第3卷 第2期 华北科技学院学报 2006年6月
弦线振动动力学方程的无量纲处理
范国敏,郑笑红
(华北科技学院机电系,北京东燕郊 101601)
º
¹
摘 要:对已经建立的弦线振动动力学方程中各项进行量纲分析,确定各项关于基本物理量长度L、质量M、时间T的因次,对动力学方程两端进行因次处理,使各项式子基本量纲都有相同的幂次,即使方程达到无量纲化。
关键词:相似定理;数学模型;动力学方程;量纲分析
中图分类号:O321 文献标识码:A 文章编号:1672-7169(2006)02-0078-02
1 研究现代工程中振动问题的途径
现代工程的问题,往往是十分复杂的。如:动力传送带、磁带、带锯、运动纺织纤维、高楼升降机缆绳、悬挂缆车的运动索道等。忽略其弯曲刚度可以模型化为轴向运动弦线进行研究。
研究这些问题的途径有:
1)进行原型的观察与测量。这需要耗费大量的资金及时间,以及人力与设备。不仅如此,有时这种测量是无法做到的,例如在十二级台风中怎么到海上去测量船舶的缆绳振动?同时,原型的实测有时是不符需求的,例如建造一艘巨型的航空母舰,我们不能等建成之后才知道它的性能,很多产品必须在建成之前能预见它的性能。
2)数值模拟。随着计算机的发展,有很多实际问题可以通过数值模拟去了解它的结果,这是一个发展的趋向。例如用数值模拟方法得到的半圆柱绕流的过程、斜拉索大桥的振动问题等。
3)相似定理。即通过试验,使模型中的现象相似于原型中的现象,易于试验,降低成本。
目前,理论研究以数值模拟和相似定理为主,但必须先建立数学模型,然后建立方程,量纲分析(DimensionalAnalysis)是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法。它主要是利用物理量的量纲所提供的信息,来确定物理量之间的关系。
实际现象中总是同时参有许多物理量,它们之间通过理论和实验建立起一定的依存关系,构
¹º
[1]
成某一客观规律的数学关系式。这个关系式必须在单位尺度的主观任意变换下不受破坏,这一性
[2]
质称为关系式的/完整性0。
2 保证多项式关系的完整性的两种办法
1)要求出现在算式中的一切参量都是无量纲纯数。
2)要求式中所有各项具有完全相同的量纲,也就是每一项的每一基本量纲都有相同的幂次,即所谓量纲的齐次性。
[3]
所谓量纲齐次法是指作为一个数学模型或物理规律,其数学表达式的每一个加项的量纲必须是一致的或者每一项都是无量纲量。也就是说,当描述实际现象时只有量纲相同的项才有可能相
[4]
比较或相加减。
数学模型中的测量值通常都是以物理量的形式出现的。物理量中有一些称为基本的,它们相互独立并可以通过自然规律的各种定律构成其它的物理量。长度L、质量M、时间T等通常都作为基本物理量,速度、加速度和力等单位都可以通过定义或物理运动定律导出,因此称为导出的(衍生的)物理量。显然基本物理量的度量单位一旦被确定,衍生的物理量的度量单位也就被确定了。因此,物理量的度量体系是由基本物理量及其度量单位确定的。把选定的基本物理量及其度量单位称为一个单位制。现在通用的单位制是国际单位制(SI制),它由七个基本单位组成。如下表所示:
收稿日期:2006-03-04
作者简介:范国敏(1975- ),女,蒙古族,内蒙古赤峰人,大学毕业,华北科技学院机电系机械基础教研室讲师。
第2期 范国敏等:弦线振动动力学方程的无量纲处理
表1 国际单位制的基本量及其度量单位
物理量长度(L)时间(T)温度(K)物质的量(N)
单位米秒开尔文摩尔
符号msKmol
物理量质量(M)电流强度(I)光强(J)
单位千克安培坎德拉
符号kgAcd
分析(B)中因子的量纲:
-2-2#s,=kg#m-2#s-22的量纲kg#mT0T0
-3-1
-2-2
和量纲=kg#m#sT0sQc2-的量纲kg#m-1#s-2
AE的量纲kg#m-1#s-22
分析以上各项,若令各项的量纲相等,则应该使E和Qc2-分别除以L项,使得:2A
2Qc-和量纲kg#m-2#s-2,L
=kg#m-2#s-22L
使(B):
Qc2-22
2 22+2Qc+
T05t5xLT05t5x2
2=
2L5x22
其他物理量的单位将是这七个基本单位的复合。
3 弦线面内横向振动动力学方程的量纲
处理
根据数学模型建立弦线轴向振动的动力学方程为:
22 Q2+2Qc+
5T2=25X2
2Qc-A5X2
2
(A)
(C)
图1 弦线的数学模型
311 分析量纲
表2 各物理量意义
物 理 量长度(L)面积(A)密度(Q)轴向坐标(X)
符 号
mm2Kg/mm
3
物 理 量力(P)时间(T)轴向位移(U)弹性模量(E)
符 号kg#m#s-smkg#m-1#s-22
312 对自变量和变量作无量纲化处理
u=,x=,t=(T0待定)
LLT0式中,u,x,t为中间量,又
22=5x
22===0)T02==2=2
0)0)5TT205t并把上述中间量代入动力学方程(A)中得:+2Q c+T0T05t=
25x22
2
2
2
使得:T0
2
c2T2PT222cT0200 ++-L5t2L2QAL25x2
22
3ET20=(D)2QL5x对(D)进行简化:PT20令=1则QAL2
T0=(E)
P
cT0
令L=C则
C=(F)
LP
又有
2
3ET20=(G)=#P2P2QL2QL令(C)式两端同除
把(E)、(F)、(G)式代入(D)中,则可以得到无量纲化的动力学方程:
52u222
+2C+(C-1)2
5t25x
2=
2P5x22
Qc2-A5x(B)
2
(H)
(下转87页)
第2期 王青春:有限分析法在潮流计算中的应用及问题探讨
Finiteanalyticsolutionforshallowwaterequationandits
applicationinYangtzeRiverEstuary
WANGQing-chun
(Dept.ofFoundation,NorthChinaInstituteofScienceandTechnology)
Abstract:inthispaper,theFiniteAnalyticMethod(FAM)isappliedtosolvetheproblemofshallowwaterequationsandsim-ulatethetidalcurrentofYangtzeRiverEstuary.TheresultsshowthattheFAMhasthepropertyofautomaticup-wind.Mor-ever,itiseasytoobtainconvergentsolutionofstabilityandhighercalculationalaccuracy.Themethodhasbeenusedtocalculatetidalflowfieldandthecalculatedresultsareinclosewiththemeasurementofrealwaterlevelandtidalflowfield.Keyword:theFiniteAnalyticMethod(FAM),shallowwaterequation
(上接79页)
学)))主参数共振与内共振联合激励[J].振动工程学报,2004,(4).
[2] 杨晓东,陈立群.粘弹性变速运动梁稳定性的
直接多尺度分析[J].振动工程学报,2005,(18).
[3] 树学锋,王京,杨桂通.非线性粘弹性梁混沌运
动的多模态分析[J].太原理工大学学报,1998,29(1).
[4] 陈立群,陈昌钧.非线性粘弹性梁的动力学行
为[J].应用数学和力学,2000,21(9).
[5] PellicanoF,FregolentA,BertuzziA,VestroniF.
PrimaryandParametricnon-linearresonancesofapowertransmissionbelt.JournalofSoundandV-ibration,2001,244(4):669-684
[6] MarynowskiK,KaPitaniakT.Kelvin-Voigtver-susBuegersintemaldampinginmodelingofaxia-llymovingviscoelasticweb.InternationalJournalofNon-linearMechanics,2002,37:1147-1161
4 结语
通过对弦线的力学模型建立动力学方程,然后通过量纲齐次法对该动力学方程进行无量纲化处理,这样更方便处理各个物理量之间的关系,来
分析弦线面内横向振动动力学特性,使动力学模型研究的问题更好的应用于工程实践。1)通过上述无量纲化处理后的动力学方程中各项式子关于物理量L、M、T的幂次均一致,这样可以对动力学方程进行比较和相加减,进行相关的后续处理,包括摄动分析等。
2)通过对该动力学方程的研究分析,更好地研究弦线模型的振动问题,并研究在生产实践中对振动的控制问题。
参考文献:
[1] 冯志华,胡海岩.直线运动柔性梁非线性动力
DimensionalAnalysisofaxiallymovingstring
FANGuo-min,ZHENGXiao-hong
(NorthChinaInstitateofScienceandTechnology,YanjiaoBeijing-East 101601)
Abstract:Accordingtothegoverningequationofaxiallymovingstrings,introducethenon-dimemsionalvariablesandparame-ters,whereLisdisplace,Tistime.andMismass.Substitutingnon-dimensionalvairablesandparameterintogoverningEquationandtransformingtheresultingequationintothedimensionless,fromthiswecangetthedimensionlessgoverningequation.
Keyword:movingstrings;non-dimensionalvariablesandparameters;dimensionless
第3卷 第2期 华北科技学院学报 2006年6月
弦线振动动力学方程的无量纲处理
范国敏,郑笑红
(华北科技学院机电系,北京东燕郊 101601)
º
¹
摘 要:对已经建立的弦线振动动力学方程中各项进行量纲分析,确定各项关于基本物理量长度L、质量M、时间T的因次,对动力学方程两端进行因次处理,使各项式子基本量纲都有相同的幂次,即使方程达到无量纲化。
关键词:相似定理;数学模型;动力学方程;量纲分析
中图分类号:O321 文献标识码:A 文章编号:1672-7169(2006)02-0078-02
1 研究现代工程中振动问题的途径
现代工程的问题,往往是十分复杂的。如:动力传送带、磁带、带锯、运动纺织纤维、高楼升降机缆绳、悬挂缆车的运动索道等。忽略其弯曲刚度可以模型化为轴向运动弦线进行研究。
研究这些问题的途径有:
1)进行原型的观察与测量。这需要耗费大量的资金及时间,以及人力与设备。不仅如此,有时这种测量是无法做到的,例如在十二级台风中怎么到海上去测量船舶的缆绳振动?同时,原型的实测有时是不符需求的,例如建造一艘巨型的航空母舰,我们不能等建成之后才知道它的性能,很多产品必须在建成之前能预见它的性能。
2)数值模拟。随着计算机的发展,有很多实际问题可以通过数值模拟去了解它的结果,这是一个发展的趋向。例如用数值模拟方法得到的半圆柱绕流的过程、斜拉索大桥的振动问题等。
3)相似定理。即通过试验,使模型中的现象相似于原型中的现象,易于试验,降低成本。
目前,理论研究以数值模拟和相似定理为主,但必须先建立数学模型,然后建立方程,量纲分析(DimensionalAnalysis)是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法。它主要是利用物理量的量纲所提供的信息,来确定物理量之间的关系。
实际现象中总是同时参有许多物理量,它们之间通过理论和实验建立起一定的依存关系,构
¹º
[1]
成某一客观规律的数学关系式。这个关系式必须在单位尺度的主观任意变换下不受破坏,这一性
[2]
质称为关系式的/完整性0。
2 保证多项式关系的完整性的两种办法
1)要求出现在算式中的一切参量都是无量纲纯数。
2)要求式中所有各项具有完全相同的量纲,也就是每一项的每一基本量纲都有相同的幂次,即所谓量纲的齐次性。
[3]
所谓量纲齐次法是指作为一个数学模型或物理规律,其数学表达式的每一个加项的量纲必须是一致的或者每一项都是无量纲量。也就是说,当描述实际现象时只有量纲相同的项才有可能相
[4]
比较或相加减。
数学模型中的测量值通常都是以物理量的形式出现的。物理量中有一些称为基本的,它们相互独立并可以通过自然规律的各种定律构成其它的物理量。长度L、质量M、时间T等通常都作为基本物理量,速度、加速度和力等单位都可以通过定义或物理运动定律导出,因此称为导出的(衍生的)物理量。显然基本物理量的度量单位一旦被确定,衍生的物理量的度量单位也就被确定了。因此,物理量的度量体系是由基本物理量及其度量单位确定的。把选定的基本物理量及其度量单位称为一个单位制。现在通用的单位制是国际单位制(SI制),它由七个基本单位组成。如下表所示:
收稿日期:2006-03-04
作者简介:范国敏(1975- ),女,蒙古族,内蒙古赤峰人,大学毕业,华北科技学院机电系机械基础教研室讲师。
第2期 范国敏等:弦线振动动力学方程的无量纲处理
表1 国际单位制的基本量及其度量单位
物理量长度(L)时间(T)温度(K)物质的量(N)
单位米秒开尔文摩尔
符号msKmol
物理量质量(M)电流强度(I)光强(J)
单位千克安培坎德拉
符号kgAcd
分析(B)中因子的量纲:
-2-2#s,=kg#m-2#s-22的量纲kg#mT0T0
-3-1
-2-2
和量纲=kg#m#sT0sQc2-的量纲kg#m-1#s-2
AE的量纲kg#m-1#s-22
分析以上各项,若令各项的量纲相等,则应该使E和Qc2-分别除以L项,使得:2A
2Qc-和量纲kg#m-2#s-2,L
=kg#m-2#s-22L
使(B):
Qc2-22
2 22+2Qc+
T05t5xLT05t5x2
2=
2L5x22
其他物理量的单位将是这七个基本单位的复合。
3 弦线面内横向振动动力学方程的量纲
处理
根据数学模型建立弦线轴向振动的动力学方程为:
22 Q2+2Qc+
5T2=25X2
2Qc-A5X2
2
(A)
(C)
图1 弦线的数学模型
311 分析量纲
表2 各物理量意义
物 理 量长度(L)面积(A)密度(Q)轴向坐标(X)
符 号
mm2Kg/mm
3
物 理 量力(P)时间(T)轴向位移(U)弹性模量(E)
符 号kg#m#s-smkg#m-1#s-22
312 对自变量和变量作无量纲化处理
u=,x=,t=(T0待定)
LLT0式中,u,x,t为中间量,又
22=5x
22===0)T02==2=2
0)0)5TT205t并把上述中间量代入动力学方程(A)中得:+2Q c+T0T05t=
25x22
2
2
2
使得:T0
2
c2T2PT222cT0200 ++-L5t2L2QAL25x2
22
3ET20=(D)2QL5x对(D)进行简化:PT20令=1则QAL2
T0=(E)
P
cT0
令L=C则
C=(F)
LP
又有
2
3ET20=(G)=#P2P2QL2QL令(C)式两端同除
把(E)、(F)、(G)式代入(D)中,则可以得到无量纲化的动力学方程:
52u222
+2C+(C-1)2
5t25x
2=
2P5x22
Qc2-A5x(B)
2
(H)
(下转87页)
第2期 王青春:有限分析法在潮流计算中的应用及问题探讨
Finiteanalyticsolutionforshallowwaterequationandits
applicationinYangtzeRiverEstuary
WANGQing-chun
(Dept.ofFoundation,NorthChinaInstituteofScienceandTechnology)
Abstract:inthispaper,theFiniteAnalyticMethod(FAM)isappliedtosolvetheproblemofshallowwaterequationsandsim-ulatethetidalcurrentofYangtzeRiverEstuary.TheresultsshowthattheFAMhasthepropertyofautomaticup-wind.Mor-ever,itiseasytoobtainconvergentsolutionofstabilityandhighercalculationalaccuracy.Themethodhasbeenusedtocalculatetidalflowfieldandthecalculatedresultsareinclosewiththemeasurementofrealwaterlevelandtidalflowfield.Keyword:theFiniteAnalyticMethod(FAM),shallowwaterequation
(上接79页)
学)))主参数共振与内共振联合激励[J].振动工程学报,2004,(4).
[2] 杨晓东,陈立群.粘弹性变速运动梁稳定性的
直接多尺度分析[J].振动工程学报,2005,(18).
[3] 树学锋,王京,杨桂通.非线性粘弹性梁混沌运
动的多模态分析[J].太原理工大学学报,1998,29(1).
[4] 陈立群,陈昌钧.非线性粘弹性梁的动力学行
为[J].应用数学和力学,2000,21(9).
[5] PellicanoF,FregolentA,BertuzziA,VestroniF.
PrimaryandParametricnon-linearresonancesofapowertransmissionbelt.JournalofSoundandV-ibration,2001,244(4):669-684
[6] MarynowskiK,KaPitaniakT.Kelvin-Voigtver-susBuegersintemaldampinginmodelingofaxia-llymovingviscoelasticweb.InternationalJournalofNon-linearMechanics,2002,37:1147-1161
4 结语
通过对弦线的力学模型建立动力学方程,然后通过量纲齐次法对该动力学方程进行无量纲化处理,这样更方便处理各个物理量之间的关系,来
分析弦线面内横向振动动力学特性,使动力学模型研究的问题更好的应用于工程实践。1)通过上述无量纲化处理后的动力学方程中各项式子关于物理量L、M、T的幂次均一致,这样可以对动力学方程进行比较和相加减,进行相关的后续处理,包括摄动分析等。
2)通过对该动力学方程的研究分析,更好地研究弦线模型的振动问题,并研究在生产实践中对振动的控制问题。
参考文献:
[1] 冯志华,胡海岩.直线运动柔性梁非线性动力
DimensionalAnalysisofaxiallymovingstring
FANGuo-min,ZHENGXiao-hong
(NorthChinaInstitateofScienceandTechnology,YanjiaoBeijing-East 101601)
Abstract:Accordingtothegoverningequationofaxiallymovingstrings,introducethenon-dimemsionalvariablesandparame-ters,whereLisdisplace,Tistime.andMismass.Substitutingnon-dimensionalvairablesandparameterintogoverningEquationandtransformingtheresultingequationintothedimensionless,fromthiswecangetthedimensionlessgoverningequation.
Keyword:movingstrings;non-dimensionalvariablesandparameters;dimensionless