专题训练(六) 不规则图形的面积及曲线长的求法
► 类型之一 用覆盖法求阴影图形的面积
1．如图6－ZT －1所示，AB ，CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，O 1，O 2，O 3，O 4分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点，若⊙O 的半径是2，则阴影部分的面积为(
)
图6－ZT －1
A ．8 B ．4
C ．4π＋4 D ．4π－4 [答案] A
2．如图6－ZT －2所示，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为________(结果用π表示) ．
图6－ZT －2
[答案] 8－2π
[解析] 用四个半圆的面积减去正方形的面积求出空白部分的面积，再利用阴影部分的面积等于正方形的面积减去空白部分的面积计算．空白部分的面积＝×4－2×2＝2π－4，阴
2影部分的面积＝2×2－(2π－4) ＝4－2π＋4＝8－2π.
► 类型之二 用旋转求阴影图形的面积
3．如图6－ZT －3，将含60°角的直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转45°度后得到︵
△AB ′C ′，点B 经过的路径为BB ′，若∠BAC ＝60°，AC ＝1，则图中阴影部分的面积是(
)
π
图6－ZT －3
πππ
A . B . C . D ．π 234
[解析] A ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，AC ＝1， ∴BC ＝ACtan 60°＝1×3＝3，AB ＝2， 13∴S △ABC ＝AC ·BC .
22
根据旋转的性质知△ABC ≌△AB ′C ′，
则S △ABC ＝S △AB ′C ′，AB ＝AB ′，
45π×22π
∴S 阴影＝S 扇形ABB ′＋S △AB ′C ′－S △ABC ＝S 扇形ABB ′＝.
3602
4．[襄阳中考] 如图6－ZT －4，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC
绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上点F 处，点C 落在点A 处．再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连结EF ，CG .
(1)求证：EF ∥CG ；
︵︵
(2)求点C ，点A 在旋转过程中形成的AC ，AG 与线段CG 所围成的阴影部分的面积．
图6－ZT －4 图6－ZT －5
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ＝AD ＝2，∠ABC ＝90°.
∵△BEC 绕点B 逆时针旋转90°得△ABF ， ∴△ABF ≌△CBE ，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠5＝90°，AF ＝EC ， ∴∠AFB ＋∠1＝90°.
∵线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ， ∴∠AFB ＋∠2＝∠AFG ＝90°，AF ＝FG ， ∴∠2＝∠1＝∠3. ∴EC ∥FG .
∵AF ＝EC ，AF ＝FG ，∴EC ＝FG ，
∴四边形EFGC 是平行四边形，∴EF ∥CG . 1
(2)∵△ABF ≌△CBE ，∴FB ＝BE ＝AB ＝1，
2∴AF ＝AB ＋BF ＝5. 在△FEC 和△CGF 中，
∵EC ＝FG ，∠3＝∠2，FC ＝CF ， ∴△FEC ≌△CGF ， ∴S △FEC ＝S △CGF .
∴S 阴影＝S 扇形BAC ＋S △ABF ＋S △FGC －S 扇形F AG
90π×22190π×5）21＝＋×2×1＋×(1＋2) ×1－
360223605π10－π＝(或) ． 244
► 类型之三 用平移求阴影图形的面积
5．如图6－ZT －6是两个半圆，点O 为大半圆的圆心，AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，且AB ＝24，求图中阴影部分的面积．
图6－ZT －6 图6－ZT －7
[解析] 将小半圆向右平移，使小半圆的圆心与大半圆的圆心重合，于是阴影部分的面积可转化为大半圆面积减去小半圆面积．
解：将小半圆向右平移，使两半圆同圆心，如图5－ZT －6所示，连结OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则AC ＝BC ＝12.
∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切， ∴OC 为小半圆的半径，
1111
∴S 阴影＝S 大半圆－S 小半圆·OB 2－π·OC 2(OB 2－OC 2) BC 2＝72π.
2222► 类型之四 用等积变形求阴影图形的面积
6．如图6－ZT －8所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分的面积为(
)
图6－ZT －8
A ．4π B ．2π 2π
C ．π D . 3[解析] D 连结OD .
1
∵CD ⊥AB ，∴CE ＝DE ＝CD ＝，
2
故S △OCE ＝S △ODE ，
即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积． 又∵∠CDB ＝30°，∴∠BOD ＝∠COB ＝60°， ∴OB ＝2，
60π×222π
故S 扇形OBD ＝
36032π
即阴影部分的面积为D .
3
► 类型之五 用割补法求阴影图形的面积 7．[泰安中考] 如图6－ZT －9，半径为2 cm，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )
ππ
A ．(－1)cm 2 B ．(1)cm 2
22π
C ．1 cm2 D . cm 2
2
图6－ZT －9 图6－ZT －10
[解析] A 如图6－ZT －10所示，设以OB 为直径的半圆的圆心为O 1，以OA 为直径的半圆的圆心为O 2，连结O 1C ，O 2C ，易知OO 1＝O 1C ＝O 2C ＝OO 2＝1 cm.又∠AOB ＝90°，则四边形O 1CO 2O 为正方形，其面积为1 cm2.
90π×121
扇形O 1CB 的面积＝扇形O 2AC 的面积＝π(cm2) ；扇形OAB 的面积＝
360490π×22
π(cm2) ，所以阴影部分的面积＝扇形OAB 的面积－扇形O 1CB 的面积－扇形O 2AC 360111
的面积－正方形O 1CO 2O 的面积＝π－π－π－1＝－1(cm2) ，故选A .
442
8．[本溪中考] 如图6－ZT －11，已知在Rt △ABC 中，∠B ＝30°，∠ACB ＝90°. 延长
CA 到O ，使AO ＝AC ，以O 为圆心，OA 长为半径作⊙O ，交BA 的延长线于点D ，连结CD .
(1)求证：CD 是⊙O 的切线；
(2)若AB ＝4，求图中阴影部分的面积．
图6－ZT －11 图6－ZT －12
[解析] (1)连结OD ，通过等腰三角形及等边三角形的性质证明∠ODC ＝90°； (2)用S △ODC －S 扇形AOD 计算阴影部分的面积． 解：(1)证明：连结OD ，
∵∠BCA ＝90°，∠B ＝30°， ∴∠OAD ＝∠BAC ＝60°. ∵OD ＝OA ，
∴△OAD 是等边三角形，
∴AD ＝OA ＝AC ，∠ODA ＝∠O ＝60°， 1
∴∠ADC ＝∠ACD ＝60°＝30°，
2
∴∠ODC ＝∠ODA ＋∠ADC ＝60°＋30°＝90°， ∴CD 是⊙O 的切线．
(2)∵AB ＝4，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°， 1
∴OD ＝OA ＝AC ＝2，
2
由勾股定理得：CD OC －OD 4－2＝2 3，
60×π×2212
∴S 阴影＝S △ODC －S 扇形AOD ×2×23－＝2 3－.
23603► 类型之六 用方程整体变换求阴影部分的面积
9．[乐山中考] 如图6－ZT －13，正方形ABCD 的边长为3，以A 为圆心，2为半径作圆弧，以D 为圆心，3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别为S 1，S 2，则S 1－S 2＝________．
[答案]
13
π－9 4
图6－ZT －13 [解析] 设右边空白处的面积为a ，则S 1＋a ＝∴S 1－S 2＝(S1＋a) －(S2＋a) ＝
π·329π
4
4
，S 2＋a ＝3－
2
π·22
4
9－π，
9π13
－(9－π) ＝π－9. 44
10．如图6－ZT －14，正方形ABCD 的边长为2，四条弧分别以相应顶点为圆心，正方
形ABCD 的边长为半径，则阴影部分的面积为__________．
图6－ZT －14
8π
[答案] 16－4 3－3
[解析] 如图，我们不妨设这几个特殊部分的面积分别为a ，b ，c ，根据题意，利用正方形的面积、90度扇形的面积、60度扇形的面积的组成部分作为三个相等关系列方程组：
8a ＋4b ＋4c ＝4，①
⎧⎪6a ＋4b ＋2c ＝π，②⎨2×60π×214a ＋4b ＋c 2⎪⎩3602
2
3，③
42
①－②，得2a ＋2c ＝4－π，②－③，得2a ＋c ＝π－3，所以c ＝4－π－3，
338
所以阴影部分的面积为16－π－4
3
图6－ZT －15
► 类型之七 用圆的周长公式计算曲线长
11．如图6－ZT －16所示，一枚直径为4 cm 的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是(
)
图6－ZT －16
A ．2π cm B ．4π cm C ．8π cm D ．16π cm
[解析] B ∵一枚直径为4 cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，∴圆心移动的距离等于4
圆的周长，即2π×＝4π(cm)．
2
► 类型之八 用分步求和计算曲线长
12．如图6－ZT －17，将边长为8 cm的正方形ABCD 的四边沿直线l 向右滚动(不滑动) ，当正方形滚动两周时，正方形的顶点A 所经过的路线的长是________cm.
图6－ZT －17
[答案] (8 2＋16) π
[解析] 第一次旋转是以点C 为圆心，AC 长为半径，旋转角度是90°， 90π×8 2
所以弧长＝＝4 2π(cm)；
180
第二次旋转是以点D 为圆心，AD 长为半径，旋转角度是90°， 90π×8
所以弧长＝4π(cm)；
180
第三次旋转是以点A 为圆心，所以路程为0；
第四次是以点B 为圆心，AB 长为半径，旋转角度是90°，
90π×8
所以弧长＝4π(cm)；所以旋转一周的弧长＝(4 2＋8) π cm.
180
所以正方形滚动两周，顶点A 所经过的路线的长是(8 2π＋16π)cm.
13．已知一个半圆形工件，未搬动前直径平行于地面放置，如图6－ZT －18所示，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50 m，半圆的直径为4 m，则圆心O 所经过的路线长是________m(结果用π表示) ．
图6－ZT －18
[答案] (2π＋50)
︵1
[解析] 由图6－ZT －19可知，圆心先向前走O 1O 2的长度，即然后沿着O 2O 3
41
最后向右平移50 m，所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半(即半圆) 加上
4（90＋90）×π×2
50 m ，由已知得圆的半径为2 m ，则半圆的弧长l ＝＝2π(m)，∴圆心O
180所经过的路线长＝(2π＋50)(m)．
图6－ZT －19
14．如图6－ZT －20所示，将一长为4 cm，宽为3 cm的长方形木板在桌面上做无滑动翻滚(顺时针方向) ，木板上点A 的位置变化为A →A 1→A 2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2位置时共走过的路径长为多少？
图6－ZT －20
︵
解：由图形知AA 1的圆心角为90°，半径为长方形的对角线长，为3＋4＝5(cm)，从︵90π×55
而求出AA 1的长为＝(cm)．
1802
︵︵60π×3
同理A 1A 2的圆心角为60°，半径为3 cm，从而求出A 1A 2的长为π(cm)，
180
图6－ZT －21
7
从而得点A 翻滚到A 2位置时共走过的路径的总长度为 cm.
2
► 类型之九 用转化的方法求曲线长
15．[龙东中考] 一圆锥体形状的水晶饰品，母线长是10 cm，底面圆的直径是5 cm，点A 为圆锥底面圆周上一点，从A 点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A 点，则彩带最少用(接口处重合部分忽略不计)( )
A ．10π cm B ．10 cm C ．5π cm D ．5 2 cm
[解析] B 由题意得圆锥的侧面展开图为扇形(如图6－ZT －22) ，连结AA ′，AA ′的长度即为所用彩带长度的最小值，由于圆锥的底面周长等于展开图扇形的弧长，设展开图扇形的n π×10
圆心角为n °，则5π＝n ＝90，故AA ′＝10＋10＝10 2(cm)．
180
图6－ZT －22
专题训练(六) 不规则图形的面积及曲线长的求法
► 类型之一 用覆盖法求阴影图形的面积
1．如图6－ZT －1所示，AB ，CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，O 1，O 2，O 3，O 4分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点，若⊙O 的半径是2，则阴影部分的面积为(
)
图6－ZT －1
A ．8 B ．4
C ．4π＋4 D ．4π－4 [答案] A
2．如图6－ZT －2所示，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为________(结果用π表示) ．
图6－ZT －2
[答案] 8－2π
[解析] 用四个半圆的面积减去正方形的面积求出空白部分的面积，再利用阴影部分的面积等于正方形的面积减去空白部分的面积计算．空白部分的面积＝×4－2×2＝2π－4，阴
2影部分的面积＝2×2－(2π－4) ＝4－2π＋4＝8－2π.
► 类型之二 用旋转求阴影图形的面积
3．如图6－ZT －3，将含60°角的直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转45°度后得到︵
△AB ′C ′，点B 经过的路径为BB ′，若∠BAC ＝60°，AC ＝1，则图中阴影部分的面积是(
)
π
图6－ZT －3
πππ
A . B . C . D ．π 234
[解析] A ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，AC ＝1， ∴BC ＝ACtan 60°＝1×3＝3，AB ＝2， 13∴S △ABC ＝AC ·BC .
22
根据旋转的性质知△ABC ≌△AB ′C ′，
则S △ABC ＝S △AB ′C ′，AB ＝AB ′，
45π×22π
∴S 阴影＝S 扇形ABB ′＋S △AB ′C ′－S △ABC ＝S 扇形ABB ′＝.
3602
4．[襄阳中考] 如图6－ZT －4，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC
绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上点F 处，点C 落在点A 处．再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连结EF ，CG .
(1)求证：EF ∥CG ；
︵︵
(2)求点C ，点A 在旋转过程中形成的AC ，AG 与线段CG 所围成的阴影部分的面积．
图6－ZT －4 图6－ZT －5
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ＝AD ＝2，∠ABC ＝90°.
∵△BEC 绕点B 逆时针旋转90°得△ABF ， ∴△ABF ≌△CBE ，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠5＝90°，AF ＝EC ， ∴∠AFB ＋∠1＝90°.
∵线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ， ∴∠AFB ＋∠2＝∠AFG ＝90°，AF ＝FG ， ∴∠2＝∠1＝∠3. ∴EC ∥FG .
∵AF ＝EC ，AF ＝FG ，∴EC ＝FG ，
∴四边形EFGC 是平行四边形，∴EF ∥CG . 1
(2)∵△ABF ≌△CBE ，∴FB ＝BE ＝AB ＝1，
2∴AF ＝AB ＋BF ＝5. 在△FEC 和△CGF 中，
∵EC ＝FG ，∠3＝∠2，FC ＝CF ， ∴△FEC ≌△CGF ， ∴S △FEC ＝S △CGF .
∴S 阴影＝S 扇形BAC ＋S △ABF ＋S △FGC －S 扇形F AG
90π×22190π×5）21＝＋×2×1＋×(1＋2) ×1－
360223605π10－π＝(或) ． 244
► 类型之三 用平移求阴影图形的面积
5．如图6－ZT －6是两个半圆，点O 为大半圆的圆心，AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，且AB ＝24，求图中阴影部分的面积．
图6－ZT －6 图6－ZT －7
[解析] 将小半圆向右平移，使小半圆的圆心与大半圆的圆心重合，于是阴影部分的面积可转化为大半圆面积减去小半圆面积．
解：将小半圆向右平移，使两半圆同圆心，如图5－ZT －6所示，连结OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则AC ＝BC ＝12.
∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切， ∴OC 为小半圆的半径，
1111
∴S 阴影＝S 大半圆－S 小半圆·OB 2－π·OC 2(OB 2－OC 2) BC 2＝72π.
2222► 类型之四 用等积变形求阴影图形的面积
6．如图6－ZT －8所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分的面积为(
)
图6－ZT －8
A ．4π B ．2π 2π
C ．π D . 3[解析] D 连结OD .
1
∵CD ⊥AB ，∴CE ＝DE ＝CD ＝，
2
故S △OCE ＝S △ODE ，
即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积． 又∵∠CDB ＝30°，∴∠BOD ＝∠COB ＝60°， ∴OB ＝2，
60π×222π
故S 扇形OBD ＝
36032π
即阴影部分的面积为D .
3
► 类型之五 用割补法求阴影图形的面积 7．[泰安中考] 如图6－ZT －9，半径为2 cm，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )
ππ
A ．(－1)cm 2 B ．(1)cm 2
22π
C ．1 cm2 D . cm 2
2
图6－ZT －9 图6－ZT －10
[解析] A 如图6－ZT －10所示，设以OB 为直径的半圆的圆心为O 1，以OA 为直径的半圆的圆心为O 2，连结O 1C ，O 2C ，易知OO 1＝O 1C ＝O 2C ＝OO 2＝1 cm.又∠AOB ＝90°，则四边形O 1CO 2O 为正方形，其面积为1 cm2.
90π×121
扇形O 1CB 的面积＝扇形O 2AC 的面积＝π(cm2) ；扇形OAB 的面积＝
360490π×22
π(cm2) ，所以阴影部分的面积＝扇形OAB 的面积－扇形O 1CB 的面积－扇形O 2AC 360111
的面积－正方形O 1CO 2O 的面积＝π－π－π－1＝－1(cm2) ，故选A .
442
8．[本溪中考] 如图6－ZT －11，已知在Rt △ABC 中，∠B ＝30°，∠ACB ＝90°. 延长
CA 到O ，使AO ＝AC ，以O 为圆心，OA 长为半径作⊙O ，交BA 的延长线于点D ，连结CD .
(1)求证：CD 是⊙O 的切线；
(2)若AB ＝4，求图中阴影部分的面积．
图6－ZT －11 图6－ZT －12
[解析] (1)连结OD ，通过等腰三角形及等边三角形的性质证明∠ODC ＝90°； (2)用S △ODC －S 扇形AOD 计算阴影部分的面积． 解：(1)证明：连结OD ，
∵∠BCA ＝90°，∠B ＝30°， ∴∠OAD ＝∠BAC ＝60°. ∵OD ＝OA ，
∴△OAD 是等边三角形，
∴AD ＝OA ＝AC ，∠ODA ＝∠O ＝60°， 1
∴∠ADC ＝∠ACD ＝60°＝30°，
2
∴∠ODC ＝∠ODA ＋∠ADC ＝60°＋30°＝90°， ∴CD 是⊙O 的切线．
(2)∵AB ＝4，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°， 1
∴OD ＝OA ＝AC ＝2，
2
由勾股定理得：CD OC －OD 4－2＝2 3，
60×π×2212
∴S 阴影＝S △ODC －S 扇形AOD ×2×23－＝2 3－.
23603► 类型之六 用方程整体变换求阴影部分的面积
9．[乐山中考] 如图6－ZT －13，正方形ABCD 的边长为3，以A 为圆心，2为半径作圆弧，以D 为圆心，3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别为S 1，S 2，则S 1－S 2＝________．
[答案]
13
π－9 4
图6－ZT －13 [解析] 设右边空白处的面积为a ，则S 1＋a ＝∴S 1－S 2＝(S1＋a) －(S2＋a) ＝
π·329π
4
4
，S 2＋a ＝3－
2
π·22
4
9－π，
9π13
－(9－π) ＝π－9. 44
10．如图6－ZT －14，正方形ABCD 的边长为2，四条弧分别以相应顶点为圆心，正方
形ABCD 的边长为半径，则阴影部分的面积为__________．
图6－ZT －14
8π
[答案] 16－4 3－3
[解析] 如图，我们不妨设这几个特殊部分的面积分别为a ，b ，c ，根据题意，利用正方形的面积、90度扇形的面积、60度扇形的面积的组成部分作为三个相等关系列方程组：
8a ＋4b ＋4c ＝4，①
⎧⎪6a ＋4b ＋2c ＝π，②⎨2×60π×214a ＋4b ＋c 2⎪⎩3602
2
3，③
42
①－②，得2a ＋2c ＝4－π，②－③，得2a ＋c ＝π－3，所以c ＝4－π－3，
338
所以阴影部分的面积为16－π－4
3
图6－ZT －15
► 类型之七 用圆的周长公式计算曲线长
11．如图6－ZT －16所示，一枚直径为4 cm 的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是(
)
图6－ZT －16
A ．2π cm B ．4π cm C ．8π cm D ．16π cm
[解析] B ∵一枚直径为4 cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，∴圆心移动的距离等于4
圆的周长，即2π×＝4π(cm)．
2
► 类型之八 用分步求和计算曲线长
12．如图6－ZT －17，将边长为8 cm的正方形ABCD 的四边沿直线l 向右滚动(不滑动) ，当正方形滚动两周时，正方形的顶点A 所经过的路线的长是________cm.
图6－ZT －17
[答案] (8 2＋16) π
[解析] 第一次旋转是以点C 为圆心，AC 长为半径，旋转角度是90°， 90π×8 2
所以弧长＝＝4 2π(cm)；
180
第二次旋转是以点D 为圆心，AD 长为半径，旋转角度是90°， 90π×8
所以弧长＝4π(cm)；
180
第三次旋转是以点A 为圆心，所以路程为0；
第四次是以点B 为圆心，AB 长为半径，旋转角度是90°，
90π×8
所以弧长＝4π(cm)；所以旋转一周的弧长＝(4 2＋8) π cm.
180
所以正方形滚动两周，顶点A 所经过的路线的长是(8 2π＋16π)cm.
13．已知一个半圆形工件，未搬动前直径平行于地面放置，如图6－ZT －18所示，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50 m，半圆的直径为4 m，则圆心O 所经过的路线长是________m(结果用π表示) ．
图6－ZT －18
[答案] (2π＋50)
︵1
[解析] 由图6－ZT －19可知，圆心先向前走O 1O 2的长度，即然后沿着O 2O 3
41
最后向右平移50 m，所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半(即半圆) 加上
4（90＋90）×π×2
50 m ，由已知得圆的半径为2 m ，则半圆的弧长l ＝＝2π(m)，∴圆心O
180所经过的路线长＝(2π＋50)(m)．
图6－ZT －19
14．如图6－ZT －20所示，将一长为4 cm，宽为3 cm的长方形木板在桌面上做无滑动翻滚(顺时针方向) ，木板上点A 的位置变化为A →A 1→A 2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2位置时共走过的路径长为多少？
图6－ZT －20
︵
解：由图形知AA 1的圆心角为90°，半径为长方形的对角线长，为3＋4＝5(cm)，从︵90π×55
而求出AA 1的长为＝(cm)．
1802
︵︵60π×3
同理A 1A 2的圆心角为60°，半径为3 cm，从而求出A 1A 2的长为π(cm)，
180
图6－ZT －21
7
从而得点A 翻滚到A 2位置时共走过的路径的总长度为 cm.
2
► 类型之九 用转化的方法求曲线长
15．[龙东中考] 一圆锥体形状的水晶饰品，母线长是10 cm，底面圆的直径是5 cm，点A 为圆锥底面圆周上一点，从A 点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A 点，则彩带最少用(接口处重合部分忽略不计)( )
A ．10π cm B ．10 cm C ．5π cm D ．5 2 cm
[解析] B 由题意得圆锥的侧面展开图为扇形(如图6－ZT －22) ，连结AA ′，AA ′的长度即为所用彩带长度的最小值，由于圆锥的底面周长等于展开图扇形的弧长，设展开图扇形的n π×10
圆心角为n °，则5π＝n ＝90，故AA ′＝10＋10＝10 2(cm)．
180
图6－ZT －22