圆中常用辅助线的添法
圆是初中数学重点内容，属中考必考内容，中考中有关圆的问题，大部分需添辅助线解之，那么圆问题中常用的辅助线有哪些呢？现就圆中常用辅助线的添法作一归纳，以期对同学们的学习有所帮助．
一、 作弦心距.
在解决有关弦的问题时，常常作弦心距，以利用垂经定理或圆心角、弦、弦心距之间的关系定理及推论.
例1. 如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于P 点，弦PN 与AB 相交于点M ，
求证：PM •PN=2PO2.
分析：要证明PM •PN=2PO2，即证明
PM •PC =PO2，
过O 点作OC ⊥PN 于C ，根据垂经定理
NC=PC，只需证明
PM •PC=PO2，要证明PM •PC=PO2只需证明Rt △POC ∽Rt △PMO.
证明: 过圆心O 作OC ⊥PN 于C ，∴PC= 1PN 2
∵PO ⊥AB, OC⊥PN ，∴∠MOP=∠OCP=90°. 又∵∠OPC=∠MPO ，∴Rt △POC ∽Rt △PMO. PO ∴PM
PC PO 即∴PO 2= PM •PC. ∴PO 2= PM •1PN ，∴PM •2
PN=2PO2.
二、 作直径所对的圆周角
在解决有关直径的问题时，常常作直径所对的圆周角，以利用直径所对的圆周角是直角的性质。
例2 如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N ．
（1） 求证：BA ·BM=BC·BN ；
（2） 如果CM 是⊙O 的切线，N 为OC 的中点，当AC=3
时，求AB 的值．
分析：要证BA ·BM=BC·BN ，需证△ACB ∽△NMB ，而∠C=90°，所以需要△NMB 中有个直角，而BN 是圆O 的直径，所以连结MN 可得∠BMN=90°。
（1） 证明：连结MN ，则∠BMN=90°=∠ACB
∴△ACB ∽△NMB BC AB ∴ ∴AB ·BM=BC·BN
（2） 解：连结OM ，则∠OMC=90
∵N 为OC 中点
∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°
∵OM=OB，∴∠B=∠MON=30°
∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6
三、连结半径
圆的半径是圆的重要元素，圆中的许多性质如：“同圆的半径相等”和“圆的切线垂直于过切点的半径”等都与圆的半径有关，连结半径是常用的方法之一.
例3．已知：如图，△ABC 中，∠B=90°，O 是AB 上一点，以O 为圆心，以OB 为半径的圆切AC 于D 点，交AB 与E 点，AD=2，AE=1.
求CD 的长.
分析：D 为切点，连结DO ，则∠ODA=90°. 根据切线长定理，有CD=CB.DO=EO=半径r ，在Rt △ADO 中根据勾股定理或Rt △ADO~ Rt△ABC ，即可求出CD.
证明: 连结DO ∴OD ⊥AC 于D, ∴∠ODA =90°.
∵AB 过O 点, ∠B=90°. ∴BC 为⊙O 的切线, ∴CD=CB 设CD=CB=x,DO=EO=y
在Rt △ADO 中，AO 2 =AD2+ DO2，AD=2，AE=1
∴(1+y ) 2=2+y 22, 解得 y= 3 2
在Rt △ABC 中，AC 2 =AB2+ BC2，即(2+x)2=(1+ y + y)2+x2, ∴x=3 ∴CD=3.
四、切线判定分两种：公共点未知作垂线、公共点已知作半径 切线的判定定理是：“经过半径的外端, 并且垂直于这条半径的
直线是圆的切线. ”，就是说，要判定一条直线是否是切线，应同时满足这样的两条：（1）直线经过半径的外端，（2）直线垂直于这条半径，所以, 在证明直线是切线时, 往往需要通过作恰当的辅助线, 才能顺利地解决问题. 下面是添辅助线的小规律.
1．无点作垂线
需证明的切线，条件中未告之与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径. 例7．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AD ⊥AB 于A ， BC ⊥AB 于B ，若∠DOC= 90°.
求证：DC 是⊙O 的切线.
分析：DC 与⊙O 没有交点，“无点作垂线”，过圆心O 作OE ⊥DC ，只需证OE 等于圆的半径. 因为AO 为半径，若能证OE=OA即可. 而OE 、OA 在△DEO 、△DAO 中，需证明△DEO ≌△DAO
证明：作OE ⊥DC 于E 点，
取DC 的中点F ，连结OF.
又∵∠DOC= 90°.
∴ FO=FD ∴∠1=∠3.
∵AD ⊥AB ，BC ⊥AB, ∴BC ∥
AD, ∴OF 为梯形的中位线.
∴OF ∥AD . ∴ ∠2=∠3. ∴∠1=∠2.
∴DO 是∠ADE 的角平分线. ∵OA ⊥DA ，OE ⊥DC ， ∴OA=OE=圆的半径. ∴ DC 是⊙O 的切线.
2．有点连圆心.
当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理，只要将该点与圆心连结，再证明该半径与直线垂直.
例8．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，求证：CD 是⊙O 的切线.
分析：D 在⊙O 上，有点连圆心，连结DO ，证明DO ⊥DC 即可.
证明：连结DO ，∵OC ∥AD
∴∠DAO=∠COB ，∠ADO=∠DOC
而∠DAO=∠ADO ∴∠DOC=∠COB ，
又OC=OC，DO=BO ∴△DOC ≌△
BOC
∴∠ODC=∠OBC ， ∵BC 为⊙O 的切
线，切点为B
∴∠OBC=90°， ∴∠ODC=90°，又D 在⊙O 上， ∴CD 是⊙O 的切线.
我们可以把圆中常用辅助线的规律总结为如下歌诀：
弦与弦心距，密切紧相连；直径对直角，圆心作半径；“有点连圆心，无点作垂线. ”切线证明法，规律记心间.
圆中常用辅助线的添法
圆是初中数学重点内容，属中考必考内容，中考中有关圆的问题，大部分需添辅助线解之，那么圆问题中常用的辅助线有哪些呢？现就圆中常用辅助线的添法作一归纳，以期对同学们的学习有所帮助．
一、 作弦心距.
在解决有关弦的问题时，常常作弦心距，以利用垂经定理或圆心角、弦、弦心距之间的关系定理及推论.
例1. 如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于P 点，弦PN 与AB 相交于点M ，
求证：PM •PN=2PO2.
分析：要证明PM •PN=2PO2，即证明
PM •PC =PO2，
过O 点作OC ⊥PN 于C ，根据垂经定理
NC=PC，只需证明
PM •PC=PO2，要证明PM •PC=PO2只需证明Rt △POC ∽Rt △PMO.
证明: 过圆心O 作OC ⊥PN 于C ，∴PC= 1PN 2
∵PO ⊥AB, OC⊥PN ，∴∠MOP=∠OCP=90°. 又∵∠OPC=∠MPO ，∴Rt △POC ∽Rt △PMO. PO ∴PM
PC PO 即∴PO 2= PM •PC. ∴PO 2= PM •1PN ，∴PM •2
PN=2PO2.
二、 作直径所对的圆周角
在解决有关直径的问题时，常常作直径所对的圆周角，以利用直径所对的圆周角是直角的性质。
例2 如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N ．
（1） 求证：BA ·BM=BC·BN ；
（2） 如果CM 是⊙O 的切线，N 为OC 的中点，当AC=3
时，求AB 的值．
分析：要证BA ·BM=BC·BN ，需证△ACB ∽△NMB ，而∠C=90°，所以需要△NMB 中有个直角，而BN 是圆O 的直径，所以连结MN 可得∠BMN=90°。
（1） 证明：连结MN ，则∠BMN=90°=∠ACB
∴△ACB ∽△NMB BC AB ∴ ∴AB ·BM=BC·BN
（2） 解：连结OM ，则∠OMC=90
∵N 为OC 中点
∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°
∵OM=OB，∴∠B=∠MON=30°
∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6
三、连结半径
圆的半径是圆的重要元素，圆中的许多性质如：“同圆的半径相等”和“圆的切线垂直于过切点的半径”等都与圆的半径有关，连结半径是常用的方法之一.
例3．已知：如图，△ABC 中，∠B=90°，O 是AB 上一点，以O 为圆心，以OB 为半径的圆切AC 于D 点，交AB 与E 点，AD=2，AE=1.
求CD 的长.
分析：D 为切点，连结DO ，则∠ODA=90°. 根据切线长定理，有CD=CB.DO=EO=半径r ，在Rt △ADO 中根据勾股定理或Rt △ADO~ Rt△ABC ，即可求出CD.
证明: 连结DO ∴OD ⊥AC 于D, ∴∠ODA =90°.
∵AB 过O 点, ∠B=90°. ∴BC 为⊙O 的切线, ∴CD=CB 设CD=CB=x,DO=EO=y
在Rt △ADO 中，AO 2 =AD2+ DO2，AD=2，AE=1
∴(1+y ) 2=2+y 22, 解得 y= 3 2
在Rt △ABC 中，AC 2 =AB2+ BC2，即(2+x)2=(1+ y + y)2+x2, ∴x=3 ∴CD=3.
四、切线判定分两种：公共点未知作垂线、公共点已知作半径 切线的判定定理是：“经过半径的外端, 并且垂直于这条半径的
直线是圆的切线. ”，就是说，要判定一条直线是否是切线，应同时满足这样的两条：（1）直线经过半径的外端，（2）直线垂直于这条半径，所以, 在证明直线是切线时, 往往需要通过作恰当的辅助线, 才能顺利地解决问题. 下面是添辅助线的小规律.
1．无点作垂线
需证明的切线，条件中未告之与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径. 例7．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AD ⊥AB 于A ， BC ⊥AB 于B ，若∠DOC= 90°.
求证：DC 是⊙O 的切线.
分析：DC 与⊙O 没有交点，“无点作垂线”，过圆心O 作OE ⊥DC ，只需证OE 等于圆的半径. 因为AO 为半径，若能证OE=OA即可. 而OE 、OA 在△DEO 、△DAO 中，需证明△DEO ≌△DAO
证明：作OE ⊥DC 于E 点，
取DC 的中点F ，连结OF.
又∵∠DOC= 90°.
∴ FO=FD ∴∠1=∠3.
∵AD ⊥AB ，BC ⊥AB, ∴BC ∥
AD, ∴OF 为梯形的中位线.
∴OF ∥AD . ∴ ∠2=∠3. ∴∠1=∠2.
∴DO 是∠ADE 的角平分线. ∵OA ⊥DA ，OE ⊥DC ， ∴OA=OE=圆的半径. ∴ DC 是⊙O 的切线.
2．有点连圆心.
当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理，只要将该点与圆心连结，再证明该半径与直线垂直.
例8．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，求证：CD 是⊙O 的切线.
分析：D 在⊙O 上，有点连圆心，连结DO ，证明DO ⊥DC 即可.
证明：连结DO ，∵OC ∥AD
∴∠DAO=∠COB ，∠ADO=∠DOC
而∠DAO=∠ADO ∴∠DOC=∠COB ，
又OC=OC，DO=BO ∴△DOC ≌△
BOC
∴∠ODC=∠OBC ， ∵BC 为⊙O 的切
线，切点为B
∴∠OBC=90°， ∴∠ODC=90°，又D 在⊙O 上， ∴CD 是⊙O 的切线.
我们可以把圆中常用辅助线的规律总结为如下歌诀：
弦与弦心距，密切紧相连；直径对直角，圆心作半径；“有点连圆心，无点作垂线. ”切线证明法，规律记心间.