第27卷第2期2011年4月
忻州师范学院学报
JOURNAL
0F
XINZHOU
TEACHERS
UNIVERSITY
V01.27No.2
Apr.2011
二重积分中值定理的推广
殷风.王鹏飞
(忻州师范学院,山西忻州034000)
摘要:文章从二重积分中值定理的基本形式和几何意义出发,找出二重积分中值定理成立的必要条件,将二重积分中值定理的连续性条件减弱为可积性和界值性,讨论了二重积分中值定理,:手・l用界值性给出了二重积分中值定理的推广形式。进一步在二重积分中值定理函数连续性的基础上,增加了函数对两个变量的单调性(单调递增,单调递减),给出了二重积分中值定理的其它的推广形式,最后给出二重积分中值定理特殊情形,即定积分中值定理的推广
形式。
关键词:介值性;单调性;二重积分;中值定理的推广中图分类号:0172.2
文献标识码:A
文章编号:1671—1491(2011)02—0015一02
l问题的提出
二重积分中值定理在微积分中有着非常广泛的应用,文献[1—2]给出了二重积分中值定理基本形式.文献[3—4]给出了二重积分中值定理的推广形式,二重积分中值定理描述如下。
定理l若函数八算,Y)在有界闭区域D上连续,函数g(z,Y)在D上可积且不变号,则存在一点(f,,7)ED,使得:
连续减弱为函数八五,,,)在有界闭区域D上可积且有介值性的条件下给出二重积分中值定理。
2
引理和二I积分中值定理的推广定义l
函数八茗。Y)在有界闭区域D上介值性是指:若
八髫I,),I)≠以善2,Y2),(算l,Y1),(聋2,Y2)ED,则对于介于八髫.,Y。)以茗:,托)之间的数k,比存在介于(石。,y。),(茗:,扎)之间的点(f,叼)使得八f,1'/)=k。
引理1
设函数以聋,Y)在有界闭区域D上可积,且
D,使得
肌z,y)g(x,Y)dxdy=“f,刀)』g(名,),)dxdy。
.tD/
葛
注释:定理中的以茗,Y)在有界闭区域D上连续减弱为以茗,,,)在有界闭区域D上可积时,定理不一定成立,但对一些可积的不连续函数,却有上面的结论。
例:设尺:[0≤鼻≤l,0≤Y≤1],V(石,Y)∈R,定义函
J肌茹,Y)dxdy>0,则至少存在D的一个子区域盯E
葛
以算,,,)>0,(石,y)E盯。
引理2引理3
设函数以石,Y)在有界闭区域D上可积,则八石,
),)在有界闭区域D上的连续点稠密。
设函数以并,Y)在有界闭区域D上可积。且八z,
数g(茗,y)=口,口为常数八石,y)=f!’z尹y,则以算,,,)在尺
tO.石2Y
y)>0,则肌茗,,,)dxdy>0。
葛
上可积但不连续,易知JIf(x,),)adxdy=0,所以取(f=’7)E
篇
尺J肌戈,Y)adxdy=0=八f,叼)JJadxdy。
篇
篇
E
定理2若函数八并,Y)在有界闭区域D上可积,且有介
值性,函数g(x,Y)在D上可积且不变号,则存在一点(f,r/)
由上述可知在二重积分中值定理中函数八髫,Y)在有界闭区域D上连续是充分条件.而非必要条件,也就是说可以把条件减弱。又在二重积分中值定理的证明中只用到了连续函数以戈.Y)的可积性和介值性.而函数的可积性和介值性
=
D,使得:f以茗,y)g(x,Y)dxdy=八f,叼)恬(髫。,,)dxdy。
为
苗
证明以苴.Y)在有界闭区域D上可积,所以,
,
Minf以髫,,,)=tn都存在。_
并不一定要连续.本文在将函蚶(z,Y)在有界闭区域D上
收稿日期:2010一12—20
基金项目:忻州师范学院院基金资助项目(200805)
当^f=m时以z,Y)为常数,任意一点(孝,田)ED都满
作者简介:殷凤(1979一).女,山西五台人,忻州师范学院数学系讲师,硕士.从事数学分析教学与研究。
万方数据
16
忻州师范学院学报
第27卷
巧吼,y)dxdy≤弘,,批y)dxdy≤俨㈠力岫
D
D
D
若g(埘)=o,由(1)知职Ⅵ)g(茗,y)dxdy=0,
所以对任意一点(f,叩)E
D都有弘膏,),)g(茗,y)dxdy=
以f,训砖(茗,y)d戈dy。
职W)g(髫,y)dxdy”当m<旦]i面<肘’由确界原理知’瞒气百洲鼽训)g(茗,y)dxdy
气百叫%¨洲弘训)g(z,y)dxdy
D’使得鹏川卜气鬲yI献茹,
)g(x
,
皓_h
y)dxdy’耳9舻
y)g(鼻,y)dxdy=以孝,叼)肛(x,y)dxdy,
2)当量]面5
耿聋,,,)g(茗,y)dxdy
J|If(m)时’有巧(肘一,(毛
,,))g(工,y)dxdy=o,又因为肛(善,y)dxdy>o,由引理1知0≤盯(JIf一八z,y))g(石,y)dxdy≤盯(J|I,一以互,,,))g(石,y)dzdy=o,所以盯(材一以工,),))g(茗,y)dxdy=o,即存在(f,y))g(工,y)>o,(f,可)E矿由引理3知Ⅱ(^f一以工,y))g(z,
综上所述存在一点(f,1,)E
D,使得:肛工,y)g(王。
y)dxdy=八f,1,)肛(茗,y)dxdy。
万方数据
值性,则存在一点(f,叼)E
D,使得:肌x,),)dxdy=八f,
.tDl
’,)S(D),S(D)为区域D的面积。
若D=[口,b]×[c,d],且八石,y)g(x,Y)=
南“聋)g(算),则有
推论2[51若函数以茗)在[口,b]上可积,且有介值性,函数g(x)在[口,b]上可积且不变号,则存在一点f∈[o,
b],使得:I以x)g(x)dx=以f)I
g(茗)dx。
推论3【53若函数八石)在[口,b]上可积,且有介值性,
则存在一点f∈[11,b],使得l八茗)dx=以f)(b一口)。
定理3
若函数八石,y)在区域[Ⅱ,b]×[c,d]上为非负
的单调减函数,而函数g(x,y)为可积函数,则至少存在一点
(f,叼)E[口,b]“c,d],使得JJ以x,y)g(x,Y)dydx=以口,
c)lJg(x,Y)dydx
定理4
若函数以x,Y)在区域[n,b]×[c,d]上为非负
的单调增函数,而函数g(x,Y)为可积函数,则至少存在一点
(孝,'7)E[n,b]×[c,d],使得IJ以算,y)g(膏,Y)dydx=八b,
d)上上g(茗,y)dydx
定理5
若函数八聋,Y)在区域[口,b]×[c,d]上为非负
的单调函数,而函数g(x,Y)为可积函数,则至少存在一点
(f,’,)E[口,b]“c,d],使得II以鼻,y)g(x,y)dydx=以口,
c、毫t小。y)dydx+f(bm毫£gky)dydx
若定理3,4,5中的“互,Y)s以x),且在[口,b]上为单调函数时,g(x,Y)sg(x)为可积函数时,有定积分中值定理
的三种推广形式,即J以x)g(z)以=,(口)l
g(戈)dx,
.6■
一
上八毒)g(名)dx=以6)Jfg(鼻)dx,
上八z)g(聋)出=
“口)J|n
g(石)出+以b)J.g(x)dx
Jt
推论l
若函数以x,y)在有界闭区域D连续,且关于鼻,
Y具有相同单调性,函数g(x。,,)在D上可积且不变号,则存在一点(f,叼)∈D,有:
弘Ⅵ)g(x,y)dxdy=以孝,田)肛(x,y)dxdy
推论2
若函数厂(工,),)在有界闭区域D连续,且关于工,
,,具有相同单词性,函数g(x,y)=l则存在一点(f,刀)E
D,
有:J献x,y)g(工,y)dxdy=以孝,田)s(D),S(D)为区域D的
苗
面积。
若函数八工,y)z八鼻)在有界闭,连续,且关于工具有单调性,函数g(x,),)z1则存在一点fE,,有:瞰工)dx=
’
八f)£(,),£(,)为区域,的长度。
(下转第30页)
忻州师范学院学报
第27卷
TheReductionThoughtis
Solvethe
a
PowerfulLever
to
MathematicsProblems
SONGYun・-feng
(XinzhouSubsidiaryTeachersCollegeofForeignLanguagesSchool,Xinzhou034000,China)
Abstract:Thereductionthoughting
way
or
thethoughtoftransforming,seen
a8
the
core
ofmathematics
thought,is
thebasicandessentialthink・
inseniormathematics,whichspreadsintoallfieldsof
mathematics
teachingandvariousstagesofsolvingproblems,including
geometry。inequality,function,analyticityofanalyticgeometry,The
essay
geometry,equation.Withthehelpoffeatures,graphics,andfo珊ul∞offunctionsandthesimplic・
many
throughmanydetailedexampleschanges
upon
complexproblemsintosimpleones,manyunknown
tO
problemsintoknownones,throwinglight
to
the
mathematicsthought
hiddenbehindtheknowledgeitself
makeitclearerandeasier
understand.
Keywords:reductionthought;transform;function
生生誓‘,kjI‘●簟囊坐-叠—}■}螺坐jk_■}★●—}●业jI■—k■}螺_■}—譬●●■t业簟坐坐jk-坐峰-坐●■}业
(上接第16页)
邹成.二重积分中值定理的推广[J].石河子大学学报,2006,24(5):647—649.[5]
李衍禧.积分第一中值定理的推广[J].数学的实践与认识。200r7,37(9):203—206.[6]
关若峰.积分中值定理的推广[J].广州大学学报,2004,(6):499-500.
(‘责编:唐晓燕)
参考文献:[1]
华东师范大学数学系.数学分析(下册)[M].北京:人民教育出版社,1991.[2]
刘玉琏,等.数学分析讲义(下册)(4版)[M].北京:高等教育出版社,2005.[3]
刘
[4]
淼.关于二重积分中值定理的推广[J].伊犁师范
学院学报,2002,(4):80—82.
TheExtensionofDoubleIntegral
Mean
ValueTheorem
YINFeng.WANGPeng—fei
(XinzhouTeachers
Abstract:Inthispaper。fromthe
University,Xinzhou
034000,China)
geometricmeaningandbasicformofthedoubleintegralvaluetheoremstarting,anecessaryconditionfor
establishmentofthedoubleintegralmeanvaluetheorem
value
wa¥found.The
continuityconditionisweakened
totheconditionwithinter-
mediatepropertyinthedoubleintegralmeanvaluetheorem,thedoubleintegralmegnvaluetheoremWasdiscussed,thegeneral・
on
izedformat
ofthedoubleintegralmeanvaluetheoremisgivenbyintermediatevalueproperty.Further
on
thebasis
offunctioncontinuity
ofthedoubleintegralmeanvaluetheorem。monotonicofthefunction
two
variablesisincreased,(monotonicincreasing,monotonic
decreasing),theothergeneralizedformatofthedoubleintegralmeanvaluetheommisgiven.Inthelastspecial
F“meanvalueKey
c躐ofthe
doubleinte-
theoremisgiventheextensionofIntegralmeanvaluevalue
theorem.
extensionofmeanvaluetheorem
words:intermediateproperty;monotonicity;double
integral;the
万方数据
二重积分中值定理的推广
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):
殷凤, 王鹏飞, YIN Feng, WANG Peng-fei忻州师范学院,山西,忻州,034000
忻州师范学院学报
JOURNAL OF XINZHOU TEACHERS UNIVERSITY2011,27(2)
参考文献(6条)
1.华东师范大学数学系 数学分析 19912.刘玉琏 数学分析讲义 2005
3.刘淼 关于二重积分中值定理的推广[期刊论文]-伊犁师范学院学报(社会科学版) 2002(04)4.邹成 二重积分中值定理的推广[期刊论文]-石河子大学学报(自然科学版) 2006(05)5.李衍禧 积分第一中值定理的推广[期刊论文]-数学的实践与认识 2007(09)6.关若峰 积分中值定理的推广[期刊论文]-广州大学学报 2004(06)
本文链接:http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_xzsfxyxb201102006.aspx
第27卷第2期2011年4月
忻州师范学院学报
JOURNAL
0F
XINZHOU
TEACHERS
UNIVERSITY
V01.27No.2
Apr.2011
二重积分中值定理的推广
殷风.王鹏飞
(忻州师范学院,山西忻州034000)
摘要:文章从二重积分中值定理的基本形式和几何意义出发,找出二重积分中值定理成立的必要条件,将二重积分中值定理的连续性条件减弱为可积性和界值性,讨论了二重积分中值定理,:手・l用界值性给出了二重积分中值定理的推广形式。进一步在二重积分中值定理函数连续性的基础上,增加了函数对两个变量的单调性(单调递增,单调递减),给出了二重积分中值定理的其它的推广形式,最后给出二重积分中值定理特殊情形,即定积分中值定理的推广
形式。
关键词:介值性;单调性;二重积分;中值定理的推广中图分类号:0172.2
文献标识码:A
文章编号:1671—1491(2011)02—0015一02
l问题的提出
二重积分中值定理在微积分中有着非常广泛的应用,文献[1—2]给出了二重积分中值定理基本形式.文献[3—4]给出了二重积分中值定理的推广形式,二重积分中值定理描述如下。
定理l若函数八算,Y)在有界闭区域D上连续,函数g(z,Y)在D上可积且不变号,则存在一点(f,,7)ED,使得:
连续减弱为函数八五,,,)在有界闭区域D上可积且有介值性的条件下给出二重积分中值定理。
2
引理和二I积分中值定理的推广定义l
函数八茗。Y)在有界闭区域D上介值性是指:若
八髫I,),I)≠以善2,Y2),(算l,Y1),(聋2,Y2)ED,则对于介于八髫.,Y。)以茗:,托)之间的数k,比存在介于(石。,y。),(茗:,扎)之间的点(f,叼)使得八f,1'/)=k。
引理1
设函数以聋,Y)在有界闭区域D上可积,且
D,使得
肌z,y)g(x,Y)dxdy=“f,刀)』g(名,),)dxdy。
.tD/
葛
注释:定理中的以茗,Y)在有界闭区域D上连续减弱为以茗,,,)在有界闭区域D上可积时,定理不一定成立,但对一些可积的不连续函数,却有上面的结论。
例:设尺:[0≤鼻≤l,0≤Y≤1],V(石,Y)∈R,定义函
J肌茹,Y)dxdy>0,则至少存在D的一个子区域盯E
葛
以算,,,)>0,(石,y)E盯。
引理2引理3
设函数以石,Y)在有界闭区域D上可积,则八石,
),)在有界闭区域D上的连续点稠密。
设函数以并,Y)在有界闭区域D上可积。且八z,
数g(茗,y)=口,口为常数八石,y)=f!’z尹y,则以算,,,)在尺
tO.石2Y
y)>0,则肌茗,,,)dxdy>0。
葛
上可积但不连续,易知JIf(x,),)adxdy=0,所以取(f=’7)E
篇
尺J肌戈,Y)adxdy=0=八f,叼)JJadxdy。
篇
篇
E
定理2若函数八并,Y)在有界闭区域D上可积,且有介
值性,函数g(x,Y)在D上可积且不变号,则存在一点(f,r/)
由上述可知在二重积分中值定理中函数八髫,Y)在有界闭区域D上连续是充分条件.而非必要条件,也就是说可以把条件减弱。又在二重积分中值定理的证明中只用到了连续函数以戈.Y)的可积性和介值性.而函数的可积性和介值性
=
D,使得:f以茗,y)g(x,Y)dxdy=八f,叼)恬(髫。,,)dxdy。
为
苗
证明以苴.Y)在有界闭区域D上可积,所以,
,
Minf以髫,,,)=tn都存在。_
并不一定要连续.本文在将函蚶(z,Y)在有界闭区域D上
收稿日期:2010一12—20
基金项目:忻州师范学院院基金资助项目(200805)
当^f=m时以z,Y)为常数,任意一点(孝,田)ED都满
作者简介:殷凤(1979一).女,山西五台人,忻州师范学院数学系讲师,硕士.从事数学分析教学与研究。
万方数据
16
忻州师范学院学报
第27卷
巧吼,y)dxdy≤弘,,批y)dxdy≤俨㈠力岫
D
D
D
若g(埘)=o,由(1)知职Ⅵ)g(茗,y)dxdy=0,
所以对任意一点(f,叩)E
D都有弘膏,),)g(茗,y)dxdy=
以f,训砖(茗,y)d戈dy。
职W)g(髫,y)dxdy”当m<旦]i面<肘’由确界原理知’瞒气百洲鼽训)g(茗,y)dxdy
气百叫%¨洲弘训)g(z,y)dxdy
D’使得鹏川卜气鬲yI献茹,
)g(x
,
皓_h
y)dxdy’耳9舻
y)g(鼻,y)dxdy=以孝,叼)肛(x,y)dxdy,
2)当量]面5
耿聋,,,)g(茗,y)dxdy
J|If(m)时’有巧(肘一,(毛
,,))g(工,y)dxdy=o,又因为肛(善,y)dxdy>o,由引理1知0≤盯(JIf一八z,y))g(石,y)dxdy≤盯(J|I,一以互,,,))g(石,y)dzdy=o,所以盯(材一以工,),))g(茗,y)dxdy=o,即存在(f,y))g(工,y)>o,(f,可)E矿由引理3知Ⅱ(^f一以工,y))g(z,
综上所述存在一点(f,1,)E
D,使得:肛工,y)g(王。
y)dxdy=八f,1,)肛(茗,y)dxdy。
万方数据
值性,则存在一点(f,叼)E
D,使得:肌x,),)dxdy=八f,
.tDl
’,)S(D),S(D)为区域D的面积。
若D=[口,b]×[c,d],且八石,y)g(x,Y)=
南“聋)g(算),则有
推论2[51若函数以茗)在[口,b]上可积,且有介值性,函数g(x)在[口,b]上可积且不变号,则存在一点f∈[o,
b],使得:I以x)g(x)dx=以f)I
g(茗)dx。
推论3【53若函数八石)在[口,b]上可积,且有介值性,
则存在一点f∈[11,b],使得l八茗)dx=以f)(b一口)。
定理3
若函数八石,y)在区域[Ⅱ,b]×[c,d]上为非负
的单调减函数,而函数g(x,y)为可积函数,则至少存在一点
(f,叼)E[口,b]“c,d],使得JJ以x,y)g(x,Y)dydx=以口,
c)lJg(x,Y)dydx
定理4
若函数以x,Y)在区域[n,b]×[c,d]上为非负
的单调增函数,而函数g(x,Y)为可积函数,则至少存在一点
(孝,'7)E[n,b]×[c,d],使得IJ以算,y)g(膏,Y)dydx=八b,
d)上上g(茗,y)dydx
定理5
若函数八聋,Y)在区域[口,b]×[c,d]上为非负
的单调函数,而函数g(x,Y)为可积函数,则至少存在一点
(f,’,)E[口,b]“c,d],使得II以鼻,y)g(x,y)dydx=以口,
c、毫t小。y)dydx+f(bm毫£gky)dydx
若定理3,4,5中的“互,Y)s以x),且在[口,b]上为单调函数时,g(x,Y)sg(x)为可积函数时,有定积分中值定理
的三种推广形式,即J以x)g(z)以=,(口)l
g(戈)dx,
.6■
一
上八毒)g(名)dx=以6)Jfg(鼻)dx,
上八z)g(聋)出=
“口)J|n
g(石)出+以b)J.g(x)dx
Jt
推论l
若函数以x,y)在有界闭区域D连续,且关于鼻,
Y具有相同单调性,函数g(x。,,)在D上可积且不变号,则存在一点(f,叼)∈D,有:
弘Ⅵ)g(x,y)dxdy=以孝,田)肛(x,y)dxdy
推论2
若函数厂(工,),)在有界闭区域D连续,且关于工,
,,具有相同单词性,函数g(x,y)=l则存在一点(f,刀)E
D,
有:J献x,y)g(工,y)dxdy=以孝,田)s(D),S(D)为区域D的
苗
面积。
若函数八工,y)z八鼻)在有界闭,连续,且关于工具有单调性,函数g(x,),)z1则存在一点fE,,有:瞰工)dx=
’
八f)£(,),£(,)为区域,的长度。
(下转第30页)
忻州师范学院学报
第27卷
TheReductionThoughtis
Solvethe
a
PowerfulLever
to
MathematicsProblems
SONGYun・-feng
(XinzhouSubsidiaryTeachersCollegeofForeignLanguagesSchool,Xinzhou034000,China)
Abstract:Thereductionthoughting
way
or
thethoughtoftransforming,seen
a8
the
core
ofmathematics
thought,is
thebasicandessentialthink・
inseniormathematics,whichspreadsintoallfieldsof
mathematics
teachingandvariousstagesofsolvingproblems,including
geometry。inequality,function,analyticityofanalyticgeometry,The
essay
geometry,equation.Withthehelpoffeatures,graphics,andfo珊ul∞offunctionsandthesimplic・
many
throughmanydetailedexampleschanges
upon
complexproblemsintosimpleones,manyunknown
tO
problemsintoknownones,throwinglight
to
the
mathematicsthought
hiddenbehindtheknowledgeitself
makeitclearerandeasier
understand.
Keywords:reductionthought;transform;function
生生誓‘,kjI‘●簟囊坐-叠—}■}螺坐jk_■}★●—}●业jI■—k■}螺_■}—譬●●■t业簟坐坐jk-坐峰-坐●■}业
(上接第16页)
邹成.二重积分中值定理的推广[J].石河子大学学报,2006,24(5):647—649.[5]
李衍禧.积分第一中值定理的推广[J].数学的实践与认识。200r7,37(9):203—206.[6]
关若峰.积分中值定理的推广[J].广州大学学报,2004,(6):499-500.
(‘责编:唐晓燕)
参考文献:[1]
华东师范大学数学系.数学分析(下册)[M].北京:人民教育出版社,1991.[2]
刘玉琏,等.数学分析讲义(下册)(4版)[M].北京:高等教育出版社,2005.[3]
刘
[4]
淼.关于二重积分中值定理的推广[J].伊犁师范
学院学报,2002,(4):80—82.
TheExtensionofDoubleIntegral
Mean
ValueTheorem
YINFeng.WANGPeng—fei
(XinzhouTeachers
Abstract:Inthispaper。fromthe
University,Xinzhou
034000,China)
geometricmeaningandbasicformofthedoubleintegralvaluetheoremstarting,anecessaryconditionfor
establishmentofthedoubleintegralmeanvaluetheorem
value
wa¥found.The
continuityconditionisweakened
totheconditionwithinter-
mediatepropertyinthedoubleintegralmeanvaluetheorem,thedoubleintegralmegnvaluetheoremWasdiscussed,thegeneral・
on
izedformat
ofthedoubleintegralmeanvaluetheoremisgivenbyintermediatevalueproperty.Further
on
thebasis
offunctioncontinuity
ofthedoubleintegralmeanvaluetheorem。monotonicofthefunction
two
variablesisincreased,(monotonicincreasing,monotonic
decreasing),theothergeneralizedformatofthedoubleintegralmeanvaluetheommisgiven.Inthelastspecial
F“meanvalueKey
c躐ofthe
doubleinte-
theoremisgiventheextensionofIntegralmeanvaluevalue
theorem.
extensionofmeanvaluetheorem
words:intermediateproperty;monotonicity;double
integral;the
万方数据
二重积分中值定理的推广
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):
殷凤, 王鹏飞, YIN Feng, WANG Peng-fei忻州师范学院,山西,忻州,034000
忻州师范学院学报
JOURNAL OF XINZHOU TEACHERS UNIVERSITY2011,27(2)
参考文献(6条)
1.华东师范大学数学系 数学分析 19912.刘玉琏 数学分析讲义 2005
3.刘淼 关于二重积分中值定理的推广[期刊论文]-伊犁师范学院学报(社会科学版) 2002(04)4.邹成 二重积分中值定理的推广[期刊论文]-石河子大学学报(自然科学版) 2006(05)5.李衍禧 积分第一中值定理的推广[期刊论文]-数学的实践与认识 2007(09)6.关若峰 积分中值定理的推广[期刊论文]-广州大学学报 2004(06)
本文链接:http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_xzsfxyxb201102006.aspx