电动力学习题集答案-1

电动力学第一章习题及其答案

1. 当下列四个选项：(A.存在磁单级, B.导体为非等势体, C.平方反比定律不精确成立,D.光速为非普

适常数)中的_ C ___选项成立时,则必有高斯定律不成立.



2. 若a为常矢量, r(xx')i(yy')j(zz')k为从源点指向场点的矢量,



E0,k为常矢量,则

dr222r(ra)=(ra)(r)a)drra2rra2ra,



rijkx-x'y-y'z-z'r

(xx')(yy')(zz')ijk

2(xx')(xx')(xx')2(yy')2(zz')2,同理，2222(xx')(yy')(zz')



(yy')(zz')222222(xx')(yy')(zz'),(xx')(yy')(zz')

exexex

(x-x')(y-y')(z-z')0， rxyz r3，

xx'yy'zz'

 (ar)a(r)0

r3

r

()rrrr2r

r

r0

ka，

,(ar)

r

[ax(x-x')]

x

i

[ay(y-y')]

y

j

[az(z-z')]

z

rrr3 ，(A)rrrr

ik3

[E0sin(kr)]kE0cos(kr), 当r0时,(r/r)(E0er)

(r)ikE0exp(ikr), [rf(r)][rf(r)]3f(r)rdfdr

3. 矢量场f的唯一性定理是说：在以



s为界面的区域V内,若已知矢量场在V内各点的旋度和散



f在V



度,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则



t

内唯一确定.



4. 电荷守恒定律的微分形式为J0,若J为稳恒电流情况下的电流密度,则J满足



J0.

5. 场强与电势梯度的关系式为，E.对电偶极子而言,如已知其在远处的电势为



13PrrP

Pr/(4r)，则该点的场强为E.

40

r3

6. 自由电荷Q均匀分布于一个半径为a的球体内,则在球外(ra)任意一点D的散度为 0,



内(ra)任意一点D的散度为 3Q/4a3.



arbr

7. 已知空间电场为E23(a,b为常数），则空间电荷分布为______.

ar1r1

3E2b

rrrr

ar1ar2rr2

0E0(2b)0[24b(r)]

rrrr3

3a2rra

0[244b(r)]0[24b(r)]

rrr

8. 电流I均匀分布于半径为



a的无穷长直导线内，则在导线外(ra)任意一点B的旋度的大



小为 0 , 导线内(ra)任意一点B的旋度的大小为0I

/a2.



9. 均匀电介质（介电常数为）中,自由电荷体密度为f与电位移矢量D的微分关系为



P, 束缚电荷体密度为与电极化矢量的微分关系为PP,则DfP

P与f间的关系为P

0

f



10. 无穷大的均匀电介质被均匀极化，极化矢量为P，若在

介质中挖去半径为R的球形区域，设空心球的球心到球

P(P2nP1n)

(Pcos0)

PR



面某处的矢径为R，则该处的极化电荷面密度为



PR/R.

11. 电量为

的点电荷处于介电常数为



的均匀介质中，则点电荷附近的极化电荷为

(0/1)q.



12. 某均匀非铁磁介质中,稳恒自由电流密度为Jf,磁化电流密度为JM,磁导率,磁场强度为H，磁



化强度为M，则HJf,MJMJM与Jf间的关系为JM/01Jf.



13. 在两种电介质的分界面上,D,E所满足的边值关系的形式为nD2D1f,



nEE0.

14. 介电常数为的均匀各向同性介质中的电场为E. 如果在介质中沿电场方向挖一窄缝,则缝中

电场强度大小为E. 15. 介电常数为

的无限均匀的各项同性介质中的电场为E，在垂

直于电场方向横挖一窄缝，则缝中电场强度大小为

E0E缝D2nD1n0

E缝E/0,. 

EE0EEsin011122

16. 在半径为R的球内充满介电常数为的均匀介质，球心

处放一点电荷，球面为接地导体球壳，如果挖去顶点在球心的立体角等于2的一圆锥体介质，则锥体中的场强与介质中的场强之比为_1:1_.

D2nD1n0E1E1E2E2E1:E21:1

17. 在半径为R的球内充满介电常数为的均匀介质，球心处放一点电荷，球面为接地导体球壳，

如果挖去顶点在球心的立体角等于2的一圆锥体介质，锥体处导体壳上的自由电荷密度与介质附近导体壳上的自由电荷密度之比为0

/.

D2nD1n0内球面上D1D212

1:20: 

00E1E1E2E2



18. 在两种磁介质的分界面上, H,B所满足的边值关系的矢量形式为



nH2H1f





,nB2B10.



19. 一截面半径为b无限长直圆柱导体，均匀地流过电流I，则储存在单位长度导

体内的磁场能为__________________.



B2r0IW

bB

b0Ir2b, 2rdr

B2rdr

2220Ir24

004b

0I2r3dr4b4



0I2b416b4



0I2

20. 在同轴电缆中填满磁导率为1,2的两种磁介质，它们沿轴各占一半空间。设电流为 I(如图),

则介质1中和介质2中离中心轴r的磁感应强度分别为_______ 。



解：由边界条件可知，B和H必沿着圆周切线，并有1H12H2，又因为

rH1rH2I，故有rH1r

H1

2I1212

H1I

12I12

B1nB1

H1t0

B1B2

21. 电磁场和电荷系统的能量守恒定律的积分形式为：

S

dsd



wdV



fvdV,则该表达式中s，w，fv



wdVfvdV,则该表

的物理意义分别为: 电磁场的能流密度,能量密度,场对V内电荷作功的功率密度.

d

22. 电磁场和电荷系统的能量守恒定律的积分形式为： sd

Sdt



达式中三大项的物理意义分别为：单位时间通过界面S流入V内的能量, V内电磁场能量增加率,场对V内电荷作功的功率.

23. 电磁场和电荷系统的能量守恒定律的微分形式为:

物理量



sw/tfv,则该表达式中



,H的关系为sEH,w与E,D,H,B的关系为



DBw, 与的关系为fvE,JfvJE EH

ttt



24. 设半径为R，高为l的圆柱体磁介质（磁导率为），处于均匀磁场B中均匀磁化，B与柱轴

与

平行，求该圆柱体磁介质中的总磁能（忽略边缘效应）_________.



均匀磁化在圆柱体磁介质表面，产生垂直于B的圆形磁化面电流。设n沿着界面R方向。

s

E

B2nB1n0H2tH1t1B2R2l22

HWHRl 2

0220

B内

25. 同铀传输线内导线半径为a,外导线半径为b,两导线间为均匀绝缘介质.导线载有电流I,两导线

间的电压为U.若忽略导线的电阻，则介质中的能流为UI.

s的大小为UI/(2r2lnb

)，传输功率



二、已知P为电偶极子的电偶极矩,r为从电偶极子中心指向考察点P的矢径,试证明电偶极子在远



处P点所激发的电势为(r)

解、 

Pr4r3



,并求出r处的P点所产生的电场强度E(r)。

q4r



q4r



q(rr)qlcos



4rr4r2

Pr

4r3



(1分) P为常矢



PrPr13 4r34r



PrE4r3





E



3PrrP 53rr

三、已知一个电荷系统的偶极矩定义为p(t)(x',t)x'dV'，利用电荷守恒定律

P3Prr1



4r34r54



dp(t)(x',t)'

J(x',t)dV'。 J(x',t)0，证明p(t)的变化率为

Vdtt



证明：由p(t)

dp(x',t)(x',t)

x'dV'Vdtt ''

[J(x',t)]x'dV'[J(x',t)](x'iy'jz'k)dV'

(x',t)'

及电荷守恒定律(x',t)x'dV'J(x',t)0得V

t

又因为



Jy'(x',t)dV'j；同理 [J(x',t)]y'jdV'V'V'

'

[J(x',t)]z'kdV'Jz'(x',t)dV'k；



['J(x',t)]x'idV''(J(x',t)x')dV'iJx'(x',t)idV'VVV



x'J(x',t)ds'iJx'(x',t)dV'iJx'(x',t)dV'i

SVV



(J(x',t)ds'Jn(x',t)ds'0)

''

[J(x',t)]x'(J(x',t)x')x'J(x',t)

 ''

(J(x',t)x')iJ(x',t)(J(x',t)x')Jx'(x',t)

dp(x',t)

故有

另解：





J(x',t)dV

dp(x',t)(x',t)'

x'dV'[J(x',t)]x'dV'VV dtt'[J(x',t)x']['J(x',t)]x'J(x',t)('x')

'又x'(ijkx'iy'jz'k)

x'y'z' iijjkk

[J(x',t)x'][J(x',t)]x'J(x',t)(iijjkk)[J(x',t)]x'J(x',t)

dp(x',t)'[J(x',t)x']dV'J(x',t)dV'

VVdt

'

ds[J(x',t)x']J(x',t)dV'

VVJ(x',t)dV'(J(x',t)ds'Jn(x',t)ds'0)

长沙理工大学备课纸



四、对于稳恒磁场,在某均匀非铁磁介质内部, 磁化电流密度为JM,自由电流密度为Jf

试证明JM与Jf间的关系为JM/01Jf.

,磁导率,

1111

证明：JMMBH

00

1H1Jf

00

第二章静电场

练习一

1. 有导体存在时的唯一性定理是说: 若给出介质中自由电荷的分布,给定每个导体上的__电势



i__或每个导体上的__Qi _,以及（包围所有导体的）界面S上s或ns,则S内静电

场E被唯一确定.

2. 无导体存在时的静电学问题的唯一性定理为: 设空间区域V可以分为若干小区域Vi,每个小区

域Vi充满均匀介质i,若给出V内自由电荷的分布,同时给出V的界面S上的______或_______,则V内静电场E被唯一确定. 或

n



练习二



1. 半径为R0的接地导体球置于均匀外电场E0中,导体球外为真空.试用分离变量法,求导体球外的

电势、场强和导体球面上的自由电荷面密度. 解: 1.求电势

设未放导体球时，球心处原有电势为0，则有

20 0,ERcos0R0R

(R)anRnbnR(n1)Pn(cos)RR0 由

R



E0xE0Rcos

anRnP)E0Rcos n(cos



比较方程两边的系数得：a1E0,an0(n1)。

(R)E0RcosbnR(n1)Pn(cos)

RR0



0，E0R0cos



bnR0

(n1)

Pn(cos)0

3, E0R0b120b1E0R0bn0(n1)，

(R)E0Rcos020cos

RR0

不难看出，第一项是匀强电场产生的势。第二项是球面上非均匀分布的电荷（电偶极子）产生的势，； 2) 电荷分布

2E0R0

f00(E0coscos)RR30E0cos RR0

3)球外场强

R03(R)E0RE0R

RR0

E0RE0R3E0RRE03333E0RR EE0RR03E0R03E0R0345RRRRR





R0

E033E0coserE0

ezcosersine

故上式也能写为

3333

R0R03E0R03E0R0E(13)E0ezcose(1E(cosesine)coser0rr

RR3R3R3

332R0R(13)E0coser(103)E0sine



2. 半径为R0、电势为0的导体球（其与地间接有电池）置于均匀外电场E0中,球外真空, 试用

分离变量法,求电势、导体面上的电荷面密度及场强. 解: 1.电势

设未放导体球时，球心处原有电势为0，则有

00,R0

R

0E0Rcos

上式的通解为 (R)anRnbnR(n1)P)n(cos由 得

R



RR0

n

0E0x0E0Rcos



anRnP)0E0Rcos n(cos

比较方程两边的系数得：a00,a1E0,an

0(n0,1)。

RR0

(R)0E0RcosbnR(n1)Pn(cos)



0

(n1)

0E0R0cosbnR0

Pn(cos)0

0

b0b

0,E0R0120, bn0(n0,1)， R0R0

b0(00)R0,b1E0R0

(00)R0ER(R)0E0Rcos020cos

RR0

因此，不难看出，第一、二项是匀强电场产生的势，第三项是球面上均匀分布的电荷产生的势，第

四项是球面上非均匀分布的电荷（电偶极子）产生的势。 2) 电荷分布

()R2ER

f00(E0cos0200030cos)

RR0RR

3)球外场强

RR0

30E0cos

0(00)

(00)R0R03

(R)0E0R3E0R

RR0



(00)R0RER()RRER3E33000000RR EE0RRER000R3R3R3R3R4







3

(00)R0R3ERRE()RRR0300000 E0RE3EcoseE000r05333

R3RRRR



33

(00)R0R2R0R0或E(1)Ecose(1)Esine0r0

R3R3R3

3、半径为R的空心带电球面，面电荷密度为f0cos（0为常量）,球外充满介电常数为的均匀介质，求球内外的电势、场强.

解: （1）因球内外电荷密度均为0，故有

10

2

20

rRrR(1)

; (2)

由题意,边界条件为:

1R2R

12

0rrR

(3)

0cos



2

(4)有限0

；

自然边界条件为:1

2

r0r

(5)(6)

由条件（5）和（6）得 n1n0anrPn(cos)

(n1)brPn(cos)2nn0

由（3）得

rRrR

(7)(8)



n0bnR(n1)Pn(cos)n0anRnPn(cos)



cosbnR(n1)Pn(cos)a1RcosanRnPn(cos) 2Rn1n1

b1/R2a1R(n1)

bnRnan0R

n1n1

(9a)(10a)

由（4）得

bn(n1)R(n2)Pn(cos)0annRn1Pn(cos)0cos

2b1

0a10R3

(n2)bn0nRn1an0(n1)R 由（10）得，n1

n1n1

(9b)(10b)

，

R(n1)bnRnan0R(n1)

(n2)n1

(n1)RbnRa0(n1)R(n2)n0n

0nR

n1



(n1)0n

0

当n1时，有anbn0

由（9）得，当n

0

ab1a1R3120 1时，有2b1

030a1b0R31R20

故解为



0rcos0rez

1a1rP1(cos)rR2200

33

RreRcos00z2rR23

2020rr

0(rez)0

Eeecosesine11zzr2020

0

或E(cosesinerR1r)

20 333RR(rez)3(rez)r0R3(rez)rezreE2203z0[][3]20r2020r3r5r5r

33

3cosecosesine2cosesineRRrrr0或E0

[rR23332020rrr

3. 在两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内有一点电荷Q,它到两个平面的距离为

a和b

,其坐标为(a,b,0),那么当用镜像法求空间的电势时,其镜像电荷的数目为______,这

时所围成的直角空间内任意点(x,

Q40(

y,z)的电势为______.

xa2yb2z2



xa2yb2z2

xa2yb2z2xa2yb2z2

4. 两个无穷大的接地导体平面分别组成一个为45、60、

900两面角，在两面角内与两导体平面等距离处置一点电荷Q,则在这三种情形下，像电荷的个数分别为解：为使两导体平面的电势为0，必须每隔2放置一对异号境像电荷，且在xr处,必须放置一对,这样在3600的圆周上必须放置3602个电荷,其中境像电荷为3601.

2

5. 一电量为q的点电荷在两平行接地导体平面中间，离两板距离均为a，则像电荷的个数为

_______. 答：无穷多个

6. 有两个电量为q的点电荷A和B，相距2b，在它们的联线的中点放一半径为a的接地导体球（b>a）,

则每一个点电荷受力大小为_______.

2q1a/ba/b答：[2] 2222404b(ba/b)(ba/b)

练习三（做7,8,9）

1. 均匀带电球体的电偶极矩的大小为_______，电四极矩为_______.

答： 0, 0

2. 一电荷系统，它的电四极矩的几个分量为

D12D213,D23D324, D112,

D13D315,D331,则D22等于______. 答：-3

3. 有一个电四极矩系统，它放在

z0处的无限大接地导体平面的上方，其中D112，

D121，D221，D132，则它的镜像系统电四极矩的D'33 _______.

解：D11(3xr2)Q2，D22



(3yr)Q



对镜像系统：x'x,y'y，1，

D'22(3y'r')(Q)

222z'z，其 D'11(3x'r')(Q)(3xr2)(Q)2，



(3yr2)(Q)1，由D'11D'22D'330得：D'333





4. 一电偶极子P平行于接地导体平面（P到平面的距离很小）。设过P与导体平面垂直的平面

为xy平面，则系统的电偶极矩为_______,电四极矩的非0分量为___________分量. 答： 0, Dxy

Dyx0

设两个电量为Q的点电荷位于直角坐标系中的xb,两个电量为Q的点电荷位于

xa（并有ba）,则该系统的电偶极矩为_______,电四极矩的非0分量为___________.远处

一点的电势近似表达式为_______. 答：0,

D116Qba，





(2)

13211121

DijD112 406i,j1xixjR406xR

2222222yQbaQba1113x3xR22或6Qba(2(35()

406xRR4040RRR





5. 设两个电量为Q的点电荷位于直角坐标系中的

yb,两个电量为Q的点电荷位于

ya（并有ba）,则该系统电四极矩的非0分量为_______，远处一点的电势近似表达

式为______.

D226Qba，





(2)

113211121DijD222 406i,j1xixjR406yR

2222222yQba3yQba3yR11122或6Qba(2(35)() 5

406yRR4040RRR





6. 设两个电量为2.010库仑的点电荷位于z4cm，两个电量为2.010库仑的点电荷

位于z2cm，则该系统的电偶极矩为_____,电四极矩的非0分量为_____.远处一点的电势近似表达式为______.

66

D336Qb2a262.0106(0.0420.022)1.44108cm2



(2)



13211121213z2R2

Dijx'x'R46D33x'2R21.6z2R21.6R5

406i,j1ij03

7. 电荷分布为



,体积为V的带电体系在外电场（电势为e）中的能量为 _______.

W



edV

8. 两个同心带电球面（内、外半径分别为a、b）均匀地带有相同的电荷Q ，则这两个带电球面

之间的相互作用能为_________；系统的总静电能为_________. 解：内球面在外球面处产生的电势为rbe W互



Q40b

，

2Q Q2；

（b)edVdV总

40b40b40bQ

112Q2Q2Q2Q213 ，总（a)W总总dV((40a40b2V240b40a40b80bab

或E1

W总

b1Q24Q22Q2

4rdr4r2dr ,E2,W总0222424ab40r40r2(40)r(40)r

bdr4drb1Q2Q2

((80ar2br280ar

4r

b

Q2114Q213 )(()

80abb80ab

9. 半径为R的接地导体球外有一点电荷q，它离球心的距离为a，则他们的相互作用能为

_______.

解：可以用球内一个位于bR/a假想点电荷Q'Rq/a代替球面上的感应电荷；则

Rq/aRq它们的相互作用能为； 

40(aR2/a)40(a2R2)

第三章静磁场

练习一



1. 电磁场矢势A沿闭合路径L的环量等于通过以L为边界的任意曲面S的____________.



2. 一长直密绕通电螺线管，取管轴为坐标系的Z轴，则它外面的某点的矢势A与该点到管轴的距

离的可能的依赖关系为____c___.

（A. 正比于r2; B. 正比于r; D. 正比于lnr）答：C



0Idl'dA

4r

AdlBS

2rABSA1/r



3. 已知BB0ez，则对应的矢势A为____ __. A. A(B0y,0,0); B. A(B0y,B0x,0);



C. A(0,B0x,0); D. A(2B0y,2B0x,0).



答：A. 因为对于A(B0y,0,0)有AxB0y,Ay0,Az0代入

AzAyAxAzAyAx

BA(,,BB0ez

yzzxxy



4. 稳恒电流分布J在外场Ae中的相互作用能为_____________. 答：WiAeJdV



练习二



1. 区域内任意一点r处的静磁场可用磁标势描述，只当__ B ____：A. 区域内各处电流密度为零；



B. H对区域内任意封闭路径积分为零; C. 电流密度守恒；D. r处的电流密度为零。

2. 一半径为R的均匀带电导体球壳，总电量为Q，导体球壳绕自身直径以角速度转动（设的

方向沿z 方向），总磁偶极矩为____________.

fvRsin,mdmfRdR2sin2RsinRdR2sin2

R





dsin

3Q4R2

R



sindcosR

24 12QRmQR



3. 设分布在体积V内的稳恒电流密度J所激发的矢势为A，则空间中的总磁场能量为_________.

1

答：WAJdV



R4. 半径为磁导率为的均匀介质球，置于均匀恒定的磁场B0B0ez中,球外为真空。用磁标势

法，求空间各点的磁感应强度．解: 由于本题无传导电流，内、外磁标势为

2m10

2

m20

由题意,边界条件为:

rRrR

(1)(2)

;

m1Rm2R

m2m1

0rrR

自然边界条件为:

(3)

(4)



m1m2

r0r

有限B

0rcos

(5)(6)

0

由条件（5）和（6）得

m1anrnPn(cos)

n0

B0(n1)

rcosbrPn(cos)nm2n0

0

由（3）得

rRrR

(7)(8)



0

Rcosn0bnR(n1)Pn(cos)n0anRnPn(cos)



B0b1(n1)nRcosbRP(cos)aRcosaRPn(cos) nn1n2Rn1n10

b1B0

Ra1R20R

R(n1)bnRnan0

由（4）得

n1n1

(9a)

(10a)

B0cos0bn(n1)R(n2)Pn(cos)annRn1Pn(cos)

20b1

a1B

0R3

(n2)n1

(n1)RbnRan0n0

由（10）得，n1

n1n1

(9b)(10b)

，

R(n1)bnRnan0R(n1)

(n2)n1(n2)

(n1)RbnRa0(n1)R0nn0

当n

nR

n1



0(n1)n

0

1时，有anbn0

由（9）得

当n1时，有(2分)

b1B00b1RaRB0a130b113003(0)a1R2RR2b2b0101B0B03B0(20)a1a1a313RR

3B0a1(20)3

()BR00b10(20)

故解为

3B0rcos3B0r

rRm1a1rP1(cos)

(2)(2)003

BBrcos()BRcos2000rcosbrP(cos)0

m211 00(20)r203(0)RB0r1

(Br)rR03

0(20)r

3(B0r)3B0

B1H1m1rR

(20)(20)30(0)R(B0r)3(B0r)rBHB[020m20235

(20)rr

0(0)R3B03(B0r)r

B0[3rR5

(20)rr

参考题：

1. 半径为R0的接地导体球外充满绝缘介质，离球心为



变量法,求导体球外的电势e.2) 球面RR0处的自由电荷面密度

a处aR0置一点电荷Q。1）试用分离

及束缚电荷面密度P.提

1示：

Ra2Racos



n0



Pn(cos)an1

Ra

1）分离变量法

令





4Ra2Racos

2'00,

'

R

0'

R

0

4Ra2Racos

bnR(n1)Pn(cos)

RR0(1)

1r

R2a22Racos



n0



P(cos)n1n

Ra

注意：这一表达式并不是对任何R成立，仅在

Ra时，才能如此展开.

aRR0

QRn(n1)

P(cos)bRPn(cos)nnn1

4n0an

由

0，得

QR0(n1)



P(cos)bRPn(cos)0n0n1n

4n0an

R0a

2n1

QR0

bn

4an1

将其代入（1）得

R02n1(n1)Q

RPn(cos)n122

4Ra2Racos4na



4Ra2Racos

4R2a22Racos

RR0



QR0/a

4n

R2

/aRn1



Pn(cos)

QR0/a

4R2R02/a2RR02/acos

2). 球面RR0处的自由电荷面密度

及束缚电荷面密度P.

f



R

RR0

4R02a22R0acos

QR0acos



3/2



R0QR0bcos



3/2

223R0R024aR02cosaa



4R02a22R0acos

QR0acos



3/2



R02

aR0QR0cosa

4RaR2R0acos3

3/2



a2QR0acosacosR04Ra2R0acos

RR0

3/2



4R0Ra2R0acos

Qa2R02



3/2

PP1RP2R0E2R

导体内P1R0



0

R

10

Qa2R02



4R0R02a22R0acos



3/2

2. 一个不带电的空心导体球壳的内外半径为R1和R2,在壳内离球心为

解: （1）. 由高斯定理可知，球内表面的电量为

aaR处置一点电荷

Q．(1)求空间各点的电势分布．(2)导体球上内、外表面的感应电荷面密度.

Q，球外表面的电量为Q

球内电荷的位置对球外的电势无影响，这样，

QRR24R

Q

R2RR1

4R2

但点电荷Q与球内表面上的感应电荷

Q必须使内表面上电势保持为0.

RR1若在球外距球心为b处放一镜像电荷Q'1Q， aa

bR1/a2

R1/aRb（说明：Q'QQ1Q）代替球内表面上的R1

R1R1aQ'Q

b

感应电荷，则可以使球面R1上的电势保持为0。则所有电荷在RR1空间产生的电势为

i



Q40r



Q'40r'



4R2

R1Q

40aR2b22Rbcos

QR1/a

Q4R2

40R2a22Racos



40R2a22Racos

40R2R12/a

2RR12/acos

(2). 导体球上内表面的感应电荷面密度.fD2nD1n0D1n0

iR

RR1

f

4R12a22R1acos

QR1acos

3/2



R1QR1bcos

223RR2114aR12cosaa

3/2



4R12a22R1acos

QR1acos

3/2

R12

aR1QRcos1a



4R13R12a22R1acos

3/2

a2QR1acosacosR1QR12a23/222

4R1a2R1acos4R1R12a22R1acos



3/2

导体球上外表面的感应电荷面密

aR0置一点电荷Qf.1）试求导体球外的电势e.2)球面RR0处的自由电荷面密度f

电荷面密度P. 解: 采用镜像法

RR01）若在球内距球心为b 处放一镜像电荷Q'0Q,代替球面上的感应电荷,则可以使aa

及束缚

球面上的电势保持为0.则Q和Q'在r

R0空间产生的电势为



Q4r



4r'

这里rR2a22Racos, r'R2b22Rbcos



4Ra2Racos



R0Q

4aRb2Rbcos



4Ra2Racos



QR0/a

4RR/a2RR/acos



(3) 球面RR0处的自由电荷面密度

及束缚电荷面密度P.

f

R

RR0



4R02a22R0acos

QR0acos

3/2



R0QR0bcos

4aR02



R02a



3/2

23R0

2cosa

f

4Ra2R0acos

QR0acos



3/2



R02

aR0QRcos0a

4R0a2R022R0acos

3/2



a2

QRacosacos0R04R02a22R0acos

3/2



4R0R02a22R0acos

RR0

Qa2R02



3/2

PP1RP2R0E2R

0

R

Qa2R020

1

4R0R02a22R0acos



3/2

4. 磁导率为的均匀磁介质充满整个空间，且介质中的磁感应强度为B.如果在介质中挖去半径为R



解:由于本题全空间无传导电流，故可采用磁标势解题，Hm.设内、外磁标势满足为

m1,m2,他们满足

的介质球,求球内外的磁感应强度．

2m102

m20

由题意,边界条件为:

rRrR

(1)(2)

;

m1Rm2R

m2m1

0rRr

自然边界条件为:

(3)

(4)

m1m2

r0r

有限

rcos

(5)(6)



由条件（5）和（6）得

m1anrnPn(cos)

n0

B(n1)

rcosbrPn(cos)nm2n0



由（3）得

rRrR

(7)(8)





Rcosn0bnR(n1)Pn(cos)n0anRnPn(cos)



Bb1(n1)nRcosbRP(cos)aRcosaRPn(cos) nn1n2Rn1n1

b1B

R2a1RR

(n1)nRbRan0n

由（4）得

n1n1

(9a)(10a)

Bcosbn(n1)R(n2)Pn(cos)0annRn1Pn(cos)

2b

B310a1R

(n2)n1

(n1)RbnRan0n0

由（10）得，n1

n1n1

(9b)(10b)

，

R(n1)bnRnan0R(n1)

(n2)n1(n2)

(n1)RbnRa0(n1)Rn0n

当n

0nR

n1



(n1)0n

0

1时，有anbn0

由（9）得

当n1时，有(2分)

b1b1BRaR3b1Ba113R2RR3(0)a12b1B2b10a1Ba3B(20)a10133RR

3Ba1(20)3

()BR0b1

(20)

故解为

3Brcos3BrarP(cos)m111

(20)(20)

BBrcos(0)BR3cos2

1(cos)m2rcosb1rP(20)r2

33(0)RBr(0)RB1

(r)cos(Br23

(20)r(20)r

rR

rR



30(Br)30B

B10H10m1

(20)(20)3(0)R(Br)3(Br)r

BHB[]2m2235

(20)rr

(0)R3B3(Br)r

B[35

(20)rr

rR

rR



半径为R的空心球外充满介电常数为的均匀电介质，该体系处于均匀外电场E0中，取球心为坐



标原点，E0沿z轴方向。试用分离变量法求球内外的电场强度。

解: 由于本题无自由电荷，内、外电势满足

2102

20

由题意,边界条件为:

rRrR(1)

; (2)(3)

1R2R

21

0rRr

自然边界条件为:

(4)



(5)(6)

12

r0r

有限E0rcos

由条件（5）和（6）得

nar1n0nPn(cos)(n1)ErcosbrPn(cos)0nn02

rRrR

(7)(8)

由（3）得

E0Rcosn0bnR(n1)Pn(cos)n0anRnPn(cos)

b(n1)

Pn(cos)a1RcosanRnPn(cos) E0R12cosbnR

Rn1n1



b1

ER2a1R0R

(n1)n

RbRan0n

由（4）得

n1n1

(9a)(10a)

E0cosbn(n1)R(n2)Pn(cos)0annRn1Pn(cos)

2b

E0310a1R

(n2)n1

(n1)RbnRan0n0

由（10）得，n1

n1n1

(9b)(10b)

，

R(n1)bnRnan0R(n1)Rn(n1)0n

02(n2)n1(n2)n1

Rbn0nRan0(n1)R0nR(n1)R

当n1时，有an

bn0 (1分) 由（9）得，当n1时，有

3b1b1aE013b1E0RR2a1RE0R3a1(20)(0)a1

R33

2b12b1()R0E030a1E030a1E03E0(20)a1b1RR(2)0

故解为

33

1a1rP1(cos)E0rcosE0r(20)(20)(0)R322E0rcosb1rP1(cos)E0rE0r3(20)r

33

E11(E0r)E0220033(0)REr(0)RE03(E0r)rE22(E0r)03E0[352020rrr

rR

rR

rR

rR

电动力第四章习题及其答案

1. 一金属壁谐振腔，长宽高分别为a,b,c,且满足abc,腔中为真空；则腔中所激发的最低频率

的谐振波模为 (1,1,0),与之相应的电磁波波长为2/

. 22

提示：用mnp

2cp21/2p21/2m2n2m2n2

，分析 )()()]c[()((]mnp

mnpL2L3abcL1

2. 矩形波导管，管内为真空，管截面积s一定，矩形的长和宽分别记为a和b。要使（1，1）模具

有最小的截至频率c，则a或b的表达式为_____________.

答：kxkykzk2kzk2kxky0k2kxky，

mn 

ab2

mnmn

c abab

2222

mn

c （m,n0,1,2,...）

ab

(0)

截止频率为：mn



mn

(2()2，若sab,mn1，则有 ab

cc

dc

b2sa2b2sa2s2/a2,



(2a2s/a)/as/a0

as

3．一矩形波导管，管内为真空，管截面矩形的长和宽分别为a和b,且a > b,要使角频率为的TE10波能在管中传播，a应满足a

2ss/ss2sc2/s 时，有极小值cs

c/.

解： 

mn，TE对应于m1,n0，10ab

c/aac/



4．在均匀介质中传播的平面单色波是横波,其E和B相互垂直且都__垂直___于波的传播方向,E



和B的相位__相同___, EB.

5．某试验室需要能传输频率为f5109Hz的TE11型微波，实验室有如下几种尺寸的矩形波导管（长度单位为厘米）：(a)26,(b)45,(c)38,(d)48.问那几种尺寸波导管可供选择（b）,(d).

mn解：c （m1,n1） ab

a2b22f25109111

2fc10

ababc3310

a2b21

 （以cm为单位） ab3

a2b22262401

(a)26,

ab1212123

a2b242[1**********]001

(b)45,

ab[1**********] a2b2328273/641

ab243833a2b242825451

(d)48.

ab3248824243



E(x,t)

5．试从Maxwell方程组出发,证明在真空中传播的时谐电磁波

B(x,t)

2E(x)k2E(x)0

k00). 方程组E(x)0确定(其中

cB(x)[E(x)]/(i)

it

E(x)e

it的空间部分,可由B(x)e

证明：1) 证明亥姆霍兹方程

BEt DHJ

ft

BHH

0由E E0 ttt

D0E,



B

EJ0,0Dffft DHB0t



D0B0

B0H



2E

E2E002

t



211E2

c0 则有 E2 2

ct00

ititE(x,t)E(x)e,B(x,t)B(x)e 2itE2

E(x)e 2t



DE

E0,H 0tt

222

E(x)2E(x)0E(x)kE(x)0,k00



2）D0,D0E,E(x)0

1BE(x) 3）E,EiB,B(x)

it

6．由Maxwell方程组出发,推导出在没有自由电流和自由电荷的情况下,真空中电场所满足的波动方程和真空中电磁波波速的表达式. 解：Maxwell方程组为



BDE,D0,H,B0

tt

真空D0E,

B0H



BHH

0由E, E0

ttt



2DEE2

H0,EE00

ttt2

211E2

c0则有 E2 ,

ct200





E0



7．由Maxwell方程组出发,推导出在没有自由电流和自由电荷的情况下,均匀介质中传播的时谐电磁波的电场E所满足的波动方程和电磁波波速的表达式. 解：Maxwell方程组为



DE2E2

H,EE

ttt2

BDE,D0,H,B0

tt

BH DE,



BHH

由E, Ettt











E0



1E12

vE0则有 ,22

vt

8．由Maxwell方程组出发,推导出在没有自由电流和自由电荷的情况下,真空中磁场B所满足的波动方程和真空中电磁波波速的表达式. 解：Maxwell方程组为





DEE

00由B0, B00ttt



真空D0E,

DBE,D0,H,B0

tt

长沙理工大学备课纸



B0H







2BB2

E,BB00

tt2





B0



211B2

0 ,c则有 B22

ct00



9．由Maxwell方程组出发,求证在真空中传播的平面单色电磁波E(x,t)E0exp[i(krt)],

B(x,t)B0exp[(ikrt)]是横波,而且满足关系B,其中k和是平面单色电磁波的波矢







量与角频率.



DB

,D0,H,B0 解：Ett



B0H 在真空中 D0E,

ikikzt

xtE(x,t)E0e, B(x,t)B0e

ikxt由E(x,t)ikE0e0得，kE00，kE

ik xt由B(x,t)ikB0e0得，kB00，kB

ikx11

B(x,t)E(x,t)E0et

ii



kE0ikkEext





10．考虑频率为的电磁波在电导率为的金属导体中的传播，（1）写出金属良导体条件的表达式。（2）证明：在良导体条件下，电荷只能分布在导体表面上。（1）金属良导体条件为

/(0)1

（2）证明：考虑良导体中某一区域初始电荷密度为0，由方程

E/0,jE，



/tj0，



容易得到/t(E)/t(/0)0

解得

0exp[(/0)t]

0/

，因此只要电磁波的周期

电荷密度随时间指数衰减，衰减特征时间为

0TT

0

1，或/(0)1，就可以认

为(t)0，即电荷只能分布在导体表面上

11．一频率为平面单色电磁波，垂直入射到很厚的金属表面上，金属导体电导率为；求1）进入金属的平均能流密度；2）金属单位体积内消耗的焦尔热的平均值；证明透入金属内部的电磁波的能量全部变为焦尔热。

解：考虑到金属为良导体，电磁波进入导体后，很快衰减，故可设金属导体充满z0的半空间。电磁波由z0的真空垂直入射到金属表面

zizt

1）进入到金属的电磁场为EE0ee，



iiziztB

EiBikEHezEezE0ee，

t



这里复波矢k(i)ez

金属中任意位置处的平均能流密度为

*1zizti1zizt

ReEHReeeE0(ezE0)ee22

i12zi212z2z2

ReeE0(ezE0)ReeE0ezeE0ez

222

2

E0ez 进入金属表面的平均能流密度为

2



2）金属单位体积内消耗的焦尔热的平均值

**zizt12z211zizt

wReEJfReEEReeeE0E0eeeE0

2222

3) 金属表面单位面积为底的无穷长圆柱体所消耗的平均焦尔热功率



222z0122z

WdzeE0E0eE0， 0244

122

E0E0。，W

2242

由（1）可知，这正是单位时间内进入金属表面z0处的能量的值，即透入金属内

部的电磁波的能量全部变为焦尔热。

电动力第五章习题及其答案



1. 电磁场矢势A与标势满足的库仑规范条件为A0,罗仑兹规范条件为

1A20.

ct

A2. 对于一般的电磁场,E和B与矢势A与标势的关系为（1）E, (2) BA.

t



1）写出Maxwell方程组；2）由Maxwell方程组导出标势和矢势A所满足的基本方程组；3）

在洛仑兹规范下,由上述方程组导出达朗贝尔方程组.

BEt解：1）Maxwell方程组DHJ

ft



Df



B0



B0BA

2) BAAA EE0(E)0Etttt

A将E及

t



D0E代入Df

得：



A2

 0E0t00tA







A/0

t





将BA及B0H



D

代入HJf得：

t



111E

BAA2AJf00000t





A

A2A0Jf00

tt



211A A2A0Jf22

ctct



21A12

A2A20Jf 2

ctct

1

0 3）由洛伦兹规范 A2

ct

2

2A

c21c2

2

/0

t2 2A

0Jf

t2

4．由Maxwell方程组出发,在库仑规范条件下，推导真空中电磁场的矢势与标势所满足的微分方程.

BEt解：1）Maxwell方程组DHJ

ft



Df



B0



B0BA

2) BAAA EE0(E)0Etttt

A将E及

t



D0E代入Df

得：



A2

 0E0t00tA







A/0

t





将BA及B0H



D

代入HJf得：

t



111E

BAA2AJf00000t





A

A2A0Jf00

tt



211A

A2A0Jf22

ctct



21A12

A2A20Jf 2

ctct



库仑规范 A0

2/0



 212A1

A220Jfct2ct

5．试从Maxwell方程组出发,给出变化的电磁场矢势和标势的定义，说明何谓电磁场的规范变换，



并证明电磁场的E和B在这种规范变换下保持不变.

B

解：由B0 得BA，将其代入E得, EA0，



t



t



AA故可引入标势，使得E ，即：Ett



设(x,t)是一个具有连续二阶偏导数的任意标量函数，做变换

B'A'AAAB

 A'AAE''Ettttt



6．一电量为q的粒子沿z轴作简谐振动，其坐标为zacost。设它的速度为vc(c为真

空中的光速）求它的辐射场和平均能流密度以及辐射功率.

exsincoscoscossiner



cose 提示：直角坐标基矢与球坐标基矢关系为eysinsincossin

ecosesin0z

解：由定义这个带电粒子对原点的电偶极矩为：P(t)qacostez

振动电偶极矩产生的矢势为



0dP(t')qaqarA(r,t)0sint'ez0sin(t)ez

4rdt'4r4rc



0qa

sin(krt)ez 其中，k/c

4r

0qaqa

BA[sin(krt)]ez0kcos(krt)]rez

4r4r

0qa20qa2

cos(krt)]erezcos(krt)]sine

4cr4cr

DE122

HBcBiEcikB

tt000qa22EcBerEcBercos(krt)]sineer

c4r

0qa2Ecos(krt)]sine

4r

平均能流密度：

1S



2220qa4sin21

EHdt

162r2c0T





cos2(krt)]dter

00q2a24sin2q2a24sin2erer

22232

160r2c320cr

辐射功率：

P

Sds



2

d



q2a24sin22drsin 232

320cr

143 [1cos]dcoscoscos

330



sin3dsin2dcos

00



P

q2a248q2a24Sds23

320c3120c3

另解：由定义这个带电粒子对原点的电偶极矩为：



P(t)qaexp(it)ez ，

振动电偶极矩产生的矢势为

A(r,t)0

4

r

Ra



00dP(t')

J(x',t')dV'

4R4Rdt'





J(x',t')dV'

0qa

exp(it')ez

4Ri0qaR exp[i(t)]ez

4Rci



i0qa

exp[i(kRt)]ez 其中，k/c

4R

iqa0qa20

BAikexp[i(kRt)]ezexp[i(kRt)]erez

4cR4R

0qa2

exp[i(kRt)]sine

4cR



DE122

HBcBiEcikBtt000qa22EcBerEcBerexp[i(kRt)]sineer（2分）

c4R0qa2Eexp[i(kRt)]sine

4R

平均能流密度：

2221qa4sin210

SReEHee

22162R2c0



2 2Psinqasinqasin002eeerrr

320r2c3220c3r23220c3r2

辐射功率：

P

Sds



2

d



q2a24sin22drsin 232

320cr

301sindsin2dcos[1cos2]dcoscoscos34

0033

P

224224qa8qa1P

Sds233

320c3120c403c3

7．1）写出Maxwell方程组；2）从此方程组出发，引入电磁场的矢势和标势，说明何谓电磁场的规



范变换，并证明电磁场的E和B在这种规范变换下保持不变.

解：1）Maxwell方程组为

DBE,D,HJ,B0

tt



2）由B0 得BA。将其代入EB/t得,

EA/t0，故可引入标势



长沙理工大学备课纸

，使得EA/t，即：



EA/t



设(x,t)是一个具有连续二阶偏导数的任意标量函数，做变换

B'A'AAAB

 A'AAE''Ettttt





8．一电偶极子位于坐标系的原点，它的电偶极矩为PP0costex。试求1）它在r2c/

辐射场的电场强度和磁场强度；2）该处辐射场的能流密度. (15分)

exsincoscoscossiner

cose 提示：直角坐标基矢与球坐标基矢关系为eysinsincossin

ecosesin0z



1）解：注意：本题电偶极矩PP0costex沿着x轴，但球坐标选取如常（如r与Z轴间的夹角为

等）这样，振动电偶极矩产生的矢势为

rJ(x',t')dV'00dP(t')

A(r,t)0J(x',t')dV'

4r4r4rdt'

p0ip0r

i0exp(it')ex0exp[i(t)]ex

4r4rc



i0p0

exp[i(krt)]ex 其中，k/c

4r

长沙理工大学备课纸

i0p00p02

BAikexp[i(krt)]exexp[i(krt)]erex

4cr4r

exsincosercoscosesine)

0p02Bexp[i(krt)](sinecoscose)

4cr

p02Hexp[i(krt)](sinecoscose)

4cr



DE122

HBcBiEcikBtt00



Ec2BerEcBer

c0p02Eexp[i(krt)](sinecoscose)er

4r

取实部

0p02Eexp[i(krt)](coscosesine)

4r0p02Ecos(krt)(coscosesine故有)

4r

p02Hcos(krt)(sinecoscose) 取实部

4cr

能流密度：

SEH

0p0242

cos(krt)(coscosesine)(sinecoscose)22

16crp24cos2(krt)222S0020(sincoscos)er

160cr2

p0cos(krt)22

(1sincos)er

1620c3r2

ikzt9．有一原子团，设其极化率为()，处于电磁场EE0eez之中, 该原子团位于坐标原点，

其体积为V，且原子线度远小于电磁波波长。试求原子团在远处的辐射电磁场和电偶极辐射的平均能流密度以及辐射总功率。



解：首先复习一下电偶极矩的计算：p总

x

V''(x',t')dV'

x'q

电荷连续分布电荷分立

V内的总电偶极矩p总

电极化强度矢量P0Ep总PV0VE0eitez

VV

振动电偶极矩产生的矢势为

长沙理工大学备课纸

rJ(x',t')dV'00dP(t')

A(r,t)0J(x',t')dV'

4r4r4rdt'

00VE0iVE0r

iexp(it')ezexp[i(t)]ez

4r4rc2c

iVE0

exp[i(krt)]ez 其中，k/c 2

4rc



iVE0VE02

BAikexp[i(krt)]eexp[i(krt)]ezrez23

4rc4rc

VE0exp[i(krt)]sine3

4rc

DE122

HBcBiEcikBtt00VE022EcBerEcBerexp[i(krt)]sineer 2

c4rcVE02Eexp[i(krt)]sine

4rc2

平均能流密度：

2112V2E04sin2

SReEHee

252

22160cr



VEsiner

232

32cr

辐射功率：

P

Sds



2

d



02V2E024sin22drsin 232

32cr

301223sindsindcos[1cos]dcoscoscos4

0033

P

22242V2E248VE000

Sds0

322c3312c3

电动力第六章习题及其答案

1. 狭义相对论的两条基本原理是

(1)相对性原理 (2)光速不变原理

2. 一飞船空间舱以速度v 相对于地面运动，一物体从舱顶部落下，空间舱上的观察者所测得的时

间是地面上的观察者所测得时间的3/5,则空间舱飞行速度为4c/5.

解：设飞船为'，物体从舱顶部下落为事件1：(x1',t1')，落地为事件2：(x2',t2') ，则有

t'1c2x1't'2c2x2'x1'x2t'2t1'3

t,tttt't'(tt)x1'x2',21 122121

v2v2v25cccc2

t'2t1'3942

1vc c2

t2t15255

3. 在狭义相对论中,两事件

(x1,y1,z1,t1)

与

(x2,y2,z2,t2)的间隔为s2

2222

c2t2t1x2x1y2y1z2z1.

4. 若两个事件可以用光波联系,有rct,因而两事件的间隔为s

, 则种间隔称为间隔.

5. 一飞船空间舱以相对于地面的速度v运动，一物体从舱顶部落下，空间舱上的观察者所测的时

间是地面上观察者所测的时间的1/

倍，则空间舱飞行速度为2c/

t1

t'1c2x1'c2

t'2c2x2'x1'x2010t'22

,t2tvc c2v2v22t5ccc2

6. 两惯性系'和相对运动速度为u,一根直杆在系中，其静止长度为l，与x轴的夹角为 ,

则在'系中的观察者所测到该直杆长度为___________. 解：xlcos

v2c2

yylsin,l(x)2(y)2l(1v2cos2/c2)2



7. 静质量为m0，电量为q的粒子，在垂直于均匀磁场B的平面内作轨道半径为R的匀速圆周运

动，求粒子速度大小的表达式。



解：电子的运动方程为：F

dpdt

qvB,

dv其中p

0

m0v1v2/c2

因为粒子作匀速圆周运动，故v不变,

m0v2/c2

dt

c2(1v2/c2)3/2

m0v

vqvB,



v2/c2dt



qvBqvB





22mv

,

21v2/c2R2

qvB

220

q2B2R2

1v2/c2qBRmvqBR(m

q2B2R2

2))v2q2B2R2 vqBR/m0(qBRm0c





8．设有两根互相平行的尺,在各自静止的参考系中的长度均为l0,它们以相同速率V相对于某一参考系运动,但运动方向相反,且平行于尺子．求站在一根尺上测量另一根尺的长度．解：设沿x方向运动的尺位于'上,则已知另一把尺相对于的速度为

uxv,uyuz0

故这把尺相对于'的速度为

ux'

uxvvv2v



vuxv2v2

121212

ccc

2v

221v/c

'上的观察者测得另一把尺的长度为

ll0u

'2x

cl0

cl0



1v2/c2

1v

l01v22

4v/c

1v2/c2



1v/c

4v2/c2

9．在坐标系∑中,有两个物体都以速度u沿X轴运动,在∑系看来,它们一直保持距离L不变.今有一观

察者以速度v沿X轴运动,他看到此二物体的距离是多少？

22u解：在系看两个物体的距离为L、运动速度,则有LL0uc

将

, 即L0

L/u2c2,

'

建立在以速度V沿x轴正方向运动的观察者上, 则两物体相对于

'

速度为

u'u'x

uxvuv



1vux/c21vu/c2L

L'L0u'2c2

Lu2c2

uv22

(c 2

1vu/c



u22

Lu22

(1vu/c2)2c2(uv)2L



(1vu/c2)2c2u2c2c2u2v2v2u2/c2L



(1vu/c2)2c2u2c2

c22vuv2u2/c2(uv)2

(1vu/c2)2c2

(c2u2)(1v2/c2)Lv

(1vu/c2)2c21vu/c2



10．静止长度为l0的车厢,以速度v相对于地面S作匀速直线运动,车厢的后壁以速度u0(相对于车)向前推出一个小球,求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间．

解：解法1：已知

x'l0 (3分) t'l0/u0

vu0vvl1t'2xl0/u02l002ct

v2c2v2c2u0v2c2

解法2：小球相对于车厢速度为ux ux

u0, 相对于地面S的速度为:

；地面S看车厢的长度为: l

u'xvu0v

'

0vux

112

c2c

l0v2c2

地面S看小球对车的速度为: u球对车uxv，地面S观测到的时间为:

t

uxv

l0vc0v012





l0v

u0vv

vu0

vu0l01vu0/c2

12

cu0v2c2





11．物体A相对于地面以高速uA(uA,0,0)运动，物体B相对于地面以高速uB(0,uB,0)运

动；试求物体A相对于物体B的速度，物体B相对于物体A的速度，两者有什么关系？

解：1)求uBA

设地面为系，物体A为'系，'相对于沿x方向运动，则有 vuA,ux0,uyuB,uz0(2分)



uxv

u'uAx21vux/c



uyv2u2uB2u'y2

1vux/ccc uzv2

u'z202

1vux/cc

u

uBA(uA,uBA2,0)

2)求uAB

y'y

ux'

地面

设地面为系，物体B为'系，'相对于沿Y方向运动，则有 vuB,uxuA,uy0,uz0

2uxv2uB

u'x12uA2

1vuy/cccuyv

uBu'y2

1vuy/c 

uzv2

20u'z2

1vuy/cc

y'y

'

地面

ux'

3) 两者速度大小相等，但方向不是正好相反。

12．有一光源S与接收器R相对静止，距离为l0, S—R装置浸在无限大的均匀液体介质(静止折射率

n)中．试对下列三种情况计算光源发出讯号到接收器接到讯号所经历的时间

(1) 液体介质相对于s—R装置静止； (2 ) 液体沿着s — R连线方向以速度v流动； (3) 液体垂直于s—R连线方向以速度v流动．

解：(1)当液体介质相对于s—R装置静止时，光源发出讯号到接收器接到讯号所经历的时间为t

l0ul0c/nnl0

(2)当液体介质沿着s — R连线(x轴)方向以速度v流动时，选参考系'固定在介质上．在'上观察，介质中的光速沿各方向都等于u'

xc/n，则在上观察，沿介

质运动方向的光速为

1

uu'xvc/nv1vu'

c/nv

1vx， x c

1ncc2l

v01

t

u

ncx

c/nv

(3)当液体垂直于s—R连线方向以速度v流动时，

':

 R以u'xv运动,因而，要R能接受到

S发的光，必须以右图所示方向发射，

u'xv，u'2y

c/n2

v

:u'xvx

u1vuvv

0x

1, c2uy

u'yv2/c2/(1vu'x

/c2)

lv20



c/n2v2v2/c2/(1v2/c2

)tl0c

uy

c/n2v2/22c/n2

v



v/c

u13．在坐标系中，有两个物体都以速度沿x轴正方向作匀速直线运动，在系看来，它们一

直保持距离L不变．问在下列情况下观察者测得这两个物体的距离是多少? (1)观察者以速度V沿x

轴正方向运动; (2) 观察者以速度V垂直于系x轴运动.

22

解：(1)在系看两个物体的距离为L、运动速度u,则有 LL0uc

, 即

L0L/u2c2

(3分), 将'建立在以速度V沿x轴正方向运动的观察者上, 则两物

体相对于'速度为 u'u'x

uxvuv

22

1vux/c1vu/c

L'L0u'2c2

Lu2c2

uv22(c2

1vu/c

c22vuv2u2/c2(uv)2

(1vu/c2)2c2



Lu22

(1vu/c2)2c2(uv)2L



(1vu/c2)2c2u2c2c2u2v2v2u2/c2L



(1vu/c2)2c2u22



(c2u2)(1v2/c2)Lvc



(1vu/c2)2c21vu/c2

2) 设地面为系，

'相对于沿Y方向运动，则两物体相对于



速度为

uxu,uy0,uz0，相对于'速度为

uxv2v2

u'x2u2

1vuy/ccc

uyv

vu'y2

1vuy/c 

uzv2

120u'z2

1vuy/cc

L'L0u'

u2v2 2(12cc

cL0

u2v2

2(12

Lu2c2

14．一辆以速度V运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线上的两铁塔.设建筑物及两铁塔都在一直线上，与列车前进方向一致,铁塔到建筑物的地面距离已知都是l0.求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差.

解法1: 列车上的观察者看到两铁塔和避雷针都在以速度v运动，它看到铁塔和避雷针

的距离为

- 40 -

ll0vc

解法2:

2vl0v2c22vl0ll2vl

，t' 2

222cvcvcv2c2v2cvc

x1l0,t1l0,x2l0,t2l0

t'1

t1vx1/c2vc



l0l0vc2vc



l0c2

,t'2

t2x2vc2vc



l0l0vc2vc

t't'1t'2

l0c2vc

l0c2vc

2vl0cvc

- 41 -

电动力学第一章习题及其答案

1. 当下列四个选项：(A.存在磁单级, B.导体为非等势体, C.平方反比定律不精确成立,D.光速为非普

适常数)中的_ C ___选项成立时,则必有高斯定律不成立.



2. 若a为常矢量, r(xx')i(yy')j(zz')k为从源点指向场点的矢量,



E0,k为常矢量,则

dr222r(ra)=(ra)(r)a)drra2rra2ra,



rijkx-x'y-y'z-z'r

(xx')(yy')(zz')ijk

2(xx')(xx')(xx')2(yy')2(zz')2,同理，2222(xx')(yy')(zz')



(yy')(zz')222222(xx')(yy')(zz'),(xx')(yy')(zz')

exexex

(x-x')(y-y')(z-z')0， rxyz r3，

xx'yy'zz'

 (ar)a(r)0

r3

r

()rrrr2r

r

r0

ka，

,(ar)

r

[ax(x-x')]

x

i

[ay(y-y')]

y

j

[az(z-z')]

z

rrr3 ，(A)rrrr

ik3

[E0sin(kr)]kE0cos(kr), 当r0时,(r/r)(E0er)

(r)ikE0exp(ikr), [rf(r)][rf(r)]3f(r)rdfdr

3. 矢量场f的唯一性定理是说：在以



s为界面的区域V内,若已知矢量场在V内各点的旋度和散



f在V



度,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则



t

内唯一确定.



4. 电荷守恒定律的微分形式为J0,若J为稳恒电流情况下的电流密度,则J满足



J0.

5. 场强与电势梯度的关系式为，E.对电偶极子而言,如已知其在远处的电势为



13PrrP

Pr/(4r)，则该点的场强为E.

40

r3

6. 自由电荷Q均匀分布于一个半径为a的球体内,则在球外(ra)任意一点D的散度为 0,



内(ra)任意一点D的散度为 3Q/4a3.



arbr

7. 已知空间电场为E23(a,b为常数），则空间电荷分布为______.

ar1r1

3E2b

rrrr

ar1ar2rr2

0E0(2b)0[24b(r)]

rrrr3

3a2rra

0[244b(r)]0[24b(r)]

rrr

8. 电流I均匀分布于半径为



a的无穷长直导线内，则在导线外(ra)任意一点B的旋度的大



小为 0 , 导线内(ra)任意一点B的旋度的大小为0I

/a2.



9. 均匀电介质（介电常数为）中,自由电荷体密度为f与电位移矢量D的微分关系为



P, 束缚电荷体密度为与电极化矢量的微分关系为PP,则DfP

P与f间的关系为P

0

f



10. 无穷大的均匀电介质被均匀极化，极化矢量为P，若在

介质中挖去半径为R的球形区域，设空心球的球心到球

P(P2nP1n)

(Pcos0)

PR



面某处的矢径为R，则该处的极化电荷面密度为



PR/R.

11. 电量为

的点电荷处于介电常数为



的均匀介质中，则点电荷附近的极化电荷为

(0/1)q.



12. 某均匀非铁磁介质中,稳恒自由电流密度为Jf,磁化电流密度为JM,磁导率,磁场强度为H，磁



化强度为M，则HJf,MJMJM与Jf间的关系为JM/01Jf.



13. 在两种电介质的分界面上,D,E所满足的边值关系的形式为nD2D1f,



nEE0.

14. 介电常数为的均匀各向同性介质中的电场为E. 如果在介质中沿电场方向挖一窄缝,则缝中

电场强度大小为E. 15. 介电常数为

的无限均匀的各项同性介质中的电场为E，在垂

直于电场方向横挖一窄缝，则缝中电场强度大小为

E0E缝D2nD1n0

E缝E/0,. 

EE0EEsin011122

16. 在半径为R的球内充满介电常数为的均匀介质，球心

处放一点电荷，球面为接地导体球壳，如果挖去顶点在球心的立体角等于2的一圆锥体介质，则锥体中的场强与介质中的场强之比为_1:1_.

D2nD1n0E1E1E2E2E1:E21:1

17. 在半径为R的球内充满介电常数为的均匀介质，球心处放一点电荷，球面为接地导体球壳，

如果挖去顶点在球心的立体角等于2的一圆锥体介质，锥体处导体壳上的自由电荷密度与介质附近导体壳上的自由电荷密度之比为0

/.

D2nD1n0内球面上D1D212

1:20: 

00E1E1E2E2



18. 在两种磁介质的分界面上, H,B所满足的边值关系的矢量形式为



nH2H1f





,nB2B10.



19. 一截面半径为b无限长直圆柱导体，均匀地流过电流I，则储存在单位长度导

体内的磁场能为__________________.



B2r0IW

bB

b0Ir2b, 2rdr

B2rdr

2220Ir24

004b

0I2r3dr4b4



0I2b416b4



0I2

20. 在同轴电缆中填满磁导率为1,2的两种磁介质，它们沿轴各占一半空间。设电流为 I(如图),

则介质1中和介质2中离中心轴r的磁感应强度分别为_______ 。



解：由边界条件可知，B和H必沿着圆周切线，并有1H12H2，又因为

rH1rH2I，故有rH1r

H1

2I1212

H1I

12I12

B1nB1

H1t0

B1B2

21. 电磁场和电荷系统的能量守恒定律的积分形式为：

S

dsd



wdV



fvdV,则该表达式中s，w，fv



wdVfvdV,则该表

的物理意义分别为: 电磁场的能流密度,能量密度,场对V内电荷作功的功率密度.

d

22. 电磁场和电荷系统的能量守恒定律的积分形式为： sd

Sdt



达式中三大项的物理意义分别为：单位时间通过界面S流入V内的能量, V内电磁场能量增加率,场对V内电荷作功的功率.

23. 电磁场和电荷系统的能量守恒定律的微分形式为:

物理量



sw/tfv,则该表达式中



,H的关系为sEH,w与E,D,H,B的关系为



DBw, 与的关系为fvE,JfvJE EH

ttt



24. 设半径为R，高为l的圆柱体磁介质（磁导率为），处于均匀磁场B中均匀磁化，B与柱轴

与

平行，求该圆柱体磁介质中的总磁能（忽略边缘效应）_________.



均匀磁化在圆柱体磁介质表面，产生垂直于B的圆形磁化面电流。设n沿着界面R方向。

s

E

B2nB1n0H2tH1t1B2R2l22

HWHRl 2

0220

B内

25. 同铀传输线内导线半径为a,外导线半径为b,两导线间为均匀绝缘介质.导线载有电流I,两导线

间的电压为U.若忽略导线的电阻，则介质中的能流为UI.

s的大小为UI/(2r2lnb

)，传输功率



二、已知P为电偶极子的电偶极矩,r为从电偶极子中心指向考察点P的矢径,试证明电偶极子在远



处P点所激发的电势为(r)

解、 

Pr4r3



,并求出r处的P点所产生的电场强度E(r)。

q4r



q4r



q(rr)qlcos



4rr4r2

Pr

4r3



(1分) P为常矢



PrPr13 4r34r



PrE4r3





E



3PrrP 53rr

三、已知一个电荷系统的偶极矩定义为p(t)(x',t)x'dV'，利用电荷守恒定律

P3Prr1



4r34r54



dp(t)(x',t)'

J(x',t)dV'。 J(x',t)0，证明p(t)的变化率为

Vdtt



证明：由p(t)

dp(x',t)(x',t)

x'dV'Vdtt ''

[J(x',t)]x'dV'[J(x',t)](x'iy'jz'k)dV'

(x',t)'

及电荷守恒定律(x',t)x'dV'J(x',t)0得V

t

又因为



Jy'(x',t)dV'j；同理 [J(x',t)]y'jdV'V'V'

'

[J(x',t)]z'kdV'Jz'(x',t)dV'k；



['J(x',t)]x'idV''(J(x',t)x')dV'iJx'(x',t)idV'VVV



x'J(x',t)ds'iJx'(x',t)dV'iJx'(x',t)dV'i

SVV



(J(x',t)ds'Jn(x',t)ds'0)

''

[J(x',t)]x'(J(x',t)x')x'J(x',t)

 ''

(J(x',t)x')iJ(x',t)(J(x',t)x')Jx'(x',t)

dp(x',t)

故有

另解：





J(x',t)dV

dp(x',t)(x',t)'

x'dV'[J(x',t)]x'dV'VV dtt'[J(x',t)x']['J(x',t)]x'J(x',t)('x')

'又x'(ijkx'iy'jz'k)

x'y'z' iijjkk

[J(x',t)x'][J(x',t)]x'J(x',t)(iijjkk)[J(x',t)]x'J(x',t)

dp(x',t)'[J(x',t)x']dV'J(x',t)dV'

VVdt

'

ds[J(x',t)x']J(x',t)dV'

VVJ(x',t)dV'(J(x',t)ds'Jn(x',t)ds'0)

长沙理工大学备课纸



四、对于稳恒磁场,在某均匀非铁磁介质内部, 磁化电流密度为JM,自由电流密度为Jf

试证明JM与Jf间的关系为JM/01Jf.

,磁导率,

1111

证明：JMMBH

00

1H1Jf

00

第二章静电场

练习一

1. 有导体存在时的唯一性定理是说: 若给出介质中自由电荷的分布,给定每个导体上的__电势



i__或每个导体上的__Qi _,以及（包围所有导体的）界面S上s或ns,则S内静电

场E被唯一确定.

2. 无导体存在时的静电学问题的唯一性定理为: 设空间区域V可以分为若干小区域Vi,每个小区

域Vi充满均匀介质i,若给出V内自由电荷的分布,同时给出V的界面S上的______或_______,则V内静电场E被唯一确定. 或

n



练习二



1. 半径为R0的接地导体球置于均匀外电场E0中,导体球外为真空.试用分离变量法,求导体球外的

电势、场强和导体球面上的自由电荷面密度. 解: 1.求电势

设未放导体球时，球心处原有电势为0，则有

20 0,ERcos0R0R

(R)anRnbnR(n1)Pn(cos)RR0 由

R



E0xE0Rcos

anRnP)E0Rcos n(cos



比较方程两边的系数得：a1E0,an0(n1)。

(R)E0RcosbnR(n1)Pn(cos)

RR0



0，E0R0cos



bnR0

(n1)

Pn(cos)0

3, E0R0b120b1E0R0bn0(n1)，

(R)E0Rcos020cos

RR0

不难看出，第一项是匀强电场产生的势。第二项是球面上非均匀分布的电荷（电偶极子）产生的势，； 2) 电荷分布

2E0R0

f00(E0coscos)RR30E0cos RR0

3)球外场强

R03(R)E0RE0R

RR0

E0RE0R3E0RRE03333E0RR EE0RR03E0R03E0R0345RRRRR





R0

E033E0coserE0

ezcosersine

故上式也能写为

3333

R0R03E0R03E0R0E(13)E0ezcose(1E(cosesine)coser0rr

RR3R3R3

332R0R(13)E0coser(103)E0sine



2. 半径为R0、电势为0的导体球（其与地间接有电池）置于均匀外电场E0中,球外真空, 试用

分离变量法,求电势、导体面上的电荷面密度及场强. 解: 1.电势

设未放导体球时，球心处原有电势为0，则有

00,R0

R

0E0Rcos

上式的通解为 (R)anRnbnR(n1)P)n(cos由 得

R



RR0

n

0E0x0E0Rcos



anRnP)0E0Rcos n(cos

比较方程两边的系数得：a00,a1E0,an

0(n0,1)。

RR0

(R)0E0RcosbnR(n1)Pn(cos)



0

(n1)

0E0R0cosbnR0

Pn(cos)0

0

b0b

0,E0R0120, bn0(n0,1)， R0R0

b0(00)R0,b1E0R0

(00)R0ER(R)0E0Rcos020cos

RR0

因此，不难看出，第一、二项是匀强电场产生的势，第三项是球面上均匀分布的电荷产生的势，第

四项是球面上非均匀分布的电荷（电偶极子）产生的势。 2) 电荷分布

()R2ER

f00(E0cos0200030cos)

RR0RR

3)球外场强

RR0

30E0cos

0(00)

(00)R0R03

(R)0E0R3E0R

RR0



(00)R0RER()RRER3E33000000RR EE0RRER000R3R3R3R3R4







3

(00)R0R3ERRE()RRR0300000 E0RE3EcoseE000r05333

R3RRRR



33

(00)R0R2R0R0或E(1)Ecose(1)Esine0r0

R3R3R3

3、半径为R的空心带电球面，面电荷密度为f0cos（0为常量）,球外充满介电常数为的均匀介质，求球内外的电势、场强.

解: （1）因球内外电荷密度均为0，故有

10

2

20

rRrR(1)

; (2)

由题意,边界条件为:

1R2R

12

0rrR

(3)

0cos



2

(4)有限0

；

自然边界条件为:1

2

r0r

(5)(6)

由条件（5）和（6）得 n1n0anrPn(cos)

(n1)brPn(cos)2nn0

由（3）得

rRrR

(7)(8)



n0bnR(n1)Pn(cos)n0anRnPn(cos)



cosbnR(n1)Pn(cos)a1RcosanRnPn(cos) 2Rn1n1

b1/R2a1R(n1)

bnRnan0R

n1n1

(9a)(10a)

由（4）得

bn(n1)R(n2)Pn(cos)0annRn1Pn(cos)0cos

2b1

0a10R3

(n2)bn0nRn1an0(n1)R 由（10）得，n1

n1n1

(9b)(10b)

，

R(n1)bnRnan0R(n1)

(n2)n1

(n1)RbnRa0(n1)R(n2)n0n

0nR

n1



(n1)0n

0

当n1时，有anbn0

由（9）得，当n

0

ab1a1R3120 1时，有2b1

030a1b0R31R20

故解为



0rcos0rez

1a1rP1(cos)rR2200

33

RreRcos00z2rR23

2020rr

0(rez)0

Eeecosesine11zzr2020

0

或E(cosesinerR1r)

33

3cosecosesine2cosesineRRrrr0或E0

[rR23332020rrr

3. 在两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内有一点电荷Q,它到两个平面的距离为

a和b

,其坐标为(a,b,0),那么当用镜像法求空间的电势时,其镜像电荷的数目为______,这

时所围成的直角空间内任意点(x,

Q40(

y,z)的电势为______.

xa2yb2z2



xa2yb2z2

xa2yb2z2xa2yb2z2

4. 两个无穷大的接地导体平面分别组成一个为45、60、

2

5. 一电量为q的点电荷在两平行接地导体平面中间，离两板距离均为a，则像电荷的个数为

_______. 答：无穷多个

6. 有两个电量为q的点电荷A和B，相距2b，在它们的联线的中点放一半径为a的接地导体球（b>a）,

则每一个点电荷受力大小为_______.

2q1a/ba/b答：[2] 2222404b(ba/b)(ba/b)

练习三（做7,8,9）

1. 均匀带电球体的电偶极矩的大小为_______，电四极矩为_______.

答： 0, 0

2. 一电荷系统，它的电四极矩的几个分量为

D12D213,D23D324, D112,

D13D315,D331,则D22等于______. 答：-3

3. 有一个电四极矩系统，它放在

z0处的无限大接地导体平面的上方，其中D112，

D121，D221，D132，则它的镜像系统电四极矩的D'33 _______.

解：D11(3xr2)Q2，D22



(3yr)Q



对镜像系统：x'x,y'y，1，

D'22(3y'r')(Q)

222z'z，其 D'11(3x'r')(Q)(3xr2)(Q)2，



(3yr2)(Q)1，由D'11D'22D'330得：D'333





4. 一电偶极子P平行于接地导体平面（P到平面的距离很小）。设过P与导体平面垂直的平面

为xy平面，则系统的电偶极矩为_______,电四极矩的非0分量为___________分量. 答： 0, Dxy

Dyx0

设两个电量为Q的点电荷位于直角坐标系中的xb,两个电量为Q的点电荷位于

xa（并有ba）,则该系统的电偶极矩为_______,电四极矩的非0分量为___________.远处

一点的电势近似表达式为_______. 答：0,

D116Qba，





(2)

13211121

DijD112 406i,j1xixjR406xR

2222222yQbaQba1113x3xR22或6Qba(2(35()

406xRR4040RRR





5. 设两个电量为Q的点电荷位于直角坐标系中的

yb,两个电量为Q的点电荷位于

ya（并有ba）,则该系统电四极矩的非0分量为_______，远处一点的电势近似表达

式为______.

D226Qba，





(2)

113211121DijD222 406i,j1xixjR406yR

2222222yQba3yQba3yR11122或6Qba(2(35)() 5

406yRR4040RRR





6. 设两个电量为2.010库仑的点电荷位于z4cm，两个电量为2.010库仑的点电荷

位于z2cm，则该系统的电偶极矩为_____,电四极矩的非0分量为_____.远处一点的电势近似表达式为______.

66

D336Qb2a262.0106(0.0420.022)1.44108cm2



(2)



13211121213z2R2

Dijx'x'R46D33x'2R21.6z2R21.6R5

406i,j1ij03

7. 电荷分布为



,体积为V的带电体系在外电场（电势为e）中的能量为 _______.

W



edV

8. 两个同心带电球面（内、外半径分别为a、b）均匀地带有相同的电荷Q ，则这两个带电球面

之间的相互作用能为_________；系统的总静电能为_________. 解：内球面在外球面处产生的电势为rbe W互



Q40b

，

2Q Q2；

（b)edVdV总

40b40b40bQ

112Q2Q2Q2Q213 ，总（a)W总总dV((40a40b2V240b40a40b80bab

或E1

W总

b1Q24Q22Q2

4rdr4r2dr ,E2,W总0222424ab40r40r2(40)r(40)r

bdr4drb1Q2Q2

((80ar2br280ar

4r

b

Q2114Q213 )(()

80abb80ab

9. 半径为R的接地导体球外有一点电荷q，它离球心的距离为a，则他们的相互作用能为

_______.

解：可以用球内一个位于bR/a假想点电荷Q'Rq/a代替球面上的感应电荷；则

Rq/aRq它们的相互作用能为； 

40(aR2/a)40(a2R2)

第三章静磁场

练习一



1. 电磁场矢势A沿闭合路径L的环量等于通过以L为边界的任意曲面S的____________.



2. 一长直密绕通电螺线管，取管轴为坐标系的Z轴，则它外面的某点的矢势A与该点到管轴的距

离的可能的依赖关系为____c___.

（A. 正比于r2; B. 正比于r; D. 正比于lnr）答：C



0Idl'dA

4r

AdlBS

2rABSA1/r



3. 已知BB0ez，则对应的矢势A为____ __. A. A(B0y,0,0); B. A(B0y,B0x,0);



C. A(0,B0x,0); D. A(2B0y,2B0x,0).



答：A. 因为对于A(B0y,0,0)有AxB0y,Ay0,Az0代入

AzAyAxAzAyAx

BA(,,BB0ez

yzzxxy



4. 稳恒电流分布J在外场Ae中的相互作用能为_____________. 答：WiAeJdV



练习二



1. 区域内任意一点r处的静磁场可用磁标势描述，只当__ B ____：A. 区域内各处电流密度为零；



B. H对区域内任意封闭路径积分为零; C. 电流密度守恒；D. r处的电流密度为零。

2. 一半径为R的均匀带电导体球壳，总电量为Q，导体球壳绕自身直径以角速度转动（设的

方向沿z 方向），总磁偶极矩为____________.

fvRsin,mdmfRdR2sin2RsinRdR2sin2

R





dsin

3Q4R2

R



sindcosR

24 12QRmQR



3. 设分布在体积V内的稳恒电流密度J所激发的矢势为A，则空间中的总磁场能量为_________.

1

答：WAJdV



R4. 半径为磁导率为的均匀介质球，置于均匀恒定的磁场B0B0ez中,球外为真空。用磁标势

法，求空间各点的磁感应强度．解: 由于本题无传导电流，内、外磁标势为

2m10

2

m20

由题意,边界条件为:

rRrR

(1)(2)

;

m1Rm2R

m2m1

0rrR

自然边界条件为:

(3)

(4)



m1m2

r0r

有限B

0rcos

(5)(6)

0

由条件（5）和（6）得

m1anrnPn(cos)

n0

B0(n1)

rcosbrPn(cos)nm2n0

0

由（3）得

rRrR

(7)(8)



0

Rcosn0bnR(n1)Pn(cos)n0anRnPn(cos)



B0b1(n1)nRcosbRP(cos)aRcosaRPn(cos) nn1n2Rn1n10

b1B0

Ra1R20R

R(n1)bnRnan0

由（4）得

n1n1

(9a)

(10a)

B0cos0bn(n1)R(n2)Pn(cos)annRn1Pn(cos)

20b1

a1B

0R3

(n2)n1

(n1)RbnRan0n0

由（10）得，n1

n1n1

(9b)(10b)

，

R(n1)bnRnan0R(n1)

(n2)n1(n2)

(n1)RbnRa0(n1)R0nn0

当n

nR

n1



0(n1)n

0

1时，有anbn0

由（9）得

当n1时，有(2分)

3B0a1(20)3

()BR00b10(20)

故解为

3B0rcos3B0r

rRm1a1rP1(cos)

(2)(2)003

BBrcos()BRcos2000rcosbrP(cos)0

m211 00(20)r203(0)RB0r1

(Br)rR03

0(20)r

3(B0r)3B0

B1H1m1rR

(20)(20)30(0)R(B0r)3(B0r)rBHB[020m20235

(20)rr

0(0)R3B03(B0r)r

B0[3rR5

(20)rr

参考题：

1. 半径为R0的接地导体球外充满绝缘介质，离球心为



变量法,求导体球外的电势e.2) 球面RR0处的自由电荷面密度

a处aR0置一点电荷Q。1）试用分离

及束缚电荷面密度P.提

1示：

Ra2Racos



n0



Pn(cos)an1

Ra

1）分离变量法

令





4Ra2Racos

2'00,

'

R

0'

R

0

4Ra2Racos

bnR(n1)Pn(cos)

RR0(1)

1r

R2a22Racos



n0



P(cos)n1n

Ra

注意：这一表达式并不是对任何R成立，仅在

Ra时，才能如此展开.

aRR0

QRn(n1)

P(cos)bRPn(cos)nnn1

4n0an

由

0，得

QR0(n1)



P(cos)bRPn(cos)0n0n1n

4n0an

R0a

2n1

QR0

bn

4an1

将其代入（1）得

R02n1(n1)Q

RPn(cos)n122

4Ra2Racos4na



4Ra2Racos

4R2a22Racos

RR0



QR0/a

4n

R2

/aRn1



Pn(cos)

QR0/a

4R2R02/a2RR02/acos

2). 球面RR0处的自由电荷面密度

及束缚电荷面密度P.

f



R

RR0

4R02a22R0acos

QR0acos



3/2



R0QR0bcos



3/2

223R0R024aR02cosaa



4R02a22R0acos

QR0acos



3/2



R02

aR0QR0cosa

4RaR2R0acos3

3/2



a2QR0acosacosR04Ra2R0acos

RR0

3/2



4R0Ra2R0acos

Qa2R02



3/2

PP1RP2R0E2R

导体内P1R0



0

R

10

Qa2R02



4R0R02a22R0acos



3/2

2. 一个不带电的空心导体球壳的内外半径为R1和R2,在壳内离球心为

解: （1）. 由高斯定理可知，球内表面的电量为

aaR处置一点电荷

Q．(1)求空间各点的电势分布．(2)导体球上内、外表面的感应电荷面密度.

Q，球外表面的电量为Q

球内电荷的位置对球外的电势无影响，这样，

QRR24R

Q

R2RR1

4R2

但点电荷Q与球内表面上的感应电荷

Q必须使内表面上电势保持为0.

RR1若在球外距球心为b处放一镜像电荷Q'1Q， aa

bR1/a2

R1/aRb（说明：Q'QQ1Q）代替球内表面上的R1

R1R1aQ'Q

b

感应电荷，则可以使球面R1上的电势保持为0。则所有电荷在RR1空间产生的电势为

i



Q40r



Q'40r'



4R2

R1Q

40aR2b22Rbcos

QR1/a

Q4R2

40R2a22Racos



40R2a22Racos

40R2R12/a

2RR12/acos

(2). 导体球上内表面的感应电荷面密度.fD2nD1n0D1n0

iR

RR1

f

4R12a22R1acos

QR1acos

3/2



R1QR1bcos

223RR2114aR12cosaa

3/2



4R12a22R1acos

QR1acos

3/2

R12

aR1QRcos1a



4R13R12a22R1acos

3/2

a2QR1acosacosR1QR12a23/222

4R1a2R1acos4R1R12a22R1acos



3/2

导体球上外表面的感应电荷面密

aR0置一点电荷Qf.1）试求导体球外的电势e.2)球面RR0处的自由电荷面密度f

电荷面密度P. 解: 采用镜像法

RR01）若在球内距球心为b 处放一镜像电荷Q'0Q,代替球面上的感应电荷,则可以使aa

及束缚

球面上的电势保持为0.则Q和Q'在r

R0空间产生的电势为



Q4r



4r'

这里rR2a22Racos, r'R2b22Rbcos



4Ra2Racos



R0Q

4aRb2Rbcos



4Ra2Racos



QR0/a

4RR/a2RR/acos



(3) 球面RR0处的自由电荷面密度

及束缚电荷面密度P.

f

R

RR0



4R02a22R0acos

QR0acos

3/2



R0QR0bcos

4aR02



R02a



3/2

23R0

2cosa

f

4Ra2R0acos

QR0acos



3/2



R02

aR0QRcos0a

4R0a2R022R0acos

3/2



a2

QRacosacos0R04R02a22R0acos

3/2



4R0R02a22R0acos

RR0

Qa2R02



3/2

PP1RP2R0E2R

0

R

Qa2R020

1

4R0R02a22R0acos



3/2

4. 磁导率为的均匀磁介质充满整个空间，且介质中的磁感应强度为B.如果在介质中挖去半径为R



解:由于本题全空间无传导电流，故可采用磁标势解题，Hm.设内、外磁标势满足为

m1,m2,他们满足

的介质球,求球内外的磁感应强度．

2m102

m20

由题意,边界条件为:

rRrR

(1)(2)

;

m1Rm2R

m2m1

0rRr

自然边界条件为:

(3)

(4)

m1m2

r0r

有限

rcos

(5)(6)



由条件（5）和（6）得

m1anrnPn(cos)

n0

B(n1)

rcosbrPn(cos)nm2n0



由（3）得

rRrR

(7)(8)





Rcosn0bnR(n1)Pn(cos)n0anRnPn(cos)



Bb1(n1)nRcosbRP(cos)aRcosaRPn(cos) nn1n2Rn1n1

b1B

R2a1RR

(n1)nRbRan0n

由（4）得

n1n1

(9a)(10a)

Bcosbn(n1)R(n2)Pn(cos)0annRn1Pn(cos)

2b

B310a1R

(n2)n1

(n1)RbnRan0n0

由（10）得，n1

n1n1

(9b)(10b)

，

R(n1)bnRnan0R(n1)

(n2)n1(n2)

(n1)RbnRa0(n1)Rn0n

当n

0nR

n1



(n1)0n

0

1时，有anbn0

由（9）得

当n1时，有(2分)

3Ba1(20)3

()BR0b1

(20)

故解为

3Brcos3BrarP(cos)m111

(20)(20)

BBrcos(0)BR3cos2

1(cos)m2rcosb1rP(20)r2

33(0)RBr(0)RB1

(r)cos(Br23

(20)r(20)r

rR

rR



30(Br)30B

B10H10m1

(20)(20)3(0)R(Br)3(Br)r

BHB[]2m2235

(20)rr

(0)R3B3(Br)r

B[35

(20)rr

rR

rR



半径为R的空心球外充满介电常数为的均匀电介质，该体系处于均匀外电场E0中，取球心为坐



标原点，E0沿z轴方向。试用分离变量法求球内外的电场强度。

解: 由于本题无自由电荷，内、外电势满足

2102

20

由题意,边界条件为:

rRrR(1)

; (2)(3)

1R2R

21

0rRr

自然边界条件为:

(4)



(5)(6)

12

r0r

有限E0rcos

由条件（5）和（6）得

nar1n0nPn(cos)(n1)ErcosbrPn(cos)0nn02

rRrR

(7)(8)

由（3）得

E0Rcosn0bnR(n1)Pn(cos)n0anRnPn(cos)

b(n1)

Pn(cos)a1RcosanRnPn(cos) E0R12cosbnR

Rn1n1



b1

ER2a1R0R

(n1)n

RbRan0n

由（4）得

n1n1

(9a)(10a)

E0cosbn(n1)R(n2)Pn(cos)0annRn1Pn(cos)

2b

E0310a1R

(n2)n1

(n1)RbnRan0n0

由（10）得，n1

n1n1

(9b)(10b)

，

R(n1)bnRnan0R(n1)Rn(n1)0n

02(n2)n1(n2)n1

Rbn0nRan0(n1)R0nR(n1)R

当n1时，有an

bn0 (1分) 由（9）得，当n1时，有

3b1b1aE013b1E0RR2a1RE0R3a1(20)(0)a1

R33

2b12b1()R0E030a1E030a1E03E0(20)a1b1RR(2)0

故解为

33

1a1rP1(cos)E0rcosE0r(20)(20)(0)R322E0rcosb1rP1(cos)E0rE0r3(20)r

33

rR

rR

rR

rR

电动力第四章习题及其答案

1. 一金属壁谐振腔，长宽高分别为a,b,c,且满足abc,腔中为真空；则腔中所激发的最低频率

的谐振波模为 (1,1,0),与之相应的电磁波波长为2/

. 22

提示：用mnp

2cp21/2p21/2m2n2m2n2

，分析 )()()]c[()((]mnp

mnpL2L3abcL1

2. 矩形波导管，管内为真空，管截面积s一定，矩形的长和宽分别记为a和b。要使（1，1）模具

有最小的截至频率c，则a或b的表达式为_____________.

答：kxkykzk2kzk2kxky0k2kxky，

mn 

ab2

mnmn

c abab

2222

mn

c （m,n0,1,2,...）

ab

(0)

截止频率为：mn



mn

(2()2，若sab,mn1，则有 ab

cc

dc

b2sa2b2sa2s2/a2,



(2a2s/a)/as/a0

as

3．一矩形波导管，管内为真空，管截面矩形的长和宽分别为a和b,且a > b,要使角频率为的TE10波能在管中传播，a应满足a

2ss/ss2sc2/s 时，有极小值cs

c/.

解： 

mn，TE对应于m1,n0，10ab

c/aac/



4．在均匀介质中传播的平面单色波是横波,其E和B相互垂直且都__垂直___于波的传播方向,E



和B的相位__相同___, EB.

mn解：c （m1,n1） ab

a2b22f25109111

2fc10

ababc3310

a2b21

 （以cm为单位） ab3

a2b22262401

(a)26,

ab1212123

a2b242[1**********]001

(b)45,

ab[1**********] a2b2328273/641

ab243833a2b242825451

(d)48.

ab3248824243



E(x,t)

5．试从Maxwell方程组出发,证明在真空中传播的时谐电磁波

B(x,t)

2E(x)k2E(x)0

k00). 方程组E(x)0确定(其中

cB(x)[E(x)]/(i)

it

E(x)e

it的空间部分,可由B(x)e

证明：1) 证明亥姆霍兹方程

BEt DHJ

ft

BHH

0由E E0 ttt

D0E,



B

EJ0,0Dffft DHB0t



D0B0

B0H



2E

E2E002

t



211E2

c0 则有 E2 2

ct00

ititE(x,t)E(x)e,B(x,t)B(x)e 2itE2

E(x)e 2t



DE

E0,H 0tt

222

E(x)2E(x)0E(x)kE(x)0,k00



2）D0,D0E,E(x)0

1BE(x) 3）E,EiB,B(x)

it

6．由Maxwell方程组出发,推导出在没有自由电流和自由电荷的情况下,真空中电场所满足的波动方程和真空中电磁波波速的表达式. 解：Maxwell方程组为



BDE,D0,H,B0

tt

真空D0E,

B0H



BHH

0由E, E0

ttt



2DEE2

H0,EE00

ttt2

211E2

c0则有 E2 ,

ct200





E0





DE2E2

H,EE

ttt2

BDE,D0,H,B0

tt

BH DE,



BHH

由E, Ettt











E0



1E12

vE0则有 ,22

vt

8．由Maxwell方程组出发,推导出在没有自由电流和自由电荷的情况下,真空中磁场B所满足的波动方程和真空中电磁波波速的表达式. 解：Maxwell方程组为





DEE

00由B0, B00ttt



真空D0E,

DBE,D0,H,B0

tt

长沙理工大学备课纸



B0H







2BB2

E,BB00

tt2





B0



211B2

0 ,c则有 B22

ct00



9．由Maxwell方程组出发,求证在真空中传播的平面单色电磁波E(x,t)E0exp[i(krt)],

B(x,t)B0exp[(ikrt)]是横波,而且满足关系B,其中k和是平面单色电磁波的波矢







量与角频率.



DB

,D0,H,B0 解：Ett



B0H 在真空中 D0E,

ikikzt

xtE(x,t)E0e, B(x,t)B0e

ikxt由E(x,t)ikE0e0得，kE00，kE

ik xt由B(x,t)ikB0e0得，kB00，kB

ikx11

B(x,t)E(x,t)E0et

ii



kE0ikkEext





/(0)1

（2）证明：考虑良导体中某一区域初始电荷密度为0，由方程

E/0,jE，



/tj0，



容易得到/t(E)/t(/0)0

解得

0exp[(/0)t]

0/

，因此只要电磁波的周期

电荷密度随时间指数衰减，衰减特征时间为

0TT

0

1，或/(0)1，就可以认

为(t)0，即电荷只能分布在导体表面上

解：考虑到金属为良导体，电磁波进入导体后，很快衰减，故可设金属导体充满z0的半空间。电磁波由z0的真空垂直入射到金属表面

zizt

1）进入到金属的电磁场为EE0ee，



iiziztB

EiBikEHezEezE0ee，

t



这里复波矢k(i)ez

金属中任意位置处的平均能流密度为

*1zizti1zizt

ReEHReeeE0(ezE0)ee22

i12zi212z2z2

ReeE0(ezE0)ReeE0ezeE0ez

222

2

E0ez 进入金属表面的平均能流密度为

2



2）金属单位体积内消耗的焦尔热的平均值

**zizt12z211zizt

wReEJfReEEReeeE0E0eeeE0

2222

3) 金属表面单位面积为底的无穷长圆柱体所消耗的平均焦尔热功率



222z0122z

WdzeE0E0eE0， 0244

122

E0E0。，W

2242

由（1）可知，这正是单位时间内进入金属表面z0处的能量的值，即透入金属内

部的电磁波的能量全部变为焦尔热。

电动力第五章习题及其答案



1. 电磁场矢势A与标势满足的库仑规范条件为A0,罗仑兹规范条件为

1A20.

ct

A2. 对于一般的电磁场,E和B与矢势A与标势的关系为（1）E, (2) BA.

t



1）写出Maxwell方程组；2）由Maxwell方程组导出标势和矢势A所满足的基本方程组；3）

在洛仑兹规范下,由上述方程组导出达朗贝尔方程组.

BEt解：1）Maxwell方程组DHJ

ft



Df



B0



B0BA

2) BAAA EE0(E)0Etttt

A将E及

t



D0E代入Df

得：



A2

 0E0t00tA







A/0

t





将BA及B0H



D

代入HJf得：

t



111E

BAA2AJf00000t





A

A2A0Jf00

tt



211A A2A0Jf22

ctct



21A12

A2A20Jf 2

ctct

1

0 3）由洛伦兹规范 A2

ct

2

2A

c21c2

2

/0

t2 2A

0Jf

t2

4．由Maxwell方程组出发,在库仑规范条件下，推导真空中电磁场的矢势与标势所满足的微分方程.

BEt解：1）Maxwell方程组DHJ

ft



Df



B0



B0BA

2) BAAA EE0(E)0Etttt

A将E及

t



D0E代入Df

得：



A2

 0E0t00tA







A/0

t





将BA及B0H



D

代入HJf得：

t



111E

BAA2AJf00000t





A

A2A0Jf00

tt



211A

A2A0Jf22

ctct



21A12

A2A20Jf 2

ctct



库仑规范 A0

2/0



 212A1

A220Jfct2ct

5．试从Maxwell方程组出发,给出变化的电磁场矢势和标势的定义，说明何谓电磁场的规范变换，



并证明电磁场的E和B在这种规范变换下保持不变.

B

解：由B0 得BA，将其代入E得, EA0，



t



t



AA故可引入标势，使得E ，即：Ett



设(x,t)是一个具有连续二阶偏导数的任意标量函数，做变换

B'A'AAAB

 A'AAE''Ettttt



6．一电量为q的粒子沿z轴作简谐振动，其坐标为zacost。设它的速度为vc(c为真

空中的光速）求它的辐射场和平均能流密度以及辐射功率.

exsincoscoscossiner



cose 提示：直角坐标基矢与球坐标基矢关系为eysinsincossin

ecosesin0z

解：由定义这个带电粒子对原点的电偶极矩为：P(t)qacostez

振动电偶极矩产生的矢势为



0dP(t')qaqarA(r,t)0sint'ez0sin(t)ez

4rdt'4r4rc



0qa

sin(krt)ez 其中，k/c

4r

0qaqa

BA[sin(krt)]ez0kcos(krt)]rez

4r4r

0qa20qa2

cos(krt)]erezcos(krt)]sine

4cr4cr

DE122

HBcBiEcikB

tt000qa22EcBerEcBercos(krt)]sineer

c4r

0qa2Ecos(krt)]sine

4r

平均能流密度：

1S



2220qa4sin21

EHdt

162r2c0T





cos2(krt)]dter

00q2a24sin2q2a24sin2erer

22232

160r2c320cr

辐射功率：

P

Sds



2

d



q2a24sin22drsin 232

320cr

143 [1cos]dcoscoscos

330



sin3dsin2dcos

00



P

q2a248q2a24Sds23

320c3120c3

另解：由定义这个带电粒子对原点的电偶极矩为：



P(t)qaexp(it)ez ，

振动电偶极矩产生的矢势为

A(r,t)0

4

r

Ra



00dP(t')

J(x',t')dV'

4R4Rdt'





J(x',t')dV'

0qa

exp(it')ez

4Ri0qaR exp[i(t)]ez

4Rci



i0qa

exp[i(kRt)]ez 其中，k/c

4R

iqa0qa20

BAikexp[i(kRt)]ezexp[i(kRt)]erez

4cR4R

0qa2

exp[i(kRt)]sine

4cR



DE122

HBcBiEcikBtt000qa22EcBerEcBerexp[i(kRt)]sineer（2分）

c4R0qa2Eexp[i(kRt)]sine

4R

平均能流密度：

2221qa4sin210

SReEHee

22162R2c0



2 2Psinqasinqasin002eeerrr

320r2c3220c3r23220c3r2

辐射功率：

P

Sds



2

d



q2a24sin22drsin 232

320cr

301sindsin2dcos[1cos2]dcoscoscos34

0033

P

224224qa8qa1P

Sds233

320c3120c403c3

7．1）写出Maxwell方程组；2）从此方程组出发，引入电磁场的矢势和标势，说明何谓电磁场的规



范变换，并证明电磁场的E和B在这种规范变换下保持不变.

解：1）Maxwell方程组为

DBE,D,HJ,B0

tt



2）由B0 得BA。将其代入EB/t得,

EA/t0，故可引入标势



长沙理工大学备课纸

，使得EA/t，即：



EA/t



设(x,t)是一个具有连续二阶偏导数的任意标量函数，做变换

B'A'AAAB

 A'AAE''Ettttt





8．一电偶极子位于坐标系的原点，它的电偶极矩为PP0costex。试求1）它在r2c/

辐射场的电场强度和磁场强度；2）该处辐射场的能流密度. (15分)

exsincoscoscossiner

cose 提示：直角坐标基矢与球坐标基矢关系为eysinsincossin

ecosesin0z



1）解：注意：本题电偶极矩PP0costex沿着x轴，但球坐标选取如常（如r与Z轴间的夹角为

等）这样，振动电偶极矩产生的矢势为

rJ(x',t')dV'00dP(t')

A(r,t)0J(x',t')dV'

4r4r4rdt'

p0ip0r

i0exp(it')ex0exp[i(t)]ex

4r4rc



i0p0

exp[i(krt)]ex 其中，k/c

4r

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i0p00p02

BAikexp[i(krt)]exexp[i(krt)]erex

4cr4r

exsincosercoscosesine)

0p02Bexp[i(krt)](sinecoscose)

4cr

p02Hexp[i(krt)](sinecoscose)

4cr



DE122

HBcBiEcikBtt00



Ec2BerEcBer

c0p02Eexp[i(krt)](sinecoscose)er

4r

取实部

0p02Eexp[i(krt)](coscosesine)

4r0p02Ecos(krt)(coscosesine故有)

4r

p02Hcos(krt)(sinecoscose) 取实部

4cr

能流密度：

SEH

0p0242

cos(krt)(coscosesine)(sinecoscose)22

16crp24cos2(krt)222S0020(sincoscos)er

160cr2

p0cos(krt)22

(1sincos)er

1620c3r2

ikzt9．有一原子团，设其极化率为()，处于电磁场EE0eez之中, 该原子团位于坐标原点，

其体积为V，且原子线度远小于电磁波波长。试求原子团在远处的辐射电磁场和电偶极辐射的平均能流密度以及辐射总功率。



解：首先复习一下电偶极矩的计算：p总

x

V''(x',t')dV'

x'q

电荷连续分布电荷分立

V内的总电偶极矩p总

电极化强度矢量P0Ep总PV0VE0eitez

VV

振动电偶极矩产生的矢势为

长沙理工大学备课纸

rJ(x',t')dV'00dP(t')

A(r,t)0J(x',t')dV'

4r4r4rdt'

00VE0iVE0r

iexp(it')ezexp[i(t)]ez

4r4rc2c

iVE0

exp[i(krt)]ez 其中，k/c 2

4rc



iVE0VE02

BAikexp[i(krt)]eexp[i(krt)]ezrez23

4rc4rc

VE0exp[i(krt)]sine3

4rc

DE122

HBcBiEcikBtt00VE022EcBerEcBerexp[i(krt)]sineer 2

c4rcVE02Eexp[i(krt)]sine

4rc2

平均能流密度：

2112V2E04sin2

SReEHee

252

22160cr



VEsiner

232

32cr

辐射功率：

P

Sds



2

d



02V2E024sin22drsin 232

32cr

301223sindsindcos[1cos]dcoscoscos4

0033

P

22242V2E248VE000

Sds0

322c3312c3

电动力第六章习题及其答案

1. 狭义相对论的两条基本原理是

(1)相对性原理 (2)光速不变原理

2. 一飞船空间舱以速度v 相对于地面运动，一物体从舱顶部落下，空间舱上的观察者所测得的时

间是地面上的观察者所测得时间的3/5,则空间舱飞行速度为4c/5.

解：设飞船为'，物体从舱顶部下落为事件1：(x1',t1')，落地为事件2：(x2',t2') ，则有

t'1c2x1't'2c2x2'x1'x2t'2t1'3

t,tttt't'(tt)x1'x2',21 122121

v2v2v25cccc2

t'2t1'3942

1vc c2

t2t15255

3. 在狭义相对论中,两事件

(x1,y1,z1,t1)

与

(x2,y2,z2,t2)的间隔为s2

2222

c2t2t1x2x1y2y1z2z1.

4. 若两个事件可以用光波联系,有rct,因而两事件的间隔为s

, 则种间隔称为间隔.

5. 一飞船空间舱以相对于地面的速度v运动，一物体从舱顶部落下，空间舱上的观察者所测的时

间是地面上观察者所测的时间的1/

倍，则空间舱飞行速度为2c/

t1

t'1c2x1'c2

t'2c2x2'x1'x2010t'22

,t2tvc c2v2v22t5ccc2

6. 两惯性系'和相对运动速度为u,一根直杆在系中，其静止长度为l，与x轴的夹角为 ,

则在'系中的观察者所测到该直杆长度为___________. 解：xlcos

v2c2

yylsin,l(x)2(y)2l(1v2cos2/c2)2



7. 静质量为m0，电量为q的粒子，在垂直于均匀磁场B的平面内作轨道半径为R的匀速圆周运

动，求粒子速度大小的表达式。



解：电子的运动方程为：F

dpdt

qvB,

dv其中p

0

m0v1v2/c2

因为粒子作匀速圆周运动，故v不变,

m0v2/c2

dt

c2(1v2/c2)3/2

m0v

vqvB,



v2/c2dt



qvBqvB





22mv

,

21v2/c2R2

qvB

220

q2B2R2

1v2/c2qBRmvqBR(m

q2B2R2

2))v2q2B2R2 vqBR/m0(qBRm0c





uxv,uyuz0

故这把尺相对于'的速度为

ux'

uxvvv2v



vuxv2v2

121212

ccc

2v

221v/c

'上的观察者测得另一把尺的长度为

ll0u

'2x

cl0

cl0



1v2/c2

1v

l01v22

4v/c

1v2/c2



1v/c

4v2/c2

9．在坐标系∑中,有两个物体都以速度u沿X轴运动,在∑系看来,它们一直保持距离L不变.今有一观

察者以速度v沿X轴运动,他看到此二物体的距离是多少？

22u解：在系看两个物体的距离为L、运动速度,则有LL0uc

将

, 即L0

L/u2c2,

'

建立在以速度V沿x轴正方向运动的观察者上, 则两物体相对于

'

速度为

u'u'x

uxvuv



1vux/c21vu/c2L

L'L0u'2c2

Lu2c2

uv22

(c 2

1vu/c



u22

Lu22

(1vu/c2)2c2(uv)2L



(1vu/c2)2c2u2c2c2u2v2v2u2/c2L



(1vu/c2)2c2u2c2

c22vuv2u2/c2(uv)2

(1vu/c2)2c2

(c2u2)(1v2/c2)Lv

(1vu/c2)2c21vu/c2



解：解法1：已知

x'l0 (3分) t'l0/u0

vu0vvl1t'2xl0/u02l002ct

v2c2v2c2u0v2c2

解法2：小球相对于车厢速度为ux ux

u0, 相对于地面S的速度为:

；地面S看车厢的长度为: l

u'xvu0v

'

0vux

112

c2c

l0v2c2

地面S看小球对车的速度为: u球对车uxv，地面S观测到的时间为:

t

uxv

l0vc0v012





l0v

u0vv

vu0

vu0l01vu0/c2

12

cu0v2c2





11．物体A相对于地面以高速uA(uA,0,0)运动，物体B相对于地面以高速uB(0,uB,0)运

动；试求物体A相对于物体B的速度，物体B相对于物体A的速度，两者有什么关系？

解：1)求uBA

设地面为系，物体A为'系，'相对于沿x方向运动，则有 vuA,ux0,uyuB,uz0(2分)



uxv

u'uAx21vux/c



uyv2u2uB2u'y2

1vux/ccc uzv2

u'z202

1vux/cc

u

uBA(uA,uBA2,0)

2)求uAB

y'y

ux'

地面

设地面为系，物体B为'系，'相对于沿Y方向运动，则有 vuB,uxuA,uy0,uz0

2uxv2uB

u'x12uA2

1vuy/cccuyv

uBu'y2

1vuy/c 

uzv2

20u'z2

1vuy/cc

y'y

'

地面

ux'

3) 两者速度大小相等，但方向不是正好相反。

12．有一光源S与接收器R相对静止，距离为l0, S—R装置浸在无限大的均匀液体介质(静止折射率

n)中．试对下列三种情况计算光源发出讯号到接收器接到讯号所经历的时间

(1) 液体介质相对于s—R装置静止； (2 ) 液体沿着s — R连线方向以速度v流动； (3) 液体垂直于s—R连线方向以速度v流动．

解：(1)当液体介质相对于s—R装置静止时，光源发出讯号到接收器接到讯号所经历的时间为t

l0ul0c/nnl0

(2)当液体介质沿着s — R连线(x轴)方向以速度v流动时，选参考系'固定在介质上．在'上观察，介质中的光速沿各方向都等于u'

xc/n，则在上观察，沿介

质运动方向的光速为

1

uu'xvc/nv1vu'

c/nv

1vx， x c

1ncc2l

v01

t

u

ncx

c/nv

(3)当液体垂直于s—R连线方向以速度v流动时，

':

 R以u'xv运动,因而，要R能接受到

S发的光，必须以右图所示方向发射，

u'xv，u'2y

c/n2

v

:u'xvx

u1vuvv

0x

1, c2uy

u'yv2/c2/(1vu'x

/c2)

lv20



c/n2v2v2/c2/(1v2/c2

)tl0c

uy

c/n2v2/22c/n2

v



v/c

u13．在坐标系中，有两个物体都以速度沿x轴正方向作匀速直线运动，在系看来，它们一

直保持距离L不变．问在下列情况下观察者测得这两个物体的距离是多少? (1)观察者以速度V沿x

轴正方向运动; (2) 观察者以速度V垂直于系x轴运动.

22

解：(1)在系看两个物体的距离为L、运动速度u,则有 LL0uc

, 即

L0L/u2c2

(3分), 将'建立在以速度V沿x轴正方向运动的观察者上, 则两物

体相对于'速度为 u'u'x

uxvuv

22

1vux/c1vu/c

L'L0u'2c2

Lu2c2

uv22(c2

1vu/c

c22vuv2u2/c2(uv)2

(1vu/c2)2c2



Lu22

(1vu/c2)2c2(uv)2L



(1vu/c2)2c2u2c2c2u2v2v2u2/c2L



(1vu/c2)2c2u22



(c2u2)(1v2/c2)Lvc



(1vu/c2)2c21vu/c2

2) 设地面为系，

'相对于沿Y方向运动，则两物体相对于



速度为

uxu,uy0,uz0，相对于'速度为

uxv2v2

u'x2u2

1vuy/ccc

uyv

vu'y2

1vuy/c 

uzv2

120u'z2

1vuy/cc

L'L0u'

u2v2 2(12cc

cL0

u2v2

2(12

Lu2c2

解法1: 列车上的观察者看到两铁塔和避雷针都在以速度v运动，它看到铁塔和避雷针

的距离为

- 40 -

ll0vc

解法2:

2vl0v2c22vl0ll2vl

，t' 2

222cvcvcv2c2v2cvc

x1l0,t1l0,x2l0,t2l0

t'1

t1vx1/c2vc



l0l0vc2vc



l0c2

,t'2

t2x2vc2vc



l0l0vc2vc

t't'1t'2

l0c2vc

l0c2vc

2vl0cvc

- 41 -

电动力学习题集答案-1

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