ，BD=DC，点C 在AE 的垂直平分线上，那么线段AB 、BD 、DE 之间有什么数量关系？并加以证明．
专题四 利用关于坐标轴对称点的坐标的特点求字母的取值范围 10．已知点P （－2，3）关于y 轴的对称点为Q （a ，b ），则a+b的值是（ ） A ．1 B ．－1 C ．5 D ．－5
11．已知P 1点关于x 轴的对称点P 2（3－2a ，2a －5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则P 1点的坐标是__________． 状元笔记
【知识要点】
1．轴对称图形与轴对称
轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．
轴对称：把一个平面图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴) 对称，这条直线叫做对称轴． 2．轴对称的性质
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 3．线段的垂直平分线的性质和判定
性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 4．关于x 轴、y 轴对称的点的坐标的特点
点(x，y) 关于x 轴对称的点的坐标为(x，－y) ； 点(x，y) 关于y 轴对称的点的坐标为(－x ，y) ； 【温馨提示】
1．轴对称图形是针对一个图形而言，是指一个具有对称的性质的图形；轴对称是针对两个
图形而言，它描述的是两个图形的一种位置关系．
2．在平面直角坐标系中，关于x 轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相同．
参考答案:
1．D 解析：∵将D 图形上下或左右折叠，图形都能重合，∴D 图形是轴对称图形， 故选D ．
2．圆、正三角形、菱形、长方形、正方形、线段等 3．如图所示：
4．A 解析：根据轴对称的定义可得，如果△ABC 和△ADE 关于直线l 对称，则
△ABC ≌△ADE ，即①正确；因为如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对应线段、对应角相等，故l 垂直平分DB ，∠C=∠E ，即②，③正确；因为成轴对称的两个图形对应线段或延长线如果相交，那么，交点一定在对称轴上，故BC 与DE 的延长线的交点一定落在直线l 上，即④正确．综上所述，①②③④都是正确的，故选A ．
5．解：根据题意A 点和E 点关于BD 对称，
有∠ABD=∠EBD ，即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD ．
B 点、C 点关于DE 对称，
有∠DBE=∠BCD ，∠ABC=2∠BCD ． 且已知∠A=90°，
故∠ABC+∠BCD=90°． 故∠ABC=60°，∠C=30°．
6．解：（1）对称点有A 和A' ，B 和B' ，C 和C' ． （2）连接A 、A′，直线m 是线段AA′的垂直平分线．
（3）延长线段AC 与A′C′，它们的交点在直线m 上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m 上，即若两线段关于直线m 对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上．
7．B 解析：在Rt △FDB 中，∵∠F ＝30°，∴∠B ＝60°． 在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°， ∴∠A ＝30°．在Rt △AED 中，∵∠A ＝30°， DE ＝1，∴AE ＝2．连接EB. ∵DE 是AB 的垂直平分线，∴EB ＝AE ＝2. ∴∠EBD ＝∠A ＝30°．∵∠ABC ＝60°，∴∠EBC ＝30°．∵∠F ＝30°，∴EF ＝EB ＝2．故选B ．
8．8 解析：∵DF 是AB 的垂直平分线，∴DB=DA．∵EG 是AC 的垂直平分线，∴EC=EA． ∵BC=8，∴△ADE 的周长=DA+EA+DE=DB+DE+EC=BC=8． 9．解：AB+BD=DE．
证明：∵AD ⊥BC ，BD=DC，∴AB=AC． ∵点C 在AE 的垂直平分线上， ∴AC=CE． ∴AB=CE．
∴AB+BD=CE+DC=DE．
10．C 解析：关于y 轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，∴a=2，b=3．∴a+b=5． 解得1.5＜a ＜2.5，又因为a 必须为整数，∴a=2．∴点P 2（－1，－1）． ∴P 1点的坐标是（－1，1）．
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1整式的乘法
专题一 幂的性质
1．下列运算中，正确的是（ ）
A ．3a 2－a 2＝2 B ．(a 2) 3＝a 9 C ．a 3•a 6＝a 9 D ．(2a 2) 2＝2a 4 2．下列计算正确的是（ ）
x =2x B ．x ·x =x A ．x ·
326428
C ．(-x 2) 3=-x 6 D ．(x 3) 2=x 5
3．下列计算正确的是（ ）
[1**********]212
A ．2a ＋a ＝3a B ．a ÷a ＝a C ．a ·a ＝a D ．( －a ) ＝a 专题二 幂的性质的逆用
4．若2a =3，2b =4，则23a+2b等于（ ） A ．7 B ．12 C ．432 D ．108
ｍｎｍｎ
5．若2=5，2=3，求23+2的值．
专题三 整式的乘法
7．下列运算中正确的是（ ）
A ．3a +2a =5a 2 B ．(2a +b )(a -b ) =2a 2-ab -b 2 C ．2a 2⋅a 3=2a 6 D ．(2a +b ) 2=4a 2+b 2
8．若（3x 2－2x +1）（x +b）中不含x 2项，求b 的值，并求（3x 2－2x +1）（x +b）的值．
9．先阅读，再填空解题： （x +5）（x +6）=x 2+11x +30； （x －5）（x －6）=x 2－11x +30； （x －5）（x +6）=x 2+x －30； （x +5）（x －6）=x 2－x －30．
（1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？答：________． （2）根据以上的规律，用公式表示出来：________．
（3）根据规律，直接写出下列各式的结果：（a +99）（a －100）=________；（y －80）（y －81）=________．
专题四 整式的除法
10．计算：（3x 3y －18x 2y 2+x 2y ）÷（－6x 2y ）=________．
（a b -11．计算：2
34712612a b ）÷（-ab 3）． 93
12．计算：（a －b ）3÷（b －a ）2+（－a －b ）5÷（a +b ）4．
状元笔记 【知识要点】
1．幂的性质
(1)同底数幂的乘法：a ⋅a =a
指数相加．
(2)幂的乘方：(a ) =a
n m n mn m n m +n (m ，n 都是正整数) ，即同底数幂相乘，底数不变，(m ，n 都是正整数) ，即幂的乘方，底数不变，指数相乘． (3)积的乘方：(ab ) =a b (n 都是正整数) ，即积的乘方，等于把积中的每一个因式分别
乘方，再把所得的幂相乘．
2．整式的乘法
(1)单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
(2)单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘单项式的每一项，再把所得的积相加．
(3)多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
3．整式的除法 n n
(1)同底数幂相除：a ÷a =a
底数不变，指数相减． m n m -n (m ，n 都是正整数，并且m ＞n ) ，即同底数幂相除，
(2)a =1(a ≠0) ，即任何不等于0的数的0次幂都等于1．
(3)单项式除以单项式：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
(4)多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
【温馨提示】
1．同底数幂乘法法则与合并同类项法则相混淆．同底数幂相乘，应是“底数不变，指数相加”；而合并同类项法则是“系数相加，字母及字母的指数不变”．
2．同底数幂相乘与幂的乘方相混淆．同底数幂相乘，应是“底数不变，指数相加”；幂的乘方，应是“底数不变，指数相乘”．
3．运用同底数幂的乘法(除法) 法则时，必须化成同底数的幂后才能运用上述法则进行计算．
4．在单项式(多项式) 除以单项式中，系数都包括前面的符号，多项式各项之间的“加、减”符号也可以看成系数的符号来参与运算．
【方法技巧】
1．在幂的性质中，公式中的字母可以表示任意有理数，也可以表示单项式或多项式．
2．单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，否则容易造成漏项或增项的错误．
3．单项式与多项式相乘，多项式除以单项式中，结果的项数与多项式的项数相同，不要漏项．
0参考答案:
1．C 解析：A 中，3a 2与－a 2是同类项，可以合并，3a 2―a 2＝2a 2，故A 错误；B 中，(a 2) 3＝a 2×3=a 6，故B 错误；C 中，a 3•a 6＝a 3+6＝a 9，故C 正确；D 中，(2a 2) 2＝22（a 2）2＝4a 4，故D 错误．故选C ．
2．C 解析：x ·x =x 322+3=x 5，选项A 错误；x 4·x 2=x 2+4=x 6，选项B 错误；(-x 2) 3=-x 2⨯3=-x 6，选项C 正确；(x 3) 2=x 2⨯3=x 6，选项D 错误. 故选C ．
3．D 解析：A 中，2a +a =3a ，故A 错误；B 中，a ÷a =a ，故B 错误；C 中，222624
a 6⋅a 2=a 8，故C 错误. 故选D ．
4．C 解析：23a+2b=23a ×22b =（2a ）3×（2b ）2=33×42=432．故选C ．
3ｍ+2ｎ3ｍ2ｎｍｎ32=2²2=（2）3²（2）2 ²3=1125.
7．B 解析：A 中，由合并同类项的法则可得3a+2a=5a，故A 错误；B 中，由多项式与多项式相乘的法则可得(2a +b )(a -b ) =2a 2-2ab +ab -b 2=2a 2-ab -b 2，故B 正确；C 中，由单项式与单项式相乘的法则可得2a 2⋅a 3=2a 2+3=2a 5，故C 错误；D 中，由多项式与多项式相乘的法则可得(2a +b ) 2=4a 2+4ab +b 2，故D 错误. 综上所述，选B ．
8．解：原式=3x3+（3b －2）x 2+（－2b+1）x+b，
∵不含x 2项，
2∴（3x 2－2x+1）（x+） 3
42=3x3－2x 2+x+2x2－x+ 33
12=3x3－x+． 33∴3b －2=0，得
9．解：（1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系是：
一次项系数是两因式中的常数项的和，常数项是两因式中的常数项的积；
（2）根据以上的规律，用公式表示出来：（a+b）（a+c）=a2+（b+c）a+bc；
（3）根据（2）中得出的公式得：（a+99）（a －100）=a2－a －9900；（y －80）（y －81）=y2－161y+6480．
11x+3y－ 解析：（3x 3y －18x 2y 2+x2y ）÷（－6x 2y ）=（3x 3y ）÷（－6x 2y ）－18x 2y 2÷26
11（－6x 2y ）+x2y÷（－6x 2y ）=－x+3y－． 2610．－
11．解：原式
211=（a 4b 7-a 2b 6）÷a 2b 6
3992111=a 4b 7÷a 2b 6-a 2b 6÷a 2b 6 3999
=6a 2b -1。
12．解：（a －b ）3÷（b －a ）2+（－a －b ）5÷（a+b）4，
=（a －b ）3÷（a －b ）2－（a+b）5÷（a+b）4，
=（a －b ）－（a+b），
= a－b －a －b ，
=－2b ．
14.2乘法公式
专题一 乘法公式
1．下列各式中运算错误的是（ ）
A ．a 2+b 2=(a +b ) 2－2ab B ．(a －b ) 2=(a +b ) 2－4ab
C ．(a +b )(－a +b )=－a 2+b 2 D ．(a +b )(－a －b )=－a 2－b 2
2．代数式(x +1)(x －1)(x 2+1)的计算结果正确的是（ ）
A ．x 4－1 B ．x 4+1 C ．(x －1) 4 D ．(x +1)4
3．计算：(2x +y )(2x －y )+(x +y ) 2－2(2x 2－xy ) （其中x =2，y =3）．
专题二 乘法公式的几何背景
4．请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（ ） A ．（a+b）（a －b ）=a－b B ．（a+b）=a2+2ab+b2
C ．（a －b ）2=a2－2ab+b2 D ．（a+b）2=a2+ab+b2
5．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（ ）
222
A ．a 2－b 2=（a+b）（a －b ） B ．（a+b）2=a2+2ab+b2
C ．（a －b ）2=a2－2ab+b2 D ．a （a+b）=a2+ab
6．我们在学习完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，了解了一下它的几何背景，即通过图
2来说明上式成立．在习题中我们又遇到了题目“计算：（a+b+c）”，你能将知识进行迁移，
从几何背景说明（大致画出图形即可）并计算（a+b+c）2吗？
状元笔记
【知识要点】 1．平方差公式
(a+b)(a－b)=a2－b 2，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
2．完全平方公式
(a±b) 2=a2±2ab+b2，两个数的和(或差) 的平方，等于它们的平方和，加上(或减去) 它们的积的2倍．
【温馨提示】
1．不要将平方差公式和完全平方公式相混淆，注意它们项数和符号的不同．
2．完全平方公式中，中间项是左边两个数的和的2倍，注意系数的特点．
【方法技巧】
1．公式中的字母a 、b 可以是具体的数，也可以是单项式、多项式．只要符合公式的结构特征，就可以利用公式．
2．有些题目往往不能直接应用公式求解，但稍做适当的变形后就可以用乘法公式求解．如：位置变化，符号变化，数字变化，系数变化，项数变化等．
参考答案:
1．D 解析：A 中，由完全平方公式可得(a +b ) 2－2ab=a2+2ab+b2－2ab=a2+b 2，故A 正确；B 中，由完全平方公式可得(a －b ) 2=a 2－2ab+b2，(a +b ) 2－4ab =a 2+2ab+b2－4ab=a2－2ab+b2，故B 正确；C 中，由平方差公式可得(a +b )(－a +b )=(a +b )(b －a )=b2－a 2=－a 2+b2，故C 正确；D 中，(a +b )(－a －b )=－(a +b ) 2=－a 2－2ab －b 2，故D 错误．
2．A 解析：原式=(x2－1)(x 2+1)=(x2) 2－1=x4－1．
3．解：原式=4x2－y 2+x2+2xy+y2－4x 2+2xy=x2+4xy，
当x=2，y=3时，原式=22+4³2³3=4+24=28．
4．B 解析：这个图形的整体面积为(a+b)2；各部分的面积的和为a 2+2ab+b2；所以得到公式（a+b）2=a2+2ab+b2．故选B ． 5．C 解析：从图中可知：阴影部分的面积是（a －b ）2和b 2，剩余的矩形面积是（a －b ）b 和（a －b ）b ，即大阴影部分的面积是（a －b ）2，∴（a －b ）2=a2－2ab+b2，故选C ．
6．解：（a+b+c）2的几何背景如图，整体的面积为：（a+b+c）2，用各部分的面积之和表示为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
14.3因式分解
专题一 因式分解
1．下列分解因式正确的是（ ）
A ．3x 2 － 6x =x(x－6) B ．－a 2+b2=(b+a)(b－a)
C ．4x 2 － y 2=(4x－y)(4x+y) D ．4x 2－2xy+y2=(2x－y) 2
2．分解因式：3m 3－18m 2n+27mn2=____________．
3．分解因式：(2a+b)2－8ab=____________．
专题二 在实数范围内分解因式
4．在实数范围内因式分解x 4－4=____________．
5．把下列各式因式分解（在实数范围内）
（1）3x 2－16； （2）x 4－10x 2+25．
6．在实数范围内分解因式：
（1）x 3－2x ； （2）x 4－6x 2+9．
专题三 因式分解的应用
7．如果m －n=－5，mn=6，则m 2n －mn 2的值是（ ）
A ．30 B ．－30 C ．11 D ．－11
8．利用因式分解计算32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=___________．
9．在下列三个不为零的式子：x 2－4x ，x 2+2x，x 2－4x+4中，
（1）请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解；
（2）请你选择其中两个并用不等号连接成不等式，并求其解集．
状元笔记
【知识要点】
1．因式分解
我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
2．因式分解的方法
(1)提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写出公因式与另一个因式的乘积的形式，这样分解因式的方法叫做提公因式法．
(2)将乘法公式的等号两边互换位置，得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．
(3)平方差公式：a 2－b 2=(a+b)(a－b) ，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． (4)完全平方公式：a 2±2ab+b2=(a±b) 2，两个数的平方和，加上(或减去) 它们的积的2倍，等于这两个数的和(或差) 的平方．
【温馨提示】
1．分解因式的对象必须是多项式，如把5a bc 分解成5a ⋅abc 就不是分解因式，因为5a bc 不是多项式．
2．分解因式的结果必须是积的形式，如x +x -1=x (x +1) -1就不是分解因式，因为结果222
x (x +1) -1不是积的形式．
【方法技巧】
1．若首项系数为负时，一般要提出“—”号，使括号内首项系数为正，但要注意，此时括号内的各项都应变号，如-x +2x =-x (x -2) ．
2．有些多项式的特点与公式相比，只是某些项的符号不符，这时就需要先对符号进行变化，使之符合公式的特点．
2
参考答案:
1．B 解析：A 中，3x 2 － 6x=3x(x－2) ，故A 错误；B 中，－a 2+b2=－(a－b)(a+b)=(b+a)(b－a) ，故B 正确；C 中，4x 2 － y 2=(2x)2－(2y)2=(2x－y)(2x+y)，故C 错误；D 中，4x 2－2xy+y2
的中间项不是2×2x×y ，故不能因式分解，故D 错误．综上所述，选B ．
2．3m(m－3n) 2 解析：3m 3－18m 2n+27mn2=3m(m2－6mn+9n2)=3m(m－3n) 2．
3．(2a－b) 2 解析：(2a+b)2－8ab=4a2+4ab+b2－8ab=4a2－4ab+b2=(2a－b) 2．
4．(x2
) 解析：x 4－4=(x2+2)(x2－2)=(x2
．
5．解：(1)3x2－
－4) ；(2)x4－10x 2+25=(x2－5) 2
2(x
2．
6．解：(1)x3－2x=x(x2－
；(2)x4－6x 2+9=(x2－3) 2
2(x
2．
7．B 解析：∵m －n=－5，mn=6，∴m 2n －mn 2=mn（m －n ）=6×（－5）=－30，故选B ．
8．2013 解析：32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=0.32×2013+0.54×2013+0.14×2013=2013×（0.32+0.54+0.14）=2013×1=2013．
9．解：(1)答案不唯一，如：（x 2－4x ）+（x 2+2x）=2x2－2x=2x（x －1）．
(2) 答案不唯一，如：x 2－4x ＞x 2+2x，
合并同类项，得－6x ＞0，
解得x ＜0．
第十五章 分式
15.1分式
专题一 分式有意义的条件、分式的值为0的条件
1
有意义，那么x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≠1 C ．x ＞0 D ．x ≥0且x ≠1
3x 2-272．如果分式的值为0，则x 的值应为 ． x -3
x 2-93．若分式2的值为零，求x 的值． x -6x +9
专题二 约分
m 2-2mn +n 2
4．化简的结果是（ ）m 2-mn
A ．2n 2 B ．m -n m -n m +n C ． D ． m m +n m
9a (y -x ) 2
5．约分：=____________． 27x -27y
6．从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并将它化简：4x 2－4x y +y 2，4x 2－y 2，2x －y ．
状元笔记
【知识要点】
1．分式的值为0受到分母不等于0的限制，“分式的值为0”包含两层意思：一是分式有意义，二是分子的值为0，不要误解为“只要分子的值为0，分式的值就是0”．
2．分式的基本性质中的A 、B 、C 表示的都是整式，且C ≠0．
3．分子、分母必须“同时”乘C (C ≠0) ，不要只乘分子（或分母）．
4．性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的．但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的．
【方法技巧】
1．分式的符号法则可总结为：一个负号随意跑，两个负号都去掉．就是说，分式中若出现一个负号，则此负号可“随”我们的“意”（即根据题目要求）跑到分子、分母以及分式本身三者中的任何一个位置上；若分式中出现两个负号，则可以将这两个负号同时去掉．
2．分式的分子、分母系数化整问题的基本做法是分式的分子、分母都乘同一个“适当”的不为零的数，这里的“适当”的数又分两种情况：若分式分子、分母中的系数都是分数时，“适当”的数就是分子、分母中各项系数的所有分母的最小公倍数；若分式的分子、分母中各项系数是小数时，则“适当的数”就是10n ，其中n 是分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数．最后根据情况需要约分时，则要约分．
参考答案:
1．D 解析：根据题意得：x≥0且x －1≠0．解得x≥0且x≠1．故选D ．
⎧3x 2-27=02．－3 解析：根据分式值为0，可得⎨，解得x =－3． x -3≠0⎩
x 2-93．解：∵2的值为0，∴x 2－9=0且x 2－6x +9≠0．解x 2－9=0，得x =±3．当x =3x -6x +9
时，x 2－6x +9=32－6³3+9=0，故x =3舍去．当x =－3时，x 2－6x +9=(－3) 2－6³(－3)+9=36． x 2-9∴当分式2的值为0时，x =－3． x -6x +9
m 2-2mn +n 2(m -n ) 2m -n 4．B 解析：==．故选B ． m m 2-mn m (m -n )
ax -ay 9a (y -x ) 29a (x -y ) 2a (x -y ) ax -ay 5． 解析：===． 33327x -27y 27(x -y )
2x -y 4x 2-4xy +y 2(2x -y ) 2
6．解：答案不唯一，如：==． 4x 2-y 2(2x +y )(2x -y ) 2x +y
专题一 解分式方程 15.3分式方程 13=的解是 1．方程
专题二 分式方程无解
4．关于x 的分式方程
x m -2=无解，则m 的值是（ ）
x -1x -1专题三 列分式方程解应用题
7．甲、乙两班学生参加植树造林．已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等．若设甲班每天植树x 棵，则根据题意列出方程正确的是（ ）
状元笔记
【知识要点】
1．分式方程
分母中含未知数的方程叫做分式方程．
2．解分式方程的一般步骤
31
【温馨提示】
1．用分式方程中各项的最简公分母乘方程的两边，从而约去分母．但要注意用最简公分母乘方程两边各项时，切勿漏项． 2．解分式方程可能产生使分式方程无解的情况，那么检验就是解分式方程的必要步骤．
参考答案:
3．解：方程两边乘x(x+2)，得错误！未找到引用源。，解得错误！未找到引用源。．经检验：错误！未找到引用源。是原方程的解．
4．A 解析：方程两边成x －1，得x －2（x －1）=m，解得x=2－m ．∵当x=1时分母为0，方程无解，∴2－m=1，即m=1时，方程无解．故选A ．
5．0 解析：去分母，得，2-x -m =2x -4，即3x=6－m ．∵方程无解，∴x=2．把x=2代入3x=6－m ，得m=0．
32
7．B 解析：设甲班每天植树x 棵，则乙班每天植树（x+2）棵，甲班植60棵树所用的天数为60706070，乙班植70棵树所用的天数，可列方程为=．故选B ． x x +2x x +2
⎛
⎝1⎫⎪x 棵，根据题意，得 3⎭8．解：设原计划每天种x 棵树，实际每天种树 1+
480480-=4． x ⎛1⎫ 1+⎪x ⎝3⎭
解这个方程，得x=30．
经检验x=30是原方程的解且符合题意．
答：原计划每天种树30棵．
9．解：不能相同．理由如下：设该校购买的乒乓球拍每副x 元，羽毛球拍每副（x ＋14）元，若购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量相同，则 20002800=，解得x ＝35． x x +14
经检验x ＝35是原方程的解．
但当x ＝35时，[1**********]==，不是整数，不合题意． x x +147
所以购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量不能相同．
33
第十一章 三角形 11.1与三角形有关的线段
专题一 三角形个数的确定
1．如图，图中三角形的个数为（ ）
A ．2 B ．18 C ．19 D ．20
2．如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有
5个三角形，第3个图中共有9
个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形__________个．
3．阅读材料，并填表：
在△ABC 中，有一点P 1，当P 1、A 、B 、
C 没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC 内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？
完成下表：
专题二 根据三角形的三边不等关系确定未知字母的范围
4．三角形的三边分别为3，1－2a ，8，则a 的取值范围是（ ）
A ．－6＜a ＜－3 B ．－5＜a ＜－2 C ．2＜a ＜5 D ．a ＜－5或a ＞－2
5. 在△ABC 中，三边长分别为正整数a 、b 、c ，且c ≥b ≥a ＞0，如果b =4，则这样的三角形共有______个．
6．若三角形的三边长分别是2、x 、8，且x 是不等式三边x 的长．
x +21-2x
＞-的正整数解，试求第23
状元笔记
【知识要点】
1．三角形的三边关系
三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边． 2．三角形三条重要线段
(1)高：从三角形的顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高．
(2)中线：连接三角形的顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线．
(3)角平分线：三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
3．三角形的稳定性 三角形具有稳定性． 【温馨提示】
1．以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形．而不是分为三类：三边都不相等的三角形、等腰三角形、等边三角形，等边三角形是等腰三角形的一种．
2．三角形的高、中线、角平分线都是线段，而不是直线或射线． 【方法技巧】
1．根据三角形的三边关系判定三条线段能否组成三角形时，要看两条较短边之和是否大于最长边．
2．三角形的中线将三角形分成两个同底等高的三角形，这两个三角形面积相等．
参考答案:
1．D 解析：线段AB 上有5个点，线段AB 与点C 组成5×（5－1）÷2=10个三角形；同样，线段DE 上也有5个点，线段DE 与点C 组成5×（5－1）÷2=10个三角形，图中三角形的个数为20个．故选D ．
2．21 解析：根据前边的具体数据，再结合图形，不难发现：后边的总比前边多4，若把第一个图形中三角形的个数看作是1=4－3，则第n 个图形中，三角形的个数是4n －3．所以当n=6时，原式=21．
解析：当△ABC 内有1个点时，构成不重叠的三角形的个数是3=1×2＋1；当△ABC 内有2个点时，构成不重叠的三角形的个数是5=2×2＋1；参考上面数据可知，三角形的个数与点的个数之间的关系是：三角形内有n 个点时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1，故当有3个点时，三角形的个数是3×2＋1=7；当有1007个点时，三角形的个数是1007×2＋1=2015．
4．B 解析：根据题意，得8－3＜1－2a ＜8＋3，即5＜1－2a ＜11，解得－5＜a ＜－2．故选B ． 5．10 解析：∵在△ABC 中，三边长分别为正整数a 、b 、c ，且c ≥b ≥a ＞0，∴c ＜a +b ．∵b =4，
∴a =1，2，3，4．a =1时，c =4；a =2时，c =4或5；a =3时，c =4，5，6；a =4时，c =4，5，6，7．∴这样的三角形共有1+2+3+4=10个． 6．解：原不等式可化为3（x +2）＞－2（1－2x ），解得x ＜8． ∵x 是它的正整数解，
∴x 可取1，2，3，5，6，7．
再根据三角形三边关系，得6＜x ＜10， ∴x =7．
11.2与三角形有关的角
专题一 利用三角形的内角和求角度
1．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于D 点，∠A=50°，则∠D=（ ）
A ．15° B ．20° C ．25° D ．30°
2．如图，已知：在直角△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 且交AC 于D. 若AP 平分∠BAC
且交BD 于P ，求∠BPA 的度数．
3．已知：如图1，线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A 、∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关系：__________； （2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P 的度数；（写出解答过程）
（3）如果图2中∠D 和∠B 为任意角，其他条件不变，试写出∠P 与∠D 、∠B 之间的数量关系．（直接写出结论即可）
专题二 利用三角形外角的性质解决问题 4．如图，∠ABD ，∠ACD 的角平分线交于点P ，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P 的度数为（ ）
A ．15° B ．20° C ．25° D ．30° 5．如图，△ABC 中，CD 是∠ACB 的角平分线，CE 是AB 边上的高，若∠A=40°，∠B=72°． （1）求∠DCE 的度数；
（2）试写出∠DCE 与∠A 、∠B 的之间的关系式．（不必证明）
6．如图：
（1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C ；
（2）如果点D 与点A 分别在线段BC 的两侧，猜想∠BDC 、∠A 、∠ABD 、∠ACD 这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．
状元笔记
【知识要点】
1．三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°． 2．直角三角形的性质及判定
性质：直角三角形的两个锐角互余．
判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 3．三角形的外角及性质
外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【温馨提示】
1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角． 2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角． 【方法技巧】
1．在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形的两个锐角互余”．
2．由三角形的外角的性质可得出：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．
2．解：（法1） 因为∠C=90°，所以∠BAC ＋∠ABC=90°， 所以
1
(∠BAC ＋∠ABC)=45°. 2
因为BD 平分∠ABC ，AP 平分∠BAC ，
∠BAP=
11
∠BAC ，∠ABP=∠ABC ， 22
即∠BAP ＋∠ABP=45°，
所以∠APB=180°－45°=135°. （法2）因为∠C=90°，所以∠BAC ＋∠ABC=90°， 所以
1
(∠BAC ＋∠ABC)=45°， 2
因为BD 平分∠ABC ，AP 平分∠BAC ， ∠DBC=
11
∠ABC ，∠PAC=∠BAC ，所以∠DBC ＋∠PAD=45°. 22
所以∠APB=∠PDA ＋∠PAD =∠DBC ＋∠C ＋∠PAD=∠DBC ＋∠PAD ＋∠C =45°＋
90°=135°. 3．解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C ；
（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P ，∠2+∠P=∠4+∠B ，∴∠1－∠3=∠P －∠D ，∠2－∠4=∠B －∠P ，又∵AP 、CP 分别平分∠DAB 和∠BCD ，∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠P －∠D=∠B －∠P ，即2∠P=∠B+∠D ，∴∠P=（40°+30°）÷2=35°． （3）2∠P=∠B+∠D ．
4．B 解析：延长DC ，与AB 交于点E ．根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD －∠ABD=60°．设AC 与BP 相交于点O ，则∠AOB=∠POC ，∴∠P+=20°．故选B ．
111
∠ACD=∠A+∠ABD ，即∠P=50°－ACD －∠ABD ）222
11.3多边形及其内角和
专题一 根据正多边形的内角或外角求值 1．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（ ） A ．12 B ．11 C ．10 D ．9 2．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于________°．
3．已知一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角都等于与它相邻的外角的9倍，求这个多边形的边数．
专题二 求多个角的和
4．如图为某公司的产品标志图案，图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ）
A ．360° B ．540° C ．630° D ．720°
5．如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°．
6．如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数．
状元笔记
【知识要点】
1．多边形及相关概念
多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 2．多边形的内角和与外角和
内角和：n 边形的内角和等于(n－2) ²180°． 外角和：多边形的外角和等于360°． 【温馨提示】 1．从n 边形的一个顶点出发，可以做(n－3) 条对角线，它们将n 边形分为(n－2) 个三角形．对角线的条数与分成的三角形的个数不要弄错． 2．多边形的外角和等于360°，而不是180°． 【方法技巧】
1．连接多边形的对角线，将多边形转化为多个三角形，将多边形问题转化为三角形问题来解决．
2．多边形的内角和随边数的变化而变化，但外角和不变，都等于360°，可利用多边形的外角和不变求多边形的边数等．
参考答案:
1．A 解析：∵每个内角为150°，∴每个外角等于30°．∵多边形的外角和是360°，360°÷30°=12，∴这个正多边形的边数为12．故选A ． 2．1440 解析：∵多边形的边数为360°÷36°=10，多边形的内角为180°－36°=144°，∴多边形的内角和等于144°³10=1440°．
3．解：设多边形的边数为n ，根据题意，得(n－2) ²180°=9³360°，解得n=20．所以这个多边形的边数为20．
4．B 解析：∵∠1=∠C+∠D ，∠2=∠E+∠F ，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠B+∠1+∠2+∠G=540°．故选B ．
5．360° 解析：在四边形BEFG 中， ∵∠EBG=∠C+∠D ， ∠BGF=∠A+∠ABC ，
∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=∠EBG+∠BGF+∠E+∠F=360°．
6．解：∵∠POA 是△OEF 的外角，∴∠POA=∠E+∠F ． 同理：∠BPO=∠D+∠C ．
∵∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
第十二章 全等三角形
12.1全等三角形 12.2三角形全等的判定
专题一 三角形全等的判定
1．如图，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ． 求证：△A BE ≌△CDF ．
2．如图，在△AB C 中，D 是BC 边上的点（不与B ，C 重合），F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF ∥BE . 请你添加一个条件，使△BDE ≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母) ，并给出证明．
（1）你添加的条件是：__________； （2）证明：
3．如图，△ABC 中，点D 在BC 上，点E 在AB 上，BD=BE，要使△ADB ≌△CEB ，还需添加一个条件．
（1）给出下列四个条件： ①AD=CE； ②AE=CD；
③∠BAC=∠BCA ； ④∠ADB=∠CEB ；
请你从中选出一个能使△ADB ≌△CEB 的条件，并给出证明；
（2）在（1）中所给出的条件中，能使△ADB ≌△CEB 的还有哪些？直接在题后横线上写出满足题意的条件序号．__________________．
专题二 全等三角形的判定与性质 4．如图，已知△ABC 中，∠ABC =45°，AC =4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为（ ）
A
B ．4
C
．D ．5
5．【2013²襄阳】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，将△ADC 绕点A 顺时针旋转，使AC 与AB 重合，点D 落在点E 处，AE 的延长线交CB 的延长线于点M ，EB 的延长线交AD 的延长线于点N . 求证：AM ＝AN .
A
E M
D N
6．如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连接AE ．求证：AE ∥BC ．
专题三 全等三角形在实际生活中的应用
7．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC 与∠DFE 的度数和是（ ）
A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°
8．有一座小山，现要在小山A 、B 的两端开一条隧道，施工队要知道A 、B 两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD=CA，连
接BC
并延长到E ，使CE=CB，连接DE ，那么量出DE 的长，就是A 、B 两端的距离，你能说说其中的道理吗？
9．已知如图，要测量水池的宽AB ，可过点A 作直线AC ⊥AB ，再由点C 观测，在BA 延长线上找一点B′，使∠ACB′=∠ACB ，这时只要量出AB′的长，就知道AB 的长，对吗？为什么？
状元笔记
【知识要点】 1．全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 3．三角形全等的判定方法
(1)三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS ”) ．
(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS ”) ． (3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA ”) ． (4)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS ”) ．
4．直角三角形全等的判定方法
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL ”) ． 【温馨提示】
1．两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等，只有角分别相等不能证明两个三角形全等．
2．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 3．“HL ”定理指的是斜边和一条直角边分别相等，而不是斜边和直角分别相等． 【方法技巧】
1．应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规律主要有以下几点：
（1）以对应顶点为顶点的角是对应角； （2）对应顶点所对应的边是对应边； （3）公共边（角）是对应边（角）； （4）对顶角是对应角；
（5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）．
全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若△ABC ≌△DEF ， 说明A 与D ，B 与E ，C 与F 是对应点，则∠ABC 与∠DEF 是对应角，边AC 与边DF 是对应边．
2．判定两个三角形全等的解题思路：
⎧⎧找夹角——SAS 已知两边⎨⎪
⎩找另一边——SSS ⎪
⎪⎧边为角的对边——找任一角——AAS ⎪⎪⎪⎧找夹角的另一边——SAS ⎪⎪⎨已知一边一角⎨⎪
边为角的邻边⎨找夹边的另一角——ASA ⎪⎪
⎪找边的对角——AAS ⎪⎪
⎩⎩⎪
⎪ ⎧找夹边——ASA ⎪已知两角⎨⎪⎩找任一边——AAS ⎩
参考答案:
1．证明：平行四边形ABCD 中，AB=CD，∠A=∠C ，AB ∥CD ， ∴∠ABD=∠CDB ．
11
∵∠AB E=∠ABD ，∠CDF=∠CDB ，∴∠ABE=∠CDF ．
22
在△ABE 与△CDF 中，
⎧∠A =∠C ⎪
⎨AB =CD
⎪∠ABE =∠C D F ⎩
∴△ABE ≌△CDF ． 2．解：（1）BD =DC (或点D 是线段BC 的中点) ，FD =ED ，CF =BE 中任选一个即可﹒
（2）以BD =DC 为例进行证明： ∵CF ∥BE ，
∴∠FCD ﹦∠EBD ．
又∵BD =DC ，∠FDC =∠EDB ， ∴△BDE ≌△CDF ． 3．解：（1）添加条件②，③，④中任一个即可，以添加②为例说明． 证明：∵AE=CD，BE=BD， ∴AB=CB．
又∠ABD=∠CBE ，BE=BD， ∴△ADB ≌△CEB ． （2）③④．
4．B 解析：∵∠ABC =45°，AD ⊥BC ，∴AD =BD ，∠ADC =∠BDH ， ∠AHE =∠BHD =∠C ．∴△ADC ≌△BDH ．∴BH =AC =4．故选B ． 5．证明：如图所示，
M
∵△AEB 由△ADC 旋转而得， ∴△AEB ≌△ADC . ∴∠3＝∠1，∠6＝∠C ．∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠2＝∠1，∠7＝∠C . ∴∠3＝∠2，∠6＝∠7．∵∠4＝∠5，∴∠ABM ＝∠ABN ． 又∵AB ＝AB ，∴△AMB ≌△ANB ．∴AM ＝AN ．
6．证明：∵△ABC 和△EDC 是等边三角形， ∴∠BCA ＝∠DCE ＝60°． ∴∠BCA －∠ACD ＝∠DCE －∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ． 在△DBC 和△EAC 中，BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，DC ＝EC ， ∴△DBC ≌△EAC （SAS ）． ∴∠DBC ＝∠EAC ． 又∵∠DBC ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ACB ＝∠EAC ．∴AE ∥BC ．
7．B 解析：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，又∵BC=EF，AC=DF，∴Rt △ABC ≌Rt △DEF ．∴∠ABC=∠DEF ，∵∠DEF+∠DFE=90°，∴∠ABC+∠DFE=90°． 故选B ．
8．解：在△ABC 和△CED 中，AC=CD，∠ACB=∠ECD ，EC=BC，
∴△ABC ≌△CED ．∴AB=ED．即量出DE 的长，就是A 、B 两端的距离． 9．解：对．
理由：∵AC ⊥AB, ∴∠CAB=∠CAB′=90°. 在△ABC 和△AB′C中，
⎧∠ACB =∠ACB ′，⎪
⎨AC =AC ，
⎪∠CAB =∠CAB ′，⎩
∴△ABC ≌△AB′C （ASA ）．∴AB′=AB．
第十三章
轴对称
13.1轴对称 13.2画轴对称图形
专题一 轴对称图形
1
．下列图案是轴对称图形的是（ ）
2．众所周知，几何图形中有许多轴对称图形，写出一个你最喜欢的轴对称图形是：______________________．（答案不唯一）
3．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形，使它们成为轴对称图形．
专题二 轴对称的性质
4．如图，△ABC 和△ADE 关于直线l 对称，下列结论：①△ABC ≌△ADE ；②l 垂直平分DB ；③∠C=∠E ；④BC 与DE 的延长线的交点一定落在直线l 上．其中错误的有（ ）
A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．如图，∠A=90°，E 为BC 上一点，A 点和E 点关于BD 对称，B 点、C 点关于DE 对称，求∠AB C 和∠C 的度数．
6．如图，△ABC 和△A′B′C′关于直线m 对称． （1）结合图形指出对称点．
（2）连接A 、A′，直线m 与线段AA′有什么关系？
（3）延长线段AC 与A′C′，它们的交点与直线m 有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流．
专题三
灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题 7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB 的垂直平分线DE 交于BC 的延长线于F ，若∠
F=30°，DE=1，则EF 的长是（ ）
A ．3 B ．2 C D
．1
8．如图，在△ABC 中，BC=8，AB 的垂直平分线交BC 于D ，AC 的垂直平分线交BC 与E ，则△ADE 的周长等于________．
9．如图，AD ⊥BC ，BD=DC，点C 在AE 的垂直平分线上，那么线段AB 、BD 、DE 之间有什么数量关系？并加以证明．
专题四 利用关于坐标轴对称点的坐标的特点求字母的取值范围 10．已知点P （－2，3）关于y 轴的对称点为Q （a ，b ），则a+b的值是（ ） A ．1 B ．－1 C ．5 D ．－5
11．已知P 1点关于x 轴的对称点P 2（3－2a ，2a －5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则P 1点的坐标是__________． 状元笔记
【知识要点】
1．轴对称图形与轴对称
轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．
轴对称：把一个平面图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴) 对称，这条直线叫做对称轴． 2．轴对称的性质
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 3．线段的垂直平分线的性质和判定
性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 4．关于x 轴、y 轴对称的点的坐标的特点
点(x，y) 关于x 轴对称的点的坐标为(x，－y) ； 点(x，y) 关于y 轴对称的点的坐标为(－x ，y) ； 【温馨提示】
1．轴对称图形是针对一个图形而言，是指一个具有对称的性质的图形；轴对称是针对两个
图形而言，它描述的是两个图形的一种位置关系．
2．在平面直角坐标系中，关于x 轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相同．
参考答案:
1．D 解析：∵将D 图形上下或左右折叠，图形都能重合，∴D 图形是轴对称图形， 故选D ．
2．圆、正三角形、菱形、长方形、正方形、线段等 3．如图所示：
4．A 解析：根据轴对称的定义可得，如果△ABC 和△ADE 关于直线l 对称，则
△ABC ≌△ADE ，即①正确；因为如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对应线段、对应角相等，故l 垂直平分DB ，∠C=∠E ，即②，③正确；因为成轴对称的两个图形对应线段或延长线如果相交，那么，交点一定在对称轴上，故BC 与DE 的延长线的交点一定落在直线l 上，即④正确．综上所述，①②③④都是正确的，故选A ．
5．解：根据题意A 点和E 点关于BD 对称，
有∠ABD=∠EBD ，即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD ．
B 点、C 点关于DE 对称，
有∠DBE=∠BCD ，∠ABC=2∠BCD ． 且已知∠A=90°，
故∠ABC+∠BCD=90°． 故∠ABC=60°，∠C=30°．
6．解：（1）对称点有A 和A' ，B 和B' ，C 和C' ． （2）连接A 、A′，直线m 是线段AA′的垂直平分线．
（3）延长线段AC 与A′C′，它们的交点在直线m 上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m 上，即若两线段关于直线m 对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上．
7．B 解析：在Rt △FDB 中，∵∠F ＝30°，∴∠B ＝60°． 在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°， ∴∠A ＝30°．在Rt △AED 中，∵∠A ＝30°， DE ＝1，∴AE ＝2．连接EB. ∵DE 是AB 的垂直平分线，∴EB ＝AE ＝2. ∴∠EBD ＝∠A ＝30°．∵∠ABC ＝60°，∴∠EBC ＝30°．∵∠F ＝30°，∴EF ＝EB ＝2．故选B ．
8．8 解析：∵DF 是AB 的垂直平分线，∴DB=DA．∵EG 是AC 的垂直平分线，∴EC=EA． ∵BC=8，∴△ADE 的周长=DA+EA+DE=DB+DE+EC=BC=8． 9．解：AB+BD=DE．
证明：∵AD ⊥BC ，BD=DC，∴AB=AC． ∵点C 在AE 的垂直平分线上， ∴AC=CE． ∴AB=CE．
∴AB+BD=CE+DC=DE．
10．C 解析：关于y 轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，∴a=2，b=3．∴a+b=5． 解得1.5＜a ＜2.5，又因为a 必须为整数，∴a=2．∴点P 2（－1，－1）． ∴P 1点的坐标是（－1，1）．
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1整式的乘法
专题一 幂的性质
1．下列运算中，正确的是（ ）
A ．3a 2－a 2＝2 B ．(a 2) 3＝a 9 C ．a 3•a 6＝a 9 D ．(2a 2) 2＝2a 4 2．下列计算正确的是（ ）
x =2x B ．x ·x =x A ．x ·
326428
C ．(-x 2) 3=-x 6 D ．(x 3) 2=x 5
3．下列计算正确的是（ ）
[1**********]212
A ．2a ＋a ＝3a B ．a ÷a ＝a C ．a ·a ＝a D ．( －a ) ＝a 专题二 幂的性质的逆用
4．若2a =3，2b =4，则23a+2b等于（ ） A ．7 B ．12 C ．432 D ．108
ｍｎｍｎ
5．若2=5，2=3，求23+2的值．
专题三 整式的乘法
7．下列运算中正确的是（ ）
A ．3a +2a =5a 2 B ．(2a +b )(a -b ) =2a 2-ab -b 2 C ．2a 2⋅a 3=2a 6 D ．(2a +b ) 2=4a 2+b 2
8．若（3x 2－2x +1）（x +b）中不含x 2项，求b 的值，并求（3x 2－2x +1）（x +b）的值．
9．先阅读，再填空解题： （x +5）（x +6）=x 2+11x +30； （x －5）（x －6）=x 2－11x +30； （x －5）（x +6）=x 2+x －30； （x +5）（x －6）=x 2－x －30．
（1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？答：________． （2）根据以上的规律，用公式表示出来：________．
（3）根据规律，直接写出下列各式的结果：（a +99）（a －100）=________；（y －80）（y －81）=________．
专题四 整式的除法
10．计算：（3x 3y －18x 2y 2+x 2y ）÷（－6x 2y ）=________．
（a b -11．计算：2
34712612a b ）÷（-ab 3）． 93
12．计算：（a －b ）3÷（b －a ）2+（－a －b ）5÷（a +b ）4．
状元笔记 【知识要点】
1．幂的性质
(1)同底数幂的乘法：a ⋅a =a
指数相加．
(2)幂的乘方：(a ) =a
n m n mn m n m +n (m ，n 都是正整数) ，即同底数幂相乘，底数不变，(m ，n 都是正整数) ，即幂的乘方，底数不变，指数相乘． (3)积的乘方：(ab ) =a b (n 都是正整数) ，即积的乘方，等于把积中的每一个因式分别
乘方，再把所得的幂相乘．
2．整式的乘法
(1)单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
(2)单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘单项式的每一项，再把所得的积相加．
(3)多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
3．整式的除法 n n
(1)同底数幂相除：a ÷a =a
底数不变，指数相减． m n m -n (m ，n 都是正整数，并且m ＞n ) ，即同底数幂相除，
(2)a =1(a ≠0) ，即任何不等于0的数的0次幂都等于1．
(3)单项式除以单项式：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
(4)多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
【温馨提示】
1．同底数幂乘法法则与合并同类项法则相混淆．同底数幂相乘，应是“底数不变，指数相加”；而合并同类项法则是“系数相加，字母及字母的指数不变”．
2．同底数幂相乘与幂的乘方相混淆．同底数幂相乘，应是“底数不变，指数相加”；幂的乘方，应是“底数不变，指数相乘”．
3．运用同底数幂的乘法(除法) 法则时，必须化成同底数的幂后才能运用上述法则进行计算．
4．在单项式(多项式) 除以单项式中，系数都包括前面的符号，多项式各项之间的“加、减”符号也可以看成系数的符号来参与运算．
【方法技巧】
1．在幂的性质中，公式中的字母可以表示任意有理数，也可以表示单项式或多项式．
2．单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，否则容易造成漏项或增项的错误．
3．单项式与多项式相乘，多项式除以单项式中，结果的项数与多项式的项数相同，不要漏项．
0参考答案:
1．C 解析：A 中，3a 2与－a 2是同类项，可以合并，3a 2―a 2＝2a 2，故A 错误；B 中，(a 2) 3＝a 2×3=a 6，故B 错误；C 中，a 3•a 6＝a 3+6＝a 9，故C 正确；D 中，(2a 2) 2＝22（a 2）2＝4a 4，故D 错误．故选C ．
2．C 解析：x ·x =x 322+3=x 5，选项A 错误；x 4·x 2=x 2+4=x 6，选项B 错误；(-x 2) 3=-x 2⨯3=-x 6，选项C 正确；(x 3) 2=x 2⨯3=x 6，选项D 错误. 故选C ．
3．D 解析：A 中，2a +a =3a ，故A 错误；B 中，a ÷a =a ，故B 错误；C 中，222624
a 6⋅a 2=a 8，故C 错误. 故选D ．
4．C 解析：23a+2b=23a ×22b =（2a ）3×（2b ）2=33×42=432．故选C ．
3ｍ+2ｎ3ｍ2ｎｍｎ32=2²2=（2）3²（2）2 ²3=1125.
7．B 解析：A 中，由合并同类项的法则可得3a+2a=5a，故A 错误；B 中，由多项式与多项式相乘的法则可得(2a +b )(a -b ) =2a 2-2ab +ab -b 2=2a 2-ab -b 2，故B 正确；C 中，由单项式与单项式相乘的法则可得2a 2⋅a 3=2a 2+3=2a 5，故C 错误；D 中，由多项式与多项式相乘的法则可得(2a +b ) 2=4a 2+4ab +b 2，故D 错误. 综上所述，选B ．
8．解：原式=3x3+（3b －2）x 2+（－2b+1）x+b，
∵不含x 2项，
2∴（3x 2－2x+1）（x+） 3
42=3x3－2x 2+x+2x2－x+ 33
12=3x3－x+． 33∴3b －2=0，得
9．解：（1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系是：
一次项系数是两因式中的常数项的和，常数项是两因式中的常数项的积；
（2）根据以上的规律，用公式表示出来：（a+b）（a+c）=a2+（b+c）a+bc；
（3）根据（2）中得出的公式得：（a+99）（a －100）=a2－a －9900；（y －80）（y －81）=y2－161y+6480．
11x+3y－ 解析：（3x 3y －18x 2y 2+x2y ）÷（－6x 2y ）=（3x 3y ）÷（－6x 2y ）－18x 2y 2÷26
11（－6x 2y ）+x2y÷（－6x 2y ）=－x+3y－． 2610．－
11．解：原式
211=（a 4b 7-a 2b 6）÷a 2b 6
3992111=a 4b 7÷a 2b 6-a 2b 6÷a 2b 6 3999
=6a 2b -1。
12．解：（a －b ）3÷（b －a ）2+（－a －b ）5÷（a+b）4，
=（a －b ）3÷（a －b ）2－（a+b）5÷（a+b）4，
=（a －b ）－（a+b），
= a－b －a －b ，
=－2b ．
14.2乘法公式
专题一 乘法公式
1．下列各式中运算错误的是（ ）
A ．a 2+b 2=(a +b ) 2－2ab B ．(a －b ) 2=(a +b ) 2－4ab
C ．(a +b )(－a +b )=－a 2+b 2 D ．(a +b )(－a －b )=－a 2－b 2
2．代数式(x +1)(x －1)(x 2+1)的计算结果正确的是（ ）
A ．x 4－1 B ．x 4+1 C ．(x －1) 4 D ．(x +1)4
3．计算：(2x +y )(2x －y )+(x +y ) 2－2(2x 2－xy ) （其中x =2，y =3）．
专题二 乘法公式的几何背景
4．请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（ ） A ．（a+b）（a －b ）=a－b B ．（a+b）=a2+2ab+b2
C ．（a －b ）2=a2－2ab+b2 D ．（a+b）2=a2+ab+b2
5．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（ ）
222
A ．a 2－b 2=（a+b）（a －b ） B ．（a+b）2=a2+2ab+b2
C ．（a －b ）2=a2－2ab+b2 D ．a （a+b）=a2+ab
6．我们在学习完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，了解了一下它的几何背景，即通过图
2来说明上式成立．在习题中我们又遇到了题目“计算：（a+b+c）”，你能将知识进行迁移，
从几何背景说明（大致画出图形即可）并计算（a+b+c）2吗？
状元笔记
【知识要点】 1．平方差公式
(a+b)(a－b)=a2－b 2，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
2．完全平方公式
(a±b) 2=a2±2ab+b2，两个数的和(或差) 的平方，等于它们的平方和，加上(或减去) 它们的积的2倍．
【温馨提示】
1．不要将平方差公式和完全平方公式相混淆，注意它们项数和符号的不同．
2．完全平方公式中，中间项是左边两个数的和的2倍，注意系数的特点．
【方法技巧】
1．公式中的字母a 、b 可以是具体的数，也可以是单项式、多项式．只要符合公式的结构特征，就可以利用公式．
2．有些题目往往不能直接应用公式求解，但稍做适当的变形后就可以用乘法公式求解．如：位置变化，符号变化，数字变化，系数变化，项数变化等．
参考答案:
1．D 解析：A 中，由完全平方公式可得(a +b ) 2－2ab=a2+2ab+b2－2ab=a2+b 2，故A 正确；B 中，由完全平方公式可得(a －b ) 2=a 2－2ab+b2，(a +b ) 2－4ab =a 2+2ab+b2－4ab=a2－2ab+b2，故B 正确；C 中，由平方差公式可得(a +b )(－a +b )=(a +b )(b －a )=b2－a 2=－a 2+b2，故C 正确；D 中，(a +b )(－a －b )=－(a +b ) 2=－a 2－2ab －b 2，故D 错误．
2．A 解析：原式=(x2－1)(x 2+1)=(x2) 2－1=x4－1．
3．解：原式=4x2－y 2+x2+2xy+y2－4x 2+2xy=x2+4xy，
当x=2，y=3时，原式=22+4³2³3=4+24=28．
4．B 解析：这个图形的整体面积为(a+b)2；各部分的面积的和为a 2+2ab+b2；所以得到公式（a+b）2=a2+2ab+b2．故选B ． 5．C 解析：从图中可知：阴影部分的面积是（a －b ）2和b 2，剩余的矩形面积是（a －b ）b 和（a －b ）b ，即大阴影部分的面积是（a －b ）2，∴（a －b ）2=a2－2ab+b2，故选C ．
6．解：（a+b+c）2的几何背景如图，整体的面积为：（a+b+c）2，用各部分的面积之和表示为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
14.3因式分解
专题一 因式分解
1．下列分解因式正确的是（ ）
A ．3x 2 － 6x =x(x－6) B ．－a 2+b2=(b+a)(b－a)
C ．4x 2 － y 2=(4x－y)(4x+y) D ．4x 2－2xy+y2=(2x－y) 2
2．分解因式：3m 3－18m 2n+27mn2=____________．
3．分解因式：(2a+b)2－8ab=____________．
专题二 在实数范围内分解因式
4．在实数范围内因式分解x 4－4=____________．
5．把下列各式因式分解（在实数范围内）
（1）3x 2－16； （2）x 4－10x 2+25．
6．在实数范围内分解因式：
（1）x 3－2x ； （2）x 4－6x 2+9．
专题三 因式分解的应用
7．如果m －n=－5，mn=6，则m 2n －mn 2的值是（ ）
A ．30 B ．－30 C ．11 D ．－11
8．利用因式分解计算32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=___________．
9．在下列三个不为零的式子：x 2－4x ，x 2+2x，x 2－4x+4中，
（1）请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解；
（2）请你选择其中两个并用不等号连接成不等式，并求其解集．
状元笔记
【知识要点】
1．因式分解
我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
2．因式分解的方法
(1)提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写出公因式与另一个因式的乘积的形式，这样分解因式的方法叫做提公因式法．
(2)将乘法公式的等号两边互换位置，得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．
(3)平方差公式：a 2－b 2=(a+b)(a－b) ，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． (4)完全平方公式：a 2±2ab+b2=(a±b) 2，两个数的平方和，加上(或减去) 它们的积的2倍，等于这两个数的和(或差) 的平方．
【温馨提示】
1．分解因式的对象必须是多项式，如把5a bc 分解成5a ⋅abc 就不是分解因式，因为5a bc 不是多项式．
2．分解因式的结果必须是积的形式，如x +x -1=x (x +1) -1就不是分解因式，因为结果222
x (x +1) -1不是积的形式．
【方法技巧】
1．若首项系数为负时，一般要提出“—”号，使括号内首项系数为正，但要注意，此时括号内的各项都应变号，如-x +2x =-x (x -2) ．
2．有些多项式的特点与公式相比，只是某些项的符号不符，这时就需要先对符号进行变化，使之符合公式的特点．
2
参考答案:
1．B 解析：A 中，3x 2 － 6x=3x(x－2) ，故A 错误；B 中，－a 2+b2=－(a－b)(a+b)=(b+a)(b－a) ，故B 正确；C 中，4x 2 － y 2=(2x)2－(2y)2=(2x－y)(2x+y)，故C 错误；D 中，4x 2－2xy+y2
的中间项不是2×2x×y ，故不能因式分解，故D 错误．综上所述，选B ．
2．3m(m－3n) 2 解析：3m 3－18m 2n+27mn2=3m(m2－6mn+9n2)=3m(m－3n) 2．
3．(2a－b) 2 解析：(2a+b)2－8ab=4a2+4ab+b2－8ab=4a2－4ab+b2=(2a－b) 2．
4．(x2
) 解析：x 4－4=(x2+2)(x2－2)=(x2
．
5．解：(1)3x2－
－4) ；(2)x4－10x 2+25=(x2－5) 2
2(x
2．
6．解：(1)x3－2x=x(x2－
；(2)x4－6x 2+9=(x2－3) 2
2(x
2．
7．B 解析：∵m －n=－5，mn=6，∴m 2n －mn 2=mn（m －n ）=6×（－5）=－30，故选B ．
8．2013 解析：32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=0.32×2013+0.54×2013+0.14×2013=2013×（0.32+0.54+0.14）=2013×1=2013．
9．解：(1)答案不唯一，如：（x 2－4x ）+（x 2+2x）=2x2－2x=2x（x －1）．
(2) 答案不唯一，如：x 2－4x ＞x 2+2x，
合并同类项，得－6x ＞0，
解得x ＜0．
第十五章 分式
15.1分式
专题一 分式有意义的条件、分式的值为0的条件
1
有意义，那么x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≠1 C ．x ＞0 D ．x ≥0且x ≠1
3x 2-272．如果分式的值为0，则x 的值应为 ． x -3
x 2-93．若分式2的值为零，求x 的值． x -6x +9
专题二 约分
m 2-2mn +n 2
4．化简的结果是（ ）m 2-mn
A ．2n 2 B ．m -n m -n m +n C ． D ． m m +n m
9a (y -x ) 2
5．约分：=____________． 27x -27y
6．从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并将它化简：4x 2－4x y +y 2，4x 2－y 2，2x －y ．
状元笔记
【知识要点】
1．分式的值为0受到分母不等于0的限制，“分式的值为0”包含两层意思：一是分式有意义，二是分子的值为0，不要误解为“只要分子的值为0，分式的值就是0”．
2．分式的基本性质中的A 、B 、C 表示的都是整式，且C ≠0．
3．分子、分母必须“同时”乘C (C ≠0) ，不要只乘分子（或分母）．
4．性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的．但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的．
【方法技巧】
1．分式的符号法则可总结为：一个负号随意跑，两个负号都去掉．就是说，分式中若出现一个负号，则此负号可“随”我们的“意”（即根据题目要求）跑到分子、分母以及分式本身三者中的任何一个位置上；若分式中出现两个负号，则可以将这两个负号同时去掉．
2．分式的分子、分母系数化整问题的基本做法是分式的分子、分母都乘同一个“适当”的不为零的数，这里的“适当”的数又分两种情况：若分式分子、分母中的系数都是分数时，“适当”的数就是分子、分母中各项系数的所有分母的最小公倍数；若分式的分子、分母中各项系数是小数时，则“适当的数”就是10n ，其中n 是分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数．最后根据情况需要约分时，则要约分．
参考答案:
1．D 解析：根据题意得：x≥0且x －1≠0．解得x≥0且x≠1．故选D ．
⎧3x 2-27=02．－3 解析：根据分式值为0，可得⎨，解得x =－3． x -3≠0⎩
x 2-93．解：∵2的值为0，∴x 2－9=0且x 2－6x +9≠0．解x 2－9=0，得x =±3．当x =3x -6x +9
时，x 2－6x +9=32－6³3+9=0，故x =3舍去．当x =－3时，x 2－6x +9=(－3) 2－6³(－3)+9=36． x 2-9∴当分式2的值为0时，x =－3． x -6x +9
m 2-2mn +n 2(m -n ) 2m -n 4．B 解析：==．故选B ． m m 2-mn m (m -n )
ax -ay 9a (y -x ) 29a (x -y ) 2a (x -y ) ax -ay 5． 解析：===． 33327x -27y 27(x -y )
2x -y 4x 2-4xy +y 2(2x -y ) 2
6．解：答案不唯一，如：==． 4x 2-y 2(2x +y )(2x -y ) 2x +y
专题一 解分式方程 15.3分式方程 13=的解是 1．方程
专题二 分式方程无解
4．关于x 的分式方程
x m -2=无解，则m 的值是（ ）
x -1x -1专题三 列分式方程解应用题
7．甲、乙两班学生参加植树造林．已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等．若设甲班每天植树x 棵，则根据题意列出方程正确的是（ ）
状元笔记
【知识要点】
1．分式方程
分母中含未知数的方程叫做分式方程．
2．解分式方程的一般步骤
31
【温馨提示】
1．用分式方程中各项的最简公分母乘方程的两边，从而约去分母．但要注意用最简公分母乘方程两边各项时，切勿漏项． 2．解分式方程可能产生使分式方程无解的情况，那么检验就是解分式方程的必要步骤．
参考答案:
3．解：方程两边乘x(x+2)，得错误！未找到引用源。，解得错误！未找到引用源。．经检验：错误！未找到引用源。是原方程的解．
4．A 解析：方程两边成x －1，得x －2（x －1）=m，解得x=2－m ．∵当x=1时分母为0，方程无解，∴2－m=1，即m=1时，方程无解．故选A ．
5．0 解析：去分母，得，2-x -m =2x -4，即3x=6－m ．∵方程无解，∴x=2．把x=2代入3x=6－m ，得m=0．
32
7．B 解析：设甲班每天植树x 棵，则乙班每天植树（x+2）棵，甲班植60棵树所用的天数为60706070，乙班植70棵树所用的天数，可列方程为=．故选B ． x x +2x x +2
⎛
⎝1⎫⎪x 棵，根据题意，得 3⎭8．解：设原计划每天种x 棵树，实际每天种树 1+
480480-=4． x ⎛1⎫ 1+⎪x ⎝3⎭
解这个方程，得x=30．
经检验x=30是原方程的解且符合题意．
答：原计划每天种树30棵．
9．解：不能相同．理由如下：设该校购买的乒乓球拍每副x 元，羽毛球拍每副（x ＋14）元，若购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量相同，则 20002800=，解得x ＝35． x x +14
经检验x ＝35是原方程的解．
但当x ＝35时，[1**********]==，不是整数，不合题意． x x +147
所以购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量不能相同．
33