第11章 半导体热电与霍尔效应
半导体是一类具有多种能量转换功能，且转换效率一般较高的材料，除了前章介绍的光电效应之外，还有热电效应，磁电、磁阻效应，压阻效应等等，利用这些效应不但可以做成换能元器件，例如半导体制冷器和温差发电机，更重要的是可以制成各种信息传感器，广泛应用于信息技术和自动控制技术。
由于时间关系，本课程只简单介绍热电效应和霍尔效应。
§11.1 热电效应
一、塞贝克效应
1、 原理
如图11-1所示，当两个不同导体a 和b 两端
相接组成一个闭合回路，若两接头A 和B 温度不
同，则回路中便有电流，称之为温差电流，该回路
便构成所谓温差电偶。产生电流的电动势称为温差
电动势，其数值一般只与两个接头的温度有关。该
效应是塞贝克1821年发现的。
在讨论温差电动势时，常采用如图11-l(a)所示的开路状态。接头A 和B 的温度分别为T 2和T 1，在温度为T 0处的开路两端C 和D 的电势差即为温差电动势，记为Θab ，其脚标ab 按电势由高到低为序时，其值为正，反之为负。C 、D 一旦闭合如图11-1(b)所示，则Θab 为正的热电偶在高温接头T 2处即有电流由导体a 流向导体b 。
设T 2－T 1＝△T ，由△T 产生的电动势为△Θab ，定义温差电动势率
αab =lim ∆T →0∆Θab d Θab (11-1) =∆T dT
αab 表示单位温差产生的温差电动势，亦称塞贝克系数，单位为V/K。
2、半导体的温差电动势率
若将图11-1所示的两种导体换成两种费米能级位置不同的半导体，则当两接头温度不同时，也要产生温差电动势。
首先分别观察互不接触的半导体a 和b ，并设半导体a 两端的温度分别为T 2、T 1，半导体b 两端的温度分别为T 1、T 2。众所周知，半导体的热平衡载流子密度是温度的敏感函数，当半导体内存在温度梯度时，其两端必有载流子密度梯度，形成能带相对于费米能级的倾斜（注意此时费米能级也有一定倾斜，因为费米能级在禁带中的位置也是温度的函数），即两端产生电势差。两端开路时，此电势差即温差电动势，称之为材料的绝对温差电动势，记为ΘS 。相应地将α≈d ΘS /dT定义为半导体的绝对温差电动势率。将a 和b 一端相接，并保持在温度T 1；另一端开路，但保持相同温度T 2。这样就形成了一个半导体温差电偶。两种材料的绝对温差电动势之差即为该温差电偶的温差电动势，其温差电动势率αab 为
（1） 一种载流子的绝对温差电动势率
为简单起见，讨论一维情况，并以p 型半导体为例。如图
11-2所示，一块细长半导体片，两端与金属形成欧姆接触，一
端温度为T 0，另一端为T 0+△T ，在半导体内部形成均匀温度梯
度。设样品均匀掺杂且杂质尚未完全电离，因而两端之间的载
流子密度随温度指数地升高，由于低温端载流子密度比高温端
低，因而空穴便会从高温端向低温端扩散，低温端积累空穴带
正电，高温端留下电离受主带负电，形成电场E x ，称为温差电
场，其方向自低温端指向高温端。该电场使空穴反扩散方向漂
移，当空穴的漂移与扩散相平衡时达到稳定状态，在两端产生
稳定的电势差ΘS 。这时，从高温区流向低温区的空穴扩散电流
与从低温区流向高温区的空穴漂移电流相等。利用这个关系，
解得 图11-2 塞贝克效应能带图
ΘS =
因而绝对温差电动势率 E -E V k 3(+ξp ) ∆T ， 式中ξp =F kT q 2
αp =(+ξp ) （11-2）
以同样方法可知n 型半导体的绝对温差电动势率为 k 3q 2
αn =-(+ξn ) ， 式中ξn =k 3
q 2E C -E F kT
以上结果表明，半导体的温差电效应与掺杂浓度和温度有关，低温下的轻掺杂材料温差电动势率较高。另外注意到p 型半导体n 型半导体的温差电动势方向相反。因为当温度升高时，载流子密度和速度都增加，它们由热端扩散到冷端，如果载流子是空穴，则热端缺少空穴，冷端有积累空穴，冷端电势较高，形成由冷端指向热端的电场；如果载流子是电子，则热端缺少电子，冷端积累电子，热端电势高，冷端电势低。这样，由半导体的温差
电方向可以判断半导体的导电类型。
图11-3为热探针法判断半导体导电类型的示意图。半导体样
品置于冷金属板上，烙铁的热端置于样品表面上，在热端与冷端
间连接一伏特计，由伏特计指针的偏转方向即可判断导电类型：
如为n 型样品，温差电动势正负如图所示，如为p 型样品则相反。
（2）两种载流子的绝对温差电动势率
同时考虑电子和空穴从高温端向低温端的扩散及其在温差电场下漂移，利用总电流为零的关系，解得电子和空穴密度相当的半导体的温差电动势率为 图11-3热探针法判断导电类型
33p μp (
+ξp ) -n μn (+ξn ) k ΘS =⋅⋅∆T q p μp +n μn
相应地，其绝对温差电动势率
33p μp (+ξp ) -n μn (+ξn ) k αS =⋅ q p μp +n μn
上式亦可用空穴和电子的电导率σp 、σn 以及σ = σp +σn 表示成
αS =αp σp +αn σn σ
以上是用简单方法求得的半导体温差电动势率，求解时没有考虑载流子的速度分布。考虑速度分布时，通过求解玻耳兹曼方程，对本征状态下的半导体求得绝对温差电动势率
αS =-⋅E g ⎫k b -1⎛⎪) ⋅ 2+ ⎪q b +1⎝2kT ⎭
式中b=μn /μp ，并假定N C =N V （即电子和空穴的态密度有效质量相等）。
一般情况下，半导体的温差电动势率约为几百μV/K。例如，对于E F 与E V 重合的p 型半导体，ξp ＝0，由式(11-2)可知其温差电动势率约为129μV/K。
3、两种材料的温差电动势率
若样品a 和b 都是n 型半导体，并且用同一种材料作成，但具有不同的杂质浓度，因此，在同一个温度下，这两种材料因载流子密度n a 和n b 不同而有不同的温差电动势率αa 和αb ，由这两种材料构成的温差电偶的温差电动势率
αab =αb -αa =ln k
q n b n a
同样，对由杂质浓度不同的同种p 型半导体制成的温差电偶，其温差电动势率
αab =αa -αb =ln
两种材料杂质浓度差别越大，其温差电效应越明显。 k q n a n b
如果材料a 是金属，材料b 是半导体，则温差电动势率为
α=αS -αM
忽略热胀冷缩，金属的载流子密度不随温度改变，即dn/dT≈0；金属的费米能级也基本不随温度变化，即dE F /dT≈0。因此，取一级近似认为金属的绝对温差电动势率为零，不为零的金属温差电动势率要计入较高级近似才能得到。由此也可看出金属温差电动势率比半导体小得多。计入较高级近似之后，可以算出金属的温差电功势率为
αM =-π2k 2T
qE F
一般金属的温差电动势率绝对值约在0与10μV/K之间，而室温附近半导体的温差电动势率有几百μV/K，比金属的要高得多，因此在金属和半导体组成的温差电偶中可以忽略金属的存在，测量半导体－金属温差电偶的电动势率就是测量半导体的绝对温差电动势率。
二、珀耳帖效应
1、原理
1834珀耳帖首先发现在温差电偶中通以电流会在接头处出现吸热或放热现象，这就是珀耳帖效应。实验表明，接头吸收或放出的热量只与两种导体的性质及接头的温度有关，而与导体其他部分的情况无关。若电流由导体a 流向导体b ，电流密度为J ，则单位时间在接头的单位面积上吸收的热量为
πab 称为珀耳帖系数。πab 为正值时，表示吸热，反之为放热。如两边均乘以接头面积S ，则单位时间接头处吸收的热量dQ ／d t 为
I 为电流强度。珀耳帖效应是可逆的，若电流由导体b 流向导体a ，则在接头处放出相同的热量，由珀耳帖系数的定义知，此时
因此，得
πab =-πba
珀耳帖系数的单位为V ，是温度的函数，所以温度不同的接头吸收或放出的热量不同。
2、半导体的珀耳帖效应
一种半导体与另一种半导体的接触，或半导体与金属的接触皆具
有珀耳帖效应，而且比两种不同金属的接触所产生的效应要大得多。
下面仍以p 型半导体和金属相接触来说明珀耳帖效应。假定接触
面为欧姆接触。平衡时金属和半导体的费米能级应该等高。如图11-4
所示，假定电流方向由金属流向半导体，也即价带电子自半导体流向
金属，由于E F 比价带顶高，所以价带电子至少要吸收E F -E V 的能量才
能通过接触面进入金属。价带电子进人金属，相当于金属向半导体注
入空穴，这些空穴要在半导体中流动还需要具备一定能量E ，因此，
导体流向金属时，空穴就放出E F -E v +E的能量。
对非简并半导体，E F -E v ＞2kT ，而半导体中空穴的平均能量为3kT/2，考虑到散射对载流子速度分布的影响，还须将(3/2)修正为(5/2)+γ。这里，γ是一个与散射机构有关的常数，对声学波散射，γ＝-1/2。所以，半导体中空穴的平均能量E 实为 空穴要透过接触面必须吸收E F -E V +E的能量，这就是珀耳帖效应产生的原因。反之，当空穴自半
5E =(+γ) kT 2
因而，一个空穴通过接触面自金属流向半导体时，需要吸收能量
5E F -E V +(+γ) kT 2
这个能量来源于晶格的热振动，所以电流通过接触面时吸热，产生致冷效果。
反之，当空穴自半导体流向金属时，便放出由上式给出的能量，使温度升高。
由珀耳帖系数πa 的定义，得金属与p 型半导体的欧姆接触的帕尓帖系数为
πab =kT ⎛5⎫ (+γ) +ξp ⎪ q ⎝2⎭
若电流由金属流向半导体时吸收热量，则πab 为正；反之，πab 为负。
如果样品a 和b 是杂质含量不同的p 型半导体，空穴密度分别为p a 和p b ，用类似方法可得
πab =±
当a 和b 都是n 型半导体时．则 kT p a ln q p b
πab =±
如果是本征半导体和金属相接触，则 kT n b ln q n a
πab =-
三、汤姆逊效应
1、 原理 E g ⎫kT b -1⎛⎪ ⋅⋅ 2+ ⎪q b +1⎝2kT ⎭
塞贝克效应发现后经过了30年，随着热力学理论的形成，汤姆逊用热
力学方法分析了温差电和珀耳帖现象，并且发现了第三个与温度梯度有关的
效应——汤姆逊效应。如图11-5
所示，在存在温度梯度的均匀导体中通电，导体中除了产生和电阻有关的焦耳热以外，还要吸收或放出热量。这个效应
被称为汤姆逊效应。单位时间和单位体积内吸收或放出的热量与电流密度和
温度梯度成比例。若电流由温度T 流向(T+dT)，则在单位时间和单位体积内
所吸收的热量为 dH dT =σT J x dt dx
称σT 为导体的汤姆逊系数，单位为V/K，其值随导体与温度而异。该式表明，若电流与温度梯度方向相同，则汤姆逊系数为正的导体吸热；反之。若电流与温度梯度方向相反，则汤姆逊系数的正的导体将放热。这表明汤姆逊效应也是可逆的。
2、半导体的汤姆逊效应
当电流流过有温度梯度的半导体时，半导体中除产生焦耳热外，也要吸收或放出热量。对图11-2所示的具有均匀温度梯度的p 型半导体，当电流从低温端流向高温端时，空穴移动了距离l ，在此过程中空穴一方面损失了能量－qV ，一方面获得了(3/2)k△T 的平均能量（考虑速度分布应修正为[(5/2)+γ] k△T ），两者的代数和为
5-qV +(+γ) k ∆T 2
这就是空穴自T 0端运动到T 0+△T 端时得到的净能量。净能量的正负视两者的大小而定。如果净能量是正，就是从晶格吸收这部分能量。反之，就是放出热量给晶格，这就是汤姆逊热量。
按定义，电流在截面积为S 的导体中流过距离dx 的每单位时间吸收之汤姆逊热可表示为
dH dT Sdx =σT I x dx =σT I x dT dt dx
因此，当一个空穴从T 0端移动到T 0+△T 端时，单位时间吸收的汤姆逊热就是
⎰
当△T 不大时亦可表示为 T 0+∆T T 0q σT dT
q σpT ∆T 与式-qV +(5+γ) k ∆T 相比，知p 型半导体的汤姆逊系数 2
σpT =(+γ) -5
2k q V ∆T
式中，V = -5⎛dE F E F -E V ⎫∆T （见参考书式(11-29)，qV 为能带因温度差而倾++(+γ) k ⎪⋅dT T 2q ⎝⎭
斜所造成的两端价带顶之差，代入上式，得
σpT =1dE F E F -E V - q dT qT
当电流沿正温度梯度方向流动时，空穴吸收热量，汤姆逊系数为正；反之，汤姆逊系数为负。
同理。对n 型半导体可得
σnT =1dE F E C -E F + q dT qT
结果表明，半导体的汤姆逊系数不但是温度和掺杂浓度的函数，也与费米能级的温度系数有关。
四、塞贝克系数、珀耳帖系数和汤姆逊系数间的关系
由以上结果显见，对一个温差电系统，这三个系数之间有以下简单关系：
πab =αab T
σaT -σbT =-T d αab dT
以上二式即为描述这三个系数之间关系的开耳芬关系式。利用热力学定律可以证明之（见参考书p296）。
第11章 半导体热电与霍尔效应
半导体是一类具有多种能量转换功能，且转换效率一般较高的材料，除了前章介绍的光电效应之外，还有热电效应，磁电、磁阻效应，压阻效应等等，利用这些效应不但可以做成换能元器件，例如半导体制冷器和温差发电机，更重要的是可以制成各种信息传感器，广泛应用于信息技术和自动控制技术。
由于时间关系，本课程只简单介绍热电效应和霍尔效应。
§11.1 热电效应
一、塞贝克效应
1、 原理
如图11-1所示，当两个不同导体a 和b 两端
相接组成一个闭合回路，若两接头A 和B 温度不
同，则回路中便有电流，称之为温差电流，该回路
便构成所谓温差电偶。产生电流的电动势称为温差
电动势，其数值一般只与两个接头的温度有关。该
效应是塞贝克1821年发现的。
在讨论温差电动势时，常采用如图11-l(a)所示的开路状态。接头A 和B 的温度分别为T 2和T 1，在温度为T 0处的开路两端C 和D 的电势差即为温差电动势，记为Θab ，其脚标ab 按电势由高到低为序时，其值为正，反之为负。C 、D 一旦闭合如图11-1(b)所示，则Θab 为正的热电偶在高温接头T 2处即有电流由导体a 流向导体b 。
设T 2－T 1＝△T ，由△T 产生的电动势为△Θab ，定义温差电动势率
αab =lim ∆T →0∆Θab d Θab (11-1) =∆T dT
αab 表示单位温差产生的温差电动势，亦称塞贝克系数，单位为V/K。
2、半导体的温差电动势率
若将图11-1所示的两种导体换成两种费米能级位置不同的半导体，则当两接头温度不同时，也要产生温差电动势。
首先分别观察互不接触的半导体a 和b ，并设半导体a 两端的温度分别为T 2、T 1，半导体b 两端的温度分别为T 1、T 2。众所周知，半导体的热平衡载流子密度是温度的敏感函数，当半导体内存在温度梯度时，其两端必有载流子密度梯度，形成能带相对于费米能级的倾斜（注意此时费米能级也有一定倾斜，因为费米能级在禁带中的位置也是温度的函数），即两端产生电势差。两端开路时，此电势差即温差电动势，称之为材料的绝对温差电动势，记为ΘS 。相应地将α≈d ΘS /dT定义为半导体的绝对温差电动势率。将a 和b 一端相接，并保持在温度T 1；另一端开路，但保持相同温度T 2。这样就形成了一个半导体温差电偶。两种材料的绝对温差电动势之差即为该温差电偶的温差电动势，其温差电动势率αab 为
（1） 一种载流子的绝对温差电动势率
为简单起见，讨论一维情况，并以p 型半导体为例。如图
11-2所示，一块细长半导体片，两端与金属形成欧姆接触，一
端温度为T 0，另一端为T 0+△T ，在半导体内部形成均匀温度梯
度。设样品均匀掺杂且杂质尚未完全电离，因而两端之间的载
流子密度随温度指数地升高，由于低温端载流子密度比高温端
低，因而空穴便会从高温端向低温端扩散，低温端积累空穴带
正电，高温端留下电离受主带负电，形成电场E x ，称为温差电
场，其方向自低温端指向高温端。该电场使空穴反扩散方向漂
移，当空穴的漂移与扩散相平衡时达到稳定状态，在两端产生
稳定的电势差ΘS 。这时，从高温区流向低温区的空穴扩散电流
与从低温区流向高温区的空穴漂移电流相等。利用这个关系，
解得 图11-2 塞贝克效应能带图
ΘS =
因而绝对温差电动势率 E -E V k 3(+ξp ) ∆T ， 式中ξp =F kT q 2
αp =(+ξp ) （11-2）
以同样方法可知n 型半导体的绝对温差电动势率为 k 3q 2
αn =-(+ξn ) ， 式中ξn =k 3
q 2E C -E F kT
以上结果表明，半导体的温差电效应与掺杂浓度和温度有关，低温下的轻掺杂材料温差电动势率较高。另外注意到p 型半导体n 型半导体的温差电动势方向相反。因为当温度升高时，载流子密度和速度都增加，它们由热端扩散到冷端，如果载流子是空穴，则热端缺少空穴，冷端有积累空穴，冷端电势较高，形成由冷端指向热端的电场；如果载流子是电子，则热端缺少电子，冷端积累电子，热端电势高，冷端电势低。这样，由半导体的温差
电方向可以判断半导体的导电类型。
图11-3为热探针法判断半导体导电类型的示意图。半导体样
品置于冷金属板上，烙铁的热端置于样品表面上，在热端与冷端
间连接一伏特计，由伏特计指针的偏转方向即可判断导电类型：
如为n 型样品，温差电动势正负如图所示，如为p 型样品则相反。
（2）两种载流子的绝对温差电动势率
同时考虑电子和空穴从高温端向低温端的扩散及其在温差电场下漂移，利用总电流为零的关系，解得电子和空穴密度相当的半导体的温差电动势率为 图11-3热探针法判断导电类型
33p μp (
+ξp ) -n μn (+ξn ) k ΘS =⋅⋅∆T q p μp +n μn
相应地，其绝对温差电动势率
33p μp (+ξp ) -n μn (+ξn ) k αS =⋅ q p μp +n μn
上式亦可用空穴和电子的电导率σp 、σn 以及σ = σp +σn 表示成
αS =αp σp +αn σn σ
以上是用简单方法求得的半导体温差电动势率，求解时没有考虑载流子的速度分布。考虑速度分布时，通过求解玻耳兹曼方程，对本征状态下的半导体求得绝对温差电动势率
αS =-⋅E g ⎫k b -1⎛⎪) ⋅ 2+ ⎪q b +1⎝2kT ⎭
式中b=μn /μp ，并假定N C =N V （即电子和空穴的态密度有效质量相等）。
一般情况下，半导体的温差电动势率约为几百μV/K。例如，对于E F 与E V 重合的p 型半导体，ξp ＝0，由式(11-2)可知其温差电动势率约为129μV/K。
3、两种材料的温差电动势率
若样品a 和b 都是n 型半导体，并且用同一种材料作成，但具有不同的杂质浓度，因此，在同一个温度下，这两种材料因载流子密度n a 和n b 不同而有不同的温差电动势率αa 和αb ，由这两种材料构成的温差电偶的温差电动势率
αab =αb -αa =ln k
q n b n a
同样，对由杂质浓度不同的同种p 型半导体制成的温差电偶，其温差电动势率
αab =αa -αb =ln
两种材料杂质浓度差别越大，其温差电效应越明显。 k q n a n b
如果材料a 是金属，材料b 是半导体，则温差电动势率为
α=αS -αM
忽略热胀冷缩，金属的载流子密度不随温度改变，即dn/dT≈0；金属的费米能级也基本不随温度变化，即dE F /dT≈0。因此，取一级近似认为金属的绝对温差电动势率为零，不为零的金属温差电动势率要计入较高级近似才能得到。由此也可看出金属温差电动势率比半导体小得多。计入较高级近似之后，可以算出金属的温差电功势率为
αM =-π2k 2T
qE F
一般金属的温差电动势率绝对值约在0与10μV/K之间，而室温附近半导体的温差电动势率有几百μV/K，比金属的要高得多，因此在金属和半导体组成的温差电偶中可以忽略金属的存在，测量半导体－金属温差电偶的电动势率就是测量半导体的绝对温差电动势率。
二、珀耳帖效应
1、原理
1834珀耳帖首先发现在温差电偶中通以电流会在接头处出现吸热或放热现象，这就是珀耳帖效应。实验表明，接头吸收或放出的热量只与两种导体的性质及接头的温度有关，而与导体其他部分的情况无关。若电流由导体a 流向导体b ，电流密度为J ，则单位时间在接头的单位面积上吸收的热量为
πab 称为珀耳帖系数。πab 为正值时，表示吸热，反之为放热。如两边均乘以接头面积S ，则单位时间接头处吸收的热量dQ ／d t 为
I 为电流强度。珀耳帖效应是可逆的，若电流由导体b 流向导体a ，则在接头处放出相同的热量，由珀耳帖系数的定义知，此时
因此，得
πab =-πba
珀耳帖系数的单位为V ，是温度的函数，所以温度不同的接头吸收或放出的热量不同。
2、半导体的珀耳帖效应
一种半导体与另一种半导体的接触，或半导体与金属的接触皆具
有珀耳帖效应，而且比两种不同金属的接触所产生的效应要大得多。
下面仍以p 型半导体和金属相接触来说明珀耳帖效应。假定接触
面为欧姆接触。平衡时金属和半导体的费米能级应该等高。如图11-4
所示，假定电流方向由金属流向半导体，也即价带电子自半导体流向
金属，由于E F 比价带顶高，所以价带电子至少要吸收E F -E V 的能量才
能通过接触面进入金属。价带电子进人金属，相当于金属向半导体注
入空穴，这些空穴要在半导体中流动还需要具备一定能量E ，因此，
导体流向金属时，空穴就放出E F -E v +E的能量。
对非简并半导体，E F -E v ＞2kT ，而半导体中空穴的平均能量为3kT/2，考虑到散射对载流子速度分布的影响，还须将(3/2)修正为(5/2)+γ。这里，γ是一个与散射机构有关的常数，对声学波散射，γ＝-1/2。所以，半导体中空穴的平均能量E 实为 空穴要透过接触面必须吸收E F -E V +E的能量，这就是珀耳帖效应产生的原因。反之，当空穴自半
5E =(+γ) kT 2
因而，一个空穴通过接触面自金属流向半导体时，需要吸收能量
5E F -E V +(+γ) kT 2
这个能量来源于晶格的热振动，所以电流通过接触面时吸热，产生致冷效果。
反之，当空穴自半导体流向金属时，便放出由上式给出的能量，使温度升高。
由珀耳帖系数πa 的定义，得金属与p 型半导体的欧姆接触的帕尓帖系数为
πab =kT ⎛5⎫ (+γ) +ξp ⎪ q ⎝2⎭
若电流由金属流向半导体时吸收热量，则πab 为正；反之，πab 为负。
如果样品a 和b 是杂质含量不同的p 型半导体，空穴密度分别为p a 和p b ，用类似方法可得
πab =±
当a 和b 都是n 型半导体时．则 kT p a ln q p b
πab =±
如果是本征半导体和金属相接触，则 kT n b ln q n a
πab =-
三、汤姆逊效应
1、 原理 E g ⎫kT b -1⎛⎪ ⋅⋅ 2+ ⎪q b +1⎝2kT ⎭
塞贝克效应发现后经过了30年，随着热力学理论的形成，汤姆逊用热
力学方法分析了温差电和珀耳帖现象，并且发现了第三个与温度梯度有关的
效应——汤姆逊效应。如图11-5
所示，在存在温度梯度的均匀导体中通电，导体中除了产生和电阻有关的焦耳热以外，还要吸收或放出热量。这个效应
被称为汤姆逊效应。单位时间和单位体积内吸收或放出的热量与电流密度和
温度梯度成比例。若电流由温度T 流向(T+dT)，则在单位时间和单位体积内
所吸收的热量为 dH dT =σT J x dt dx
称σT 为导体的汤姆逊系数，单位为V/K，其值随导体与温度而异。该式表明，若电流与温度梯度方向相同，则汤姆逊系数为正的导体吸热；反之。若电流与温度梯度方向相反，则汤姆逊系数的正的导体将放热。这表明汤姆逊效应也是可逆的。
2、半导体的汤姆逊效应
当电流流过有温度梯度的半导体时，半导体中除产生焦耳热外，也要吸收或放出热量。对图11-2所示的具有均匀温度梯度的p 型半导体，当电流从低温端流向高温端时，空穴移动了距离l ，在此过程中空穴一方面损失了能量－qV ，一方面获得了(3/2)k△T 的平均能量（考虑速度分布应修正为[(5/2)+γ] k△T ），两者的代数和为
5-qV +(+γ) k ∆T 2
这就是空穴自T 0端运动到T 0+△T 端时得到的净能量。净能量的正负视两者的大小而定。如果净能量是正，就是从晶格吸收这部分能量。反之，就是放出热量给晶格，这就是汤姆逊热量。
按定义，电流在截面积为S 的导体中流过距离dx 的每单位时间吸收之汤姆逊热可表示为
dH dT Sdx =σT I x dx =σT I x dT dt dx
因此，当一个空穴从T 0端移动到T 0+△T 端时，单位时间吸收的汤姆逊热就是
⎰
当△T 不大时亦可表示为 T 0+∆T T 0q σT dT
q σpT ∆T 与式-qV +(5+γ) k ∆T 相比，知p 型半导体的汤姆逊系数 2
σpT =(+γ) -5
2k q V ∆T
式中，V = -5⎛dE F E F -E V ⎫∆T （见参考书式(11-29)，qV 为能带因温度差而倾++(+γ) k ⎪⋅dT T 2q ⎝⎭
斜所造成的两端价带顶之差，代入上式，得
σpT =1dE F E F -E V - q dT qT
当电流沿正温度梯度方向流动时，空穴吸收热量，汤姆逊系数为正；反之，汤姆逊系数为负。
同理。对n 型半导体可得
σnT =1dE F E C -E F + q dT qT
结果表明，半导体的汤姆逊系数不但是温度和掺杂浓度的函数，也与费米能级的温度系数有关。
四、塞贝克系数、珀耳帖系数和汤姆逊系数间的关系
由以上结果显见，对一个温差电系统，这三个系数之间有以下简单关系：
πab =αab T
σaT -σbT =-T d αab dT
以上二式即为描述这三个系数之间关系的开耳芬关系式。利用热力学定律可以证明之（见参考书p296）。