东北师范大学
硕士学位论文
常微分方程数值解法及其应用
姓名：李晓红
申请学位级别：硕士
专业：应用数学
指导教师：李佐锋
20080501
摘要
微分方程初值问题模型是数学建模竞赛中常见的一类数学模型。对于一些简单而典型的微分方程模型，譬如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等是可以设法求出其解析解的，并有理论上的结果可资利用。但在数学建模中碰到的常微分方程初值问题模型，通常很难，甚至根本无法求出其解析解，而只能求其近似解。因此，研究其数值方法，以便快速求得数值鳃有其重大意义。针对于此，本文对常微分方程初值问题模型现有的数值解法问题进行了综述研究。主要讨论了针对多种常微分方程模型中数值解法精度比较而言的，某些常用的数值解法：即欧拉法，向后欧拉法，占一法，改进欧拉法，龙格库塔方法，阿达姆斯外插公式与内插公式等。并通过追溯数值解法的历史，利用数值解法的事例，总结了备类数值解法的优、缺点，为在数学建模及数学建模竞赛中寻求满足各种精度要求的合理算法提供借鉴。文章最后，结合常见的较为典型的运用微分方程模型数值解法的实例，诸如耐用消费新产品的销售规律模型、司机饮酒驾车防避模型的数值解法等，探讨了上述数值算法在实际建摸问题中的应用。
关键诃数学建模；微分方程模型：初值问题｛数值解法；稳定性
Ａｂｓｔｒａｃｔ
ＩＩｌｉｔｉａｌｖ２Ｌ１ｕｅｐｒｄｂｌｅｍｍｏｄｅｌｏｆｄｉ矗’ｅｒｅｎｔｉａＪｅｑｕ撕ｏｎｉｓ
ｍｏｄｅｌｏｎａｋｉｎｄｏｆｆ．ａｍｉｌｉａｒｍａｍｅｍａｔｉｃａｌＭａｍｅｍａ６ｃａｌ
ｃａｎＣｏｎｔｅｓｔｉｎＭｏ∈Ｉｅｌｉｎｇ．Ｓｏｍｅｓｉｍｐｌｅａｎｄ邯ｉｃａｌｍｏｄｅｌｏｆｄｉａ’ｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎａｃｑｕｉｒｅｉｔｓｅｘａｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎ
ｃａｎｏｆｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｅｔｃ．ａｎｄ
ｃｏｎｔａＣｔｗｉｔｈｉｎｉｔｉａｌｖａｌｕｅ
ｅＸａｃｔｓｏｌｕｔｉｏ凡ｉｎｆｏｒｅｘａｍｐｌｅｌｉｎｅａｕｒｅｑｕ撕ｏｎ，ａｃｅｒｔａｉｎｓｐｅｃｉ２Ｌｌｆｉｒｓｔｂｅｕｔｉｌｉｚｅｄｏｎ也ｅｏｆｅｔｉ。ｃｒｅｓｕｌｔ．ｂｕｔｗｅｏ愈ｅｎｃｏｍｅｉｎ镪ｏｒｅｖｅｎｐｒｏｂｌｅｍｍｏｄｅｌａｎｄｉｔｉｓｖｅＷｄｉ硒ｃｕｈｃａｎｉｍｐｏｓｓｉｂｌｅｔ０ｆｍｄｉｔｓｕｓ
ｏｎｆ．ａｃｔｗｅｏｎｌｙ丘ｎｄｉｔＳａｐｐｒ０）【ｉｍａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｓｏｉｔｉｓｉｍｐｏｒｔ鲫ｔｆｏｒ
ｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｉｎｉｔｉａｌｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｍｏｄｅｌｏｆｔｏｓｔｕｄｖｉｔｓｍⅢｌｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎａｎｄｒｅｑｕｉｒｅｉｔｓｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｆｏｒｉｔ，ｔｈｉｓａｎｉｃｌｅｓｔｌｌｄｉｅｓｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｎａｌｌｅｘｉｓｔｉｎｇｎｕｍｅ“ｃａｌｏｒｄｉｎａｒｙ
ｄｉａ’ｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅａｒｔｉｃｌｅｍａｉｌｌｌｙｄｉｓｃｕｓｓｅｓｔｈｅｐｒｅｃｉｓｉｏｎｏｆｍｏｄｅｌｏｆｏｒｄｉｎａｒｙ
ｓ０１ｕｔｉｏｎ：ｄｉ仓’ｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａ矗ｏｎｏｆ
Ｅｕｌｅｒｉａｎｍａｎｙｋｉｎｄｓｎｕｍｅｒｉｃａｌｓ０１ｕｔｉｏｎ眈ｑｕｅｎｔｌｙ・ｕｓｅｄｎ嗽ｅｒｉｃａｌ
ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｍ翻渤Ｄｄ，Ｅｕ】两ａｎｍｅｔｈｏｄｂａｃｈｖａｒｄｓ，－ｎｌｅｍｏｄ，Ｅｕｌｅｒｉａｎｍｅｔｈｏｄｍｅｎｄｅｄ，Ｒ－Ｋｍｅｔｈｏｄ，ＡｄａｌⅡｌｓｅＸｔｒａｐｏｌａｔｉｏｎｆｏｍｕｌａ，Ａｄａ如ｓｆｏ咖ｕｌａｅｔｃ．ｎｌｅａｒｔｉｃｌｅ
ｓｕｍｍａ矗ｚｅｓｖｉｒｔｕｅａｎｄｄｅｆｅｃｔｏｆｋＳｔｏｒｙａｎｄｍＩｍｅｒｉｃａｌｅｘ锄ｐｌｅｓ，ｎｐｒｏＶｉｄｅｓｒｅｆｅｒｃｎｃｅｆｏｒｍｏｄｅｌｉｎｇｆｏｒａＵｋｉｎｄｓｏｆｐｒｅｃｉｓｉｏｎｒｅ舔０ｎａ＿ｂｌｅｓｏｌｕｔｉｏｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌａｎｄｍａ心ｅｍａｔｉｃａｌｃｏｎｔｅｓｔ．Ａｔｌａｓｔ’ｗｅ西ｖｅｓｉｍｉｌａｒａｌｌｋｉＩｌｄｓｏｆｒｍｍｅ西ｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ也ｒｏｕ曲ｉｔｓ
ｅｘ锄ｐｌｅｓｏｎｎ啪ｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｄｉｆ梵ｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｍｏｄｅｌ，ｓｕｃｈａｓｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｍｏｄｅｌｏｆｃｏｎｓ啪ｉｎｇｄｕｆａｂｌｅｓ，ｎ啪ｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｍｏｔｏｍｌａｎｐｏｔａｔｉｏｎｍｏｔｏｒｉｎｇｆ．０ｒｆｅｎｄｍｏｄｅｌｅｔｃ．ｎｄｉｓｃｕｓｓｅｓ１”ａｃ舡ｃａ＿ｂｉｌｉＷｏｆｔ１１ｒｅｅｍｏｄｅｌｓｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕ｜ｄｏ也ａｎｄ帅ｉｃａｌ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｍ２胁ｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｃｌ
Ｉｎｊｔｉａｌ砌ｕｅＯｒｄｉｎａ拶ｄｉ疏ｒｅｎｔｉａｌｅｑｕ撕ｏｎｍｏｄｅｌ
ｐｒｏｂｌｅｍＮｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎＳ劬ｉｌｉ够ｎ
独创性声明
●’
本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的
任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。
学位论文作者签名；查煎鱼日期：
学位论文版权使用授权书
本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。
（保密的学位论文在解密后适用本授权书）
学位论文作者签名：查磴；盈
日期：迎墨，Ｑ§！≥０指导教师签名：碴垒莲．日期：堕呈：！！！：：！！
学位论文作者毕业后去向：
工作单位：鳘盆．士匦电话：２笾Ｑ塑％豇
邮编：』至Ｑ乜２２通讯地址：长鲞面箍垒筮宣丝显呈
东北师范大学硕士学位论文
第一章绪论
一、研究本课题的实际意义
数学模型方法是使用数学符号、数学式子以及数量关系对现实原型本质的简化描述．利用数学方法解决实际问题首先要进行的工作就是建立数学模型，然后在此模型的基础上对实际问题进行理论求解，进而将理论结果运用于实际原型，解决实际问题．而建立数学模型，并将数学模型应用于解决实际问题的过程即为数学建模．数学建模是应用数学思想和方法解决实际问题的过程．这个过程包含了对现实世界的探索发现以及数学模型的创造应用等环节，是一个认识问题、解决问题的完整过程，因而是人们将数学应用于自然和社会的最基本的途径．从实践到理论，再从理论到实践的数学建模思想，符合马克思主义认识论。
我们知道，自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画。常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。它的学术价值是无价的，应用价值是立竿见影的。求一阶常微分方程的解是数学工作者的一项基本的且重要的工作。由于国内外众多数学家的努力，使此学科基本上形成了一套完美的学科体系；由于该问题比较复杂且涉及的面广，使得有些问题的解析解很难求出，而对于一些典型的微分方程（如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等）可以运用基本方法求出其解析解，并在理论上可以根据初值问题的条件把其中的任意常数完全确定下来。然而，在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程往往很复杂，在很多情况下都不可能给出解的解析表达式，有时即使能求出形式的解，也往往因计算量太大而不实用，而且高次代数方程求根也并不容易，所以用求解析解的方法来计算微分方程的数值解往往是不适宜的。实际上，对于解微分方程初值问题，一般只要求得到解在若干个点上的近似解或者解的便于计算的近似表达式（只要满足规定的精度就行）。所以，研究数学建模中常微分方程模型理论性数值解法迫在眉睫。本文研究的数值解法主要是针对常微分方程初值问题多种数值解法精度比较而言。从而得到更常用的数值解法在微分方程模型中的应用。
东北师范大学硕士学位论文
二、常微分方程初值问题描述
在自然科学和经济的许多领域中。常常会遇到一阶常微分方程的初值问题
璧叫训），础ｓ
【ｙ（％）＝％
值，ｙｋ）＝确称为初始条件。
三、数值解法的基本思想与途径６（１）这里厂Ｇ，ｙ）是充分光滑，即关于ｘ或ｊ，满足李普希茨条件的二元函数，乩是给定的初始
一阶微分方程的初值问题（１）的解ｙＯ）是区间【口，６】上的连续变量ｚ的函数，因而问题（１）’实际上是一个连续性的问题，求这个闯题的数值解，就是要求在ｔ区间＆，６１上的若干个离散点处的函数近似值，例如：
盘≤而＜ｊｃｌ、＜…＜＾≤６，
然后计算出解．ｙＯ）的近似值
畎而），灭毛）”．，“毛）．
一般常取‰，ｊｃｌ，．．．，‰为等距离的点，即
毛一ｘｏ＝屯一屯＝…＝工栉一ｘ：。＝Ｊ；ｌ
或菇ｊ＝口＋珐，ｌ＝０，ｌ，…，以，
称｜ｉｊ为步长。
建立数值方法的第１步，就是把连续性问题’（１）通过一定的方法化为在给定的栉＋１个点上的近似的差分方程的初值问题，称这个过程为离散化。常用离散化的方法如下：
（一）用差商替代导数
在点一处的导数ｙ’“）可以近似地表示成差商
ｙ’“）≈鼍产，
从而把初值问题（１）．化为差分问题
’ｌ半州砌），ｊ＝０’１’…，行‘【ｌｙ（磊）＝蚶，（２）
东北师范大学硕士学位论文
其中Ｍ表示解ｙＧ）在点‘处的近似解，即Ｍ＝以。）。
当然，用差商来近似地表示导数，方法不是唯一的，这里所用的是所谓的向前差商。
（二）Ｔａｙｌｏｒ展示法
在一点（例如点‘）的附近，ｙＧ）的同次数的近似多项式中的Ｔａｙｌｏｒ多项式
如＋办）≈几。）＋砂，“）＋．．．＋等ｙ（，’Ｇ。）口！．
为最好。其中ｐ为一正整数。通过微分方程ｙ’＝几，ｙ），便可以逐次把各阶导数ｙ’。，，．．．在‘处的值表示出来。‘
（三）数值积分法
对微分方程ｙ’＝厂Ｇ，ｙ）在区间ｋ，ｚｍ】上求积分，得
ｙ（‰）一Ｊ，（乇）＝ｒ’厂（训（工）ｐ，ｆ＝ｏ＇ｌ＇…
于是，初值问题（１）便可以近似地化为
ｈ２Ｍ‘ｆｍ，ｙ（ｘ））如．ｆ＝０，１’…以
【ｙ（粕）＝％，
这样，关于上式右端的积分，可以用数值积分方法计算其近似值。
四、数值解的分类
常微分方程初值问题的数值解法一般分为两大类：
单步法：所谓单步法是指这类方法在计算ｙ脚。时，只用至啪一步的值ｘＨ“，工恕，ｙ村，然后逐步往下计算。这个算法的代表是龙格…库塔算法，简称Ｒ—Ｋ方法。四阶显示Ｒｕｎｇｅ—Ｋ嗽方法是求解普通常微分方程初值问题数值解法中的重要方法ｊ而隐式Ｒｕｎ畔谢ａ公式是求解刚性常微分方程初值问题的重要方法。
用到多步法：这类方法在计算‰时，除了用到前一步的值ｈＨ，‘，儿，之外，还要
ｘ开一，，ｙ舯，（ｐ＝１，２，…，七；七＞ｏ）
这前面七步的值，这个算法的代表就是阿达姆斯（Ａｄ锄ｓ）方法。３
东北师范大学硕士学位论文
五、问题（１）解的存在惟一性定理
一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。因此，存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。这个重要的存在和唯一性就是下面列出的著名的存在惟一性定理。
定理如果、厂０，ｙ）在带形区域Ｒ＝“置ｊ，）Ｉ口≤工ｓ６，一∞＜ｙ＜＋∞｝中连续，且关于ｙ满足“ｐｃｈｉｚ条件：即存在正常数Ｌ．使得
ｌ厂０，ｙ１）一厂Ｇ，ｙ２】ｓ上．ＩＭ一儿ｊ，
对所有的工∈ｋ，６１以及任何Ｍ，虬都成立，那么初值问题（１）存在惟一的连续可微解ｙ＝以）。４
东北师范大学硕士学位论文
第二章几种常用的数值解法及其应用分析
追朔数值解法的发展史，我们首先来了解一下初值问题数值解中最简单的一个方法一欧拉法。指的指出的是，欧拉法的精确度不高，但是它体现了其他方法的基本特征。
一、单步法
Ｅ１ｌｌｅｒ折线法产生的历史背景。在微分方程研究之初，瑞士数学家Ｌ．Ｅｕｌｅｒ（１７０７．４—１７８３．９）做出了开创性的工作。他和其他一些数学家在解决力学、物理学问题的过程中创立了微分方程这门学科。在常微分方程方面，Ｅｕｌｅｒ在１７４３年发表的论文中，用代换ｙ＝扩给出了任意阶常系数线性微分方程的古典解法，最早引入了“通解”和“特解’’的概念。
１７６８年，Ｅｕｌｅ在其有关月球运行理论的著作中，创立了广泛用于求初值问题（１）的数值解的方法，次年又把它推广到二阶方程。欧拉的想法如下：选择步长Ｊｉｚ＞０，然后在‰≤ｘ≤嘞＋ＪｉＩ情况下用解函数的切线
，Ｇ）＝蜘＋Ｇ一工。沙瓴，％）
代替解函数。这样对于点而＝‰＋Ｊｉｌ就可以得到
ｙｌ＝ｙｏ＋矿Ｏｏ，％）．
在点Ｇ，，ｙ．）重复如上的程序再次计算新的方向，就会得到所谓的递推公式：
工斛ｌ＝ｊｃ。，＋＾，ｙ斛Ｉ＝ｙｍ＋，圹ＧⅢ，），卅），
这就是Ｅｕｌｅｒ方法。由此，再通过连接所有这些切线得到的函数被称为Ｅｕｌｅｒ折线。如果我们令Ｊｉｊ—Ｏ，这些折线就会越来越接近解函数。
．Ｅｍｅｒ折线法是最早出现的，虽然它亦是常微分方程初值问题的最简单的数值解法，但它的一些特性和研究方法对于更复杂的方法却具有普遍意义。几十年后，法国数学家Ａ。Ｌ．Ｃａｕｃｈｙ（１７８９．８—１８５７。５）在历史上首次研究了常微分方程的局部性态。对于给定的初值问题（１），在／ｋ），）连续可微的假设下，他用类似于欧拉折线的方法构造逼近解，利用微分中值定理估计逼近解之间差的上界，严格证明了以ｊｃ０为中心的一个小区间上逼近解收敛，其极限函数即为所提问题的解。同时Ｃａｕｃｈｙ指出，这种方法也适用于常微分方程组，所以欧拉方法有时又称Ｅｕｌｅｒ℃ａｕｃｈｙ折线法。５
东北师范大学硕士学位论文
（一）ＥｕＩｅｒ方法
Ｅｕｌｅｒ方法是最简单的一步法，它是一阶的，精度较差，但公式很简单，即
以＋ｌ＝ｊ，。＋毳厂扛＂ｊ，。）（，ｌ＝ｏ，ｌ，２…）（３）
Ｅｕｌｅｒ方法的几何意义在数值计算思想中已经体现出来了，实际上就是用过已知点的折线来近似代替过此点的积分曲线。因此，这种方法又称为折线法。
由Ｅｕｌｅｒ法提供的数值解是否具有实用价值？实质上是考察数值解的稳定性问题。在这里我们知道：当步长五取得充分小对，所得数值解％能否足够精确地逼近初值问题（１）
‘
的真解ｙ（ｘ，），这是所谓的收敛性问题。其次，‘还必须估计数值解与真解之间的误差，霉
以便在实际计算中根据精度要求确定计算方案。在Ｅｕｌｅｒ法中，数值解的误差首先是由差商代替导数引起的，这种近似替代所产生的误差称为截断误差。另外，计算过程中还会由于数值的舍入产生另一种误差——舍入误差。显然只有当初产生的误差在以后各步的计算中不会无限制扩大时，即当初始误差充分小时，以后各步的误差也可以充分小，Ｅｕｌ贸法才具有实用价值。收敛性、截断误差估计与稳定性闷题是常微分方程各种数值解法研究中必须考虑的基本问题。显然这些问题在Ｅｕｌｅｒ法中是得到验证的，详见数值例子分析。
（二）向后ＥｕＩｅｒ方法
向后Ｅ妇方法和蹦ｅｒ方法差不多，只是把ｙ’Ｇ州）用
ｙｋ＋：）一ｙｋ）
去代替，这时计算公式为
溉了篡免翟≥黜ｌｙ（％）＝％，（玎＝ｏ，１，２…）．㈤…
向后Ｅｌｌｌｅｒ方法的总体截断误差也是一阶的，因此向后Ｅｕｌｅｒ方法是收敛的。这里需要指出它与Ｅｕｌｅｒ方法的一个很大不同之处，Ｅｕｌｅｒ方法是显式方法，即ｙ州由工。＋ｌ，ｚ。，ｙ种，矗明显地表示出来了，而向后Ｅｕｌｅｆ方法是隐式方法，计算虬＋。时要解隐式方程（４）。通常解此方程用迭代法。因此计算较为麻烦，但比显式ＥｕＪｅｒ方法精度要高。
（三）。伊一法
将Ｅｕｌｅｒ方法公式与向后Ｅｕｌｅｒ方法公式作加权平均，得到如下公式：‘
壅！皇！至茎奎堂塑圭兰焦笙塞
ｊ此：－ｉＭ，＋Ⅱ９厂（％，Ｍ，）＋（１—９）厂（而小儿＋，）ｊ，
【ｙ‰）＝Ｋ，
（５）
（片＝ｏ，１，２…）’
称式（５）为初值问题（１）的乡一法公式。其中如）＝％为初值条件。
在此法中当９＝去时，即
此＋，＝虬＋矣驴ｋ，Ｍ。）＋厂ｋ小虬＋。）】．
为
（６）
此时的９一法称为梯形公式法。梯形公式也隐式格式，用起来要进行迭代，其计算公式
，』垴１）＝％＋缸厂（毛，以）＋ｍ巾蝴）］
［煅＝儿＋矽（毛，蚝）
七＝ｏ，ｌ，２，．．．
（７）
这里在应用本迭代法时，是先用Ｅｕｌｅｒ方法求初值以＋，的近似值础，即：
熘＝儿＋矿ｋ，见），
然后将熘替代梯形公式（６）中的蚝“得到的式（７）。
式（７）又称为预测校正公式。换言之，由Ｅｕｌｅｒ方法给出预测值，再用梯形法予以校正。很显然，当步长办取得适当小时，由Ｅｕｌｅｒ方法算出的值已是较好的近似。格式（７）收敛很快，通常只需一两次迭代即可满足精度要求，若需多次迭代，则应缩小步
长办后再行计算。
梯形公式法比用向后Ｅｕｌｅｆ方法的迭代步长忍可以放宽一倍，它的总体截断误差为
ＤＧ２），比Ｅｕｌｅｒ方法高一阶。但它每积分一步要计算二次函数值，这说明的精度的提高
是以增加计算量为代价的。
（四）改进Ｅｕｌｅｒ方法
利用式（７）迭代一次，就以础作为‰，即
ｙ。¨＝ｎ＋冬阶一，儿）＋厂ｋ¨，虬＋矿ｋ，虬））】．
例对于初值问题
（８）
这一公式称为改进Ｅｕｌｅｒ方法。其总体截断误差为ＤＧ２），与梯形公式同阶。
，Ｊ，’＝一２０弘
ｌｙ（ｏ）＝１，
用欧拉法、梯形法及欧拉预测校正法计算加）的近似值。
东北师范大学硕士学位论文
解由题意很容易求出它的解析解为ｙ＝ｇ．２０，，巾）＝ｏ．２０６１１５Ｅ一８，为对照，按
数值解法计算结果见表如下：
ＪｉｌＯ．２０．１０．Ｏｌ０．００１Ｏ．０００ｌ
欧拉法
－２４３１．０
Ｏ．２０３７０３７Ｅ．９０．１６８２９６５Ｅ．８
梯形法
．Ｏ．４１１５２２６Ｅ．２
Ｏ
Ｏ．１９２７４５０Ｅ．８０．２０５９７７９Ｅ．８Ｏ．２０６１１４５Ｅ－８
欧拉预测校正法
３１２５１．０
Ｏ．２４０６４９８Ｅ．８０．２０６３９４５Ｅ．８Ｏ。２０６１１７６Ｂ．８
０．２０２０２８９Ｅ－８
由表可以看出：当Ａ≤０．１时，欧拉法稳定，欧拉预测校正法也稳定。当办＝Ｏ．２时，
欧拉法和欧拉预测校正法都不稳定，计算结果严重偏离精确法。要想计算结果充分接近于解析解还需取较小的＾值，可以看出，五越小，计算结果越好。对于梯形法，理论上讲对于任何五值都稳定，但明显看出，要保证有较高的精度，也必须取较小的办值。另外，由表可见，两个二阶方法精度也较高。
（五）Ｒｕｎｇ州如ｔｔａ方法导出
德国数学家Ｃ．Ｄ．Ｔ．Ｒｕｎｇｅ（１８５６——１９２７）是数值方法发展史上具有里程碑作用的
人物。１８９５年，他在胁ｌｏｖｅｒ发表了关于微分方程数值解法的经典论文《常微分方程数
值解法》。此文成为常微分方程ＲｕｔｌｇＰ—Ｋｌｌｔｔａ方法的发端。此后，ＲｕｒＩｇｅ结合教学活动
积极投身于发展一般的数值分析特别是各种实际应用中的Ｒｕｎ畔ｕｎａ方法（严格来
说，此方法在Ｋｕ抛作出工作后才能称作ＲｕｎｇＨ（ｕｔ￡ａ方法）。
Ｒｕｎｇｅ—－Ｋ姚方法是～种特殊的单步方法，事实上，这个方法可以看作在ｋ，ｚ研＋ｔ）
上取若干条积分曲线的若干个点的切线斜率，再进行一次（或多次）算术（或加权）平
均后产生的新斜率，再按这个斜率从Ｇ掰，），ｍ）出发，以直线带曲线向前推进一步的过程。与Ｔａ岍ｏｒ展示法相比，Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕ啦ａ方法不用增加微商厂Ｇ，），）的次数就可以得到较高的
阶。
ｍｍｇｅ＿一Ｋｕｔｔａ方法除了在微分方程求解中扮演的传统角色外，人们发现相关类型的初值问题可以用Ｒｕｎｇｅ－＿Ｋｕ＿ｔｔａ方法或适合更一般问题的Ｒ＿ｕｎｇ旷水ｕｔｔａ方法求解，比如Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕ勖方法被应用到了ＨａｍｉｌｔＩ跚系统中。
方法。它是最常用的一种数值解法，因为它相当精确、稳定、容易编程。Ｒ曲ｇ畔ｕ地
方法至今仍然得到广泛地应用。
８
前面提到的几种数值解法的精度是很低的，下面给出高阶一步法叫ｕＩｌｇｅ—－Ｋｍ协
东北师范大学硕士学位论文
由Ｒｕｌｌｇ泓呶ａ方法的思想，我们得到二阶ＲｌｍｇＨ＜ｕｔｔａ公式为
ｌ、二级二阶Ｒｕｎｇ—沁ｔｔａ方法
咒柚＝蚝＋丢（墨＋３如），
墨＝可（毛，蚝），
（９）
如＝矽（毛＋詈矗，乩＋詈足。）．
儿“＝以十ｉ【友ｌ＋Ｋ２），儿＋。＝以十吾（墨＋吃），
二
足。＝矽（毛，虼），
（１０）
心＝可以＋厅，咒＋墨）．
Ｒ眦ｇ陇ｕｎａ公式是在计算两次函数值的情况下，局部截断误差的阶最高是３，式
（９）是允许函数厂ｋｙ）任意变化情况下截断误差最小的二阶方法。要再提高阶就必须
增加计算函数值的次数。上述式（１０）又称为欧拉预估——校正公式。
２、
两个常用的三阶ＲｕＩｌｇＨ“ｔｔａ方法分别为
三级三阶ＲｕｎｇＨ（ｕｔｔａ方法
只＋。＝以＋吉办（２墨＋３如＋４墨），
＝
≯矗一
墨如＝
，‰
＋
虼扣
１—２
蝇
邑
＝
，矗
＋
心扣扣靠卜．
３—４
％儿“＝蚝＋丢办（墨＋４如＋巧），。屹＝水＋扣＋扣），
牛厂≯，＿，
，、
（１２）¨纠
墨＝厂（矗＋＾，虬一＾墨＋２忍吒）．
这两个常用方法在解决实际问题中能够达到较低的精度要求。但是要更高精度要求的，
我们必须了解更高阶的方法一四级四阶ＲｕｎｇＰ咏ｕｔｔａ方法。
３、
四级四阶Ｒｕｎｇｅ＿＿Ｋｕｔｔａ方法
这种方法在解决实际问题中常用。在这里，我们将公式进行导出，以熟悉其方法的
实用过程。由于Ｒｕｎｇｅ—№公式对初值问题（１）中的一般／Ｇ，ｙ）都适用，则它必然
９
东北师范大学硕士学位论文
对特殊的／Ｇ，ｙ）＝掣，几，ｙ）＝工”或／（ｘ，ｙ）＝ｙ也适用。从而可以定出特定的参数来，
十分简单明了。
为了计算简单，令
，ｒ
因此，这里采用的是一种待定系数法，来导出四级四阶显式Ｒ吼ｇｒ№公式，过程
Ｊｉｌ＝二－，吒＋Ｉ＝吒＋Ｉｌｚ，
仃
以Ｈ）的近似值为ｙ∥这样求解问题（１）的四阶显示Ｒｕｎｇｅ一啼沁ｔｔａ公式为
ｆ炸＋ｌ＝蚝＋办（ｃｌ墨＋ｃ２如＋ｃ３蜀＋ｃ４丘），Ｉ墨＝厂（％，虬），
｛ｔ＝厂（％＋矗口２，乩＋＾岛ｌ局），
Ｉ巧＝厂（％＋＾巳，虬＋地ｌ墨＋Ａ６３２局），
ｌ‘＝厂（％＋＾吼，虬＋忍６４ｌ局＋办６４２如＋Ｊｌｌ６４３巧），
这里要求
口２＝６２１，
口３＝如ｌ＋６３２，口４＝６４Ｉ＋％＋丸３．
由于Ｒ硼一１嫩ａ公式的思想与数值积分
相似。所以希望四阶显示Ｒ瑚ｇＨ＜ｕｔｔａ．公式对
ｅ“厂Ｇ，咖
．
ｙ’＝工３，如）＝ｏ
是精确的。这样，将（１３）式应用于（１５）式，就有
髟ｌ
２工一３，
足２＝ｋ＋口２ｙ＝磊＋３《口２＋３％口；＋《；
Ｋ３＝Ｇ。＋口３）３＝露＋３ｘ：口３＋３‰口；＋口；，
石４＝Ｇ栉＋口４ｙ＝《＋３工：口４＋３ｘ＂口；＋口；，
儿“＝％＋ｂ＋乞＋白＋ｑＭ灰＋如乞＋ｃ３吩＋ｑ‰砌２＋
兰（ｃ２口；＋邸；＋岛口：ｂ黪３＋吉Ｇ定＋“＋ｃ。盆斯堍４
与Ｔａｙｌｏｒ公式
ｙ肿。＝一ｙ打＋以＾＋扣办２＋丢ｙ珈３＋去以）矿．’
相比较，有
ｃＩ＋ｃ２＋ｃ３＋ｃ４＝１，
ｃ２口２＋ｃ３露３＋ｃ４口．Ｉ
２去，
（１３）
（１４）
（１５）
（１６）
（１７）
东北师范大学硕士学位论文
ｃ：口；＋ｃ，口；＋ｃ。口：＝三ｃ：口；＋ｃ，口；＋ｃ。口；＝・丢。
，
又由于Ｒ吼ｇＨａｌ：ｔｃａ．公式（１３）中既要反映工的变化，又要反映Ｊ，的变化，所以简
单的选取厂Ｇ，ｙ）为一对线性函数，这样将（１３）式用于
ｙ’＝叫，ｙ（０）＝ｏ
得
＝ｘｎｙｎ，
（１８）
足２＝墨＋口２ｙ珈＋口；足ｌＪＩｚ２，
如＝墨＋口３Ｚ乃＋（吃６３２崩＋《墨）办２＋（《６３２墨％＋口２呜６３２孵）矗３＋《呜６３：墨矿，
丘＝蜀＋ｑ助＋［（％６４２＋口３钆，）庇＋露Ｋ］＾２＋
［（口；６４２墨＋口２６３：％以％＋６４３《Ｋ。）％＋口４（呸％＋码６４，）《］矗３，
％＋ｌ＝％＋办（ｃｌ墨＋ｃ２艺＋ｃ３墨＋ｃ４墨）
（１９）
２儿（ｃＩ＋ｃ２＋岛＋ｃ４）以办＋（ｃ２口２十巳呜＋幺口４）以Ｊｉｌ２
＋［（乞霹＋岛霹＋乞西）以＋（ｃ３口２ｋ＋ｃ４屹６也＋ｑ％６４３）以矗］而３
＋｛［ｃ３吃呜岛２＋ｃ４口４（如以：＋呜６４，）］ｗ＋
（ｃ３《６３２＋ｃ４《６４２＋ｃ４露％）ｚ毛＋ｃ４口２ｋ％厩｝矿．
对（１８）式求导数有
孵＝２以＋ｚ糟蟒，＝３ｊ，：：十《一十２矗以，
将上两式代入（１９）式并与Ｔａｙｌｏｒ公式（１７）比较有：
于是总结有如下四阶Ｒ吼ｇＨ（嘣ａ一般显格式中１３个参数所满足的１１个参数方程
口２＝６２ｌ，码＝６３，＋６３２，口４＝６４ｌ＋６４２＋６４３
ｔ
ｑ吒６３：＋ｃ４口：％＋ｃ４鸭ｋ＝昙，ｃ，口：口３６３２＋ｃ４口４（口：钆：＋口，６４。）＝丢，包口；６３：＋ｃ４口；６４２＋气口；蚝＝击，叩：玩：钆，＝去．
ｃｌ＋巳＋岛＋ｑ＝ｌ，乞口：＋ｃ，口，＋ｃ４口４＝吾，
ｃ２口；＋岛口；＋吼口；＝妻，乞口；＋巳司＋ｃ４口：
’
＝
．，
●一４
ｃ３口：６。：＋ｃ４口２６４２＋ｃ４口。６４３＝吾，
ｌｌ
（２０）
东北师范大学硕士学位论文
于是经典的四阶显示ＲｕｎｇＨ（１ｍａ公式为
墨＝缈（而，虬），
ｃ３吒码６，：＋气以。（口２钆：＋口，钆，）＝言印；屯：＋ｃ４口‰十ｃ４口；钆，＝击，ｃ。啪。：６４３＝去．
％＋。＝“＋吉（Ｋ。＋２心＋２如＋丘），
如＝矽（矗＋鲁”吾蜀），墨＝矽卜知＋丢局），
蜀＝矽（磊＋晟，％＋鼍）。
㈨，
四阶ＲｕｎｇＨ知ｔｔａ方法中比较常用的显格式为经典的公式（２１），也是根据上述参
数方程（２０）来确定一般格式中的参数所得到的。因为显格式（１３）共有１３个参数，丽总计１１个参数方程，由解的判定定理知，此方程（２０）有无穷多个解，从而有四阶算法是最实用的。
Ｒｌｍｇｒ龇方法中的显格式不是唯一的。我们可以尝试推出新算法，但目前为止这个
Ｒｌｌｎ雌讹方法作为最重要的单步方法，是一类具有相当实用价值的方法。它关
于初值是稳定的，其解连续地依赖于初值．它是一类便于应用的单步方法，为了计算
‰，只用到前一步的值ｙ。即可，因此每步的步长可以独立取定，可以按照绝对稳定性、
精度等项要求随时更换。常用的ＲｕｎｇＨ＜１Ｉｔｔａ方法精度较高，为了达到预定的精度，
与Ｅｕｌｅｒ方法和梯形法相比，步长办可取得大一些，求解区间上的总步数可以少一些。
但ＲｕｎｇＨａｌ舷方法也有一些缺点，比如四阶ＲｕｒＩｇｅ—Ｋｕｔｔａ方法每算一步需四次计算
厂ｋｙ）的值，计算量较大（对于较复杂的厂Ｇ，ｙ）而言）。
例用式（９），（１０），（１３）分别求解初值问题
：
ｌ譬＝），一等，ｘＥ【０，ｌ】ｊ云２），一了，膳Ｉｏ，ｌＪ
ｌ
ｊ，（ｏ）＝ｆ
解取步长五＝Ｏ，ｌ，通过公式将算出的结果列于表中
精确解
％
式（９）的解式（１０）的解式（１３＞的解
１．０９５４４６
ｙ＠，）
１．０９５４４５
Ｏ．１１．０９５６２５１．０９５９０９
１２
东北９币范大学硕士学位论文
Ｏ．２Ｏ．３Ｏ．４Ｏ．５０．６Ｄ．７Ｏ．８０．９１．Ｏ
１．１８３５７２１．２６５４４９１．３４２３７４１．４１５１６２１．４８４４３１
１．１８４０９７１．２６６２０ｌ１．３４７３６０１．４１６４０２１．４８５９５６１．５５２５１４１．６１６４７５１。６７８１６７１．７３７８６８
１．１８３２】７１．２６４９１２１．３４１６４２１．４１４２１５１．４８３２４２ｌ，５４９１９６１．６１２４５５ｌ。６７３３２４１。７３２０５６
１．１８３２】６１．２６４９１１１．３４１６４１１．４１４２１４１．４８３２４０１．５４９１９３１．６１２４５２１，６７３３２０ｌ。７３２０５ｌ
１．５５０６６３
１．６１４２４６１．６７５４９３１．７３４６７１
从表中可以看出’。式（９）确实比式（１０）精确，但二者都有３位有效数字；式（１３）
有６位有效数字，比式（９）和（１０）精确得多，这与误差阶的分析是一致的。但式（１３）
的计算量比二阶Ｒｕｎｇ州：傩ａ方法的要大一倍左右。
对于一步法而言，Ｅｕｌｅｒ方法虽然简单，易于分析，但因为精确度不高，当步长取定后，步数愈多，误差愈大，实际上它已经很少用了。由Ｔａｙｌｏｆ级数法导出Ｅｕｌｅｒ方法时
知，它为一阶方法。向后Ｅｕｌｅｆ方法是一个二阶方法，较Ｅｕｌｃｒ方法提高了精确度，９一～
法是Ｅｍｅｒ方法与向后Ｅｕｌｅｒ方法的一个加权平均，可知其也是一个二阶方法。预测校
正法是向后Ｅｕｌｅｒ方法的一个改进，可见它较前面提到的方法有较好的近似。Ｒｕｎｇｅ一
精确度更高。
№方法是现今使用较为广泛的一种方法，现在已经推广到高于４阶的方法，它们的
二、多步法
只要给定初值，利用单步法就可以进行计算，这是它的优点，但这也是它的缺点。
由于它只利用前一步的值，所以，为了提高精度，就需要增加一些非节点处的函数胞），）
●
值的计算，Ｒｕｎｇｅ＿．］Ｋｕ瓶方法就是通过这种途径提高单步法的精度的。这样做就使计算量增加了许多。这里弓ｌ入多步法，它在计算量增加不多的情况下可取得较高的精确度。
通过泰勒展开法，数值积分法与待定系数法可构造线性多步方法的计算公式。这里
说明常用的四阶阿达姆斯（Ａｄ啪ｓ）外插、内插公式。
（一）阿达姆斯（Ａｄａｍｓ）外插公式——显式方法
‰＝％＋矗［靠厂（矗，虼）＋‰’厂（‰，‰）＋．．。＋％厂（毛叫儿．ｇ）］，
岛
＝
￡
（龇ｌ∥．留）．崭。ｎ嚣
Ａｄａｍｓ显式公式系数表
１３
‘２２）
东北师范大学硕士学位论文
岛
ｊ＝ｏ
１
２３４
风
２展。
１
３－ｌ
１２忍，
２４屈ｌ７２０压ｆ
２３
５５
・１６５
－５９
３７
２６１６
—９
１９０ｌ－２７７４－１２７４２５１
在Ａｄａｍｓ显式方法中，最常用的是９＝３情形：
ｙ州＝蚝＋缶【５５厂Ｇ。，％）一５９厂ｋ＿，以一。）＋３７厂Ｇ柚，‰：）一９厂ｋ旬，‰，）】（２３）
（，ｚ＝３，４，５，．．．）
上式为线性四阶阿达姆斯显式公式，也叫阿达姆斯外插公式。因为它要用到前面四个节
点上的厂Ｇ，ｙ）值，是一种最常用的多步算法，其精度为四阶。
（二）阿达姆斯（Ａｄ盒ｍｓ）内插公式——臆式方法
ｙ，件。＝“＋办陂。厂Ｇ槲，虬ｑ）＋岛。厂ｋ，％）＋…＋艮厂ｋ州，虼州）ｊ
岛＝￡杂嵩ｏ＝ｏ＇ｌ，…拿），
Ａｄａ瑚ｓ隐式公式系数衷
Ｑ４）
岛
ｆ＝ｏｌ２３４
风
２层ｆ１２履Ｉ。２４属ｊ７２０屈，
９
。
ｌ
ｌ
ｌ
５
８－ｌ
１９－５ｌ
２５１６４６．２６４１０６—１９
在Ａｄ锄ｓ隐式方法中，最常用的是ｇ＝３的情形：
ｊ，斛。＝儿＋缶【９／ｋ小儿＋。）＋１９厂Ｇ打，虬）一５／ｂ，“，儿。）＋厂（吒、：，ｙ砘）】
１４
（２５）
上式为线性四阶阿达姆斯隐式公式，也叫阿达姆斯内插公式。因为它要用到前面三个节
东北师范大学硕士学位论文
点上的厂ｂ，ｙ）值，是一种最常用的多步算法，其精度却为四阶。
阿达姆斯方法显式与隐式的比较如下：
（１）同一阶数下，隐式的局部截断误差的系数的绝对值比显式的要小；（２）显式的计算工作量比隐式的小；
（３）隐式的稳定范围比显式的大。
例试分别用阿达姆斯四阶显式和隐式方法求解下列初值问题，并比较两者所得结果的精度：
』象一弘工∈【ｏ＇ｌ】
【ｊ，（ｏ）＝１，
解取步长办＝Ｏ．１，通过公式将算出的结果列于表中
四阶显式方法
五
ｙ｜
Ｏ．３
四阶隐式方法
ｙ｜
Ｏ．７４０８１８００６
精确解
Ｉ以，）一ＭＩ
２．８７３Ｅ．６
４．８１５Ｅ．６６。７７０Ｅ。６８．０８８Ｅ．６９．１９０Ｅ．６９．９５２Ｅ．６１．０５１Ｅ．５
｜ｙ“）一乃ｌ
２．１４Ｅ．７
如）
Ｏ．７４０８１８２２０
０．４
Ｏ．５Ｏ．６Ｏ．７Ｏ．８Ｏ．９ｌ
Ｏ．６７０３２２９１９０．６７０３１９６６ｌＯ．６０６５０１３８０．５４８８ｌ１００７Ｏ．４９６５８４５９２Ｏ．４４９３２８１９１Ｏ．４０６５６８８４４０．３６７８７８５９８
３．８５Ｅ．７
５．２ｌＥ．７６．２９Ｅ．７７．１１Ｅ．７７．７３Ｅ－７８．１５Ｅ．７８．４３Ｅ．７
Ｏ．６７０３２００４６
Ｏ．６０６５３０６５９Ｏ。５４８８１１６３６０．４９６５８５３０３Ｏ．４４９３２８９６４
０．６０６５３５４７４
０．５４８８１８４０６Ｏ．４９６５９３３９１Ｏ．４４９３３８１５４０．４０６５７９６１ｌ
Ｏ．４０６５６９６５９
Ｏ．３６７８７９４４ｌ
０．３６７８８９９５５
从表中可以看到：隐式的精度比同阶显式的要高。（三）Ａｄａｍｓ四阶预测——校正格式（ＰＥＣＥ模式）
将阿达姆斯方法显式与隐式方法作一对比，以说明预测——Ｉ校正格式的必要性。这些方法的阶及误差常数列表如下：
阶９误差常数Ｃ。＋ｌ
隐式
２
步数
显式
ｌ
ｌ
显式
ｌ
－—－
隐式
ｌ１２
２
．．
东北师范大学硕士学位论文
．
２２
，
３
．５１２
ｌ２４１９７２０３１６０
３３４
３
—－
８２５１
４
４
５
７２０
由于阿达姆斯内插公式是隐式公式，故用它计算时也需用迭代法。通常把阿达姆斯外插公式与内插公式结合起来使用，先由前者提供初值，再由后者进行修正，即
沙～
（“
ｊ（＾ｙ
＋刍［５５厂（％，炸）一５９厂（％小％．，）＋３７厂（％以，以一：）一９厂（稚，，蚝．，）］》蝉ｋ％＋刍［９．厂（％小ｙ鬟）＋１９厂（矗，虬）一５厂（％。，％．，）＋厂（％巾Ｍ心）］
）
＝
以
（露＝０，ｌ，２，＂。：
刀＝３，４，５…．）
（２６）
对于上述迭代式（２６）只进行迭代一次，便得到Ａ．ｄ鼬ｓ四阶预测——校正
ｙ２＝蚝＋刍［５５厂（＿，虬）一５９厂（％小儿一，）＋３Ｖ（矗巾虬一。）一９厂（‰，％≈皑＝Ｍ＋寺［９厂（毛小蟛）＋１９厂（毛，以）一５厂（毫。，“．，）＋厂（矗巾蚝．：）］
（，２＝３，４，５，．．．）
．
订川
（２７）
与Ｒ锄ｇｅ—Ｋ滞ａ方法相比，线性多步方法每步计算右端函数舷ｙ）的次数确实显
著减少！若用显式公式，每步只计算一次／Ｇ，ｙ）的值；若用校正格式，每步只计算二次
厂Ｇ，ｙ）的值，比四阶ｍｌ刚ｕ．ｔｔａ方法少一半。因此，线性多步法适用于求解步数较
多的情形。
１６
东北师范大学硕士学位论文
第三章常微分方程模型数值解法在数学建模中的应用
一、耐用消费新产品的销售规律模型
（一）问题的提出
新产品进入市场后，一般会经历一个销售量逐渐增加然后逐渐下降的过程。据此在时间一销售坐标系给出的曲线称为产品的生命曲线，其形状呈钟型。然而对于耐用消费品，情况有所不同，其生命曲线在开始有一个小的高峰，然后是一段平坦的曲线，甚至会下降，而后再次上升，达到高峰，从而呈双峰形曲线。
如何解释这一似乎与传统的产品生命曲线理论相矛盾的现象昵？澳大利亚的斯蒂芬斯和莫赛观察到购买耐用消费品的人大致可以分为两类：一类是十分善于接受新事物的，称为“创新型”顾客，他们往往从产品的广告，制造商提供的产品说明书和商店的样品了解了产品的功能和性能后立即决定是否购买；另一类顾客则相对比较保守，称为“模仿型＂顾客，他们要根据若干已购买该商品的用户的实际使用经验所提供的口头信息来决定是否购买。本节经过细致的分析，建立数学模型，对这一现象做出了科学的解释。
（二）模型的构建
将消费者获得的信息分为两类，一类称为“搜集型’’’的，来自广告、产品说明、样品，“创新型”的顾客在获得此类信息就可以做出是否购买的决定：另一类信息称为“体验型”的，即用户使用后获得的实际体验，经常以口头形式传播，“模仿型＂顾客在获得此类信息后方能决定购买与否。
设Ｋ为潜在的用户总数，Ｋ，和置：分别为其中的“创新型”和“模仿型’’人数，又设ⅣＯ）为时刻ｆ已购买商品的顾客数，而ⅣｌＯ）和Ⅳ２（ｆ）分别表示其中的“创新型＂和“模仿型＂顾客数，设４０）为时刻ｆ中已经获得“搜集型’’信息的人数，那么由于这部分信息可以直接从外部获得，也可以已经获得这种信息的人群中获得，于是有类似于巴斯模型的建立有
兰鍪尘＝（葺一４（ｆ））（％＋％４ｏ）），彳（ｏ）：ｏ，碗，吃＞ｏ，（１）
由于获得了“搜集型’’信息的“创新型＂顾客立即决定是否购买，于是应有
丝鍪尘＝（蜀一Ｍ（ｒ））（口＋肌（ｆ）），Ｍ（ｏ）：ｏ，口，∥＞ｏ，（２）
对“模仿型’’顾客，可以从已购买该商品的“创新型”或“模仿型＂顾客中得到信１７
东北师范大学硕士学位论文
息，因此有
型磐：厂（如一Ⅳ２（ｆ））（Ⅳｌ（ｒ）＋Ⅳ２（ｆ）），ｙ＞ｏ，
综上，斯蒂芬斯一莫赛模型是一常微分方程组的初值问题模型：（３）这里，忽略了顾客购买该商品后需要有一段短暂的试用才会传播体验信息的滞后作用。
掣＝（足。一ⅣＩ（忡＋卢Ｍ（ｒ）），掣＝ｙ（Ｋ：一Ⅳ２（ｒ））（Ⅳｌ（ｒ）＋Ⅳ２（｛）），
Ｍ（ｏ）＝０’Ⅳ２（ｏ）＝ｏ．
两Ⅳ◇）＝ⅣＩ章）＋Ｍ◇）为时刻｝购买该商品的总人数。
（三）模型的求解
很容易求出斯蒂芬斯一莫赛模型中的解析解。（４）
其中Ⅳ１１０ｆ），口表示外部信息使“创新型”顾客购买新产品的比率；去胚。表示口传信息使“创新型”顾客购买新产品的比率；去心表示口传信息使“模仿型’’顾客购买新产品的比率。
对于斯蒂芬斯一莫赛模型中Ⅳ２（ｒ）的解析解则不能求出，于是可以用Ａｄ锄ｓ四阶预测——饺正公式求得，即使用
ｌ磺＝虬＋缶［５５厂（乙，Ｍ）一５９厂（‰，“ｔ）＋３７厂（。２，虬五）一９／（气巾Ｍ．ｓ）］，
１嘲＝帆＋刍［９厂（‰。碟）＋１９厂（厶，Ｈ）一５厂雠．，心ｔ）＋／（‰，Ｍ—ｚ）］，
【，ｌ＝３，４，５，．．．
求得，且在它的精度要求达到很高情形下求出Ⅳ２０）。利用上述公式给出的数值算法，通过数学软件实现。具体程序如下：
设方程（３）中的Ⅳ２（ｒ）＝ｙ，７，＝ａ，七：地，ⅣｌＯ）≈ｂ．于是有下面程序：
ｓ＝ｄｓｏｌｖｅ（’Ｄｙ＝ａ砖ｂ木Ｋ２一ａ砖ｂ宰ｙ＋ａ串Ｋ２木ｙ—ａ枣ｙ‘２，ｙ（０）：Ｏ’）
Ｓ＝
（Ｋ２，ｌｃｅｘｐ（ｔ，Ｉｃａ水ｂ＋ｔ木ａ水Ｋ２＋１０９（ｂ／Ｋ２）／（ｂ＋Ｋ２），ｌｃｂ＋１０９（ｂ／Ｋ２）／（ｂ＋Ｋ２）水Ｋ２）一ｂ）／１３
东北师范大学硕士学位论文
（１＋ｅｘｐ（ｔ木ａ木ｂ＋ｔ木ａ冰Ｋ２＋１０９（ｂ／Ｋ２）／（ｂ＋Ｋ２）书ｂ＋１０９（ｂ／Ｋ２）／（ｂ＋Ｋ２）冰Ｋ２））
二、司机饮酒驾车防避模型的数值解法，
在２００４年全国大学生数学建模竞赛题中有一个关于司机饮酒驾车模型。
问题的提出
《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量闽值与检验》国家新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于２０毫克／百毫升，小于８０毫克／百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于８０毫克／百毫升为醉酒驾车。
大李在中午１２点喝了一瓶啤酒，下午６点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨２点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：
１．对大李碰到的情况做出解释：
２．在喝了３瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：
１）酒是在很短时间内喝的；
２）酒是在较长一段时间（比如２小时）内喝的。
３．怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。
４．根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？
５．根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。
参考数据
１，人的体液占人的体重的６５％至７０％，其中血液只占体重的７％左右：而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。
２．体重约７０ｋｇ的某人在短时间内喝下２瓶啤滔后，隔一定时间测量他的血液中滔精含量（毫克／百毫升），得到数据如下；
时间（小时）Ｏ．２５Ｏ．５Ｏ．７５１１．５２２．５３３．５４４。５５
酒精含量３０６８７５８２８２７７６８６８５８５ｌ５０４１
时间（小时）６７８９１０１１１２１３１４１５１６
酒精含量３８３５２８２５１８１５１２１０７７４
模型假设
ｌ、驾驶司机没有其他疾病，消化系统良好，属于健康人群，其体重为７０ｋｇ左右。２、酒精在人体内的循环系统分为胃腔系统（系统Ｉ）和体液系统（系统ＩＩ），两个系统的容积（即血液体积或酒精分布容积）在过程中保持不变。
３、酒精从系统Ｉ向系统ＩＩ的转移的速率系数，及向体外的排出的速率系数，与该系统的酒精浓度成正比，这两个速率系数毛、也是由人体的身体机能所决定的常数。
４、循环过程只考虑由体外进入胃腔，再由胃腔进入体液，最后由体液排除体外。不考虑人体其他机体对酒精的吸收，体液的变化可以忽略而保持一定。】９
５、符号说明：
兀：酒精进入胃腔的速率，
ｆ：测试时间（小时）
气：饮酒时间（小时）设为常数
墨（ｆ）：ｒ时刻人体胃腔中的酒精含量（毫克／百毫升）
Ｄｏ：胃腔中初始酒精量（毫克）
Ｄｌ：刚喝完酒时胃腔中的酒精量（毫克）
厩：酒精由胃腔转移至体液的速率系数
乞：酒精由体液排出体外的速率系数
石：（ｒ）：酒精由胃腔转移至体液的转移速率（毫克／小时）
屹（ｆ）：，肘刻人体体液中的酒精含量（毫克／百毫升）
ｃ２（ｆ）：ｆ时刻人体体液中酒精浓度（毫克／百毫升）
矿：人体体液的体积（百毫升）
屯（ｏ）：体液系统中初始酒精浓度（毫克／百毫升）记为Ｃｏ
厶（ｆ）：酒精排出体外的速率（毫克／小时）
模型建立
由酒精在人体内吸收、转移规律的特点，应用药物动力学原理建立人体内胃腔与体液循环系统模型，可用微分方程描述其动态过程。一般情况…长时间饮酒，原身体内有残余酒精
进入—垄璺屿体外，１）胃腔系统过程：
酒精含量ｊｃｌ（ｒ），初
当０＜ｆ≤ｆｏ时，有
ｆ爿（ｆ）＝一鼻墨（，）＋石，
１．墨（ｏ）＝Ｄｏ．求解得到（１）
当ｆ＞ｆｏ时ｔ有
Ｒ（ｆ）＝一毛五（ｒ），ｌ－五（ｏ）＝ＤＩ．
解得
毛Ｏ）＝ＤＩｅ一向（，－，ｏ）。
综合（１）、（２）得到
五９）：｛鲁＋（Ｄｏ一鲁）ｇ一南“），ｒ？［。，ｆ０），
ｌｑ８喝“嘞’，ｒ∈［ｆｏ，＋ａｏ）．
于是
肿Ｍ加，＝譬懋．－．，”：主‰．
２）体液系统过程：
酒精含量ｊｃ２（ｒ），体液矿，酒精浓度Ｃ２（ｆ），初始屯（０）＝Ｇ，则有
五妒肛乞碘），ｃ２（ｒ）＝等，
』ｑ（ｆ）＝等一乞Ｃ２（ｆ），
【Ｃ２（ｏ）量ｃ１．
当０≤ｆ≤『０时，有
令彳＝垂，Ｂ：热，则啪，＝惫＋躐窖嘶＋［ＣＩ＿惫一躺卜：
’％矿（与一如）一
ｃ：Ｏ）＝么＋眈’即＋（Ｃｌ一４一Ｂｋ一幻．
当，＞岛时，
鼬，娟＋矗％芦纵心）一痞％ｅ州…・
２ｌ（２）（３）（４）（５）
令４＝鼎’则
于是
一，。、东北师范大学硕士学位论文ｃ２ｐ）＝（Ｃ：＋４）ｇ一如‘’吨’一４ｅ。屯‘’咱’，删２｛（Ｃｌ圳ｇ毒：：，砷ｉ¨，。，矗■）
对于短时间饮酒，体内有残余酒精可以解释如下：
气＝０，Ｃｏ≠Ｏ，Ｄｏ≠Ｏ，从而ｆ爿＋Ｂｅ一即＋（ｃｊ—Ａ—Ｂ）ｅ’印，ｆ∈【ｏ，气】，
ｃ２（ｆ）＝（Ｇ＋鸣）ｇ一啄一孝。即，
即Ｃ２（ｆ）＝Ｃｏｅ一即＋４（ｅ一即一ｇ一即）
模型求解（６）
上述模型的表达式（１），（２），（４）均可归结为常微分方程初值问题，对于其解可用上面介绍的数值解法的方法给出。在这里给出了一个计算数值解的程序。
在模型中考虑长时间饮酒的情况，用ＭＡＴＬＡＢ计算出，当大李饮酒的时间达到１．８６５个小时，检测时其酒精含量是２０．０２７６毫克／百毫升，正好超标。
大李短时间继续饮酒８小时后体内酒精含量（对于上式（６）的求解程序）
ｋ１＝１．８１００：
ｋ２＝０．２１００：
ＤＯ＝５１２００／２＋Ｏ．０１３２：
ｃ０＝１８．３４０４：
ｔ＝８：
ａ＝（ｋ１幸Ｄ０）／（ｖ木（ｋｌ—ｋ２））：
ｃ＝ｃ０宰ｅｘｐ（一ｋ２宰ｔ）＋ａ宰（ｅｘｐ（一ｋ２％ｔ）一ｅｘｐ（一ｋｌ宰ｔ））
运行结果：
ｃ＝１５．４６９５
大李长时间饮酒后体内酒精含量（对于上式（５）的求解程序）
ｋｌ＝１．８ｌＯＯ
ｋ２＝０．２ｌＯＯ
ｖ：４４７．８６７
ｔＯ＝１．８６５
ｔ＝８
ｄＯ＝０．０１３２
ｆ０＝５１２００／４
ｃＯ＝１８．３４０４
ａ＝ｆＯ／（ｖ木ｋ２）
ｂ＝（ｆＯ—ｋ１）／（ｖ木（ｋｌ—ｋ２））
ｄｌ＝ｆ０／ｋ１＋（ｄＯ—ｆ０／ｋ１）木ｅｘｐ（一ｋ１木ｔ）
ｃｌ＝ｃＯ＋ａ＋ｂ术ｅｘｐ（一ｋｌ木ｔ）＋（ｃＯ—ａ—ｂ）木ｅｘｐ（一ｋ２宰ｔ０）
ａｌ＝ｄ１／（ｙ术（ｋ１一ｋ２））２２
东北师范大学硕士学位论文
ｃ＝（ｃ１＋ａ１）宰ｅｘｐ（－ｋ２木（ｔ—ｔＯ））一ａ１木ｅｘｐ（一ｋ１宰（ｔ—ｔＯ））
运行结果：
ｃ＝２０．０２７６
模型评价
１、本模型成功剖析了一部分想喝酒驾车的司机人员的心理。他们总想侥幸，然而事实不允许他们这么做，我们所做的工作让他们的这种心理无迹可遁，对促进交通安全也不无贡献。
缺点：没有考虑其他可能的因素给饮酒驾车问题带来的影响，比如人的体重、
司机的健康状况、交警检验程序不够科学等。求得的方案也许并不是最优的，但是相比之下比较满意的。２、
诚恳建议
广大的司机朋友们，为了您和他人的安全。请不要酒后驾车。但适量饮酒有助于健康。如果您是一位酒精爱好者，在一定的条件下，只要符合新的检验标准，饮酒也是无可厚非的，在这里根据我们所建立的饮酒驾车模型，得出血液的酒精随时间变化的关系。经分析，计算，检验基本符合实际情况。特向您诚肯地提供一些建议：
当您辛苦了一天，晚上归来时，在保证至少６小时的休息时间的前提下，适当噶些酒，是不影响第二天工作的，但不要连续喝酒，更不要酒后驾车。
有关数据附下，供您参考。
以喝啤酒为依据，经过挖小时后可以驾车，其与瓶数的关系如下表：
饮酒量
（瓶）
时间刀
（小时）６ｌＯ１２１３ｌ２３４５●６７８９１０１１１２１４１５１６１６１７１７１８１８
备注：３瓶啤酒相当于半斤低度白酒
模型推广
严禁酒后驾车？现有动力系统模型基本解决驾驶员饮酒量与停驾时间量化分析的交通难题，对驾驶员掌握驾驶时机有重要意义；模型的实际应用是当今社会非常急需，酒后驾车者被视为公路第一杀手；应用课题：如驾驶员饮酒量与停驾时间量化分析，驾驶员理论培训．肇事时血液中酒精浓度的反推算，车保赔偿等的研究。我们将研究初步结果送到相关单位专家手中，听取他们的意见。他们是本项目涉及到的实际应用领域的执行者和评判者。确切地说，他们的意见对我们进一步如何完善模型是非常有积极意义的。根据他们对该研究初步结果提出的宝贵意见：
１、对于酒后驾驶的安全性，保险对酒后肇事的赔付等有着指导作用。
２、对于法医学中所用的血中乙醇浓度反推生前饮酒量有意义。
３、实验严谨，结论有明显的对比性．对于酒精在人体内的代谢浓度，有较完整数据。４、在“严禁酒后驾车’’、“酒后驾车肇事不予赔偿”的规定和现实之间寻求一种合情合理又合法的新途径，提出了“安全饮酒”的新概念。
东北师范大学硕士学位论文
５、“酒后安全驾车时刻表”，对于有效地预防和避免交通事故的发生有者一定的积极意义。
６、研究提供了更科学、数字化地判断驾驶员是否应该驾车的依据，有利于解决驾驶员饮酒量与停驾时间量化分析的交通执法难题。
对于上述宝贵意见，我｛『碹隶合分析后，找到进一步深化、提高、拓广研究的途径。
由于模型研究中存在一个重要的假设，即酒精在各人体中的吸收、消除速率基本相同，该假设为小概率事件。
事实上人对酒精的吸收与代谢的各项个体差异显著，尤其是乙醇脱氢酶的个体差异非常显著；
提出以下研究设想。
动力系统模型中考虑乙醇脱氢酶因素；探讨驾驶员反应曲线与安全驾车的关系。根据专家意见，我们对在交通执法中的一大难题，肇事时体内酒精浓度的反推算问题方面再作了一些深入的研究。此外，由于呼吸式酒精测试仪的局限性和误差，我们大胆提出应用于机动车辆的手持感应酒精测试仪的研制设想，并提出将该模型方法用于其它手工操作的机械业，以及在医学、农学、养殖业等其他领域的相关研究设想，进一步完善模型的相关内容。
论文不可避免地存在着一些不妥或不完善之处，严重制约着其成果的应用和推广（推销）。
另外众所周知，２００８奥运会落户北京，田径、游泳比赛中的药检一直是个头疼问题，通过本模型的研究，对付药检也并非难事，估计出运动员最初服药时间，便可以计算出药血液浓度达到最高的时问．从而对其突击检查，保证了比赛豹公平。具有很高的实用价值。
东北师范大学硕士学位论文
结语
掌握并灵活运用上述数值解法对于求解常微分方程模型中的数值解有着重要的意义。本文通过对常微分方程初值问题各数值解法从理论上系统的分析其优缺点，并使用数学建模中的数值例子进行了验证。在今后的数学建模实践中，对于常微分方程模型的数值解的解法已经融会贯通，在短时间内能够快速判断其数值解的方法，从而为建模工作顺利完成奠定坚实的理论基础。
数值解求解常微分方程模型有着重要的意义，我们应该在不断探索其解法的前提下，创新出更适用的软件来解决实际算法问题。有待于进一步研究。
东北师范大学硕士学位论文
参考文献
【１】徐萃徽。孙绳武，计算方法引论（第二版）北京：高等教育出版社，２００２．１
【２】易大义，沈云宝，李有法．计算方法．杭州：浙江大学出版社，１９８９．Ｉｌ
（３】李信真，车剐明，欧阳洁，封建湖．计算方法．西安：西北工业大学出版社，２０００．８［４】胡祖炽．计算方法．【Ｍ】，北京：高等教育出版社，１９５９
【５１封建湖．计算方法典型题分析解集【Ｍ】．西安：西北工业大学出版社．２０∞
【６】冯康．数值计算方法口订］杭州：浙江大学出版社，２００３
【７］林成森．数值计算方法【Ｍ】．上海：科学出版社，１９９９
［８］李庆扬，关治．白峰杉．数值计算原理．北京：清华大学出版杜，２０００
【９】蔡大用擞值分析与实验呻】．北京：清华大学出版社，２００１
［１０】李庆扬，王能超，易大义数值分析【Ｍ】，北京：清华大学出版社．施普林格出版社，２００１
【１１博尔雄，赵风光．数值逼近【Ｍ】．上海：复旦大学出版社，１９９６
【ｔ２】李荣华，冯果忱，微分方程数值解法（第三版）【Ｍ｝北京：高等教育出版社，１９９６
【１３】胡健伟ｔ汤怀民．微分方程数值解法（第二版）．北京；科学出版社．２００７ｆ１４】李立康，於祟华，朱政华．微分方程数值解法［Ｍ】．上海：复旦大学出版社，１９９９
【１５】Ｃ．ｗ｜吉尔常微分方程初值问题的数值解法【Ｍ】．费景高译．北京；科学出版社，１９７８［１６】陆金甫，关治．偏微分方程数值解法ｆＭ】＋北京：清华大学出版社，１９８７
【１７］楼顺天，于卫，闫华梁．Ｍ棚ＡＢ程序设计语言西安：西安电子科技大学出版社．１９９７．８
【１８］马知恩，周义仓．常微分方程定性与稳定性方法．北京：科学出版社，２∞７．１
【１９】ｆ美】莫里斯．克菜因，古今数学思想．朱学贤等译．上海：上海科学技术出版社，２００２．８［２０】吴文俊．世界著名数学家传记：上集【Ｍ】．北京：科学出版社，１９９５［２ｌ】Ｒ．Ｄ．ｍ咖ｒ’
集，大连，１９９６．８Ｋ．ＷＭｏ＾ｏｎ｛Ｄｍ瑚】ｃｅＭｅｍｏｄｓｏｆｈｉｔｉａｌｖａｌ噼Ｐｒｏｂｌｅｍｓ，１９７６【２２】Ｃｈ∞ＣｈｕａＩｌ：畦ａｏ：Ｌｏｎｇｔｉｒ趾Ｃ伽４ｐｕ＿ｔ￡Ｉｔｉ蚀ｆ缸“出ｌＶａｈ坤Ｐｒｏｂｌｅｎｌｓ，第三次中日计算数学讨论论文
［２３ＨＫｏｔｏ．蛐ｉｌｉ可ｏｆＲ吼ｇｅ弛姚ｌＭｅ廿坳ｄｓｆｊ）ｒＤｅｌ８ｙｎｅ眦ｄｉ彘擒１ｔｉａｌＥｑｕ“∞ｓ．ＪＣＪ州．２００２
Ｉｒ】钯ｇ阳ｔｉｏｎ［２４ⅡＣ．Ｂｕｔｃｈ越Ｃｏｅ伍ｃｉ∞ｔｓｆｏｒ吐璩ＳｔｕｄｙｏｆＲｕｒ】ｇｏ沁ｔｔａＰｒｏｃｅｓ辩ｓ．Ｊ．Ａｕｓ廿ａ１．Ｍａ血．Ｓｏｃ．１９６３
【２５】Ｊｃ．Ｂｕｔｃ衄ＩｒｎｐｌｉｃｉｔＲ：ｕｎｇｅ－Ｉ沁ｔａＰｒｏｃｅｓｓｅｓ．Ｍ拙．Ｃｏｍｐ．１９６４
［２６珲Ｈａ面＿，Ｇｗａ肋壮。工ｌｔｈｅＢｕｔｃｋＧｍ叩ａｎｄＧ翱啪ＩＭｕｌｔｉｓｔｅｐ
［２７】（聊峡ＣＷＮｕ工ｎｅｒｉｃ出埘ｔｉａｌⅧｕｅＭｅ血。出．ＢＩＴｌ９７８Ｐｒｏｂｌｅ船证伽啦Ｄｉ魁ｒ衄ｔｉａｌＥｑ嘶ｏｍ［ｚ】，１９７ｌ
ｏｆ【２８］Ｍ．Ｓｏ鼬ｉｏ啦“ＳｙＩｎｂｏｌｉｃ
ＣｏｍｐｕｔａｔｉＤｎ，１９９４ＤｅｒｉＶａｔｉｏｎＲ哪ｅ－蛋：ｍｔａ
２６ｈ在ｅｍｏ出”哪，ＪｃＩ岫ａｌｏｆＳｙｍｂ０１ｉｃ
东北师范大学硕士学位论文
ｆ２９】Ｈ．Ｊｅ攒．ｅｙｓ，Ｂ，ｓ，，“曩１ｅＬｉｐｓｃｈｉ乇乙Ｃｏｎ出ｔｉ。ｎ”３
Ｐｒｅｓｓ，１９８８ｒｄｅｄ．ｆＭ】，Ｃ蜘撕ｄｇｅ．＆矧嬲ｄ，ｅａｍｈ记ｇｅＵｎｉｖｅｒｓｉ锣
【３０】Ｄｏ肌ａｎｄ’Ｊ．Ｒ．锄ｄ
１ＰＪ．Ｐ血ｃｅ，“Ａ伽血ｌｙｏｆｅＨｌｂｅｄｄｅｄＲ啪ｇｃ，融嫩ａｆ０１ｌｍ＿ｕ】∞”【Ｊ】，ｃｏｍｐ．Ａｐｐｌ，Ｍａｍ．９§ｏ２７
东北师范大学硕士学位论文
后记
首先感谢我的导师李佐锋教授的悉心指导，本人在研究生期间，不论在生活上还是在学习上，都得到了李老师的关心与照顾。李老师学识渊博、基础扎实、十分乐观的生活态度使我十分敬佩。他两年来的谆谆教导使我获益良多。在此特向李老师致以衷心的感谢。
在研究生学习期间，老师们严谨的科研作风，敏锐的思维，忘我的工作精神和高度的责任心使我受益匪浅。他们的传授为我们研究微分方程打下了良好的基础。
在此学位论文完成之际，特向两年来学习上、工作上给与我真诚关怀和无私帮助的老师们表示最由衷的感谢和敬意。
感谢同学们在生活上的关心与照顾，在学业上的鼓励与支持。
最后感谢我的父母与家人长期以来对我无私的关爱和支持ｌ他们不求回报的爱是我学习的最大动力，他们的付出我将铭刻于心。２８
常微分方程数值解法及其应用
作者：
学位授予单位：李晓红东北师范大学
相似文献(3条)
1.期刊论文 张贻民.梁明.ZHANG Yi-min.LIANG Ming 数学建模的几种基本预测方法的探讨 -茂名学院学报2006,16(6)
针对学生在建立预测模型时不能准确判别使用合适的预测模型,归纳了几种使用较多的预测方法:微分方程模型、时间序列方法、灰色预测和BP神经网络.对每种预测模型做了简单的介绍分析和适当地对某些模型进行了改进,总结了相应的优缺点以及各自适用的预测范围.
2.期刊论文 马良宏.李星.詹亮.MA Liang-hong.LI Xing.ZHAN Liang 阻滞增长模型在奥运会撑杆跳高冠军成绩预测中的应用 -武汉体育学院学报2008,42(9)
采用数学建模理论对历届奥运会男子撑杆跳高运动员的金牌成绩进行统计分析,运用拟合模型和常微分方程模型对未来撑杆跳高竞赛项目的最好成绩进行预测,以期为拓宽数学建模在体育领域的应用范围提供一定的依据.
3.期刊论文 郝玉徽.杨攀.王振华.杨帆.HAO Yu-hui.YANG Pan.WANG Zheng-hua.YANG Fan 易拉罐形状和尺寸的最优设计模型 -大学数学2009,25(2)
用游标卡尺测量了当前流行的几种易拉罐饮料尺寸参数,然后建立微分方程模型和规划模型,借助MATLAB 6.5, LINGO 8.0编程求解出了易拉罐为正圆柱体、圆台和圆柱体的组合体时的最优设计.最后综合经济、美观、实用等因素,运用非线性规划和层次分析法得出设想中易拉罐的最佳设计,对2006"高教社杯"全国数学建模竞赛C题中的各问题作出了完整的解答.
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Thesis_Y1266154.aspx
授权使用：西安交通大学(wfxajd)，授权号：c021bb2f-6ad8-423d-9f78-9dc101058245
下载时间：2010年7月28日
东北师范大学
硕士学位论文
常微分方程数值解法及其应用
姓名：李晓红
申请学位级别：硕士
专业：应用数学
指导教师：李佐锋
20080501
摘要
微分方程初值问题模型是数学建模竞赛中常见的一类数学模型。对于一些简单而典型的微分方程模型，譬如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等是可以设法求出其解析解的，并有理论上的结果可资利用。但在数学建模中碰到的常微分方程初值问题模型，通常很难，甚至根本无法求出其解析解，而只能求其近似解。因此，研究其数值方法，以便快速求得数值鳃有其重大意义。针对于此，本文对常微分方程初值问题模型现有的数值解法问题进行了综述研究。主要讨论了针对多种常微分方程模型中数值解法精度比较而言的，某些常用的数值解法：即欧拉法，向后欧拉法，占一法，改进欧拉法，龙格库塔方法，阿达姆斯外插公式与内插公式等。并通过追溯数值解法的历史，利用数值解法的事例，总结了备类数值解法的优、缺点，为在数学建模及数学建模竞赛中寻求满足各种精度要求的合理算法提供借鉴。文章最后，结合常见的较为典型的运用微分方程模型数值解法的实例，诸如耐用消费新产品的销售规律模型、司机饮酒驾车防避模型的数值解法等，探讨了上述数值算法在实际建摸问题中的应用。
关键诃数学建模；微分方程模型：初值问题｛数值解法；稳定性
Ａｂｓｔｒａｃｔ
ＩＩｌｉｔｉａｌｖ２Ｌ１ｕｅｐｒｄｂｌｅｍｍｏｄｅｌｏｆｄｉ矗’ｅｒｅｎｔｉａＪｅｑｕ撕ｏｎｉｓ
ｍｏｄｅｌｏｎａｋｉｎｄｏｆｆ．ａｍｉｌｉａｒｍａｍｅｍａｔｉｃａｌＭａｍｅｍａ６ｃａｌ
ｃａｎＣｏｎｔｅｓｔｉｎＭｏ∈Ｉｅｌｉｎｇ．Ｓｏｍｅｓｉｍｐｌｅａｎｄ邯ｉｃａｌｍｏｄｅｌｏｆｄｉａ’ｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎａｃｑｕｉｒｅｉｔｓｅｘａｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎ
ｃａｎｏｆｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｅｔｃ．ａｎｄ
ｃｏｎｔａＣｔｗｉｔｈｉｎｉｔｉａｌｖａｌｕｅ
ｅＸａｃｔｓｏｌｕｔｉｏ凡ｉｎｆｏｒｅｘａｍｐｌｅｌｉｎｅａｕｒｅｑｕ撕ｏｎ，ａｃｅｒｔａｉｎｓｐｅｃｉ２Ｌｌｆｉｒｓｔｂｅｕｔｉｌｉｚｅｄｏｎ也ｅｏｆｅｔｉ。ｃｒｅｓｕｌｔ．ｂｕｔｗｅｏ愈ｅｎｃｏｍｅｉｎ镪ｏｒｅｖｅｎｐｒｏｂｌｅｍｍｏｄｅｌａｎｄｉｔｉｓｖｅＷｄｉ硒ｃｕｈｃａｎｉｍｐｏｓｓｉｂｌｅｔ０ｆｍｄｉｔｓｕｓ
ｏｎｆ．ａｃｔｗｅｏｎｌｙ丘ｎｄｉｔＳａｐｐｒ０）【ｉｍａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｓｏｉｔｉｓｉｍｐｏｒｔ鲫ｔｆｏｒ
ｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｉｎｉｔｉａｌｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｍｏｄｅｌｏｆｔｏｓｔｕｄｖｉｔｓｍⅢｌｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎａｎｄｒｅｑｕｉｒｅｉｔｓｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｆｏｒｉｔ，ｔｈｉｓａｎｉｃｌｅｓｔｌｌｄｉｅｓｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｎａｌｌｅｘｉｓｔｉｎｇｎｕｍｅ“ｃａｌｏｒｄｉｎａｒｙ
ｄｉａ’ｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅａｒｔｉｃｌｅｍａｉｌｌｌｙｄｉｓｃｕｓｓｅｓｔｈｅｐｒｅｃｉｓｉｏｎｏｆｍｏｄｅｌｏｆｏｒｄｉｎａｒｙ
ｓ０１ｕｔｉｏｎ：ｄｉ仓’ｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａ矗ｏｎｏｆ
Ｅｕｌｅｒｉａｎｍａｎｙｋｉｎｄｓｎｕｍｅｒｉｃａｌｓ０１ｕｔｉｏｎ眈ｑｕｅｎｔｌｙ・ｕｓｅｄｎ嗽ｅｒｉｃａｌ
ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｍ翻渤Ｄｄ，Ｅｕ】两ａｎｍｅｔｈｏｄｂａｃｈｖａｒｄｓ，－ｎｌｅｍｏｄ，Ｅｕｌｅｒｉａｎｍｅｔｈｏｄｍｅｎｄｅｄ，Ｒ－Ｋｍｅｔｈｏｄ，ＡｄａｌⅡｌｓｅＸｔｒａｐｏｌａｔｉｏｎｆｏｍｕｌａ，Ａｄａ如ｓｆｏ咖ｕｌａｅｔｃ．ｎｌｅａｒｔｉｃｌｅ
ｓｕｍｍａ矗ｚｅｓｖｉｒｔｕｅａｎｄｄｅｆｅｃｔｏｆｋＳｔｏｒｙａｎｄｍＩｍｅｒｉｃａｌｅｘ锄ｐｌｅｓ，ｎｐｒｏＶｉｄｅｓｒｅｆｅｒｃｎｃｅｆｏｒｍｏｄｅｌｉｎｇｆｏｒａＵｋｉｎｄｓｏｆｐｒｅｃｉｓｉｏｎｒｅ舔０ｎａ＿ｂｌｅｓｏｌｕｔｉｏｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌａｎｄｍａ心ｅｍａｔｉｃａｌｃｏｎｔｅｓｔ．Ａｔｌａｓｔ’ｗｅ西ｖｅｓｉｍｉｌａｒａｌｌｋｉＩｌｄｓｏｆｒｍｍｅ西ｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ也ｒｏｕ曲ｉｔｓ
ｅｘ锄ｐｌｅｓｏｎｎ啪ｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｄｉｆ梵ｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｍｏｄｅｌ，ｓｕｃｈａｓｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｍｏｄｅｌｏｆｃｏｎｓ啪ｉｎｇｄｕｆａｂｌｅｓ，ｎ啪ｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｍｏｔｏｍｌａｎｐｏｔａｔｉｏｎｍｏｔｏｒｉｎｇｆ．０ｒｆｅｎｄｍｏｄｅｌｅｔｃ．ｎｄｉｓｃｕｓｓｅｓ１”ａｃ舡ｃａ＿ｂｉｌｉＷｏｆｔ１１ｒｅｅｍｏｄｅｌｓｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕ｜ｄｏ也ａｎｄ帅ｉｃａｌ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｍ２胁ｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｃｌ
Ｉｎｊｔｉａｌ砌ｕｅＯｒｄｉｎａ拶ｄｉ疏ｒｅｎｔｉａｌｅｑｕ撕ｏｎｍｏｄｅｌ
ｐｒｏｂｌｅｍＮｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎＳ劬ｉｌｉ够ｎ
独创性声明
●’
本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的
任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。
学位论文作者签名；查煎鱼日期：
学位论文版权使用授权书
本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。
（保密的学位论文在解密后适用本授权书）
学位论文作者签名：查磴；盈
日期：迎墨，Ｑ§！≥０指导教师签名：碴垒莲．日期：堕呈：！！！：：！！
学位论文作者毕业后去向：
工作单位：鳘盆．士匦电话：２笾Ｑ塑％豇
邮编：』至Ｑ乜２２通讯地址：长鲞面箍垒筮宣丝显呈
东北师范大学硕士学位论文
第一章绪论
一、研究本课题的实际意义
数学模型方法是使用数学符号、数学式子以及数量关系对现实原型本质的简化描述．利用数学方法解决实际问题首先要进行的工作就是建立数学模型，然后在此模型的基础上对实际问题进行理论求解，进而将理论结果运用于实际原型，解决实际问题．而建立数学模型，并将数学模型应用于解决实际问题的过程即为数学建模．数学建模是应用数学思想和方法解决实际问题的过程．这个过程包含了对现实世界的探索发现以及数学模型的创造应用等环节，是一个认识问题、解决问题的完整过程，因而是人们将数学应用于自然和社会的最基本的途径．从实践到理论，再从理论到实践的数学建模思想，符合马克思主义认识论。
我们知道，自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画。常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。它的学术价值是无价的，应用价值是立竿见影的。求一阶常微分方程的解是数学工作者的一项基本的且重要的工作。由于国内外众多数学家的努力，使此学科基本上形成了一套完美的学科体系；由于该问题比较复杂且涉及的面广，使得有些问题的解析解很难求出，而对于一些典型的微分方程（如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等）可以运用基本方法求出其解析解，并在理论上可以根据初值问题的条件把其中的任意常数完全确定下来。然而，在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程往往很复杂，在很多情况下都不可能给出解的解析表达式，有时即使能求出形式的解，也往往因计算量太大而不实用，而且高次代数方程求根也并不容易，所以用求解析解的方法来计算微分方程的数值解往往是不适宜的。实际上，对于解微分方程初值问题，一般只要求得到解在若干个点上的近似解或者解的便于计算的近似表达式（只要满足规定的精度就行）。所以，研究数学建模中常微分方程模型理论性数值解法迫在眉睫。本文研究的数值解法主要是针对常微分方程初值问题多种数值解法精度比较而言。从而得到更常用的数值解法在微分方程模型中的应用。
东北师范大学硕士学位论文
二、常微分方程初值问题描述
在自然科学和经济的许多领域中。常常会遇到一阶常微分方程的初值问题
璧叫训），础ｓ
【ｙ（％）＝％
值，ｙｋ）＝确称为初始条件。
三、数值解法的基本思想与途径６（１）这里厂Ｇ，ｙ）是充分光滑，即关于ｘ或ｊ，满足李普希茨条件的二元函数，乩是给定的初始
一阶微分方程的初值问题（１）的解ｙＯ）是区间【口，６】上的连续变量ｚ的函数，因而问题（１）’实际上是一个连续性的问题，求这个闯题的数值解，就是要求在ｔ区间＆，６１上的若干个离散点处的函数近似值，例如：
盘≤而＜ｊｃｌ、＜…＜＾≤６，
然后计算出解．ｙＯ）的近似值
畎而），灭毛）”．，“毛）．
一般常取‰，ｊｃｌ，．．．，‰为等距离的点，即
毛一ｘｏ＝屯一屯＝…＝工栉一ｘ：。＝Ｊ；ｌ
或菇ｊ＝口＋珐，ｌ＝０，ｌ，…，以，
称｜ｉｊ为步长。
建立数值方法的第１步，就是把连续性问题’（１）通过一定的方法化为在给定的栉＋１个点上的近似的差分方程的初值问题，称这个过程为离散化。常用离散化的方法如下：
（一）用差商替代导数
在点一处的导数ｙ’“）可以近似地表示成差商
ｙ’“）≈鼍产，
从而把初值问题（１）．化为差分问题
’ｌ半州砌），ｊ＝０’１’…，行‘【ｌｙ（磊）＝蚶，（２）
东北师范大学硕士学位论文
其中Ｍ表示解ｙＧ）在点‘处的近似解，即Ｍ＝以。）。
当然，用差商来近似地表示导数，方法不是唯一的，这里所用的是所谓的向前差商。
（二）Ｔａｙｌｏｒ展示法
在一点（例如点‘）的附近，ｙＧ）的同次数的近似多项式中的Ｔａｙｌｏｒ多项式
如＋办）≈几。）＋砂，“）＋．．．＋等ｙ（，’Ｇ。）口！．
为最好。其中ｐ为一正整数。通过微分方程ｙ’＝几，ｙ），便可以逐次把各阶导数ｙ’。，，．．．在‘处的值表示出来。‘
（三）数值积分法
对微分方程ｙ’＝厂Ｇ，ｙ）在区间ｋ，ｚｍ】上求积分，得
ｙ（‰）一Ｊ，（乇）＝ｒ’厂（训（工）ｐ，ｆ＝ｏ＇ｌ＇…
于是，初值问题（１）便可以近似地化为
ｈ２Ｍ‘ｆｍ，ｙ（ｘ））如．ｆ＝０，１’…以
【ｙ（粕）＝％，
这样，关于上式右端的积分，可以用数值积分方法计算其近似值。
四、数值解的分类
常微分方程初值问题的数值解法一般分为两大类：
单步法：所谓单步法是指这类方法在计算ｙ脚。时，只用至啪一步的值ｘＨ“，工恕，ｙ村，然后逐步往下计算。这个算法的代表是龙格…库塔算法，简称Ｒ—Ｋ方法。四阶显示Ｒｕｎｇｅ—Ｋ嗽方法是求解普通常微分方程初值问题数值解法中的重要方法ｊ而隐式Ｒｕｎ畔谢ａ公式是求解刚性常微分方程初值问题的重要方法。
用到多步法：这类方法在计算‰时，除了用到前一步的值ｈＨ，‘，儿，之外，还要
ｘ开一，，ｙ舯，（ｐ＝１，２，…，七；七＞ｏ）
这前面七步的值，这个算法的代表就是阿达姆斯（Ａｄ锄ｓ）方法。３
东北师范大学硕士学位论文
五、问题（１）解的存在惟一性定理
一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。因此，存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。这个重要的存在和唯一性就是下面列出的著名的存在惟一性定理。
定理如果、厂０，ｙ）在带形区域Ｒ＝“置ｊ，）Ｉ口≤工ｓ６，一∞＜ｙ＜＋∞｝中连续，且关于ｙ满足“ｐｃｈｉｚ条件：即存在正常数Ｌ．使得
ｌ厂０，ｙ１）一厂Ｇ，ｙ２】ｓ上．ＩＭ一儿ｊ，
对所有的工∈ｋ，６１以及任何Ｍ，虬都成立，那么初值问题（１）存在惟一的连续可微解ｙ＝以）。４
东北师范大学硕士学位论文
第二章几种常用的数值解法及其应用分析
追朔数值解法的发展史，我们首先来了解一下初值问题数值解中最简单的一个方法一欧拉法。指的指出的是，欧拉法的精确度不高，但是它体现了其他方法的基本特征。
一、单步法
Ｅ１ｌｌｅｒ折线法产生的历史背景。在微分方程研究之初，瑞士数学家Ｌ．Ｅｕｌｅｒ（１７０７．４—１７８３．９）做出了开创性的工作。他和其他一些数学家在解决力学、物理学问题的过程中创立了微分方程这门学科。在常微分方程方面，Ｅｕｌｅｒ在１７４３年发表的论文中，用代换ｙ＝扩给出了任意阶常系数线性微分方程的古典解法，最早引入了“通解”和“特解’’的概念。
１７６８年，Ｅｕｌｅ在其有关月球运行理论的著作中，创立了广泛用于求初值问题（１）的数值解的方法，次年又把它推广到二阶方程。欧拉的想法如下：选择步长Ｊｉｚ＞０，然后在‰≤ｘ≤嘞＋ＪｉＩ情况下用解函数的切线
，Ｇ）＝蜘＋Ｇ一工。沙瓴，％）
代替解函数。这样对于点而＝‰＋Ｊｉｌ就可以得到
ｙｌ＝ｙｏ＋矿Ｏｏ，％）．
在点Ｇ，，ｙ．）重复如上的程序再次计算新的方向，就会得到所谓的递推公式：
工斛ｌ＝ｊｃ。，＋＾，ｙ斛Ｉ＝ｙｍ＋，圹ＧⅢ，），卅），
这就是Ｅｕｌｅｒ方法。由此，再通过连接所有这些切线得到的函数被称为Ｅｕｌｅｒ折线。如果我们令Ｊｉｊ—Ｏ，这些折线就会越来越接近解函数。
．Ｅｍｅｒ折线法是最早出现的，虽然它亦是常微分方程初值问题的最简单的数值解法，但它的一些特性和研究方法对于更复杂的方法却具有普遍意义。几十年后，法国数学家Ａ。Ｌ．Ｃａｕｃｈｙ（１７８９．８—１８５７。５）在历史上首次研究了常微分方程的局部性态。对于给定的初值问题（１），在／ｋ），）连续可微的假设下，他用类似于欧拉折线的方法构造逼近解，利用微分中值定理估计逼近解之间差的上界，严格证明了以ｊｃ０为中心的一个小区间上逼近解收敛，其极限函数即为所提问题的解。同时Ｃａｕｃｈｙ指出，这种方法也适用于常微分方程组，所以欧拉方法有时又称Ｅｕｌｅｒ℃ａｕｃｈｙ折线法。５
东北师范大学硕士学位论文
（一）ＥｕＩｅｒ方法
Ｅｕｌｅｒ方法是最简单的一步法，它是一阶的，精度较差，但公式很简单，即
以＋ｌ＝ｊ，。＋毳厂扛＂ｊ，。）（，ｌ＝ｏ，ｌ，２…）（３）
Ｅｕｌｅｒ方法的几何意义在数值计算思想中已经体现出来了，实际上就是用过已知点的折线来近似代替过此点的积分曲线。因此，这种方法又称为折线法。
由Ｅｕｌｅｒ法提供的数值解是否具有实用价值？实质上是考察数值解的稳定性问题。在这里我们知道：当步长五取得充分小对，所得数值解％能否足够精确地逼近初值问题（１）
‘
的真解ｙ（ｘ，），这是所谓的收敛性问题。其次，‘还必须估计数值解与真解之间的误差，霉
以便在实际计算中根据精度要求确定计算方案。在Ｅｕｌｅｒ法中，数值解的误差首先是由差商代替导数引起的，这种近似替代所产生的误差称为截断误差。另外，计算过程中还会由于数值的舍入产生另一种误差——舍入误差。显然只有当初产生的误差在以后各步的计算中不会无限制扩大时，即当初始误差充分小时，以后各步的误差也可以充分小，Ｅｕｌ贸法才具有实用价值。收敛性、截断误差估计与稳定性闷题是常微分方程各种数值解法研究中必须考虑的基本问题。显然这些问题在Ｅｕｌｅｒ法中是得到验证的，详见数值例子分析。
（二）向后ＥｕＩｅｒ方法
向后Ｅ妇方法和蹦ｅｒ方法差不多，只是把ｙ’Ｇ州）用
ｙｋ＋：）一ｙｋ）
去代替，这时计算公式为
溉了篡免翟≥黜ｌｙ（％）＝％，（玎＝ｏ，１，２…）．㈤…
向后Ｅｌｌｌｅｒ方法的总体截断误差也是一阶的，因此向后Ｅｕｌｅｒ方法是收敛的。这里需要指出它与Ｅｕｌｅｒ方法的一个很大不同之处，Ｅｕｌｅｒ方法是显式方法，即ｙ州由工。＋ｌ，ｚ。，ｙ种，矗明显地表示出来了，而向后Ｅｕｌｅｆ方法是隐式方法，计算虬＋。时要解隐式方程（４）。通常解此方程用迭代法。因此计算较为麻烦，但比显式ＥｕＪｅｒ方法精度要高。
（三）。伊一法
将Ｅｕｌｅｒ方法公式与向后Ｅｕｌｅｒ方法公式作加权平均，得到如下公式：‘
壅！皇！至茎奎堂塑圭兰焦笙塞
ｊ此：－ｉＭ，＋Ⅱ９厂（％，Ｍ，）＋（１—９）厂（而小儿＋，）ｊ，
【ｙ‰）＝Ｋ，
（５）
（片＝ｏ，１，２…）’
称式（５）为初值问题（１）的乡一法公式。其中如）＝％为初值条件。
在此法中当９＝去时，即
此＋，＝虬＋矣驴ｋ，Ｍ。）＋厂ｋ小虬＋。）】．
为
（６）
此时的９一法称为梯形公式法。梯形公式也隐式格式，用起来要进行迭代，其计算公式
，』垴１）＝％＋缸厂（毛，以）＋ｍ巾蝴）］
［煅＝儿＋矽（毛，蚝）
七＝ｏ，ｌ，２，．．．
（７）
这里在应用本迭代法时，是先用Ｅｕｌｅｒ方法求初值以＋，的近似值础，即：
熘＝儿＋矿ｋ，见），
然后将熘替代梯形公式（６）中的蚝“得到的式（７）。
式（７）又称为预测校正公式。换言之，由Ｅｕｌｅｒ方法给出预测值，再用梯形法予以校正。很显然，当步长办取得适当小时，由Ｅｕｌｅｒ方法算出的值已是较好的近似。格式（７）收敛很快，通常只需一两次迭代即可满足精度要求，若需多次迭代，则应缩小步
长办后再行计算。
梯形公式法比用向后Ｅｕｌｅｆ方法的迭代步长忍可以放宽一倍，它的总体截断误差为
ＤＧ２），比Ｅｕｌｅｒ方法高一阶。但它每积分一步要计算二次函数值，这说明的精度的提高
是以增加计算量为代价的。
（四）改进Ｅｕｌｅｒ方法
利用式（７）迭代一次，就以础作为‰，即
ｙ。¨＝ｎ＋冬阶一，儿）＋厂ｋ¨，虬＋矿ｋ，虬））】．
例对于初值问题
（８）
这一公式称为改进Ｅｕｌｅｒ方法。其总体截断误差为ＤＧ２），与梯形公式同阶。
，Ｊ，’＝一２０弘
ｌｙ（ｏ）＝１，
用欧拉法、梯形法及欧拉预测校正法计算加）的近似值。
东北师范大学硕士学位论文
解由题意很容易求出它的解析解为ｙ＝ｇ．２０，，巾）＝ｏ．２０６１１５Ｅ一８，为对照，按
数值解法计算结果见表如下：
ＪｉｌＯ．２０．１０．Ｏｌ０．００１Ｏ．０００ｌ
欧拉法
－２４３１．０
Ｏ．２０３７０３７Ｅ．９０．１６８２９６５Ｅ．８
梯形法
．Ｏ．４１１５２２６Ｅ．２
Ｏ
Ｏ．１９２７４５０Ｅ．８０．２０５９７７９Ｅ．８Ｏ．２０６１１４５Ｅ－８
欧拉预测校正法
３１２５１．０
Ｏ．２４０６４９８Ｅ．８０．２０６３９４５Ｅ．８Ｏ。２０６１１７６Ｂ．８
０．２０２０２８９Ｅ－８
由表可以看出：当Ａ≤０．１时，欧拉法稳定，欧拉预测校正法也稳定。当办＝Ｏ．２时，
欧拉法和欧拉预测校正法都不稳定，计算结果严重偏离精确法。要想计算结果充分接近于解析解还需取较小的＾值，可以看出，五越小，计算结果越好。对于梯形法，理论上讲对于任何五值都稳定，但明显看出，要保证有较高的精度，也必须取较小的办值。另外，由表可见，两个二阶方法精度也较高。
（五）Ｒｕｎｇ州如ｔｔａ方法导出
德国数学家Ｃ．Ｄ．Ｔ．Ｒｕｎｇｅ（１８５６——１９２７）是数值方法发展史上具有里程碑作用的
人物。１８９５年，他在胁ｌｏｖｅｒ发表了关于微分方程数值解法的经典论文《常微分方程数
值解法》。此文成为常微分方程ＲｕｔｌｇＰ—Ｋｌｌｔｔａ方法的发端。此后，ＲｕｒＩｇｅ结合教学活动
积极投身于发展一般的数值分析特别是各种实际应用中的Ｒｕｎ畔ｕｎａ方法（严格来
说，此方法在Ｋｕ抛作出工作后才能称作ＲｕｎｇＨ（ｕｔ￡ａ方法）。
Ｒｕｎｇｅ—－Ｋ姚方法是～种特殊的单步方法，事实上，这个方法可以看作在ｋ，ｚ研＋ｔ）
上取若干条积分曲线的若干个点的切线斜率，再进行一次（或多次）算术（或加权）平
均后产生的新斜率，再按这个斜率从Ｇ掰，），ｍ）出发，以直线带曲线向前推进一步的过程。与Ｔａ岍ｏｒ展示法相比，Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕ啦ａ方法不用增加微商厂Ｇ，），）的次数就可以得到较高的
阶。
ｍｍｇｅ＿一Ｋｕｔｔａ方法除了在微分方程求解中扮演的传统角色外，人们发现相关类型的初值问题可以用Ｒｕｎｇｅ－＿Ｋｕ＿ｔｔａ方法或适合更一般问题的Ｒ＿ｕｎｇ旷水ｕｔｔａ方法求解，比如Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕ勖方法被应用到了ＨａｍｉｌｔＩ跚系统中。
方法。它是最常用的一种数值解法，因为它相当精确、稳定、容易编程。Ｒ曲ｇ畔ｕ地
方法至今仍然得到广泛地应用。
８
前面提到的几种数值解法的精度是很低的，下面给出高阶一步法叫ｕＩｌｇｅ—－Ｋｍ协
东北师范大学硕士学位论文
由Ｒｕｌｌｇ泓呶ａ方法的思想，我们得到二阶ＲｌｍｇＨ＜ｕｔｔａ公式为
ｌ、二级二阶Ｒｕｎｇ—沁ｔｔａ方法
咒柚＝蚝＋丢（墨＋３如），
墨＝可（毛，蚝），
（９）
如＝矽（毛＋詈矗，乩＋詈足。）．
儿“＝以十ｉ【友ｌ＋Ｋ２），儿＋。＝以十吾（墨＋吃），
二
足。＝矽（毛，虼），
（１０）
心＝可以＋厅，咒＋墨）．
Ｒ眦ｇ陇ｕｎａ公式是在计算两次函数值的情况下，局部截断误差的阶最高是３，式
（９）是允许函数厂ｋｙ）任意变化情况下截断误差最小的二阶方法。要再提高阶就必须
增加计算函数值的次数。上述式（１０）又称为欧拉预估——校正公式。
２、
两个常用的三阶ＲｕＩｌｇＨ“ｔｔａ方法分别为
三级三阶ＲｕｎｇＨ（ｕｔｔａ方法
只＋。＝以＋吉办（２墨＋３如＋４墨），
＝
≯矗一
墨如＝
，‰
＋
虼扣
１—２
蝇
邑
＝
，矗
＋
心扣扣靠卜．
３—４
％儿“＝蚝＋丢办（墨＋４如＋巧），。屹＝水＋扣＋扣），
牛厂≯，＿，
，、
（１２）¨纠
墨＝厂（矗＋＾，虬一＾墨＋２忍吒）．
这两个常用方法在解决实际问题中能够达到较低的精度要求。但是要更高精度要求的，
我们必须了解更高阶的方法一四级四阶ＲｕｎｇＰ咏ｕｔｔａ方法。
３、
四级四阶Ｒｕｎｇｅ＿＿Ｋｕｔｔａ方法
这种方法在解决实际问题中常用。在这里，我们将公式进行导出，以熟悉其方法的
实用过程。由于Ｒｕｎｇｅ—№公式对初值问题（１）中的一般／Ｇ，ｙ）都适用，则它必然
９
东北师范大学硕士学位论文
对特殊的／Ｇ，ｙ）＝掣，几，ｙ）＝工”或／（ｘ，ｙ）＝ｙ也适用。从而可以定出特定的参数来，
十分简单明了。
为了计算简单，令
，ｒ
因此，这里采用的是一种待定系数法，来导出四级四阶显式Ｒ吼ｇｒ№公式，过程
Ｊｉｌ＝二－，吒＋Ｉ＝吒＋Ｉｌｚ，
仃
以Ｈ）的近似值为ｙ∥这样求解问题（１）的四阶显示Ｒｕｎｇｅ一啼沁ｔｔａ公式为
ｆ炸＋ｌ＝蚝＋办（ｃｌ墨＋ｃ２如＋ｃ３蜀＋ｃ４丘），Ｉ墨＝厂（％，虬），
｛ｔ＝厂（％＋矗口２，乩＋＾岛ｌ局），
Ｉ巧＝厂（％＋＾巳，虬＋地ｌ墨＋Ａ６３２局），
ｌ‘＝厂（％＋＾吼，虬＋忍６４ｌ局＋办６４２如＋Ｊｌｌ６４３巧），
这里要求
口２＝６２１，
口３＝如ｌ＋６３２，口４＝６４Ｉ＋％＋丸３．
由于Ｒ硼一１嫩ａ公式的思想与数值积分
相似。所以希望四阶显示Ｒ瑚ｇＨ＜ｕｔｔａ．公式对
ｅ“厂Ｇ，咖
．
ｙ’＝工３，如）＝ｏ
是精确的。这样，将（１３）式应用于（１５）式，就有
髟ｌ
２工一３，
足２＝ｋ＋口２ｙ＝磊＋３《口２＋３％口；＋《；
Ｋ３＝Ｇ。＋口３）３＝露＋３ｘ：口３＋３‰口；＋口；，
石４＝Ｇ栉＋口４ｙ＝《＋３工：口４＋３ｘ＂口；＋口；，
儿“＝％＋ｂ＋乞＋白＋ｑＭ灰＋如乞＋ｃ３吩＋ｑ‰砌２＋
兰（ｃ２口；＋邸；＋岛口：ｂ黪３＋吉Ｇ定＋“＋ｃ。盆斯堍４
与Ｔａｙｌｏｒ公式
ｙ肿。＝一ｙ打＋以＾＋扣办２＋丢ｙ珈３＋去以）矿．’
相比较，有
ｃＩ＋ｃ２＋ｃ３＋ｃ４＝１，
ｃ２口２＋ｃ３露３＋ｃ４口．Ｉ
２去，
（１３）
（１４）
（１５）
（１６）
（１７）
东北师范大学硕士学位论文
ｃ：口；＋ｃ，口；＋ｃ。口：＝三ｃ：口；＋ｃ，口；＋ｃ。口；＝・丢。
，
又由于Ｒ吼ｇＨａｌ：ｔｃａ．公式（１３）中既要反映工的变化，又要反映Ｊ，的变化，所以简
单的选取厂Ｇ，ｙ）为一对线性函数，这样将（１３）式用于
ｙ’＝叫，ｙ（０）＝ｏ
得
＝ｘｎｙｎ，
（１８）
足２＝墨＋口２ｙ珈＋口；足ｌＪＩｚ２，
如＝墨＋口３Ｚ乃＋（吃６３２崩＋《墨）办２＋（《６３２墨％＋口２呜６３２孵）矗３＋《呜６３：墨矿，
丘＝蜀＋ｑ助＋［（％６４２＋口３钆，）庇＋露Ｋ］＾２＋
［（口；６４２墨＋口２６３：％以％＋６４３《Ｋ。）％＋口４（呸％＋码６４，）《］矗３，
％＋ｌ＝％＋办（ｃｌ墨＋ｃ２艺＋ｃ３墨＋ｃ４墨）
（１９）
２儿（ｃＩ＋ｃ２＋岛＋ｃ４）以办＋（ｃ２口２十巳呜＋幺口４）以Ｊｉｌ２
＋［（乞霹＋岛霹＋乞西）以＋（ｃ３口２ｋ＋ｃ４屹６也＋ｑ％６４３）以矗］而３
＋｛［ｃ３吃呜岛２＋ｃ４口４（如以：＋呜６４，）］ｗ＋
（ｃ３《６３２＋ｃ４《６４２＋ｃ４露％）ｚ毛＋ｃ４口２ｋ％厩｝矿．
对（１８）式求导数有
孵＝２以＋ｚ糟蟒，＝３ｊ，：：十《一十２矗以，
将上两式代入（１９）式并与Ｔａｙｌｏｒ公式（１７）比较有：
于是总结有如下四阶Ｒ吼ｇＨ（嘣ａ一般显格式中１３个参数所满足的１１个参数方程
口２＝６２ｌ，码＝６３，＋６３２，口４＝６４ｌ＋６４２＋６４３
ｔ
ｑ吒６３：＋ｃ４口：％＋ｃ４鸭ｋ＝昙，ｃ，口：口３６３２＋ｃ４口４（口：钆：＋口，６４。）＝丢，包口；６３：＋ｃ４口；６４２＋气口；蚝＝击，叩：玩：钆，＝去．
ｃｌ＋巳＋岛＋ｑ＝ｌ，乞口：＋ｃ，口，＋ｃ４口４＝吾，
ｃ２口；＋岛口；＋吼口；＝妻，乞口；＋巳司＋ｃ４口：
’
＝
．，
●一４
ｃ３口：６。：＋ｃ４口２６４２＋ｃ４口。６４３＝吾，
ｌｌ
（２０）
东北师范大学硕士学位论文
于是经典的四阶显示ＲｕｎｇＨ（１ｍａ公式为
墨＝缈（而，虬），
ｃ３吒码６，：＋气以。（口２钆：＋口，钆，）＝言印；屯：＋ｃ４口‰十ｃ４口；钆，＝击，ｃ。啪。：６４３＝去．
％＋。＝“＋吉（Ｋ。＋２心＋２如＋丘），
如＝矽（矗＋鲁”吾蜀），墨＝矽卜知＋丢局），
蜀＝矽（磊＋晟，％＋鼍）。
㈨，
四阶ＲｕｎｇＨ知ｔｔａ方法中比较常用的显格式为经典的公式（２１），也是根据上述参
数方程（２０）来确定一般格式中的参数所得到的。因为显格式（１３）共有１３个参数，丽总计１１个参数方程，由解的判定定理知，此方程（２０）有无穷多个解，从而有四阶算法是最实用的。
Ｒｌｍｇｒ龇方法中的显格式不是唯一的。我们可以尝试推出新算法，但目前为止这个
Ｒｌｌｎ雌讹方法作为最重要的单步方法，是一类具有相当实用价值的方法。它关
于初值是稳定的，其解连续地依赖于初值．它是一类便于应用的单步方法，为了计算
‰，只用到前一步的值ｙ。即可，因此每步的步长可以独立取定，可以按照绝对稳定性、
精度等项要求随时更换。常用的ＲｕｎｇＨ＜１Ｉｔｔａ方法精度较高，为了达到预定的精度，
与Ｅｕｌｅｒ方法和梯形法相比，步长办可取得大一些，求解区间上的总步数可以少一些。
但ＲｕｎｇＨａｌ舷方法也有一些缺点，比如四阶ＲｕｒＩｇｅ—Ｋｕｔｔａ方法每算一步需四次计算
厂ｋｙ）的值，计算量较大（对于较复杂的厂Ｇ，ｙ）而言）。
例用式（９），（１０），（１３）分别求解初值问题
：
ｌ譬＝），一等，ｘＥ【０，ｌ】ｊ云２），一了，膳Ｉｏ，ｌＪ
ｌ
ｊ，（ｏ）＝ｆ
解取步长五＝Ｏ，ｌ，通过公式将算出的结果列于表中
精确解
％
式（９）的解式（１０）的解式（１３＞的解
１．０９５４４６
ｙ＠，）
１．０９５４４５
Ｏ．１１．０９５６２５１．０９５９０９
１２
东北９币范大学硕士学位论文
Ｏ．２Ｏ．３Ｏ．４Ｏ．５０．６Ｄ．７Ｏ．８０．９１．Ｏ
１．１８３５７２１．２６５４４９１．３４２３７４１．４１５１６２１．４８４４３１
１．１８４０９７１．２６６２０ｌ１．３４７３６０１．４１６４０２１．４８５９５６１．５５２５１４１．６１６４７５１。６７８１６７１．７３７８６８
１．１８３２】７１．２６４９１２１．３４１６４２１．４１４２１５１．４８３２４２ｌ，５４９１９６１．６１２４５５ｌ。６７３３２４１。７３２０５６
１．１８３２】６１．２６４９１１１．３４１６４１１．４１４２１４１．４８３２４０１．５４９１９３１．６１２４５２１，６７３３２０ｌ。７３２０５ｌ
１．５５０６６３
１．６１４２４６１．６７５４９３１．７３４６７１
从表中可以看出’。式（９）确实比式（１０）精确，但二者都有３位有效数字；式（１３）
有６位有效数字，比式（９）和（１０）精确得多，这与误差阶的分析是一致的。但式（１３）
的计算量比二阶Ｒｕｎｇ州：傩ａ方法的要大一倍左右。
对于一步法而言，Ｅｕｌｅｒ方法虽然简单，易于分析，但因为精确度不高，当步长取定后，步数愈多，误差愈大，实际上它已经很少用了。由Ｔａｙｌｏｆ级数法导出Ｅｕｌｅｒ方法时
知，它为一阶方法。向后Ｅｕｌｅｆ方法是一个二阶方法，较Ｅｕｌｃｒ方法提高了精确度，９一～
法是Ｅｍｅｒ方法与向后Ｅｕｌｅｒ方法的一个加权平均，可知其也是一个二阶方法。预测校
正法是向后Ｅｕｌｅｒ方法的一个改进，可见它较前面提到的方法有较好的近似。Ｒｕｎｇｅ一
精确度更高。
№方法是现今使用较为广泛的一种方法，现在已经推广到高于４阶的方法，它们的
二、多步法
只要给定初值，利用单步法就可以进行计算，这是它的优点，但这也是它的缺点。
由于它只利用前一步的值，所以，为了提高精度，就需要增加一些非节点处的函数胞），）
●
值的计算，Ｒｕｎｇｅ＿．］Ｋｕ瓶方法就是通过这种途径提高单步法的精度的。这样做就使计算量增加了许多。这里弓ｌ入多步法，它在计算量增加不多的情况下可取得较高的精确度。
通过泰勒展开法，数值积分法与待定系数法可构造线性多步方法的计算公式。这里
说明常用的四阶阿达姆斯（Ａｄ啪ｓ）外插、内插公式。
（一）阿达姆斯（Ａｄａｍｓ）外插公式——显式方法
‰＝％＋矗［靠厂（矗，虼）＋‰’厂（‰，‰）＋．．。＋％厂（毛叫儿．ｇ）］，
岛
＝
￡
（龇ｌ∥．留）．崭。ｎ嚣
Ａｄａｍｓ显式公式系数表
１３
‘２２）
东北师范大学硕士学位论文
岛
ｊ＝ｏ
１
２３４
风
２展。
１
３－ｌ
１２忍，
２４屈ｌ７２０压ｆ
２３
５５
・１６５
－５９
３７
２６１６
—９
１９０ｌ－２７７４－１２７４２５１
在Ａｄａｍｓ显式方法中，最常用的是９＝３情形：
ｙ州＝蚝＋缶【５５厂Ｇ。，％）一５９厂ｋ＿，以一。）＋３７厂Ｇ柚，‰：）一９厂ｋ旬，‰，）】（２３）
（，ｚ＝３，４，５，．．．）
上式为线性四阶阿达姆斯显式公式，也叫阿达姆斯外插公式。因为它要用到前面四个节
点上的厂Ｇ，ｙ）值，是一种最常用的多步算法，其精度为四阶。
（二）阿达姆斯（Ａｄ盒ｍｓ）内插公式——臆式方法
ｙ，件。＝“＋办陂。厂Ｇ槲，虬ｑ）＋岛。厂ｋ，％）＋…＋艮厂ｋ州，虼州）ｊ
岛＝￡杂嵩ｏ＝ｏ＇ｌ，…拿），
Ａｄａ瑚ｓ隐式公式系数衷
Ｑ４）
岛
ｆ＝ｏｌ２３４
风
２层ｆ１２履Ｉ。２４属ｊ７２０屈，
９
。
ｌ
ｌ
ｌ
５
８－ｌ
１９－５ｌ
２５１６４６．２６４１０６—１９
在Ａｄ锄ｓ隐式方法中，最常用的是ｇ＝３的情形：
ｊ，斛。＝儿＋缶【９／ｋ小儿＋。）＋１９厂Ｇ打，虬）一５／ｂ，“，儿。）＋厂（吒、：，ｙ砘）】
１４
（２５）
上式为线性四阶阿达姆斯隐式公式，也叫阿达姆斯内插公式。因为它要用到前面三个节
东北师范大学硕士学位论文
点上的厂ｂ，ｙ）值，是一种最常用的多步算法，其精度却为四阶。
阿达姆斯方法显式与隐式的比较如下：
（１）同一阶数下，隐式的局部截断误差的系数的绝对值比显式的要小；（２）显式的计算工作量比隐式的小；
（３）隐式的稳定范围比显式的大。
例试分别用阿达姆斯四阶显式和隐式方法求解下列初值问题，并比较两者所得结果的精度：
』象一弘工∈【ｏ＇ｌ】
【ｊ，（ｏ）＝１，
解取步长办＝Ｏ．１，通过公式将算出的结果列于表中
四阶显式方法
五
ｙ｜
Ｏ．３
四阶隐式方法
ｙ｜
Ｏ．７４０８１８００６
精确解
Ｉ以，）一ＭＩ
２．８７３Ｅ．６
４．８１５Ｅ．６６。７７０Ｅ。６８．０８８Ｅ．６９．１９０Ｅ．６９．９５２Ｅ．６１．０５１Ｅ．５
｜ｙ“）一乃ｌ
２．１４Ｅ．７
如）
Ｏ．７４０８１８２２０
０．４
Ｏ．５Ｏ．６Ｏ．７Ｏ．８Ｏ．９ｌ
Ｏ．６７０３２２９１９０．６７０３１９６６ｌＯ．６０６５０１３８０．５４８８ｌ１００７Ｏ．４９６５８４５９２Ｏ．４４９３２８１９１Ｏ．４０６５６８８４４０．３６７８７８５９８
３．８５Ｅ．７
５．２ｌＥ．７６．２９Ｅ．７７．１１Ｅ．７７．７３Ｅ－７８．１５Ｅ．７８．４３Ｅ．７
Ｏ．６７０３２００４６
Ｏ．６０６５３０６５９Ｏ。５４８８１１６３６０．４９６５８５３０３Ｏ．４４９３２８９６４
０．６０６５３５４７４
０．５４８８１８４０６Ｏ．４９６５９３３９１Ｏ．４４９３３８１５４０．４０６５７９６１ｌ
Ｏ．４０６５６９６５９
Ｏ．３６７８７９４４ｌ
０．３６７８８９９５５
从表中可以看到：隐式的精度比同阶显式的要高。（三）Ａｄａｍｓ四阶预测——校正格式（ＰＥＣＥ模式）
将阿达姆斯方法显式与隐式方法作一对比，以说明预测——Ｉ校正格式的必要性。这些方法的阶及误差常数列表如下：
阶９误差常数Ｃ。＋ｌ
隐式
２
步数
显式
ｌ
ｌ
显式
ｌ
－—－
隐式
ｌ１２
２
．．
东北师范大学硕士学位论文
．
２２
，
３
．５１２
ｌ２４１９７２０３１６０
３３４
３
—－
８２５１
４
４
５
７２０
由于阿达姆斯内插公式是隐式公式，故用它计算时也需用迭代法。通常把阿达姆斯外插公式与内插公式结合起来使用，先由前者提供初值，再由后者进行修正，即
沙～
（“
ｊ（＾ｙ
＋刍［５５厂（％，炸）一５９厂（％小％．，）＋３７厂（％以，以一：）一９厂（稚，，蚝．，）］》蝉ｋ％＋刍［９．厂（％小ｙ鬟）＋１９厂（矗，虬）一５厂（％。，％．，）＋厂（％巾Ｍ心）］
）
＝
以
（露＝０，ｌ，２，＂。：
刀＝３，４，５…．）
（２６）
对于上述迭代式（２６）只进行迭代一次，便得到Ａ．ｄ鼬ｓ四阶预测——校正
ｙ２＝蚝＋刍［５５厂（＿，虬）一５９厂（％小儿一，）＋３Ｖ（矗巾虬一。）一９厂（‰，％≈皑＝Ｍ＋寺［９厂（毛小蟛）＋１９厂（毛，以）一５厂（毫。，“．，）＋厂（矗巾蚝．：）］
（，２＝３，４，５，．．．）
．
订川
（２７）
与Ｒ锄ｇｅ—Ｋ滞ａ方法相比，线性多步方法每步计算右端函数舷ｙ）的次数确实显
著减少！若用显式公式，每步只计算一次／Ｇ，ｙ）的值；若用校正格式，每步只计算二次
厂Ｇ，ｙ）的值，比四阶ｍｌ刚ｕ．ｔｔａ方法少一半。因此，线性多步法适用于求解步数较
多的情形。
１６
东北师范大学硕士学位论文
第三章常微分方程模型数值解法在数学建模中的应用
一、耐用消费新产品的销售规律模型
（一）问题的提出
新产品进入市场后，一般会经历一个销售量逐渐增加然后逐渐下降的过程。据此在时间一销售坐标系给出的曲线称为产品的生命曲线，其形状呈钟型。然而对于耐用消费品，情况有所不同，其生命曲线在开始有一个小的高峰，然后是一段平坦的曲线，甚至会下降，而后再次上升，达到高峰，从而呈双峰形曲线。
如何解释这一似乎与传统的产品生命曲线理论相矛盾的现象昵？澳大利亚的斯蒂芬斯和莫赛观察到购买耐用消费品的人大致可以分为两类：一类是十分善于接受新事物的，称为“创新型”顾客，他们往往从产品的广告，制造商提供的产品说明书和商店的样品了解了产品的功能和性能后立即决定是否购买；另一类顾客则相对比较保守，称为“模仿型＂顾客，他们要根据若干已购买该商品的用户的实际使用经验所提供的口头信息来决定是否购买。本节经过细致的分析，建立数学模型，对这一现象做出了科学的解释。
（二）模型的构建
将消费者获得的信息分为两类，一类称为“搜集型’’’的，来自广告、产品说明、样品，“创新型”的顾客在获得此类信息就可以做出是否购买的决定：另一类信息称为“体验型”的，即用户使用后获得的实际体验，经常以口头形式传播，“模仿型＂顾客在获得此类信息后方能决定购买与否。
设Ｋ为潜在的用户总数，Ｋ，和置：分别为其中的“创新型”和“模仿型’’人数，又设ⅣＯ）为时刻ｆ已购买商品的顾客数，而ⅣｌＯ）和Ⅳ２（ｆ）分别表示其中的“创新型＂和“模仿型＂顾客数，设４０）为时刻ｆ中已经获得“搜集型’’信息的人数，那么由于这部分信息可以直接从外部获得，也可以已经获得这种信息的人群中获得，于是有类似于巴斯模型的建立有
兰鍪尘＝（葺一４（ｆ））（％＋％４ｏ）），彳（ｏ）：ｏ，碗，吃＞ｏ，（１）
由于获得了“搜集型’’信息的“创新型＂顾客立即决定是否购买，于是应有
丝鍪尘＝（蜀一Ｍ（ｒ））（口＋肌（ｆ）），Ｍ（ｏ）：ｏ，口，∥＞ｏ，（２）
对“模仿型’’顾客，可以从已购买该商品的“创新型”或“模仿型＂顾客中得到信１７
东北师范大学硕士学位论文
息，因此有
型磐：厂（如一Ⅳ２（ｆ））（Ⅳｌ（ｒ）＋Ⅳ２（ｆ）），ｙ＞ｏ，
综上，斯蒂芬斯一莫赛模型是一常微分方程组的初值问题模型：（３）这里，忽略了顾客购买该商品后需要有一段短暂的试用才会传播体验信息的滞后作用。
掣＝（足。一ⅣＩ（忡＋卢Ｍ（ｒ）），掣＝ｙ（Ｋ：一Ⅳ２（ｒ））（Ⅳｌ（ｒ）＋Ⅳ２（｛）），
Ｍ（ｏ）＝０’Ⅳ２（ｏ）＝ｏ．
两Ⅳ◇）＝ⅣＩ章）＋Ｍ◇）为时刻｝购买该商品的总人数。
（三）模型的求解
很容易求出斯蒂芬斯一莫赛模型中的解析解。（４）
其中Ⅳ１１０ｆ），口表示外部信息使“创新型”顾客购买新产品的比率；去胚。表示口传信息使“创新型”顾客购买新产品的比率；去心表示口传信息使“模仿型’’顾客购买新产品的比率。
对于斯蒂芬斯一莫赛模型中Ⅳ２（ｒ）的解析解则不能求出，于是可以用Ａｄ锄ｓ四阶预测——饺正公式求得，即使用
ｌ磺＝虬＋缶［５５厂（乙，Ｍ）一５９厂（‰，“ｔ）＋３７厂（。２，虬五）一９／（气巾Ｍ．ｓ）］，
１嘲＝帆＋刍［９厂（‰。碟）＋１９厂（厶，Ｈ）一５厂雠．，心ｔ）＋／（‰，Ｍ—ｚ）］，
【，ｌ＝３，４，５，．．．
求得，且在它的精度要求达到很高情形下求出Ⅳ２０）。利用上述公式给出的数值算法，通过数学软件实现。具体程序如下：
设方程（３）中的Ⅳ２（ｒ）＝ｙ，７，＝ａ，七：地，ⅣｌＯ）≈ｂ．于是有下面程序：
ｓ＝ｄｓｏｌｖｅ（’Ｄｙ＝ａ砖ｂ木Ｋ２一ａ砖ｂ宰ｙ＋ａ串Ｋ２木ｙ—ａ枣ｙ‘２，ｙ（０）：Ｏ’）
Ｓ＝
（Ｋ２，ｌｃｅｘｐ（ｔ，Ｉｃａ水ｂ＋ｔ木ａ水Ｋ２＋１０９（ｂ／Ｋ２）／（ｂ＋Ｋ２），ｌｃｂ＋１０９（ｂ／Ｋ２）／（ｂ＋Ｋ２）水Ｋ２）一ｂ）／１３
东北师范大学硕士学位论文
（１＋ｅｘｐ（ｔ木ａ木ｂ＋ｔ木ａ冰Ｋ２＋１０９（ｂ／Ｋ２）／（ｂ＋Ｋ２）书ｂ＋１０９（ｂ／Ｋ２）／（ｂ＋Ｋ２）冰Ｋ２））
二、司机饮酒驾车防避模型的数值解法，
在２００４年全国大学生数学建模竞赛题中有一个关于司机饮酒驾车模型。
问题的提出
《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量闽值与检验》国家新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于２０毫克／百毫升，小于８０毫克／百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于８０毫克／百毫升为醉酒驾车。
大李在中午１２点喝了一瓶啤酒，下午６点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨２点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：
１．对大李碰到的情况做出解释：
２．在喝了３瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：
１）酒是在很短时间内喝的；
２）酒是在较长一段时间（比如２小时）内喝的。
３．怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。
４．根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？
５．根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。
参考数据
１，人的体液占人的体重的６５％至７０％，其中血液只占体重的７％左右：而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。
２．体重约７０ｋｇ的某人在短时间内喝下２瓶啤滔后，隔一定时间测量他的血液中滔精含量（毫克／百毫升），得到数据如下；
时间（小时）Ｏ．２５Ｏ．５Ｏ．７５１１．５２２．５３３．５４４。５５
酒精含量３０６８７５８２８２７７６８６８５８５ｌ５０４１
时间（小时）６７８９１０１１１２１３１４１５１６
酒精含量３８３５２８２５１８１５１２１０７７４
模型假设
ｌ、驾驶司机没有其他疾病，消化系统良好，属于健康人群，其体重为７０ｋｇ左右。２、酒精在人体内的循环系统分为胃腔系统（系统Ｉ）和体液系统（系统ＩＩ），两个系统的容积（即血液体积或酒精分布容积）在过程中保持不变。
３、酒精从系统Ｉ向系统ＩＩ的转移的速率系数，及向体外的排出的速率系数，与该系统的酒精浓度成正比，这两个速率系数毛、也是由人体的身体机能所决定的常数。
４、循环过程只考虑由体外进入胃腔，再由胃腔进入体液，最后由体液排除体外。不考虑人体其他机体对酒精的吸收，体液的变化可以忽略而保持一定。】９
５、符号说明：
兀：酒精进入胃腔的速率，
ｆ：测试时间（小时）
气：饮酒时间（小时）设为常数
墨（ｆ）：ｒ时刻人体胃腔中的酒精含量（毫克／百毫升）
Ｄｏ：胃腔中初始酒精量（毫克）
Ｄｌ：刚喝完酒时胃腔中的酒精量（毫克）
厩：酒精由胃腔转移至体液的速率系数
乞：酒精由体液排出体外的速率系数
石：（ｒ）：酒精由胃腔转移至体液的转移速率（毫克／小时）
屹（ｆ）：，肘刻人体体液中的酒精含量（毫克／百毫升）
ｃ２（ｆ）：ｆ时刻人体体液中酒精浓度（毫克／百毫升）
矿：人体体液的体积（百毫升）
屯（ｏ）：体液系统中初始酒精浓度（毫克／百毫升）记为Ｃｏ
厶（ｆ）：酒精排出体外的速率（毫克／小时）
模型建立
由酒精在人体内吸收、转移规律的特点，应用药物动力学原理建立人体内胃腔与体液循环系统模型，可用微分方程描述其动态过程。一般情况…长时间饮酒，原身体内有残余酒精
进入—垄璺屿体外，１）胃腔系统过程：
酒精含量ｊｃｌ（ｒ），初
当０＜ｆ≤ｆｏ时，有
ｆ爿（ｆ）＝一鼻墨（，）＋石，
１．墨（ｏ）＝Ｄｏ．求解得到（１）
当ｆ＞ｆｏ时ｔ有
Ｒ（ｆ）＝一毛五（ｒ），ｌ－五（ｏ）＝ＤＩ．
解得
毛Ｏ）＝ＤＩｅ一向（，－，ｏ）。
综合（１）、（２）得到
五９）：｛鲁＋（Ｄｏ一鲁）ｇ一南“），ｒ？［。，ｆ０），
ｌｑ８喝“嘞’，ｒ∈［ｆｏ，＋ａｏ）．
于是
肿Ｍ加，＝譬懋．－．，”：主‰．
２）体液系统过程：
酒精含量ｊｃ２（ｒ），体液矿，酒精浓度Ｃ２（ｆ），初始屯（０）＝Ｇ，则有
五妒肛乞碘），ｃ２（ｒ）＝等，
』ｑ（ｆ）＝等一乞Ｃ２（ｆ），
【Ｃ２（ｏ）量ｃ１．
当０≤ｆ≤『０时，有
令彳＝垂，Ｂ：热，则啪，＝惫＋躐窖嘶＋［ＣＩ＿惫一躺卜：
’％矿（与一如）一
ｃ：Ｏ）＝么＋眈’即＋（Ｃｌ一４一Ｂｋ一幻．
当，＞岛时，
鼬，娟＋矗％芦纵心）一痞％ｅ州…・
２ｌ（２）（３）（４）（５）
令４＝鼎’则
于是
一，。、东北师范大学硕士学位论文ｃ２ｐ）＝（Ｃ：＋４）ｇ一如‘’吨’一４ｅ。屯‘’咱’，删２｛（Ｃｌ圳ｇ毒：：，砷ｉ¨，。，矗■）
对于短时间饮酒，体内有残余酒精可以解释如下：
气＝０，Ｃｏ≠Ｏ，Ｄｏ≠Ｏ，从而ｆ爿＋Ｂｅ一即＋（ｃｊ—Ａ—Ｂ）ｅ’印，ｆ∈【ｏ，气】，
ｃ２（ｆ）＝（Ｇ＋鸣）ｇ一啄一孝。即，
即Ｃ２（ｆ）＝Ｃｏｅ一即＋４（ｅ一即一ｇ一即）
模型求解（６）
上述模型的表达式（１），（２），（４）均可归结为常微分方程初值问题，对于其解可用上面介绍的数值解法的方法给出。在这里给出了一个计算数值解的程序。
在模型中考虑长时间饮酒的情况，用ＭＡＴＬＡＢ计算出，当大李饮酒的时间达到１．８６５个小时，检测时其酒精含量是２０．０２７６毫克／百毫升，正好超标。
大李短时间继续饮酒８小时后体内酒精含量（对于上式（６）的求解程序）
ｋ１＝１．８１００：
ｋ２＝０．２１００：
ＤＯ＝５１２００／２＋Ｏ．０１３２：
ｃ０＝１８．３４０４：
ｔ＝８：
ａ＝（ｋ１幸Ｄ０）／（ｖ木（ｋｌ—ｋ２））：
ｃ＝ｃ０宰ｅｘｐ（一ｋ２宰ｔ）＋ａ宰（ｅｘｐ（一ｋ２％ｔ）一ｅｘｐ（一ｋｌ宰ｔ））
运行结果：
ｃ＝１５．４６９５
大李长时间饮酒后体内酒精含量（对于上式（５）的求解程序）
ｋｌ＝１．８ｌＯＯ
ｋ２＝０．２ｌＯＯ
ｖ：４４７．８６７
ｔＯ＝１．８６５
ｔ＝８
ｄＯ＝０．０１３２
ｆ０＝５１２００／４
ｃＯ＝１８．３４０４
ａ＝ｆＯ／（ｖ木ｋ２）
ｂ＝（ｆＯ—ｋ１）／（ｖ木（ｋｌ—ｋ２））
ｄｌ＝ｆ０／ｋ１＋（ｄＯ—ｆ０／ｋ１）木ｅｘｐ（一ｋ１木ｔ）
ｃｌ＝ｃＯ＋ａ＋ｂ术ｅｘｐ（一ｋｌ木ｔ）＋（ｃＯ—ａ—ｂ）木ｅｘｐ（一ｋ２宰ｔ０）
ａｌ＝ｄ１／（ｙ术（ｋ１一ｋ２））２２
东北师范大学硕士学位论文
ｃ＝（ｃ１＋ａ１）宰ｅｘｐ（－ｋ２木（ｔ—ｔＯ））一ａ１木ｅｘｐ（一ｋ１宰（ｔ—ｔＯ））
运行结果：
ｃ＝２０．０２７６
模型评价
１、本模型成功剖析了一部分想喝酒驾车的司机人员的心理。他们总想侥幸，然而事实不允许他们这么做，我们所做的工作让他们的这种心理无迹可遁，对促进交通安全也不无贡献。
缺点：没有考虑其他可能的因素给饮酒驾车问题带来的影响，比如人的体重、
司机的健康状况、交警检验程序不够科学等。求得的方案也许并不是最优的，但是相比之下比较满意的。２、
诚恳建议
广大的司机朋友们，为了您和他人的安全。请不要酒后驾车。但适量饮酒有助于健康。如果您是一位酒精爱好者，在一定的条件下，只要符合新的检验标准，饮酒也是无可厚非的，在这里根据我们所建立的饮酒驾车模型，得出血液的酒精随时间变化的关系。经分析，计算，检验基本符合实际情况。特向您诚肯地提供一些建议：
当您辛苦了一天，晚上归来时，在保证至少６小时的休息时间的前提下，适当噶些酒，是不影响第二天工作的，但不要连续喝酒，更不要酒后驾车。
有关数据附下，供您参考。
以喝啤酒为依据，经过挖小时后可以驾车，其与瓶数的关系如下表：
饮酒量
（瓶）
时间刀
（小时）６ｌＯ１２１３ｌ２３４５●６７８９１０１１１２１４１５１６１６１７１７１８１８
备注：３瓶啤酒相当于半斤低度白酒
模型推广
严禁酒后驾车？现有动力系统模型基本解决驾驶员饮酒量与停驾时间量化分析的交通难题，对驾驶员掌握驾驶时机有重要意义；模型的实际应用是当今社会非常急需，酒后驾车者被视为公路第一杀手；应用课题：如驾驶员饮酒量与停驾时间量化分析，驾驶员理论培训．肇事时血液中酒精浓度的反推算，车保赔偿等的研究。我们将研究初步结果送到相关单位专家手中，听取他们的意见。他们是本项目涉及到的实际应用领域的执行者和评判者。确切地说，他们的意见对我们进一步如何完善模型是非常有积极意义的。根据他们对该研究初步结果提出的宝贵意见：
１、对于酒后驾驶的安全性，保险对酒后肇事的赔付等有着指导作用。
２、对于法医学中所用的血中乙醇浓度反推生前饮酒量有意义。
３、实验严谨，结论有明显的对比性．对于酒精在人体内的代谢浓度，有较完整数据。４、在“严禁酒后驾车’’、“酒后驾车肇事不予赔偿”的规定和现实之间寻求一种合情合理又合法的新途径，提出了“安全饮酒”的新概念。
东北师范大学硕士学位论文
５、“酒后安全驾车时刻表”，对于有效地预防和避免交通事故的发生有者一定的积极意义。
６、研究提供了更科学、数字化地判断驾驶员是否应该驾车的依据，有利于解决驾驶员饮酒量与停驾时间量化分析的交通执法难题。
对于上述宝贵意见，我｛『碹隶合分析后，找到进一步深化、提高、拓广研究的途径。
由于模型研究中存在一个重要的假设，即酒精在各人体中的吸收、消除速率基本相同，该假设为小概率事件。
事实上人对酒精的吸收与代谢的各项个体差异显著，尤其是乙醇脱氢酶的个体差异非常显著；
提出以下研究设想。
动力系统模型中考虑乙醇脱氢酶因素；探讨驾驶员反应曲线与安全驾车的关系。根据专家意见，我们对在交通执法中的一大难题，肇事时体内酒精浓度的反推算问题方面再作了一些深入的研究。此外，由于呼吸式酒精测试仪的局限性和误差，我们大胆提出应用于机动车辆的手持感应酒精测试仪的研制设想，并提出将该模型方法用于其它手工操作的机械业，以及在医学、农学、养殖业等其他领域的相关研究设想，进一步完善模型的相关内容。
论文不可避免地存在着一些不妥或不完善之处，严重制约着其成果的应用和推广（推销）。
另外众所周知，２００８奥运会落户北京，田径、游泳比赛中的药检一直是个头疼问题，通过本模型的研究，对付药检也并非难事，估计出运动员最初服药时间，便可以计算出药血液浓度达到最高的时问．从而对其突击检查，保证了比赛豹公平。具有很高的实用价值。
东北师范大学硕士学位论文
结语
掌握并灵活运用上述数值解法对于求解常微分方程模型中的数值解有着重要的意义。本文通过对常微分方程初值问题各数值解法从理论上系统的分析其优缺点，并使用数学建模中的数值例子进行了验证。在今后的数学建模实践中，对于常微分方程模型的数值解的解法已经融会贯通，在短时间内能够快速判断其数值解的方法，从而为建模工作顺利完成奠定坚实的理论基础。
数值解求解常微分方程模型有着重要的意义，我们应该在不断探索其解法的前提下，创新出更适用的软件来解决实际算法问题。有待于进一步研究。
东北师范大学硕士学位论文
参考文献
【１】徐萃徽。孙绳武，计算方法引论（第二版）北京：高等教育出版社，２００２．１
【２】易大义，沈云宝，李有法．计算方法．杭州：浙江大学出版社，１９８９．Ｉｌ
（３】李信真，车剐明，欧阳洁，封建湖．计算方法．西安：西北工业大学出版社，２０００．８［４】胡祖炽．计算方法．【Ｍ】，北京：高等教育出版社，１９５９
【５１封建湖．计算方法典型题分析解集【Ｍ】．西安：西北工业大学出版社．２０∞
【６】冯康．数值计算方法口订］杭州：浙江大学出版社，２００３
【７］林成森．数值计算方法【Ｍ】．上海：科学出版社，１９９９
［８］李庆扬，关治．白峰杉．数值计算原理．北京：清华大学出版杜，２０００
【９】蔡大用擞值分析与实验呻】．北京：清华大学出版社，２００１
［１０】李庆扬，王能超，易大义数值分析【Ｍ】，北京：清华大学出版社．施普林格出版社，２００１
【１１博尔雄，赵风光．数值逼近【Ｍ】．上海：复旦大学出版社，１９９６
【ｔ２】李荣华，冯果忱，微分方程数值解法（第三版）【Ｍ｝北京：高等教育出版社，１９９６
【１３】胡健伟ｔ汤怀民．微分方程数值解法（第二版）．北京；科学出版社．２００７ｆ１４】李立康，於祟华，朱政华．微分方程数值解法［Ｍ】．上海：复旦大学出版社，１９９９
【１５】Ｃ．ｗ｜吉尔常微分方程初值问题的数值解法【Ｍ】．费景高译．北京；科学出版社，１９７８［１６】陆金甫，关治．偏微分方程数值解法ｆＭ】＋北京：清华大学出版社，１９８７
【１７］楼顺天，于卫，闫华梁．Ｍ棚ＡＢ程序设计语言西安：西安电子科技大学出版社．１９９７．８
【１８］马知恩，周义仓．常微分方程定性与稳定性方法．北京：科学出版社，２∞７．１
【１９】ｆ美】莫里斯．克菜因，古今数学思想．朱学贤等译．上海：上海科学技术出版社，２００２．８［２０】吴文俊．世界著名数学家传记：上集【Ｍ】．北京：科学出版社，１９９５［２ｌ】Ｒ．Ｄ．ｍ咖ｒ’
集，大连，１９９６．８Ｋ．ＷＭｏ＾ｏｎ｛Ｄｍ瑚】ｃｅＭｅｍｏｄｓｏｆｈｉｔｉａｌｖａｌ噼Ｐｒｏｂｌｅｍｓ，１９７６【２２】Ｃｈ∞ＣｈｕａＩｌ：畦ａｏ：Ｌｏｎｇｔｉｒ趾Ｃ伽４ｐｕ＿ｔ￡Ｉｔｉ蚀ｆ缸“出ｌＶａｈ坤Ｐｒｏｂｌｅｎｌｓ，第三次中日计算数学讨论论文
［２３ＨＫｏｔｏ．蛐ｉｌｉ可ｏｆＲ吼ｇｅ弛姚ｌＭｅ廿坳ｄｓｆｊ）ｒＤｅｌ８ｙｎｅ眦ｄｉ彘擒１ｔｉａｌＥｑｕ“∞ｓ．ＪＣＪ州．２００２
Ｉｒ】钯ｇ阳ｔｉｏｎ［２４ⅡＣ．Ｂｕｔｃｈ越Ｃｏｅ伍ｃｉ∞ｔｓｆｏｒ吐璩ＳｔｕｄｙｏｆＲｕｒ】ｇｏ沁ｔｔａＰｒｏｃｅｓ辩ｓ．Ｊ．Ａｕｓ廿ａ１．Ｍａ血．Ｓｏｃ．１９６３
【２５】Ｊｃ．Ｂｕｔｃ衄ＩｒｎｐｌｉｃｉｔＲ：ｕｎｇｅ－Ｉ沁ｔａＰｒｏｃｅｓｓｅｓ．Ｍ拙．Ｃｏｍｐ．１９６４
［２６珲Ｈａ面＿，Ｇｗａ肋壮。工ｌｔｈｅＢｕｔｃｋＧｍ叩ａｎｄＧ翱啪ＩＭｕｌｔｉｓｔｅｐ
［２７】（聊峡ＣＷＮｕ工ｎｅｒｉｃ出埘ｔｉａｌⅧｕｅＭｅ血。出．ＢＩＴｌ９７８Ｐｒｏｂｌｅ船证伽啦Ｄｉ魁ｒ衄ｔｉａｌＥｑ嘶ｏｍ［ｚ】，１９７ｌ
ｏｆ【２８］Ｍ．Ｓｏ鼬ｉｏ啦“ＳｙＩｎｂｏｌｉｃ
ＣｏｍｐｕｔａｔｉＤｎ，１９９４ＤｅｒｉＶａｔｉｏｎＲ哪ｅ－蛋：ｍｔａ
２６ｈ在ｅｍｏ出”哪，ＪｃＩ岫ａｌｏｆＳｙｍｂ０１ｉｃ
东北师范大学硕士学位论文
ｆ２９】Ｈ．Ｊｅ攒．ｅｙｓ，Ｂ，ｓ，，“曩１ｅＬｉｐｓｃｈｉ乇乙Ｃｏｎ出ｔｉ。ｎ”３
Ｐｒｅｓｓ，１９８８ｒｄｅｄ．ｆＭ】，Ｃ蜘撕ｄｇｅ．＆矧嬲ｄ，ｅａｍｈ记ｇｅＵｎｉｖｅｒｓｉ锣
【３０】Ｄｏ肌ａｎｄ’Ｊ．Ｒ．锄ｄ
１ＰＪ．Ｐ血ｃｅ，“Ａ伽血ｌｙｏｆｅＨｌｂｅｄｄｅｄＲ啪ｇｃ，融嫩ａｆ０１ｌｍ＿ｕ】∞”【Ｊ】，ｃｏｍｐ．Ａｐｐｌ，Ｍａｍ．９§ｏ２７
东北师范大学硕士学位论文
后记
首先感谢我的导师李佐锋教授的悉心指导，本人在研究生期间，不论在生活上还是在学习上，都得到了李老师的关心与照顾。李老师学识渊博、基础扎实、十分乐观的生活态度使我十分敬佩。他两年来的谆谆教导使我获益良多。在此特向李老师致以衷心的感谢。
在研究生学习期间，老师们严谨的科研作风，敏锐的思维，忘我的工作精神和高度的责任心使我受益匪浅。他们的传授为我们研究微分方程打下了良好的基础。
在此学位论文完成之际，特向两年来学习上、工作上给与我真诚关怀和无私帮助的老师们表示最由衷的感谢和敬意。
感谢同学们在生活上的关心与照顾，在学业上的鼓励与支持。
最后感谢我的父母与家人长期以来对我无私的关爱和支持ｌ他们不求回报的爱是我学习的最大动力，他们的付出我将铭刻于心。２８
常微分方程数值解法及其应用
作者：
学位授予单位：李晓红东北师范大学
相似文献(3条)
1.期刊论文 张贻民.梁明.ZHANG Yi-min.LIANG Ming 数学建模的几种基本预测方法的探讨 -茂名学院学报2006,16(6)
针对学生在建立预测模型时不能准确判别使用合适的预测模型,归纳了几种使用较多的预测方法:微分方程模型、时间序列方法、灰色预测和BP神经网络.对每种预测模型做了简单的介绍分析和适当地对某些模型进行了改进,总结了相应的优缺点以及各自适用的预测范围.
2.期刊论文 马良宏.李星.詹亮.MA Liang-hong.LI Xing.ZHAN Liang 阻滞增长模型在奥运会撑杆跳高冠军成绩预测中的应用 -武汉体育学院学报2008,42(9)
采用数学建模理论对历届奥运会男子撑杆跳高运动员的金牌成绩进行统计分析,运用拟合模型和常微分方程模型对未来撑杆跳高竞赛项目的最好成绩进行预测,以期为拓宽数学建模在体育领域的应用范围提供一定的依据.
3.期刊论文 郝玉徽.杨攀.王振华.杨帆.HAO Yu-hui.YANG Pan.WANG Zheng-hua.YANG Fan 易拉罐形状和尺寸的最优设计模型 -大学数学2009,25(2)
用游标卡尺测量了当前流行的几种易拉罐饮料尺寸参数,然后建立微分方程模型和规划模型,借助MATLAB 6.5, LINGO 8.0编程求解出了易拉罐为正圆柱体、圆台和圆柱体的组合体时的最优设计.最后综合经济、美观、实用等因素,运用非线性规划和层次分析法得出设想中易拉罐的最佳设计,对2006"高教社杯"全国数学建模竞赛C题中的各问题作出了完整的解答.
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Thesis_Y1266154.aspx
授权使用：西安交通大学(wfxajd)，授权号：c021bb2f-6ad8-423d-9f78-9dc101058245
下载时间：2010年7月28日