初中数学综合与实践活动以及评价建议
一、综合与实践的价值、案例分析及教学建议
（一）设立综合与实践的背景和价值
综合与实践之所以要作为一个独立的领域，其中很重要的原因是要培养学生的实践能力，要培养学生综合利用知识的能力，如果仅仅满足于每一个具体的领域里的知识，就没有给学生综合使用知识提供机会。另外，数学的发展非常关注应用，用数学去解决其他学科的问题，用数学去解决其它领域的问题，用数学去解决我们日常生活的问题，这都是数学发展越来越重视的事情。
创新能力在实践中同样十分重要，创新的基础需要有问题，需要解决问题，并在解决问题的过程中，提出自己的想法。而综合与实践活动，恰恰就为学生这方面的能力，提供了一个可操作、可实践平台。从这几个方面来说，综合与实践活动，是非常重要的事情。
综合与实践对于我们来说是个新事物，不能一步到位，特别是在实施的过程中，无论从老师重视的程度，还是我们经验的积累程度，都很不足。那我们更需要改善这些不足之处。
（二）如何做好综合与实践活动
第三阶段的综合与实践活动的要求比之前两阶段有一定提升。有三方面的要求，一是能够结合实际情况，设定解决具体问题的方案，并加以实施，二是体验建立模型，解决问题的过程，三是在过程中，尝试发现问题，提出问题。把综合与实践的目标和学生增长数学学习的经验、改进学生学习的方式联系起来，主要有四个环节。第一个环节是提出问题，第二个环节是探求解题的途径，第三个环节是操作实践，第四个是反思交流评价。我们也可以简单地用选题，开题，作题，解题，这样的操作方式来表达。
具体来做数学这个综合与实践的教学设计的时候，一是要有一个清晰的线索，这个线索就是过程设计，这个过程要让学生更多地参与，在这个过程中有所发现，有所收获，最后要积累经验。我们常见的问题的组织形式，从一个角度去看，综合与实践的教学设计是来解决课堂内的问题，也有可能是课外的数学问题，或者是课内外结合着做，这我们一会儿举例子会看到。
综合与实践活动在时间没有固定，可以在一节课上完成，有的则需要课上课下相结合，有的可能需要的时间较长，比如假期，或者占用日常教学中的一个月或者半个月时间来完成。
还有一个是用它解决问题的指向，有的是解决数学内部的问题，有的是用数学作为工具解决生产生活实际，或者是其他学科如体育，数学，物理，化学等，这种
问题需要两种情况结合解决，老师在开始做的时候，我们需要老师们去思考解决问题的方法，有时可以从课本上找到方法。
(三) 综合与实践的几个案例
给同学一个 8 乘 8 的正方形纸片，事先画好网格，现在这个正方形的面积是 64 平方厘米，把它裁成四块，裁完之后，将其拼成一个长方形，此时长方形的长是 5+8 ，宽是个 5 ，面积是 65 ，多了 1 平方厘米，以此来激发学生的兴趣。 首先学生会怀疑老师所说的正误，有了怀疑以后，便会去验证。验证的方法各有不同，有些同学会采用验算计算结果的方法，因为初一的孩子想法比较直接。还有一些孩子，则会按老师所说的方法拼一次，在拼的过程中，因为裁剪中的误差，拼完后，看不出中间的缝隙，最后也相信了老师的结论。但他会思考到底这多的一平方厘米是哪来的？还有一部分同学会认为，老师拼的并不是长方形，面积不该这么算，这时就切中问题的核心了。首先要判断这个图形是不是长方形，其次如果它是长方形，那面积是不是 65 ，此时学生的目光就集中在这一平方厘米上。在解决这个问题的过程中，不同的学生有不同的办法，有些学生不按老师所说的数据，自己先假设 XY ，把这个正方形截的两部分，一个 X 一个 Y ，自己加以运算，这样的学生具有怀疑精神，值得肯定。还有些学生善于利用反向思维去探究这多出来的 1 时从哪儿来的，通过精确的画图和分析，会发现能产生异议的只有中间这空心这一块，因为空心而导致了误差。因而这就形成了两个解决问题的方法，一正一反，都能将问题解决。
我们还可以引导学生继续交流反思，让学生想想，这问题引起了他什么样想法。有学生眼睛不可靠，看见的不一定就是真实的。还有同学说他用面积计算的方法设 XY 以后，这个正方形面积，就是 X+Y 边长，再平方，拼成这个长方形的长跟宽，也能用 XY 来表示，从而得出结果。这是一个 2 元 2 次的方程，对于初一学生来说并不容易，但老师可以告诉他，他的思路是正确的，只是所学的知识还没达到那个程度。等他到了初二学完根式之后或者初三学完一二方程解码后就能解决。老师可以用相似的办法把 XY 的比值算出来，得到的数比知识 0.618 ，即我们所说的黄金分割数，学生会因此而感到兴奋，从而对知识的渴望更加热切。 此外老师要给学生留出思考的空间，在这个过程中，要提倡学生思考数学的价值，包括做数学证明的价值，观察的价值，发现的价值。在这个环节中，老师虽然很快地抛出这个问题，这个问题能吸引学生的点在于，眼睁睁地看着 64 ，65 相等了，在这个矛盾中学生探索几何，代数，互相帮忙。老师挖掘学生的综合与实践活动，不仅是把问题做出来，而是要思考它在数学中能带给学生更多的思考。 对学生来说，函数是从一个变量到两个变量，接受起来就是有很大的困难。对于函数图象的解读，学生也会问出各种各样的问题，针对学生这个问题，我们设计了龟兔赛跑的函数图象，龟兔赛跑的寓言故事，学生们都是非常熟悉的，那么我们就从这个故事入手，让学生在故事情节和这个函数图象之间建立起联系，对应起来，有利于不熟悉的函数图象的解决。
我现在呈现了这样一个函数图象，乌龟和兔子在一条笔直的大路上比赛，设跑的时间是 T ，单位是秒，路程为 S ，这样就出现了 S 和 T 两个变量。根据这个图象所表达的变量之间的关系，让学生来描述这个故事，这样就把问题抛给学生了。
在解决这个问题的时候，学生要做的首先是看懂这个图像，这必须通过他自己的亲身实践才能做到，从而掌握其窍门。在交流展示的时候，则涉及到了学习评价的问题，因为这里面设计到算，会不会算，算的结果的正误，算完之后能不能对点与直线的关系加以描述，在描述的过程中，是不是绘声绘色，声音洪亮，这些都可以作为评价的指标。
这两个案例都比较好地反应了我们是否把综合实践这个活动延续到了课堂内，或者是能够结合学生的一些生活实例，做一些设计。
我们在学圆锥的时候，因为圆锥和这个扇形之间，有很密切的关系，那么这个公式的运用，就很有可能会出现在考试中，但学生并不是每一次做都能做对。所以我建议学生自己动手来做一个圆锥，那选一个扇形来做一个圆锥，体会一下它们之间的联系，如果我们不限制条件，随便剪个扇形，一围就是个圆锥，就没有什么价值。我看到初中的孩子都很爱娃娃，常常在它们上学的时候看见它们书包上挂的娃娃，于是我提议给他们的玩具娃娃做一个圆锥形的帽子，这样的话，如果随便裁一个扇形，就会戴不上，这就要求学生去量娃娃的头围，至于用什么料子，用常见的 A4 纸做就可以，不用去买布。做完以后，引导学生说白帽子太单调，问学生如何让帽子变得漂亮，学生就会在老师的引导下去设计图案，根据自己学过的东西，如轴对称、三角形、圆、四边形等等，将其设计在帽子上，展示的时候，让学生交代他思考的过程，再让他吧帽子给娃娃戴上，看合适与否。
除了在活动性上的设计，学生参与活动的设计，还有学生的问题的开放性方面，一步一步都有了提高，那么在这些活动中，学生参与了，得到的结果各种各样的，我们怎么利用这些例子来评价学生在参与综合与实践活动中的进步，又怎么把这个给渗透在我们的问题设计中呢？
我们可以通过几个不同的角度来评价，一个是过程，就是学生能不能完整地完成这个过程，即老师给了问题以后，能不能讲思路理清。第二要有思路，就是学生打算怎么做，先拿纸试，然后拿布裁，然后发现什么问题再怎么解决，在解决的过程中，会用到哪些数学，学生要能够把这问题想一想。然后就是做，最后是做的结果的展示，如果出现了问题，还可以有改进的一些思考。第四是能不能拓展，整个这个过程，就是我们评价这几个机理，学生能否完整地做下来，学生在某些步骤上是否有特点，不管它们是在最后的展示上有好，还是在设计上好，还是在做的过程中好，还是数学用得好，还是有拓展性思维，都可以作为我们评价的基点。
第二个角度，因为毕竟是数学的综合实践活动，就是看学生们数学用得怎么样，包括是不是对，这是科学性的问题，是不是好，则是能不能改进的问题。我们还可以考虑，毕竟是实践，学生们是否考虑到精度，是不是考虑到节约，是不是考虑到优化，这些都是重要数学思想的展示，也是一个很重要的角度。
第三个角度，就是我们通常所说的情感态度价值观。学生做一件事情的关注度，投入度，兴奋度。也许他做的并不太好，但是非常专注，不耻于会向别人请教，而请教的态度非常好，还去翻书，查资料等，这些都反映了学生的学习能力，学习态度，所以这样几个角度，都是我们评价学生在综合实践中非常重要的纬度，相信大家，会创造出一个更完美的综合实践活动的评价等等。
开展好综合与实践活动，是一个带有挑战性的任务，首先我们要应战，所以老师首先有一个态度，激进一点，总比消极一点好，因为综合实践活动的一个重要作用，是可以激发学生学习的兴趣和欲望，此外还可以改善老师和学生之间的关系，因为师生共同的解决一个问题，这种合作友谊是不容小视的，所以第一件事情就是态度，老师要积极。第二个方面，因为这是一个实验，我们老师的专业，不应该只盯着考什么，教什么，而应该稍微地有点富裕，老师容纳的东西越多，教给学生的东西就越多，学生的创造性，实践能力就越强，因此保持一个开阔的视野是非常重要的，数学老师不应该只关注数学，关注世界数学可以解决的问题，还应关注其他的学科，关注日常生活，关注报纸，关注学生周围的事情，因为学生能解决的问题，都是在他们生活经验范围内的，超出了他的经验范围以内，可能学生解决起来，就有一定的困难，所以我觉得开阔的视野非常重要。第三个方面，是要了解自己的学生。
一、综合实践是有意义的，需要老师在实践的过程中，不断地去积累。
二、什么是综合实践？就是问题，活动，综合，这都是关键词，也需要老师去体会、去理解。
三、在研究的过程中，积累是一个基本过程，选择问题，开题，报告，解决问题的思路，作题，实施解决问题的过程，最后解题，就是告诉大家，我得出的结果，我的反思。
四、评价。
五、如何把综合实践活动和教师的专业发展有机地结合起来。如果我们把这件事情和自身的发展，结合为一体，教学就会变得非常地生动，活泼，丰富，具有吸引力，
二、评价建议
（一）《课程标准》中的评价建议
1．关注过程性评价
综合实践的课程标准与以前评价方面有很大不同，特别是过程性评价。大体上是两方面，一个是终结性的评价，比如我们学习了一段时间后，来考查学生的学业的进展程度，中考，是终结性评价的一个载体。另一部分是过程性评价，就是在学生学习过程中，我们怎么样对学生各方面进行评价，评价的主要目的，就是要
激励学生应该向哪个方向来提高自己，这是评价的核心的部分。所以一个积极的态度来评价学生，是非常重要的。
2．关注评价的内容
评价的内容包括知识技能，强调的过程方法，数学思考，问题解决方案，情感态度价值观。另一个特别重要的是学生的学习过程，课程标准的制定和修改，是一个大的变化，从仅仅关注教，到关注学习能力的培养，再到关注学生终身学习，关注学生学习过程，包括态度、兴趣、自信，都是评价的重要方面。
3．体现评价主体的多元化和评价方式的多样性
多元化包括老师，家长，社会，学生本身，学生相互，评价主体的多元化，使得评价的积极作用得到落实和体现，至于评价方式，则不要仅仅把评价停留在书面的评价，书面的测试，而是希望老师把评价渗透在自己教学活动的方方面面，教学活动的自始至终，将评价做到位。
4．恰当地呈现和利用评价结果
学生的学习总有一个发展进度的过程，不同的人，发展的速度也不一样，不同的人，需求也不一样，所以评价结果展示和利用的方式也可以是多样的，或激将或批评，要用不同的方式，展示给不同的对象，这样的话同一个结果，可能发挥不一样的作用。
5．合理设计与实施书面测验
中考面临着一系列的挑战，综合实践，能不能进入纸笔测试，我们的纸笔测试能不能考过程，能不能考学习的能力等都亟待解决的问题。建议老师要用一种发展的眼光，一种开阔的胸怀，来运用评价，使它在我们整个教育的发展中，特别是数学教育的发展中，发挥更加积极，更加良性，更加科学的作用。
（二）评价体的多元化和评价方式的多样性
学生个体发展具有差异性和独特性，这是一个客观事实，我们关注学生的这种个体差异，就势必要在评价对象，评级主体，和评价方式上，体现出多元化的特点。关于评价对象的多元化，意思是，我们不仅要评价技能，还要评价学生在学习过程当中的学习方式，以及他们表现出来的情感态度，学习习惯等内容。
在数学课程标准当中，对评价的主体多元化给出了这样的描述和要求，多元化是指教师、家长、同学、以及学生本人，都可以作为评价者，对学生的学习情况，和教师的教学情况，进行全面的考察，除了平时我们常用的教师对学生的评价之外，学生的自评，及与同伴之间的互评，也是非常重要的，我们现在是比较强调学生的自评和同伴之间的互评，它把一种等待式的评价，变成了学生主动的参与，在这样一个过程当中，学生是一个自我教育，自我反思的过程。老师在课堂教学
中引导学生进行自评和他评，只有引导学生去发现别人的优点，并进行一种自我暗示，才能发现自身有欠缺亟待提高的地方。
复习和总结，也是一个非常重要的环节，在每个单元知识学习完之后，老师可以引导学生，用比较多样化的方式进行知识梳理，可以采用比较形象生动的知识树，框架图等，或者是制作手抄报，还可以选出十个比较典型的题目，概括所学的内容，或者是选出十道比较典型的错题，做这样的梳理活动，这对提高学生的自我反思能力进行自我评价，是非常有利的。
关注评价主体的多元化的时候，一定要特别关注学生本人，学生群体，老师是学生学习的促进者，家长是学生学习的保障者，校领导是对学生学习结果的监督者。这种角度去看问题的时候，就不可能很好地发挥评价的作用。我们需要学生在学习的过程中，创设环境，让学生不由自主地去参与评价，积极地去评价。通过这种评价的激励的作用，对自身优点的优点，对别人优点，对自己缺点的都能更深刻的认识。这样对学生的学习有一定促进作用，所以我们说多样化，多元化的同时，首先考虑的是发挥学生在评价中的积极作用，让他们既是被评者，又是评价者，更是受益者。
要评价学生的学习，是值得老师们思考的问题。比如说阅读，学生是否读清楚，是否把关键东西读出来，谁抓住关键词，谁抓住了本质，谁说的简捷。第二个是发问，谁能发出有价值的问题，来引导我们把思维引向深入。第三件是梳理知识，即复习，梳理知识的一个方面，学习需要把新学的东西和原来的东西整合起来，融为一体，建立一个体系，建立网。第四件是把学到的东西说出来，写出来，表达清楚，这都是我们学习过程值得评价的问题，所以评价学习的过程，要具体，要实在，要起作用。
标准当中提到，书面的测验，口头测验，开放式的问题，活动报告，课堂观察，课后访谈，课内外的作业，还包括成长记录，包括网上交流等等，都可以作为我们评价的方式。除了我们常见的书面测验，这个大家都比较熟悉，除了这个之外，持续的，比较动态的非正常的课堂教学，是我们的主阵地，那么它也应该成为我们评价的主阵地。老师的及时的口头表扬，评价，还有现场作业的展示，对学生回答的反馈，对学生成果欣赏的解读，学生在集体面前的一些展示报告等，这些都应该是我们比较多样的评价方式之一。除此之外，还可以引入一些指导性的评价方式，比如说有些地区就在尝试口试的评价方式，我们可以通过口试来给学生提供展示个人才能的机会，包括他的思维过程，他对问题的一些思考，分析，解答，甚至包括一些真实的操作，通过这样一个过程，不仅考查了学生对知识技能的掌握情况，还可以使我们老师比较全面的了解学生的解决问题的方法，他们动手操作的能力，表述与交流的能力，以及他们的个性和创作性。
（三）中考的变化及趋势
1．注重考察主流知识和通性通法
学生掌握的最重要的，最基本的东西，或者说我们标准中，占主导地位的东西，我希望我们的老师研究这个问题。比如运算能力，运算能力体现在哪些地方，要
清楚运算的对象，要清楚运算的背景，为什么这么算，为什么要加，为什么要减，为什么要乘，为什么要除，运算的法则，运算有哪些用处。再比如说运算的对象，学生进入初中，学习的第一个重要的东西，是负数，出现了负号，则学生常常在运算的过程中，出现一些问题或错误，怎么对待这件事情？负号的出现，把我们带入到一个新的阶段，过去在小学阶段学习数学符号，一个符号就是一种含义，符号给我们带来的重大的变化，就是这负号反映两个数学中实质性的内容，一个是它能表述数的性质符号，第二个它是一个运算符号，所以有理数的四和混合运算，一个重要的基点，就是对符号的理解认识和掌握。这些现在已经成为考试的重点，通性通法的东西反映的是数学的基本思想，我们要避免那些偏题，怪题，过分追求技巧地难题。
2．注重考察数学阅读能力
有一个统计如今的中考，字符的数量，增加了 80% 到一倍，其原因是什么？就是我们希望培养学生的能力，是发现和提出问题，分析和解决问题的能力，学生进入社会以后，没有人会把解决问题的已知条件，和要解决的问题本身一字不多，一字不少地表现出来，因而这就是需要锻炼学生的地方，需要学生从这些纷繁复杂的信息当中，提取有用的信息，培养自己的这种能力。
3．关注数学在实际中的应用
综合与应用能力的考查，它不仅仅是对一个个知识点的考查，而是希望学生能综合地利用学过知识解决问题，还包括用数学来解决其他学科和现实生活中的问题。
4．出现了探究性的问题
找规律的问题，已经成为中考考查中，一个稳定的出题点。希望我们的老师，要研究中考的变化，比如说，阅读能力，传统的所谓题型的训练，对于阅读能力的提升，带来巨大的挑战，所以怎样提升学生的阅读能力，建议老师思考。中考的变化趋势，是一个很重要的课题。
PISSA 跟中考有些比较相似的地方，是针对大约 15 岁左右的学生进行的一个纸笔测验的一个评价方式，有一些题目，我觉得能给我们一些启发。
例：某一个国家 1980 年的国防预防是 3000 万美元，预算总额为 5 亿美元，第二年的国防预算是 3500 万美元，预算总额为 6.05 亿美元，并且知道这一年财政年度的通货膨胀率为 10% 。有这样两个问题，第一个是如果你被邀请为一个和平协会做报告，你将怎样解释国防预算下降了，第二个问题是，如果你被邀请为一个军事学会做报告，你将怎样解释国防预算增加了。大家可以从这个题目当中可以看到，这个题目把对数学素养的考查，致身到一个比较广阔的背景当中去，他跟学生的个人生活经验，像这个就是可能跟学生未来的职业，还有社会生活是紧密相连的，强调学生在不同的背景下，能够参与的一些数学活动，能够用数学，做数学的一些能力，还包括交流与合作，鉴赏数学等，非常广泛，非常综合。这道题目其实就是让学生从不同的立场出发，去解释数据，在这样一个过程
当中，理解统计其实是一门技术，所以我认为像这样的能够比较综合考查出学生对数学真正理解的题目，可以让学生都去学习，多去做。
提供这样的一些参考案例，是希望老师开拓一下视野，特别也希望中考的命题者，能够打开思路。数学一个很重要的目标，是培养学生的数学素养，培养解决实际问题的能力，这多种的考查方式，可能会和我们传统的纸笔测试中的一些证明题，计算题有差别，希望老师能关注到这样的一些变化。，比如说这样几个挑战性的问题，综合与实践，能不能考，学生的学习能力能不能考，比如刚才这一道统计题，就是考学生的生活经验，考他们对于日常生活中间的某些东西的理解，什么叫物价指数增长 10% ，若说不清这件事情，就没有办法在一个和平协会中做这个报告。所以这些，是我们在日常教学中应该关注的一些问题，将来的中考也会和整个教育发展的方向同步进行，希望我们的老师能给予关注
初中数学综合与实践活动以及评价建议
一、综合与实践的价值、案例分析及教学建议
（一）设立综合与实践的背景和价值
综合与实践之所以要作为一个独立的领域，其中很重要的原因是要培养学生的实践能力，要培养学生综合利用知识的能力，如果仅仅满足于每一个具体的领域里的知识，就没有给学生综合使用知识提供机会。另外，数学的发展非常关注应用，用数学去解决其他学科的问题，用数学去解决其它领域的问题，用数学去解决我们日常生活的问题，这都是数学发展越来越重视的事情。
创新能力在实践中同样十分重要，创新的基础需要有问题，需要解决问题，并在解决问题的过程中，提出自己的想法。而综合与实践活动，恰恰就为学生这方面的能力，提供了一个可操作、可实践平台。从这几个方面来说，综合与实践活动，是非常重要的事情。
综合与实践对于我们来说是个新事物，不能一步到位，特别是在实施的过程中，无论从老师重视的程度，还是我们经验的积累程度，都很不足。那我们更需要改善这些不足之处。
（二）如何做好综合与实践活动
第三阶段的综合与实践活动的要求比之前两阶段有一定提升。有三方面的要求，一是能够结合实际情况，设定解决具体问题的方案，并加以实施，二是体验建立模型，解决问题的过程，三是在过程中，尝试发现问题，提出问题。把综合与实践的目标和学生增长数学学习的经验、改进学生学习的方式联系起来，主要有四个环节。第一个环节是提出问题，第二个环节是探求解题的途径，第三个环节是操作实践，第四个是反思交流评价。我们也可以简单地用选题，开题，作题，解题，这样的操作方式来表达。
具体来做数学这个综合与实践的教学设计的时候，一是要有一个清晰的线索，这个线索就是过程设计，这个过程要让学生更多地参与，在这个过程中有所发现，有所收获，最后要积累经验。我们常见的问题的组织形式，从一个角度去看，综合与实践的教学设计是来解决课堂内的问题，也有可能是课外的数学问题，或者是课内外结合着做，这我们一会儿举例子会看到。
综合与实践活动在时间没有固定，可以在一节课上完成，有的则需要课上课下相结合，有的可能需要的时间较长，比如假期，或者占用日常教学中的一个月或者半个月时间来完成。
还有一个是用它解决问题的指向，有的是解决数学内部的问题，有的是用数学作为工具解决生产生活实际，或者是其他学科如体育，数学，物理，化学等，这种
问题需要两种情况结合解决，老师在开始做的时候，我们需要老师们去思考解决问题的方法，有时可以从课本上找到方法。
(三) 综合与实践的几个案例
给同学一个 8 乘 8 的正方形纸片，事先画好网格，现在这个正方形的面积是 64 平方厘米，把它裁成四块，裁完之后，将其拼成一个长方形，此时长方形的长是 5+8 ，宽是个 5 ，面积是 65 ，多了 1 平方厘米，以此来激发学生的兴趣。 首先学生会怀疑老师所说的正误，有了怀疑以后，便会去验证。验证的方法各有不同，有些同学会采用验算计算结果的方法，因为初一的孩子想法比较直接。还有一些孩子，则会按老师所说的方法拼一次，在拼的过程中，因为裁剪中的误差，拼完后，看不出中间的缝隙，最后也相信了老师的结论。但他会思考到底这多的一平方厘米是哪来的？还有一部分同学会认为，老师拼的并不是长方形，面积不该这么算，这时就切中问题的核心了。首先要判断这个图形是不是长方形，其次如果它是长方形，那面积是不是 65 ，此时学生的目光就集中在这一平方厘米上。在解决这个问题的过程中，不同的学生有不同的办法，有些学生不按老师所说的数据，自己先假设 XY ，把这个正方形截的两部分，一个 X 一个 Y ，自己加以运算，这样的学生具有怀疑精神，值得肯定。还有些学生善于利用反向思维去探究这多出来的 1 时从哪儿来的，通过精确的画图和分析，会发现能产生异议的只有中间这空心这一块，因为空心而导致了误差。因而这就形成了两个解决问题的方法，一正一反，都能将问题解决。
我们还可以引导学生继续交流反思，让学生想想，这问题引起了他什么样想法。有学生眼睛不可靠，看见的不一定就是真实的。还有同学说他用面积计算的方法设 XY 以后，这个正方形面积，就是 X+Y 边长，再平方，拼成这个长方形的长跟宽，也能用 XY 来表示，从而得出结果。这是一个 2 元 2 次的方程，对于初一学生来说并不容易，但老师可以告诉他，他的思路是正确的，只是所学的知识还没达到那个程度。等他到了初二学完根式之后或者初三学完一二方程解码后就能解决。老师可以用相似的办法把 XY 的比值算出来，得到的数比知识 0.618 ，即我们所说的黄金分割数，学生会因此而感到兴奋，从而对知识的渴望更加热切。 此外老师要给学生留出思考的空间，在这个过程中，要提倡学生思考数学的价值，包括做数学证明的价值，观察的价值，发现的价值。在这个环节中，老师虽然很快地抛出这个问题，这个问题能吸引学生的点在于，眼睁睁地看着 64 ，65 相等了，在这个矛盾中学生探索几何，代数，互相帮忙。老师挖掘学生的综合与实践活动，不仅是把问题做出来，而是要思考它在数学中能带给学生更多的思考。 对学生来说，函数是从一个变量到两个变量，接受起来就是有很大的困难。对于函数图象的解读，学生也会问出各种各样的问题，针对学生这个问题，我们设计了龟兔赛跑的函数图象，龟兔赛跑的寓言故事，学生们都是非常熟悉的，那么我们就从这个故事入手，让学生在故事情节和这个函数图象之间建立起联系，对应起来，有利于不熟悉的函数图象的解决。
我现在呈现了这样一个函数图象，乌龟和兔子在一条笔直的大路上比赛，设跑的时间是 T ，单位是秒，路程为 S ，这样就出现了 S 和 T 两个变量。根据这个图象所表达的变量之间的关系，让学生来描述这个故事，这样就把问题抛给学生了。
在解决这个问题的时候，学生要做的首先是看懂这个图像，这必须通过他自己的亲身实践才能做到，从而掌握其窍门。在交流展示的时候，则涉及到了学习评价的问题，因为这里面设计到算，会不会算，算的结果的正误，算完之后能不能对点与直线的关系加以描述，在描述的过程中，是不是绘声绘色，声音洪亮，这些都可以作为评价的指标。
这两个案例都比较好地反应了我们是否把综合实践这个活动延续到了课堂内，或者是能够结合学生的一些生活实例，做一些设计。
我们在学圆锥的时候，因为圆锥和这个扇形之间，有很密切的关系，那么这个公式的运用，就很有可能会出现在考试中，但学生并不是每一次做都能做对。所以我建议学生自己动手来做一个圆锥，那选一个扇形来做一个圆锥，体会一下它们之间的联系，如果我们不限制条件，随便剪个扇形，一围就是个圆锥，就没有什么价值。我看到初中的孩子都很爱娃娃，常常在它们上学的时候看见它们书包上挂的娃娃，于是我提议给他们的玩具娃娃做一个圆锥形的帽子，这样的话，如果随便裁一个扇形，就会戴不上，这就要求学生去量娃娃的头围，至于用什么料子，用常见的 A4 纸做就可以，不用去买布。做完以后，引导学生说白帽子太单调，问学生如何让帽子变得漂亮，学生就会在老师的引导下去设计图案，根据自己学过的东西，如轴对称、三角形、圆、四边形等等，将其设计在帽子上，展示的时候，让学生交代他思考的过程，再让他吧帽子给娃娃戴上，看合适与否。
除了在活动性上的设计，学生参与活动的设计，还有学生的问题的开放性方面，一步一步都有了提高，那么在这些活动中，学生参与了，得到的结果各种各样的，我们怎么利用这些例子来评价学生在参与综合与实践活动中的进步，又怎么把这个给渗透在我们的问题设计中呢？
我们可以通过几个不同的角度来评价，一个是过程，就是学生能不能完整地完成这个过程，即老师给了问题以后，能不能讲思路理清。第二要有思路，就是学生打算怎么做，先拿纸试，然后拿布裁，然后发现什么问题再怎么解决，在解决的过程中，会用到哪些数学，学生要能够把这问题想一想。然后就是做，最后是做的结果的展示，如果出现了问题，还可以有改进的一些思考。第四是能不能拓展，整个这个过程，就是我们评价这几个机理，学生能否完整地做下来，学生在某些步骤上是否有特点，不管它们是在最后的展示上有好，还是在设计上好，还是在做的过程中好，还是数学用得好，还是有拓展性思维，都可以作为我们评价的基点。
第二个角度，因为毕竟是数学的综合实践活动，就是看学生们数学用得怎么样，包括是不是对，这是科学性的问题，是不是好，则是能不能改进的问题。我们还可以考虑，毕竟是实践，学生们是否考虑到精度，是不是考虑到节约，是不是考虑到优化，这些都是重要数学思想的展示，也是一个很重要的角度。
第三个角度，就是我们通常所说的情感态度价值观。学生做一件事情的关注度，投入度，兴奋度。也许他做的并不太好，但是非常专注，不耻于会向别人请教，而请教的态度非常好，还去翻书，查资料等，这些都反映了学生的学习能力，学习态度，所以这样几个角度，都是我们评价学生在综合实践中非常重要的纬度，相信大家，会创造出一个更完美的综合实践活动的评价等等。
开展好综合与实践活动，是一个带有挑战性的任务，首先我们要应战，所以老师首先有一个态度，激进一点，总比消极一点好，因为综合实践活动的一个重要作用，是可以激发学生学习的兴趣和欲望，此外还可以改善老师和学生之间的关系，因为师生共同的解决一个问题，这种合作友谊是不容小视的，所以第一件事情就是态度，老师要积极。第二个方面，因为这是一个实验，我们老师的专业，不应该只盯着考什么，教什么，而应该稍微地有点富裕，老师容纳的东西越多，教给学生的东西就越多，学生的创造性，实践能力就越强，因此保持一个开阔的视野是非常重要的，数学老师不应该只关注数学，关注世界数学可以解决的问题，还应关注其他的学科，关注日常生活，关注报纸，关注学生周围的事情，因为学生能解决的问题，都是在他们生活经验范围内的，超出了他的经验范围以内，可能学生解决起来，就有一定的困难，所以我觉得开阔的视野非常重要。第三个方面，是要了解自己的学生。
一、综合实践是有意义的，需要老师在实践的过程中，不断地去积累。
二、什么是综合实践？就是问题，活动，综合，这都是关键词，也需要老师去体会、去理解。
三、在研究的过程中，积累是一个基本过程，选择问题，开题，报告，解决问题的思路，作题，实施解决问题的过程，最后解题，就是告诉大家，我得出的结果，我的反思。
四、评价。
五、如何把综合实践活动和教师的专业发展有机地结合起来。如果我们把这件事情和自身的发展，结合为一体，教学就会变得非常地生动，活泼，丰富，具有吸引力，
二、评价建议
（一）《课程标准》中的评价建议
1．关注过程性评价
综合实践的课程标准与以前评价方面有很大不同，特别是过程性评价。大体上是两方面，一个是终结性的评价，比如我们学习了一段时间后，来考查学生的学业的进展程度，中考，是终结性评价的一个载体。另一部分是过程性评价，就是在学生学习过程中，我们怎么样对学生各方面进行评价，评价的主要目的，就是要
激励学生应该向哪个方向来提高自己，这是评价的核心的部分。所以一个积极的态度来评价学生，是非常重要的。
2．关注评价的内容
评价的内容包括知识技能，强调的过程方法，数学思考，问题解决方案，情感态度价值观。另一个特别重要的是学生的学习过程，课程标准的制定和修改，是一个大的变化，从仅仅关注教，到关注学习能力的培养，再到关注学生终身学习，关注学生学习过程，包括态度、兴趣、自信，都是评价的重要方面。
3．体现评价主体的多元化和评价方式的多样性
多元化包括老师，家长，社会，学生本身，学生相互，评价主体的多元化，使得评价的积极作用得到落实和体现，至于评价方式，则不要仅仅把评价停留在书面的评价，书面的测试，而是希望老师把评价渗透在自己教学活动的方方面面，教学活动的自始至终，将评价做到位。
4．恰当地呈现和利用评价结果
学生的学习总有一个发展进度的过程，不同的人，发展的速度也不一样，不同的人，需求也不一样，所以评价结果展示和利用的方式也可以是多样的，或激将或批评，要用不同的方式，展示给不同的对象，这样的话同一个结果，可能发挥不一样的作用。
5．合理设计与实施书面测验
中考面临着一系列的挑战，综合实践，能不能进入纸笔测试，我们的纸笔测试能不能考过程，能不能考学习的能力等都亟待解决的问题。建议老师要用一种发展的眼光，一种开阔的胸怀，来运用评价，使它在我们整个教育的发展中，特别是数学教育的发展中，发挥更加积极，更加良性，更加科学的作用。
（二）评价体的多元化和评价方式的多样性
学生个体发展具有差异性和独特性，这是一个客观事实，我们关注学生的这种个体差异，就势必要在评价对象，评级主体，和评价方式上，体现出多元化的特点。关于评价对象的多元化，意思是，我们不仅要评价技能，还要评价学生在学习过程当中的学习方式，以及他们表现出来的情感态度，学习习惯等内容。
在数学课程标准当中，对评价的主体多元化给出了这样的描述和要求，多元化是指教师、家长、同学、以及学生本人，都可以作为评价者，对学生的学习情况，和教师的教学情况，进行全面的考察，除了平时我们常用的教师对学生的评价之外，学生的自评，及与同伴之间的互评，也是非常重要的，我们现在是比较强调学生的自评和同伴之间的互评，它把一种等待式的评价，变成了学生主动的参与，在这样一个过程当中，学生是一个自我教育，自我反思的过程。老师在课堂教学
中引导学生进行自评和他评，只有引导学生去发现别人的优点，并进行一种自我暗示，才能发现自身有欠缺亟待提高的地方。
复习和总结，也是一个非常重要的环节，在每个单元知识学习完之后，老师可以引导学生，用比较多样化的方式进行知识梳理，可以采用比较形象生动的知识树，框架图等，或者是制作手抄报，还可以选出十个比较典型的题目，概括所学的内容，或者是选出十道比较典型的错题，做这样的梳理活动，这对提高学生的自我反思能力进行自我评价，是非常有利的。
关注评价主体的多元化的时候，一定要特别关注学生本人，学生群体，老师是学生学习的促进者，家长是学生学习的保障者，校领导是对学生学习结果的监督者。这种角度去看问题的时候，就不可能很好地发挥评价的作用。我们需要学生在学习的过程中，创设环境，让学生不由自主地去参与评价，积极地去评价。通过这种评价的激励的作用，对自身优点的优点，对别人优点，对自己缺点的都能更深刻的认识。这样对学生的学习有一定促进作用，所以我们说多样化，多元化的同时，首先考虑的是发挥学生在评价中的积极作用，让他们既是被评者，又是评价者，更是受益者。
要评价学生的学习，是值得老师们思考的问题。比如说阅读，学生是否读清楚，是否把关键东西读出来，谁抓住关键词，谁抓住了本质，谁说的简捷。第二个是发问，谁能发出有价值的问题，来引导我们把思维引向深入。第三件是梳理知识，即复习，梳理知识的一个方面，学习需要把新学的东西和原来的东西整合起来，融为一体，建立一个体系，建立网。第四件是把学到的东西说出来，写出来，表达清楚，这都是我们学习过程值得评价的问题，所以评价学习的过程，要具体，要实在，要起作用。
标准当中提到，书面的测验，口头测验，开放式的问题，活动报告，课堂观察，课后访谈，课内外的作业，还包括成长记录，包括网上交流等等，都可以作为我们评价的方式。除了我们常见的书面测验，这个大家都比较熟悉，除了这个之外，持续的，比较动态的非正常的课堂教学，是我们的主阵地，那么它也应该成为我们评价的主阵地。老师的及时的口头表扬，评价，还有现场作业的展示，对学生回答的反馈，对学生成果欣赏的解读，学生在集体面前的一些展示报告等，这些都应该是我们比较多样的评价方式之一。除此之外，还可以引入一些指导性的评价方式，比如说有些地区就在尝试口试的评价方式，我们可以通过口试来给学生提供展示个人才能的机会，包括他的思维过程，他对问题的一些思考，分析，解答，甚至包括一些真实的操作，通过这样一个过程，不仅考查了学生对知识技能的掌握情况，还可以使我们老师比较全面的了解学生的解决问题的方法，他们动手操作的能力，表述与交流的能力，以及他们的个性和创作性。
（三）中考的变化及趋势
1．注重考察主流知识和通性通法
学生掌握的最重要的，最基本的东西，或者说我们标准中，占主导地位的东西，我希望我们的老师研究这个问题。比如运算能力，运算能力体现在哪些地方，要
清楚运算的对象，要清楚运算的背景，为什么这么算，为什么要加，为什么要减，为什么要乘，为什么要除，运算的法则，运算有哪些用处。再比如说运算的对象，学生进入初中，学习的第一个重要的东西，是负数，出现了负号，则学生常常在运算的过程中，出现一些问题或错误，怎么对待这件事情？负号的出现，把我们带入到一个新的阶段，过去在小学阶段学习数学符号，一个符号就是一种含义，符号给我们带来的重大的变化，就是这负号反映两个数学中实质性的内容，一个是它能表述数的性质符号，第二个它是一个运算符号，所以有理数的四和混合运算，一个重要的基点，就是对符号的理解认识和掌握。这些现在已经成为考试的重点，通性通法的东西反映的是数学的基本思想，我们要避免那些偏题，怪题，过分追求技巧地难题。
2．注重考察数学阅读能力
有一个统计如今的中考，字符的数量，增加了 80% 到一倍，其原因是什么？就是我们希望培养学生的能力，是发现和提出问题，分析和解决问题的能力，学生进入社会以后，没有人会把解决问题的已知条件，和要解决的问题本身一字不多，一字不少地表现出来，因而这就是需要锻炼学生的地方，需要学生从这些纷繁复杂的信息当中，提取有用的信息，培养自己的这种能力。
3．关注数学在实际中的应用
综合与应用能力的考查，它不仅仅是对一个个知识点的考查，而是希望学生能综合地利用学过知识解决问题，还包括用数学来解决其他学科和现实生活中的问题。
4．出现了探究性的问题
找规律的问题，已经成为中考考查中，一个稳定的出题点。希望我们的老师，要研究中考的变化，比如说，阅读能力，传统的所谓题型的训练，对于阅读能力的提升，带来巨大的挑战，所以怎样提升学生的阅读能力，建议老师思考。中考的变化趋势，是一个很重要的课题。
PISSA 跟中考有些比较相似的地方，是针对大约 15 岁左右的学生进行的一个纸笔测验的一个评价方式，有一些题目，我觉得能给我们一些启发。
例：某一个国家 1980 年的国防预防是 3000 万美元，预算总额为 5 亿美元，第二年的国防预算是 3500 万美元，预算总额为 6.05 亿美元，并且知道这一年财政年度的通货膨胀率为 10% 。有这样两个问题，第一个是如果你被邀请为一个和平协会做报告，你将怎样解释国防预算下降了，第二个问题是，如果你被邀请为一个军事学会做报告，你将怎样解释国防预算增加了。大家可以从这个题目当中可以看到，这个题目把对数学素养的考查，致身到一个比较广阔的背景当中去，他跟学生的个人生活经验，像这个就是可能跟学生未来的职业，还有社会生活是紧密相连的，强调学生在不同的背景下，能够参与的一些数学活动，能够用数学，做数学的一些能力，还包括交流与合作，鉴赏数学等，非常广泛，非常综合。这道题目其实就是让学生从不同的立场出发，去解释数据，在这样一个过程
当中，理解统计其实是一门技术，所以我认为像这样的能够比较综合考查出学生对数学真正理解的题目，可以让学生都去学习，多去做。
提供这样的一些参考案例，是希望老师开拓一下视野，特别也希望中考的命题者，能够打开思路。数学一个很重要的目标，是培养学生的数学素养，培养解决实际问题的能力，这多种的考查方式，可能会和我们传统的纸笔测试中的一些证明题，计算题有差别，希望老师能关注到这样的一些变化。，比如说这样几个挑战性的问题，综合与实践，能不能考，学生的学习能力能不能考，比如刚才这一道统计题，就是考学生的生活经验，考他们对于日常生活中间的某些东西的理解，什么叫物价指数增长 10% ，若说不清这件事情，就没有办法在一个和平协会中做这个报告。所以这些，是我们在日常教学中应该关注的一些问题，将来的中考也会和整个教育发展的方向同步进行，希望我们的老师能给予关注