面积最值问题解析
规则图形面积直接利用面积公式
1．定方向：
面
积最值问题
的分析思路
不规则图形面积分解为规则图形再表示 2．定目标：确定待求条件 题目中有角度或者三角函数值。（解直角三角形） 题目中只有长度。（相似）
4．定最值：根据函数解析式和范围求最值。
3．定解法：解决待求条件
例1：正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，
（1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；
（2）设BM=x，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 的面积最大，并求出最大面积；
分析：（1）定方向：梯形（规则图形）面积问题；
（2）定目标：下底AB=4，高BC=4，缺上底CN （待求条件）
（3）定解法：本题没有明显的角度或三角函数值，加之前一个问题证明了相似。所以本题是利用相似三角形对应边的比建立方程来表示CN 的长。
（4）定最值：根据范围确定最值在顶点取得。
答案
当x =2时，y 取最大值，最大值为10．
例2：如图，Rt △ABC ，∠BAC =90°，∠C =60°，BC =24，点P 是BC 边上的动点（点P 与点B 、C 不重合），过动点P 作PD ∥BA 交AC 于点D ．试问：当PC 等于多少时，△APD 的面积最大？最大面积是多少？
分析：（1）定方向：直角三角形（规则图形）面积问题；
（2）定目标：△ADP 的底PD ，高AD 都不知道（待求条件） Mr.Q 压轴题研究1——面积最值（动点） 模型一 模型二
（3）定解法：本题有明显的角度或三角函数值。所以本题是利用解直角三角形求PD 和AD 的长。
（4）定最值：根据范围确定最值在顶点取得。
答案PC 等于12时，△
APD 的面积最大，最大面积是．
练习：2．如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s，点Q 运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为（t s ），设△BPQ 的面积为S （cm 2），当t 等于多少时， S 最大？
∴S △BPQ =答案：12⨯BP ⨯Q E =1
2
9
2(6-t ) ⨯=-2+． 2（0≤t ≤3）；当t=3,S ∆BPQ =3
Mr.Q 压轴题研究1——面积最值（坐标系）
模型三
例1：如图：已知抛物线y =ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于点A (1，0) 和点B (－3，0) ，与y 轴交于点C ．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．
分析：（1）定方向：不规则图形四边形的面积问题，先分解为△BEF 和梯形CEFO ；（分解方法不唯一）
（2）定目标：需要利用E 点坐标表示BF,EF,OF 的长
以及求出OC 的长（待求条件）
（3）定解法：利用坐标表示长度要关注所处的象限。
（4）定最值：根据范围确定最值在顶点取得。
363答案 当a =－时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为 ． 28
153此时，点E 坐标为 (－，) 24
点睛：（1）本质：求E 点坐标本质就是求EF 和OF 的长。
（2）设法：两种设点E 的方法本质是相同的，都是用横坐标表示纵坐标。只是表示
的时机不同而已。
（3）易错：长度和坐标之间的转化要考虑象限；
练习1：如图，抛物线y =x 2-2x +k 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴
交于点C （0，-3）．
（1）k = ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标
为 ；
（2）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积
最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；
答案：S=-3
28
1575∴ 存在点D (，． -) ，使四边形ABDC 的面积最大为248(m -323) +275．
模型四
例2：如图，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0) 两点。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值. 若没有，请说明理由.
分析：（1）定方向：斜△PBC （不规则图形）面积问题，分解四边形PCOB 减去△BOC ；
（2）定目标：利用P 点坐标表示BE,PE,OE ，及求OC 的长
（待求条件）
（3）定解法：利用坐标表示长度要关注所处的象限。
（4）定最值：根据范围确定最值在顶点取得。
答案：当x =-3
2，S ∆BPC 最大＝
3
2， 15
4) 278 ∴点P 坐标为(-
点睛：
（1）本质：三法都是将不规则图形转化为规则图形。法1和法2体现面
积的“割”；而法3是面积的“补”。
（2）技巧：法二的分割方法为铅垂高分割法；简洁方便，值得记忆。
面积最值问题解析
规则图形面积直接利用面积公式
1．定方向：
面
积最值问题
的分析思路
不规则图形面积分解为规则图形再表示 2．定目标：确定待求条件 题目中有角度或者三角函数值。（解直角三角形） 题目中只有长度。（相似）
4．定最值：根据函数解析式和范围求最值。
3．定解法：解决待求条件
例1：正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，
（1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；
（2）设BM=x，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 的面积最大，并求出最大面积；
分析：（1）定方向：梯形（规则图形）面积问题；
（2）定目标：下底AB=4，高BC=4，缺上底CN （待求条件）
（3）定解法：本题没有明显的角度或三角函数值，加之前一个问题证明了相似。所以本题是利用相似三角形对应边的比建立方程来表示CN 的长。
（4）定最值：根据范围确定最值在顶点取得。
答案
当x =2时，y 取最大值，最大值为10．
例2：如图，Rt △ABC ，∠BAC =90°，∠C =60°，BC =24，点P 是BC 边上的动点（点P 与点B 、C 不重合），过动点P 作PD ∥BA 交AC 于点D ．试问：当PC 等于多少时，△APD 的面积最大？最大面积是多少？
分析：（1）定方向：直角三角形（规则图形）面积问题；
（2）定目标：△ADP 的底PD ，高AD 都不知道（待求条件） Mr.Q 压轴题研究1——面积最值（动点） 模型一 模型二
（3）定解法：本题有明显的角度或三角函数值。所以本题是利用解直角三角形求PD 和AD 的长。
（4）定最值：根据范围确定最值在顶点取得。
答案PC 等于12时，△
APD 的面积最大，最大面积是．
练习：2．如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s，点Q 运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为（t s ），设△BPQ 的面积为S （cm 2），当t 等于多少时， S 最大？
∴S △BPQ =答案：12⨯BP ⨯Q E =1
2
9
2(6-t ) ⨯=-2+． 2（0≤t ≤3）；当t=3,S ∆BPQ =3
Mr.Q 压轴题研究1——面积最值（坐标系）
模型三
例1：如图：已知抛物线y =ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于点A (1，0) 和点B (－3，0) ，与y 轴交于点C ．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．
分析：（1）定方向：不规则图形四边形的面积问题，先分解为△BEF 和梯形CEFO ；（分解方法不唯一）
（2）定目标：需要利用E 点坐标表示BF,EF,OF 的长
以及求出OC 的长（待求条件）
（3）定解法：利用坐标表示长度要关注所处的象限。
（4）定最值：根据范围确定最值在顶点取得。
363答案 当a =－时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为 ． 28
153此时，点E 坐标为 (－，) 24
点睛：（1）本质：求E 点坐标本质就是求EF 和OF 的长。
（2）设法：两种设点E 的方法本质是相同的，都是用横坐标表示纵坐标。只是表示
的时机不同而已。
（3）易错：长度和坐标之间的转化要考虑象限；
练习1：如图，抛物线y =x 2-2x +k 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴
交于点C （0，-3）．
（1）k = ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标
为 ；
（2）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积
最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；
答案：S=-3
28
1575∴ 存在点D (，． -) ，使四边形ABDC 的面积最大为248(m -323) +275．
模型四
例2：如图，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0) 两点。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值. 若没有，请说明理由.
分析：（1）定方向：斜△PBC （不规则图形）面积问题，分解四边形PCOB 减去△BOC ；
（2）定目标：利用P 点坐标表示BE,PE,OE ，及求OC 的长
（待求条件）
（3）定解法：利用坐标表示长度要关注所处的象限。
（4）定最值：根据范围确定最值在顶点取得。
答案：当x =-3
2，S ∆BPC 最大＝
3
2， 15
4) 278 ∴点P 坐标为(-
点睛：
（1）本质：三法都是将不规则图形转化为规则图形。法1和法2体现面
积的“割”；而法3是面积的“补”。
（2）技巧：法二的分割方法为铅垂高分割法；简洁方便，值得记忆。