高三数学（文科） 2012.2
学校： 班级： 姓名： 成绩：
一、选择题：本大题共8小题。每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1. 全集U =R ，集合A ={x |x 2-2x ≤0}, B ={x |y =lg(1-x )}，则A B 等于（ ）
A. {x |0
B. {x |0≤x
C. {x |1
D. {x |1≤x
2．1．设复数z 满足iz =1，其中i 为虚数单位，则z =
A ．-i B ．i C ．-1 D ．1
3．下列命题中正确的是 （ ） A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为真命题 B ．“sin α=
12
”是“α=
π
6
”的充分不必要条件
C ．l 为直线，α, β为两个不同的平面, l ⊥β, α⊥β⇒l ∥α D ．命题“∀x ∈R , 2x >0”的否定是“∃x 0∈R , 2
x 0
≤0”
a 3+a 4=9，4．等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若a 1+a 2=5，则S 10的值为 （
）
D. 70
5. 如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为
A ． B ．4 C ． D ．2
图3
A. 55 B. 60 C. 65
正视图 图1
图2
6. 某程序框图如图所示，则输出的S =
A ．120 B ． 57
C ．56 D ． 26
7．若函数f (x ) =log 2(x +
(A) (-log 2
52, -1)
1x
) -a 在区间(1,2) 内有零点，则实数a 的取值范围是
(B) (1,+∞)
(C) (0,log 2
52
)
(D) (1,log 2
52
)
8. 一圆形纸片的圆心为点O , 点Q 是圆内异于O 点的一定点，点A 是圆周上一点. 把纸片折叠使点A 与Q 重合，然后展平纸片，折痕与O A 交于P 点. 当点A 运动时点P 的轨迹是
A ．圆 B ．椭圆 C ． 双曲线 D ．抛物线 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 9．已知角α的终边经过点(-4, 3) ，则cos α= ． 10． 已知A (-2, )3B (,
)1, (C 2
uu u r uuu r
2, AB 0=a , BC =b ，则), , 设
a -2b = ； cos a , b = .
11．某个容量为100的样本的频率分布直方图如图所示，则数据在区间
[8,10)上的频数是．
12．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是 ． ⎧x -y ≤0
⎪
13．若⎨x +y ≥0, z =x +2y 的最大值是3，则实数a 的值是 ．
⎪y ≤a ⎩
14．已知定义域为D 的函数y =f (x ) ，若对于任意x ∈D ，存在正数K ，都有|f (x ) |≤K |x | 成立，那么称函数y =f (x ) 是D 上的“倍约束函数”，已知下列函数：①f (x ) =2x ；
②f (x ) =2sin(x +
π
4
) ； ③f (x ) =x -2x +x ； ④f (x ) =
32
x
2
2
x +x +1
，
其中是“倍约束函数”的是_____________．（将你认为正确的函数序号都填上 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. （本小题共13分）
已知函数f (x ) =2cos 2
x 2-
x ．
（Ⅰ）求函数f (x ) 的最小正周期和值域； （Ⅱ）若α为第二象限角，且f (α-
π
3) =
13
，求
cos 2α1-tan α
的值．
16. （本小题共14分）（本小题共13分）
为了解某地区中学生的身体发育状况，拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取6个教学班进行调查. 已知甲、乙、丙三所中学分别有12，6，18个教学班. （Ⅰ）求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数；
（Ⅱ）若从抽取的6个教学班中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个教学班中
至少有1个来自甲学校的概率.
17．（本小题满分14分）
如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，D 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面B 1BCC 1； （Ⅱ）求证：A 1B ∥平面A D C 1； （Ⅲ）求三棱锥C 1-ADB 1的体积．
18．（本小题满分13分）
已知f (x ) =x ln x , g (x ) =-x +ax -3. （I ）求函数f (x ) 在[t , t +2](t >0) 上的最小值；
（II ）对一切x ∈(0, +∞), 2f (x ) ≥g (x ) 恒成立，求实数a 的取值范围.
x a
22
2
19．已知椭圆G :+
y b
22
=1(a >b >
0) 3
1的
直线l 与椭圆G 交于A , B 两点，以A B 为底边作等腰三角形，顶点为P (-3, 2) 。 （Ⅰ）求椭圆G 的方程； （Ⅱ）求 P A B 的面积。
20．（本小题满分14分）
已知数列{a n }满足a 1=
14
，a n =
a n -1
(-1)
n
a n -1-2
(n ≥2, n ∈N ) ．
⎧1n ⎫（Ⅰ）试判断数列⎨+(-1)⎬是否为等比数列，并说明理由；
a ⎩n ⎭
（Ⅱ）设c n =a n sin
T n
23
(2n -1) π
2
，数列{c n }的前n 项和为T n ．求证：对任意的n ∈N *，
．
一、选择题：每小题5分，共40分.
二11．30 12．
2
；14（1）（4）
15. （本小题共13分）
解：（Ⅰ）因为 f (x ) =1+cos x - =1+2cos(x +
π
3
x „„„„„„„1分
) ， „„3分
所以函数f (x ) 的周期为2π，值域为[-1, 3]． „„„„„5分 （Ⅱ）因为 f (α-
π
3) =
13
，
13
所以 1+2cos α=
cos 2α1-tan α
13
，即cos α=-
2
2
． „„„„„„6分
因为 =
cos α-sin αcos α-sin α
cos α
„„„„„„„8分
=cos α(cosα+sin α)
=cos α+cos αsin α， „„„„„„10分
3
2
因为α为第二象限角， 所以 sin α=． „„„„11分
所以
cos 2α1-tan α
=
19
-
9
=
1-9
． „„„„„„13分
16. （本小题共13分）
解：（Ⅰ）由已知可知在甲、乙、丙三所中学共有教学班的比是12:6:18=2:1:3， „„„„„„„„1分、 所以甲学校抽取教学班数为6⨯学班数为6⨯
36
26
=2个，乙学校抽取教学班数为6⨯
16
=1个，丙学校抽取教
=3个， „„„„„4分
所以分别抽取的教学班个数为2，1，3. „„„„5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从甲、乙、丙三所中学分别抽取2，1，3个教学班，不妨分别记为A 1，
A 2，B 1，C 1，C 2，C 3，则从6个教学班中随机抽取2个教学班的基本事件为：
(A 1, A 2) ，(A 1, B 1) ，(A 1, C 1) ，(A 1, C 2) ，(A 1, C 3) ，(A 2, B 1) ，(A 2, C 1) ，(A 2, C 2) ，(A 2, C 3) ，(B 1, C 1) ，(B 1, C 2) ，(B 1, C 3) ，(C 1, C 2) ，(C 1, C 3) ，(C 2, C 3) 共15
个. „„„7分
设“从6个教学班中随机抽取2个教学班，至少有1个来自甲学校”为事件D ，„„„8分
则事件D 包含的基本事件为：(A 1, A 2) ，(A 1, B 1) ，(A 1, C 1) ，(A 1, C 2) ，(A 1, C 3) ，
(A 2, B 1) ，(A 2, C 1) ，(A 2, C 2) ，(A 2, C 3) 共9个. „„„10分
所以 P (D ) =
915
=
35
. „„„„„„12分
所以从抽取的6个教学班中随机抽取2个，且这2个教学班中至少有1个来自甲学
校„„„„„„„13分
17. （本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱，
所以 C C 1⊥平面ABC . 又 AD ⊂平面ABC ，
所以 CC 1⊥AD . „„„„„„3分 因为 △ABC 是正三角形，D 是BC 的中点，
所以 BC ⊥AD ， „„„„„„4分 所以 AD ⊥平面B 1BCC 1. „„„„„„5分
（Ⅱ）证明：连结A 1C ，交AC 1于点O ，连结O D
.
由 ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱，
得 四边形AC C 1A 1为矩形，O 为A 1C 的中点. 又D 为BC 中点，所以O D 为△A 1BC 中位线，
所以 A 1B ∥O D ， „„„„„„8分 因为 O D ⊂平面A D C 1，A 1B ⊄平面A D C 1，
所以 A 1B ∥平面A D C 1. „„„„„„10分
（Ⅲ）解：因为 V C
1-
ADB 1
=V A -B 1DC 1， „„„„„„12分
所以
V C
1-ADB 1
=
13
S ΔB 1DC 1⋅AD =
3
. „„„„„„14分
18. （本小题共13分）
18．解：（1）f (x ) 定义域为(0, +∞)，f '(x ) =ln x +1，
⎛⎝
1⎫e ⎭
当x ∈ 0, ⎪, f '(x )
1e
当x ∈(, +∞) ，f ' (x ) >0, f (x ) 单调递增. „„„„„„„„„„„„„„2分 ①当0
1e
1e
1e
, t 无解；„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分
1e
1e
时，f (x ) min =f () =-
e
11e
； „„„„4分
≤t
时，f (x ) 在[t , t +2]上单调递增，f (x ) min =f (t ) =t ln t ；
„„„5分
⎧1
⎪-e , =⎨
⎪t ln t , ⎩
0
,
e „„„6分 1t ≥.
e
3x
(x +3)(x -1)
x
2
1
所以f (x ) min
2
（2）2x ln x ≥-x +ax -3，则a ≤2ln x +x +
，对一切x ∈(0, +∞)恒成立. „„7分
，
设h (x ) =2ln x +x +
3x
(x >0) ，则h ' (x ) =
当x ∈(0, 1), h ' (x )
当x ∈(1, +∞), h ' (x ) >0, h (x ) 单调递增. „„„„10分
h (x ) 在(0, +∞) 上，有唯一极小值h (1) ，即为最小值.
所以h (x ) min =h (1) =4，因为对一切x ∈(0, +∞), 2f (x ) ≥g (x ) 恒成成立，
所以a ≤h (x ) min =4. „„„„„„„„„„„13分 19．【解析】：（Ⅰ
）由已知得c =2
2
c a
=
3
解得a =又b =a -c =4.
222
所以椭圆G 的方程为
x
12
+
y
4
=1.
⎧y =x +m
⎪222
（Ⅱ）设直线l 的方程为y =x +m . 由⎨x 2得4x +6mx +3m -12=0. 设A 、B y
+=1⎪
4⎩12
的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2)(x 1
x 1+x 2
2
3m 4
m 4
中点为
E (x 0, y 0)
，则
x 0=
=-
, y 0=x 0+m =m
因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB. 所以
2-
PE 的斜率k =
-3+
4=-1. 解得m=2。此时方程①为4x 2+12x =0. 解得
3m 4
x 1=-3, x 2=0. 所以y 1=-1, y 2=2. 所以|AB|=32. 此时，点P （—3，2）到直线AB ：
x -y +2=0的距离d =
|-3-2+2|
2
=322
, 所以△PAB 的面积S=
12
|AB |⋅d =
92.
20．（本小题满分14分）
已知数列{a n }满足a 1=
14
，a n =
a n -1
(-1)
n
a n -1-2
(n ≥2, n ∈N ) ．
⎧1n ⎫
+(-1)⎬是否为等比数列，并说明理由； （Ⅰ）试判断数列⎨⎩a n ⎭
（Ⅱ）设c n =a n sin
T n
23
(2n -1) π
2
，数列{c n }的前n 项和为T n ．求证：对任意的n ∈N ，
*
．
解（1）由已知a n =
a n -1
(-1)
n
n
a n -1-2
2
得
1a n
1
=
(-1)n a n -1-2
a n -1
n -1
=(-1)-
n
2a n -1
,
1a n
+(-1)=2⋅(-1)-
n
a n -1
=-2[
a n -1
+(-1)
]. 又
1a 1
-1=-
34
≠0，
⎧1n ⎫故⎨+(-1)⎬为公比为-2的等比数列. …………7分 ⎩a n ⎭
（2）由（1）得
1a n
+(-1)=(4-1) ⋅(-2)
n
n -1
=3⋅(-2)
n -1
.
所以
1a n
=3⋅(-2)
n -1
-(-1)，a n =
n
1
3⋅(-2)
n -1
-(-1)
n -1
n
，
c n =a n sin
(2n -1) π
2
=
1
3⋅(-2)
n -1
-(-1)
n
⋅(-1) =
13⋅2
n -1
+1
13⋅2
n -1
.
1n
[1-() ]
21n 2所以T n
13231-
2
1
高三数学（文科） 2012.2
学校： 班级： 姓名： 成绩：
一、选择题：本大题共8小题。每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1. 全集U =R ，集合A ={x |x 2-2x ≤0}, B ={x |y =lg(1-x )}，则A B 等于（ ）
A. {x |0
B. {x |0≤x
C. {x |1
D. {x |1≤x
2．1．设复数z 满足iz =1，其中i 为虚数单位，则z =
A ．-i B ．i C ．-1 D ．1
3．下列命题中正确的是 （ ） A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为真命题 B ．“sin α=
12
”是“α=
π
6
”的充分不必要条件
C ．l 为直线，α, β为两个不同的平面, l ⊥β, α⊥β⇒l ∥α D ．命题“∀x ∈R , 2x >0”的否定是“∃x 0∈R , 2
x 0
≤0”
a 3+a 4=9，4．等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若a 1+a 2=5，则S 10的值为 （
）
D. 70
5. 如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为
A ． B ．4 C ． D ．2
图3
A. 55 B. 60 C. 65
正视图 图1
图2
6. 某程序框图如图所示，则输出的S =
A ．120 B ． 57
C ．56 D ． 26
7．若函数f (x ) =log 2(x +
(A) (-log 2
52, -1)
1x
) -a 在区间(1,2) 内有零点，则实数a 的取值范围是
(B) (1,+∞)
(C) (0,log 2
52
)
(D) (1,log 2
52
)
8. 一圆形纸片的圆心为点O , 点Q 是圆内异于O 点的一定点，点A 是圆周上一点. 把纸片折叠使点A 与Q 重合，然后展平纸片，折痕与O A 交于P 点. 当点A 运动时点P 的轨迹是
A ．圆 B ．椭圆 C ． 双曲线 D ．抛物线 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 9．已知角α的终边经过点(-4, 3) ，则cos α= ． 10． 已知A (-2, )3B (,
)1, (C 2
uu u r uuu r
2, AB 0=a , BC =b ，则), , 设
a -2b = ； cos a , b = .
11．某个容量为100的样本的频率分布直方图如图所示，则数据在区间
[8,10)上的频数是．
12．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是 ． ⎧x -y ≤0
⎪
13．若⎨x +y ≥0, z =x +2y 的最大值是3，则实数a 的值是 ．
⎪y ≤a ⎩
14．已知定义域为D 的函数y =f (x ) ，若对于任意x ∈D ，存在正数K ，都有|f (x ) |≤K |x | 成立，那么称函数y =f (x ) 是D 上的“倍约束函数”，已知下列函数：①f (x ) =2x ；
②f (x ) =2sin(x +
π
4
) ； ③f (x ) =x -2x +x ； ④f (x ) =
32
x
2
2
x +x +1
，
其中是“倍约束函数”的是_____________．（将你认为正确的函数序号都填上 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. （本小题共13分）
已知函数f (x ) =2cos 2
x 2-
x ．
（Ⅰ）求函数f (x ) 的最小正周期和值域； （Ⅱ）若α为第二象限角，且f (α-
π
3) =
13
，求
cos 2α1-tan α
的值．
16. （本小题共14分）（本小题共13分）
为了解某地区中学生的身体发育状况，拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取6个教学班进行调查. 已知甲、乙、丙三所中学分别有12，6，18个教学班. （Ⅰ）求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数；
（Ⅱ）若从抽取的6个教学班中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个教学班中
至少有1个来自甲学校的概率.
17．（本小题满分14分）
如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，D 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面B 1BCC 1； （Ⅱ）求证：A 1B ∥平面A D C 1； （Ⅲ）求三棱锥C 1-ADB 1的体积．
18．（本小题满分13分）
已知f (x ) =x ln x , g (x ) =-x +ax -3. （I ）求函数f (x ) 在[t , t +2](t >0) 上的最小值；
（II ）对一切x ∈(0, +∞), 2f (x ) ≥g (x ) 恒成立，求实数a 的取值范围.
x a
22
2
19．已知椭圆G :+
y b
22
=1(a >b >
0) 3
1的
直线l 与椭圆G 交于A , B 两点，以A B 为底边作等腰三角形，顶点为P (-3, 2) 。 （Ⅰ）求椭圆G 的方程； （Ⅱ）求 P A B 的面积。
20．（本小题满分14分）
已知数列{a n }满足a 1=
14
，a n =
a n -1
(-1)
n
a n -1-2
(n ≥2, n ∈N ) ．
⎧1n ⎫（Ⅰ）试判断数列⎨+(-1)⎬是否为等比数列，并说明理由；
a ⎩n ⎭
（Ⅱ）设c n =a n sin
T n
23
(2n -1) π
2
，数列{c n }的前n 项和为T n ．求证：对任意的n ∈N *，
．
一、选择题：每小题5分，共40分.
二11．30 12．
2
；14（1）（4）
15. （本小题共13分）
解：（Ⅰ）因为 f (x ) =1+cos x - =1+2cos(x +
π
3
x „„„„„„„1分
) ， „„3分
所以函数f (x ) 的周期为2π，值域为[-1, 3]． „„„„„5分 （Ⅱ）因为 f (α-
π
3) =
13
，
13
所以 1+2cos α=
cos 2α1-tan α
13
，即cos α=-
2
2
． „„„„„„6分
因为 =
cos α-sin αcos α-sin α
cos α
„„„„„„„8分
=cos α(cosα+sin α)
=cos α+cos αsin α， „„„„„„10分
3
2
因为α为第二象限角， 所以 sin α=． „„„„11分
所以
cos 2α1-tan α
=
19
-
9
=
1-9
． „„„„„„13分
16. （本小题共13分）
解：（Ⅰ）由已知可知在甲、乙、丙三所中学共有教学班的比是12:6:18=2:1:3， „„„„„„„„1分、 所以甲学校抽取教学班数为6⨯学班数为6⨯
36
26
=2个，乙学校抽取教学班数为6⨯
16
=1个，丙学校抽取教
=3个， „„„„„4分
所以分别抽取的教学班个数为2，1，3. „„„„5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从甲、乙、丙三所中学分别抽取2，1，3个教学班，不妨分别记为A 1，
A 2，B 1，C 1，C 2，C 3，则从6个教学班中随机抽取2个教学班的基本事件为：
(A 1, A 2) ，(A 1, B 1) ，(A 1, C 1) ，(A 1, C 2) ，(A 1, C 3) ，(A 2, B 1) ，(A 2, C 1) ，(A 2, C 2) ，(A 2, C 3) ，(B 1, C 1) ，(B 1, C 2) ，(B 1, C 3) ，(C 1, C 2) ，(C 1, C 3) ，(C 2, C 3) 共15
个. „„„7分
设“从6个教学班中随机抽取2个教学班，至少有1个来自甲学校”为事件D ，„„„8分
则事件D 包含的基本事件为：(A 1, A 2) ，(A 1, B 1) ，(A 1, C 1) ，(A 1, C 2) ，(A 1, C 3) ，
(A 2, B 1) ，(A 2, C 1) ，(A 2, C 2) ，(A 2, C 3) 共9个. „„„10分
所以 P (D ) =
915
=
35
. „„„„„„12分
所以从抽取的6个教学班中随机抽取2个，且这2个教学班中至少有1个来自甲学
校„„„„„„„13分
17. （本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱，
所以 C C 1⊥平面ABC . 又 AD ⊂平面ABC ，
所以 CC 1⊥AD . „„„„„„3分 因为 △ABC 是正三角形，D 是BC 的中点，
所以 BC ⊥AD ， „„„„„„4分 所以 AD ⊥平面B 1BCC 1. „„„„„„5分
（Ⅱ）证明：连结A 1C ，交AC 1于点O ，连结O D
.
由 ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱，
得 四边形AC C 1A 1为矩形，O 为A 1C 的中点. 又D 为BC 中点，所以O D 为△A 1BC 中位线，
所以 A 1B ∥O D ， „„„„„„8分 因为 O D ⊂平面A D C 1，A 1B ⊄平面A D C 1，
所以 A 1B ∥平面A D C 1. „„„„„„10分
（Ⅲ）解：因为 V C
1-
ADB 1
=V A -B 1DC 1， „„„„„„12分
所以
V C
1-ADB 1
=
13
S ΔB 1DC 1⋅AD =
3
. „„„„„„14分
18. （本小题共13分）
18．解：（1）f (x ) 定义域为(0, +∞)，f '(x ) =ln x +1，
⎛⎝
1⎫e ⎭
当x ∈ 0, ⎪, f '(x )
1e
当x ∈(, +∞) ，f ' (x ) >0, f (x ) 单调递增. „„„„„„„„„„„„„„2分 ①当0
1e
1e
1e
, t 无解；„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分
1e
1e
时，f (x ) min =f () =-
e
11e
； „„„„4分
≤t
时，f (x ) 在[t , t +2]上单调递增，f (x ) min =f (t ) =t ln t ；
„„„5分
⎧1
⎪-e , =⎨
⎪t ln t , ⎩
0
,
e „„„6分 1t ≥.
e
3x
(x +3)(x -1)
x
2
1
所以f (x ) min
2
（2）2x ln x ≥-x +ax -3，则a ≤2ln x +x +
，对一切x ∈(0, +∞)恒成立. „„7分
，
设h (x ) =2ln x +x +
3x
(x >0) ，则h ' (x ) =
当x ∈(0, 1), h ' (x )
当x ∈(1, +∞), h ' (x ) >0, h (x ) 单调递增. „„„„10分
h (x ) 在(0, +∞) 上，有唯一极小值h (1) ，即为最小值.
所以h (x ) min =h (1) =4，因为对一切x ∈(0, +∞), 2f (x ) ≥g (x ) 恒成成立，
所以a ≤h (x ) min =4. „„„„„„„„„„„13分 19．【解析】：（Ⅰ
）由已知得c =2
2
c a
=
3
解得a =又b =a -c =4.
222
所以椭圆G 的方程为
x
12
+
y
4
=1.
⎧y =x +m
⎪222
（Ⅱ）设直线l 的方程为y =x +m . 由⎨x 2得4x +6mx +3m -12=0. 设A 、B y
+=1⎪
4⎩12
的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2)(x 1
x 1+x 2
2
3m 4
m 4
中点为
E (x 0, y 0)
，则
x 0=
=-
, y 0=x 0+m =m
因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB. 所以
2-
PE 的斜率k =
-3+
4=-1. 解得m=2。此时方程①为4x 2+12x =0. 解得
3m 4
x 1=-3, x 2=0. 所以y 1=-1, y 2=2. 所以|AB|=32. 此时，点P （—3，2）到直线AB ：
x -y +2=0的距离d =
|-3-2+2|
2
=322
, 所以△PAB 的面积S=
12
|AB |⋅d =
92.
20．（本小题满分14分）
已知数列{a n }满足a 1=
14
，a n =
a n -1
(-1)
n
a n -1-2
(n ≥2, n ∈N ) ．
⎧1n ⎫
+(-1)⎬是否为等比数列，并说明理由； （Ⅰ）试判断数列⎨⎩a n ⎭
（Ⅱ）设c n =a n sin
T n
23
(2n -1) π
2
，数列{c n }的前n 项和为T n ．求证：对任意的n ∈N ，
*
．
解（1）由已知a n =
a n -1
(-1)
n
n
a n -1-2
2
得
1a n
1
=
(-1)n a n -1-2
a n -1
n -1
=(-1)-
n
2a n -1
,
1a n
+(-1)=2⋅(-1)-
n
a n -1
=-2[
a n -1
+(-1)
]. 又
1a 1
-1=-
34
≠0，
⎧1n ⎫故⎨+(-1)⎬为公比为-2的等比数列. …………7分 ⎩a n ⎭
（2）由（1）得
1a n
+(-1)=(4-1) ⋅(-2)
n
n -1
=3⋅(-2)
n -1
.
所以
1a n
=3⋅(-2)
n -1
-(-1)，a n =
n
1
3⋅(-2)
n -1
-(-1)
n -1
n
，
c n =a n sin
(2n -1) π
2
=
1
3⋅(-2)
n -1
-(-1)
n
⋅(-1) =
13⋅2
n -1
+1
13⋅2
n -1
.
1n
[1-() ]
21n 2所以T n
13231-
2
1