浅谈一元函数极限的求解方法
专业名称：班 级：学生姓名：指导教师： 完成时间：
目录
内容摘要 ........................................................... 3 关键词 ............................................................. 3 Abstract ........................................................... 3 Key Words .......................................................... 3 0 引 言 .......................................................... 4 1 一元函数极限的基本概念 .......................................... 4
1.1一元函数极限的定义........................................... 4 1.2 一元函数极限的性质 .......................................... 5 2 求一元函数极限极限的方法 ......................................... 5
2.1 利用定义求极限 .............................................. 5 2.2 利用单侧极限求极限 .......................................... 7 2.3 利用双侧极限 ................................................ 7 2.4利用迫敛性定理求极限......................................... 8 2.5 利用两个重要极限 ........................................... 8 2.6 利用函数极限的四则运算求极限 ................................ 9 2.7 利用洛必达法则 ............................................ 10 2.8 用单调有界原理求极限 ....................................... 12 2.9 利用柯西准则求极限 ......................................... 12 2.10 利用等价无穷小量代替求极限 ................................ 13 2.11 利用函数连续性求极限 ...................................... 14 2.12 用导数定义求极限 .......................................... 14 2.13利用中值定理求极限......................................... 15 结束语 ............................................................ 17 参考文献 .......................................................... 17 致谢 .............................................................. 19
内容摘要：本文简单介绍了一元函数极限的基本概念及其性质并系统地介绍了利用定义、两个重要极限、无穷小量、泰勒公式、洛必达法则、迫敛法则、四则运算法则、双侧极限、综合方法等9种常用求一元函数极限的方法, 并结合实际问题对各个方法进行了详细的举例说明. 关键词：极限; 方法; 函数; 泰勒公式
Abstract: This paper briefly introduces the basic concept of limit of binary and its properties are introduced in a systematic way using the definition, two important limits, infinitesimal, Taylor formula, L ’Hospital Rule, forced convergence rule, four arithmetic operations, bilateral limit, the synthetic method of nine kinds of commonly used for a limit of binary function method, and the combined with the practical problems of various methods were detailed examples. Key Words: limit; method; function; Taylor formula
0 引 言
高等数学是以函数为研究对象, 以极限理论和极限方法为基本方法, 以微积分学为主要内容的一门学科, 极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位. 高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化, 如连续、导数、微积分等等都是由极限定义的, 离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价值, 因此极限运算是高等数学的基本运算. 由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限定义本身去求极限, 又由于极限运算分布于整个高等数学的始终, 许多重要的概念是由极限定义的. 极限知识是研究导数、各种积分、级数等的基本工具. 反过来, 我们也可以利用这些概念来求一些极限, 所以运算方法繁多. 针对这种情况, 本文通过立体归纳总结出了如下常见的求极限的方法.
1 一元函数极限的基本概念
1.1一元函数极限的定义
(1) 函数f (x ) 在点x =a 的空心邻域U （a ) 有定义, A 是一个确定的数, 若
对∀ε>0, 存在δ>0, 使得当0x -a
x →a
(2) 函数f (x ) 是U (+∞) (或U (-∞) 或U (∞) ) 上的函数, A 是一个确定的数, 若∀ε>0, 总存在M >0, 使得当x >M （或x M ）时, 都有
f (x ) -A
限, 记为lim f (x ) =A （或lim f (x ) =A 或lim f (x ) =A .
x →+∞
x →-∞x →∞
00
(a , δ' ) （或U -(a , δ' ) ）(3) 若函数f (x ) 在U +内有定义, A 是一个确定的常数,
若∀ε>0, 总存在δ>0, 使当a A (或lim -f (x ) =A ). 有时也记作f (a +0) =lim +f (x ) 或记作l i +m f x (=)
x →a
x →a
x →a
f (a -0) =lim -f (x ) .
x →a
1.2 一元函数极限的性质
(1) 唯一性 若lim f (x ) 存在, 则它只有一个极限.
x →a
(2) 局部有界性 若lim f (x ) 存在, 则f (x ) 在a 的某个空心邻域U 0(a ) 内有
x →a
界.
(3) 局部保号性 若lim f (x ) =A >0(或x →a
存在
a 的某一空心邻域U 0(a ) , 使对∀x ∈U 0(a ) , 恒有f (x ) >r >0或f (x )
(4) 保不等式性 若lim f (x ) =A , lim g (x ) =B , 且有δ' >0, f (x ) ≤g (x ) ,
x →a
x →a
∀x ∈U 0(a , δ' ) 成立, 则A ≤B , 即lim f (x ) ≤lim g (x ) .
x →a
x →a
(5) 迫敛性 若lim f (x ) =lim g (x ) =A , 且有δ' >0, f (x ) ≤h (x ) ≤g (x ) ,
x →a
x →a
∀x ∈U (a , δ' ) , 则lim h (x ) =A .
x →a
2 求一元函数极限极限的方法
2.1 利用定义求极限
定义2.1.1 设f 在点x =a 的空心邻域U (a )有定义,A 为定数。若对于
任给的ε>0, 存在δ>0, 使得当0
lim f (x )=A 或f (x )→A (x →a ).
x →a
定义2.1.2 设f 为定义在[a,+∞) 上的函数,A 为定值, 若对任给正数ε, 存
在正数M(≥a) , 使得当x ﹥M 时有|f (x )-A|
x →∞
x 趋向于-∞时的函数极限的定义与定义2.1.2相似, 只要把定义中的x >M改为x
x 2-3x +2
例 1 用极限定义证明：lim =1.
x →2x -2
证：由
x 2-3x +2x 2-4x +4
-1=
x -2x -2
2
(x -2) =
x -2
=x -2.
∀ε>0, 取δ=ε 则当0
-
x -2
2
由函数极限ε-δ定义有 lim x -3x +2=1.
x →2x -2
例 2 按定义证明lim 证：由 令
1
=0. n →∞n !
111=≤ n ! n (n -1)(n -2) ⋅⋅⋅1n
11
即可, n ε
⎡1⎤
存在N =⎢⎥, 当n >N 时, 不等式
⎣ε⎦
111=≤
成立, 所以lim
1
=0. n →∞n !
2.2 利用单侧极限求极限
这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限, 首先必须考虑分段点的左、右极限如果左、右极限都存在且相等, 则函数在分界点处的极限存在, 否则极限不存在
定理2.2.1 函数极限lim f (x )存在且等于A 的充分必要条件是左极限
x →x ο
x →x ο
f (x )都存在且都等于A. 即有 lim -f (x ) 及右极限x lim →x +
ο
x →x ο
lim f (x )= A ⇔lim f (x )=lim +f (x )=A.
-
x →x ο
x →x ο
⎧1+x , x >0
例 3 f (x )=⎨ 求f (x )在x =0的极限。
2
⎩1+x , x ≤0
解： lim -1+x 2=1, lim +1+x =1，
x →0
x →0
∴f (x )在x =0的极限存在， 即 lim f (x )=1.
x →0
2.3 利用双侧极限
这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限, 首先必须考虑分段点的左、右极限, 如果左、右极限都存在且相等, 则函数在分界点处的极限存在, 否则极限不存在.
1⎧
x sin , x >0⎪
例4 设f (x ) =⎨, 求f (x ) 在x =0的极限 x
⎪1+x 2, x ≤0⎩
解 由于lim x sin +
x →0
1
=1 lim -1+x 2=1
x →0x
则
x →0+
lim f (x ) =lim f (x ) =1-
x →0
故 lim x →0
f (x ) =1
。
⎧
⎪1-cos x ⎪x 2, x
⎨5, x =0求lim ⎪x →0
f (x ) .
⎪⎪
⎰x
2
0cos t dt
⎩
x , x >0解 f (0-0) =lim f (x 1-cos x x →0
-) =lim x →0
-
x 2
=1
2
x
f (0+0) =lim ⎰
cos t 2dt x →0
+f (x ) =lim x →0
+
x
=1
因f (0-0) ≠f (0+0) , 所以lim x →0
f (x ) 不存在.
2.4利用迫敛性定理求极限
定理
2.4
设lim x →x f (x ) =lim x →x g (x ) =A , 且在某0
f (x ) ≤h (x ) ≤g (x ) ,
则lim x →x h (x ) =A .
例6 求lim x →0-
x ⎡⎢1⎤
⎣x ⎥⎦
的极限. 解 1≤x ⎡⎢1⎤
⎣x ⎥⎦
-x ) =1 由迫敛性知 lim ⎡1x →0-
x ⎢⎤
⎣x ⎥⎦
=1. 2.5 利用两个重要极限
两个重要极限公式： (1) lim
sin x x →0x =lim x →∞x sin 1
x
=1
(2) lim(111
x
x →∞+x
) =lim(1x →0+x ) x =e
U o (x 0, δ' ) 内
在这一类型题中, 一般也不能直接运用公式, 需要恒等变形进行化简后才可以利用公式.
(1) 利用lim
lim
sin x
=1来求极限
x →0x
sin x
=1的扩展形为：令g (x )→0, 当x →x 0或x →∞时, 则有
x →0x
lim
sin g (x ) sin g x →x =1或lim (x )
=1.
0g (x ) x →∞g (x ) 例7 求lim
sin x x →ππ-x
.
解 令t =π-x , 则sin x =sin(π-t ) =sin t , 且当x →π时t →0 故
lim
sin x sin t
x →ππ-x =lim t →0t
=1.
(2) 利用lim(11
x →∞+x
) x =e 来求极限
lim(1x →∞+11x ) x =e 的另一种形式为lim(1∂→0+∂) ∂=e . 事实上, 令α=1
x .
x →∞⇔α→0. 所以e =lim(111x
∂
x →∞+x
) =lim(1∂→0+∂) =e .
1
例8 求lim(1+2x ) x
x →0
的极限.
解 原式=lim ⎡11
x →0
⎢(1+2x ) 2x ⋅(1+2x ) 2x ⎤
⎣⎥=e 2⎦
.
2.6 利用函数极限的四则运算求极限
定理
2.6.1 若极限x lim →x f (x )和lim g (x )都存在，ο
x →x ο
f (x )±g (x ), f (x ). g (x )当x →x ο时也存在, 且
(1) x lim →x [f (x )±g (x )]=lim f (x )±x lim →x g (x )；
ο
x →x ο
ο
(2) 若x lim →x [f (x )⋅g (x )]=lim f (x )⋅lim g (x )：
ο
x →x ο
x →x ο
则函数
(3) 若lim g (x )≠0，则
x →x ο
f (x )在x →x ο时极限也存在，且有g x lim f (x )f (x )x →x
. lim =ο
x →x οg x lim g x x →x ο
x 3-2x 2-4x +8例 9 求lim . 32x →2x -3x +4
解：由于x →2时，x 3-2x 2-4x +8→0，x 3-3x 2+4→0，
故无法直接用四则运算, 应先化简原函数 ，
x 3-2x 2-4x +8 原式=lim 32x →2x -3x +4
x 2(x -2)-4(x -2)
=lim x →2x 3-2x 2-x 2-4
=lim
(x -2)(x -2)(x +2) x →2x -2x -2x +1=lim
(x +2) x →2x +1=
4 . 3
.
2.7 利用洛必达法则
法则一：0型
(1) lim f (x ) =lim g (x ) =0;
x →x 0
x →x 0
(2) 在点x 0的某空心领域U 0(x 0) 内两者都可导且g ' (x ) ≠0; (3) lim
f (x ) g (x )
=A (A 可为实数也可为±∞或∞) 则lim
x
12
f (x ) g (x )
x →x 0x →x 0
=lim
f ' (x ) g ' (x )
x →x 0
=A .
例 10 求lim
e -(1-2x )
. 2x →0ln(1+x )
解 利用ln(1+x 2) ~x 2(x→0) 得
lim
e -(1-2x ) e -(1-2x ) e -(1-2x )
lim lim ==x →0x →0x →0x 22x ln(1+x 2)
x
-
x
12
x
12
x
-
12
e -(1-2x )
2 =x →0
lim
∞
法则二：∞型
32
=
2=12.
(1) lim f (x ) =lim g (x ) =∞;
x →x 0
x →x 0
(2) 在点x 0的某右领域u +0（x 0）内两者都可导且g ' (x ) ≠0; (3)
f (x ) g (x )
x →x +0
lim
f ' (x ) g (x )
f ' (x ) g ' (x )
'
=A (A 可为实数也可为±∞或∞) 则
x →x +0
lim
=lim +
x →x
=A .
例 11 求lim
ln x
.
x →+∞x
解：原式= lim
(lnx ) '1
=lim =0.
x →+∞(x ) 'x →+∞x
其它类型不定式极限
不定式极限还有0⋅∞, 1∞, 00, ∞0, ∞-∞等类型. 这些类型经过简单的变换, 都可以化为
0∞
型和型的不定式极限. 0∞
x →0
x ln x . 例12 求lim +
解 这是一个1∞型的不定式极限, 作恒等变形x ln x =
ln x ∞
, 将它转化为型1∞x
的不定式极限, 并用洛比达法则得到
1
ln x =lim(-x ) =0lim x ln x =lim =lim +++. x →0x →01x →01x →0+
-2
x x
2.8 用单调有界原理求极限
ο
定理2.8.1 设f 为定义在U +(x ο)上的单调有界函数, 则右极限lim +f (x )存
x →x ο
在.
+
, x →±∞时，有相应的单侧极限在其定义域内，上述定理亦存在。当x →x ο
在运用此定理时, 先确定定义域, 再证明其单调性, 然后就求极限.
2
+2x n ,求lim x n . 例 13 设0
n →∞
解：因为
x n +1
=-x n +2，0
n →∞
所以x n +1>x n 即{x n }单调增加，根据有界性显然lim x n 存在.
2
+2x n ，0
n →∞
a =-a 2+2a ，
解之得 a =1, a =0(舍去) ， 因此 lim x n =1.
n →∞
2.9 利用柯西准则求极限
设函数f 在U ο(x ο, δ')内有定义, lim f (x )存在的充要条件是：任给ε>0,
x →x ο
存在正数δ
f (x ')-f (x '')
从定义出发, 一般用于反正法, 函数列中用的多, 主要找准x ', x '', 然后作出
f (x ')-f (x '')的差.
例 14 求极限lim sin x .
x →∞
解 :取εο=
1
>0, 对任给M>0,记n=[M]+1> M， 2
存在
1⎫⎛
x 1=- n +⎪π
， 2⎭⎝
使得
sin x 1-sin x 2=1>
1
=εο, 2
x →∞
则由柯西准则可知lim sin x 不存在.
2.10 利用等价无穷小量代替求极限
所谓等价无穷小量即当x →x ο时, f (x )与g (x )均为无穷小量, 若lim 称f (x )与g (x )是x →x ο时的等价无穷小量, 记作
f (x )～g (x )(x →x ο).
定理:设函数f (x ), g (x ), h (x )在u ︒(x ︒)内有定义, 且有f (x )~g (x )(x →x ︒)， 若 lim f (x )h (x )=A ，则lim g (x )h (x )=A ；
x →x
︒
x →x ο
f (x )=1g x x →x ︒
若lim
x →x ︒
h (x )h (x )=B ，则lim =B .
x →x ︒g x f x 由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限.
tan x -sin x
例 15 求 x →0sin x 3的极限.
lim
解：由
tan x -sin x =
sin x
(1-cos x )
， cos x
而 sin x ~x (x →0)；
x 2
1-cos x ~(x →0)；sin x 3~x 3(x →0)；
2
x 2x ⋅
tan x -sin x 1=1 . 故有lim =lim ⋅x →0x →0cos x sin x 3x 32
2.11 利用函数连续性求极限
定理2.11.1 若函数f 在x ο点处连续, 则f 在点x ο有极限, 且极限值等于函数值f (x ). 设复合函数y =f [ψ(x )]是由函数y =f (u ), u =ψ(x ), 复合形成的, 并且
x →x ο
lim ψ(x )=a , lim f (u )=f (a ), 则y =f [ψ(x )]在x →x ο处的极限存在且
u →a
ψ(x )]=f lim ψ(x )=f (a ). lim f [
x →x ο
x →x ο
[]
a x -1 例 16 求 lim .
x →0x
解：令a x -1=y ，则x =log a (1+y )，当x →0时，y →0, 于是有
a x -1
lim
x →0x
=lim
y
y →0log a 1+y =lim
11
log a (1+y )y
1log a (1+y )
1y
y →0
=lim
y →0
=
1
1
⎡lim ⎢log a (1+y )y ⎤⎥y →0⎣⎦
=
1
log a e
=ln a .
2.12 用导数定义求极限
导数的定义：函数f (x )在x ο附近有定义，∀∆x 则∆y =f (x ο+∆x )-f (x ο)，
如果
lim
f (x ο+∆x )-f (x ο)∆y
=lim
∆x →0∆x ∆x →0∆x
存在, 则此极限值就称函数f (x )在点x ο 的导数记为f '(x ο)，即 f '(x )=lim f (x ο+∆x )-f (x ο) . ο
∆x →0∆x
在这种方法的运用过程中, 首先要选好f (x ), 然后把所求极限, 表示成f (x )在定点x ο的导数.
ln (x +1)例 17 求 x →0. x
ln (x +1)lim
解： x →0 x
ln (x +1)-ln 1
=lim
x →0x
'
=ln (1+x )x =0
lim
=
1x +1
x =0
=1.
2.13利用中值定理求极限
2.13.1 利用微分中值定理
Lagrange 中值定理 若函数f (x )满足：（1）在[a , b ]连续： （2）在(a , b )可导，则在(a , b )内至少存在一点ξ，使
f '(ξ)=
f (b )-f (a ). b -a
Lagrange中值定理是微分学重要的基本定理, 它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质, 其应用十分广泛. 例18 求lim
sin (sin x )-sin x
. 3x →0x
解： 因为
sin (sin x )-sin x =(sin x -x )⋅cos [θ⋅(x -sin x )+x ] (0
sin (sin x )-sin x =lim (sin x -x )⋅cos [θ⋅(x -sin x )+x ]所以 lim 33x →0x →0x x
cos x -1
x →03x 2
-sin x =lim x →0
6x 1
=-.
6
=cos 0⋅lim
2.13.2利用积分中值定理求极限
积分中值定理 设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续g (x ) 在[a, b]上不变号且可积, 则在[a, b]上至少有一点 ξ 使得
⎰f (x )⋅g (x )dx =f (ξ)⎰g (x )dx (a ≤ξ≤b ).
a
a
b
b
π
例 19 求 lim ⎰4sin n x dx .
n →∞0
π⎫⎛
解：lim ⎰4sin n x dx =lim sin n ⋅ξ⋅⎰4dx 0≤ξ≤⎪
0n →∞0n →∞4⎭⎝ = =
ππ
π
4
⋅lim sin n ξ
n →∞
π
4n →∞
lim (sin ξ)
n
=0.
x x cos x -sin x
⋅2
=lim x →0x
x cos x -sin x
=lim
x →0x 2sin x
x cos x -sin x
=lim 3x →0x
-x sin x
=lim 2x →03x
1
=-，
3
⎛sin x ⎫
所以 lim ⎪
x →0x ⎝⎭
1
1-cos x
=e .
-
13
结束语
以上方法是在数学分析里求解一元函数极限的重要方法. 在做求解一元函数极限的题目时, 仅仅从表面掌握以上方法而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的, 必须要细心分析仔细甄选, 选择出适当的方法，起到事半功倍的效果.
参考文献
[1]..李志慧. 李永明. 高等代数分析与选讲[M].陕西师范大学数学与信息科学学院, 2005，09（1—42）
[2].华东师范大学数学系. 数学分析[M].高等教育出版社2001.6（23—176） [3].同济大学数学系. 数学分析[M].高等教育出版社 2003.9. （21—172） [4]. 邹应. 数学分析习题及解答 [M].武汉大学出版社.2001（168—169）（176—177）.
[5].郝梅求. 函数极限的方法[J].福建教育学校学报,2006（10）
[6].刘玉琏, 傅沛仁, 数学分析讲义, 下册[M]. 北京. 高等教育出版社, 2008（32—196）
[7]华东师范数学系 数学分析第三版(上册)[M] 北京 高等教育出版社,2001（23—176）
[8] 欧阳光中. 数学分析[M].上海. 复旦大学出版社,2002（24—169） [9]钱吉林. 数学分析解题精粹[M].武汉. 崇文书局出版社,2001(56—221) [10]单立波, 张广梵. 积分习题集. 一分册.M].津. 开大学出版社,2000（01—69） [11]王兰林，一元函数求极限的方法探析. 《科技创新与应用》第11期 2012 [12] 曹学锋, 孙幸荣. 无穷小量在极限中的应用[J]. 数学学习与研究(教研版), 2008, (01)
[13] 谢季坚. 大学数学[M].北京:高等教育出版社,1999. [14] 钟谭卫. 大学数学[M].北京:科学出版社,2003.
[15] 何联毅, 曾捷. 数学分析同步辅导及习题全解[M].中国矿业大学出版社,2006.
[16] 吴良森, 毛羽辉, 宋国栋, 魏木生. 数学分析习题精解学[M].科学出版社,2002.
[17] 刘慧敏, 陈文虎. 数学分析学[M].清华大学出版社,1993.
致谢
浅谈一元函数极限的求解方法
专业名称：班 级：学生姓名：指导教师： 完成时间：
目录
内容摘要 ........................................................... 3 关键词 ............................................................. 3 Abstract ........................................................... 3 Key Words .......................................................... 3 0 引 言 .......................................................... 4 1 一元函数极限的基本概念 .......................................... 4
1.1一元函数极限的定义........................................... 4 1.2 一元函数极限的性质 .......................................... 5 2 求一元函数极限极限的方法 ......................................... 5
2.1 利用定义求极限 .............................................. 5 2.2 利用单侧极限求极限 .......................................... 7 2.3 利用双侧极限 ................................................ 7 2.4利用迫敛性定理求极限......................................... 8 2.5 利用两个重要极限 ........................................... 8 2.6 利用函数极限的四则运算求极限 ................................ 9 2.7 利用洛必达法则 ............................................ 10 2.8 用单调有界原理求极限 ....................................... 12 2.9 利用柯西准则求极限 ......................................... 12 2.10 利用等价无穷小量代替求极限 ................................ 13 2.11 利用函数连续性求极限 ...................................... 14 2.12 用导数定义求极限 .......................................... 14 2.13利用中值定理求极限......................................... 15 结束语 ............................................................ 17 参考文献 .......................................................... 17 致谢 .............................................................. 19
内容摘要：本文简单介绍了一元函数极限的基本概念及其性质并系统地介绍了利用定义、两个重要极限、无穷小量、泰勒公式、洛必达法则、迫敛法则、四则运算法则、双侧极限、综合方法等9种常用求一元函数极限的方法, 并结合实际问题对各个方法进行了详细的举例说明. 关键词：极限; 方法; 函数; 泰勒公式
Abstract: This paper briefly introduces the basic concept of limit of binary and its properties are introduced in a systematic way using the definition, two important limits, infinitesimal, Taylor formula, L ’Hospital Rule, forced convergence rule, four arithmetic operations, bilateral limit, the synthetic method of nine kinds of commonly used for a limit of binary function method, and the combined with the practical problems of various methods were detailed examples. Key Words: limit; method; function; Taylor formula
0 引 言
高等数学是以函数为研究对象, 以极限理论和极限方法为基本方法, 以微积分学为主要内容的一门学科, 极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位. 高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化, 如连续、导数、微积分等等都是由极限定义的, 离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价值, 因此极限运算是高等数学的基本运算. 由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限定义本身去求极限, 又由于极限运算分布于整个高等数学的始终, 许多重要的概念是由极限定义的. 极限知识是研究导数、各种积分、级数等的基本工具. 反过来, 我们也可以利用这些概念来求一些极限, 所以运算方法繁多. 针对这种情况, 本文通过立体归纳总结出了如下常见的求极限的方法.
1 一元函数极限的基本概念
1.1一元函数极限的定义
(1) 函数f (x ) 在点x =a 的空心邻域U （a ) 有定义, A 是一个确定的数, 若
对∀ε>0, 存在δ>0, 使得当0x -a
x →a
(2) 函数f (x ) 是U (+∞) (或U (-∞) 或U (∞) ) 上的函数, A 是一个确定的数, 若∀ε>0, 总存在M >0, 使得当x >M （或x M ）时, 都有
f (x ) -A
限, 记为lim f (x ) =A （或lim f (x ) =A 或lim f (x ) =A .
x →+∞
x →-∞x →∞
00
(a , δ' ) （或U -(a , δ' ) ）(3) 若函数f (x ) 在U +内有定义, A 是一个确定的常数,
若∀ε>0, 总存在δ>0, 使当a A (或lim -f (x ) =A ). 有时也记作f (a +0) =lim +f (x ) 或记作l i +m f x (=)
x →a
x →a
x →a
f (a -0) =lim -f (x ) .
x →a
1.2 一元函数极限的性质
(1) 唯一性 若lim f (x ) 存在, 则它只有一个极限.
x →a
(2) 局部有界性 若lim f (x ) 存在, 则f (x ) 在a 的某个空心邻域U 0(a ) 内有
x →a
界.
(3) 局部保号性 若lim f (x ) =A >0(或x →a
存在
a 的某一空心邻域U 0(a ) , 使对∀x ∈U 0(a ) , 恒有f (x ) >r >0或f (x )
(4) 保不等式性 若lim f (x ) =A , lim g (x ) =B , 且有δ' >0, f (x ) ≤g (x ) ,
x →a
x →a
∀x ∈U 0(a , δ' ) 成立, 则A ≤B , 即lim f (x ) ≤lim g (x ) .
x →a
x →a
(5) 迫敛性 若lim f (x ) =lim g (x ) =A , 且有δ' >0, f (x ) ≤h (x ) ≤g (x ) ,
x →a
x →a
∀x ∈U (a , δ' ) , 则lim h (x ) =A .
x →a
2 求一元函数极限极限的方法
2.1 利用定义求极限
定义2.1.1 设f 在点x =a 的空心邻域U (a )有定义,A 为定数。若对于
任给的ε>0, 存在δ>0, 使得当0
lim f (x )=A 或f (x )→A (x →a ).
x →a
定义2.1.2 设f 为定义在[a,+∞) 上的函数,A 为定值, 若对任给正数ε, 存
在正数M(≥a) , 使得当x ﹥M 时有|f (x )-A|
x →∞
x 趋向于-∞时的函数极限的定义与定义2.1.2相似, 只要把定义中的x >M改为x
x 2-3x +2
例 1 用极限定义证明：lim =1.
x →2x -2
证：由
x 2-3x +2x 2-4x +4
-1=
x -2x -2
2
(x -2) =
x -2
=x -2.
∀ε>0, 取δ=ε 则当0
-
x -2
2
由函数极限ε-δ定义有 lim x -3x +2=1.
x →2x -2
例 2 按定义证明lim 证：由 令
1
=0. n →∞n !
111=≤ n ! n (n -1)(n -2) ⋅⋅⋅1n
11
即可, n ε
⎡1⎤
存在N =⎢⎥, 当n >N 时, 不等式
⎣ε⎦
111=≤
成立, 所以lim
1
=0. n →∞n !
2.2 利用单侧极限求极限
这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限, 首先必须考虑分段点的左、右极限如果左、右极限都存在且相等, 则函数在分界点处的极限存在, 否则极限不存在
定理2.2.1 函数极限lim f (x )存在且等于A 的充分必要条件是左极限
x →x ο
x →x ο
f (x )都存在且都等于A. 即有 lim -f (x ) 及右极限x lim →x +
ο
x →x ο
lim f (x )= A ⇔lim f (x )=lim +f (x )=A.
-
x →x ο
x →x ο
⎧1+x , x >0
例 3 f (x )=⎨ 求f (x )在x =0的极限。
2
⎩1+x , x ≤0
解： lim -1+x 2=1, lim +1+x =1，
x →0
x →0
∴f (x )在x =0的极限存在， 即 lim f (x )=1.
x →0
2.3 利用双侧极限
这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限, 首先必须考虑分段点的左、右极限, 如果左、右极限都存在且相等, 则函数在分界点处的极限存在, 否则极限不存在.
1⎧
x sin , x >0⎪
例4 设f (x ) =⎨, 求f (x ) 在x =0的极限 x
⎪1+x 2, x ≤0⎩
解 由于lim x sin +
x →0
1
=1 lim -1+x 2=1
x →0x
则
x →0+
lim f (x ) =lim f (x ) =1-
x →0
故 lim x →0
f (x ) =1
。
⎧
⎪1-cos x ⎪x 2, x
⎨5, x =0求lim ⎪x →0
f (x ) .
⎪⎪
⎰x
2
0cos t dt
⎩
x , x >0解 f (0-0) =lim f (x 1-cos x x →0
-) =lim x →0
-
x 2
=1
2
x
f (0+0) =lim ⎰
cos t 2dt x →0
+f (x ) =lim x →0
+
x
=1
因f (0-0) ≠f (0+0) , 所以lim x →0
f (x ) 不存在.
2.4利用迫敛性定理求极限
定理
2.4
设lim x →x f (x ) =lim x →x g (x ) =A , 且在某0
f (x ) ≤h (x ) ≤g (x ) ,
则lim x →x h (x ) =A .
例6 求lim x →0-
x ⎡⎢1⎤
⎣x ⎥⎦
的极限. 解 1≤x ⎡⎢1⎤
⎣x ⎥⎦
-x ) =1 由迫敛性知 lim ⎡1x →0-
x ⎢⎤
⎣x ⎥⎦
=1. 2.5 利用两个重要极限
两个重要极限公式： (1) lim
sin x x →0x =lim x →∞x sin 1
x
=1
(2) lim(111
x
x →∞+x
) =lim(1x →0+x ) x =e
U o (x 0, δ' ) 内
在这一类型题中, 一般也不能直接运用公式, 需要恒等变形进行化简后才可以利用公式.
(1) 利用lim
lim
sin x
=1来求极限
x →0x
sin x
=1的扩展形为：令g (x )→0, 当x →x 0或x →∞时, 则有
x →0x
lim
sin g (x ) sin g x →x =1或lim (x )
=1.
0g (x ) x →∞g (x ) 例7 求lim
sin x x →ππ-x
.
解 令t =π-x , 则sin x =sin(π-t ) =sin t , 且当x →π时t →0 故
lim
sin x sin t
x →ππ-x =lim t →0t
=1.
(2) 利用lim(11
x →∞+x
) x =e 来求极限
lim(1x →∞+11x ) x =e 的另一种形式为lim(1∂→0+∂) ∂=e . 事实上, 令α=1
x .
x →∞⇔α→0. 所以e =lim(111x
∂
x →∞+x
) =lim(1∂→0+∂) =e .
1
例8 求lim(1+2x ) x
x →0
的极限.
解 原式=lim ⎡11
x →0
⎢(1+2x ) 2x ⋅(1+2x ) 2x ⎤
⎣⎥=e 2⎦
.
2.6 利用函数极限的四则运算求极限
定理
2.6.1 若极限x lim →x f (x )和lim g (x )都存在，ο
x →x ο
f (x )±g (x ), f (x ). g (x )当x →x ο时也存在, 且
(1) x lim →x [f (x )±g (x )]=lim f (x )±x lim →x g (x )；
ο
x →x ο
ο
(2) 若x lim →x [f (x )⋅g (x )]=lim f (x )⋅lim g (x )：
ο
x →x ο
x →x ο
则函数
(3) 若lim g (x )≠0，则
x →x ο
f (x )在x →x ο时极限也存在，且有g x lim f (x )f (x )x →x
. lim =ο
x →x οg x lim g x x →x ο
x 3-2x 2-4x +8例 9 求lim . 32x →2x -3x +4
解：由于x →2时，x 3-2x 2-4x +8→0，x 3-3x 2+4→0，
故无法直接用四则运算, 应先化简原函数 ，
x 3-2x 2-4x +8 原式=lim 32x →2x -3x +4
x 2(x -2)-4(x -2)
=lim x →2x 3-2x 2-x 2-4
=lim
(x -2)(x -2)(x +2) x →2x -2x -2x +1=lim
(x +2) x →2x +1=
4 . 3
.
2.7 利用洛必达法则
法则一：0型
(1) lim f (x ) =lim g (x ) =0;
x →x 0
x →x 0
(2) 在点x 0的某空心领域U 0(x 0) 内两者都可导且g ' (x ) ≠0; (3) lim
f (x ) g (x )
=A (A 可为实数也可为±∞或∞) 则lim
x
12
f (x ) g (x )
x →x 0x →x 0
=lim
f ' (x ) g ' (x )
x →x 0
=A .
例 10 求lim
e -(1-2x )
. 2x →0ln(1+x )
解 利用ln(1+x 2) ~x 2(x→0) 得
lim
e -(1-2x ) e -(1-2x ) e -(1-2x )
lim lim ==x →0x →0x →0x 22x ln(1+x 2)
x
-
x
12
x
12
x
-
12
e -(1-2x )
2 =x →0
lim
∞
法则二：∞型
32
=
2=12.
(1) lim f (x ) =lim g (x ) =∞;
x →x 0
x →x 0
(2) 在点x 0的某右领域u +0（x 0）内两者都可导且g ' (x ) ≠0; (3)
f (x ) g (x )
x →x +0
lim
f ' (x ) g (x )
f ' (x ) g ' (x )
'
=A (A 可为实数也可为±∞或∞) 则
x →x +0
lim
=lim +
x →x
=A .
例 11 求lim
ln x
.
x →+∞x
解：原式= lim
(lnx ) '1
=lim =0.
x →+∞(x ) 'x →+∞x
其它类型不定式极限
不定式极限还有0⋅∞, 1∞, 00, ∞0, ∞-∞等类型. 这些类型经过简单的变换, 都可以化为
0∞
型和型的不定式极限. 0∞
x →0
x ln x . 例12 求lim +
解 这是一个1∞型的不定式极限, 作恒等变形x ln x =
ln x ∞
, 将它转化为型1∞x
的不定式极限, 并用洛比达法则得到
1
ln x =lim(-x ) =0lim x ln x =lim =lim +++. x →0x →01x →01x →0+
-2
x x
2.8 用单调有界原理求极限
ο
定理2.8.1 设f 为定义在U +(x ο)上的单调有界函数, 则右极限lim +f (x )存
x →x ο
在.
+
, x →±∞时，有相应的单侧极限在其定义域内，上述定理亦存在。当x →x ο
在运用此定理时, 先确定定义域, 再证明其单调性, 然后就求极限.
2
+2x n ,求lim x n . 例 13 设0
n →∞
解：因为
x n +1
=-x n +2，0
n →∞
所以x n +1>x n 即{x n }单调增加，根据有界性显然lim x n 存在.
2
+2x n ，0
n →∞
a =-a 2+2a ，
解之得 a =1, a =0(舍去) ， 因此 lim x n =1.
n →∞
2.9 利用柯西准则求极限
设函数f 在U ο(x ο, δ')内有定义, lim f (x )存在的充要条件是：任给ε>0,
x →x ο
存在正数δ
f (x ')-f (x '')
从定义出发, 一般用于反正法, 函数列中用的多, 主要找准x ', x '', 然后作出
f (x ')-f (x '')的差.
例 14 求极限lim sin x .
x →∞
解 :取εο=
1
>0, 对任给M>0,记n=[M]+1> M， 2
存在
1⎫⎛
x 1=- n +⎪π
， 2⎭⎝
使得
sin x 1-sin x 2=1>
1
=εο, 2
x →∞
则由柯西准则可知lim sin x 不存在.
2.10 利用等价无穷小量代替求极限
所谓等价无穷小量即当x →x ο时, f (x )与g (x )均为无穷小量, 若lim 称f (x )与g (x )是x →x ο时的等价无穷小量, 记作
f (x )～g (x )(x →x ο).
定理:设函数f (x ), g (x ), h (x )在u ︒(x ︒)内有定义, 且有f (x )~g (x )(x →x ︒)， 若 lim f (x )h (x )=A ，则lim g (x )h (x )=A ；
x →x
︒
x →x ο
f (x )=1g x x →x ︒
若lim
x →x ︒
h (x )h (x )=B ，则lim =B .
x →x ︒g x f x 由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限.
tan x -sin x
例 15 求 x →0sin x 3的极限.
lim
解：由
tan x -sin x =
sin x
(1-cos x )
， cos x
而 sin x ~x (x →0)；
x 2
1-cos x ~(x →0)；sin x 3~x 3(x →0)；
2
x 2x ⋅
tan x -sin x 1=1 . 故有lim =lim ⋅x →0x →0cos x sin x 3x 32
2.11 利用函数连续性求极限
定理2.11.1 若函数f 在x ο点处连续, 则f 在点x ο有极限, 且极限值等于函数值f (x ). 设复合函数y =f [ψ(x )]是由函数y =f (u ), u =ψ(x ), 复合形成的, 并且
x →x ο
lim ψ(x )=a , lim f (u )=f (a ), 则y =f [ψ(x )]在x →x ο处的极限存在且
u →a
ψ(x )]=f lim ψ(x )=f (a ). lim f [
x →x ο
x →x ο
[]
a x -1 例 16 求 lim .
x →0x
解：令a x -1=y ，则x =log a (1+y )，当x →0时，y →0, 于是有
a x -1
lim
x →0x
=lim
y
y →0log a 1+y =lim
11
log a (1+y )y
1log a (1+y )
1y
y →0
=lim
y →0
=
1
1
⎡lim ⎢log a (1+y )y ⎤⎥y →0⎣⎦
=
1
log a e
=ln a .
2.12 用导数定义求极限
导数的定义：函数f (x )在x ο附近有定义，∀∆x 则∆y =f (x ο+∆x )-f (x ο)，
如果
lim
f (x ο+∆x )-f (x ο)∆y
=lim
∆x →0∆x ∆x →0∆x
存在, 则此极限值就称函数f (x )在点x ο 的导数记为f '(x ο)，即 f '(x )=lim f (x ο+∆x )-f (x ο) . ο
∆x →0∆x
在这种方法的运用过程中, 首先要选好f (x ), 然后把所求极限, 表示成f (x )在定点x ο的导数.
ln (x +1)例 17 求 x →0. x
ln (x +1)lim
解： x →0 x
ln (x +1)-ln 1
=lim
x →0x
'
=ln (1+x )x =0
lim
=
1x +1
x =0
=1.
2.13利用中值定理求极限
2.13.1 利用微分中值定理
Lagrange 中值定理 若函数f (x )满足：（1）在[a , b ]连续： （2）在(a , b )可导，则在(a , b )内至少存在一点ξ，使
f '(ξ)=
f (b )-f (a ). b -a
Lagrange中值定理是微分学重要的基本定理, 它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质, 其应用十分广泛. 例18 求lim
sin (sin x )-sin x
. 3x →0x
解： 因为
sin (sin x )-sin x =(sin x -x )⋅cos [θ⋅(x -sin x )+x ] (0
sin (sin x )-sin x =lim (sin x -x )⋅cos [θ⋅(x -sin x )+x ]所以 lim 33x →0x →0x x
cos x -1
x →03x 2
-sin x =lim x →0
6x 1
=-.
6
=cos 0⋅lim
2.13.2利用积分中值定理求极限
积分中值定理 设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续g (x ) 在[a, b]上不变号且可积, 则在[a, b]上至少有一点 ξ 使得
⎰f (x )⋅g (x )dx =f (ξ)⎰g (x )dx (a ≤ξ≤b ).
a
a
b
b
π
例 19 求 lim ⎰4sin n x dx .
n →∞0
π⎫⎛
解：lim ⎰4sin n x dx =lim sin n ⋅ξ⋅⎰4dx 0≤ξ≤⎪
0n →∞0n →∞4⎭⎝ = =
ππ
π
4
⋅lim sin n ξ
n →∞
π
4n →∞
lim (sin ξ)
n
=0.
x x cos x -sin x
⋅2
=lim x →0x
x cos x -sin x
=lim
x →0x 2sin x
x cos x -sin x
=lim 3x →0x
-x sin x
=lim 2x →03x
1
=-，
3
⎛sin x ⎫
所以 lim ⎪
x →0x ⎝⎭
1
1-cos x
=e .
-
13
结束语
以上方法是在数学分析里求解一元函数极限的重要方法. 在做求解一元函数极限的题目时, 仅仅从表面掌握以上方法而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的, 必须要细心分析仔细甄选, 选择出适当的方法，起到事半功倍的效果.
参考文献
[1]..李志慧. 李永明. 高等代数分析与选讲[M].陕西师范大学数学与信息科学学院, 2005，09（1—42）
[2].华东师范大学数学系. 数学分析[M].高等教育出版社2001.6（23—176） [3].同济大学数学系. 数学分析[M].高等教育出版社 2003.9. （21—172） [4]. 邹应. 数学分析习题及解答 [M].武汉大学出版社.2001（168—169）（176—177）.
[5].郝梅求. 函数极限的方法[J].福建教育学校学报,2006（10）
[6].刘玉琏, 傅沛仁, 数学分析讲义, 下册[M]. 北京. 高等教育出版社, 2008（32—196）
[7]华东师范数学系 数学分析第三版(上册)[M] 北京 高等教育出版社,2001（23—176）
[8] 欧阳光中. 数学分析[M].上海. 复旦大学出版社,2002（24—169） [9]钱吉林. 数学分析解题精粹[M].武汉. 崇文书局出版社,2001(56—221) [10]单立波, 张广梵. 积分习题集. 一分册.M].津. 开大学出版社,2000（01—69） [11]王兰林，一元函数求极限的方法探析. 《科技创新与应用》第11期 2012 [12] 曹学锋, 孙幸荣. 无穷小量在极限中的应用[J]. 数学学习与研究(教研版), 2008, (01)
[13] 谢季坚. 大学数学[M].北京:高等教育出版社,1999. [14] 钟谭卫. 大学数学[M].北京:科学出版社,2003.
[15] 何联毅, 曾捷. 数学分析同步辅导及习题全解[M].中国矿业大学出版社,2006.
[16] 吴良森, 毛羽辉, 宋国栋, 魏木生. 数学分析习题精解学[M].科学出版社,2002.
[17] 刘慧敏, 陈文虎. 数学分析学[M].清华大学出版社,1993.
致谢