概念培训
一、数学概念教学模式
不同年级的学生由于知识水平与经验有差异，因此建立数学概念的认识心理活动过程也就不一样。从总的方面看，其基本形式是“概念形成”与“概念同化”两种。
一般来说，低年级学生以“概念形成”作为建立概念的主要形式。中、高年级的学生逐渐过渡到以“概念同化”作为数学概念的主要形式。概念形成这一形式是通过对具体事物感知辨别而概括抽象形成的。这一形式的认知心理活动过程如下：
感知辨别------------------对比归纳------------------抽象概括-------形成概念
（建立表象） （提炼加工）
小学中、高年级学生建立概念时，较多的是通过概念同化的形式，概念同化的形式的认知心理过程一般是：
表象联系------类比-------迁移------------------同化概念
（归类分化）
概念的同化这一形式是运用已掌握的概念去理解、获取新概念。学习新概念时，要与原认知结构中相关联的概念进行比较，实现知识正迁移，使新概念的本质特征在学生头脑中得到精确分化，使新旧知识得到有机结合与联系，从而建立新的概念。
二、形成五步操作程序
1、引导——创设情境、激发思维、引入概念。
概念教学的第一步是引入概念。概念如何引入，直接关系到学生对概念的理解、接受。小学生学习概念一般是以感知具体事物，获得感性认知开始的。重视问题情境创设，激发学生思维，使学生产生积极主动地学习新知识的愿望。
2、探究——直观操作、深化思维、理解概念。
概念的理解是概念教学的中心环节，概念的获得是学生经过分析、综合、比较、抽象、概括的结果。只有在概念引入之后，引导学生自己主动探索，激发、深化学生思维，才能理解概念。
3、发现——分析归纳、强化思维、形成概念。
概念的抽象与概括要注意多层次地进行，概念的形成也不是一次完成的，要经过一个反复的过程，经过多层次的比较、分析与综合，才能真正发展学生的思维结构，让学生真正理解概念。
4、内化——巧设练习、扩展思维、应用概念。
问题明白了，概念抽象概括了，并不等于牢固掌握、切实理解，此时须有一个知识的内化过程。通过各种形式的训练促使学生对数学知识的掌握在发展中飞跃，促使学生的能力在认识数学概念过程中得到发展。
5、拓宽——质疑问难、系统思维、发展概念。
除在概念的熟练运用中发展学生的思维外，还要注意找出概念间的纵向和横向联系，组成概念系统，发展学生的数学能力。
三、运用模式时应注意的问题
1、引入概念时鼓励猜想。
引入是概念教学的第一步，也是形成概念的基础。概念引入时教师要鼓励学生猜想，即让学生依据已有的材料和知识做符合一定经验与事实的推测性想像，让学生经历数学家发现新概念的最初阶段。牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”猜想作为数学想像表现形式的最高层次，属于创造性想像，是推动数学发展的强大动力。因此，在概念引入时培养学生敢于猜想的习惯，是形成数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基本素质，也是培养创造性思维的重要因素。
2、形成概念时自主探索
形成概念是概念教学中至关重要的一步，是通过对具体事物的感知、辨别而抽象概括的过程，这个过程应该通过学生自主探索去完成，用自己的头脑亲自去发现事物或新的本质民各性或规律，进而获得新概念。现代著名心理学家布鲁纳认为：“发现不限于那种寻求人类尚未知晓的事物的行为，正确地说，发现包括用自己的头脑亲自获得知识的一切形式。”发现是创造的首要形式。教师可以引导学生在猜想的基础上进行验证、发现。要让学生有所发现必须创设好活动情境。如学习“三角形的认识”，学生对“围成”的理解有困难。教师可以让学生准备10厘米、16厘米、8厘米、6厘米的小棒各一根，选择其中三根摆成一个三角形。在拼摆中，学生发现用长度分别为10厘米、16厘米、8厘米、10厘米、8厘米、6厘米的小棒都能拼成三角形，当选16厘米、8厘米、6厘米长的三根小棒时，首尾不能相接，不能拼成三角形。借助图形，学生不但直观地感知了三角形“两边之
和不能小于第三边”，而且明白了“三角形”不是由“三条线段组成”的图形，而应该是由“三条线段围成”的图形，使学生对三角形的定义有了清晰的认识。因此，在概念的形成中教师要努力创造条件，给学生提供自主探索的机会和充分的思考空间，让学生在观察、操作、实验、归纳和分析的过程中亲自经历概念的形成和发展过程，进行数学的再发现、再创造。
3、表述概念时力求准确
概念形成之后，应及时让学生用语言表述出来，以加深对概念的印象。语言作为思维的物质外壳，教师可从学生的表述中得到反馈信息，了解、评价学生思维结果。由于数学概念是用科学的、精练的数学语言概括表达出来的，它所揭示事物的本质属性必须确定、无矛盾，有根有据和合情合理。因此培养学生正确地表述概念，能促进学生思维的深刻性。
学生在表述概念时往往使用一些自然语言。如概括小数的性质时会这样讲：“小数的后面加上零或去掉零，小数大小不变。”教师要引导学生辨别“后面”与“末尾”、“加上”与“添上”的区别，通过对重点字词的剖析，体会数学语言的严谨。这样学生在给概念下定义时就会字斟句酌，不随意添字丢字。如讲述“分数的基本性质”、“比的基本性质”、“商不变性质”、“分数除法法则”时不会丢了“零除外”这个条件。又如认识梯形时，教师从直观的模型或水坝横截面的形状引入，抽象出图形，然后让学生对大小、形状、位置不同的梯形进行观察、比较、分析，找出它们的共有本质属性，发现用“只有”就可
以说明梯形的另一组对边是不平行的。最后用准确简练的语言表棕为“只有一组对边平行的四边形叫做梯形”。学生在组织语言给概念下定义的过程中，即培养了语言表达能力，也锻炼了思维能力。
4、巩固概念时注重变通。
巩固是概念教学的重要环节。心理学原理告诉我们，概念一于旦获得，如不及时巩固，就会被遗忘。巩固概念，首先应在引入、形成概念后，引导学生正确复述，其次要运用变式加深理解。所谓变式，就是使提供给学生的各种感性材料不断变换其表现形式，使非本质属性时有时无，而本质属性保持恒在。恰当运用变式，能使思维不受消极定势的束缚，实现思维方向的灵活转换，使思维呈发散状态。
如为了帮助学生从不同角度认识“约数”的本质特征，教师可以提供一组“形变而质不变”的感性材料：（1）12的约数有哪此？（2）哪些数能整除12？（3）12是哪些数的倍数？（4）12能被哪些数整除？不管何各变式，约数的本质始终恒在。这样学生不但习惯于标准叙述形式，而且能有效排除变式的干扰，对概念的理解更加深刻。
初步形成的概念，巩固程度差，易泛化于邻近概念，此时利用变式有助于纠正学生的思维偏差。学生在感知几何图形的过程中，往往会受到图形的一些非本质属性的影响，把画在黑板上或书上的标准图形看做本质属性。如将等腰三角形的顶点画在左方，底边画在右方时，有的学生就认为它的两腰不在他的视线两旁，而错误的说它不是等腰三角形。因此利用变式图形，如呈现若干个位置或大小不同的等腰三角形，让学生观察辩认，就有利于克服感知图形时的消极影响，帮助
学生从错误的反省中激起对知识更为深刻的正面思考，使获得的概念更精确、稳定和易于迁移。
5、运用概念时联系实际
概念的形成是一个由个别到一般的过程，而概念的运用是一个由一般到个别的过程，它们是学生掌握概念的两个阶段。通过运用概念解决实际问题，可以加深、丰富和巩固学生对数学概念的掌握，并且在概念的运用过程中培养学生的实践能力。培养学生的实践能力对于提高学生的创造力起着至关重要的作用。因为只有积极参与实践，才能发现新问题，提出新见解、新思想、新方法，才能把握创造的机会进行成功的创造，提高创新能力。让学生用学到的数学概念解决日常生活中的实际问题，是概念教学中培养学生的创造性思维的有力手段。如学生“年、月、日”以后，可以让学生算一算自己的生日是星期几，如果今年的生日已经过了，算一算明年的生日是星期几，再算一算父母今（明）年的生日是星期几，则可以在前一个休息日为他们的生日准备小礼物。
概念培训
一、数学概念教学模式
不同年级的学生由于知识水平与经验有差异，因此建立数学概念的认识心理活动过程也就不一样。从总的方面看，其基本形式是“概念形成”与“概念同化”两种。
一般来说，低年级学生以“概念形成”作为建立概念的主要形式。中、高年级的学生逐渐过渡到以“概念同化”作为数学概念的主要形式。概念形成这一形式是通过对具体事物感知辨别而概括抽象形成的。这一形式的认知心理活动过程如下：
感知辨别------------------对比归纳------------------抽象概括-------形成概念
（建立表象） （提炼加工）
小学中、高年级学生建立概念时，较多的是通过概念同化的形式，概念同化的形式的认知心理过程一般是：
表象联系------类比-------迁移------------------同化概念
（归类分化）
概念的同化这一形式是运用已掌握的概念去理解、获取新概念。学习新概念时，要与原认知结构中相关联的概念进行比较，实现知识正迁移，使新概念的本质特征在学生头脑中得到精确分化，使新旧知识得到有机结合与联系，从而建立新的概念。
二、形成五步操作程序
1、引导——创设情境、激发思维、引入概念。
概念教学的第一步是引入概念。概念如何引入，直接关系到学生对概念的理解、接受。小学生学习概念一般是以感知具体事物，获得感性认知开始的。重视问题情境创设，激发学生思维，使学生产生积极主动地学习新知识的愿望。
2、探究——直观操作、深化思维、理解概念。
概念的理解是概念教学的中心环节，概念的获得是学生经过分析、综合、比较、抽象、概括的结果。只有在概念引入之后，引导学生自己主动探索，激发、深化学生思维，才能理解概念。
3、发现——分析归纳、强化思维、形成概念。
概念的抽象与概括要注意多层次地进行，概念的形成也不是一次完成的，要经过一个反复的过程，经过多层次的比较、分析与综合，才能真正发展学生的思维结构，让学生真正理解概念。
4、内化——巧设练习、扩展思维、应用概念。
问题明白了，概念抽象概括了，并不等于牢固掌握、切实理解，此时须有一个知识的内化过程。通过各种形式的训练促使学生对数学知识的掌握在发展中飞跃，促使学生的能力在认识数学概念过程中得到发展。
5、拓宽——质疑问难、系统思维、发展概念。
除在概念的熟练运用中发展学生的思维外，还要注意找出概念间的纵向和横向联系，组成概念系统，发展学生的数学能力。
三、运用模式时应注意的问题
1、引入概念时鼓励猜想。
引入是概念教学的第一步，也是形成概念的基础。概念引入时教师要鼓励学生猜想，即让学生依据已有的材料和知识做符合一定经验与事实的推测性想像，让学生经历数学家发现新概念的最初阶段。牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”猜想作为数学想像表现形式的最高层次，属于创造性想像，是推动数学发展的强大动力。因此，在概念引入时培养学生敢于猜想的习惯，是形成数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基本素质，也是培养创造性思维的重要因素。
2、形成概念时自主探索
形成概念是概念教学中至关重要的一步，是通过对具体事物的感知、辨别而抽象概括的过程，这个过程应该通过学生自主探索去完成，用自己的头脑亲自去发现事物或新的本质民各性或规律，进而获得新概念。现代著名心理学家布鲁纳认为：“发现不限于那种寻求人类尚未知晓的事物的行为，正确地说，发现包括用自己的头脑亲自获得知识的一切形式。”发现是创造的首要形式。教师可以引导学生在猜想的基础上进行验证、发现。要让学生有所发现必须创设好活动情境。如学习“三角形的认识”，学生对“围成”的理解有困难。教师可以让学生准备10厘米、16厘米、8厘米、6厘米的小棒各一根，选择其中三根摆成一个三角形。在拼摆中，学生发现用长度分别为10厘米、16厘米、8厘米、10厘米、8厘米、6厘米的小棒都能拼成三角形，当选16厘米、8厘米、6厘米长的三根小棒时，首尾不能相接，不能拼成三角形。借助图形，学生不但直观地感知了三角形“两边之
和不能小于第三边”，而且明白了“三角形”不是由“三条线段组成”的图形，而应该是由“三条线段围成”的图形，使学生对三角形的定义有了清晰的认识。因此，在概念的形成中教师要努力创造条件，给学生提供自主探索的机会和充分的思考空间，让学生在观察、操作、实验、归纳和分析的过程中亲自经历概念的形成和发展过程，进行数学的再发现、再创造。
3、表述概念时力求准确
概念形成之后，应及时让学生用语言表述出来，以加深对概念的印象。语言作为思维的物质外壳，教师可从学生的表述中得到反馈信息，了解、评价学生思维结果。由于数学概念是用科学的、精练的数学语言概括表达出来的，它所揭示事物的本质属性必须确定、无矛盾，有根有据和合情合理。因此培养学生正确地表述概念，能促进学生思维的深刻性。
学生在表述概念时往往使用一些自然语言。如概括小数的性质时会这样讲：“小数的后面加上零或去掉零，小数大小不变。”教师要引导学生辨别“后面”与“末尾”、“加上”与“添上”的区别，通过对重点字词的剖析，体会数学语言的严谨。这样学生在给概念下定义时就会字斟句酌，不随意添字丢字。如讲述“分数的基本性质”、“比的基本性质”、“商不变性质”、“分数除法法则”时不会丢了“零除外”这个条件。又如认识梯形时，教师从直观的模型或水坝横截面的形状引入，抽象出图形，然后让学生对大小、形状、位置不同的梯形进行观察、比较、分析，找出它们的共有本质属性，发现用“只有”就可
以说明梯形的另一组对边是不平行的。最后用准确简练的语言表棕为“只有一组对边平行的四边形叫做梯形”。学生在组织语言给概念下定义的过程中，即培养了语言表达能力，也锻炼了思维能力。
4、巩固概念时注重变通。
巩固是概念教学的重要环节。心理学原理告诉我们，概念一于旦获得，如不及时巩固，就会被遗忘。巩固概念，首先应在引入、形成概念后，引导学生正确复述，其次要运用变式加深理解。所谓变式，就是使提供给学生的各种感性材料不断变换其表现形式，使非本质属性时有时无，而本质属性保持恒在。恰当运用变式，能使思维不受消极定势的束缚，实现思维方向的灵活转换，使思维呈发散状态。
如为了帮助学生从不同角度认识“约数”的本质特征，教师可以提供一组“形变而质不变”的感性材料：（1）12的约数有哪此？（2）哪些数能整除12？（3）12是哪些数的倍数？（4）12能被哪些数整除？不管何各变式，约数的本质始终恒在。这样学生不但习惯于标准叙述形式，而且能有效排除变式的干扰，对概念的理解更加深刻。
初步形成的概念，巩固程度差，易泛化于邻近概念，此时利用变式有助于纠正学生的思维偏差。学生在感知几何图形的过程中，往往会受到图形的一些非本质属性的影响，把画在黑板上或书上的标准图形看做本质属性。如将等腰三角形的顶点画在左方，底边画在右方时，有的学生就认为它的两腰不在他的视线两旁，而错误的说它不是等腰三角形。因此利用变式图形，如呈现若干个位置或大小不同的等腰三角形，让学生观察辩认，就有利于克服感知图形时的消极影响，帮助
学生从错误的反省中激起对知识更为深刻的正面思考，使获得的概念更精确、稳定和易于迁移。
5、运用概念时联系实际
概念的形成是一个由个别到一般的过程，而概念的运用是一个由一般到个别的过程，它们是学生掌握概念的两个阶段。通过运用概念解决实际问题，可以加深、丰富和巩固学生对数学概念的掌握，并且在概念的运用过程中培养学生的实践能力。培养学生的实践能力对于提高学生的创造力起着至关重要的作用。因为只有积极参与实践，才能发现新问题，提出新见解、新思想、新方法，才能把握创造的机会进行成功的创造，提高创新能力。让学生用学到的数学概念解决日常生活中的实际问题，是概念教学中培养学生的创造性思维的有力手段。如学生“年、月、日”以后，可以让学生算一算自己的生日是星期几，如果今年的生日已经过了，算一算明年的生日是星期几，再算一算父母今（明）年的生日是星期几，则可以在前一个休息日为他们的生日准备小礼物。