第四章 交流电机绕组的基本理论...........................................................................................169
4.1 交流绕组的基本要求..................................................................................................169
4.2 三相单层绕组..............................................................................................................171
4.3 三相双层绕组..............................................................................................................173
4.4 在正弦分布磁场下的绕组电动势..............................................................................175
4.5 在非正弦分布磁场下电动势中高次谐波及其削弱方法........................................179
4.5.1 感应电动势中的高次谐波...............................................................................179
4.5.2 削弱谐波电动势的方法...................................................................................180
4.6 单相绕组的磁动势......................................................................................................181
4.6.1 p =1、q =1短距绕组磁动势.............................................................................182
4.6.2 p =1分布短距绕组的磁动势............................................................................183
4.6.3 一般情况下的相绕组磁动势...........................................................................184
4.7 三相绕组的基波合成磁动势......................................................................................185
4.8 圆形和椭圆形旋转磁动势..........................................................................................191
4.9 谐波磁动势..................................................................................................................192
4.10 交流电机的主磁通、漏磁通....................................................................................193 习 题...............................................................................................................................194
第四章 交流电机绕组的基本理论
交流电机主要分为同步电机和异步电机两类。这两类电机虽然在励磁方式和运行特性上有很大差别，但它们的定子绕组的结构型式是相同的，定子绕组的感应电动势、磁动势的性质、分析方法也相同。本章统一起来进行研究。
4.1 交流绕组的基本要求
交流绕组的基本要求是：
(1) 绕组产生的电动势(磁动势) 接近正弦波。
(2) 三相绕组的基波电动势(磁动势) 必须对称。
(3) 在导体数一定时能获得较大的基波电动势(磁动势) 。
下面以交流绕组的电动势为例进行说明。
图4.1表示一台交流电机定子槽内导体沿圆周分布情况，定子槽数Z=36，磁极个数2p =4，已励磁的磁极由原动机拖动以转速了n 1逆时针旋转。这就是一台同步发电机。试分析为了满足上述三项基本要求，应遵守哪些设计原则?
1. 正弦分布的磁场在导体中感应正弦波电动势
以图4.1中N 1的中心线为轴线，在N 1磁极下的气隙中磁感应强度分布曲线b (θ) 如图
4.2所示。只要合理设计磁极形状，就可以使得气隙中磁感应强度b (θ) 呈正弦分布，即b (θ) =B m cos θ， 旋转磁极在定子导体(例如13、14、15、16号导体) 中的感应电动势为
e c =b (θ) lv =B m lv cos θ
(4.1)
式中，l 为导体有效长度，v 为磁极产生的磁场切割导体的线速度。
图4.1槽内导体沿定子圆周的分布情况 图4.2正弦分布的主极磁场
设t =0时，某根导体对准磁极轴线，即θ=0、当转子磁极转速为n 1时，磁极切割导体的角速度为ω=2πp n 1, θ=ωt 式(4.1)变为 60
e c =B m lv cos(ωt ) (4.2)
式中，B m 、l 、v 均为常数。
式(4.2)表明，只要在设计电机时保证励磁磁动势在气隙中产生的磁场在空间按正弦规律分布，则它在交流绕组中感应的电动势就随时间按正弦规律变化。
2. 用槽电动势星形图分相以保证三相感应电动势对称
当正弦分布的磁场以转速n 1旋转时，在定子圆周上每槽导体中感应的电动势都是正弦波，幅值相等，但在时间上相位不同。为了用电动势相量来表示它们之间的相位差，引入如下参数。
槽距角α——相邻两槽之间的机械角度。对于图4.1所示电机，有
360o 360o ==10o α=36Z
槽距电角α1——相邻两槽间相距的电角度。在一对磁极范围内，电气角度等于360°；对于p 对磁极，电角度等于p ×360°，则
360o α1=p ×=p α (4.3) 36
对于图4.1所示电机，α1=2×10=20。
因此，各槽导体感应电动势大小相等，在时间相位上彼此相差20°电角度。槽1导体电动势相量用相量1表示，槽2导体电动势相量2比相量1滞后20°电角度。同理，相量3比相量2滞后20°电角度，依次类推，可以给出36个槽导体的电动势相量，组成一个星形，称为槽电动势星形图，如图4.3所示。
利用槽电动势星形图分相可以保证三相绕组电动势的对称性。最简单的办法就是将 图4.3星形图圆周分为三等分，每等分120°
(称为120°相带) ，将每个相带内的所有导体电动势相量正向串联起来，得到相电动势，显然三相绕组的相电动势是对称的。
o o
图4.3 槽电动势星形图(120°相带) 图4.4 槽电动势星形图(60°相带)
3. 采用60°相带可获得较大的基波电势
采用120°相带，虽然能保证三相绕组对称，但在一个相带内的所有相量(例如A 相带中的1、2、3、4、5、6、19、20、21、22、23、24) 分布较分散，其相量和较小，即合成的感应电动势较小。一般不采用120°相带，而采用图4.4所示的60°相带。60°相带这样来
分相：将槽电动势星形分为6等分，每等分60°，故称为60°相带。A 、B 、C 三个相带中心线依次相距120°，X 相带中心线与A 相带中心线相距180°。同样，Y 相带中心线与B 相带中心线相距180°，Z 相带中心线与C 相带中心线相距180°。在A 相带中将导体电动势相量1、2、3、19、20、21依次正向串联；在X 相带中将导体电动势相量10、11、12、28、29、30也依次正向串联，然后再将A 相带与X 相带的电动势反向串联得到A 相电动势
&(E &) 。显然&。同理，将B 、Y 相带(C、Z 相带) 反向串联得到B(C)相电动势相量E 相量E B C A
&, E &, E &是对称的，且每相的导体相量分布较为集中，可得到较大的感应电动势。 E A B C
4.2 三相单层绕组
单层绕组每槽只嵌放一个线圈边，因此线圈数等于槽数的1。在槽电动势星形图A 相2
带和X 相带导体感应电动势的反向串联可以通过构造线圈来实现，例如导体1、10构成一
&, E &的反向串联。为了描述线圈引入两个重要参数： 个线圈就实现了电动势E 110
极距(τ) ——一个极在电机定子圆周上所跨的距离，一般以槽数计。
τ=Z (4.4) 2p
节距(y 1) ——个线圈的两边在定子圆周上所跨的距离，一般以槽数计。
当y 1=τ时，称为整距；y 1τ称为长距。
一般的单层绕组都是整距绕组。
例4.1 已知一交流电机定子槽数Z=36，极数2p =4，并联支路数a =1，试绘制三相单层绕组展开图。
解 (1)绘制槽电动势星形图(见图4.4) 。 (2)分相、构成线圈。首先引入一个术语：
每极每相槽数(q ) ——整个电机定子中每相在每个极下所占有的槽数，亦称为极相组
q =
式中，m 为相数。 Z (4.5) 2pm
36360o 360o =3，α1=p ×=×2=20o 对于本例，q =Z 362×2×3每个极相组占q α1=60电角度，故称为60°相带。
按照图4.4槽电动势星形图分相，共分为 A 、B 、C 、X 、Y 、Z 六个相带。将A 相带o
&与E &的反向串联，中导体1与X 相带中的导体10构成一个线圈就实现了E 同理将(2，11) 、110
(3，12) 分别构成线圈，将这3个线圈串联得到A 相带第1个极相组。用同样的办法可以构
造出第2个极相组的3个线圈(19，28) 、(20，29) 、(21，
30)
。将2个极相组串联起来构成A 相绕组，如图4.5(a)所示。
图4.5单层绕组的相绕组展开图
(a)单层叠绕组 (b)单层同心式
将图4.5(b)的单层绕组(同心式) 与图4.5(a)(等元件绕组) 相比，感应电动势的导体数相等，导体分布规律相同，且相绕组电动势相量相等，仅仅是端部连接不同(适用于不同的工艺要求) 。
(3)确定并联支路数。一相绕组可能有多条支路，这些支路能够并联的条件是每条支路电动势相量必须相等，否则会产生环流。根据槽电动势星形图(见图4.4) 和单层绕组展开图(见图4.5) ，A 相第1、2两个极相组电动势相量相等。这两个极相组可以作为两条支路并联(a =2)，当然也可以串联成为一条支路(a =1)，如图4.5所示。一般而言，对于单层绕组，每相最大并联支路数等于极对数，即
a max ＝p (4.6)
(4)画出三相绕组展开图。若选定并联支路数a =1，则根据槽电动势星形图(图4.4) ，A 、
B 、C 三相绕组联接顺序如下：
A —(1，10) —(2，11) —(3，12) —(19，28) —(20，29) —(21，30) —X
B —(7，16) —(8，17) —(9，18) —(25，34) —(26，35) —(27，36) —Y
C —(13，22) —(14，23) —(15，24) —(31，4) —(32，5) —(33，6) —Z
图4.6是与图4.5(a)相对应的单层三相绕组展开图。由图4.6可以看出，将A 相绕组整体右移240°电角度即12个槽，就得到C 相绕组。单层绕组一般用于10k W 以下的小型交流电机。
图4.6三相单层等元件绕组展开图Z=36，2p =4，a =1
4.3 三相双层绕组
双层绕组的线圈数等于槽数。每个槽有上下两层，线圈的一个边放在一个槽的上层，另外一个边则放在相隔y 1槽的下层。双层绕组有叠绕和波绕两种，这里只讨论叠绕。下面举例说明三相双层叠绕组的构成方法。
例4.2 已知Z=36，2p =4，并联支路数a =2，试绘制三相双层叠绕绕组展开图。
解 (1)选择线圈节距。
为了改善电动势、磁动势波形，一般采用矩距线圈。对于本例
τ=Z 36=槽＝9槽 2p 2×20
选择y 1=7槽，这意味着当一个线圈的一个边位于第一槽上层时，它的另一个边就在第8槽的下层。
(2)绘制槽电动势星形图。
槽电动势星形图仍然如图4.4所示。在双层绕组中，上层线圈边的电动势星形图与下层边的电动势星形图是相似的，其差别在于下层边的电动势相量相对于其对应的上层边的电动势相量位移了y 1α1电角度。将各线圈上层边的电动势相量减去其对应的下层边的电动势相量就构成了所有线圈的电动势星形图。在该电动势星形图中，相邻两线圈的电动势相量的相角差仍然是α1。假定所有线圈以上层边来编号，并与槽号一致，则槽电动势星形图与线圈电动势星形图一致，所不同的是单位相量所代表的电动势的值变了，但对于画展开图无影响。
(3)分相。
根据图4.4，按60°相带分相，有
q =Z 36==3 3×2p 3×2×2
各个相带所分配的线圈号列于表4.1。
表4.1各相带线圈分配表 1，2，，5，，8，，11，，14，，17，18
19，20，，23，，26，，29，，32，，35，
36表4.1表示，A 相在S 1极下有q (q =3)个线圈，串联成一个极相组，在N 1、S 2、N 2极下都各有q 个线圈(即一个极相组) 。B 相(C相) 在S 1、N 1、S 2、N 2极下也各有q 个线圈。
(4)确定并联支路。
几条支路并联的条件是各条支路电动势相量相等。利用槽电动势星形图(图4.4) 可得到不同a 值下线圈的联接表(表4.2) 。本例选定a =2。
显然对于本例，最大并联支路数为4。一般而言，对于双层绕组，每相绕组最大并联支路数a max =2p 。
(5)绘制绕组展开图。
表4.2线圈联接表(a =1，2，4)
图4.7三相双层叠绕组展开图(A相) Z=36，2p =4，a =2
根据表4.2中a =2的联接情况，可以画出A 相绕组展开图(图4.7) 。将A 相绕组依次右移120°、240°电角度(即6、12槽) ，可得到B 、C 相绕组。10k W 以上的交流电机一般都采用双层绕组。
4.4 在正弦分布磁场下的绕组电动势
本节只讨论励磁磁动势在气隙中形成正弦波磁场的情况，关于非正弦波磁场在下一节研究。
1. 导体电动势
如图4.1所示，当p 对极的正弦分布磁场以n 1切割导体时，在导体中感应电动势为正弦波，其有效值由式(4.2)得到，为
E c 1=1
2B m 1lv (4.7) 式中，B m1为正弦波磁感应强度幅值(Wb/m) 。
v =2p τn 1 (4.8) 60
式中，τ为以长度计的极距(m)，n 1为转子转速(r/min)。
当转子只有一对磁极，它旋转一周时，任一导体中的正弦波感应电动势正好交变一次；当转子有p 对磁极，它旋转一周时，任一导体中感应电动势就交变p 次。若转子以n 1速度旋转，则导体中感应电动势每秒钟就交变pn 1次，即导体中磁感应电动势的频率f 为 60
pn 1 (4.9) 60f =
对于正弦波磁感应强度，其每极磁通(即感应强度每半个周波之面积)
Φ1=2B m 1τl π
πΦ1 (4.10) 2τl 于是有 B m 1=
将式(4.8)、式(4.9)、式(4.10)代入式(4.7)得导体感应电动势之有效值
E c 1=πf Φ1=2. 22f Φ1 (4.11) 2
由此可见，导体中感应电动势的有效值与每极磁通量和频率的乘积成正比。当磁通Φ1单位取Wb 、频率f 取Hz 时，电动势E c1单位为V 。
2. 匝电动势、短距系数
用端接线将导体c 1，c 2联接成一个线匝(即匝数为1的线圈) ，如图4.8(a)所示，其节距
&, E &，且E &相量滞后于E &相量为y 1槽。在线匝中，导体c 1，c 2感应电动势分别为E c 1c 2c 2c 1
y 1
α1(或y 1π) 电角度，如图4.8(b)所示。 τ
图4.9线圈组电动势相量 图4.8匝电动势计算
线匝中电动势为
&=E &−E &=E &−E &e E t 1c 1c 2c 1c 1−j πy 1τ
E t 1=2E c 1sin(
当y 1=τ，即线匝为整距时 y 1π) (4.12) τ2
E t 1=2E c 1 (4.13)
用式(4.12)除以式(4.13)，可得到线圈的短距系数为
k y 1=E t 1(节距为y 1的线匝电动势） 2E c 1(对应的整距线匝电动势）
k y 1=sin(y 1π (4.14) τ2
由式(4.14)可知，短距系数k y 1≤1。
对于同一个电机的线匝，若采用长距y 1=τ+Δ，则短距系数为k y 1；若采用短距
" ' " y " =τ−Δ，则短距系数为k y 1。由式(4.14)可知，k y 1=k y 1，即两者产生的感应电动势相' '
等，而长距线匝端部接线较长，用铜量多，故一般不采用。
当一个线圈有N c 匝时，该线圈的基波电动势为
E y 1=N c E t 1=N c k y 1f Φ1=4. 44N c k y 1f Φ1 (4.15)
3. 线圈组电动势、分布系数
由4.2节、4.3节可知，每个线圈组(亦称为极相组) 都是由q 个线圈串联而成的，故线圈
依次相差槽距电角度α1，组的电动势等于q 个线圈电动势的相量和。每个线圈电动势为E y1，
则图4.9中q 个线圈电动势之相量和为
&=E &[1+e −j α1+e −j α2+⋅⋅⋅+e −j (q −1) α1] E q 1y 1
线圈组电动势之模为
sin(
E q 1=E y 1
式中 q α1q α) sin(1) =qE =qE k (4.16) y 1y 1q 111q sin() sin() 22
sin(q α1) E q （1q 个分布线圈的电动势相量和） (4.17) ＝k q 1=（对应的qE y q 个集中线圈电动势的代数和）1q sin(1) 2
称为绕组的分布系数。对于集中绕组(q =1)，k q 1=1;对于分布绕组，k q 1总是小于1。
将式(4.15)代入式(4.16)得线圈组电动势之有效值为
E q 1=2πqN c k y 1k q 1f Φ1=4. 44qN c k N 1f Φ1 (4.18)
式中，qN c 为q 个线圈的总匝数。
k N 1=k y 1k q 1 (4.19)
称为绕组系数，它表示在采用短距线圈和分布绕组时，基波电动势应打的折扣。
4. 相电动势
在图4.10中，电机每相绕组有a 条并联支路，每条支路有c 个极相组串联而成。由于每个极相组的感应电动势相量相等，故相电动势的有效值为
E φ1=cE q 1=2πcqN c k N 1f Φ1
令N = cqN c ，代表一相绕组中一条支路串联的匝数，称为相绕组的串联匝数。于是相电动势表示为
E φ1=fNk N 1f Φ1=4. 44fNk N 1f Φ1 (4.20)
N 亦可用下式计算，即
N =整个电机绕组总匝数 (4.21) 3a
对于双层绕组，整个电机绕组总匝数=ZN c ；对于单层绕组，整个电机绕组总匝数=1Z N c 。式(4.20)与变压器绕组电动势计算公式相似，只不过以有效匝数Nk N 1代替了变压2
&滞后于主磁通Φ&90°电角度，在交流电机器公式中的N 。在变压器电动势相量图中， E 1m
&滞后于气隙中的基波磁通Φ&90°电角度。这是因为两者都服从电磁感应定律中，E φ11
(e =−N d Φ&与Φ
&的相位关系表示在图4.11
中。 ) 的缘故。E φ11d t
&与Φ&的相位关系 图4.10 三相绕组接线图 图4.11 E φ11
例4.3 有一台汽轮发电机，定子槽数Z=36，极数2p =2，采用双层叠绕绕组，节距y 1=14，每个线圈匝数N c =1，并联支路数a =1，频率为50Hz 。每极磁通量Φ1=2. 63Wb 。试求：
(1) 导体电势E c1;(2) 匝电势E t1；(3) 线圈电势E y1；(4) 线圈组电势E q 1；(5) 相电势E φ1。
解 (1) 由式(4.11)可得导体电势
E c 1=2. 22f Φ1=2. 22×50×2. 63V ≈292V
(2)极距
τ=Z 36==18槽 2p 2×1
由式(4.14)可得短距系数
k y 1＝sin(
由式(4.15)可得匝电势 y 1π14) =sin(×90o ) =0. 94 τ218
E t 1=4. 44k y 1f Φ1=4. 44×0. 94×50×2. 63V =548. 8V
(3)由式(4.15)可得线圈电势
E y 1=4. 44N c k y 1f Φ1=4. 44×1×0. 94×50×2. 63V =548. 8V
(4)每极每相槽数和槽距电角为
q =Z 36==6 2pm 2×1×3
p ×360o 1×360o α1===10o Z 36
由式(4.17)可得分布系数
q α16×10o sin() sin() ==0. 956 k q 1=o α110q sin() 6sin() 22
于是由式(4.19)可得绕组系数为
k N 1=k y 1k q 1=0. 94×0. 956=0. 899
由式(4.18)可得线圈组电动势
E q 1=4. 44qN c k N 1f Φ1=4. 44×6×1×0. 899×50×2. 63V ≈3149V
(5)每相串联匝数N =2pqN c 2=×1×6×1=12匝 a 1
由式(4.20)可得相电势
E φ1=4. 44fNk N 1f Φ1＝4. 44×12×0. 899×50×2. 63V =6300V
4.5 在非正弦分布磁场下电动势中高次谐波及其削弱方法
在实际电机中，由于磁极的励磁磁动势在气隙中产生的磁场并非是正弦波，因此在定子 绕组内感应的电动势也并非正弦波，除了基波外还存在一系列谐波。
4.5.1 感应电动势中的高次谐波
在同步电机气隙中磁极磁场沿电枢表面的分布一般呈平顶波形，如图4.12所示。利用傅里叶级数可将其分解为基波和一系列谐波。根据磁场波形的对称性，谐波次数ν=1，3，5，7，… 如图4.12所示，ν次谐波极对数p v =
vp ，其极距τv =τ。 v
图4.12 主极磁密的空间分布波
由于谐波磁场也因转子旋转而形成旋转磁场，其转速等于转子转速，即n v =n 1，故谐
电机学 第四章 交流电机绕组的基本理论 180
波磁场在定子绕组中感应的高次谐波电动势频率仿式(4.9)得到
f v =p v n v pn =v 1=vf 1 (4.22) 6060
式中，f 1=pn 1表示基波电动势频率。 60
仿照式(4.20)，可得到谐波相电动势有效值为
e φv =4. 44Nk N v f v Φv (4.23)
式中，Φv 为第ν次谐波每极磁通量，k N v 为第ν次谐波绕组系数。
k N v =k y v k q v (4.24)
对于第ν次谐波，槽距电角为v α1，则第ν次谐波的短距系数
k y v =sin(vy 1π τ2
第ν次谐波的分布系数 k q v q α1v =q sin(1) 2sin(
高次谐波电动势的存在，使发电机的电动势波形变坏，而且发电机本身的杂散损耗增大，温升增高，串入电网的谐波电流还会干扰通信讯，因此要尽可能地削弱谐波电动势，以使发 电机发出的电动势接近正弦波。
4.5.2 削弱谐波电动势的方法
1. 使气隙中磁场分布尽可能接近正弦波
对于凸极同步电机，把气隙设计得不均匀，使磁极中心处气隙最小，而磁极边缘处气隙最大，以改善磁场分布情况，如图4.2所示。对于隐极同步电机，可以通过改善励磁线圈分布范围来实现。
2. 采用对称的三相绕组
三相绕组可联接成星形或三角形。三相3次谐波电动势之间在相位上彼此相差3×120°
&=E &−E &，即=360°，即它们同相位、同大小。若三相绕组接成星形，则线电动势E AB A B
线电动势中3次谐波被抵消。若三相绕组接成三角形，则三相绕组中3次谐波电动势同相位、
&=E &=E &=E &；在闭合的三角形回路中产生环流I &，相当于短路，仅同大小，即E A3B3c3φ33
在各相绕组中产生短路压降
&=E &=E &=I &Z E A3B3c333
在线电动势中仍然没有3次谐波，但回路中的3次谐波会引起附加损耗，故发电机多采用星形接法。
电机学 第四章 交流电机绕组的基本理论 181
3. 采用短距绕组
适当地选择线圈的节距，可以使某一次谐波的短距系数为零或很小，以达到消除或削弱该次谐波的目的。若要消除第ν次谐波电动势，即要使k y v =sin(vy 1π) =0，则只要选取 τ2
1y 1=(1−) τ (4.25) v
就行了。式(4.25)表明，为了消除第ν次谐波，只要选用比整距短(τ) 的短距线圈即可。例1
v
如，要消除5次谐波，采用y 1=(1−) τ=1
54，可使k y 5=0。图4.13表明5次谐波在线5
圈的两个导体中的感应电动势是互相抵消的。由于三相绕组采用星形或三角形联接，线电压中已经消除了3次谐波，因此通常选y 1=5
τ以同时削弱5、7次谐波电动势。 6
图4.13采用短距消除5次谐波电动势
4. 采用分布绕组
当每极每相槽数q 越大时，谐波电动势的分布系数的总趋势变小，从而抑制谐波电动势的效果越好。但当q 太大时，电机成本增高，且q ＞6时，高次谐波分布系数下降已不太显著，因此一般交流电机选择2≤q ≤6。例如q =3时，k q 1=0. 960， k q 5=0. 217，k q 7=0. 177。可见采用分布绕组时，基波分布系数略小于1，而5、7次谐波分布系数就小很多，因此可以改善电动势波形。
4.6 单相绕组的磁动势
前几节研究了交流绕组的电动势，从本节开始研究交流绕组的磁动势。为了简化分析，假定：
(1)槽内导体集中于槽中心处。
(2)线圈中电流为正弦波。
(3)铁心不饱和，即磁动势全部降在气隙上。
4.6.1 p =1、q =1短距绕组磁动势
对于正规60°相带双层绕组，当p =1、q =1，整个电机只有6个线圈，其槽电动势星形图如图4.14所示，
短距线圈节距为y
1
，槽距电角度为α1。由图中可知，A 相只有2个线圈，即A 相带一个线圈(上层边为A ，下层边为A ′) ，X 相带一个线圈(上层边为X ，下层边为X ′) 。该相导体电流分布如图4.15(a)所示。这是一种很简单的情况，掌握了这种情况的磁动势分析，就可以进一步分析p 、
q 为任意值时相绕组的磁动势。现在作图4.15(a)的磁动势波形图。
图4.14 p =1，q =1槽电动势星形图 图4.15单相绕组磁动势
(a)p =1，q =1短距绕组
(b)p =1，q =1短距绕组磁动势波形
(c)p =1分布短距绕组磁动势波形
(d)p =分布短距绕组合成磁动势波形
在图4.15(a)中选取A 、A ′的中心线为磁动势f c 的轴线，电角度θ的零点为f c 的零点。点1处的磁动势为
f c (1) =H ⋅d l =N c i
式中，N c 为线圈匝数；i 为线圈电流， i =2I c cos ωt 。
同理对于闭合回线2、3可求得点2、3处的磁动势
f c (2) =N c i ; f c (3) =0
照此在θ〔0 ，2π〕范围内作出一系列回线，便可得到A 相绕组磁动势波形如图4.15(b)所示。由图4.15(b)可见，图4.15(a)的绕组电流的磁动势波形是关于点π对称的两个矩形。关于线圈AA ′的轴线是偶函数，只存在奇数次谐波。当电流i 随时间作正弦规律变化时，两矩形高度也随时间按正弦规律变化，变化的速度决定于电流的频率。当i =0时，两矩形波高度为零；当电流达到最大值(i =c ) 时，两矩形波的高度达到各自的最大值；当电流为负，即改变方向时，两矩形波也随之改变符号。这种空间位置固定不动，但波幅的大小和正负随时间变化的磁动势称为脉振磁动势。
为了得到该磁动势波形的基波和谐波，以线圈AA ′的轴线为中心，利用傅里叶级数将该磁动势波形展开为如下级数形式：
4∞N c i f c (θ) =∑[sin(y 1α1) v cos(v θ) ] (4.26) πv =1, 3, 5... v
由图4.8可知y 1α1=y αy πy 1π，故有sin(11=sin(1=k y 1，即它就是基波磁动势τ2τ2
I c ，该绕组的基波磁动势幅值为 的短距系数。当电流i 达到最大时，i =
F c 1=42N c k y 1I c (4.27) π
根据磁动势波形的对称性，f c (θ) 关于θ=π轴线是偶函数，基波磁动势幅值一定在线2
圈AA ′的轴线上，并用相量F c1代表此基波磁动势，如图4.15(b)所示。
4.6.2 p =1分布短距绕组的磁动势
当p =1，每极每相有q 个线圈时，其相绕组磁动势应该是q 个矩形波的叠加。这些矩形波依次位移α1电角度(即槽距电角) ，如图4.15(c)所示。每一个矩形波对应着一个基波，q 个矩形波磁动势的基波叠加起来，就等于该分布线圈组磁动势的基波。设第1个矩形波
−j α' ' A 1A 1' X 1X 1' 基波相量为F c1，则第2个矩形波A 2A 2X 2X 2基波相量为F c 1e 1，…，第q 个
矩形波A q A q X q X q 基波相量为F c 1e ' ' −j (q −1) α1，于是该相绕组磁动势基波相量为
F A 1=F c 1[1+e −j α1+e −j α2+⋅⋅⋅+e −j (q −1) α1]
sin(
F A 1=F c 1q α1=42qN k k I (4.28) c y 1q 1c α1πsin() 2
q α1)
' 为绕组磁动势的分布系数。式中，k q 1=该相绕组基波幅值在相绕组轴线(即A 1A q αsin(12sin(
的中心线) 上。
4.6.3 一般情况下的相绕组磁动势
当p =1时，相绕组磁动势波形如图4.15(d)所示。当p 为任意正整数时，其磁动势波形是图4.15(d)波形的p 次重复。由傅里叶级数理论，其磁动势基波、谐波的大小、相位与p =1时完全相同。其区别仅仅在于：对于p =1的绕组，其基波为1对极；对于p ＞1的绕组，其基波为p 对极。将式(4.28)变形为
F A 1=22(2pqN c I c ) k y 1k q 1 (4.29) πp
式中，2pqN c I c 表示相绕组的总安匝数。
为了利用相绕组有关参数(如图4.10中的相绕组的总串联匝数N 、相电流I) 来描述相绕组磁动势，将相绕组的总安匝数进行如下变换，得
(2pqN c ) I c =(aN ) ⋅
式中，a 为相绕组并联支路数。
于是相绕组磁动势基波幅值为 I =NI (4.30) a
F A 1=20. 9Nk N 1I =Nk N 1I (4.31) p πp
F A1的单位为安匝/极。
虽然相绕组基波磁动势的幅值是由双层绕组推导而来，但只要N 满足式(4.21)，I 是相电流有效值，则上述公式对单层绕组就适用。
考虑到第ν次谐波磁动势极对数p v =vp ，其谐波绕组系数k N v ，则相绕组第ν次谐波幅值为
F A v =2Nk N v I (4.32) πvp
其中 k N v =k y v k q v (4.33)
k y v =sin(vy 1π τ2
k q v q α1v =αv q sin(1) 2sin(
式(4.33)与4.5节中电动势的分布系数、短距系数计算公式(4.24)完全相同，它表明电动势、磁动势具有相似性，时间波与空间波具有统一性。
相绕组磁动势波的傅里叶级数展开式可表示为
22NI f A (t , θ) =πp 1[N v cos(v θ)]cos ωt (4.34) ∑v v =1, 3, 5... ∞
式(4.34)表明：
(1)单相绕组磁动势是脉振磁动势，它既是时间t 的函数又是空间θ角的函数。
(2)单相绕组第ν次谐波磁动势幅值与k N v 成正比，与ν成反比。
(3)基波、谐波的波幅必在相绕组的轴线上。
(4)为了改善磁动势波形，可以采用短距和分布绕组来削弱高次谐波。
4.7 三相绕组的基波合成磁动势
在三相交流电机中，定子绕组是对称设置的，即A 、B 、C 三相绕组的轴线在空间相差120°电角度，因此三相绕组各自产生的基波磁动势在空间互差120°电角度。在对称运行时，三相电流亦是对称的，即幅值相等，在时间上互差120°电角度。取A 相绕组的轴线作为空间电角度θ的坐标原点，并选择A 相电流达到最大值的瞬间作为时间的零点，则三相绕组流过的电流分别为
i A =2I cos ωt
2i B =2I cos(ωt −π) 3
4i C =cos(ωt −π) 3
于是A 、B 、C 各相绕组脉振磁动势基波为
f A 1=F φ1cos θcos ωt
22f B 1=F φ1cos(θ-π) cos(ωt -) (4.35) 33
44f C 1=F φ1cos(θ-π) cos(ωt -) 33
式中，F φ1为每相脉振磁动势基波幅值，按式(4.31)计算。
利用三角函数积化和差将式(4.35)改写为
11F φ1cos(ωt −θ) +F φ1cos(ωt +θ) 22
114f B 1(t , θ) =F φ1cos(ωt −θ) +F φ1cos(ωt +θ-π) (4.36) 223
112f C 1(t , θ) =F φ1cos(ωt −θ) +F φ1cos(ωt +θ-π) 223f A 1(t , θ) =
为了得到三相合成磁动势，将式(4.36)三式相加，由于等式右边后三项正弦波在空间相位上互差120°，三者之和为零。故得三相基波磁动势为
f 1(t , θ) =f A 1+f B 1+f C 1=F 1cos(ωt −θ)
式中，F 1为三相基波合成磁动势的幅值。
F 1=3321. 35) Nk N 1I =F φ1(Nk N 1I (4.37) 2πp p
对于m 相对称绕组，基波磁动势幅值
F 1=(m 2Nk N 1I (4.38) πp
下面分析三相合成磁动势基波的性质。
性质
1三相合成磁动势的基波是一个波幅恒定不变的旋转波。
关于这一点由式(4.37)可清楚看到，也可以通过观察图4.16中的波幅来说明。
图4.16 ωt =0和ωΔt 时三相基波合成磁动势的位置
当ωt =0时，波幅在θ=0处；当ωt =ωΔt 时，波幅在θ=ωΔt 令F 1cos(ωt −θ) =F 1，
处。因为F 1cos(ωΔt −ωΔt ) =F 1，在图4.16中，在ωΔt 时刻的磁动势波如虚线波形所示。显然虚线波超前于实线波ωΔt 电角度，即磁动势波沿θ正方向前进了ωΔt 电角度。在磁动势波前进过程中波幅恒定不变。
性质2当电流变化一个周期的时间用360°表示时，则电流在时间上经过多少角度，旋转磁动势在空间转过同样数值的电角度。
性质3旋转磁动势基波旋转电角速度等于交流电流角频率；旋转磁动势的转速n 1为同步转速。
仍观察波幅那一点，并令G =F 1cos(ωt −θ) ，则旋转磁动势旋转角速度为
∂d θ=−F 1sin(ωt −θ) ω=ω=2πf (4.39) Ω1==−1dt −F 1sin(ωt −θ) θ
n 1=2πf 1Ω160f 1×60=×60= (4.40) 2πp 2πp p
性质4旋转磁动势由超前相电流所在的相绕组轴线转向滞后相电流所在的相绕组轴线。 由于三相对称电流的相序是A —B —C 依次滞后，当ωt =0时，i A =I m 达到最大值，三相合成磁动势的基波f 1=F 1cos(0−θ) 在θ=0即在A 相轴线上达到最大值。当ωt =2π3时，i B =I m 达到最大值，f 1=F 1cos(π−θ) ；在θ=2
32即B 相轴线上达到最大；当3
44ωt =π，旋转磁动势在θ=即C 相轴线上达到最大。以上说明旋转磁动势是沿i A 电33
流所在的绕组轴线到i B (滞后于i A 120°) 所在的绕组轴线，再转向i C (滞后于i B 120°) 所在的绕组的轴线。
性质5如果改变电流的相序，则旋转磁动势改变方向。
由于绕组空间位置不变，但电流相序改变，由性质4，旋转磁动势仍然由i A 所在的绕组轴线A 转向i B 所在的绕组轴线C 再转向i C
所在的绕组轴线B ，即改变了转向，如图4.17所示。实现起来很简单，只要将从电网接到电机绕组的三根电线任意对调两根就可以了。
图4.17改变旋转磁动势方向
由以上5条性质，可得出如下结论：
对称三相绕组中流过对称的三相电流时，在气隙中产生旋转磁动势。
旋转磁动势的求得也可以采用图解法。在图4.18中首先确定绕组AX 、BY 、CZ 的轴线分别为OA 、OB 、OC 。由于A 相绕组的基波磁动势在空间按正弦分布，正弦波的幅值总在OA 轴线上，其幅值的大小、正负决定于A 相电流的大小、正负。B 相、C 相绕组的基波磁动势的轴线位置、幅值大小、正负也与A 相绕组具有相同的规律。
在图4.18(a)中， ωt =0, i A =I m , i B =−11I m , i C =−I m ，故A 相磁动势达到最大。22
电机学 第四章 交流电机绕组的基本理论 188
1F A =F φ，F A 与OA 同方向；F B =F C =−F φ，F B 为OB 轴线的反方向；F C 为OC 轴线2
的反方向。F A 、F B 、F C 三个空间矢量合成得到F ，由图4.18(a)，F =
重合。
图4.18(b)表示ωt =3F φ，F 与OA 轴线2π11, i A =I m , i B =I m , i C =−I m ，合成磁动势F 与OC 反方向重322
合，F =23F φ，此时F 相对于OA 逆时针旋转了π电角度。 324π11, i A =−I m , i B =−I m , i C =I m ， F 与OC 正方向重合，322图4.18(e)表示ωt =
F =43F φ，F 相对于OA 轴线逆时针旋转了电角度。 32当ωt =2π时，F 将相对OA 旋转2π电角度， F 与OA 轴线重合，F =
上述步骤表示旋转磁动势是一个幅值恒定不变的旋转波。 3F φ。 2
电机学
第四章 交流电机绕组的基本理论 189
图4.18不同瞬时三相的基波合成磁动势
(a)ωt =0 (b)ωt =π/3 (c)ωt =2π/3
(d)ωt =π (e)ωt = 4π/3
式(4.36)是根据三角函数积化和差而进行的变换，实际上它有明显的物理意义。一个单相脉振磁动势可以分解成为大小相等、方向相反、转速相等的两个旋转磁动势。正转、反转的旋转磁动势与三相合成磁动势具有相同的性质，但反转的旋转磁动势的转向相反。
例4.4 一台三相交流异步电动机，定子采用双层短距叠绕绕组，Y 联接，定子槽数Z=48，极数2p =4，线圈匝数N c =22，节距y 1=10，每相并联支路数a =4，定子绕组相电流I=37A，f =50Hz，试求：
(1)一个线圈所产生的磁动势的基波幅值；
(2)一个极相组所产生的磁动势的基波幅值； (3)一相绕组所产生的磁动势波；
(4)三相绕组所产生的合成磁动势波。
Z 48Z 482×360o =槽＝12槽；q ===4; α1==15o 解 τ=2p 2×26p 6×248
线圈中电流 I c =I 37=A =9. 25A a 4y 1π10π×=sin(×) =0. 966 τ2122k y 1=sin(
sin(q α11) sin(×4×15o ) ==0. 958 k q 1=α11o q sin() 4×sin(×15) 22
(1)根据式(4.29)、(4.31)，一个线圈中电流为I c ，它所产生的磁动势为
F A 1=0. 90. 90. 9Nk y 1I =N c k y 1I c =×22×0. 966×9. 25A =88.5A p p 2
(2)一个线圈组有q 个线圈，所流过电流为I c ，它所产生的磁动势为
F A 1=0. 90. 9(qN c ) k N 1I c =×(4×22) ×0. 966×0. 958×9. 25A =339A p 2
(3)一相绕组总串联匝数为
N =ZN c 48×22==88 3a 3×4
F A 1=0. 90. 9Nk N 1I =×88×0. 966×0. 958×37A =1356A p 2
A 相绕组磁动势波为脉振波，其表达式为
f A 1=F A 1cos ωt cos θ=1356cos ωt cos θ
(4)三相绕组合成磁动势幅值为
F 1=3F A 1=2034A 2
合成磁动势波为旋转波，即
f 1(t , θ) =2034cos(ωt −θ)
4.8 圆形和椭圆形旋转磁动势
在对称的三相绕组中流过对称的三相电流时，气隙中的合成磁动势是一个幅值恒定、转速恒定的旋转磁动势，其波幅的轨迹是一个圆，故这种磁动势称为圆形旋转磁动势，相应的
&, I &, I &不对称时，可以利用对称分量法，将它们分磁场称为圆形旋转磁场。当三相电流I A B C
&, I &, I &和负序分量I &, I &, I &以及零序分量I &, I &, I &。由于三相绕组在解成为正序分量I A B C A B C A B C +++−−−000
空间彼此相差120°电角度，故三相零序电流各自产生的三个脉振磁动势在时间上同相位、在空间上互差120°电角度，合成磁动势为零。正序电流将产生正向旋转磁动势F +，而负序电流将产生反向旋转的磁动势F -，即在气隙中建立磁动势。
f (t , θ) =F +cos(ωt −θ) +F −cos(ωt +θ)
(4.41)
图4.19不对称电流产生的椭圆形旋转磁动势
在图4.19中，选择F +、F –两矢量重合的方向作为x 轴正方向，并将此时刻记为t =0。当经过时间t 后，正向旋转磁动势F +逆时针转过了电角度θ
顺时针转过了电角度θ−+=ωt ，而反向旋转磁动势F –=ωt ，两者转过的电角度相等。从图中还可以看出，当F +和F –沿相反的方向旋转时，其合成磁动势F 的大小和位置也随之变化。设F 在横轴的分量为x ，纵轴的分量为y ，则
x =F +cos ωt +F −cos ωt =(F ++F −) cos ωt
y =F +s in ωt −F −s in ωt =(F +−F −) sin ωt
由式(4.42)变换得 (4.42)
x 2y 2
+=1 (4.43) (F ++F −) 2(F +−F −) 2
式(4.43)表明，合成磁动势矢量F 旋转一周时，矢量端点的轨迹是一个椭圆，故将这种磁动势称为椭圆形旋转磁动势。式(4.41)是交流绕组磁动势的通用表达式，当F +=0或F –=0时，就得到圆形旋转磁动势；当F += F –时，便得到脉振磁动势；当F + F –都存在且F +≠ F –时，便是椭圆形旋转磁动势。
电机学 第四章 交流电机绕组的基本理论
192
例4.5 试分析如图4.20所示三相绕组所产生的磁动势的性质、转向。
图4.20例4.5附图
解 首先写出三相绕组磁动势
f A 1=F φ1cos θcos ωt
22f B 1=F φ1cos(θ-) cos(ωt -) 33
44f C 1=F φ1cos(θ-) cos(ωt -) 33
将上述三个式子运用积化和差进行变换，得
11F φ1cos(ωt −θ) +F φ1cos(ωt +θ) 22
411f B 1(t , θ) =F φ1cos(ωt −θ) +F φ1cos(ωt +θ-π) 322
112f C 1(t , θ) =−F φ1cos(ωt −θ) −F φ1cos(ωt +θ-) 223f A 1(t , θ) =
将三个相绕组磁动势合成得
f 1=12F φ1cos(ωt −θ) −F φ1cos(ωt +θ-) 23
由于负序旋转磁动势幅值F –＞F +，故气隙磁动势是椭圆形旋转磁动势，且沿负序磁动势转向旋转，由i A 所在的绕组轴线A 转向i C 所在的绕组轴线C ，再转向轴线B ，即顺时针方向旋转。
4.9 谐波磁动势
根据相绕组磁动势波的傅里叶级数展开式(4.34)，相绕组磁动势中除了基波外，还含有3，5，7，…奇次谐波，下面分析这些谐波三相合成的结果。
1. 3次谐波
对于3次谐波，ν=3，仿照式(4.35)，可得
电机学 第四章 交流电机绕组的基本理论 193
f A 3=F φ3cos 3θcos ωt
22f B 3=F φ3cos 3(θ-π) cos(ωt -π) 33
44f C 3=F φ3cos 3(θ-π) cos(ωt -π) 33
故得3次谐波合成磁动势为
f 3(t , α) =f A 3+f B 3+f C 3
24=F φ3[cosωt +cos(ωt −) +cos(ωt −π)] 33
=0
一般地说，在三相对称绕组中，不存在3次及3的倍数次谐波，即不存在3，9，15，…次谐波。
2. 5次谐波 对于5次谐波，仿照式(4.35)到式(4.37)的推导过程可得
f 5(t , α) =f A 5+f B 5+f C 5
22=F φ5cos 5θcos ωt +F φ5cos 5(θ−π) cos(ωt −π) 33
(4.44) 44+F φ5cos 5(θ−π) cos(ωt −π) 33
3=F φ5cos(ωt +5θ) 2
式(4.44)表明，三相5次谐波的合成磁动势也是一个幅值恒定的旋转波。其转速为1n 1，5
转向与基波磁动势转向相反。当ν=6k –1(k =1，2，…) 时，三相合成磁动势与基波转向相反。
3. 7次谐波
按照同样的方法，将三相脉振磁动势的7次谐波相加得到合成磁动势为
f 7(t , α) =3F φ7cos(ωt −7θ) (4.45) 2
1n 1，转向与基波相同。当ν=6k +1(k =1，7式(4.45)表明，合成磁动势的7次谐波转速为
2，…) 时，f v 与f 1转向相同。
谐波磁动势的存在，在交流电机中引起附加损耗、振动、噪声，对异步电动机还产生附加力矩，使电动机起动性能变坏。因此设计电机时应尽量削弱磁动势中的高次谐波，采用短距和分布绕组就是达到这个目的的重要方法。
4.10 交流电机的主磁通、漏磁通
当交流电机定子绕组接至三相电源时，便有对称三相电流在绕组中流过，在气隙中建立
电机学 第四章 交流电机绕组的基本理论
194
旋转磁动势、产生相应的旋转磁场。与旋转磁场相对应便有主磁通，除了主磁通之外还存在漏磁通。
图4.21 4极异步电机的主磁通分布情况
1. 主磁通
由基波旋转磁动势所产生的穿过气隙与定子绕组、转子绕组同时相交链的基波磁通称为主磁通。简单地说，主磁通是气隙中与以同步转速旋转的磁场对应的磁通。图4.21表示一台4极交流电机中主磁通分布情况。主磁通经过的路径为：气隙(2个) 、定子齿(2个) 、定子轭(1个) 、转子齿(2个) 、转子轭(1个) ，与直流电机相类似。
2. 漏磁通
定子三相电流除了产生主磁通外，还产生与定子绕组相交链而不与转子绕组相交链的磁通，称为定子漏磁通，用Φ1δ表示。定子漏磁通按路径可分为三部分。
(1)槽漏磁通。穿过定子槽的漏磁通，如图4.22(a)所示。
(2)端部漏磁通。交链定子绕组端部的漏磁通，如图4.22(b)所示。
(3)谐波漏磁通。气隙中由谐波磁动势产生的磁场称为谐波漏磁场，它对应的磁通称为谐波漏磁通。
图4.22定子漏磁通
(a)槽漏磁通(b)端部漏磁通
习 题
4.1 交流绕组与直流绕组的根本区别是什么?
4.2 何谓相带? 在三相电机中为什么常用60°相带绕组而不用120°相带绕组?
4.3 双层绕组和单层绕组的最大并联支路数与极对数有什么关系?
4.4 试比较单层绕组和双层绕组的优缺点及它们的应用范围?
4.5 为什么采用短距和分布绕组能削弱谐波电动势? 为了消除5次或7次谐波电动势，节距应选择多大? 若要同时削弱5次和7次谐波电动势，节距应选择多大?
4.6 为什么对称三相绕组线电动势中不存在3及3的倍数次谐波? 为什么同步发电机三相绕组多采用Y 型接法而不采用△接法?
4.7 为什么说交流绕组产生的磁动势既是时间的函数，又是空间的函数，试以三相绕组合成磁动势的基波来说明。
4.8 脉振磁动势和旋转磁动势各有哪些基本特性? 产生脉振磁动势、圆形旋转磁动势和椭圆形旋转磁动势的条件有什么不同?
4.9 把一台三相交流电机定子绕组的三个首端和三个末端分别连在一起，再通以交流电流，则合成磁动势基波是多少? 如将三相绕组依次串联起来后通以交流电流，则合成磁动势基波又是多少? 可能存在哪些谐波合成磁动势?
4.10 一台三角形联接的定子绕组，当绕组内有一相断线时，产生的磁动势是什么磁动势?
4.11 把三相感应电动机接到电源的三个接线头对调两根后，电动机的转向是否会改变? 为什么?
4.12 试述三相绕组产生的高次谐波磁动势的极对数、转向、转速和幅值。它们所建立的磁场在定子绕组内的感应电动势的频率是多少?
4.13 短距系数和分布系数的物理意义是什么? 试说明绕组系数在电动势和磁动势方面的统一性。
4.14 定子绕组磁场的转速与电流频率和极对数有什么关系? 一台50Hz 的三相电机，通入60Hz 的三相对称电流，如电流的有效值不变，相序不变，试问三相合成磁动势基波的幅值、转速和转向是否会改变?
4.15 有一双层三相绕组，Z=24，2p =4，a =2，试绘出：
(1) 槽电动势星形图；
(2) 叠绕组展开图。
4.16 已知Z=24，2p =4，a =1，试绘制三相单层同心式绕组展开图。
4.17 一台三相同步发电机，f =50Hz，n N =1500r/min，定子采用双层短距分布绕组，q =3， y 18=，每相串联匝数N =108，Y 联接，每极磁通量Φ1=1. 015×10−2Wb ， τ9
Φ3=0. 66×10−2Wb ，Φ5=0. 24×10−2Wb ，Φ7=0. 09×10−2Wb ，试求：
(1) 电机的极数；
(2) 定子槽数；
(3) 绕组系数k N 1、k N 3、k N 5、k N 7；
(4) 相电动势E 1、E 3、E 5、E 7及合成相电动势E φ和线电动势E l 。
4.18 一台汽轮发电机，2极，50Hz ，定子54槽，每槽内两根导体，a =1，y 1=22槽，Y 联接。已知空载线电压U 0=6300V，求每极基波磁通量Φ1。
4.19 三相双层短距绕组，f =50Hz2p =10，Z=180，y 1=15，N c =3，a =1，每极基波磁通Φ1=0. 113Wb ，磁通密度B =(sinθ+0. 3sin 3θ+0. 2sin 5θ) T ，试求：
(1) 导体电动势瞬时值表达式；
(2) 线圈电动势瞬时值表达式；
(3) 绕组的相电动势和线电动势的有效值。
4.20 一台三相同步发电机，定子为三相双层叠绕组，Y 联接，2p =4，Z=36槽，y 1=7τ，每槽导体数为6，a =1，基波磁通量Φ1=0. 75Wb ，基波电动势频率f 1=50Hz，9
试求：
(1) 绕组的基波相电动势；
(2) 若气隙中还存在三次谐波磁通，Φ3=0. 1Wb ，求合成相电动势和线电动势。
4.21 三相感应电动机，P N =40k W ，U N =380V，I N =75A，定子绕组采用三角形联接，双层叠绕组，4极，48槽，y 1=10槽，每槽导体数为22，a =2，试求：
(1) 计算脉振磁动势基波和3、5、7等次谐波的振幅，并写出各相基波脉振磁动势的表达式；
(2) 当B 相电流为最大值时，写出各相基波磁动势的表达式；
(3) 计算三相合成磁动势基波及5、7、11次谐波的幅值，并说明各次谐波的转向、极对数和转速；
(4) 写出三相合成磁动势的基波及5、7、11次谐波的表达式；
(5) 分析基波和5、7、11次谐波的绕组系数值，说明采用短距和分布绕组对磁动势波形有什么影响。
4.22 一台50000k W 的2极汽轮发电机，50Hz ，三相，U N =10.5k V 星形联接， cos ϕN =0. 85，定子为双层叠绕组，Z=72槽，每个线圈一匝，y 1=7，a =2，试求当9
定子电流为额定值时，三相合成磁动势的基波，3、
5、7次谐波的幅值和转速，并说明转向。
4.23 试分析下列情况下是否会产生旋转磁动势，转向是顺时针还是逆时针方向：
图4.23习题4.23附图
(1) 三相绕组内通以正序(A—B —C) 电流或负序(C—B —A) 电流(见图4.23) ；
&=100∠0o A ，(2) 星形联接的对称三相绕组内，通以不对称电流：I A
&=90∠−250o A ； &=80∠−110o A ， I I C B
(3) 星形联接一相断线。
4.24 在对称的两相绕组(空间差90°电角度) 内通以对称的两相电流(时间上差90°) ，试分析所产生的合成磁动势基波，并由此论证“一旋转磁动势可以用两个脉振磁动势来代表”。
4.25 一对称三相绕组，在A 、B 相绕组内通入电流i =I m sin ωt ，如图4.24所示，求：
图4.24习题4.25附图
(1) 分别写出各相的基波磁动势表达式；
(2) 写出合成基波磁动势表达式，并说明其性质；
(3) 用磁动势矢量表示出基波合成磁动势幅值的空间位置。
4.26 一台三相四极交流电机，定子三相对称绕组A 、B 、C 分别通以三相对称电流 i A =10sin ωt A 、i B =10sin(ωt −120o )A 、i C =10sin(ωt −240o )A ，求：
(1) 当i A =10A时，写出各相基波磁动势的表达式以及三相合成磁动势基波的表达式，用磁动势矢量表示出基波合成磁动势的空间位置；
(2) 当i A 由10A 降至5A 时，基波合成磁动势矢量在空间上转过了多少个圆周?
第四章 交流电机绕组的基本理论...........................................................................................169
4.1 交流绕组的基本要求..................................................................................................169
4.2 三相单层绕组..............................................................................................................171
4.3 三相双层绕组..............................................................................................................173
4.4 在正弦分布磁场下的绕组电动势..............................................................................175
4.5 在非正弦分布磁场下电动势中高次谐波及其削弱方法........................................179
4.5.1 感应电动势中的高次谐波...............................................................................179
4.5.2 削弱谐波电动势的方法...................................................................................180
4.6 单相绕组的磁动势......................................................................................................181
4.6.1 p =1、q =1短距绕组磁动势.............................................................................182
4.6.2 p =1分布短距绕组的磁动势............................................................................183
4.6.3 一般情况下的相绕组磁动势...........................................................................184
4.7 三相绕组的基波合成磁动势......................................................................................185
4.8 圆形和椭圆形旋转磁动势..........................................................................................191
4.9 谐波磁动势..................................................................................................................192
4.10 交流电机的主磁通、漏磁通....................................................................................193 习 题...............................................................................................................................194
第四章 交流电机绕组的基本理论
交流电机主要分为同步电机和异步电机两类。这两类电机虽然在励磁方式和运行特性上有很大差别，但它们的定子绕组的结构型式是相同的，定子绕组的感应电动势、磁动势的性质、分析方法也相同。本章统一起来进行研究。
4.1 交流绕组的基本要求
交流绕组的基本要求是：
(1) 绕组产生的电动势(磁动势) 接近正弦波。
(2) 三相绕组的基波电动势(磁动势) 必须对称。
(3) 在导体数一定时能获得较大的基波电动势(磁动势) 。
下面以交流绕组的电动势为例进行说明。
图4.1表示一台交流电机定子槽内导体沿圆周分布情况，定子槽数Z=36，磁极个数2p =4，已励磁的磁极由原动机拖动以转速了n 1逆时针旋转。这就是一台同步发电机。试分析为了满足上述三项基本要求，应遵守哪些设计原则?
1. 正弦分布的磁场在导体中感应正弦波电动势
以图4.1中N 1的中心线为轴线，在N 1磁极下的气隙中磁感应强度分布曲线b (θ) 如图
4.2所示。只要合理设计磁极形状，就可以使得气隙中磁感应强度b (θ) 呈正弦分布，即b (θ) =B m cos θ， 旋转磁极在定子导体(例如13、14、15、16号导体) 中的感应电动势为
e c =b (θ) lv =B m lv cos θ
(4.1)
式中，l 为导体有效长度，v 为磁极产生的磁场切割导体的线速度。
图4.1槽内导体沿定子圆周的分布情况 图4.2正弦分布的主极磁场
设t =0时，某根导体对准磁极轴线，即θ=0、当转子磁极转速为n 1时，磁极切割导体的角速度为ω=2πp n 1, θ=ωt 式(4.1)变为 60
e c =B m lv cos(ωt ) (4.2)
式中，B m 、l 、v 均为常数。
式(4.2)表明，只要在设计电机时保证励磁磁动势在气隙中产生的磁场在空间按正弦规律分布，则它在交流绕组中感应的电动势就随时间按正弦规律变化。
2. 用槽电动势星形图分相以保证三相感应电动势对称
当正弦分布的磁场以转速n 1旋转时，在定子圆周上每槽导体中感应的电动势都是正弦波，幅值相等，但在时间上相位不同。为了用电动势相量来表示它们之间的相位差，引入如下参数。
槽距角α——相邻两槽之间的机械角度。对于图4.1所示电机，有
360o 360o ==10o α=36Z
槽距电角α1——相邻两槽间相距的电角度。在一对磁极范围内，电气角度等于360°；对于p 对磁极，电角度等于p ×360°，则
360o α1=p ×=p α (4.3) 36
对于图4.1所示电机，α1=2×10=20。
因此，各槽导体感应电动势大小相等，在时间相位上彼此相差20°电角度。槽1导体电动势相量用相量1表示，槽2导体电动势相量2比相量1滞后20°电角度。同理，相量3比相量2滞后20°电角度，依次类推，可以给出36个槽导体的电动势相量，组成一个星形，称为槽电动势星形图，如图4.3所示。
利用槽电动势星形图分相可以保证三相绕组电动势的对称性。最简单的办法就是将 图4.3星形图圆周分为三等分，每等分120°
(称为120°相带) ，将每个相带内的所有导体电动势相量正向串联起来，得到相电动势，显然三相绕组的相电动势是对称的。
o o
图4.3 槽电动势星形图(120°相带) 图4.4 槽电动势星形图(60°相带)
3. 采用60°相带可获得较大的基波电势
采用120°相带，虽然能保证三相绕组对称，但在一个相带内的所有相量(例如A 相带中的1、2、3、4、5、6、19、20、21、22、23、24) 分布较分散，其相量和较小，即合成的感应电动势较小。一般不采用120°相带，而采用图4.4所示的60°相带。60°相带这样来
分相：将槽电动势星形分为6等分，每等分60°，故称为60°相带。A 、B 、C 三个相带中心线依次相距120°，X 相带中心线与A 相带中心线相距180°。同样，Y 相带中心线与B 相带中心线相距180°，Z 相带中心线与C 相带中心线相距180°。在A 相带中将导体电动势相量1、2、3、19、20、21依次正向串联；在X 相带中将导体电动势相量10、11、12、28、29、30也依次正向串联，然后再将A 相带与X 相带的电动势反向串联得到A 相电动势
&(E &) 。显然&。同理，将B 、Y 相带(C、Z 相带) 反向串联得到B(C)相电动势相量E 相量E B C A
&, E &, E &是对称的，且每相的导体相量分布较为集中，可得到较大的感应电动势。 E A B C
4.2 三相单层绕组
单层绕组每槽只嵌放一个线圈边，因此线圈数等于槽数的1。在槽电动势星形图A 相2
带和X 相带导体感应电动势的反向串联可以通过构造线圈来实现，例如导体1、10构成一
&, E &的反向串联。为了描述线圈引入两个重要参数： 个线圈就实现了电动势E 110
极距(τ) ——一个极在电机定子圆周上所跨的距离，一般以槽数计。
τ=Z (4.4) 2p
节距(y 1) ——个线圈的两边在定子圆周上所跨的距离，一般以槽数计。
当y 1=τ时，称为整距；y 1τ称为长距。
一般的单层绕组都是整距绕组。
例4.1 已知一交流电机定子槽数Z=36，极数2p =4，并联支路数a =1，试绘制三相单层绕组展开图。
解 (1)绘制槽电动势星形图(见图4.4) 。 (2)分相、构成线圈。首先引入一个术语：
每极每相槽数(q ) ——整个电机定子中每相在每个极下所占有的槽数，亦称为极相组
q =
式中，m 为相数。 Z (4.5) 2pm
36360o 360o =3，α1=p ×=×2=20o 对于本例，q =Z 362×2×3每个极相组占q α1=60电角度，故称为60°相带。
按照图4.4槽电动势星形图分相，共分为 A 、B 、C 、X 、Y 、Z 六个相带。将A 相带o
&与E &的反向串联，中导体1与X 相带中的导体10构成一个线圈就实现了E 同理将(2，11) 、110
(3，12) 分别构成线圈，将这3个线圈串联得到A 相带第1个极相组。用同样的办法可以构
造出第2个极相组的3个线圈(19，28) 、(20，29) 、(21，
30)
。将2个极相组串联起来构成A 相绕组，如图4.5(a)所示。
图4.5单层绕组的相绕组展开图
(a)单层叠绕组 (b)单层同心式
将图4.5(b)的单层绕组(同心式) 与图4.5(a)(等元件绕组) 相比，感应电动势的导体数相等，导体分布规律相同，且相绕组电动势相量相等，仅仅是端部连接不同(适用于不同的工艺要求) 。
(3)确定并联支路数。一相绕组可能有多条支路，这些支路能够并联的条件是每条支路电动势相量必须相等，否则会产生环流。根据槽电动势星形图(见图4.4) 和单层绕组展开图(见图4.5) ，A 相第1、2两个极相组电动势相量相等。这两个极相组可以作为两条支路并联(a =2)，当然也可以串联成为一条支路(a =1)，如图4.5所示。一般而言，对于单层绕组，每相最大并联支路数等于极对数，即
a max ＝p (4.6)
(4)画出三相绕组展开图。若选定并联支路数a =1，则根据槽电动势星形图(图4.4) ，A 、
B 、C 三相绕组联接顺序如下：
A —(1，10) —(2，11) —(3，12) —(19，28) —(20，29) —(21，30) —X
B —(7，16) —(8，17) —(9，18) —(25，34) —(26，35) —(27，36) —Y
C —(13，22) —(14，23) —(15，24) —(31，4) —(32，5) —(33，6) —Z
图4.6是与图4.5(a)相对应的单层三相绕组展开图。由图4.6可以看出，将A 相绕组整体右移240°电角度即12个槽，就得到C 相绕组。单层绕组一般用于10k W 以下的小型交流电机。
图4.6三相单层等元件绕组展开图Z=36，2p =4，a =1
4.3 三相双层绕组
双层绕组的线圈数等于槽数。每个槽有上下两层，线圈的一个边放在一个槽的上层，另外一个边则放在相隔y 1槽的下层。双层绕组有叠绕和波绕两种，这里只讨论叠绕。下面举例说明三相双层叠绕组的构成方法。
例4.2 已知Z=36，2p =4，并联支路数a =2，试绘制三相双层叠绕绕组展开图。
解 (1)选择线圈节距。
为了改善电动势、磁动势波形，一般采用矩距线圈。对于本例
τ=Z 36=槽＝9槽 2p 2×20
选择y 1=7槽，这意味着当一个线圈的一个边位于第一槽上层时，它的另一个边就在第8槽的下层。
(2)绘制槽电动势星形图。
槽电动势星形图仍然如图4.4所示。在双层绕组中，上层线圈边的电动势星形图与下层边的电动势星形图是相似的，其差别在于下层边的电动势相量相对于其对应的上层边的电动势相量位移了y 1α1电角度。将各线圈上层边的电动势相量减去其对应的下层边的电动势相量就构成了所有线圈的电动势星形图。在该电动势星形图中，相邻两线圈的电动势相量的相角差仍然是α1。假定所有线圈以上层边来编号，并与槽号一致，则槽电动势星形图与线圈电动势星形图一致，所不同的是单位相量所代表的电动势的值变了，但对于画展开图无影响。
(3)分相。
根据图4.4，按60°相带分相，有
q =Z 36==3 3×2p 3×2×2
各个相带所分配的线圈号列于表4.1。
表4.1各相带线圈分配表 1，2，，5，，8，，11，，14，，17，18
19，20，，23，，26，，29，，32，，35，
36表4.1表示，A 相在S 1极下有q (q =3)个线圈，串联成一个极相组，在N 1、S 2、N 2极下都各有q 个线圈(即一个极相组) 。B 相(C相) 在S 1、N 1、S 2、N 2极下也各有q 个线圈。
(4)确定并联支路。
几条支路并联的条件是各条支路电动势相量相等。利用槽电动势星形图(图4.4) 可得到不同a 值下线圈的联接表(表4.2) 。本例选定a =2。
显然对于本例，最大并联支路数为4。一般而言，对于双层绕组，每相绕组最大并联支路数a max =2p 。
(5)绘制绕组展开图。
表4.2线圈联接表(a =1，2，4)
图4.7三相双层叠绕组展开图(A相) Z=36，2p =4，a =2
根据表4.2中a =2的联接情况，可以画出A 相绕组展开图(图4.7) 。将A 相绕组依次右移120°、240°电角度(即6、12槽) ，可得到B 、C 相绕组。10k W 以上的交流电机一般都采用双层绕组。
4.4 在正弦分布磁场下的绕组电动势
本节只讨论励磁磁动势在气隙中形成正弦波磁场的情况，关于非正弦波磁场在下一节研究。
1. 导体电动势
如图4.1所示，当p 对极的正弦分布磁场以n 1切割导体时，在导体中感应电动势为正弦波，其有效值由式(4.2)得到，为
E c 1=1
2B m 1lv (4.7) 式中，B m1为正弦波磁感应强度幅值(Wb/m) 。
v =2p τn 1 (4.8) 60
式中，τ为以长度计的极距(m)，n 1为转子转速(r/min)。
当转子只有一对磁极，它旋转一周时，任一导体中的正弦波感应电动势正好交变一次；当转子有p 对磁极，它旋转一周时，任一导体中感应电动势就交变p 次。若转子以n 1速度旋转，则导体中感应电动势每秒钟就交变pn 1次，即导体中磁感应电动势的频率f 为 60
pn 1 (4.9) 60f =
对于正弦波磁感应强度，其每极磁通(即感应强度每半个周波之面积)
Φ1=2B m 1τl π
πΦ1 (4.10) 2τl 于是有 B m 1=
将式(4.8)、式(4.9)、式(4.10)代入式(4.7)得导体感应电动势之有效值
E c 1=πf Φ1=2. 22f Φ1 (4.11) 2
由此可见，导体中感应电动势的有效值与每极磁通量和频率的乘积成正比。当磁通Φ1单位取Wb 、频率f 取Hz 时，电动势E c1单位为V 。
2. 匝电动势、短距系数
用端接线将导体c 1，c 2联接成一个线匝(即匝数为1的线圈) ，如图4.8(a)所示，其节距
&, E &，且E &相量滞后于E &相量为y 1槽。在线匝中，导体c 1，c 2感应电动势分别为E c 1c 2c 2c 1
y 1
α1(或y 1π) 电角度，如图4.8(b)所示。 τ
图4.9线圈组电动势相量 图4.8匝电动势计算
线匝中电动势为
&=E &−E &=E &−E &e E t 1c 1c 2c 1c 1−j πy 1τ
E t 1=2E c 1sin(
当y 1=τ，即线匝为整距时 y 1π) (4.12) τ2
E t 1=2E c 1 (4.13)
用式(4.12)除以式(4.13)，可得到线圈的短距系数为
k y 1=E t 1(节距为y 1的线匝电动势） 2E c 1(对应的整距线匝电动势）
k y 1=sin(y 1π (4.14) τ2
由式(4.14)可知，短距系数k y 1≤1。
对于同一个电机的线匝，若采用长距y 1=τ+Δ，则短距系数为k y 1；若采用短距
" ' " y " =τ−Δ，则短距系数为k y 1。由式(4.14)可知，k y 1=k y 1，即两者产生的感应电动势相' '
等，而长距线匝端部接线较长，用铜量多，故一般不采用。
当一个线圈有N c 匝时，该线圈的基波电动势为
E y 1=N c E t 1=N c k y 1f Φ1=4. 44N c k y 1f Φ1 (4.15)
3. 线圈组电动势、分布系数
由4.2节、4.3节可知，每个线圈组(亦称为极相组) 都是由q 个线圈串联而成的，故线圈
依次相差槽距电角度α1，组的电动势等于q 个线圈电动势的相量和。每个线圈电动势为E y1，
则图4.9中q 个线圈电动势之相量和为
&=E &[1+e −j α1+e −j α2+⋅⋅⋅+e −j (q −1) α1] E q 1y 1
线圈组电动势之模为
sin(
E q 1=E y 1
式中 q α1q α) sin(1) =qE =qE k (4.16) y 1y 1q 111q sin() sin() 22
sin(q α1) E q （1q 个分布线圈的电动势相量和） (4.17) ＝k q 1=（对应的qE y q 个集中线圈电动势的代数和）1q sin(1) 2
称为绕组的分布系数。对于集中绕组(q =1)，k q 1=1;对于分布绕组，k q 1总是小于1。
将式(4.15)代入式(4.16)得线圈组电动势之有效值为
E q 1=2πqN c k y 1k q 1f Φ1=4. 44qN c k N 1f Φ1 (4.18)
式中，qN c 为q 个线圈的总匝数。
k N 1=k y 1k q 1 (4.19)
称为绕组系数，它表示在采用短距线圈和分布绕组时，基波电动势应打的折扣。
4. 相电动势
在图4.10中，电机每相绕组有a 条并联支路，每条支路有c 个极相组串联而成。由于每个极相组的感应电动势相量相等，故相电动势的有效值为
E φ1=cE q 1=2πcqN c k N 1f Φ1
令N = cqN c ，代表一相绕组中一条支路串联的匝数，称为相绕组的串联匝数。于是相电动势表示为
E φ1=fNk N 1f Φ1=4. 44fNk N 1f Φ1 (4.20)
N 亦可用下式计算，即
N =整个电机绕组总匝数 (4.21) 3a
对于双层绕组，整个电机绕组总匝数=ZN c ；对于单层绕组，整个电机绕组总匝数=1Z N c 。式(4.20)与变压器绕组电动势计算公式相似，只不过以有效匝数Nk N 1代替了变压2
&滞后于主磁通Φ&90°电角度，在交流电机器公式中的N 。在变压器电动势相量图中， E 1m
&滞后于气隙中的基波磁通Φ&90°电角度。这是因为两者都服从电磁感应定律中，E φ11
(e =−N d Φ&与Φ
&的相位关系表示在图4.11
中。 ) 的缘故。E φ11d t
&与Φ&的相位关系 图4.10 三相绕组接线图 图4.11 E φ11
例4.3 有一台汽轮发电机，定子槽数Z=36，极数2p =2，采用双层叠绕绕组，节距y 1=14，每个线圈匝数N c =1，并联支路数a =1，频率为50Hz 。每极磁通量Φ1=2. 63Wb 。试求：
(1) 导体电势E c1;(2) 匝电势E t1；(3) 线圈电势E y1；(4) 线圈组电势E q 1；(5) 相电势E φ1。
解 (1) 由式(4.11)可得导体电势
E c 1=2. 22f Φ1=2. 22×50×2. 63V ≈292V
(2)极距
τ=Z 36==18槽 2p 2×1
由式(4.14)可得短距系数
k y 1＝sin(
由式(4.15)可得匝电势 y 1π14) =sin(×90o ) =0. 94 τ218
E t 1=4. 44k y 1f Φ1=4. 44×0. 94×50×2. 63V =548. 8V
(3)由式(4.15)可得线圈电势
E y 1=4. 44N c k y 1f Φ1=4. 44×1×0. 94×50×2. 63V =548. 8V
(4)每极每相槽数和槽距电角为
q =Z 36==6 2pm 2×1×3
p ×360o 1×360o α1===10o Z 36
由式(4.17)可得分布系数
q α16×10o sin() sin() ==0. 956 k q 1=o α110q sin() 6sin() 22
于是由式(4.19)可得绕组系数为
k N 1=k y 1k q 1=0. 94×0. 956=0. 899
由式(4.18)可得线圈组电动势
E q 1=4. 44qN c k N 1f Φ1=4. 44×6×1×0. 899×50×2. 63V ≈3149V
(5)每相串联匝数N =2pqN c 2=×1×6×1=12匝 a 1
由式(4.20)可得相电势
E φ1=4. 44fNk N 1f Φ1＝4. 44×12×0. 899×50×2. 63V =6300V
4.5 在非正弦分布磁场下电动势中高次谐波及其削弱方法
在实际电机中，由于磁极的励磁磁动势在气隙中产生的磁场并非是正弦波，因此在定子 绕组内感应的电动势也并非正弦波，除了基波外还存在一系列谐波。
4.5.1 感应电动势中的高次谐波
在同步电机气隙中磁极磁场沿电枢表面的分布一般呈平顶波形，如图4.12所示。利用傅里叶级数可将其分解为基波和一系列谐波。根据磁场波形的对称性，谐波次数ν=1，3，5，7，… 如图4.12所示，ν次谐波极对数p v =
vp ，其极距τv =τ。 v
图4.12 主极磁密的空间分布波
由于谐波磁场也因转子旋转而形成旋转磁场，其转速等于转子转速，即n v =n 1，故谐
电机学 第四章 交流电机绕组的基本理论 180
波磁场在定子绕组中感应的高次谐波电动势频率仿式(4.9)得到
f v =p v n v pn =v 1=vf 1 (4.22) 6060
式中，f 1=pn 1表示基波电动势频率。 60
仿照式(4.20)，可得到谐波相电动势有效值为
e φv =4. 44Nk N v f v Φv (4.23)
式中，Φv 为第ν次谐波每极磁通量，k N v 为第ν次谐波绕组系数。
k N v =k y v k q v (4.24)
对于第ν次谐波，槽距电角为v α1，则第ν次谐波的短距系数
k y v =sin(vy 1π τ2
第ν次谐波的分布系数 k q v q α1v =q sin(1) 2sin(
高次谐波电动势的存在，使发电机的电动势波形变坏，而且发电机本身的杂散损耗增大，温升增高，串入电网的谐波电流还会干扰通信讯，因此要尽可能地削弱谐波电动势，以使发 电机发出的电动势接近正弦波。
4.5.2 削弱谐波电动势的方法
1. 使气隙中磁场分布尽可能接近正弦波
对于凸极同步电机，把气隙设计得不均匀，使磁极中心处气隙最小，而磁极边缘处气隙最大，以改善磁场分布情况，如图4.2所示。对于隐极同步电机，可以通过改善励磁线圈分布范围来实现。
2. 采用对称的三相绕组
三相绕组可联接成星形或三角形。三相3次谐波电动势之间在相位上彼此相差3×120°
&=E &−E &，即=360°，即它们同相位、同大小。若三相绕组接成星形，则线电动势E AB A B
线电动势中3次谐波被抵消。若三相绕组接成三角形，则三相绕组中3次谐波电动势同相位、
&=E &=E &=E &；在闭合的三角形回路中产生环流I &，相当于短路，仅同大小，即E A3B3c3φ33
在各相绕组中产生短路压降
&=E &=E &=I &Z E A3B3c333
在线电动势中仍然没有3次谐波，但回路中的3次谐波会引起附加损耗，故发电机多采用星形接法。
电机学 第四章 交流电机绕组的基本理论 181
3. 采用短距绕组
适当地选择线圈的节距，可以使某一次谐波的短距系数为零或很小，以达到消除或削弱该次谐波的目的。若要消除第ν次谐波电动势，即要使k y v =sin(vy 1π) =0，则只要选取 τ2
1y 1=(1−) τ (4.25) v
就行了。式(4.25)表明，为了消除第ν次谐波，只要选用比整距短(τ) 的短距线圈即可。例1
v
如，要消除5次谐波，采用y 1=(1−) τ=1
54，可使k y 5=0。图4.13表明5次谐波在线5
圈的两个导体中的感应电动势是互相抵消的。由于三相绕组采用星形或三角形联接，线电压中已经消除了3次谐波，因此通常选y 1=5
τ以同时削弱5、7次谐波电动势。 6
图4.13采用短距消除5次谐波电动势
4. 采用分布绕组
当每极每相槽数q 越大时，谐波电动势的分布系数的总趋势变小，从而抑制谐波电动势的效果越好。但当q 太大时，电机成本增高，且q ＞6时，高次谐波分布系数下降已不太显著，因此一般交流电机选择2≤q ≤6。例如q =3时，k q 1=0. 960， k q 5=0. 217，k q 7=0. 177。可见采用分布绕组时，基波分布系数略小于1，而5、7次谐波分布系数就小很多，因此可以改善电动势波形。
4.6 单相绕组的磁动势
前几节研究了交流绕组的电动势，从本节开始研究交流绕组的磁动势。为了简化分析，假定：
(1)槽内导体集中于槽中心处。
(2)线圈中电流为正弦波。
(3)铁心不饱和，即磁动势全部降在气隙上。
4.6.1 p =1、q =1短距绕组磁动势
对于正规60°相带双层绕组，当p =1、q =1，整个电机只有6个线圈，其槽电动势星形图如图4.14所示，
短距线圈节距为y
1
，槽距电角度为α1。由图中可知，A 相只有2个线圈，即A 相带一个线圈(上层边为A ，下层边为A ′) ，X 相带一个线圈(上层边为X ，下层边为X ′) 。该相导体电流分布如图4.15(a)所示。这是一种很简单的情况，掌握了这种情况的磁动势分析，就可以进一步分析p 、
q 为任意值时相绕组的磁动势。现在作图4.15(a)的磁动势波形图。
图4.14 p =1，q =1槽电动势星形图 图4.15单相绕组磁动势
(a)p =1，q =1短距绕组
(b)p =1，q =1短距绕组磁动势波形
(c)p =1分布短距绕组磁动势波形
(d)p =分布短距绕组合成磁动势波形
在图4.15(a)中选取A 、A ′的中心线为磁动势f c 的轴线，电角度θ的零点为f c 的零点。点1处的磁动势为
f c (1) =H ⋅d l =N c i
式中，N c 为线圈匝数；i 为线圈电流， i =2I c cos ωt 。
同理对于闭合回线2、3可求得点2、3处的磁动势
f c (2) =N c i ; f c (3) =0
照此在θ〔0 ，2π〕范围内作出一系列回线，便可得到A 相绕组磁动势波形如图4.15(b)所示。由图4.15(b)可见，图4.15(a)的绕组电流的磁动势波形是关于点π对称的两个矩形。关于线圈AA ′的轴线是偶函数，只存在奇数次谐波。当电流i 随时间作正弦规律变化时，两矩形高度也随时间按正弦规律变化，变化的速度决定于电流的频率。当i =0时，两矩形波高度为零；当电流达到最大值(i =c ) 时，两矩形波的高度达到各自的最大值；当电流为负，即改变方向时，两矩形波也随之改变符号。这种空间位置固定不动，但波幅的大小和正负随时间变化的磁动势称为脉振磁动势。
为了得到该磁动势波形的基波和谐波，以线圈AA ′的轴线为中心，利用傅里叶级数将该磁动势波形展开为如下级数形式：
4∞N c i f c (θ) =∑[sin(y 1α1) v cos(v θ) ] (4.26) πv =1, 3, 5... v
由图4.8可知y 1α1=y αy πy 1π，故有sin(11=sin(1=k y 1，即它就是基波磁动势τ2τ2
I c ，该绕组的基波磁动势幅值为 的短距系数。当电流i 达到最大时，i =
F c 1=42N c k y 1I c (4.27) π
根据磁动势波形的对称性，f c (θ) 关于θ=π轴线是偶函数，基波磁动势幅值一定在线2
圈AA ′的轴线上，并用相量F c1代表此基波磁动势，如图4.15(b)所示。
4.6.2 p =1分布短距绕组的磁动势
当p =1，每极每相有q 个线圈时，其相绕组磁动势应该是q 个矩形波的叠加。这些矩形波依次位移α1电角度(即槽距电角) ，如图4.15(c)所示。每一个矩形波对应着一个基波，q 个矩形波磁动势的基波叠加起来，就等于该分布线圈组磁动势的基波。设第1个矩形波
−j α' ' A 1A 1' X 1X 1' 基波相量为F c1，则第2个矩形波A 2A 2X 2X 2基波相量为F c 1e 1，…，第q 个
矩形波A q A q X q X q 基波相量为F c 1e ' ' −j (q −1) α1，于是该相绕组磁动势基波相量为
F A 1=F c 1[1+e −j α1+e −j α2+⋅⋅⋅+e −j (q −1) α1]
sin(
F A 1=F c 1q α1=42qN k k I (4.28) c y 1q 1c α1πsin() 2
q α1)
' 为绕组磁动势的分布系数。式中，k q 1=该相绕组基波幅值在相绕组轴线(即A 1A q αsin(12sin(
的中心线) 上。
4.6.3 一般情况下的相绕组磁动势
当p =1时，相绕组磁动势波形如图4.15(d)所示。当p 为任意正整数时，其磁动势波形是图4.15(d)波形的p 次重复。由傅里叶级数理论，其磁动势基波、谐波的大小、相位与p =1时完全相同。其区别仅仅在于：对于p =1的绕组，其基波为1对极；对于p ＞1的绕组，其基波为p 对极。将式(4.28)变形为
F A 1=22(2pqN c I c ) k y 1k q 1 (4.29) πp
式中，2pqN c I c 表示相绕组的总安匝数。
为了利用相绕组有关参数(如图4.10中的相绕组的总串联匝数N 、相电流I) 来描述相绕组磁动势，将相绕组的总安匝数进行如下变换，得
(2pqN c ) I c =(aN ) ⋅
式中，a 为相绕组并联支路数。
于是相绕组磁动势基波幅值为 I =NI (4.30) a
F A 1=20. 9Nk N 1I =Nk N 1I (4.31) p πp
F A1的单位为安匝/极。
虽然相绕组基波磁动势的幅值是由双层绕组推导而来，但只要N 满足式(4.21)，I 是相电流有效值，则上述公式对单层绕组就适用。
考虑到第ν次谐波磁动势极对数p v =vp ，其谐波绕组系数k N v ，则相绕组第ν次谐波幅值为
F A v =2Nk N v I (4.32) πvp
其中 k N v =k y v k q v (4.33)
k y v =sin(vy 1π τ2
k q v q α1v =αv q sin(1) 2sin(
式(4.33)与4.5节中电动势的分布系数、短距系数计算公式(4.24)完全相同，它表明电动势、磁动势具有相似性，时间波与空间波具有统一性。
相绕组磁动势波的傅里叶级数展开式可表示为
22NI f A (t , θ) =πp 1[N v cos(v θ)]cos ωt (4.34) ∑v v =1, 3, 5... ∞
式(4.34)表明：
(1)单相绕组磁动势是脉振磁动势，它既是时间t 的函数又是空间θ角的函数。
(2)单相绕组第ν次谐波磁动势幅值与k N v 成正比，与ν成反比。
(3)基波、谐波的波幅必在相绕组的轴线上。
(4)为了改善磁动势波形，可以采用短距和分布绕组来削弱高次谐波。
4.7 三相绕组的基波合成磁动势
在三相交流电机中，定子绕组是对称设置的，即A 、B 、C 三相绕组的轴线在空间相差120°电角度，因此三相绕组各自产生的基波磁动势在空间互差120°电角度。在对称运行时，三相电流亦是对称的，即幅值相等，在时间上互差120°电角度。取A 相绕组的轴线作为空间电角度θ的坐标原点，并选择A 相电流达到最大值的瞬间作为时间的零点，则三相绕组流过的电流分别为
i A =2I cos ωt
2i B =2I cos(ωt −π) 3
4i C =cos(ωt −π) 3
于是A 、B 、C 各相绕组脉振磁动势基波为
f A 1=F φ1cos θcos ωt
22f B 1=F φ1cos(θ-π) cos(ωt -) (4.35) 33
44f C 1=F φ1cos(θ-π) cos(ωt -) 33
式中，F φ1为每相脉振磁动势基波幅值，按式(4.31)计算。
利用三角函数积化和差将式(4.35)改写为
11F φ1cos(ωt −θ) +F φ1cos(ωt +θ) 22
114f B 1(t , θ) =F φ1cos(ωt −θ) +F φ1cos(ωt +θ-π) (4.36) 223
112f C 1(t , θ) =F φ1cos(ωt −θ) +F φ1cos(ωt +θ-π) 223f A 1(t , θ) =
为了得到三相合成磁动势，将式(4.36)三式相加，由于等式右边后三项正弦波在空间相位上互差120°，三者之和为零。故得三相基波磁动势为
f 1(t , θ) =f A 1+f B 1+f C 1=F 1cos(ωt −θ)
式中，F 1为三相基波合成磁动势的幅值。
F 1=3321. 35) Nk N 1I =F φ1(Nk N 1I (4.37) 2πp p
对于m 相对称绕组，基波磁动势幅值
F 1=(m 2Nk N 1I (4.38) πp
下面分析三相合成磁动势基波的性质。
性质
1三相合成磁动势的基波是一个波幅恒定不变的旋转波。
关于这一点由式(4.37)可清楚看到，也可以通过观察图4.16中的波幅来说明。
图4.16 ωt =0和ωΔt 时三相基波合成磁动势的位置
当ωt =0时，波幅在θ=0处；当ωt =ωΔt 时，波幅在θ=ωΔt 令F 1cos(ωt −θ) =F 1，
处。因为F 1cos(ωΔt −ωΔt ) =F 1，在图4.16中，在ωΔt 时刻的磁动势波如虚线波形所示。显然虚线波超前于实线波ωΔt 电角度，即磁动势波沿θ正方向前进了ωΔt 电角度。在磁动势波前进过程中波幅恒定不变。
性质2当电流变化一个周期的时间用360°表示时，则电流在时间上经过多少角度，旋转磁动势在空间转过同样数值的电角度。
性质3旋转磁动势基波旋转电角速度等于交流电流角频率；旋转磁动势的转速n 1为同步转速。
仍观察波幅那一点，并令G =F 1cos(ωt −θ) ，则旋转磁动势旋转角速度为
∂d θ=−F 1sin(ωt −θ) ω=ω=2πf (4.39) Ω1==−1dt −F 1sin(ωt −θ) θ
n 1=2πf 1Ω160f 1×60=×60= (4.40) 2πp 2πp p
性质4旋转磁动势由超前相电流所在的相绕组轴线转向滞后相电流所在的相绕组轴线。 由于三相对称电流的相序是A —B —C 依次滞后，当ωt =0时，i A =I m 达到最大值，三相合成磁动势的基波f 1=F 1cos(0−θ) 在θ=0即在A 相轴线上达到最大值。当ωt =2π3时，i B =I m 达到最大值，f 1=F 1cos(π−θ) ；在θ=2
32即B 相轴线上达到最大；当3
44ωt =π，旋转磁动势在θ=即C 相轴线上达到最大。以上说明旋转磁动势是沿i A 电33
流所在的绕组轴线到i B (滞后于i A 120°) 所在的绕组轴线，再转向i C (滞后于i B 120°) 所在的绕组的轴线。
性质5如果改变电流的相序，则旋转磁动势改变方向。
由于绕组空间位置不变，但电流相序改变，由性质4，旋转磁动势仍然由i A 所在的绕组轴线A 转向i B 所在的绕组轴线C 再转向i C
所在的绕组轴线B ，即改变了转向，如图4.17所示。实现起来很简单，只要将从电网接到电机绕组的三根电线任意对调两根就可以了。
图4.17改变旋转磁动势方向
由以上5条性质，可得出如下结论：
对称三相绕组中流过对称的三相电流时，在气隙中产生旋转磁动势。
旋转磁动势的求得也可以采用图解法。在图4.18中首先确定绕组AX 、BY 、CZ 的轴线分别为OA 、OB 、OC 。由于A 相绕组的基波磁动势在空间按正弦分布，正弦波的幅值总在OA 轴线上，其幅值的大小、正负决定于A 相电流的大小、正负。B 相、C 相绕组的基波磁动势的轴线位置、幅值大小、正负也与A 相绕组具有相同的规律。
在图4.18(a)中， ωt =0, i A =I m , i B =−11I m , i C =−I m ，故A 相磁动势达到最大。22
电机学 第四章 交流电机绕组的基本理论 188
1F A =F φ，F A 与OA 同方向；F B =F C =−F φ，F B 为OB 轴线的反方向；F C 为OC 轴线2
的反方向。F A 、F B 、F C 三个空间矢量合成得到F ，由图4.18(a)，F =
重合。
图4.18(b)表示ωt =3F φ，F 与OA 轴线2π11, i A =I m , i B =I m , i C =−I m ，合成磁动势F 与OC 反方向重322
合，F =23F φ，此时F 相对于OA 逆时针旋转了π电角度。 324π11, i A =−I m , i B =−I m , i C =I m ， F 与OC 正方向重合，322图4.18(e)表示ωt =
F =43F φ，F 相对于OA 轴线逆时针旋转了电角度。 32当ωt =2π时，F 将相对OA 旋转2π电角度， F 与OA 轴线重合，F =
上述步骤表示旋转磁动势是一个幅值恒定不变的旋转波。 3F φ。 2
电机学
第四章 交流电机绕组的基本理论 189
图4.18不同瞬时三相的基波合成磁动势
(a)ωt =0 (b)ωt =π/3 (c)ωt =2π/3
(d)ωt =π (e)ωt = 4π/3
式(4.36)是根据三角函数积化和差而进行的变换，实际上它有明显的物理意义。一个单相脉振磁动势可以分解成为大小相等、方向相反、转速相等的两个旋转磁动势。正转、反转的旋转磁动势与三相合成磁动势具有相同的性质，但反转的旋转磁动势的转向相反。
例4.4 一台三相交流异步电动机，定子采用双层短距叠绕绕组，Y 联接，定子槽数Z=48，极数2p =4，线圈匝数N c =22，节距y 1=10，每相并联支路数a =4，定子绕组相电流I=37A，f =50Hz，试求：
(1)一个线圈所产生的磁动势的基波幅值；
(2)一个极相组所产生的磁动势的基波幅值； (3)一相绕组所产生的磁动势波；
(4)三相绕组所产生的合成磁动势波。
Z 48Z 482×360o =槽＝12槽；q ===4; α1==15o 解 τ=2p 2×26p 6×248
线圈中电流 I c =I 37=A =9. 25A a 4y 1π10π×=sin(×) =0. 966 τ2122k y 1=sin(
sin(q α11) sin(×4×15o ) ==0. 958 k q 1=α11o q sin() 4×sin(×15) 22
(1)根据式(4.29)、(4.31)，一个线圈中电流为I c ，它所产生的磁动势为
F A 1=0. 90. 90. 9Nk y 1I =N c k y 1I c =×22×0. 966×9. 25A =88.5A p p 2
(2)一个线圈组有q 个线圈，所流过电流为I c ，它所产生的磁动势为
F A 1=0. 90. 9(qN c ) k N 1I c =×(4×22) ×0. 966×0. 958×9. 25A =339A p 2
(3)一相绕组总串联匝数为
N =ZN c 48×22==88 3a 3×4
F A 1=0. 90. 9Nk N 1I =×88×0. 966×0. 958×37A =1356A p 2
A 相绕组磁动势波为脉振波，其表达式为
f A 1=F A 1cos ωt cos θ=1356cos ωt cos θ
(4)三相绕组合成磁动势幅值为
F 1=3F A 1=2034A 2
合成磁动势波为旋转波，即
f 1(t , θ) =2034cos(ωt −θ)
4.8 圆形和椭圆形旋转磁动势
在对称的三相绕组中流过对称的三相电流时，气隙中的合成磁动势是一个幅值恒定、转速恒定的旋转磁动势，其波幅的轨迹是一个圆，故这种磁动势称为圆形旋转磁动势，相应的
&, I &, I &不对称时，可以利用对称分量法，将它们分磁场称为圆形旋转磁场。当三相电流I A B C
&, I &, I &和负序分量I &, I &, I &以及零序分量I &, I &, I &。由于三相绕组在解成为正序分量I A B C A B C A B C +++−−−000
空间彼此相差120°电角度，故三相零序电流各自产生的三个脉振磁动势在时间上同相位、在空间上互差120°电角度，合成磁动势为零。正序电流将产生正向旋转磁动势F +，而负序电流将产生反向旋转的磁动势F -，即在气隙中建立磁动势。
f (t , θ) =F +cos(ωt −θ) +F −cos(ωt +θ)
(4.41)
图4.19不对称电流产生的椭圆形旋转磁动势
在图4.19中，选择F +、F –两矢量重合的方向作为x 轴正方向，并将此时刻记为t =0。当经过时间t 后，正向旋转磁动势F +逆时针转过了电角度θ
顺时针转过了电角度θ−+=ωt ，而反向旋转磁动势F –=ωt ，两者转过的电角度相等。从图中还可以看出，当F +和F –沿相反的方向旋转时，其合成磁动势F 的大小和位置也随之变化。设F 在横轴的分量为x ，纵轴的分量为y ，则
x =F +cos ωt +F −cos ωt =(F ++F −) cos ωt
y =F +s in ωt −F −s in ωt =(F +−F −) sin ωt
由式(4.42)变换得 (4.42)
x 2y 2
+=1 (4.43) (F ++F −) 2(F +−F −) 2
式(4.43)表明，合成磁动势矢量F 旋转一周时，矢量端点的轨迹是一个椭圆，故将这种磁动势称为椭圆形旋转磁动势。式(4.41)是交流绕组磁动势的通用表达式，当F +=0或F –=0时，就得到圆形旋转磁动势；当F += F –时，便得到脉振磁动势；当F + F –都存在且F +≠ F –时，便是椭圆形旋转磁动势。
电机学 第四章 交流电机绕组的基本理论
192
例4.5 试分析如图4.20所示三相绕组所产生的磁动势的性质、转向。
图4.20例4.5附图
解 首先写出三相绕组磁动势
f A 1=F φ1cos θcos ωt
22f B 1=F φ1cos(θ-) cos(ωt -) 33
44f C 1=F φ1cos(θ-) cos(ωt -) 33
将上述三个式子运用积化和差进行变换，得
11F φ1cos(ωt −θ) +F φ1cos(ωt +θ) 22
411f B 1(t , θ) =F φ1cos(ωt −θ) +F φ1cos(ωt +θ-π) 322
112f C 1(t , θ) =−F φ1cos(ωt −θ) −F φ1cos(ωt +θ-) 223f A 1(t , θ) =
将三个相绕组磁动势合成得
f 1=12F φ1cos(ωt −θ) −F φ1cos(ωt +θ-) 23
由于负序旋转磁动势幅值F –＞F +，故气隙磁动势是椭圆形旋转磁动势，且沿负序磁动势转向旋转，由i A 所在的绕组轴线A 转向i C 所在的绕组轴线C ，再转向轴线B ，即顺时针方向旋转。
4.9 谐波磁动势
根据相绕组磁动势波的傅里叶级数展开式(4.34)，相绕组磁动势中除了基波外，还含有3，5，7，…奇次谐波，下面分析这些谐波三相合成的结果。
1. 3次谐波
对于3次谐波，ν=3，仿照式(4.35)，可得
电机学 第四章 交流电机绕组的基本理论 193
f A 3=F φ3cos 3θcos ωt
22f B 3=F φ3cos 3(θ-π) cos(ωt -π) 33
44f C 3=F φ3cos 3(θ-π) cos(ωt -π) 33
故得3次谐波合成磁动势为
f 3(t , α) =f A 3+f B 3+f C 3
24=F φ3[cosωt +cos(ωt −) +cos(ωt −π)] 33
=0
一般地说，在三相对称绕组中，不存在3次及3的倍数次谐波，即不存在3，9，15，…次谐波。
2. 5次谐波 对于5次谐波，仿照式(4.35)到式(4.37)的推导过程可得
f 5(t , α) =f A 5+f B 5+f C 5
22=F φ5cos 5θcos ωt +F φ5cos 5(θ−π) cos(ωt −π) 33
(4.44) 44+F φ5cos 5(θ−π) cos(ωt −π) 33
3=F φ5cos(ωt +5θ) 2
式(4.44)表明，三相5次谐波的合成磁动势也是一个幅值恒定的旋转波。其转速为1n 1，5
转向与基波磁动势转向相反。当ν=6k –1(k =1，2，…) 时，三相合成磁动势与基波转向相反。
3. 7次谐波
按照同样的方法，将三相脉振磁动势的7次谐波相加得到合成磁动势为
f 7(t , α) =3F φ7cos(ωt −7θ) (4.45) 2
1n 1，转向与基波相同。当ν=6k +1(k =1，7式(4.45)表明，合成磁动势的7次谐波转速为
2，…) 时，f v 与f 1转向相同。
谐波磁动势的存在，在交流电机中引起附加损耗、振动、噪声，对异步电动机还产生附加力矩，使电动机起动性能变坏。因此设计电机时应尽量削弱磁动势中的高次谐波，采用短距和分布绕组就是达到这个目的的重要方法。
4.10 交流电机的主磁通、漏磁通
当交流电机定子绕组接至三相电源时，便有对称三相电流在绕组中流过，在气隙中建立
电机学 第四章 交流电机绕组的基本理论
194
旋转磁动势、产生相应的旋转磁场。与旋转磁场相对应便有主磁通，除了主磁通之外还存在漏磁通。
图4.21 4极异步电机的主磁通分布情况
1. 主磁通
由基波旋转磁动势所产生的穿过气隙与定子绕组、转子绕组同时相交链的基波磁通称为主磁通。简单地说，主磁通是气隙中与以同步转速旋转的磁场对应的磁通。图4.21表示一台4极交流电机中主磁通分布情况。主磁通经过的路径为：气隙(2个) 、定子齿(2个) 、定子轭(1个) 、转子齿(2个) 、转子轭(1个) ，与直流电机相类似。
2. 漏磁通
定子三相电流除了产生主磁通外，还产生与定子绕组相交链而不与转子绕组相交链的磁通，称为定子漏磁通，用Φ1δ表示。定子漏磁通按路径可分为三部分。
(1)槽漏磁通。穿过定子槽的漏磁通，如图4.22(a)所示。
(2)端部漏磁通。交链定子绕组端部的漏磁通，如图4.22(b)所示。
(3)谐波漏磁通。气隙中由谐波磁动势产生的磁场称为谐波漏磁场，它对应的磁通称为谐波漏磁通。
图4.22定子漏磁通
(a)槽漏磁通(b)端部漏磁通
习 题
4.1 交流绕组与直流绕组的根本区别是什么?
4.2 何谓相带? 在三相电机中为什么常用60°相带绕组而不用120°相带绕组?
4.3 双层绕组和单层绕组的最大并联支路数与极对数有什么关系?
4.4 试比较单层绕组和双层绕组的优缺点及它们的应用范围?
4.5 为什么采用短距和分布绕组能削弱谐波电动势? 为了消除5次或7次谐波电动势，节距应选择多大? 若要同时削弱5次和7次谐波电动势，节距应选择多大?
4.6 为什么对称三相绕组线电动势中不存在3及3的倍数次谐波? 为什么同步发电机三相绕组多采用Y 型接法而不采用△接法?
4.7 为什么说交流绕组产生的磁动势既是时间的函数，又是空间的函数，试以三相绕组合成磁动势的基波来说明。
4.8 脉振磁动势和旋转磁动势各有哪些基本特性? 产生脉振磁动势、圆形旋转磁动势和椭圆形旋转磁动势的条件有什么不同?
4.9 把一台三相交流电机定子绕组的三个首端和三个末端分别连在一起，再通以交流电流，则合成磁动势基波是多少? 如将三相绕组依次串联起来后通以交流电流，则合成磁动势基波又是多少? 可能存在哪些谐波合成磁动势?
4.10 一台三角形联接的定子绕组，当绕组内有一相断线时，产生的磁动势是什么磁动势?
4.11 把三相感应电动机接到电源的三个接线头对调两根后，电动机的转向是否会改变? 为什么?
4.12 试述三相绕组产生的高次谐波磁动势的极对数、转向、转速和幅值。它们所建立的磁场在定子绕组内的感应电动势的频率是多少?
4.13 短距系数和分布系数的物理意义是什么? 试说明绕组系数在电动势和磁动势方面的统一性。
4.14 定子绕组磁场的转速与电流频率和极对数有什么关系? 一台50Hz 的三相电机，通入60Hz 的三相对称电流，如电流的有效值不变，相序不变，试问三相合成磁动势基波的幅值、转速和转向是否会改变?
4.15 有一双层三相绕组，Z=24，2p =4，a =2，试绘出：
(1) 槽电动势星形图；
(2) 叠绕组展开图。
4.16 已知Z=24，2p =4，a =1，试绘制三相单层同心式绕组展开图。
4.17 一台三相同步发电机，f =50Hz，n N =1500r/min，定子采用双层短距分布绕组，q =3， y 18=，每相串联匝数N =108，Y 联接，每极磁通量Φ1=1. 015×10−2Wb ， τ9
Φ3=0. 66×10−2Wb ，Φ5=0. 24×10−2Wb ，Φ7=0. 09×10−2Wb ，试求：
(1) 电机的极数；
(2) 定子槽数；
(3) 绕组系数k N 1、k N 3、k N 5、k N 7；
(4) 相电动势E 1、E 3、E 5、E 7及合成相电动势E φ和线电动势E l 。
4.18 一台汽轮发电机，2极，50Hz ，定子54槽，每槽内两根导体，a =1，y 1=22槽，Y 联接。已知空载线电压U 0=6300V，求每极基波磁通量Φ1。
4.19 三相双层短距绕组，f =50Hz2p =10，Z=180，y 1=15，N c =3，a =1，每极基波磁通Φ1=0. 113Wb ，磁通密度B =(sinθ+0. 3sin 3θ+0. 2sin 5θ) T ，试求：
(1) 导体电动势瞬时值表达式；
(2) 线圈电动势瞬时值表达式；
(3) 绕组的相电动势和线电动势的有效值。
4.20 一台三相同步发电机，定子为三相双层叠绕组，Y 联接，2p =4，Z=36槽，y 1=7τ，每槽导体数为6，a =1，基波磁通量Φ1=0. 75Wb ，基波电动势频率f 1=50Hz，9
试求：
(1) 绕组的基波相电动势；
(2) 若气隙中还存在三次谐波磁通，Φ3=0. 1Wb ，求合成相电动势和线电动势。
4.21 三相感应电动机，P N =40k W ，U N =380V，I N =75A，定子绕组采用三角形联接，双层叠绕组，4极，48槽，y 1=10槽，每槽导体数为22，a =2，试求：
(1) 计算脉振磁动势基波和3、5、7等次谐波的振幅，并写出各相基波脉振磁动势的表达式；
(2) 当B 相电流为最大值时，写出各相基波磁动势的表达式；
(3) 计算三相合成磁动势基波及5、7、11次谐波的幅值，并说明各次谐波的转向、极对数和转速；
(4) 写出三相合成磁动势的基波及5、7、11次谐波的表达式；
(5) 分析基波和5、7、11次谐波的绕组系数值，说明采用短距和分布绕组对磁动势波形有什么影响。
4.22 一台50000k W 的2极汽轮发电机，50Hz ，三相，U N =10.5k V 星形联接， cos ϕN =0. 85，定子为双层叠绕组，Z=72槽，每个线圈一匝，y 1=7，a =2，试求当9
定子电流为额定值时，三相合成磁动势的基波，3、
5、7次谐波的幅值和转速，并说明转向。
4.23 试分析下列情况下是否会产生旋转磁动势，转向是顺时针还是逆时针方向：
图4.23习题4.23附图
(1) 三相绕组内通以正序(A—B —C) 电流或负序(C—B —A) 电流(见图4.23) ；
&=100∠0o A ，(2) 星形联接的对称三相绕组内，通以不对称电流：I A
&=90∠−250o A ； &=80∠−110o A ， I I C B
(3) 星形联接一相断线。
4.24 在对称的两相绕组(空间差90°电角度) 内通以对称的两相电流(时间上差90°) ，试分析所产生的合成磁动势基波，并由此论证“一旋转磁动势可以用两个脉振磁动势来代表”。
4.25 一对称三相绕组，在A 、B 相绕组内通入电流i =I m sin ωt ，如图4.24所示，求：
图4.24习题4.25附图
(1) 分别写出各相的基波磁动势表达式；
(2) 写出合成基波磁动势表达式，并说明其性质；
(3) 用磁动势矢量表示出基波合成磁动势幅值的空间位置。
4.26 一台三相四极交流电机，定子三相对称绕组A 、B 、C 分别通以三相对称电流 i A =10sin ωt A 、i B =10sin(ωt −120o )A 、i C =10sin(ωt −240o )A ，求：
(1) 当i A =10A时，写出各相基波磁动势的表达式以及三相合成磁动势基波的表达式，用磁动势矢量表示出基波合成磁动势的空间位置；
(2) 当i A 由10A 降至5A 时，基波合成磁动势矢量在空间上转过了多少个圆周?