圆截面抗弯问题的研究
周莉
（机电学院 01016123） 指导教师：隋允康
摘要：本文研究了不规则截面的抗弯截面模量与面积的变化问题，试图在削减截面积的同时最大限度地避免对抗弯截面模量的影响，从而达到在保证结构刚度条件下节省材料的目的。结论是按照本文的削减方法，无法达到预期目的。但是此次研究的数据准确,可供其他研究者参考。
关键词：惯性矩；惯性积；抗弯截面模量
1 引言
圆形截面的结构经常在工程实际中被用于承担弯曲载荷，但其使用的材料较多，我们考虑在圆形截面上减去一部分面积，但使其对抗弯截面模量的影响不大。这样我们就可以用特定方式在某一范围内大量减少面积，从而达到减少用材而不影响力学性能的目的。设A为圆形截面面积，Wz为其抗弯截面模量，A*为削减后截面面积，Wz*为削减后
Wz∗A∗
。 抗弯截面模量，如果要求削减对抗弯截面模量的影响小于对面积的影响，则需>
WzA
2 理论论证
2.1 各圆内接情况
首先来研究图1情况，即用3个内接小圆代替外接大圆的
I
情况。小圆的直径为d。由于Wz=z，而近似地认为ymax在
ymax削减前后没有变化，因此用Iz代替Wz分析。
根据平行移轴公式Iz=Izc+a2A和几何关系，我们很容易得到Iz∗=
11πdπD(97+563)πd
，而圆形截面惯性矩为Iz=，=64649×64
则有：
4
4
4
y
z
图1
I1116===51% Iz(1+3)431
3
∗z
A=
2A
D4
∗
3×
π
d2
=
3
=65% (1+)2
3
从而得到
∗IzA∗
，说明用此种方法不行。
2.2 各圆相交情况
现在考虑使组成图形的3个圆相交的情况，相交部分的宽度为m，如图2所示。记
各圆连心线组成的等边三角形边长为l=d−m。此图形直接求惯性矩较困难，可分成几个部分分别计算（如图3）。
Z
1
图2 各圆相交图3 将图形分解
三角
现在令 α=arccos
d−m
d
rπ+β
β=
π
3
−α，则有：
1) 扇1的惯性矩：
Iz扇1=∫∫ydA=∫Iy扇1=∫∫zdA=∫
22
0−βrπ+β
∫
r4
r(rsinθ)drdθ=[π+2β−sin2β]
8
2
0−β
∫
r4
r(rcosθ)drdθ=[π+2β+sin2β]
8
2
并且由轴对称性质有 Izy扇1=0 2) 扇2、扇3的惯性矩：
Iz扇2=
Iz扇1+Iy扇1
2
+
Iz扇1−Iy扇1
2
r41
cos2γ−Izy扇1sin2γ=(π+2β+sin2β)
82
其中γ=±120D 3) 三角形①的惯性矩：
Iz三角1Iy三角1
lll43(tgα)=tg3α =
3622881l4l4=tgα=tgα 48296
并且由轴对称性质有 Izy三角1=0
4) 三角形②、③的惯性矩：
Iz三角1+Iy三角1Iz三角1−Iy三角1l4tgαtg2α
Iz三角2=+cos2γ−Izy三角1sin2γ=(−1)
221289
其中γ=±120D
5) 中间全等三角形的惯性矩：Iz全等=6) 各部分面积：
扇形：
d2
A1=(π+2β)
8(d−m)2tgα
A2=
4
A3=
(d−m)2
4
4l 96
三角形①、②、③： 中间等边三角形： 总面积：
A∗=A1+A2+A3
7) 由几何关系知，削减后截面形心轴与中间的全等三角形形心轴以及大圆形心轴
重合，联立以上式子并使用平行移轴公式可得任意m值的惯性矩：
22
a1a22
I=Iz扇1+aA1+2Iz扇2+A1+Iz三角1+a2A2+2Iz三角2+A2+Iz全等 22∗
z
(
21
)()
其中a1=
3
l，a2=3+tgα
l 6
3 数值试验
∗IzA∗
Iz 计算困难，编程计算。令m从0变化到5，间隔0.1。观察与的变
AIz
化。
表1 计算结果（m、A、I的值）
**A**/I 0 2.6 0.5246140.5381790.5513950.4 3 0.5892750.601418
0.6703070.6916890.7022490.7126660.7229560.7331192 4.6 0.7530680.7628672.3 4.9 0.791587 将结果画成图形，请见图4。
图4
计算结果图
4 结论
∗IzA∗
（1） 观察到与的变化非线性。
AIz
（2） 按照此方法进行削减，惯性矩的变化量总大于面积的变化量。
所以在本文讨论的面积削减方式下，不可能找到一个区域使面积的变化对惯性矩的影响较小。至于别的面积削减方法能否达到要求，有待进一步研究。
（责任编辑：张轩 李志建）
参 考 文 献
1 郑承沛. 材料力学. 北京工业大学出版社, 1994年12月
2 田文胜, 刘阳, 学勤. Visual Basic编程指南. 清华大学出版社, 2003.1 3 北京矿业学院高等数学教研组. 数学手册. 中国工业出版社, 1962.1
圆截面抗弯问题的研究
周莉
（机电学院 01016123） 指导教师：隋允康
摘要：本文研究了不规则截面的抗弯截面模量与面积的变化问题，试图在削减截面积的同时最大限度地避免对抗弯截面模量的影响，从而达到在保证结构刚度条件下节省材料的目的。结论是按照本文的削减方法，无法达到预期目的。但是此次研究的数据准确,可供其他研究者参考。
关键词：惯性矩；惯性积；抗弯截面模量
1 引言
圆形截面的结构经常在工程实际中被用于承担弯曲载荷，但其使用的材料较多，我们考虑在圆形截面上减去一部分面积，但使其对抗弯截面模量的影响不大。这样我们就可以用特定方式在某一范围内大量减少面积，从而达到减少用材而不影响力学性能的目的。设A为圆形截面面积，Wz为其抗弯截面模量，A*为削减后截面面积，Wz*为削减后
Wz∗A∗
。 抗弯截面模量，如果要求削减对抗弯截面模量的影响小于对面积的影响，则需>
WzA
2 理论论证
2.1 各圆内接情况
首先来研究图1情况，即用3个内接小圆代替外接大圆的
I
情况。小圆的直径为d。由于Wz=z，而近似地认为ymax在
ymax削减前后没有变化，因此用Iz代替Wz分析。
根据平行移轴公式Iz=Izc+a2A和几何关系，我们很容易得到Iz∗=
11πdπD(97+563)πd
，而圆形截面惯性矩为Iz=，=64649×64
则有：
4
4
4
y
z
图1
I1116===51% Iz(1+3)431
3
∗z
A=
2A
D4
∗
3×
π
d2
=
3
=65% (1+)2
3
从而得到
∗IzA∗
，说明用此种方法不行。
2.2 各圆相交情况
现在考虑使组成图形的3个圆相交的情况，相交部分的宽度为m，如图2所示。记
各圆连心线组成的等边三角形边长为l=d−m。此图形直接求惯性矩较困难，可分成几个部分分别计算（如图3）。
Z
1
图2 各圆相交图3 将图形分解
三角
现在令 α=arccos
d−m
d
rπ+β
β=
π
3
−α，则有：
1) 扇1的惯性矩：
Iz扇1=∫∫ydA=∫Iy扇1=∫∫zdA=∫
22
0−βrπ+β
∫
r4
r(rsinθ)drdθ=[π+2β−sin2β]
8
2
0−β
∫
r4
r(rcosθ)drdθ=[π+2β+sin2β]
8
2
并且由轴对称性质有 Izy扇1=0 2) 扇2、扇3的惯性矩：
Iz扇2=
Iz扇1+Iy扇1
2
+
Iz扇1−Iy扇1
2
r41
cos2γ−Izy扇1sin2γ=(π+2β+sin2β)
82
其中γ=±120D 3) 三角形①的惯性矩：
Iz三角1Iy三角1
lll43(tgα)=tg3α =
3622881l4l4=tgα=tgα 48296
并且由轴对称性质有 Izy三角1=0
4) 三角形②、③的惯性矩：
Iz三角1+Iy三角1Iz三角1−Iy三角1l4tgαtg2α
Iz三角2=+cos2γ−Izy三角1sin2γ=(−1)
221289
其中γ=±120D
5) 中间全等三角形的惯性矩：Iz全等=6) 各部分面积：
扇形：
d2
A1=(π+2β)
8(d−m)2tgα
A2=
4
A3=
(d−m)2
4
4l 96
三角形①、②、③： 中间等边三角形： 总面积：
A∗=A1+A2+A3
7) 由几何关系知，削减后截面形心轴与中间的全等三角形形心轴以及大圆形心轴
重合，联立以上式子并使用平行移轴公式可得任意m值的惯性矩：
22
a1a22
I=Iz扇1+aA1+2Iz扇2+A1+Iz三角1+a2A2+2Iz三角2+A2+Iz全等 22∗
z
(
21
)()
其中a1=
3
l，a2=3+tgα
l 6
3 数值试验
∗IzA∗
Iz 计算困难，编程计算。令m从0变化到5，间隔0.1。观察与的变
AIz
化。
表1 计算结果（m、A、I的值）
**A**/I 0 2.6 0.5246140.5381790.5513950.4 3 0.5892750.601418
0.6703070.6916890.7022490.7126660.7229560.7331192 4.6 0.7530680.7628672.3 4.9 0.791587 将结果画成图形，请见图4。
图4
计算结果图
4 结论
∗IzA∗
（1） 观察到与的变化非线性。
AIz
（2） 按照此方法进行削减，惯性矩的变化量总大于面积的变化量。
所以在本文讨论的面积削减方式下，不可能找到一个区域使面积的变化对惯性矩的影响较小。至于别的面积削减方法能否达到要求，有待进一步研究。
（责任编辑：张轩 李志建）
参 考 文 献
1 郑承沛. 材料力学. 北京工业大学出版社, 1994年12月
2 田文胜, 刘阳, 学勤. Visual Basic编程指南. 清华大学出版社, 2003.1 3 北京矿业学院高等数学教研组. 数学手册. 中国工业出版社, 1962.1