《平面向量》单元测试卷A（含答案）
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列命题中的假命题是（ ）
A、AB与BA的长度相等； C、只有零向量的模等于零；
→
→
-→
-→
B、零向量与任何向量都共线； D、共线的单位向量都相等。
→
→
→
→
2．若a是任一非零向量，b是单位向量；①|a|>|b|；②a∥b；
→
→
→
③|a|>0；④|b|=±1；⑤
a
|a|
→
=b，其中正确的有（
→
）
→
A、①④⑤
→
→
→
B、③ C、①②③⑤
→
→
D、②③⑤
→
→
→
→
3．设a，b，c是任意三个平面向量，命题甲：a+b+c=0；命题乙：把a，b，c
首尾相接能围成一个三角形。则命题甲是命题乙的（ ）
A、充分不必要条件 C、充要条件
-→
B、必要不充分条件
D、非充分也非必要条件
）
-→
-→
-→
-→
4．下列四式中不能化简为AD的是（
（AB+CD）+BC A、
-→
-→
-→
-→
-→
-→
-→
（AM+MB）+（BC+CD） B、
（AC+AB）+（AD-CB）C、
（-2，4），b=（1，-2），则（5．设a=
→
→
D、OC-OA+CD
）
-→-→-→
A、a与b共线且方向相反 C、a与b不平行
→
→
→→
B、a与b共线且方向相同 D、a与b是相反向量
→
→
→→
6．如图1，△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA和AB的中点，G是△ABC中的重心，则下列各等式中不成立的是（ ）
-→
-→
2
A、BG=BE
3
→
1121
B、DG=AG C、CG=-2FG D、DA+FC=BC
2332
→
-→-→-→-→-→-→-→→→1
7．设a=（-2，1-cosθ），b=（1+cosθ，-），且a∥b，则锐角θ=（
4
）
ͼ1
A、
π
4
B、
π
6
C、
π
3
D、
π
6
或
π
3
1 1
8．若C分AB所成比为-3，则A分CB所成的比是（A、-
→→
-→-→
）
3
2
B、3
→
→
C、-
23
）
D、-2
9．若a⋅b
2
→
→
π
B、[，π)
2
→
π
C、(，π)
2
→
π
D、(，π]
2
→
→
→
→
π
10．设a与b都是非零向量，若a在b方向的投影为3，b在a方向的投影为4，则a的模与b 的模之比值为（ ） A、
3
4
B、
43
C、
37
D、
47
二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
。11．若a与b都是单位向量，则|a-b|的取值范围是_________
→
→
→
→
12．△ABC中，BD=BC，则用AB和AC表示AD=_________ 。
13．设a=(x+3，x-3y-4)，若a与AB相等，且A、B两点的坐标分别为(1，2)和(3，2)，则 x= 。
。14．设a与b是共线向量，|a|=3，|b|=5，则a⋅b_________
→
→
→
→
→→
→
→
-→
-→
1
3
-→-→-→-→
三、解答题：本题共4小题，每题10分，共40分 15．已知=(2sin(
π
4
-x),cosx),=(cos(
π
4
-x),2sinx),记f(x)=∙.
（1）求f(x)的周期和最小值；
（2）若f(x)按平移得到y=2sin2x，求向量.
16．已知、是两个不共线的向量，且=（cosα，sinα）, =（cosβ，sinβ） （Ⅰ）求证：+与－垂直； （Ⅱ）若α∈（-,
2
2
ππ
44
），β=，且|+| =
π4
，求sinα. 5
→→→→→→→→→→→→
17．设a=e1+2e2，b=-3e1+2e2，其中e1⊥e2且e1⋅e1=e2⋅e2=1. →
→
（1）计算|a+b|的值；
→
→
→
→
（2）当k为何值时ka+b与a-3b互相垂直？
18． 已知向量→a＝(cos32，sin3xxπ2)，→b＝(cos2sin2，其中x∈[0，2
]
(1)求→a·→b及|→a＋→b|；(2)若f(x)＝→a·→b－2λ|→a＋→b|的最小值为－3
2，求λ
参考答案
一、1．D 2．B
3．B 4．C
5．A 6．B
7．A 8．A 9．D 10．A
3
3
的值
二、11．［0，2］ 三、15．
12．
2→1→
AD=AB+AC
33
→
13．-1 14．±15
16．解：（1）∵=（4cosα，3sinα）， =（3cosβ，4sinβ）
∴|| = || =1
又∵（+）·（－）=2－2=||2－||2 = 0 ∴（+）⊥（－）
（2）|+|2 =（+）2 = ||2 +||2 +2·= 2 + 2··=
3
又·=（cosαcosβ+sinαsinβ）=
5
16 5
∴cos(α-β)= ∵α∈(-,) ∴-
44
45
35
ππ
π
＜α-β＜0 2
∴sin（α-β）=- ∴sinα=sin[(α-β)+β] = sin（α-β）·cosβ+cos(α-β)⋅sinβ =-⨯
17．解：
45
2322+⨯=- 25210
4 4
（1） |a+b|=（-2e1+4e2）=4e1-16e1⋅e2+16e2
又e1⊥e2，e1⋅e2=e2⋅e2=1.∴e1⋅e2=0.∴|a+b|=20
→
→
→
→
→
2
→→→
→
→→
→
→→→
→→
2
→→
2
→
2
→→→
2
|e1|=|e2|=1.
∴|a+b|=20=2.
→
→2→
→
→→
→
（2） （ka+b）（⋅a-3b）=ka
又a
→2
2
=（e1+2e2）=5
→
→
→
→
+（1-3k）a⋅b-3b
2
→
→
→
2b2=（-3e1+2e2）=13
→→
a⋅b=（e1+2e2）（⋅-3e1+2e2）=-3+4=1
→
→
→
→
→→
∴由（ka+b）（⋅a-3b）=0即5k+（1-3k）-3⨯13=0得k=19.
3x3x→→18．解：(1)a·b＝cossincos2x，|→a＋→b|＝2＋2cos2x＝2cosx
2222(2)f(x)＝→a·→b－2λ|→a＋→b|＝cos2x－4λcosx＝2cos2x－1－4λcosx＝2(cosx－λ)2－2λ2－1
π
注意到x∈[0，故cosx∈[0，1]，若λ＜0，当cosx＝0时f(x)取最小值－1。不合条件，
2舍去. 若0≤λ≤1，当cosx＝λ
3
时，f(x)取最小值－2λ2－1，令－2λ2－1＝－且
2
13
0≤λ≤1，解得λ＝， 若λ＞1，当cosx＝1时，f(x)取最小值1－4λ， 令1－4λ＝－
221
且λ＞1，无解综上：λ＝为所求.
2
5 5
《平面向量》单元测试卷A（含答案）
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列命题中的假命题是（ ）
A、AB与BA的长度相等； C、只有零向量的模等于零；
→
→
-→
-→
B、零向量与任何向量都共线； D、共线的单位向量都相等。
→
→
→
→
2．若a是任一非零向量，b是单位向量；①|a|>|b|；②a∥b；
→
→
→
③|a|>0；④|b|=±1；⑤
a
|a|
→
=b，其中正确的有（
→
）
→
A、①④⑤
→
→
→
B、③ C、①②③⑤
→
→
D、②③⑤
→
→
→
→
3．设a，b，c是任意三个平面向量，命题甲：a+b+c=0；命题乙：把a，b，c
首尾相接能围成一个三角形。则命题甲是命题乙的（ ）
A、充分不必要条件 C、充要条件
-→
B、必要不充分条件
D、非充分也非必要条件
）
-→
-→
-→
-→
4．下列四式中不能化简为AD的是（
（AB+CD）+BC A、
-→
-→
-→
-→
-→
-→
-→
（AM+MB）+（BC+CD） B、
（AC+AB）+（AD-CB）C、
（-2，4），b=（1，-2），则（5．设a=
→
→
D、OC-OA+CD
）
-→-→-→
A、a与b共线且方向相反 C、a与b不平行
→
→
→→
B、a与b共线且方向相同 D、a与b是相反向量
→
→
→→
6．如图1，△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA和AB的中点，G是△ABC中的重心，则下列各等式中不成立的是（ ）
-→
-→
2
A、BG=BE
3
→
1121
B、DG=AG C、CG=-2FG D、DA+FC=BC
2332
→
-→-→-→-→-→-→-→→→1
7．设a=（-2，1-cosθ），b=（1+cosθ，-），且a∥b，则锐角θ=（
4
）
ͼ1
A、
π
4
B、
π
6
C、
π
3
D、
π
6
或
π
3
1 1
8．若C分AB所成比为-3，则A分CB所成的比是（A、-
→→
-→-→
）
3
2
B、3
→
→
C、-
23
）
D、-2
9．若a⋅b
2
→
→
π
B、[，π)
2
→
π
C、(，π)
2
→
π
D、(，π]
2
→
→
→
→
π
10．设a与b都是非零向量，若a在b方向的投影为3，b在a方向的投影为4，则a的模与b 的模之比值为（ ） A、
3
4
B、
43
C、
37
D、
47
二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
。11．若a与b都是单位向量，则|a-b|的取值范围是_________
→
→
→
→
12．△ABC中，BD=BC，则用AB和AC表示AD=_________ 。
13．设a=(x+3，x-3y-4)，若a与AB相等，且A、B两点的坐标分别为(1，2)和(3，2)，则 x= 。
。14．设a与b是共线向量，|a|=3，|b|=5，则a⋅b_________
→
→
→
→
→→
→
→
-→
-→
1
3
-→-→-→-→
三、解答题：本题共4小题，每题10分，共40分 15．已知=(2sin(
π
4
-x),cosx),=(cos(
π
4
-x),2sinx),记f(x)=∙.
（1）求f(x)的周期和最小值；
（2）若f(x)按平移得到y=2sin2x，求向量.
16．已知、是两个不共线的向量，且=（cosα，sinα）, =（cosβ，sinβ） （Ⅰ）求证：+与－垂直； （Ⅱ）若α∈（-,
2
2
ππ
44
），β=，且|+| =
π4
，求sinα. 5
→→→→→→→→→→→→
17．设a=e1+2e2，b=-3e1+2e2，其中e1⊥e2且e1⋅e1=e2⋅e2=1. →
→
（1）计算|a+b|的值；
→
→
→
→
（2）当k为何值时ka+b与a-3b互相垂直？
18． 已知向量→a＝(cos32，sin3xxπ2)，→b＝(cos2sin2，其中x∈[0，2
]
(1)求→a·→b及|→a＋→b|；(2)若f(x)＝→a·→b－2λ|→a＋→b|的最小值为－3
2，求λ
参考答案
一、1．D 2．B
3．B 4．C
5．A 6．B
7．A 8．A 9．D 10．A
3
3
的值
二、11．［0，2］ 三、15．
12．
2→1→
AD=AB+AC
33
→
13．-1 14．±15
16．解：（1）∵=（4cosα，3sinα）， =（3cosβ，4sinβ）
∴|| = || =1
又∵（+）·（－）=2－2=||2－||2 = 0 ∴（+）⊥（－）
（2）|+|2 =（+）2 = ||2 +||2 +2·= 2 + 2··=
3
又·=（cosαcosβ+sinαsinβ）=
5
16 5
∴cos(α-β)= ∵α∈(-,) ∴-
44
45
35
ππ
π
＜α-β＜0 2
∴sin（α-β）=- ∴sinα=sin[(α-β)+β] = sin（α-β）·cosβ+cos(α-β)⋅sinβ =-⨯
17．解：
45
2322+⨯=- 25210
4 4
（1） |a+b|=（-2e1+4e2）=4e1-16e1⋅e2+16e2
又e1⊥e2，e1⋅e2=e2⋅e2=1.∴e1⋅e2=0.∴|a+b|=20
→
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2
→→→
→
→→
→
→→→
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2
|e1|=|e2|=1.
∴|a+b|=20=2.
→
→2→
→
→→
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（2） （ka+b）（⋅a-3b）=ka
又a
→2
2
=（e1+2e2）=5
→
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→
+（1-3k）a⋅b-3b
2
→
→
→
2b2=（-3e1+2e2）=13
→→
a⋅b=（e1+2e2）（⋅-3e1+2e2）=-3+4=1
→
→
→
→
→→
∴由（ka+b）（⋅a-3b）=0即5k+（1-3k）-3⨯13=0得k=19.
3x3x→→18．解：(1)a·b＝cossincos2x，|→a＋→b|＝2＋2cos2x＝2cosx
2222(2)f(x)＝→a·→b－2λ|→a＋→b|＝cos2x－4λcosx＝2cos2x－1－4λcosx＝2(cosx－λ)2－2λ2－1
π
注意到x∈[0，故cosx∈[0，1]，若λ＜0，当cosx＝0时f(x)取最小值－1。不合条件，
2舍去. 若0≤λ≤1，当cosx＝λ
3
时，f(x)取最小值－2λ2－1，令－2λ2－1＝－且
2
13
0≤λ≤1，解得λ＝， 若λ＞1，当cosx＝1时，f(x)取最小值1－4λ， 令1－4λ＝－
221
且λ＞1，无解综上：λ＝为所求.
2
5 5