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圆中阴影部分面积求法
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(2010-06-02 16:03:03)
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扇形 a2 oa 半圆
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圆心 洛阳数学辅导 洛阳家教 杂谈
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圆中阴影部分面积求法
求阴影部分的面积，在近几年中考题中形成一个新的热点，在计算由圆、扇形、 三角形、 四边形等组成的图形面积时， 要注意观察和分析图形， 学会分解和组合图形， 明确要计算图形的面积，可以通过哪些图形的和或差得到，切勿盲目计算。现举例谈 谈主要方法： 1．重叠法 可考虑成若干已知图形面积的和再减去它们彼此重叠部分的图形面积。 例 1．如图，AOB 是直角扇形，以 OA、OB 为直径在扇形内作半圆，n 和 N 分 别表示两个阴影部分的面积。则( ) (A)N＝n (B)n＞N (C)N＞n (D)n、N 大小关系无法确定 解：研究面积为 N 的部分，可以看作是从整个图形中去掉两个半圆，但要考虑面 积为 n 的图形在两个半圆中的重叠。故 N=■·OA2-· （■OA）2+n=n，故应选 A。 2．组合法 例 2．如图，在边长为２cm 的正方形 ABCD 中，分别以Ｂ、Ｄ为圆心，２cm 长 为半径作弧，得到图中的组合图形。求阴影部分的面积。 分析 1：这个如叶片，又如橄榄形状的组合图形其实就是两个形状大小完全相同 的弓形。明确了这一点后求这个组合图形的面积就轻而易举了。
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解：S 阴=２S 弓＝２（S 扇-S△）=2（-2）cm2 分析 2：重叠法，阴影面积等于弓形所对应的半圆面积和正方形面积之差。简记 为：２S 弓＝S 半圆-S 正方形=■22-22=(2-4)cm2 3．全部减其余 例 3.如图所示，正方形 ABCD 的边长为 a，以 A 为圆心作■，以 AB 为直径作■， M 是 AD 上一点，以 DM 为直径，作■与■相外切，则图中阴影部分面积为_____ 解：■a2 点拨：设以 DM 为直径的半圆的圆心为 O1，半径为 r，以 AB 为直径的半圆的圆 心为 O2，连结 O1O2，则有（a-r）2+(■)2=（r+■）2，解得：r=■a 所以 S 阴影=S 扇形 DAB-■S 圆 O1-■S 圆 O2=■a2-■·（■a）2-■·（■）2=■a2 4．等积变形法 例 4.如上图，A 是半径为 1 的⊙O 外的一点，OA=2，AB 是⊙O 的切线，B 是切 点，弦 BC∥OA，连结 AC，则阴影部分的面积等于_____。 分析：一个图形的面积不易或难以求出时，可改求与其面积相等的图形面积，便 可以使原来不规则的图形转化为规则图形。 解：连结 OB、OC ∵BC∥OA ∴S△ABC=S△OBC ∴S 阴影=S 扇形 OBC ∵AB 是⊙O 的切线 ∴∠BOA=90° ∵OB=1，OA=2 ∴∠OBC=∠BOA=60° ∴∠BOC=■(180°-60° )=60° ∴扇形 OBC 是圆的■ ∴S 阴影=S 扇形 OBC=■R2=■ 5．旋转法 将所给图形中的某一部分绕一个点旋转适当的角度，使所求阴影面积与整体面积
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有明显直观的关系。 例 5．如图，分别以正△ABC 的三个顶点为圆心，以其边长 a 为半径画弧，求这 三条弧围成的阴影面积。 解：所求阴影面积应为 S△ABC＋3S 弓形 AB，从图中可以看出每段弧所对圆心 角为 60° ，总度数为 180° ，故可考虑将△ABC 绕点 C 旋转两次，每次旋转 60° ，变 为后图，此时便有 S 阴影=S 半圆-２S△ABC=■（-■）a2 6．整体思想 例 6.如图，⊙A、⊙B、⊙C 两两不相交，且半径都是 0.5cm，则图中的三个扇 形的面积之和为（ ） （A）■cm2 （B）■cm2 （C）■cm2 （D）■cm2 分析：由于不知道每个块阴影部分的圆心角的度数，所以部分求和无法实现，而 三个阴影部分它们半径相同， 圆心角的和是 180° 将三个拼在一起用整体的方法求就 ， 很容易了。 解：S 阴影=■=■，应选 B。 7．代数法 分析题设中几何图形的条件， 再转化为代数条件， 设出未知数， 然后列方程求解。 例 7．正方形的边长为 a，分别以四个顶点为圆心，以 a 为半径画弧，求四条弧 围成的阴影部分的面积。 解：根据图形的对称性可知，正方形可分为三类“曲边”图形(如图 6)，分别设它们 的面积为 x、y、z，则有 x＋4y＋4z＝S 正方形＝a2……① x＋3y＋2z＝S 扇形＝■a2……② 而 x＋2y＋z 相当于半径为 a、含 120° 弧的弓形面积 ∴x＋2y＋z＝■a2-■a2……③ 由①②③组成方程组，解得 x=(1+■-■)a2，即 S 阴影=（1+■-■）a2
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求阴影部分的面积，在近几年中考题中形成一个新的热点，在计算由圆、扇形、 三角形、 四边形等组成的图形面积时， 要注意观察和分析图形， 学会分解和组合图形， 明确要计算图形的面积，可以通过哪些图形的和或差得到，切勿盲目计算。现举例谈 谈主要方法： 1．重叠法 可考虑成若干已知图形面积的和再减去它们彼此重叠部分的图形面积。 例 1．如图，AOB 是直角扇形，以 OA、OB 为直径在扇形内作半圆，n 和 N 分 别表示两个阴影部分的面积。则( ) (A)N＝n (B)n＞N (C)N＞n (D)n、N 大小关系无法确定 解：研究面积为 N 的部分，可以看作是从整个图形中去掉两个半圆，但要考虑面 积为 n 的图形在两个半圆中的重叠。故 N=■·OA2-· （■OA）2+n=n，故应选 A。 2．组合法 例 2．如图，在边长为２cm 的正方形 ABCD 中，分别以Ｂ、Ｄ为圆心，２cm 长 为半径作弧，得到图中的组合图形。求阴影部分的面积。 分析 1：这个如叶片，又如橄榄形状的组合图形其实就是两个形状大小完全相同 的弓形。明确了这一点后求这个组合图形的面积就轻而易举了。
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解：S 阴=２S 弓＝２（S 扇-S△）=2（-2）cm2 分析 2：重叠法，阴影面积等于弓形所对应的半圆面积和正方形面积之差。简记 为：２S 弓＝S 半圆-S 正方形=■22-22=(2-4)cm2 3．全部减其余 例 3.如图所示，正方形 ABCD 的边长为 a，以 A 为圆心作■，以 AB 为直径作■， M 是 AD 上一点，以 DM 为直径，作■与■相外切，则图中阴影部分面积为_____ 解：■a2 点拨：设以 DM 为直径的半圆的圆心为 O1，半径为 r，以 AB 为直径的半圆的圆 心为 O2，连结 O1O2，则有（a-r）2+(■)2=（r+■）2，解得：r=■a 所以 S 阴影=S 扇形 DAB-■S 圆 O1-■S 圆 O2=■a2-■·（■a）2-■·（■）2=■a2 4．等积变形法 例 4.如上图，A 是半径为 1 的⊙O 外的一点，OA=2，AB 是⊙O 的切线，B 是切 点，弦 BC∥OA，连结 AC，则阴影部分的面积等于_____。 分析：一个图形的面积不易或难以求出时，可改求与其面积相等的图形面积，便 可以使原来不规则的图形转化为规则图形。 解：连结 OB、OC ∵BC∥OA ∴S△ABC=S△OBC ∴S 阴影=S 扇形 OBC ∵AB 是⊙O 的切线 ∴∠BOA=90° ∵OB=1，OA=2 ∴∠OBC=∠BOA=60° ∴∠BOC=■(180°-60° )=60° ∴扇形 OBC 是圆的■ ∴S 阴影=S 扇形 OBC=■R2=■ 5．旋转法 将所给图形中的某一部分绕一个点旋转适当的角度，使所求阴影面积与整体面积
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有明显直观的关系。 例 5．如图，分别以正△ABC 的三个顶点为圆心，以其边长 a 为半径画弧，求这 三条弧围成的阴影面积。 解：所求阴影面积应为 S△ABC＋3S 弓形 AB，从图中可以看出每段弧所对圆心 角为 60° ，总度数为 180° ，故可考虑将△ABC 绕点 C 旋转两次，每次旋转 60° ，变 为后图，此时便有 S 阴影=S 半圆-２S△ABC=■（-■）a2 6．整体思想 例 6.如图，⊙A、⊙B、⊙C 两两不相交，且半径都是 0.5cm，则图中的三个扇 形的面积之和为（ ） （A）■cm2 （B）■cm2 （C）■cm2 （D）■cm2 分析：由于不知道每个块阴影部分的圆心角的度数，所以部分求和无法实现，而 三个阴影部分它们半径相同， 圆心角的和是 180° 将三个拼在一起用整体的方法求就 ， 很容易了。 解：S 阴影=■=■，应选 B。 7．代数法 分析题设中几何图形的条件， 再转化为代数条件， 设出未知数， 然后列方程求解。 例 7．正方形的边长为 a，分别以四个顶点为圆心，以 a 为半径画弧，求四条弧 围成的阴影部分的面积。 解：根据图形的对称性可知，正方形可分为三类“曲边”图形(如图 6)，分别设它们 的面积为 x、y、z，则有 x＋4y＋4z＝S 正方形＝a2……① x＋3y＋2z＝S 扇形＝■a2……② 而 x＋2y＋z 相当于半径为 a、含 120° 弧的弓形面积 ∴x＋2y＋z＝■a2-■a2……③ 由①②③组成方程组，解得 x=(1+■-■)a2，即 S 阴影=（1+■-■）a2
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