大学生数学修养
学院：机电工程学院
学号: 11010341
姓名： 周梅杰
数学中的哲学
【摘要】：数学与哲学是密切联系、相辅相成的。一方面，正确的世界观是人们从事数学研究的前提；另一方面，数学理论的进步和完善改变着人们对整个世界的认识。早在古希腊，哲学家们的论著中就包含着大量的数学理论和方法。而今随着系统科学、计算机科学等横向学科的兴起，数学与哲学的联系更为广泛。
【关键词】：数学；哲学；唯物辩证法；辩证唯物主义认识论
哲学是关于自然知识、社会知识和思维知识的概括和总结，是研究整个世界的普遍本质及规律的科学；数学是研究现实世界空间形式和数量关系的具体科学。哲学为数学提供方法论基础，数学影响着人们的哲学观点，并遵循哲学中所阐述的基本规律而产生、变化和发展。
一、数学与哲学是相互影响、相互促进或者相互抑制的
每个数学家，都要受到他所处时代的哲学观点的影响，其研究成果也使人们对自然界的认识更加深入、透彻，影响着人们的哲学观点。哲学思想可以影响数学家及其研究成果的获得。数学的产生和发展, 归根结底是由人类的实践活动决定的。但是, 哲学思想对数学的发展, 也有着一定的促进或阻碍作用。例如, 柏拉图的理念论哲学、欧洲中世纪基督教哲学、马克思主义哲学都对数学有影响作用, 只不过它们有的是促进作用, 有的是阻碍作用。难怪有人说:哲学与数学是孪生兄弟, 密不可分。
1．数学研究总是在某种哲学思想的指导下进行的
数学家从事数学研究的目的、方法及其深度、广度，深受其哲学思想的影响。例如，古希腊数学家本着自然界是有秩序的、按照一定方案运行的、可以被人类认识的古代朴素唯物主义的哲学思想从事数学研究，他们认为数学理论不是人创造的，而是先于人而存在的，人只要肯定事实并记录下来就行了，所以他们只是考虑如何运用数学知识去解释自然，而不去考虑如何将其运用于改造自然，这导致他们无法接受无理数和无限量，研究范围受到很大的限制。再如，法国数学家、哲学家、物理学家笛卡尔，是唯理论哲学的创始人，主张用“怀疑”代替“盲从”和“迷信”，倡导通过理性去获得真理，认为科学家应该是自然界的探索者和关心科学用处的人。基于这种哲学观点，他在数学研究中，决心放弃抽象推理式的几何，找到一种有利于人们解释自然、改造自然的几何。为了实现上述设想，他把代数方法应用于几何研究，创立了解析几何，并在数学中引入了“变量”的概念，完成了数学史上划时代的伟大变革。
2．数学的发展影响着人们的哲学观点
数学作为人们认识自然、改造自然的工具，其每个重要理论的产生，都会带来自然科学的巨大进步，加深了人们对自然和社会的认识，从而影响着人们的世界观。例如，欧几里德的《几何原本》，用公理建立起演绎数学的理论体系，使后来的人们在认识世界的过程中，不再随意猜想，而是善于利用逻辑推理的方法去解释自然。再如，笛卡尔创建了解析几何，引入了“变量”的概念，使人们可以把形象和路线表示为代数的形式。对航海学、天文预测、物体运动的研究起了巨大的推动作用，加深了人们对自然界的认识，影响着人们的世界观，提醒人们不但要了解自然，而且要用所学知识去掌握自然。正如恩格斯所说：“数学中的转
折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”再如，牛顿、莱布尼兹创建的微积分理论，为近代数学、物理学、天文学开创了新纪元，使自然科学得到了前所未有的发展，大大地提高了人们对自然界的认识程度，为18世纪的理性机械宇宙观奠定了基础。
二、数学与唯物辩证法
唯物辩证法用全面的、联系的、发展的观点看世界，这三个基本规律从不同角度揭示了自然、社会和人类思维发展的一般规律。数学理论的产生和发展符合唯物辩证法阐述的事物发展的一般规律。
1．不同的数学知识之间是相互联系的
唯物辩证法普遍联系的观点广泛地存在于数学理论中，许多不同的数学理论之间是相互联系的。诸如，函数论与微分方程、数理逻辑与拓扑学、概率论与泛函分析、代数方程与群论等。甚至当数学家们把两种表面上看似无关的数学知识联系起来时，会产生奇迹，形成一门崭新的数学学科。例如，当数学家们把微积分理论与几何问题联系起来，即用微积分理论去研究平面曲线和空间曲线的曲率、曲线族的包络、曲面上的测地线等问题时就产生了新的数学分支——微分几何。正如德国数学家希尔伯特所说：“数学是一个有机体，它的生命力的一个必要条件是所有各部分的不可分离的结合”。
2．数学理论存在和发展的前提是其内部的矛盾性
对立统一规律揭示了事物发展的源泉和动力在于事物内部的矛盾性，矛盾对立面的同一和斗争推动着事物的发展。每一种数学理论中都含有互相矛盾的双方，它们既对立又统一构成这种理论存在和发展的前提。例如，解析几何中的“数”与“形”是一对矛盾。它们的对立体现在“数量”与“图形”是两个不同的概念，它们的联系是每个图形有着相应的函数表达式，每个函数有着相应的几何意义；这就使人们可以用代数的方法解决几何问题，并使抽象的代数问题形象化。正是“数”与“形”的对立统一构成了解析几何这门学科存在和发展的基础。
3．数学理论的发展过程是量变、质变的反复过程
量变质变规律指出了量变、质变是事物运动变化的两种最基本状态，事物的发展变化都表现为由量变到质变，再由质变引起新的量变的反复过程。数学理论中体现着量变质变规律。一方面，数学中每种概念的存在都有着特定的量的界限，如果量变超出了这个界限，就会发生质变，形成另一种概念，这种新概念又存在着自己特有的新的量变。例如，正多边形边数的变化范围是“大于或等于3的有限数”，如果边数的变化超出上述范围就不再是正多边形，变为线段或圆。(边数小于3时为线段；边数超出有限数范围，即趋于无穷时为圆。) 不论线段还是圆，都有自己新的量变。另一方面，数学理论的形成过程是从量变到质变、从近似到精确的过程。下面以求曲边梯形的面积为例说明定积分理论的产生过程。为了求曲边梯形的面积，先将该曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，如果分割足够密，这些小曲边梯形可以近似地看成小矩形，然后利用求矩形面积的方法求出各个小曲边梯形面积的近似值，其和就是原曲边梯形面积的近似值。因为所求的仅为近似值，所以上述过程是量变的过程，没
有发生质的飞跃。如果分割无限加密，即各个小曲边梯形的最大宽度趋于零时，就得到原曲边梯形的精确面积，发生了从量变到质变的飞跃，这正是定积分理论的基本思想。
4．数学理论的发展过程中体现着否定之否定规律
否定之否定规律揭示了事物自己发展自己的完整过程是：经历两次否定、三个阶段，即由肯定达到对自身的否定，并再由否定进到新的肯定——否定之否定。每一个数学理论的发展都符合否定之否定规律。在理论最初形成时，该理论得到肯定；随着实践的需要和研究的深入，该理论的不完善、不精确之处逐渐暴露出来并被否定；进而数学家们开始研究如何使该理论更完善、更精确，最终得出新的结论，达到新的肯定。例如，欧几里德的《几何原本》刚问世时，得到当时数学界的认可并给予了极高的评价。后来学者们注意到《几何原本》并非完整无缺，其中存在着许多缺陷。例如，用图形的重合来证明它们全等的方法是不完善的，对有些概念的定义含糊其辞而另一些无关宏旨等。对这些有缺陷部分的否定，促使许多数学家致力于整理、完备欧几里德的几何体系，最终由德国数学家希尔伯特提出了比较完善的公理体系，使几何学的理论更完善，论证更严谨，同时也促进了近代几何的产生和发展。此外，数学的运算结果也体现着否定之否定规律，例如，正数取两次相反数(两次否定) 仍是正数；命题逻辑中，一个命题的两次否定仍是原命题等。
三、数学与辩证唯物主义认识论
辩证唯物主义认识论引入了实践的观点，阐明了人类认识发展的普遍规律，指出了理性思维的基本方法，强调了非理性因素在人类认识过程中的积极作用。数学理论的形成和发展符合认识的普遍规律，数学研究中广泛地应用着认识论中阐述的基本思维方法，非理性因素对数学教学有着重要影响。
1．数学理论的形成和发展符合认识发展的普遍规律
辩证唯物主义认识论阐明了理论与实践的辩证统一，一方面理论来源于实践，另一方面实践需要理论的指导，并且理论可以在一定程度上超越实践的发展阶段，预见未来；指出了人类的认识过程是在实践的基础上不断深化和完善的过程。数学理论的形成与发展遵从以上认识规律。例如，17世纪，人们面临着求变速运动的瞬时速度、求曲线的切线、求函数的最大值和最小值、求曲线弧长、曲线所界区域的面积、曲面所围立体的体积等实际问题。为解决这些实际问题，许多著名的数学家、天文学家、物理学家如伽利略、开普勒、费尔马、笛卡尔等做了大量的工作，最终由英国的牛顿和德国的莱布尼兹汇总了其他科学家有价值的思想，创建了微积分理论。当微积分的概念形成之后，被广泛地应用于实践，使很多曾让人们束手无策的问题迎刃而解。后来，随着数学本身发展的需要，许多著名的数学家，如傅里叶、柯西、黎曼、斯蒂尔杰斯、勒贝格等对微积分理论从各个方面作了更深入地研究，产生了各种广义积分及各种扩充的积分，如黎曼积分、斯蒂尔杰斯积分等，使微积分理论不断完善，并在一定程度上超越了当时的实践需要。这说明数学理论是来源于实践、应用于实践、在实践中不断完善的，并且可以在一定程度上超越实践，预见未来。
四、结语
总之，数学内部处处蕴涵着哲学思想，数学家在哲学的沧桑巨变中不断成熟，哲学观点在数学成果的推动下不断进步。而今，随着科学技术的飞速发展以及信息时代的到来，数学的应用空前广泛，同时也对数学教学提出了更高的要求。用唯物辩证法的观点，全面、联系地看待所讲内容，注意知识之间的前后衔接，用辩证唯物主义认识论的观点将数学中的知识点衔接起来。
参考文献：1、《关于日本的数学哲学研究》
2、《数学哲学：对数学的思考》
3、《数学哲学》
4、《沉思录》
5、《古今数学思想》（第1册）
6、《你的第一本哲学书》
解恩泽 斯图尔特 保罗·贝纳塞拉夫 奥勒留 莫里斯·克莱因 著 张理京，张锦炎，江泽涵 译 托马斯·内格尔著 宝树 译
大学生数学修养
学院：机电工程学院
学号: 11010341
姓名： 周梅杰
数学中的哲学
【摘要】：数学与哲学是密切联系、相辅相成的。一方面，正确的世界观是人们从事数学研究的前提；另一方面，数学理论的进步和完善改变着人们对整个世界的认识。早在古希腊，哲学家们的论著中就包含着大量的数学理论和方法。而今随着系统科学、计算机科学等横向学科的兴起，数学与哲学的联系更为广泛。
【关键词】：数学；哲学；唯物辩证法；辩证唯物主义认识论
哲学是关于自然知识、社会知识和思维知识的概括和总结，是研究整个世界的普遍本质及规律的科学；数学是研究现实世界空间形式和数量关系的具体科学。哲学为数学提供方法论基础，数学影响着人们的哲学观点，并遵循哲学中所阐述的基本规律而产生、变化和发展。
一、数学与哲学是相互影响、相互促进或者相互抑制的
每个数学家，都要受到他所处时代的哲学观点的影响，其研究成果也使人们对自然界的认识更加深入、透彻，影响着人们的哲学观点。哲学思想可以影响数学家及其研究成果的获得。数学的产生和发展, 归根结底是由人类的实践活动决定的。但是, 哲学思想对数学的发展, 也有着一定的促进或阻碍作用。例如, 柏拉图的理念论哲学、欧洲中世纪基督教哲学、马克思主义哲学都对数学有影响作用, 只不过它们有的是促进作用, 有的是阻碍作用。难怪有人说:哲学与数学是孪生兄弟, 密不可分。
1．数学研究总是在某种哲学思想的指导下进行的
数学家从事数学研究的目的、方法及其深度、广度，深受其哲学思想的影响。例如，古希腊数学家本着自然界是有秩序的、按照一定方案运行的、可以被人类认识的古代朴素唯物主义的哲学思想从事数学研究，他们认为数学理论不是人创造的，而是先于人而存在的，人只要肯定事实并记录下来就行了，所以他们只是考虑如何运用数学知识去解释自然，而不去考虑如何将其运用于改造自然，这导致他们无法接受无理数和无限量，研究范围受到很大的限制。再如，法国数学家、哲学家、物理学家笛卡尔，是唯理论哲学的创始人，主张用“怀疑”代替“盲从”和“迷信”，倡导通过理性去获得真理，认为科学家应该是自然界的探索者和关心科学用处的人。基于这种哲学观点，他在数学研究中，决心放弃抽象推理式的几何，找到一种有利于人们解释自然、改造自然的几何。为了实现上述设想，他把代数方法应用于几何研究，创立了解析几何，并在数学中引入了“变量”的概念，完成了数学史上划时代的伟大变革。
2．数学的发展影响着人们的哲学观点
数学作为人们认识自然、改造自然的工具，其每个重要理论的产生，都会带来自然科学的巨大进步，加深了人们对自然和社会的认识，从而影响着人们的世界观。例如，欧几里德的《几何原本》，用公理建立起演绎数学的理论体系，使后来的人们在认识世界的过程中，不再随意猜想，而是善于利用逻辑推理的方法去解释自然。再如，笛卡尔创建了解析几何，引入了“变量”的概念，使人们可以把形象和路线表示为代数的形式。对航海学、天文预测、物体运动的研究起了巨大的推动作用，加深了人们对自然界的认识，影响着人们的世界观，提醒人们不但要了解自然，而且要用所学知识去掌握自然。正如恩格斯所说：“数学中的转
折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”再如，牛顿、莱布尼兹创建的微积分理论，为近代数学、物理学、天文学开创了新纪元，使自然科学得到了前所未有的发展，大大地提高了人们对自然界的认识程度，为18世纪的理性机械宇宙观奠定了基础。
二、数学与唯物辩证法
唯物辩证法用全面的、联系的、发展的观点看世界，这三个基本规律从不同角度揭示了自然、社会和人类思维发展的一般规律。数学理论的产生和发展符合唯物辩证法阐述的事物发展的一般规律。
1．不同的数学知识之间是相互联系的
唯物辩证法普遍联系的观点广泛地存在于数学理论中，许多不同的数学理论之间是相互联系的。诸如，函数论与微分方程、数理逻辑与拓扑学、概率论与泛函分析、代数方程与群论等。甚至当数学家们把两种表面上看似无关的数学知识联系起来时，会产生奇迹，形成一门崭新的数学学科。例如，当数学家们把微积分理论与几何问题联系起来，即用微积分理论去研究平面曲线和空间曲线的曲率、曲线族的包络、曲面上的测地线等问题时就产生了新的数学分支——微分几何。正如德国数学家希尔伯特所说：“数学是一个有机体，它的生命力的一个必要条件是所有各部分的不可分离的结合”。
2．数学理论存在和发展的前提是其内部的矛盾性
对立统一规律揭示了事物发展的源泉和动力在于事物内部的矛盾性，矛盾对立面的同一和斗争推动着事物的发展。每一种数学理论中都含有互相矛盾的双方，它们既对立又统一构成这种理论存在和发展的前提。例如，解析几何中的“数”与“形”是一对矛盾。它们的对立体现在“数量”与“图形”是两个不同的概念，它们的联系是每个图形有着相应的函数表达式，每个函数有着相应的几何意义；这就使人们可以用代数的方法解决几何问题，并使抽象的代数问题形象化。正是“数”与“形”的对立统一构成了解析几何这门学科存在和发展的基础。
3．数学理论的发展过程是量变、质变的反复过程
量变质变规律指出了量变、质变是事物运动变化的两种最基本状态，事物的发展变化都表现为由量变到质变，再由质变引起新的量变的反复过程。数学理论中体现着量变质变规律。一方面，数学中每种概念的存在都有着特定的量的界限，如果量变超出了这个界限，就会发生质变，形成另一种概念，这种新概念又存在着自己特有的新的量变。例如，正多边形边数的变化范围是“大于或等于3的有限数”，如果边数的变化超出上述范围就不再是正多边形，变为线段或圆。(边数小于3时为线段；边数超出有限数范围，即趋于无穷时为圆。) 不论线段还是圆，都有自己新的量变。另一方面，数学理论的形成过程是从量变到质变、从近似到精确的过程。下面以求曲边梯形的面积为例说明定积分理论的产生过程。为了求曲边梯形的面积，先将该曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，如果分割足够密，这些小曲边梯形可以近似地看成小矩形，然后利用求矩形面积的方法求出各个小曲边梯形面积的近似值，其和就是原曲边梯形面积的近似值。因为所求的仅为近似值，所以上述过程是量变的过程，没
有发生质的飞跃。如果分割无限加密，即各个小曲边梯形的最大宽度趋于零时，就得到原曲边梯形的精确面积，发生了从量变到质变的飞跃，这正是定积分理论的基本思想。
4．数学理论的发展过程中体现着否定之否定规律
否定之否定规律揭示了事物自己发展自己的完整过程是：经历两次否定、三个阶段，即由肯定达到对自身的否定，并再由否定进到新的肯定——否定之否定。每一个数学理论的发展都符合否定之否定规律。在理论最初形成时，该理论得到肯定；随着实践的需要和研究的深入，该理论的不完善、不精确之处逐渐暴露出来并被否定；进而数学家们开始研究如何使该理论更完善、更精确，最终得出新的结论，达到新的肯定。例如，欧几里德的《几何原本》刚问世时，得到当时数学界的认可并给予了极高的评价。后来学者们注意到《几何原本》并非完整无缺，其中存在着许多缺陷。例如，用图形的重合来证明它们全等的方法是不完善的，对有些概念的定义含糊其辞而另一些无关宏旨等。对这些有缺陷部分的否定，促使许多数学家致力于整理、完备欧几里德的几何体系，最终由德国数学家希尔伯特提出了比较完善的公理体系，使几何学的理论更完善，论证更严谨，同时也促进了近代几何的产生和发展。此外，数学的运算结果也体现着否定之否定规律，例如，正数取两次相反数(两次否定) 仍是正数；命题逻辑中，一个命题的两次否定仍是原命题等。
三、数学与辩证唯物主义认识论
辩证唯物主义认识论引入了实践的观点，阐明了人类认识发展的普遍规律，指出了理性思维的基本方法，强调了非理性因素在人类认识过程中的积极作用。数学理论的形成和发展符合认识的普遍规律，数学研究中广泛地应用着认识论中阐述的基本思维方法，非理性因素对数学教学有着重要影响。
1．数学理论的形成和发展符合认识发展的普遍规律
辩证唯物主义认识论阐明了理论与实践的辩证统一，一方面理论来源于实践，另一方面实践需要理论的指导，并且理论可以在一定程度上超越实践的发展阶段，预见未来；指出了人类的认识过程是在实践的基础上不断深化和完善的过程。数学理论的形成与发展遵从以上认识规律。例如，17世纪，人们面临着求变速运动的瞬时速度、求曲线的切线、求函数的最大值和最小值、求曲线弧长、曲线所界区域的面积、曲面所围立体的体积等实际问题。为解决这些实际问题，许多著名的数学家、天文学家、物理学家如伽利略、开普勒、费尔马、笛卡尔等做了大量的工作，最终由英国的牛顿和德国的莱布尼兹汇总了其他科学家有价值的思想，创建了微积分理论。当微积分的概念形成之后，被广泛地应用于实践，使很多曾让人们束手无策的问题迎刃而解。后来，随着数学本身发展的需要，许多著名的数学家，如傅里叶、柯西、黎曼、斯蒂尔杰斯、勒贝格等对微积分理论从各个方面作了更深入地研究，产生了各种广义积分及各种扩充的积分，如黎曼积分、斯蒂尔杰斯积分等，使微积分理论不断完善，并在一定程度上超越了当时的实践需要。这说明数学理论是来源于实践、应用于实践、在实践中不断完善的，并且可以在一定程度上超越实践，预见未来。
四、结语
总之，数学内部处处蕴涵着哲学思想，数学家在哲学的沧桑巨变中不断成熟，哲学观点在数学成果的推动下不断进步。而今，随着科学技术的飞速发展以及信息时代的到来，数学的应用空前广泛，同时也对数学教学提出了更高的要求。用唯物辩证法的观点，全面、联系地看待所讲内容，注意知识之间的前后衔接，用辩证唯物主义认识论的观点将数学中的知识点衔接起来。
参考文献：1、《关于日本的数学哲学研究》
2、《数学哲学：对数学的思考》
3、《数学哲学》
4、《沉思录》
5、《古今数学思想》（第1册）
6、《你的第一本哲学书》
解恩泽 斯图尔特 保罗·贝纳塞拉夫 奥勒留 莫里斯·克莱因 著 张理京，张锦炎，江泽涵 译 托马斯·内格尔著 宝树 译