灰色预测马尔科夫

姓名： 徐茂森

学号： 班级：日期：2011年1月9日

基于灰色——马尔科夫模型的粮食产量预测 ——以山东省潍坊市粮食产量为例

【摘要】：本文基于灰色预测GM（1,1) 模型基础上，结合马尔科夫链，针对传统预测方法精确度不高的问题，研究山东省粮食产量变化来预测未来粮食产量。理论分析和实证计算表明，此种方法精确度更高，更加准确的预测未来的发展。

【关键词】：灰色预测模型，马尔可夫链，粮食产量

一、引言

我国是一个粮食大国，粮食关系到民生。对于我们这个具有13亿人口的大国来

说，粮食的作用更加重要。如今存在很多预测方法能够预测粮食的产量，都有一定的优点和缺点。灰度---马尔科夫模型是同时运用灰度预测模型和马尔科夫模型对问题进行分析预测。灰度预测模型通常是研究宏观规律，马尔科夫模型而是研究围观波动。恰当的运用这两种模型综合分析问题，会是预测精度明显提高。

二、理论分析及模型建立

2.1、 灰色模型GM（1，1）的基本思想 2.1.1、灰色预测

灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间的发展趋势的相私或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列具有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。

灰色预测使用灰色模型GM（1，1）来进行定量的分析。

2.1.2、GM（1，1）模型的建立

令X(0)为GM（1，1）建模序列

X

X

(1)

(0)

)0(

=（x(0)（1），x（2），…，x(0)（n））

为X(0)的1-AGO序列

1(

X(1 )=（x(1)（1），)x（2），…，x(1)（n））

x

(1)

（k）=x(0)(i) k=1，2，，…，n

i1

k

令Z(1)为X(1)的紧邻均值（MEAN）生成序列，

1( Z(1)=（z(1)（2），)z（3），…，z(1)（n））

z(1)（k）=0.5x(1)（k）+0.5x(1)（k-1）

则GM（1，1）的定义型，即GM（1，1）的灰微分方程模型为 x(0)（k）+ az(1)（k）=b a称为发展系数，b

称为灰色作用量。设a为待估参数向量，即a=ab





T

，则灰微分

)方程 x(0（k）+ az(1)（k）=b 的最小二乘估计参数数列满足

a=（BTB）1BT Y 其中

z(1()2)1x(0()2)

(0)(1)z(3)1x(3)

B， Y



(0)z(1()n)1x(n)



称

dx

(1)

(t)

dt

ax

(1)

(t)b

)

为灰色微分方程 x(0（k）+ az(1)（k）=b 的白化方程，也叫影子方程。

GM（1，1）微分方程的解为

(

x x(k1)

(1)



0)

bakb

(1e k=1，2，…，n aa

拟合公式为、

x(k1= ) x(k1)-x(k)

(0)

(1)

(1)

2.1.3、灰色模型的改进方法

x1(1)(k)+（1-）x1(1)(k1)中的=0.5；如果数据波 如果原数据非常平滑，则令

动但变动不大，的取值范围一般为（0，0.5），即数据权重大；反之，的取值范

围一般为（0.5，1），即新数据权重大。选择合适的背景值可以在一定程度上提高模型精度。

2.2对GM（1，1）进行马尔科夫改进的基本思想

GM（1，1）通常用来揭示数据的发展趋势，不适合波动较大的数据序列预测。而马尔科夫理论适合较大波动的数据序列。因此建立灰色—马尔科夫模型，可以提高精度。

2.2.1马尔科夫链的基本原理

设有一离散型随机过程，它所有可能出于状态的集合为S=｛1，2，…，N｝，称其为状态空间。系统只能在时刻t0，t1，t3，…改变它的状态。

一般的说，描述系统状态的随机变量序列不一定满足相互独立的条件，也就是说，系统将来的状态与过去时刻以及现在时刻的状态是有关系的。在实际情况下，也有具有这样的状态。这个性质成为无后效性，即所谓的马尔科夫假设。具备这个性质的离散型随机过程，称为马尔可夫链。用数学语言描述就是：

如果对于任一n>1,任意的i1，i2，…，in1，j S，恒有 P{ Xn=j

X1=i1 X2=i2,…， Xn1=in1

}=P｛Xn=j Xn1=in1 ｝称离散型随机过

程｛Xt，tT｝称为马尔可夫链。 一步转移概率具有以下性质：

pij0 (i,j1,2,,n)

n



j1

pij1 (i1,2,,n)

把各状态之间的一步转移概率排成矩阵，称为状态矩阵

p11P

pn1



p1n

 pnn

每个状态i对应状态矩阵P的第i行。

k步转移概率

系统从状态i恰好经k步转移到状态j的概率。

记为pij

(k)

p{Xk1j|X1i}。

k步转移矩阵

P(pij)n×n

显然P

n

k(k)

(k)

为概率矩阵,即有 pij

(k)

0 (i,j1,2,,n

pij

j1

(k)

1 (i1,2,,n)n步状态转移矩阵等于一步状态转移矩阵的n次方，即

(n)

P

(n)

P，且n步转移概率为pij

n





k

pikpkj

(m)(nm)

。

多阶转移概率矩阵为

i

p11P=pini



ipin ipnn

2.2.2 灰色模型与马尔科夫链结合的基本思路

对于GM（1，1）模型得到的预测结果，可以根据马尔可夫链的方法获得GM（1，

1）模型在已知年份里的偏差规律（即偏差状况和转移矩阵），并且依照此规律对GM（1，1）模型的结果进行修正。

三、应用灰色—马尔科夫模型的实例分析

用山东省潍坊市1980年到2000年粮食产量建立模型，预测接下来粮食的产量。

3.1 建立GM（1，1）模型

建模过程中，紧邻均值序列生成公式中的参数=0.75；建立山东省潍坊市20年

粮食产量GM（1，1）模型为：

(1)

x

(0)

0.01568kl110660 k=1，2，…，n (k1)x(1)110660e

以此模型求解1981年到2000年的粮食产量拟合值。

3.2 建立灰色—马尔科夫模型 3.2.1状态的划分

根据GM（1，1）模型求的的19年拟合值的相对误差分布建立分级标准。文中

3.2.2 计算转移概率并建立转移概率矩阵

文中用1至4步转移概率修正拟合值。对5年的预测值也都考虑4步次转移概率，

所以需建立1至8阶转移概率矩阵。

3.2.3 利用转移矩阵对GM（1，1）模型的结果进行修正

以对2000年的拟合值修正为例：根据1999年至1996年的状态（3，7，8，8）

查1至4阶转移概率矩阵，得到2000年1至4状态转移及相应的转移概率，如下表

）。

实际产量为2642.5，正好包含在修正范围区间内，对比GM（1，1）拟合值，提高了精度。

用马尔科夫模型对GM（1，1）拟合值修正前后的比较见图1 由图1可知GM（1，1）模型建立的趋势产量可以揭示粮食产量的宏观发展规律。但也可以看出，GM（1，1）模型拟合值曲线单调上升，无法反映粮食产量的波动性，拟合精度和可靠性不高。相比之下，马尔科夫修正区间曲线不仅能揭示粮食产量的宏观规律，同时也能很好的反映粮食产量的围观波动规律，从而形像的反映产量的走势，拟合精度和可靠有很大提高。至此，完成灰色-马尔科夫模型建模。

3.3 利用灰色-马尔科夫模型外推预测将来几年粮食产量变化

灰色—马尔科夫模型的预测结果与前述的2000年类似，灰色—马尔科夫模型与GM（1，1）预测值、实际产量的对比图见图2.考查图2，2001年，2002年的马尔科夫修正区间都能准确包含实际产量。

图1 马尔科夫修正区间与GM（1，1）拟合值、实际产量对比

图2 马尔科夫修正区间与GM（1，1）拟合值、实际产量对比

四、结论

文中先用GM（1，1）模型预测产量的宏观变化发展规律，建立产量发张趋势；再利用马尔科夫链寻找其中的围观变动规律，对GM（1，1）的趋势值进行修正，来适应粮食产量的变动。

参考文献：

：1 刘思峰，邓聚龙.GM（1，1）模型的适应范围J.系统工程理论与实践，2000，20（5）121-124

潘晨光.高精度灰色模型研究及2005年GDP总量预测J.财经问题研究，2005（8）：2 李群，11-13

：50-53 3 罗党，刘肆峰，党耀国.灰色模型GM（1，1）优化J.中国工程科学，2003，5（8）

4 王辛坤，随机过程M.北京：科学出版社，1965 5 李裕奇. 随机过程M.北京：清华大学出版社，2002

：36-38 6 陈有孝，林晓言.灰色—马尔科夫改进的预测方法J.统计与决策，2005（16）

7 赵利民，周西利.马尔可夫链在大白菜年景预报中的运用J.西北农业学报，2003，12

（4）:139-142

：8 孟宪宏，宋玉着.灰色马尔科夫链在混凝土疲劳寿命预测中的应用J.混凝土，2004（2）3-13

姓名： 徐茂森

学号： 班级：日期：2011年1月9日

基于灰色——马尔科夫模型的粮食产量预测 ——以山东省潍坊市粮食产量为例

【摘要】：本文基于灰色预测GM（1,1) 模型基础上，结合马尔科夫链，针对传统预测方法精确度不高的问题，研究山东省粮食产量变化来预测未来粮食产量。理论分析和实证计算表明，此种方法精确度更高，更加准确的预测未来的发展。

【关键词】：灰色预测模型，马尔可夫链，粮食产量

一、引言

我国是一个粮食大国，粮食关系到民生。对于我们这个具有13亿人口的大国来

说，粮食的作用更加重要。如今存在很多预测方法能够预测粮食的产量，都有一定的优点和缺点。灰度---马尔科夫模型是同时运用灰度预测模型和马尔科夫模型对问题进行分析预测。灰度预测模型通常是研究宏观规律，马尔科夫模型而是研究围观波动。恰当的运用这两种模型综合分析问题，会是预测精度明显提高。

二、理论分析及模型建立

2.1、 灰色模型GM（1，1）的基本思想 2.1.1、灰色预测

灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间的发展趋势的相私或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列具有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。

灰色预测使用灰色模型GM（1，1）来进行定量的分析。

2.1.2、GM（1，1）模型的建立

令X(0)为GM（1，1）建模序列

X

X

(1)

(0)

)0(

=（x(0)（1），x（2），…，x(0)（n））

为X(0)的1-AGO序列

1(

X(1 )=（x(1)（1），)x（2），…，x(1)（n））

x

(1)

（k）=x(0)(i) k=1，2，，…，n

i1

k

令Z(1)为X(1)的紧邻均值（MEAN）生成序列，

1( Z(1)=（z(1)（2），)z（3），…，z(1)（n））

z(1)（k）=0.5x(1)（k）+0.5x(1)（k-1）

则GM（1，1）的定义型，即GM（1，1）的灰微分方程模型为 x(0)（k）+ az(1)（k）=b a称为发展系数，b

称为灰色作用量。设a为待估参数向量，即a=ab





T

，则灰微分

)方程 x(0（k）+ az(1)（k）=b 的最小二乘估计参数数列满足

a=（BTB）1BT Y 其中

z(1()2)1x(0()2)

(0)(1)z(3)1x(3)

B， Y



(0)z(1()n)1x(n)



称

dx

(1)

(t)

dt

ax

(1)

(t)b

)

为灰色微分方程 x(0（k）+ az(1)（k）=b 的白化方程，也叫影子方程。

GM（1，1）微分方程的解为

(

x x(k1)

(1)



0)

bakb

(1e k=1，2，…，n aa

拟合公式为、

x(k1= ) x(k1)-x(k)

(0)

(1)

(1)

2.1.3、灰色模型的改进方法

x1(1)(k)+（1-）x1(1)(k1)中的=0.5；如果数据波 如果原数据非常平滑，则令

动但变动不大，的取值范围一般为（0，0.5），即数据权重大；反之，的取值范

围一般为（0.5，1），即新数据权重大。选择合适的背景值可以在一定程度上提高模型精度。

2.2对GM（1，1）进行马尔科夫改进的基本思想

GM（1，1）通常用来揭示数据的发展趋势，不适合波动较大的数据序列预测。而马尔科夫理论适合较大波动的数据序列。因此建立灰色—马尔科夫模型，可以提高精度。

2.2.1马尔科夫链的基本原理

设有一离散型随机过程，它所有可能出于状态的集合为S=｛1，2，…，N｝，称其为状态空间。系统只能在时刻t0，t1，t3，…改变它的状态。

一般的说，描述系统状态的随机变量序列不一定满足相互独立的条件，也就是说，系统将来的状态与过去时刻以及现在时刻的状态是有关系的。在实际情况下，也有具有这样的状态。这个性质成为无后效性，即所谓的马尔科夫假设。具备这个性质的离散型随机过程，称为马尔可夫链。用数学语言描述就是：

如果对于任一n>1,任意的i1，i2，…，in1，j S，恒有 P{ Xn=j

X1=i1 X2=i2,…， Xn1=in1

}=P｛Xn=j Xn1=in1 ｝称离散型随机过

程｛Xt，tT｝称为马尔可夫链。 一步转移概率具有以下性质：

pij0 (i,j1,2,,n)

n



j1

pij1 (i1,2,,n)

把各状态之间的一步转移概率排成矩阵，称为状态矩阵

p11P

pn1



p1n

 pnn

每个状态i对应状态矩阵P的第i行。

k步转移概率

系统从状态i恰好经k步转移到状态j的概率。

记为pij

(k)

p{Xk1j|X1i}。

k步转移矩阵

P(pij)n×n

显然P

n

k(k)

(k)

为概率矩阵,即有 pij

(k)

0 (i,j1,2,,n

pij

j1

(k)

1 (i1,2,,n)n步状态转移矩阵等于一步状态转移矩阵的n次方，即

(n)

P

(n)

P，且n步转移概率为pij

n





k

pikpkj

(m)(nm)

。

多阶转移概率矩阵为

i

p11P=pini



ipin ipnn

2.2.2 灰色模型与马尔科夫链结合的基本思路

对于GM（1，1）模型得到的预测结果，可以根据马尔可夫链的方法获得GM（1，

1）模型在已知年份里的偏差规律（即偏差状况和转移矩阵），并且依照此规律对GM（1，1）模型的结果进行修正。

三、应用灰色—马尔科夫模型的实例分析

用山东省潍坊市1980年到2000年粮食产量建立模型，预测接下来粮食的产量。

3.1 建立GM（1，1）模型

建模过程中，紧邻均值序列生成公式中的参数=0.75；建立山东省潍坊市20年

粮食产量GM（1，1）模型为：

(1)

x

(0)

0.01568kl110660 k=1，2，…，n (k1)x(1)110660e

以此模型求解1981年到2000年的粮食产量拟合值。

3.2 建立灰色—马尔科夫模型 3.2.1状态的划分

根据GM（1，1）模型求的的19年拟合值的相对误差分布建立分级标准。文中

3.2.2 计算转移概率并建立转移概率矩阵

文中用1至4步转移概率修正拟合值。对5年的预测值也都考虑4步次转移概率，

所以需建立1至8阶转移概率矩阵。

3.2.3 利用转移矩阵对GM（1，1）模型的结果进行修正

以对2000年的拟合值修正为例：根据1999年至1996年的状态（3，7，8，8）

查1至4阶转移概率矩阵，得到2000年1至4状态转移及相应的转移概率，如下表

）。

实际产量为2642.5，正好包含在修正范围区间内，对比GM（1，1）拟合值，提高了精度。

用马尔科夫模型对GM（1，1）拟合值修正前后的比较见图1 由图1可知GM（1，1）模型建立的趋势产量可以揭示粮食产量的宏观发展规律。但也可以看出，GM（1，1）模型拟合值曲线单调上升，无法反映粮食产量的波动性，拟合精度和可靠性不高。相比之下，马尔科夫修正区间曲线不仅能揭示粮食产量的宏观规律，同时也能很好的反映粮食产量的围观波动规律，从而形像的反映产量的走势，拟合精度和可靠有很大提高。至此，完成灰色-马尔科夫模型建模。

3.3 利用灰色-马尔科夫模型外推预测将来几年粮食产量变化

灰色—马尔科夫模型的预测结果与前述的2000年类似，灰色—马尔科夫模型与GM（1，1）预测值、实际产量的对比图见图2.考查图2，2001年，2002年的马尔科夫修正区间都能准确包含实际产量。

图1 马尔科夫修正区间与GM（1，1）拟合值、实际产量对比

图2 马尔科夫修正区间与GM（1，1）拟合值、实际产量对比

四、结论

文中先用GM（1，1）模型预测产量的宏观变化发展规律，建立产量发张趋势；再利用马尔科夫链寻找其中的围观变动规律，对GM（1，1）的趋势值进行修正，来适应粮食产量的变动。

参考文献：

：1 刘思峰，邓聚龙.GM（1，1）模型的适应范围J.系统工程理论与实践，2000，20（5）121-124

潘晨光.高精度灰色模型研究及2005年GDP总量预测J.财经问题研究，2005（8）：2 李群，11-13

：50-53 3 罗党，刘肆峰，党耀国.灰色模型GM（1，1）优化J.中国工程科学，2003，5（8）

4 王辛坤，随机过程M.北京：科学出版社，1965 5 李裕奇. 随机过程M.北京：清华大学出版社，2002

：36-38 6 陈有孝，林晓言.灰色—马尔科夫改进的预测方法J.统计与决策，2005（16）

7 赵利民，周西利.马尔可夫链在大白菜年景预报中的运用J.西北农业学报，2003，12

（4）:139-142

：8 孟宪宏，宋玉着.灰色马尔科夫链在混凝土疲劳寿命预测中的应用J.混凝土，2004（2）3-13