因式分解题型总结：
题型一：求未知数
1. 若x 2-ax -15=(x +1)(x -15) 则a =_____。
2. 若x 2+3x +a =(x -2)(x +5) 则a =_____。
3. 把多项式x +ax +5分解成(x -n )(x +5) 则
4. 已知多项式2x +bx +c 分解为2(x -3)(x +1) 则 5. 若x -14x +m 是完全平方式，则.
6. 若x -mx +9是完全平方式，则.
7. 若4x +4mx +36是完全平方式，则
8. 若x 2(x +1)+y (xy +y ) =(x +1) ∙B ，则B=_______．
题型二：与因式有关的参数问题
例：1、若mx 2+19x －14有一个因式是x +7，求m 的值和另一个因式。
2、已知多项式2x -x +m 有一个因式是2x +1，求m 的值。
3、若关于x 的多项式x 2-px -6含有因式x -3，则实数p 的值为？
4、已知多项式ax +bx +c 因式分解的结果是(3x +1)(4x -3)，求a+b+c的值 222222232
方法总结：
题型三：数学中看错问题
例：两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x -1)(x -9)，而另一位同学因看错了常数项而分解成2(x -2)(x -4)，求原多项式。
变式：分解因式x +ax +b 时，一位同学因看错了a 的值，分解的结果是(x -1)(x +6)，2
乙看错了b 而分解成(x -2)(x +1)，求a+b的值。
题型四：利用因式分解简便计算
（1）2 0042－4×2 004; （2）39×37－13×34
（3）2015+20152-2015×2016 （4）121×0.13+12.1×0.9－12×1.21
32015-32014
（5）2014 （6）10001⨯9999 3-32013
2n +4-2⨯2n 20163-2⨯2016-2014（7） （8） n +3322⨯22016+2016-2017
（9） 1-
⎛⎝1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫ 1-1-1-1- 2⎪2⎪2⎪2⎪2⎪2⎭⎝3⎭⎝4⎭⎝2004⎭⎝2005⎭
题型五：利用因式分解化简求值
1、 已知2x －y=
2、 已知a +b =2, 求a -b +4b 的值。
选作：已知a , b , c 满足a -b =8, ab +c +16=0求2a +b +c 的值
23、 已知a -b -3+(a +b -2) =0, 求a -b 的值。 222221，xy=2，求2x 4y 3－x 3y 4的值 3
24、 已知a (a +1) -(a +2b ) =1，求a -4ab +4b -2a +4b 的值。 22
5、已知：x +x+x+1=0，求1+x+x+x+x+x+…+x3223452007的值
6、 已知：x +
111=-3，求（1）x 2+2（2）x 4+4的值。 x x x
1、求证: 32016-4⨯32015+10⨯32014能被7整除。（同底数）
2、 求证：817-279-913能被45整除。（不同底数）
变式：求证：257-512能被250整除
1、 设n 为整数，求证：（2n+1）2－25能被4整除。
2、 求证：对于任意正整数n, 3
n +2-2n +2+3n -2n 一定是10的倍数。
思考1、两个连续奇数的平方差能被8整除吗？为什么
思考2、2-2能被11至20直接的两个数整除，求这两个数 33
形状类问题：完全平方公式
1、已知a 、b 、c 是∆ABC 的三条边，且满足a +b +c -ab -bc -ac =0，试判断222
∆ABC 的形状。
变式：已知a 、b 、c 是∆ABC 的三条边，且满足(a +b +c ) 2=3(a 2+b 2+c 2) ，试判断∆ABC 的形状。
若上述满足条件改为：b +2ab =c +2ac
22
3、若一个三角形的两边长a , b 满足a 2+b 2-4a -2b +5=0，求第三边c 的取值范围．
符号类：平方差
2、 若a ，b ，c 是三角形的三条边，求证：①a 2-b 2-c 2-2bc
②a -b +c -2ac 的符号 222
变式：已知a ，b ，c 是三角形的三条边，那么代数式a -2ab +b -c 的值是（ ）
A. 小于零 B. 等于零 C. 大于零 D. 不能确定 222
题型八:利用完全平方公式证明非负性
1、证明：不论x 取何值，多项式-2x +12x -18x 的值不会是正数。
题型九：与因式分解有关的创新性问题
1、有一串单项式：-x ,2x 2, -3x 3,4x 4, ……，-19x 19,20x 20
（1）你能说出它们的规律是 吗？（2）第2006个单项式是 ；
（3）第（n+1）个单项式是 ． 432
2、找规律： 1×3+1=4=22，
2×4+1=9=32，
3×5+1=16=42，
4×6+1=25=52
……
请将找出的规律用公式表示出来
4、观察下列各式：
2=9= 23 12+(1⨯2)+2
22+(2⨯3)+32=49=72
32+(3⨯4)+42=169=132 222
你发现了什么规律？请用含有n （n 为正整数）的等式表示出来并说明期中的道
5、观察下列灯饰的规律，并根据这种规律写出第五个等式来.
（1）x 2-1=(x +1)(x -1)
（2）x 4-1=(x 2+1)(x +1)(x -1)
（3）x 8-1=(x 4+1)(x 2+1)(x +1)(x -1)
（4）x 16-1=(x 8-1)(x 4+1)(x 2+1)(x +1)(x -1)
（5）
因式分解题型总结：
题型一：求未知数
1. 若x 2-ax -15=(x +1)(x -15) 则a =_____。
2. 若x 2+3x +a =(x -2)(x +5) 则a =_____。
3. 把多项式x +ax +5分解成(x -n )(x +5) 则
4. 已知多项式2x +bx +c 分解为2(x -3)(x +1) 则 5. 若x -14x +m 是完全平方式，则.
6. 若x -mx +9是完全平方式，则.
7. 若4x +4mx +36是完全平方式，则
8. 若x 2(x +1)+y (xy +y ) =(x +1) ∙B ，则B=_______．
题型二：与因式有关的参数问题
例：1、若mx 2+19x －14有一个因式是x +7，求m 的值和另一个因式。
2、已知多项式2x -x +m 有一个因式是2x +1，求m 的值。
3、若关于x 的多项式x 2-px -6含有因式x -3，则实数p 的值为？
4、已知多项式ax +bx +c 因式分解的结果是(3x +1)(4x -3)，求a+b+c的值 222222232
方法总结：
题型三：数学中看错问题
例：两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x -1)(x -9)，而另一位同学因看错了常数项而分解成2(x -2)(x -4)，求原多项式。
变式：分解因式x +ax +b 时，一位同学因看错了a 的值，分解的结果是(x -1)(x +6)，2
乙看错了b 而分解成(x -2)(x +1)，求a+b的值。
题型四：利用因式分解简便计算
（1）2 0042－4×2 004; （2）39×37－13×34
（3）2015+20152-2015×2016 （4）121×0.13+12.1×0.9－12×1.21
32015-32014
（5）2014 （6）10001⨯9999 3-32013
2n +4-2⨯2n 20163-2⨯2016-2014（7） （8） n +3322⨯22016+2016-2017
（9） 1-
⎛⎝1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫ 1-1-1-1- 2⎪2⎪2⎪2⎪2⎪2⎭⎝3⎭⎝4⎭⎝2004⎭⎝2005⎭
题型五：利用因式分解化简求值
1、 已知2x －y=
2、 已知a +b =2, 求a -b +4b 的值。
选作：已知a , b , c 满足a -b =8, ab +c +16=0求2a +b +c 的值
23、 已知a -b -3+(a +b -2) =0, 求a -b 的值。 222221，xy=2，求2x 4y 3－x 3y 4的值 3
24、 已知a (a +1) -(a +2b ) =1，求a -4ab +4b -2a +4b 的值。 22
5、已知：x +x+x+1=0，求1+x+x+x+x+x+…+x3223452007的值
6、 已知：x +
111=-3，求（1）x 2+2（2）x 4+4的值。 x x x
1、求证: 32016-4⨯32015+10⨯32014能被7整除。（同底数）
2、 求证：817-279-913能被45整除。（不同底数）
变式：求证：257-512能被250整除
1、 设n 为整数，求证：（2n+1）2－25能被4整除。
2、 求证：对于任意正整数n, 3
n +2-2n +2+3n -2n 一定是10的倍数。
思考1、两个连续奇数的平方差能被8整除吗？为什么
思考2、2-2能被11至20直接的两个数整除，求这两个数 33
形状类问题：完全平方公式
1、已知a 、b 、c 是∆ABC 的三条边，且满足a +b +c -ab -bc -ac =0，试判断222
∆ABC 的形状。
变式：已知a 、b 、c 是∆ABC 的三条边，且满足(a +b +c ) 2=3(a 2+b 2+c 2) ，试判断∆ABC 的形状。
若上述满足条件改为：b +2ab =c +2ac
22
3、若一个三角形的两边长a , b 满足a 2+b 2-4a -2b +5=0，求第三边c 的取值范围．
符号类：平方差
2、 若a ，b ，c 是三角形的三条边，求证：①a 2-b 2-c 2-2bc
②a -b +c -2ac 的符号 222
变式：已知a ，b ，c 是三角形的三条边，那么代数式a -2ab +b -c 的值是（ ）
A. 小于零 B. 等于零 C. 大于零 D. 不能确定 222
题型八:利用完全平方公式证明非负性
1、证明：不论x 取何值，多项式-2x +12x -18x 的值不会是正数。
题型九：与因式分解有关的创新性问题
1、有一串单项式：-x ,2x 2, -3x 3,4x 4, ……，-19x 19,20x 20
（1）你能说出它们的规律是 吗？（2）第2006个单项式是 ；
（3）第（n+1）个单项式是 ． 432
2、找规律： 1×3+1=4=22，
2×4+1=9=32，
3×5+1=16=42，
4×6+1=25=52
……
请将找出的规律用公式表示出来
4、观察下列各式：
2=9= 23 12+(1⨯2)+2
22+(2⨯3)+32=49=72
32+(3⨯4)+42=169=132 222
你发现了什么规律？请用含有n （n 为正整数）的等式表示出来并说明期中的道
5、观察下列灯饰的规律，并根据这种规律写出第五个等式来.
（1）x 2-1=(x +1)(x -1)
（2）x 4-1=(x 2+1)(x +1)(x -1)
（3）x 8-1=(x 4+1)(x 2+1)(x +1)(x -1)
（4）x 16-1=(x 8-1)(x 4+1)(x 2+1)(x +1)(x -1)
（5）