一: 空间直角坐标系 学习目标
1．了解空间直角坐标系的建系方式． 2．掌握空间中任意一点的表示方法． 3．能在空间直角坐标系中求出点的坐标． 4．掌握空间两点间的距离公式 一、知识梳理
1. 如图，OABC —D′A′B′C′是单位正方体. 以O 为原点，分别以射线OA ，OC ，OD′的方向为正方向，以线段OA ，OC ，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴. 这时我们说建立了一个__________O—xyz ，其中点O 叫做__________，x 轴、y 轴、z 轴叫做__________.通过每两个坐标轴的平面叫做__________，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.
2. 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为________，如无特别说明，本书建立的坐标系都是_______. 3. 空间一点M 的坐标可以用_____________来表示，_________叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作__________，其中_________叫做点M 的横坐标，__________叫做点M 的纵坐标，__________叫做点M 的竖坐标. 4. 在空间直角坐标系中，怎样确定空间一点P 的坐标？确定P 点坐标(如下图) 需要分三步完成： (1)过点P 作面xOy 的垂线，垂足为Q ；
(2)在面xOy 内过点Q 分别作x 轴，y 轴的垂线确定点P 的横、纵坐标； (3)过点P 作平行于OQ 的直线确定点P 的竖坐标.
5．特殊位置点的坐标的特征．
x 轴上的点的坐标为 ，其中x 为任意实数；y 轴上的点的坐标为 ，其中y 为任意实数；z 轴上的点的坐标为 ，其中z 为任意实数；xOy 平面上的点的坐标为 ，其中x ，y 为任意实数；xOz 平面上的点的坐标为 ，其中x ，z 为任意实数；yOz 平面上的点的坐标为 ， 其中y ，z 为任意实数．
6. 空间中两点P 1(x1,y 1,z 1) 、P 2(x2,y 2,z 2) 之间的距离|P1P 2|=____________.
7. 空间中点坐标公式连接空间两点P 1(x 1, y 1, z 1) 、P 2(x 2, y 2, z 2) 的线段PP 12的中点M 的坐标为二、基础练习
1．在空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标可记为( )
A ．(0，b, 0) B ．(a, 0,0) C．(0,0，c ) D．(0，b ，c ) 2．点(0,2,3)位于( )
A ．y 轴上 B．x 轴上 C．xOz 平面内 D．yOz 平面内
3．空间直角坐标系中，点P (1,2,3) 关于x 轴对称的点的坐标是
(A ) (-1,2,3) (B ) (1,-2, -3) (C ) (-1, -2,3) (D ) (-1,2, -3)
4．空间直角坐标系中，P (3,5,1),Q (-3, -5, -1) 两点的位置关系是 (A ) 关于x 轴对称(B ) 关于yOz 平面对称 (C ) 关于坐标原点对称 (D ) 以上都不对 5．动点P (x , y , z ) 的坐标始终满足y =3，则动点P 的轨迹为
(A ) y 轴上一点 (B ) 坐标平面xOz (C ) 与坐标平面xOz 平行的一个平面 (D ) 平行于y 轴的一条直线 6．空间中过点A (-2,1,3) ，且与xOy 坐标平面垂直的直线上点的坐标满足 （ ） (A ) x =-2 (B ) y =1 (C ) x =-2或 y =1 (D ) x =-2且 y =1 7．点(2,-3,6) 在x 轴、y 轴上的射影的坐标分别是 、 ．
8．在空间直角坐标系O -xyz 中，点P (2,3,4)在平面xOy 内的射影的坐标是______，在平面yOz 内的射影坐标是_______．
例1、（1）画一个正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，以A 为坐标原点，以棱AB 、AD 、AA 1所在的直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系. （1）求各顶点的坐标； （2）求棱C 1C 中点的坐标；
（3）求面AA 1B 1B 对角线交点的坐标.
（2）已知在棱长全为2a 的四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心．
建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出该四棱锥P －ABCD 各顶点的坐标； (2)写出棱PB 的中点M 的坐标．
例2、如图正方形ABCD ﹑ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直. 点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a（0＜a ＜2）. （1）求MN 的长；
（2）当a 为何值时，MN 的长最小.
【训练内化】
1、点（2，3，4）关于xoz 平面的对称点为（）
A 、（2，3，-4） B 、（-2，3，4） C 、（2，-3，4） D 、（-2，-3，4） 2、点P (2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( )
A ．y 轴上 B ．xOy 平面上 C ．xOz 平面上 D ．x 轴上
3、以正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 、AD 、AA 1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC 1中点坐标为（） A 、（
11111
，1，1） B 、（1，，1） C 、（1，1，） D 、（，，1） 22222
，－到原点的距离是( ) 236
4、点P (A.
33 B ．1 C. 6665、点M (4，－3,5) 到x 轴的距离为( )
A ．4 34 C ．52
D. 41
6、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )
C ．5
D ．26
7、已知A(x , 5-x , 2x -1) 、B （1，x +2，2-x ），当|AB|取最小值时x 的值为_______________． 8、已知点A(-2, 3, 4), 在y 轴上求一点B , 使|AB|=7 , 则点B 的坐标为________________．
1
9、 如图，在长方体OABC －D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝1，|OC |＝3，|OD ′|＝2，点E 在线段AO 的延长线上，且|OE |＝，写出
2
B ′，C ，E 的坐标．
-1，-9) ，B (-101，，-6) ，C (-2，-4，-3) 为顶点的三角形是等腰直角三角形． 10、求证：以A (-4，
11、如图所示，BC ＝4，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为(∠DCB ＝30°，求AD 的长度．
空间直角坐标系及在立体几何中的应用 (2)
二: 空间向量及其坐标运算
基础知识
1．空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间中，具有______和______的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向______且模______的向量． (3)共线向量定理
对空间任意两个向量a ，b (b ≠0) ，a ∥b 的充要条件是____ 2. 数量积及相关概念 ①两向量的夹角
→→
已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则________叫做向量a 与b 的夹角，记作________，
π
其范围是________________，若〈a ，b 〉＝a 与b ______________，记作a ⊥b .
2
②两向量的数量积
已知两个非零向量a ，b ，则______________________叫做向量a ，b 的数量积，记
作________，即______________________________．
3．空间向量的坐标表示及应用 (1)坐标运算
31
，，0) ，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，22
若a ＝(a 1，a 2，a 3) ，b ＝(b 1，b 2，b 3) ，A (x 1, y 1, z 1), B (x 2, y 2, z 2) 则
（1）、AB = 。
（2）、a +b = a -b = λb =；a·b ＝____________________.
(2)共线与垂直的坐标表示
设a ＝(a 1，a 2，a 3) ，b ＝(b 1，b 2，b 3) ，
则a ∥b (b ≠0) ⇔____________⇔________，__________，________________， a ⊥b ⇔________⇔_________________________________ (a ，b 均为非零向量) ． (3)模、夹角和距离公式
设a ＝(a 1，a 2，a 3) ，b ＝(b 1，b 2，b 3) ， 则|a |＝a·a ＝_____________________________________________________________，
a·b
cos 〈a ，b 〉＝＝_________________________________________________________ .
|a||b|
4、引入两个重要空间向量
（1）. 直线的方向向量： 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量. 如图1, 在空间直角坐标系中, 由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB 的方向向量是
AB =(x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1) （2）. 平面的法向量
如果表示向量n 的有向线段所在的直线垂直于平面α, 称这个向量垂直于平面α, 记作n ⊥α, 这时向量n 叫做平面α的
法向量
如何求平面的法向量
1. 在空间直角坐标系中, 如何求平面法向量的坐标呢? 如图, 设a =( x1,y1,z1)、b =(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量, 由直线与平面垂直的判定定理知, 若n ⊥a 且n ⊥b, 则n ⊥α. 换句话说, 若n ·a = 0且n ·b = 0, 则n ⊥ α
2. 求平面的法向量的坐标的步骤:
第一步(设) :设出平面法向量的坐标为n =(x,y,z).在平面中找两个不共线向量a =( x1,y1,z1)、b =(x2,y2,z2) 第二步(列):根据n ·a = 0且n ·b = 0可列出方程组
⎧x 1x +y 1y +z 1z =0第三步(解):把z 看作常数, 用z 表示x 、y. ⎨
第四步(取):取z 为任意一个正数(当然取得越特 殊越好), 便得到平面法向量n 的坐标. ⎩x 2x +y 2y +z 2z =0例1在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是面AC 的中心, 求面OA 1D 1的法向量
练习：在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1, D 1 中，E,F 分别为棱AB,BC 的中点，试在棱BB 上找一点M, 使得D 1M ⊥平面EFB 1
例2、已知A (3,-2,1), B (1,1,1)，O 为坐标原点，
（1）写出一个非零向量c ，使得c ⊥平面AOB ； （2）求线段AB 中点M 及∆AOB 的重心G 的坐标；
例3、正三棱柱A —C 1，底面边长AB =2，AB 1⊥BC 1，点O 、O 1分别是AC 、A 1C 1的中点，建立如图所示空间直角坐
标系。
（1）求侧棱长；
（2）求异面直线AB 1、BC 所成角。
三: 立体几何中的向量方法
1. 判定直线、平面间的位置关系 (1)直线与直线的位置关系
不重合的两条直线a,b 的方向向量分别为a ,b. ①若a ∥b , 即a=λb , 则a ∥b. ②若a ⊥b , 即a ·b = 0, 则a ⊥b
a
b
(2)直线与平面的位置关系
直线L 的方向向量为a , 平面α的法向量为n , 且L 不在α. 内
①若a ∥n , 即a =λn , 则 L⊥ α ②若a ⊥n , 即a ·n = 0, 则a ∥ α.
例4. 棱长都等于2的正三棱柱ABC-A 1B 1C 1, ，D,E 分别是AC,CC 1的中点, 求证: (I)A1E ⊥平面DBC 1; (II)AB1 ∥ 平面DBC 1
练习：1、在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E , F 分别是BB 1, CD 的中点，求证D 1F ⊥平面ADE ．
2、两个边长为1的正方形ABCD 与正方形ABEF 相交与AB, ∠EBC =900.M,N 分别为BD,AE 上的点，且AN=DM,（1）求证：MN//平面EBC; (2)求MN 长度的最小值
(3)平面与平面的位置关系
平面α的法向量为n 1 ,平面β的法向量为n 2 ①若n1∥n2, 即n1=λn2, 则α∥β ②若n1⊥n2, 即n1 ·n2= 0, 则α⊥β
例5. 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点, 求证:面AED ⊥面A 1FD
2. 求空间中的角
(1)两异面直线的夹角:
利用向量法求两异面直线所成的夹角, 不用再把这两条异面直线平移, 求出两条异面直线的方向向量, 则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补, 我们仅取锐角或直角就行了 异面直线AB , CD 所成的角θ（范围： 0
π
2
A B
）
AB ∙CD
cos θ=cos =
AB . CD
例6. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 是AB 的中点, 则对角线DB 1与CM 所成角的余弦值为_____.
练习：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=AB=AC，AB ⊥AC,M 为CC 1的中点，Q 为BC 的中点，点P 在A 1B 1上，求直线PQ 与直线AM 所成的角
（2）线面角θ（范围：0≤θ≤
π
2
）
，n i s θ=c o s =
θ=
π
-2
θ=-
π
2
例7. 正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a,
2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角
练习：1：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E,F 分别是AB,C 1D 1的中点，求A 1B 1与平面A 1EF 所成的角 2、（2007全国1）四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD
，已知∠ABC =45︒，AB =2
，
BC =SA =SB = （Ⅰ）证明：SA ⊥BC ；
（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小。
（3）二面角θ（范围：0≤θ≤π）
n , n >θ=π-
n 1∙n 2
cos θ=- n 1⋅n 2
D
n 1∙n 2
cos θ=n 1⋅n 2
12>
例8、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=1，AD=DC=. 在线段A 1C 上有一点Q ，且C 1Q =所成锐二面角的大小.
1
C 1A 1，求平面QDC 与平面A 1DC 3
练习、1（2008全国1）四棱锥A -BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，BC =
2，CD =AB =AC ．
（Ⅰ）证明：AD ⊥CE ；
A C -AD -E 的大小． （Ⅱ）设侧面ABC 为等边三角形，求二面角
E
D 2、（2009陕西）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中， ∠ABC=60.
(1)证明：AB ⊥AC ；1（2）求二面角A —AC 1—B 的大小。
3. 求解空间中的距离
点到平面的距离在平面α上任取点B
AB=1
，AC =AA 1=
cos θ
=cos =
d =cos θ==
例9、在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1∠
ACB=90°, 求B 1到面A 1BC 的距离. 2
练习：在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=4，BC=3，CC 1=2，求证：（1）平面A 1BC
1和平面ABD 1 的距离 （2）求B 1到平面A 1BC 1 的距离
【训练内化】
1、在三棱锥P —OCB 中，PO ⊥平面OCB,OB ⊥OC ，OB=OC=2,PC=4，D 为PC 的中点，求OD 与平面PBC 所成的角
2、如图，四棱锥S -ABCD 中，AB //CD , BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形，
D
AB =BC =2, CD =SD =1. （1）证明：SD ⊥平面SAB (2)求AB 与平面SBC
所成的角
3．如图，四棱锥P －ABCD ，PA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝
＝2，PA ＝2，E ，F 分别是PC ，PD 的中点．
(Ⅰ) 证明：EF ∥平面PAB ；
(Ⅱ) 求直线AC 与平面ABEF 所成角的正弦值．
A
(第3题图)
C
C
B
1CD 2
4. 如图，在平面四边形ABCD 中，已知∠A =45 , ∠C =90 , ∠ADC =105 , AB =BD , 现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC ，设点F 为棱AD 的中点． （1）求证：DC ⊥平面ABC ；
（2）求直线BF 与平面ACD 所成角的余弦值．
A
F
A
D
C
B D
C
B
一: 空间直角坐标系 学习目标
1．了解空间直角坐标系的建系方式． 2．掌握空间中任意一点的表示方法． 3．能在空间直角坐标系中求出点的坐标． 4．掌握空间两点间的距离公式 一、知识梳理
1. 如图，OABC —D′A′B′C′是单位正方体. 以O 为原点，分别以射线OA ，OC ，OD′的方向为正方向，以线段OA ，OC ，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴. 这时我们说建立了一个__________O—xyz ，其中点O 叫做__________，x 轴、y 轴、z 轴叫做__________.通过每两个坐标轴的平面叫做__________，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.
2. 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为________，如无特别说明，本书建立的坐标系都是_______. 3. 空间一点M 的坐标可以用_____________来表示，_________叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作__________，其中_________叫做点M 的横坐标，__________叫做点M 的纵坐标，__________叫做点M 的竖坐标. 4. 在空间直角坐标系中，怎样确定空间一点P 的坐标？确定P 点坐标(如下图) 需要分三步完成： (1)过点P 作面xOy 的垂线，垂足为Q ；
(2)在面xOy 内过点Q 分别作x 轴，y 轴的垂线确定点P 的横、纵坐标； (3)过点P 作平行于OQ 的直线确定点P 的竖坐标.
5．特殊位置点的坐标的特征．
x 轴上的点的坐标为 ，其中x 为任意实数；y 轴上的点的坐标为 ，其中y 为任意实数；z 轴上的点的坐标为 ，其中z 为任意实数；xOy 平面上的点的坐标为 ，其中x ，y 为任意实数；xOz 平面上的点的坐标为 ，其中x ，z 为任意实数；yOz 平面上的点的坐标为 ， 其中y ，z 为任意实数．
6. 空间中两点P 1(x1,y 1,z 1) 、P 2(x2,y 2,z 2) 之间的距离|P1P 2|=____________.
7. 空间中点坐标公式连接空间两点P 1(x 1, y 1, z 1) 、P 2(x 2, y 2, z 2) 的线段PP 12的中点M 的坐标为二、基础练习
1．在空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标可记为( )
A ．(0，b, 0) B ．(a, 0,0) C．(0,0，c ) D．(0，b ，c ) 2．点(0,2,3)位于( )
A ．y 轴上 B．x 轴上 C．xOz 平面内 D．yOz 平面内
3．空间直角坐标系中，点P (1,2,3) 关于x 轴对称的点的坐标是
(A ) (-1,2,3) (B ) (1,-2, -3) (C ) (-1, -2,3) (D ) (-1,2, -3)
4．空间直角坐标系中，P (3,5,1),Q (-3, -5, -1) 两点的位置关系是 (A ) 关于x 轴对称(B ) 关于yOz 平面对称 (C ) 关于坐标原点对称 (D ) 以上都不对 5．动点P (x , y , z ) 的坐标始终满足y =3，则动点P 的轨迹为
(A ) y 轴上一点 (B ) 坐标平面xOz (C ) 与坐标平面xOz 平行的一个平面 (D ) 平行于y 轴的一条直线 6．空间中过点A (-2,1,3) ，且与xOy 坐标平面垂直的直线上点的坐标满足 （ ） (A ) x =-2 (B ) y =1 (C ) x =-2或 y =1 (D ) x =-2且 y =1 7．点(2,-3,6) 在x 轴、y 轴上的射影的坐标分别是 、 ．
8．在空间直角坐标系O -xyz 中，点P (2,3,4)在平面xOy 内的射影的坐标是______，在平面yOz 内的射影坐标是_______．
例1、（1）画一个正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，以A 为坐标原点，以棱AB 、AD 、AA 1所在的直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系. （1）求各顶点的坐标； （2）求棱C 1C 中点的坐标；
（3）求面AA 1B 1B 对角线交点的坐标.
（2）已知在棱长全为2a 的四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心．
建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出该四棱锥P －ABCD 各顶点的坐标； (2)写出棱PB 的中点M 的坐标．
例2、如图正方形ABCD ﹑ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直. 点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a（0＜a ＜2）. （1）求MN 的长；
（2）当a 为何值时，MN 的长最小.
【训练内化】
1、点（2，3，4）关于xoz 平面的对称点为（）
A 、（2，3，-4） B 、（-2，3，4） C 、（2，-3，4） D 、（-2，-3，4） 2、点P (2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( )
A ．y 轴上 B ．xOy 平面上 C ．xOz 平面上 D ．x 轴上
3、以正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 、AD 、AA 1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC 1中点坐标为（） A 、（
11111
，1，1） B 、（1，，1） C 、（1，1，） D 、（，，1） 22222
，－到原点的距离是( ) 236
4、点P (A.
33 B ．1 C. 6665、点M (4，－3,5) 到x 轴的距离为( )
A ．4 34 C ．52
D. 41
6、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )
C ．5
D ．26
7、已知A(x , 5-x , 2x -1) 、B （1，x +2，2-x ），当|AB|取最小值时x 的值为_______________． 8、已知点A(-2, 3, 4), 在y 轴上求一点B , 使|AB|=7 , 则点B 的坐标为________________．
1
9、 如图，在长方体OABC －D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝1，|OC |＝3，|OD ′|＝2，点E 在线段AO 的延长线上，且|OE |＝，写出
2
B ′，C ，E 的坐标．
-1，-9) ，B (-101，，-6) ，C (-2，-4，-3) 为顶点的三角形是等腰直角三角形． 10、求证：以A (-4，
11、如图所示，BC ＝4，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为(∠DCB ＝30°，求AD 的长度．
空间直角坐标系及在立体几何中的应用 (2)
二: 空间向量及其坐标运算
基础知识
1．空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间中，具有______和______的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向______且模______的向量． (3)共线向量定理
对空间任意两个向量a ，b (b ≠0) ，a ∥b 的充要条件是____ 2. 数量积及相关概念 ①两向量的夹角
→→
已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则________叫做向量a 与b 的夹角，记作________，
π
其范围是________________，若〈a ，b 〉＝a 与b ______________，记作a ⊥b .
2
②两向量的数量积
已知两个非零向量a ，b ，则______________________叫做向量a ，b 的数量积，记
作________，即______________________________．
3．空间向量的坐标表示及应用 (1)坐标运算
31
，，0) ，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，22
若a ＝(a 1，a 2，a 3) ，b ＝(b 1，b 2，b 3) ，A (x 1, y 1, z 1), B (x 2, y 2, z 2) 则
（1）、AB = 。
（2）、a +b = a -b = λb =；a·b ＝____________________.
(2)共线与垂直的坐标表示
设a ＝(a 1，a 2，a 3) ，b ＝(b 1，b 2，b 3) ，
则a ∥b (b ≠0) ⇔____________⇔________，__________，________________， a ⊥b ⇔________⇔_________________________________ (a ，b 均为非零向量) ． (3)模、夹角和距离公式
设a ＝(a 1，a 2，a 3) ，b ＝(b 1，b 2，b 3) ， 则|a |＝a·a ＝_____________________________________________________________，
a·b
cos 〈a ，b 〉＝＝_________________________________________________________ .
|a||b|
4、引入两个重要空间向量
（1）. 直线的方向向量： 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量. 如图1, 在空间直角坐标系中, 由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB 的方向向量是
AB =(x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1) （2）. 平面的法向量
如果表示向量n 的有向线段所在的直线垂直于平面α, 称这个向量垂直于平面α, 记作n ⊥α, 这时向量n 叫做平面α的
法向量
如何求平面的法向量
1. 在空间直角坐标系中, 如何求平面法向量的坐标呢? 如图, 设a =( x1,y1,z1)、b =(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量, 由直线与平面垂直的判定定理知, 若n ⊥a 且n ⊥b, 则n ⊥α. 换句话说, 若n ·a = 0且n ·b = 0, 则n ⊥ α
2. 求平面的法向量的坐标的步骤:
第一步(设) :设出平面法向量的坐标为n =(x,y,z).在平面中找两个不共线向量a =( x1,y1,z1)、b =(x2,y2,z2) 第二步(列):根据n ·a = 0且n ·b = 0可列出方程组
⎧x 1x +y 1y +z 1z =0第三步(解):把z 看作常数, 用z 表示x 、y. ⎨
第四步(取):取z 为任意一个正数(当然取得越特 殊越好), 便得到平面法向量n 的坐标. ⎩x 2x +y 2y +z 2z =0例1在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是面AC 的中心, 求面OA 1D 1的法向量
练习：在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1, D 1 中，E,F 分别为棱AB,BC 的中点，试在棱BB 上找一点M, 使得D 1M ⊥平面EFB 1
例2、已知A (3,-2,1), B (1,1,1)，O 为坐标原点，
（1）写出一个非零向量c ，使得c ⊥平面AOB ； （2）求线段AB 中点M 及∆AOB 的重心G 的坐标；
例3、正三棱柱A —C 1，底面边长AB =2，AB 1⊥BC 1，点O 、O 1分别是AC 、A 1C 1的中点，建立如图所示空间直角坐
标系。
（1）求侧棱长；
（2）求异面直线AB 1、BC 所成角。
三: 立体几何中的向量方法
1. 判定直线、平面间的位置关系 (1)直线与直线的位置关系
不重合的两条直线a,b 的方向向量分别为a ,b. ①若a ∥b , 即a=λb , 则a ∥b. ②若a ⊥b , 即a ·b = 0, 则a ⊥b
a
b
(2)直线与平面的位置关系
直线L 的方向向量为a , 平面α的法向量为n , 且L 不在α. 内
①若a ∥n , 即a =λn , 则 L⊥ α ②若a ⊥n , 即a ·n = 0, 则a ∥ α.
例4. 棱长都等于2的正三棱柱ABC-A 1B 1C 1, ，D,E 分别是AC,CC 1的中点, 求证: (I)A1E ⊥平面DBC 1; (II)AB1 ∥ 平面DBC 1
练习：1、在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E , F 分别是BB 1, CD 的中点，求证D 1F ⊥平面ADE ．
2、两个边长为1的正方形ABCD 与正方形ABEF 相交与AB, ∠EBC =900.M,N 分别为BD,AE 上的点，且AN=DM,（1）求证：MN//平面EBC; (2)求MN 长度的最小值
(3)平面与平面的位置关系
平面α的法向量为n 1 ,平面β的法向量为n 2 ①若n1∥n2, 即n1=λn2, 则α∥β ②若n1⊥n2, 即n1 ·n2= 0, 则α⊥β
例5. 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点, 求证:面AED ⊥面A 1FD
2. 求空间中的角
(1)两异面直线的夹角:
利用向量法求两异面直线所成的夹角, 不用再把这两条异面直线平移, 求出两条异面直线的方向向量, 则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补, 我们仅取锐角或直角就行了 异面直线AB , CD 所成的角θ（范围： 0
π
2
A B
）
AB ∙CD
cos θ=cos =
AB . CD
例6. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 是AB 的中点, 则对角线DB 1与CM 所成角的余弦值为_____.
练习：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=AB=AC，AB ⊥AC,M 为CC 1的中点，Q 为BC 的中点，点P 在A 1B 1上，求直线PQ 与直线AM 所成的角
（2）线面角θ（范围：0≤θ≤
π
2
）
，n i s θ=c o s =
θ=
π
-2
θ=-
π
2
例7. 正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a,
2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角
练习：1：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E,F 分别是AB,C 1D 1的中点，求A 1B 1与平面A 1EF 所成的角 2、（2007全国1）四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD
，已知∠ABC =45︒，AB =2
，
BC =SA =SB = （Ⅰ）证明：SA ⊥BC ；
（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小。
（3）二面角θ（范围：0≤θ≤π）
n , n >θ=π-
n 1∙n 2
cos θ=- n 1⋅n 2
D
n 1∙n 2
cos θ=n 1⋅n 2
12>
例8、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=1，AD=DC=. 在线段A 1C 上有一点Q ，且C 1Q =所成锐二面角的大小.
1
C 1A 1，求平面QDC 与平面A 1DC 3
练习、1（2008全国1）四棱锥A -BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，BC =
2，CD =AB =AC ．
（Ⅰ）证明：AD ⊥CE ；
A C -AD -E 的大小． （Ⅱ）设侧面ABC 为等边三角形，求二面角
E
D 2、（2009陕西）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中， ∠ABC=60.
(1)证明：AB ⊥AC ；1（2）求二面角A —AC 1—B 的大小。
3. 求解空间中的距离
点到平面的距离在平面α上任取点B
AB=1
，AC =AA 1=
cos θ
=cos =
d =cos θ==
例9、在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1∠
ACB=90°, 求B 1到面A 1BC 的距离. 2
练习：在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=4，BC=3，CC 1=2，求证：（1）平面A 1BC
1和平面ABD 1 的距离 （2）求B 1到平面A 1BC 1 的距离
【训练内化】
1、在三棱锥P —OCB 中，PO ⊥平面OCB,OB ⊥OC ，OB=OC=2,PC=4，D 为PC 的中点，求OD 与平面PBC 所成的角
2、如图，四棱锥S -ABCD 中，AB //CD , BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形，
D
AB =BC =2, CD =SD =1. （1）证明：SD ⊥平面SAB (2)求AB 与平面SBC
所成的角
3．如图，四棱锥P －ABCD ，PA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝
＝2，PA ＝2，E ，F 分别是PC ，PD 的中点．
(Ⅰ) 证明：EF ∥平面PAB ；
(Ⅱ) 求直线AC 与平面ABEF 所成角的正弦值．
A
(第3题图)
C
C
B
1CD 2
4. 如图，在平面四边形ABCD 中，已知∠A =45 , ∠C =90 , ∠ADC =105 , AB =BD , 现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC ，设点F 为棱AD 的中点． （1）求证：DC ⊥平面ABC ；
（2）求直线BF 与平面ACD 所成角的余弦值．
A
F
A
D
C
B D
C
B