北京市朝阳区高三学习目标与检测(理)讲义复习第二章第二讲答案

2.2平面向量基本定理及向量的坐标表示

一、学习要求：

了解平面向量的基本定理及其意义．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

二、复习要点：

1a和b的夹角θ的范围是：. 当θ a与b垂直.

2．平面向量基本定理： 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且仅有一对实数λ1，λ2，使得ae1，e2叫做这一平面内所有向量的一组基底 ．

3．两个向量的正交分解： 把一个向量分解为分解. 4数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a = (x，y) .

5.平面向量的坐标运算：设a = (x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+ba-b-ya = (λx，λy) .

6.设非零向量a = (x1，y1)，b=(x2，y2)，则a与b共线三、课前热身：

1．已知A(3，5)，B(6，9)，则AB= （ B ）

(A)(-3，-4) (B)(3，4) (C)(9，14) (D)(18，40) 解：AB=(6-3，9-5)=(3，4) .故选B.

2．已知a = (2，3)，b =(x，-6)，若a∥b，则x等于 （ A ）

(A) -4 (B) 4 (C) 9 (D) -9

解：由2×(-6) -3x =0，得x = -4 . 故选A.

3．下列各组向量中，能作为其所在平面内基向量的是 （ C ）

(A) e1=(-3，5)，e2=(6，-10) (B) e1=(1，0)，e2=(-3，0)

(C) e1=(-3，2)，e2=(3，4) (D) e1=(0，0)，e2=(3，4)

解：C中向量满足(-3)×4-3×2= -12-6= -18≠0，即e1、e2是不共线向量，故选C.

4. 若a = (3，2)，b = (-1，1)，则2a -3b = (9，1) .

解：2a -3b =(2×3，2×2)+((-3)×(-1)，(-3)×1) =(6，4)+ (3，-3)=(9，1).

四、例题分析： 例1．已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，且CM=3CA，CN=2CB. 求点M，N

1

的坐标和MN. 解：由点A，B，C的坐标可以求出CA=(1，8)，CB= (6，3). 设M(x，y)，由CM=3CA得(x+3，y+4) = 3(1，8) = (3，24).

x33, x0, 由得 所以M(0，20). y424,y20.同理得N(9，2). 所以MN= (9-0，2-20) = (9，-18).

例2．（2006山东卷）设向量a = (1，-3)，b = (-2，4)，c = (-1，-2)，若表示向量4a，4b -2c，2(a -c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为 （ D ）

(A) (2，6) (B) (-2，6) (C) (2，-6) (D) (-2，-6) 分析：依条件得4a+(4b-2c)+2(a -c)+d = 0，即6a + 4b - 4c +d = 0.

所以d =-6a -4b +4c = (-6，18)+(8，-16)+(-4，-8) = (-2，-6).

故选D.

例3．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为A(-1，0)，B(1，-5) ，C (3，0)，试求第四个顶点D的坐标.

解法1：设点D的坐标为(x，y)，所以= (x+1，y)，BC= (2，5) . 因为AD∥BC，所以(x+1)×5-2y = 0，即5x -2y+5 = 0 . ① 同理CD= (x-3，y)，BA= (-2，5). 由∥，得(x-3)×5-(-2) y = 0，即5x +2y-15= 0 . ②

联立①、②解得x =1，y =5，即点D的坐标为(1，5) .

同理可求出点D的另外两个坐标为(5，-5)和(-3，-5) .

解法2：设坐标原点为O，平行四边形对角线的交点为E， 因为E是AC的中点，所以容易求出点E的坐标为(1，0)，及BE= (0，5) ， 所以BD=2BE= (0，10) . 所以OD=BD-BO=+OB= (0，10)+ (1，-5)= (1，5) .

即点D的坐标为(1，5) .

同理可求出点D的另外两个坐标为(5，-5)和(-3，-5) .

综上，点D的坐标可以是(1，5)，(5，-5)和(-3，-5) .

点评：应用向量解决此类几何问题时要全面理解题意，注意利用数形结合，分类讨论等思想方法，由此找到满足题意的所有点.

例4． 如图，在△ABC中，设= a， AC= b，AP C

的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，用a，b表示AP.

1解：AP=+=+CR R 2111B A =AC+(+BR)=AC++BQ 22411111 =AC+CB+(+AQ)=AC+CB++AP， 2424871111111所以AP=AC+CB+BA=AC+CA+AB+BA=AC+AB. 82422424

2

2424所以AP=+AC. 即a+b. 7777

点评: 本题的解法体现了使用平面向量基本定理时解决问题的基本方法，即在求解的过程中，不断将中间向量向基向量转化，最终达到用基向量表示指定向量的目的，这是化归与转化思想的重要体现.

＊ 例5（2006湖南）如图，OM∥AB，点P在由射线OM、

线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OPxOAyOB，则x的取值范围是 (-∞，0) ；当

131x时，y的取值范围是，. 222

分析：因为OP= xOA+ yOB=x(OB+BA)+yOB

=-xAB+(x+y)OB=-xOM+(x+y)OB，

依题意并结合图形易知-x>0，所以x

11当x=-时，OP= xOA+ yOB=-OA+ yOB 221= -(OB+BA)+yOB 21111=(y-)OB-BA=AB+(y-)OB 2222

113由条件及图形可知，0

13所以y的取值范围是(，) . 22

点评：将表示OP的基向量OA、OB替换为AB(即OM)，OB，则可以利用图形

确定OP与AB，OB的位置关系，从而确定表示OP的基向量的系数的范围，数形结合

的思想方法及对基向量系数的理解是解决问题的关键.

五、巩固练习：

1. 已知向量a = (2，3)，b = (-1，2)，若ma +b与 a -2b平行，则实数m等于（ B ）

(A) 11 (B) - (C) 2 (D) -2 22

1. 故选B. 2分析：因为ma +b = (2m-1，3m+2)，a -2b = (4，-1)， 依条件得 (2m-1)×(-1)-4×(3m+2) = 0. 解得m = -

2．已知向量a = (2，1)，b = (x，y)，2a -3b = (7，-7)，则b = ． 解：因为2a -3b = (4-3x，2-3y)=(7，-7)，所以4-3x=7，2-3y=-7. 解得b = (-1，3).

33. 已知A(2，1)，B(4，3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP| =|PB|，则点P的2

坐标为 (8，7) . 解：设点P的坐标为(x，y)，依条件得2AB=BP，所以2(2，2) = (x-4，y-3).

3

即(4，4) = (x-4，y-3). 解得b =(8，7).

4.△ABC中，BC= a，CA= b，AB= c，三边BC，CA，AB的中点依次为D，E，F，则AD+BE+CF0 . 1111解：因为AD=AB+BC= c +a，同理BE= a +b，CF=b+c， 222211所以AD+BE+CF=( a + b + c) =(-c + c)=0. 22

4

2.2平面向量基本定理及向量的坐标表示

一、学习要求：

了解平面向量的基本定理及其意义．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

二、复习要点：

1a和b的夹角θ的范围是：. 当θ a与b垂直.

2．平面向量基本定理： 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且仅有一对实数λ1，λ2，使得ae1，e2叫做这一平面内所有向量的一组基底 ．

3．两个向量的正交分解： 把一个向量分解为分解. 4数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a = (x，y) .

5.平面向量的坐标运算：设a = (x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+ba-b-ya = (λx，λy) .

6.设非零向量a = (x1，y1)，b=(x2，y2)，则a与b共线三、课前热身：

1．已知A(3，5)，B(6，9)，则AB= （ B ）

(A)(-3，-4) (B)(3，4) (C)(9，14) (D)(18，40) 解：AB=(6-3，9-5)=(3，4) .故选B.

2．已知a = (2，3)，b =(x，-6)，若a∥b，则x等于 （ A ）

(A) -4 (B) 4 (C) 9 (D) -9

解：由2×(-6) -3x =0，得x = -4 . 故选A.

3．下列各组向量中，能作为其所在平面内基向量的是 （ C ）

(A) e1=(-3，5)，e2=(6，-10) (B) e1=(1，0)，e2=(-3，0)

(C) e1=(-3，2)，e2=(3，4) (D) e1=(0，0)，e2=(3，4)

解：C中向量满足(-3)×4-3×2= -12-6= -18≠0，即e1、e2是不共线向量，故选C.

4. 若a = (3，2)，b = (-1，1)，则2a -3b = (9，1) .

解：2a -3b =(2×3，2×2)+((-3)×(-1)，(-3)×1) =(6，4)+ (3，-3)=(9，1).

四、例题分析： 例1．已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，且CM=3CA，CN=2CB. 求点M，N

1

的坐标和MN. 解：由点A，B，C的坐标可以求出CA=(1，8)，CB= (6，3). 设M(x，y)，由CM=3CA得(x+3，y+4) = 3(1，8) = (3，24).

x33, x0, 由得 所以M(0，20). y424,y20.同理得N(9，2). 所以MN= (9-0，2-20) = (9，-18).

例2．（2006山东卷）设向量a = (1，-3)，b = (-2，4)，c = (-1，-2)，若表示向量4a，4b -2c，2(a -c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为 （ D ）

(A) (2，6) (B) (-2，6) (C) (2，-6) (D) (-2，-6) 分析：依条件得4a+(4b-2c)+2(a -c)+d = 0，即6a + 4b - 4c +d = 0.

所以d =-6a -4b +4c = (-6，18)+(8，-16)+(-4，-8) = (-2，-6).

故选D.

例3．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为A(-1，0)，B(1，-5) ，C (3，0)，试求第四个顶点D的坐标.

解法1：设点D的坐标为(x，y)，所以= (x+1，y)，BC= (2，5) . 因为AD∥BC，所以(x+1)×5-2y = 0，即5x -2y+5 = 0 . ① 同理CD= (x-3，y)，BA= (-2，5). 由∥，得(x-3)×5-(-2) y = 0，即5x +2y-15= 0 . ②

联立①、②解得x =1，y =5，即点D的坐标为(1，5) .

同理可求出点D的另外两个坐标为(5，-5)和(-3，-5) .

解法2：设坐标原点为O，平行四边形对角线的交点为E， 因为E是AC的中点，所以容易求出点E的坐标为(1，0)，及BE= (0，5) ， 所以BD=2BE= (0，10) . 所以OD=BD-BO=+OB= (0，10)+ (1，-5)= (1，5) .

即点D的坐标为(1，5) .

同理可求出点D的另外两个坐标为(5，-5)和(-3，-5) .

综上，点D的坐标可以是(1，5)，(5，-5)和(-3，-5) .

点评：应用向量解决此类几何问题时要全面理解题意，注意利用数形结合，分类讨论等思想方法，由此找到满足题意的所有点.

例4． 如图，在△ABC中，设= a， AC= b，AP C

的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，用a，b表示AP.

1解：AP=+=+CR R 2111B A =AC+(+BR)=AC++BQ 22411111 =AC+CB+(+AQ)=AC+CB++AP， 2424871111111所以AP=AC+CB+BA=AC+CA+AB+BA=AC+AB. 82422424

2

2424所以AP=+AC. 即a+b. 7777

点评: 本题的解法体现了使用平面向量基本定理时解决问题的基本方法，即在求解的过程中，不断将中间向量向基向量转化，最终达到用基向量表示指定向量的目的，这是化归与转化思想的重要体现.

＊ 例5（2006湖南）如图，OM∥AB，点P在由射线OM、

线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OPxOAyOB，则x的取值范围是 (-∞，0) ；当

131x时，y的取值范围是，. 222

分析：因为OP= xOA+ yOB=x(OB+BA)+yOB

=-xAB+(x+y)OB=-xOM+(x+y)OB，

依题意并结合图形易知-x>0，所以x

11当x=-时，OP= xOA+ yOB=-OA+ yOB 221= -(OB+BA)+yOB 21111=(y-)OB-BA=AB+(y-)OB 2222

113由条件及图形可知，0

13所以y的取值范围是(，) . 22

点评：将表示OP的基向量OA、OB替换为AB(即OM)，OB，则可以利用图形

确定OP与AB，OB的位置关系，从而确定表示OP的基向量的系数的范围，数形结合

的思想方法及对基向量系数的理解是解决问题的关键.

五、巩固练习：

1. 已知向量a = (2，3)，b = (-1，2)，若ma +b与 a -2b平行，则实数m等于（ B ）

(A) 11 (B) - (C) 2 (D) -2 22

1. 故选B. 2分析：因为ma +b = (2m-1，3m+2)，a -2b = (4，-1)， 依条件得 (2m-1)×(-1)-4×(3m+2) = 0. 解得m = -

2．已知向量a = (2，1)，b = (x，y)，2a -3b = (7，-7)，则b = ． 解：因为2a -3b = (4-3x，2-3y)=(7，-7)，所以4-3x=7，2-3y=-7. 解得b = (-1，3).

33. 已知A(2，1)，B(4，3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP| =|PB|，则点P的2

坐标为 (8，7) . 解：设点P的坐标为(x，y)，依条件得2AB=BP，所以2(2，2) = (x-4，y-3).

3

即(4，4) = (x-4，y-3). 解得b =(8，7).

4.△ABC中，BC= a，CA= b，AB= c，三边BC，CA，AB的中点依次为D，E，F，则AD+BE+CF0 . 1111解：因为AD=AB+BC= c +a，同理BE= a +b，CF=b+c， 222211所以AD+BE+CF=( a + b + c) =(-c + c)=0. 22

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