第51卷第10期2002年10月100023290Π2002
Π51(10) Π2202203
物 理 学 报
ACT A PHY SIC A SI NIC A
V ol. 51,N o. 10,October ,2002
ν2002Chin. Phys. S oc.
运动边界的电磁场边界条件
梁昌洪 褚庆昕
(西安电子科技大学电子工程学院, 西安 710071) (2002年2月2日收到;2002年3月28日收到修改稿)
3
基于E instein 相对论, 给出了运动边界的电磁场边界条件, 指出了以往运动边界条件存在的问题.
关键词:电磁场边界条件, 运动边界, Einstein 相对论
PACC :0350D ,0420
s 垂直, 即^n ・J s =
11引言
1-D 2=0, , 矛盾.
在不同媒质的交界面上形式已不再成立, , , . 静止有了充分的讨论. 但是, 运动边界的边界条件却讨论甚少. 在文献[1—3]中, 讨论了不同媒质交界面以速度v 整体运动时的边界条件, 其出发点是根据包围体积v 的闭合面s 以速度v 运动时, 对于任意矢量场A , 有
d t
, 导出了边界.
21运动边界的边界条件
设在惯性系S ′中有一静止的媒质交界面s , ^n ′为s 面从媒质2指向媒质1的单位法向矢量. 惯性系S ′相对于惯性系S 以速度v 运动, 如图1所示.
v
A d v =
A (^n ・v ) d s .
∮
v
s
+d t
(1)
将上式用于Max well 方程组的积分形式, 便可以得到运动边界条件为
^^)n ×(H 1-H 2) +(v ・n (D 1-D 2) =J s ,
(2a )
^^)n ×(E 1-E 2) -(v ・n (B 1-B 2) =0,
(2b )
^n ・(B 1-B 2) =0, ^n ・(D 1-D 2) =ρs ,
(2c ) (2d )
图1 运动的媒质交界面
式中下标1,2分别表示媒质1和媒质2, ^n 为媒质交界面从媒质2指向媒质1的单位法向矢量. 上述公式至少有两个方面的问题. 一是(1) 式只是在绝对时空观下导出的, 没有考虑相对时空关系. 二是(2a ) 与(2d ) 式是矛盾的. 事实上, 用^n 点积(2a )
^)(D 1-D 2) =^式两边, 得(v ・n ^n ・n ・J s , 因为J s 为交
3
在S ′系中, 静止的媒质交界面s 的边界条件为
^(3a ) n ′×(H ′1-H ′2) =J ′s ,
^n ′×(E ′E ′2-1) =0, ^n ′・(B ′1-B ′2) =0, ^n ′・(D ′′2-D ′1) =ρs .
(3b ) (3c ) (3d )
如图1所示, 单位法向矢量^n ′可以用矢径r ′1和
国家自然科学基金(批准号:60171011) 资助的课题.
10期梁昌洪等:运动边界的电磁场边界条件
=
2203
r ′n ′=r ′n ′|=|r ′2表示为^2-r ′1且|^2-r ′1|=1. 引
入Minkovski 四维空间中静止边界的单位法向矢量～n ′4:
～
L =
=
==ββααj γ, =I +(γ-1) 2,
ββγ-j γ
0j ct
对于任意矢量A =A x ^x +A y ^y +A z ^z , 引入张量
j ct 0
A =
=
=
n ′4=
r
2
-
r 1
=
^n
. (4)
β=, γ=1
c
-
c
2
, c 为光速.
设n 4=
～
n
-A z 0
A x
A y
, 则根据(9) 式可以得到
～
A z -
A x 0
,
^n =α・n ′,
T
=
(10) (11)
-A y
m =j β・n .
～
则有^n ′×A =^n ′・A . 于是, 边界条件(3a ) , (3b ) 的简
洁形式可以表示为
T ^EB ′n ′=0,
1-EB 24
将(10) 和(11) 式代入(5) 和(6) 式, 展开后便得到如
下形式的运动边界的边界条件:
～D 1-D 2=J s , n H 1-H 2+v ・n
(12a )
(5) (6)
n -E 2^HD ′n ′=J ′1-HD 24s 4,
T
～
1-B 2=0,
(12b ) (12c ) (12d )
式中
i
=
n B 1-B 2=0, =ρs .
-j B i
～
c B i
H ′i
=
n D 1-D 2
HD ′i =
-j c D i
T
-j c D ′i
J s
,
比较(2a ) —(2c ) 与式(12a ) —(12c ) 式, 可以看
～
出, 两者有着相同的形式, 但(12a ) —(12c ) 式中的n 并不是静止边界的单位法向矢量, 利用(10) 式不难证明
222～2
2≥|n |=|^n ′|+γ^n ′・|^n ′|=1.
因此, 除非运动方向v 与^n ′垂直, 否则S 系中
～
的～n 不再是单位法向矢量, n 的长度大于1.
J ′4s =
ρj c , i =1,2.
根据Einstein 相对性原理, 在S 系中边界条件应具有相同的形式, 即
～T
31结 论
=0, =J s 4.
(7) (8)
n 4
T
4
EB 1-EB 2HD 1-HD 2
=～
^n
S 系中的～n 4与S ′系中的～n ′4满足Lorentz 变换
～
根据Einstein 相对性原理给出了媒质交界面整
体运动时的电磁场边界条件, 纠正了以往文献中关于运动边界条件的错误. 本文的工作还仅限于经典电动力学, 在相对论量子条件下的相关内容是今后进一步研究的工作.
n ′4=L n 4, (9)
式中
[1][2][3]
C osten R C and Adams on D 1965Proc . IEEE 531181
K ongJ A 1975Theory o f Electromagnetic Waves (New Y ork :JohnW iley &S ons )
W ang Y P , Chen D Z and Liu P C 1985Electrodynamics in Engi 2
neering (X i ’an :Northwest T elecommunication Institute ) (in Chinese )
[王一平、陈达章、刘鹏程1985工程电动力学(西安:西北电
讯工程学院出版社) ]
2204物 理 学 报51卷
Electromagnetic field boundary conditions on moving interface s 3
Liang Chang 2H ong Chu Qing 2X in
(School o f Electronics Engineering , Xidian Univer sity , Xi ’an 710071, China ) (Received 2February 2002; revised manuscript received 28M arch 2002)
Abstract
The Boundary conditions of electromagnetic fields on m oving interfaces is given based on E instein ’s Principle of Relativity. K eyw ords :the boundary conditions of
electromagnetic fields , m oving interface , E instein
’s PACC :0350D , 0420
3
Project supported by the National Natural Science F oundation of China (G rant N o. 60171011) .
第51卷第10期2002年10月100023290Π2002
Π51(10) Π2202203
物 理 学 报
ACT A PHY SIC A SI NIC A
V ol. 51,N o. 10,October ,2002
ν2002Chin. Phys. S oc.
运动边界的电磁场边界条件
梁昌洪 褚庆昕
(西安电子科技大学电子工程学院, 西安 710071) (2002年2月2日收到;2002年3月28日收到修改稿)
3
基于E instein 相对论, 给出了运动边界的电磁场边界条件, 指出了以往运动边界条件存在的问题.
关键词:电磁场边界条件, 运动边界, Einstein 相对论
PACC :0350D ,0420
s 垂直, 即^n ・J s =
11引言
1-D 2=0, , 矛盾.
在不同媒质的交界面上形式已不再成立, , , . 静止有了充分的讨论. 但是, 运动边界的边界条件却讨论甚少. 在文献[1—3]中, 讨论了不同媒质交界面以速度v 整体运动时的边界条件, 其出发点是根据包围体积v 的闭合面s 以速度v 运动时, 对于任意矢量场A , 有
d t
, 导出了边界.
21运动边界的边界条件
设在惯性系S ′中有一静止的媒质交界面s , ^n ′为s 面从媒质2指向媒质1的单位法向矢量. 惯性系S ′相对于惯性系S 以速度v 运动, 如图1所示.
v
A d v =
A (^n ・v ) d s .
∮
v
s
+d t
(1)
将上式用于Max well 方程组的积分形式, 便可以得到运动边界条件为
^^)n ×(H 1-H 2) +(v ・n (D 1-D 2) =J s ,
(2a )
^^)n ×(E 1-E 2) -(v ・n (B 1-B 2) =0,
(2b )
^n ・(B 1-B 2) =0, ^n ・(D 1-D 2) =ρs ,
(2c ) (2d )
图1 运动的媒质交界面
式中下标1,2分别表示媒质1和媒质2, ^n 为媒质交界面从媒质2指向媒质1的单位法向矢量. 上述公式至少有两个方面的问题. 一是(1) 式只是在绝对时空观下导出的, 没有考虑相对时空关系. 二是(2a ) 与(2d ) 式是矛盾的. 事实上, 用^n 点积(2a )
^)(D 1-D 2) =^式两边, 得(v ・n ^n ・n ・J s , 因为J s 为交
3
在S ′系中, 静止的媒质交界面s 的边界条件为
^(3a ) n ′×(H ′1-H ′2) =J ′s ,
^n ′×(E ′E ′2-1) =0, ^n ′・(B ′1-B ′2) =0, ^n ′・(D ′′2-D ′1) =ρs .
(3b ) (3c ) (3d )
如图1所示, 单位法向矢量^n ′可以用矢径r ′1和
国家自然科学基金(批准号:60171011) 资助的课题.
10期梁昌洪等:运动边界的电磁场边界条件
=
2203
r ′n ′=r ′n ′|=|r ′2表示为^2-r ′1且|^2-r ′1|=1. 引
入Minkovski 四维空间中静止边界的单位法向矢量～n ′4:
～
L =
=
==ββααj γ, =I +(γ-1) 2,
ββγ-j γ
0j ct
对于任意矢量A =A x ^x +A y ^y +A z ^z , 引入张量
j ct 0
A =
=
=
n ′4=
r
2
-
r 1
=
^n
. (4)
β=, γ=1
c
-
c
2
, c 为光速.
设n 4=
～
n
-A z 0
A x
A y
, 则根据(9) 式可以得到
～
A z -
A x 0
,
^n =α・n ′,
T
=
(10) (11)
-A y
m =j β・n .
～
则有^n ′×A =^n ′・A . 于是, 边界条件(3a ) , (3b ) 的简
洁形式可以表示为
T ^EB ′n ′=0,
1-EB 24
将(10) 和(11) 式代入(5) 和(6) 式, 展开后便得到如
下形式的运动边界的边界条件:
～D 1-D 2=J s , n H 1-H 2+v ・n
(12a )
(5) (6)
n -E 2^HD ′n ′=J ′1-HD 24s 4,
T
～
1-B 2=0,
(12b ) (12c ) (12d )
式中
i
=
n B 1-B 2=0, =ρs .
-j B i
～
c B i
H ′i
=
n D 1-D 2
HD ′i =
-j c D i
T
-j c D ′i
J s
,
比较(2a ) —(2c ) 与式(12a ) —(12c ) 式, 可以看
～
出, 两者有着相同的形式, 但(12a ) —(12c ) 式中的n 并不是静止边界的单位法向矢量, 利用(10) 式不难证明
222～2
2≥|n |=|^n ′|+γ^n ′・|^n ′|=1.
因此, 除非运动方向v 与^n ′垂直, 否则S 系中
～
的～n 不再是单位法向矢量, n 的长度大于1.
J ′4s =
ρj c , i =1,2.
根据Einstein 相对性原理, 在S 系中边界条件应具有相同的形式, 即
～T
31结 论
=0, =J s 4.
(7) (8)
n 4
T
4
EB 1-EB 2HD 1-HD 2
=～
^n
S 系中的～n 4与S ′系中的～n ′4满足Lorentz 变换
～
根据Einstein 相对性原理给出了媒质交界面整
体运动时的电磁场边界条件, 纠正了以往文献中关于运动边界条件的错误. 本文的工作还仅限于经典电动力学, 在相对论量子条件下的相关内容是今后进一步研究的工作.
n ′4=L n 4, (9)
式中
[1][2][3]
C osten R C and Adams on D 1965Proc . IEEE 531181
K ongJ A 1975Theory o f Electromagnetic Waves (New Y ork :JohnW iley &S ons )
W ang Y P , Chen D Z and Liu P C 1985Electrodynamics in Engi 2
neering (X i ’an :Northwest T elecommunication Institute ) (in Chinese )
[王一平、陈达章、刘鹏程1985工程电动力学(西安:西北电
讯工程学院出版社) ]
2204物 理 学 报51卷
Electromagnetic field boundary conditions on moving interface s 3
Liang Chang 2H ong Chu Qing 2X in
(School o f Electronics Engineering , Xidian Univer sity , Xi ’an 710071, China ) (Received 2February 2002; revised manuscript received 28M arch 2002)
Abstract
The Boundary conditions of electromagnetic fields on m oving interfaces is given based on E instein ’s Principle of Relativity. K eyw ords :the boundary conditions of
electromagnetic fields , m oving interface , E instein
’s PACC :0350D , 0420
3
Project supported by the National Natural Science F oundation of China (G rant N o. 60171011) .