向量和直线
1．设平面α内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（﹣1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是（ ）
A ．（﹣1，﹣2，5） B ．（﹣1，1，﹣1） C ．（1，1，1） D ．（1，﹣1，﹣1）
2．已知空间直角坐标系中点A （1，0，0），B （2，0，1），C （0，1，2），则平面ABC 的一个法向量为（ ）
A ．（﹣1，﹣3，2） B ．（1，3，﹣1） C．（1，3，1） D ．（﹣1，3，1）
3．已知空间四点A （0，1，0），B （1，0，），C （0，0，1），D （1，1，），则异面直线AB ，CD 所成的角的余弦值为 ．
4．已知正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′的棱长为1，设，则=．
5．（2014秋•路南区校级期中）已知点A （﹣1，﹣2，1），B （2，2，2），点P 在Z 轴上，且点P 到A ，B 的距离相等，则点P 的坐标为 ．
6．已知在△ABC 中，A （2，﹣5，3），=（4，1，2），=（3，﹣2，5），则C 点坐标为
7．已知空间直角坐标系中三点A （0，1，0），M （，1，0），N （0，3，），O 为坐标原点，则直线OA 与MN 所成角的余弦值为 ．
8．若向量=（﹣1，2，0），=（3，0，﹣2）都与一个二面角的棱垂直，且、分别与两个半平面平行，则该二面角的余弦值为 ．
9．O （0，0，0）、A （，0，0）、B （0，1，0）、C （﹣，0，0）、F （0，0，） 向量= ，= 、∠BFC= ，∠AFC= ．
10．若直线l 1：2x+3y﹣1=0的方向向量是直线l 2：ax ﹣y+2a=0的法向量，则实数a 的值等于 ．
11．直线l 1：ax+2y+3a=0的方向向量恰为l 2：3x+（a ﹣5）y ﹣2=0的一个法向量，则实数a 的值为 ．
12．（2014秋•闸北区校级期中）直线3x ﹣y+2=0的单位法向量是．
13．过点（﹣1，2）且以直线2x+3y﹣7=0的法向量为其方向向量的直线的截距式方程是
14．（2015春•宿迁期末）已知平面α，β，且α∥β，若=（1，λ，2），=（﹣3，6，﹣6）分别是两个平面α，β的法向量，则实数λ的值为 ．
15．已知直线l ∥平面α，l 的一个方向向量为（t ，2，4），α的法向量为（，1，2），则实数t 的值为．
16．（2015春•淮安校级期末）已知向量=（﹣1，3，1）为平面α的法向量，点M （0，1，1）为平面内一定点，P （x ，y ，z ）为平面内任一点，则x ，y ，z 满足的关系是．
17．已知过点（0，1）的直线l ：xtan α﹣y ﹣3tan β=0的一个法向量为（2，﹣1），则tan （α+β）=．
18．①所谓直线的方向向量，就是指的向量，一条直线的方向向量有
②所谓平面的法向量，就是一个平面的法向量有
19．平面α的法向量为（1，0，﹣1），平面β的法向量为（0，﹣1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为
20．（2014秋•端州区校级月考）平面α经过三点A （﹣1，0，1），B （1，1，2），C （2，﹣1，0），则平面α的法向量可以是 （写出一个即可）
21．已知=（1，0，2），=（2，1，1），则平面ABC 的一个法向量为
22．若直线l 的方向向量=（﹣2，3，1）平面α的一个法向量=（4，0，1）则直线l 与平面α所成的角的正弦值为 ．
23．已知，则平面ABC 的单位法向量是
24．已知=（﹣2，3，5），=（4，1，a ），=（6，b ，﹣2）．
（1）若四边形ABCD 为平行四边形，求实数a ，b 的值；
（2）若四边形ABCD 的对角线互相垂直，求实数a ，b 满足的关系式．
25．已知点A （1，﹣2，0）和=（﹣3，4，12），求点B 的坐标，使∥，且|AB|等于||的2倍．
26．已知A （3，5，﹣7），B （﹣2，4，3），求向量，向量，线段AB 的中点坐标及线段AB 的长．
27．已知A （2，﹣1，3），B （1，2，﹣2），C （x ，y ，z ），求，||，||，||．
28．若向量=（3x ，﹣5，4）与向量=（x ，2x ，﹣2）之间的夹角为钝角，求实数x 的取值范围．
29．（2014秋•大连期末）已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）．
（Ⅰ）若向量k +与向量2﹣互相平行，求实数k 的值；（Ⅱ） 求由向量和向量所确定的平面的单位法向量．
30．已知平面α经过点A （3，1，﹣1），B （1，﹣1，0）且平行于向量=（﹣1，0，2），求平面α的一个法向量．
直线和平面
1．（2014春•南阳期末）已知，则在方向上的投影是（ ）
A ．1 B ．﹣1 C ． D ．
2．（2015•杭州二模）在正四面体ABCD 中，M 是AB 的中点，N 是棱CD 上的一个动点，若直线MN 与BD 所成的角为α，则cos α的取值范围是 ．
3．（2015•普陀区三模）设向量，，则向量在向量方向上的投影为．
4．平面向里=（x ，﹣3），=（﹣2，1），=（1，y ），若⊥（﹣），∥（+），则在方向的投影为
5．（2015春•江苏校级期中）已知三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥面ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=1，AB=2，N 为AB 上一点，AB=4AN，点M 、S 分别为PB 、BC 的中点，则SN 与平面CMN 所成角的大小为
6．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l 与平面α所成的角等于 ．
7．（2014秋•易县期末）已知斜线段长是它在平面上的射影长的2倍，则斜线与平面所成的角为．
8．（2011•资阳二模）已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为．
9．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与平面A 1BD 所成的角的度数为．
10．已知AB 为平面α的一条斜线，B 为垂足，AO ⊥α，BC 为平面内的一条直线，∠ABC=60°，∠OBC=45°，则斜线AB 与平面所成的角的大小为．
11．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 为D 1C 1上的点，且D 1M ：MC 1=3：1，则CM 和平面AB 1D 1所成角的大小是θ，则sin θ= ．
12．四棱锥P ﹣ABCD 的底面为矩形，且AB=4，BC=3，PD ⊥底面ABCD ，PD=5，则PB 与底面所成角为 ．
13．已知2+=（0，﹣3，﹣10），=（1，﹣2，﹣2），•=4，||=12，则＜，＞=．
14．如图，侧棱与底面积垂直的三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1各侧棱和底面边长均为2，P ，Q 分别是棱AB 、AC 的中点，连结A 1B ．（Ⅰ）求证：直线PQ ∥平面B 1BCC 1；（Ⅱ）求直线A 1B 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值．
15．（2015春•张家界期末）如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点．
（1）求证：AD ⊥平面BCC 1B 1；（2）求直线AC 1与面BCC 1B 1所成角的正弦值．
16．如图，四棱锥P ﹣﹣ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 为PB 的中点．且PD=
（1）求证：平面AEC ⊥平面PDB ；（2）求AE 与平面PDB 所成的角的大小．
17．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，ABCD 是矩形，E 是棱PD 的中点，PA=AD=4，AB=3．
（1）证明PB ∥底面ACE ；（2）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值．
18．如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，AA 1⊥面A 1B 1C 1，正视图是边长为2正方形． （Ⅰ）求侧视图的面积；（Ⅱ）求直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．
19．（2014秋•武昌区校级期中）在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，PD=DA
（1）求证：BC ⊥平面PDC ；（2）求直线PD 与平面PBC 所成的角．
20．（2014秋•武穴市校级期中）如图，边长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱A 1D 1，B 1C 1的中点． （Ⅰ）求异面直线AE 与FC 所成角的余弦值；（Ⅱ）求直线AC 1与平面B 1BCC 1所成角的正切值．
21．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA=CB=2，AB=2，棱AA 1=4，M ，N 分别是A 1B 1，AA 1的中点．（1）求•的值；（2）求直线BN 与平面AB 1C 所成的角的正弦值．
22．（2013秋•新田县校级期末）如图，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，且AB=4，PA=3，点A 在PD 上的射影为G 点，E 点在AB 边上，平面PEC ⊥平面PDC ．
（Ⅰ）求证：AG ∥平面PEC ；（Ⅱ）求BE 的长；（Ⅲ）求直线AG 与平面PCA 所成角的余弦值．
23．（2012•浦东新区一模）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB=AC=AA1=2，∠ABC=45°．
（1）求直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积；（2）若D 是AC 的中点，求异面直线BD 与A 1C 所成的角．
24．在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，AB=1，BC=，∠ABC=45°，点E 在PC 上，AE ⊥PC ．（1）证明：AE ⊥平面PCD ；
（2）当PA=2时，求直线AD 与平面ABE 所成角的正弦值．（请用向量的运算解决此问题）
25．如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=1，A 1A=2，点E 是棱CC 1的中点
（Ⅰ）求异面直线AE 与BD 1所成角的余弦值．（Ⅱ）求直线BD 1与平面AB 1E 所成角的余弦值．
26．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AA 1，A 1D 1的中点，求：
（1）D 1B 与平面ABCD 所成角的余弦值；（2）EF 与平面A 1B 1C 1D 1所成的角．
27．如图，点P 是正方形ABCD 外一点，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=2，且E ，F 分别是AB ，PC 的中点．
（1）求证：EF ⊥平面PCD ；（2）求直线BD 与平面EFC 所成角的正弦值．
28．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 是正三角形，且AD=DE=2AB，F 是CD 的中点．
（1）求证：平面CBE ⊥平面CDE ；（2）求直线EF 与平面CBE 所成角的正弦值．
29．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB=AC=AA1，M 是CC 1的中点，N 是BC 的中点，点P 为线段A 1B 1上的动点，（Ⅰ）判断异面直线PN 和AM 所成的角的大小是否变化，并证明你的结论；
（Ⅱ）当直线PN 和平面ABC 所成角最大时，试确定点P 的位置．
30．如图，△BCD 所在的平面垂直于正三角形ABC 所在的平面，∠BCD=90°，PA ⊥平面ABC ，DC=BC=2PA，E 、F 分别为DB 、CB 的中点．（1）证明：P 、A 、E 、F 四点共面；（2）证明：AE ⊥BC ；（3）求直线PF 与平面BCD 所成角的大小．
平面和平面
1．若两个平面法向量分别是=（1，0，1），=（﹣1，1，0），则这两个平面所成的锐二面角的大小是
2．在直角坐标系xOy 中，设A （3，2），B （﹣2，﹣3），沿y 轴把坐标平面折成120°的二面角后，AB
的长为 ． 3．若PA ⊥平面ABCD ，且ABCD 是矩形，若PA=3，AB=2，BC=2，则二面角P ﹣BD ﹣A 的正切值为 ．
4．（2012•贵州三模）桌面上一矩形纸板ABCD ，绕边AB 旋转，再绕边AD 旋转，则此时的平面与旋转前的平面所成的二面角的大小为 ．
5．已知动点E 在正方体ABCD ﹣A 1B 1
C 1D 1的棱BC 上，F 是CD 的中点，则二面角C 1﹣EF ﹣C 的余弦值的取值范围 ．
6．已知四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=3，AB=2，BC=，则二面角P ﹣BD ﹣A 的正切值为 ．
7．在空间直角坐标系中，四棱锥S ﹣ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，∠ABC=90°，SA=AB=BC=1，AD=，则平面SAB 与平面SCD 夹角的余弦值是 ．
8．将正方形ABCD 沿对角线折成直二面角，则二面角A ﹣BC ﹣D 的平面角的余弦值是 ．
9．在一个二面角的两个面内部和二面角的棱垂直的两个向量分别为（0，﹣1，3），（2，2，4），则这个二面角的度数是 ．
10．如图，已知四面体A ﹣BCD 的各棱长都相等，E 为棱BC 的中点，则二面角E ﹣AD ﹣C 的余弦值为 ．
11．（2011•天心区校级模拟）如图，在二面角α﹣l ﹣β的棱l 上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，若，则二面角α﹣l ﹣β的大小为 ．
12．（2012•天心区校级模拟）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD，则二面角P ﹣CD ﹣B 的大小是 ．
13．在正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B ﹣AD ﹣C 后，BC=AB ，这时二面角B ﹣AD ﹣C 的大小为 ．
14．若三棱锥三个侧面两两垂直，则它的侧面与底面所成的二面角的余弦值为 ．
15．（2014秋•南岗区校级期中）在四面体ABCD 中，AB=1，AD=2
A ﹣BC ﹣D 的大小为 ． ，BC=3，CD=2，∠ABC=∠DCB=则二面角
16．（2013春•东台市校级月考）E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和CD 的中点，EF 交BD 于O ，以EF 为棱将正方形折成直二面角，则∠BOD= ．
17．已知四棱锥P ﹣ABCD 底面是平行四边形，E ，F 分别为AD ，PC 的中点，EF ⊥BD ，2AP=2AB=AD，以AD 为直径的圆经过点B （1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若AB=PB，求二面角C ﹣BE ﹣F 的余弦值．
18．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD=AA1=1，AB=2，点E 是AB 的中点．
（Ⅰ）求证：B 1C ⊥平面AED 1；（Ⅱ）求二面角A ﹣D 1E ﹣C 的大小．
19．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 是正三角形，且AD=DE=2AB，F 是CD 的中点．
（1）求证：平面CBE ⊥平面CDE ；（2）求二面角C ﹣BE ﹣F 的余弦值．
20．如图所示，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，PD ：DC ：BC=1：1：．
（Ⅰ）求PB 与平面PDC 所成角的大小；（Ⅱ）求二面角D ﹣PB ﹣C 的正切值；
（Ⅲ）若AD=BC ，求证：平面PAB ⊥平面PBC ．
21．四棱锥P ﹣ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ．底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD=PB=3．点E 在棱PA 上，且PE=2EA．（Ⅰ）求异面直线PA 与CD 所成的角；
（Ⅱ）求证：PC ∥平面EBD ；（Ⅲ）求二面角A ﹣BE ﹣D 的大小．（用反三角函数表示）．
22．如图，在底面为棱形的四棱锥P ﹣ABCD 在那个，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=，点E 在PD 上，且PE ：ED=2：1．（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求二面角E ﹣AC ﹣D 的正弦值．
23．（2014•邯郸二模）如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥底面ABC ，点B 为以AC 为直径的圆上任意一动点，且SA=AB，点M 是SB 的中点，AN ⊥SC 且交SC 于点N ．
（I ）求证：SC ⊥面AMN （Ⅱ）当AB=BC时，求二面角N ﹣MA ﹣C 的余弦值．
24．（2014秋•潍坊期末）如图，四边形ACDF 为正方形，平面ACDF ⊥平面BCDE ，BC=2DE=2CD=4，DE ∥BC ，∠CDE=90°，M 为AB 的中点．（1）证明：EM ∥平面ACDF ；（2）求二面角A ﹣BE ﹣C 的余弦值．
25．如图所示，在四面体P ﹣ABC 中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=2，F 是线段PB 上一点，CF=，点E 在线段AB 上，且EF ⊥PB ．（1）证明：PB ⊥平面CEF ；（2）求二面角B ﹣CE ﹣F 的正切值．
26．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，求：（1）异面直线AD 1与A 1B 所成的角；（2）求AD 1与平面ABCD 所成的角；
（3）求二面角D 1﹣AB ﹣C 的大小．
27．（2014秋•雁峰区校级期中）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥ABCD ，ABCD 为正方形．AD=PD=2，E ，F ，GPC ，PD ，CB ，AP ∥EGF ，求二面角G ﹣EF ﹣D 的大小．
28．如图，在几何体ABCD ﹣A 1D 1C 1中，四边形ABCD ，A 1ADD 1，DCC 1D 1均为边长为1的正方形．（1）求证：BD 1⊥A 1C 1．（2）求二面角D 1﹣A 1C 1﹣B 的余弦值．
29．如图，在横放得四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，∠DAE=90°，且△ABE 是等腰直角三角形，其中∠BAE=90°，连接AC 、BD 交于点O ．
（1）求证：BD ⊥平面AEC ；（2）若二面角A ﹣BD ﹣E 的大小为60°，且直线EC 与平面ABCD 所成的角为θ，求sin θ．
30．（2014秋•上高县校级月考）如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱D 1D 的中点，点F 在棱B 1B 上且B 1F=2FB．（1）求证：EF ⊥A 1C 1；（2）求平面AEF 与平面ABCD 所成角的余弦值．
向量和直线
1．设平面α内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（﹣1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是（ ）
A ．（﹣1，﹣2，5） B ．（﹣1，1，﹣1） C ．（1，1，1） D ．（1，﹣1，﹣1）
2．已知空间直角坐标系中点A （1，0，0），B （2，0，1），C （0，1，2），则平面ABC 的一个法向量为（ ）
A ．（﹣1，﹣3，2） B ．（1，3，﹣1） C．（1，3，1） D ．（﹣1，3，1）
3．已知空间四点A （0，1，0），B （1，0，），C （0，0，1），D （1，1，），则异面直线AB ，CD 所成的角的余弦值为 ．
4．已知正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′的棱长为1，设，则=．
5．（2014秋•路南区校级期中）已知点A （﹣1，﹣2，1），B （2，2，2），点P 在Z 轴上，且点P 到A ，B 的距离相等，则点P 的坐标为 ．
6．已知在△ABC 中，A （2，﹣5，3），=（4，1，2），=（3，﹣2，5），则C 点坐标为
7．已知空间直角坐标系中三点A （0，1，0），M （，1，0），N （0，3，），O 为坐标原点，则直线OA 与MN 所成角的余弦值为 ．
8．若向量=（﹣1，2，0），=（3，0，﹣2）都与一个二面角的棱垂直，且、分别与两个半平面平行，则该二面角的余弦值为 ．
9．O （0，0，0）、A （，0，0）、B （0，1，0）、C （﹣，0，0）、F （0，0，） 向量= ，= 、∠BFC= ，∠AFC= ．
10．若直线l 1：2x+3y﹣1=0的方向向量是直线l 2：ax ﹣y+2a=0的法向量，则实数a 的值等于 ．
11．直线l 1：ax+2y+3a=0的方向向量恰为l 2：3x+（a ﹣5）y ﹣2=0的一个法向量，则实数a 的值为 ．
12．（2014秋•闸北区校级期中）直线3x ﹣y+2=0的单位法向量是．
13．过点（﹣1，2）且以直线2x+3y﹣7=0的法向量为其方向向量的直线的截距式方程是
14．（2015春•宿迁期末）已知平面α，β，且α∥β，若=（1，λ，2），=（﹣3，6，﹣6）分别是两个平面α，β的法向量，则实数λ的值为 ．
15．已知直线l ∥平面α，l 的一个方向向量为（t ，2，4），α的法向量为（，1，2），则实数t 的值为．
16．（2015春•淮安校级期末）已知向量=（﹣1，3，1）为平面α的法向量，点M （0，1，1）为平面内一定点，P （x ，y ，z ）为平面内任一点，则x ，y ，z 满足的关系是．
17．已知过点（0，1）的直线l ：xtan α﹣y ﹣3tan β=0的一个法向量为（2，﹣1），则tan （α+β）=．
18．①所谓直线的方向向量，就是指的向量，一条直线的方向向量有
②所谓平面的法向量，就是一个平面的法向量有
19．平面α的法向量为（1，0，﹣1），平面β的法向量为（0，﹣1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为
20．（2014秋•端州区校级月考）平面α经过三点A （﹣1，0，1），B （1，1，2），C （2，﹣1，0），则平面α的法向量可以是 （写出一个即可）
21．已知=（1，0，2），=（2，1，1），则平面ABC 的一个法向量为
22．若直线l 的方向向量=（﹣2，3，1）平面α的一个法向量=（4，0，1）则直线l 与平面α所成的角的正弦值为 ．
23．已知，则平面ABC 的单位法向量是
24．已知=（﹣2，3，5），=（4，1，a ），=（6，b ，﹣2）．
（1）若四边形ABCD 为平行四边形，求实数a ，b 的值；
（2）若四边形ABCD 的对角线互相垂直，求实数a ，b 满足的关系式．
25．已知点A （1，﹣2，0）和=（﹣3，4，12），求点B 的坐标，使∥，且|AB|等于||的2倍．
26．已知A （3，5，﹣7），B （﹣2，4，3），求向量，向量，线段AB 的中点坐标及线段AB 的长．
27．已知A （2，﹣1，3），B （1，2，﹣2），C （x ，y ，z ），求，||，||，||．
28．若向量=（3x ，﹣5，4）与向量=（x ，2x ，﹣2）之间的夹角为钝角，求实数x 的取值范围．
29．（2014秋•大连期末）已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）．
（Ⅰ）若向量k +与向量2﹣互相平行，求实数k 的值；（Ⅱ） 求由向量和向量所确定的平面的单位法向量．
30．已知平面α经过点A （3，1，﹣1），B （1，﹣1，0）且平行于向量=（﹣1，0，2），求平面α的一个法向量．
直线和平面
1．（2014春•南阳期末）已知，则在方向上的投影是（ ）
A ．1 B ．﹣1 C ． D ．
2．（2015•杭州二模）在正四面体ABCD 中，M 是AB 的中点，N 是棱CD 上的一个动点，若直线MN 与BD 所成的角为α，则cos α的取值范围是 ．
3．（2015•普陀区三模）设向量，，则向量在向量方向上的投影为．
4．平面向里=（x ，﹣3），=（﹣2，1），=（1，y ），若⊥（﹣），∥（+），则在方向的投影为
5．（2015春•江苏校级期中）已知三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥面ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=1，AB=2，N 为AB 上一点，AB=4AN，点M 、S 分别为PB 、BC 的中点，则SN 与平面CMN 所成角的大小为
6．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l 与平面α所成的角等于 ．
7．（2014秋•易县期末）已知斜线段长是它在平面上的射影长的2倍，则斜线与平面所成的角为．
8．（2011•资阳二模）已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为．
9．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与平面A 1BD 所成的角的度数为．
10．已知AB 为平面α的一条斜线，B 为垂足，AO ⊥α，BC 为平面内的一条直线，∠ABC=60°，∠OBC=45°，则斜线AB 与平面所成的角的大小为．
11．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 为D 1C 1上的点，且D 1M ：MC 1=3：1，则CM 和平面AB 1D 1所成角的大小是θ，则sin θ= ．
12．四棱锥P ﹣ABCD 的底面为矩形，且AB=4，BC=3，PD ⊥底面ABCD ，PD=5，则PB 与底面所成角为 ．
13．已知2+=（0，﹣3，﹣10），=（1，﹣2，﹣2），•=4，||=12，则＜，＞=．
14．如图，侧棱与底面积垂直的三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1各侧棱和底面边长均为2，P ，Q 分别是棱AB 、AC 的中点，连结A 1B ．（Ⅰ）求证：直线PQ ∥平面B 1BCC 1；（Ⅱ）求直线A 1B 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值．
15．（2015春•张家界期末）如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点．
（1）求证：AD ⊥平面BCC 1B 1；（2）求直线AC 1与面BCC 1B 1所成角的正弦值．
16．如图，四棱锥P ﹣﹣ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 为PB 的中点．且PD=
（1）求证：平面AEC ⊥平面PDB ；（2）求AE 与平面PDB 所成的角的大小．
17．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，ABCD 是矩形，E 是棱PD 的中点，PA=AD=4，AB=3．
（1）证明PB ∥底面ACE ；（2）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值．
18．如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，AA 1⊥面A 1B 1C 1，正视图是边长为2正方形． （Ⅰ）求侧视图的面积；（Ⅱ）求直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．
19．（2014秋•武昌区校级期中）在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，PD=DA
（1）求证：BC ⊥平面PDC ；（2）求直线PD 与平面PBC 所成的角．
20．（2014秋•武穴市校级期中）如图，边长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱A 1D 1，B 1C 1的中点． （Ⅰ）求异面直线AE 与FC 所成角的余弦值；（Ⅱ）求直线AC 1与平面B 1BCC 1所成角的正切值．
21．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA=CB=2，AB=2，棱AA 1=4，M ，N 分别是A 1B 1，AA 1的中点．（1）求•的值；（2）求直线BN 与平面AB 1C 所成的角的正弦值．
22．（2013秋•新田县校级期末）如图，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，且AB=4，PA=3，点A 在PD 上的射影为G 点，E 点在AB 边上，平面PEC ⊥平面PDC ．
（Ⅰ）求证：AG ∥平面PEC ；（Ⅱ）求BE 的长；（Ⅲ）求直线AG 与平面PCA 所成角的余弦值．
23．（2012•浦东新区一模）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB=AC=AA1=2，∠ABC=45°．
（1）求直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积；（2）若D 是AC 的中点，求异面直线BD 与A 1C 所成的角．
24．在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，AB=1，BC=，∠ABC=45°，点E 在PC 上，AE ⊥PC ．（1）证明：AE ⊥平面PCD ；
（2）当PA=2时，求直线AD 与平面ABE 所成角的正弦值．（请用向量的运算解决此问题）
25．如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=1，A 1A=2，点E 是棱CC 1的中点
（Ⅰ）求异面直线AE 与BD 1所成角的余弦值．（Ⅱ）求直线BD 1与平面AB 1E 所成角的余弦值．
26．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AA 1，A 1D 1的中点，求：
（1）D 1B 与平面ABCD 所成角的余弦值；（2）EF 与平面A 1B 1C 1D 1所成的角．
27．如图，点P 是正方形ABCD 外一点，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=2，且E ，F 分别是AB ，PC 的中点．
（1）求证：EF ⊥平面PCD ；（2）求直线BD 与平面EFC 所成角的正弦值．
28．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 是正三角形，且AD=DE=2AB，F 是CD 的中点．
（1）求证：平面CBE ⊥平面CDE ；（2）求直线EF 与平面CBE 所成角的正弦值．
29．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB=AC=AA1，M 是CC 1的中点，N 是BC 的中点，点P 为线段A 1B 1上的动点，（Ⅰ）判断异面直线PN 和AM 所成的角的大小是否变化，并证明你的结论；
（Ⅱ）当直线PN 和平面ABC 所成角最大时，试确定点P 的位置．
30．如图，△BCD 所在的平面垂直于正三角形ABC 所在的平面，∠BCD=90°，PA ⊥平面ABC ，DC=BC=2PA，E 、F 分别为DB 、CB 的中点．（1）证明：P 、A 、E 、F 四点共面；（2）证明：AE ⊥BC ；（3）求直线PF 与平面BCD 所成角的大小．
平面和平面
1．若两个平面法向量分别是=（1，0，1），=（﹣1，1，0），则这两个平面所成的锐二面角的大小是
2．在直角坐标系xOy 中，设A （3，2），B （﹣2，﹣3），沿y 轴把坐标平面折成120°的二面角后，AB
的长为 ． 3．若PA ⊥平面ABCD ，且ABCD 是矩形，若PA=3，AB=2，BC=2，则二面角P ﹣BD ﹣A 的正切值为 ．
4．（2012•贵州三模）桌面上一矩形纸板ABCD ，绕边AB 旋转，再绕边AD 旋转，则此时的平面与旋转前的平面所成的二面角的大小为 ．
5．已知动点E 在正方体ABCD ﹣A 1B 1
C 1D 1的棱BC 上，F 是CD 的中点，则二面角C 1﹣EF ﹣C 的余弦值的取值范围 ．
6．已知四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=3，AB=2，BC=，则二面角P ﹣BD ﹣A 的正切值为 ．
7．在空间直角坐标系中，四棱锥S ﹣ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，∠ABC=90°，SA=AB=BC=1，AD=，则平面SAB 与平面SCD 夹角的余弦值是 ．
8．将正方形ABCD 沿对角线折成直二面角，则二面角A ﹣BC ﹣D 的平面角的余弦值是 ．
9．在一个二面角的两个面内部和二面角的棱垂直的两个向量分别为（0，﹣1，3），（2，2，4），则这个二面角的度数是 ．
10．如图，已知四面体A ﹣BCD 的各棱长都相等，E 为棱BC 的中点，则二面角E ﹣AD ﹣C 的余弦值为 ．
11．（2011•天心区校级模拟）如图，在二面角α﹣l ﹣β的棱l 上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，若，则二面角α﹣l ﹣β的大小为 ．
12．（2012•天心区校级模拟）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD，则二面角P ﹣CD ﹣B 的大小是 ．
13．在正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B ﹣AD ﹣C 后，BC=AB ，这时二面角B ﹣AD ﹣C 的大小为 ．
14．若三棱锥三个侧面两两垂直，则它的侧面与底面所成的二面角的余弦值为 ．
15．（2014秋•南岗区校级期中）在四面体ABCD 中，AB=1，AD=2
A ﹣BC ﹣D 的大小为 ． ，BC=3，CD=2，∠ABC=∠DCB=则二面角
16．（2013春•东台市校级月考）E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和CD 的中点，EF 交BD 于O ，以EF 为棱将正方形折成直二面角，则∠BOD= ．
17．已知四棱锥P ﹣ABCD 底面是平行四边形，E ，F 分别为AD ，PC 的中点，EF ⊥BD ，2AP=2AB=AD，以AD 为直径的圆经过点B （1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若AB=PB，求二面角C ﹣BE ﹣F 的余弦值．
18．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD=AA1=1，AB=2，点E 是AB 的中点．
（Ⅰ）求证：B 1C ⊥平面AED 1；（Ⅱ）求二面角A ﹣D 1E ﹣C 的大小．
19．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 是正三角形，且AD=DE=2AB，F 是CD 的中点．
（1）求证：平面CBE ⊥平面CDE ；（2）求二面角C ﹣BE ﹣F 的余弦值．
20．如图所示，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，PD ：DC ：BC=1：1：．
（Ⅰ）求PB 与平面PDC 所成角的大小；（Ⅱ）求二面角D ﹣PB ﹣C 的正切值；
（Ⅲ）若AD=BC ，求证：平面PAB ⊥平面PBC ．
21．四棱锥P ﹣ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ．底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD=PB=3．点E 在棱PA 上，且PE=2EA．（Ⅰ）求异面直线PA 与CD 所成的角；
（Ⅱ）求证：PC ∥平面EBD ；（Ⅲ）求二面角A ﹣BE ﹣D 的大小．（用反三角函数表示）．
22．如图，在底面为棱形的四棱锥P ﹣ABCD 在那个，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=，点E 在PD 上，且PE ：ED=2：1．（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求二面角E ﹣AC ﹣D 的正弦值．
23．（2014•邯郸二模）如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥底面ABC ，点B 为以AC 为直径的圆上任意一动点，且SA=AB，点M 是SB 的中点，AN ⊥SC 且交SC 于点N ．
（I ）求证：SC ⊥面AMN （Ⅱ）当AB=BC时，求二面角N ﹣MA ﹣C 的余弦值．
24．（2014秋•潍坊期末）如图，四边形ACDF 为正方形，平面ACDF ⊥平面BCDE ，BC=2DE=2CD=4，DE ∥BC ，∠CDE=90°，M 为AB 的中点．（1）证明：EM ∥平面ACDF ；（2）求二面角A ﹣BE ﹣C 的余弦值．
25．如图所示，在四面体P ﹣ABC 中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=2，F 是线段PB 上一点，CF=，点E 在线段AB 上，且EF ⊥PB ．（1）证明：PB ⊥平面CEF ；（2）求二面角B ﹣CE ﹣F 的正切值．
26．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，求：（1）异面直线AD 1与A 1B 所成的角；（2）求AD 1与平面ABCD 所成的角；
（3）求二面角D 1﹣AB ﹣C 的大小．
27．（2014秋•雁峰区校级期中）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥ABCD ，ABCD 为正方形．AD=PD=2，E ，F ，GPC ，PD ，CB ，AP ∥EGF ，求二面角G ﹣EF ﹣D 的大小．
28．如图，在几何体ABCD ﹣A 1D 1C 1中，四边形ABCD ，A 1ADD 1，DCC 1D 1均为边长为1的正方形．（1）求证：BD 1⊥A 1C 1．（2）求二面角D 1﹣A 1C 1﹣B 的余弦值．
29．如图，在横放得四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，∠DAE=90°，且△ABE 是等腰直角三角形，其中∠BAE=90°，连接AC 、BD 交于点O ．
（1）求证：BD ⊥平面AEC ；（2）若二面角A ﹣BD ﹣E 的大小为60°，且直线EC 与平面ABCD 所成的角为θ，求sin θ．
30．（2014秋•上高县校级月考）如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱D 1D 的中点，点F 在棱B 1B 上且B 1F=2FB．（1）求证：EF ⊥A 1C 1；（2）求平面AEF 与平面ABCD 所成角的余弦值．