科学和工程计算基础复习题
一、 填空题:
1.
:2. 计算机计费的主要依据有两项:一是使用
要由
算数运算的次数决定; 二是占据存储器的空间, 3. 用计算机进行数值计算时, 4.
5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 敛的充分必要条件是选代矩阵B 的 谱半径ρ(B )
(n +1)
(x )在开区间(a , b )上存在. 若
{x }
n
i i =0
为[a , b ]上的n +1个互异插值节点, 并记ωn +1(x )=
n
∏(x -x ), 则插值多项式
i
i =0
n
f (n +1) (ξx ) ωn +1(x )的余项为R n (x ) =f (x ) -L n (x ) =ωn +1(x ) L n (x )=∑f (x k )
'+1x k (n +1)! x -x k ωn k =0
其中ξx =ξ(x ) ∈(a , b ) .
13. 若函数组
⎧
满足(ϕ, ϕ) {ϕk (x )}n []⊂C a , b k l ⎨k =0
=0, k ≠l
, 则称
≠0, k =l ⎩
为正交函数序列. {ϕk (x )}n
k =014. 复化梯形求积公式
⎰
b
a
n -1
h ⎡⎤
f (x ) dx ≈T n (f ) =⎢f (a ) +2∑f (a +kh ) +f (b ) ⎥2⎣k =1⎦
其余项为R T
n
(b -a ) h 2
=-f ''(η), η∈(a , b )
12
二、 选择题
1. 下述哪个条件不是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方程组Ax =b , A =a ij
充分条件? ( D )
A. 矩阵A 的各阶顺序主子式均不为零; B. A 对称正定;
C. A 严格对角占优; D. A 的行列式不为零.
2. 高斯消去法的计算量是以下述哪个数量级的渐近速度增长的? ( B ) A.
()
n ⨯n
的
13213n ; B. n 3; C. n 3; D. n 3. 3344
3. 对于任意的初始向是x
(0)
和右端项f , 求解线性代数方程组的迭代法x (
k +1)
k
=Bx ()+f 收
敛的充分必要条件是( A ). A.
ρ(B )
4. 下述哪个条件不是能使求解线性代数方程组Ax =b , A =a ij
()
n ⨯n
的Gauss-Seidel 迭代法收
敛的充分条件? ( C )
A. A 为严格对角占优阵; B. A 为不可约弱对角占优阵; C. A 的行列式不为零; D. A 为对称正定阵.
5. 设
过点
(a , 6. 设ϕ1), 则
ϕn ( A. 7. A. C. 8. A. m
m
C. 权数{w i }i =0; D. 离散点的函数值{y i }i =0. 9. Simpson求积公式的余项是( B ).
h 3h 5(4)
f ''(η), η∈(a , b ); B. R (f )=-f (η), η∈(a , b ); A. R (f )=-1290h 4(b -a )(4)h 2(b -a )
C. R (f )=-f (η), η∈(a , b ) f ''(η), η∈(a , b ); D. R (f )=-
9012
10. n 个互异节点的Gauss 型求积公式具有( D ) 次代数精确度.
A. n ; B. n +1; C. 2n +1; D. 2n -1.
11. 一阶导数的数值计算公式中, 中心差商公式的精度为( B ).
3222
A. O (h ); B. O h ; C. o h ; D. O h .
()()()
12. 对于用插值法建立的数值求导公式, 通常导数值的精确度比用插值公式求得的函数值的
精度( B ).
A. 高; B, 低; C. 相同; D. 不可比.
13. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 梯形公式是显式Euler 公式和隐式Euler 公式的
( A ).
A. 算术平均; B. 几何平均; C. 非等权平均; D. 和. 14. 当( B ) 时, 求解y '=λy , (λ
15. A C.
16. 在代法
x k +( 17. 18. 19. A.
x k -x k -11+x k
x k -x k -1
x k
x k -x k -11+x k -1
20. 在求解非线性方程组时, 加进阻尼项的目的, 是使线性方程组的( C ).
A. 系数矩阵非奇异; B. 系数矩阵的行列式不等于零; C. 系数矩阵非奇异并良态; D. 系数矩阵可逆.
三、 判断题
1. 在用计算机求数学问题的数值解就是构造算法的构造问题.( × )
2. 用计算机进行数值计算时, 所有的函数都必须转化成算术运算; 在作加减法时, 应避免接
近的两个数相减; 在所乘除法时, 计算结果的精度不会比原始数据的高.( √ ) 3. 用计算机作加减法时, 交换律和结合律成立.( × ) 4. 单调减且有下界的数列一定存在极限。(√ ) 5. 设B ∈R 6. 若A ∈R
n ⨯n
, 则lim B =0的充要条件是B 的谱半径ρ(B )
k
k →∞
n ⨯n
, 则一定有A
2
=ρ(B ).( × )
7. 求解线性代数方程组, 当n 很大时,Cholesky 分解法的计算量比Gauss 消去法大约减少了
一半. (√ )
8. 在用迭代法求解线性代数方程组时, 若Jacobi 迭代矩阵为非负矩阵, 则Jacobi 方法和
Gauss-Seidel 方法同时收敛, 或同时不收敛; 若同时收敛, 则方法比Jacobi 方法收敛快. (√ ) 9. 均差(或差商) 与点列x i , f (x i )10. 11. 12. 13.
{}
n
i =0
的次序有关. (× )
线性最小二乘法问题的解与所选基函数有关. (× 复化梯形求积公式是2阶收敛的, 复化Simpson 4√Gauss 求积系数都是正的. (√ )
在常微分方程初值问题的数值解法中, Euler 公式的算术平均, 而Euler 公式和隐式, . (× )
14. 在Runge-Kutta 法中, . (√) 15. 求解y '=λy , (λ
稳定性好. (√ )
17. . (√)
18. , 最有效的是Steffensen 迭代法和Newton 迭代法. 前者不
, ; 后者需要求导数, 但可直接推广到多元方程组. (√ 19. 常微分方程边值问题的差分法, 就是将解空间和微分算子离散化、组成满足边值条件的
差分方程组, 求解此方程组, 得到边值问题在节点上函数的近似值. (√ )
20. 在求解非线性方程组时, 在一定条件下映内性可保证不动点存在, 因而也能保证唯一性.
(× )
四、 线性代数方程组的数值解法
1. 用高斯消去法求解方程组
Ax =b ，即
⎡211⎤⎡x 1⎤⎡4⎤⎢132⎥⎢x ⎥=⎢6⎥⎢⎥⎢2⎥⎢⎥ ⎢⎣122⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣5⎥⎦
（1） 列出用增广矩阵
[A , b ]表示的计算过程及解向量x ；
A =LU 中的三角阵L 和U ；
（2） 列出由此得到的Doolittle 三角分解（3） 由
3
⨯=3
U 计算det A 。det A =2⨯5⎡
⎢7⎢⎢0⎢⎢0⎢⎣
第二次消元：消元因子l 32=
⎤
1-13⎥26161⎥
⎥
777⎥82017⎥777⎥⎦
4
，进行消元，得 13
⎡
⎢71⎢260⎢
7⎢
⎢00⎢⎣
217319
=回代得x 3=，x 2=-，x 1
1962814
易知
⎤
-13⎥161⎥
⎥
77⎥196217⎥9191⎥⎦19= 28
⎤-1⎥⎡⎤⎡
⎢1⎢700⎥1
⎢⎣2342⎥⎦
第一次消元：消元因子l 21=2, l 31=2，进行消元，得
31⎤⎡13
⎢0-5-50⎥ ⎢⎥⎢⎣0-3-20⎥⎦
第二次消元：消元因子l 32=
3
，进行消元，得 5
31⎤⎡13
⎢0-5-50⎥ ⎢⎥⎢10⎥⎣00⎦
回代得x 3=0，x 2=0，x 1=1 易知
⎡⎢1L =⎢2
⎢⎢2⎤
3⎤00⎥
⎡13
⎢⎥
10⎥，U =⎢0-5-5⎥ 3⎥⎢1⎥1⎥⎣00⎦ ⎡
⎢2-1⎢110⎢
2⎢
⎢0-1⎢2⎣
第二次消元：消元因子l 32=-
-1
1-2112
⎤4⎥⎥5⎥ ⎥5⎥⎥⎦
1
，进行消元，得 11
⎡
⎢2-1-1⎢1110-⎢
22⎢
⎢0060⎢11⎣
回代得x 3=1，x 2=1，x 1=3 易知
⎤
4⎥⎥5⎥ ⎥60⎥⎥11⎦
⎡
⎢1⎤⎡⎤
⎢2-1-1⎥00⎥
42⎤⎡123
⎢1491610⎥
⎥ 解：方程组增广矩阵⎢
⎢18276444⎥⎢⎥[1**********]⎣⎦
第一次消元：消元因子l 21=1, l 31=1, l 41=1，进行消元，得
42⎤⎡123
⎢02612⎥8⎢⎥ ⎢06246042⎥⎢⎥[1**********]⎣⎦
第二次消元：消元因子l 32=3，l 42=7，进行消元，得
⎡1⎢0⎢⎢0⎢⎣02342⎤26128⎥⎥ 062418⎥
⎥
036168132⎦
第三次消元：消元因子l 43=6，进行消元，得
⎡1⎢0⎢⎢0⎢⎣0
2200
342⎤61262418⎥
2424⎦
回代得x 4=1，x 3=-1，x 2=11=-1 易知
⎡⎢1L =⎢
⎢1⎢⎣1
det A =⨯⨯24
716
⎢020⎥⎥， U =⎢⎢000⎥
⎥⎢1⎦⎣0034⎤
612⎥⎥ 624⎥
⎥024⎦
6. Ax =b ，即
1⎤⎡x 1⎤⎡21⎤⎢x ⎥⎢52⎥4⎥⎥⎢2⎥=⎢⎥8⎥⎢x 3⎥⎢79⎥ ⎥⎢⎥⎢⎥6⎦⎢⎣x 4⎥⎦⎣82⎦
⎡24
⎢286⎢
⎢3108⎢
⎣41210
（1） 列出用增广矩阵
[A , b ]表示的计算过程及解向量x ；
A =LU 中的三角阵L 和U ；
（2） 列出由此得到的Doolittle 三角分解（3） 由
U 计算det A 。
⎡124⎢286
解：方程组增广矩阵⎢
⎢3108⎢
⎣41210
1486
21⎤52⎥⎥ 79⎥⎥82⎦
第一次消元：消元因子l 21=2, l 31=3, l 41=4，进行消元，得
⎡1⎢0⎢⎢0⎢⎣024121⎤4-2210⎥⎥ 4-4516⎥
⎥
4-62-2⎦
第二次消元：消元因子l 32=1，l 42=1，进行消元，得
⎡1⎢0⎢⎢0⎢⎣024121⎤4-220-236⎥
0-0-12⎦
第三次消元：消元因子l 43=2
⎢000221422⎥ -236⎥
⎥
00-6-24⎦
回代得3=x 2=2，x 1=1 易知
L =⎢⎢⎣4
01110012
0⎤1⎤⎡124
⎢04-22⎥0⎥⎥， U =⎢⎥ ⎢00-23⎥0⎥
⎥⎢⎥1⎦⎣000-6⎦
det A =1⨯4⨯-2⨯-6=48
7.
用追赶法求解三对角方程组A x =f , 其中
⎡4-10⎤
⎥, A =⎢-14-1⎢⎥
⎢⎣0-14⎥⎦
⎡1⎤
⎢⎥f =⎢1⎥
⎢⎣1⎥⎦
解：d 1=c 1=-1，d 2=c 2=-1，u 1=b 1=4，l 2=
a 2
115=-，u 2=b 2-l 2c 1=， 144
l 3=
a 3
2
=-
456
，u 3=b 3-l 3c 2=，得 1515
⎤⎡⎤
⎢4-10⎥00⎥
⎥⎢15⎥10⎥，U =⎢0-1⎥
4⎥⎢⎥
456⎢00⎥-1⎥
⎢15⎥15⎥⎦⎣⎦
54
解得y =1
，y =，y =，
⎡⎢1⎢1L =⎢-
⎢4⎢0⎢⎣
解得y 1=1，y 2=3. 25，y 3=2. 8668， 得x 3=0. 7679，x 2=1. 0714，x 1=0. 5179
Page77 例3.3.1
9.
用追赶法求解三对角方程组A x =f , 其中
⎛2-1⎫⎛6⎫ ⎪ ⎪-13-21⎪ ⎪ A =, f = ⎪ -2⎪ -24-3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-35⎭⎝⎝1⎭
解：d 1=c 1=-1，d 2=c 2=-2，d 3=c 3=-3，u 1=b 1=2，l 2=
1
=-， 12
54125a
u 2=b 2-l 2c 1=，l 3=3=-，u 3=b 3-l 3c 2=，l 4=a 4=-
232554
5
u =b -l c =得
a 2
并求2
2. 已知f (1)=0, f (-1)=-3, f (2)=4, 求函数f (x )过这三点的二项Lagrange 插值
多项式L 2(x ). 解：这里n=2
(2) l 0(x ) =
(x +1)(x -2) 1
=-(x +1)(x -2)
(1+1)(1-2) 2(x -1)(x -2) 1
=(x -1)(x -2)
(-1-1)(-1-2) 6
l 1(2) (x ) =
(2) l 2(x ) =
(x -1)(x +1) 1
=(x -1)(x +1)
(2-1)(2+1) 3
5237x +x - 623
(2) (2)
L 2(x ) =0⨯l 0(x ) -3⨯l 1(2) (x ) +4⨯l 2(x ) =
3. 求不超过3次的多项式p 3(x )，使它满足插值条件：
p (-1)=-2, p (0)=-1, p (1)=0, p '(0)=0.
Page 121 例4.2.4
⎧⎪α⎪⎨⎪
⎪α⎩
由于p (2) =1，得a ==x (x -
2
2222，所以p (x ) =(3-2x ) x +(x -1) x +x (x -1) 44
1
4
2
39x +) 24
(1) 作函数f (x )的均差表;
(2) 用牛顿插值公式求三次插值多项式N 3(x ).
111
(x +2)(x -1) 2，α1(x ) =(2-x )(x +1) 2，β0(x ) =(x +1)(x -1) 2 44412
β1(x ) =(x -1)(x +1)
4
91
H (x ) =-(x +2)(x -1) 2+(2-x )(x +1) 2+
44151
(x +1)(x -1) 2-(x -1)(x +1) 2 44
计算得α0(x ) =
7. 己知函数
f (x )的三个点处的值为：
f (-1)=1, f (0)=0, f (1)=1
在区间[-1, 1]上, 求f (x )在自然边界条件下的三次样条插值多项式.
P129 例4.4.1
8. 已知
f (x )为定义在区间[0,3]上的函数, 且有
1.
f 解：h i μi
d 1d 0=
6
(f [x 0, x 1]-f '(x 0)) =6⨯(0. 5-0. 2) =1. 8 h 0
6
(f '(x n ) -f [x n -1, x n ])=6⨯(-1+0. 5) =-3 h 2
d 3=
利用固支条件，得矩阵
100⎫⎛M 0⎫⎛1. 8⎫⎛2
⎪ ⎪ ⎪
0. 520. 50⎪ M 1⎪ 3⎪ 00. 520. 5⎪ M ⎪= -6⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪012⎪⎝⎭⎝M 3⎭⎝-3⎭
用追赶法求解方程组：
a
d 1=c 1=1，d 2=c 2=0. 5，d 3=c 3=0. 5，u 1=b 1=2，l 2=2=0. 25，
1
u 2=b 2-l 2c 1=1. 75，l 3=
u =b -l c =
45得 a 3
2
=
2137a =
，u 3=b 3-l 3c 2=，l 4=4
31377
递推公式构造对应的正交多项式ϕ0(x ), ϕ1(x ), ϕ2(x ). 解：ϕ0(x ) =x =1，
(x ϕ0, ϕ0) m
=∑w i x i [ϕ0(x i )]2=2 ϕ1(x ) =x -a 0，a 0=
(ϕ0, ϕ0) i =0
于是ϕ1(x ) =x -2
ϕ1={ϕ1(x i )}=(-4, -3, -2, -1, 0) ，(ϕ1, ϕ1) =∑w i [ϕ1(x i )]2=22
4i =0
T
i =0
4
(x ϕ1, ϕ1) =∑w i x i [ϕ1(x i )]2=-24
i =0
4
a 1=
(ϕ, ϕ) 22(x ϕ1, ϕ1) 12
=-，b 1=11=
(ϕ0, ϕ0) 5(ϕ1, ϕ1) 11
12221222
) ϕ1(x ) -ϕ0(x ) =(x +)(x -2) -
115115
于是ϕ2(x ) =(x +
图形如下：
值
⎰(sin x -α-βx )
2
dx 最小.
解：最小二乘原理：Page146 定义4.6.1，对于连续函数的情况可以用函数范数代替向量范数。
令y =sin x ，ϕ(x ) =α+βx ，选择多项式子空间Φ的基函数为ϕ0(x ) =1, ϕ1(x ) =x , 权函数w (x ) =1。
⎡π
⎡(ϕ0, ϕ0) (ϕ1, ϕ0)⎤⎢⎰02dx
格兰姆矩阵G=⎢⎥=⎢π
(ϕ, ϕ) (ϕ, ϕ) 11⎦⎣01
⎢⎰2xdx ⎣0⎡π⎤2
⎛(y , ϕ0) ⎫⎢⎰0sin xdx ⎥⎡1⎤
右端向量d= ⎥=⎢1⎥ (y , ϕ) ⎪⎪=⎢π
1⎭⎝⎢⎰2x sin xdx ⎥⎣⎦
⎣0⎦
解正规方程组，得到α*=G -1d =⎢
⎤⎡π2
⎰0xdx ⎥=⎢2π⎥⎢π2
2⎢⎰02x dx ⎥⎦⎢⎣8
π
π2⎤
8⎥⎥
π3⎥24⎥⎦
⎡0. 1148⎤
⎥
2
3
解：题中有4个待定参数，至少要建立4个方程。按代数精确度，分别令f (x ) =1, x , x , x ，带入上式，有
f (x ) =1，A 0+A 1+A 2=2 11
A 0+x 1A 1+A 2=0 22112
f (x ) =x 2，A 0+x 12A 1+A 2=
443
f (x ) =x ，-
11
f (x ) =x 3，-A 0+x 13A 1+A 2=0
88
2
由第一式可知，A 0+A 2=2-A 1，代入第三式可得(12x 1-3) A 1=2， 24乘以第四式减去第二式得，(4x 1-1) x 1A 1=0，由题目和上面的结论知x 1≠±
1
，A 1≠02
得x 1=0，A 1=-于是得求积公式
24，A 0=A 2= 33
⎰
1
-1
f (x ) dx ≈
41241
f (-) -f (0) +f ()
32332
3，,
(3)
⎰f (x )dx ≈A f (0)+A f (1)+A f '(0)
1
2
1
解：P165 例5.2.1，本题有三个未知量，至少有2次代数精度，和例5.2.1类似。
3. 确定下列求积公式的待定参数, 使该求积公式的代数精确度尽量高, 指出其代数精
确度的次数, 并求出余项中的常数k .
(1)
⎰f (x )dx =A f (0)+A f (1)+A f '(1)+kf '''(ξ),
1
2
1
ξ∈(0,1)
解：余项为三阶导数，可知求积公式至少有2次代数精度
题中有3个待定参数，至少要建立3个方程。按代数精确度，分别令f (x ) =1, x , x 2，带入上式，有
f (x ) =1，A 0+A 1=1
1 21
f (x ) =x 2，A 1+2A 2=
3
1121121
解得
A =，A =，A =-，则有f (x ) dx ≈f (0) +f (1) -f '(1)
f (x ) =x ，A 1+A 2=
2
，1解得A 0=，A 1=，x 1=，则有⎰f (x ) dx ≈f (-1) +f ()
-1222233
43
令f (x ) =x ，分别代入求积公式的左右两边，左边=0，右边=，左边不等于右边，不能
9
使求积公式准确成立，所以该求积公式只有2次代数精度。 考虑余项，当f (x ) =x 时，代入求积公式，得0=
3
42
+6k ，k =-，所以余项为： 927
R (f ) =-
2
f '''(ξ) 27
分别用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算解：h =0. 2，n =4
复化梯形公式：
⎰
2. 6
1. 8
f (x )dx 的近似值.
⎰
b
a
n -
1
h
f (x ) dx ≈T n (f ) =[f (a ) +2∑f (a +kh ) +f (b ) ]，
]
⎰
b
a
n -1
h
f (x ) dx ≈T n (f ) =[f (a ) +2∑f (a +kh ) +f (b ) ]，
2k =1
=1⨯[f (1) +2⨯f (3) +2⨯f (5) +2⨯f (7) +f (9)]≈17.228
h =2，n =2
复化Simpson 公式:
b
n -1n -1
h
f (x ) dx ≈S n (f ) =[f (a ) +4∑f (a +(2k +1) h ) +2∑f (a +2kh ) +f (b ) ]
3k =0k =1
⎰
a
=
2
⨯[f (1) +4⨯f (3) +4⨯f (7) +2⨯f (5) +f (9)]≈17.322 3
精确解：17.333，复化Simpson 精确度更高些。
************************************************************************** （2）（1）n=4,h=(3-2)/4=1
4
复化梯形公式：
) ]
解：作变量置换x =
⎰
⎰
4
8
f (x ) dx =⎰
2
-2
+t ，x ∈[a , b ]时，t ∈[-2, 2] 24
244
f (2+t ) dt =⎰g (t ) dt ≈[2g (-1) -g (0) +2g (1)]=[2f (1) -f (2) +2f (3)]
-233
2
4
44
f (x ) dx =⎰f (6+t ) dt =⎰g (t ) dt ≈[2g (-1) -g (0) +2g (1)]=[2f (5) -f (6) +2f (7)]
-2-233
2
则
⎰
80
f (x )dx =4[2f (1) -f (2) +2f (3) +2f (5) -f (6) +2f (7)]
3
7. 用两种不同的方法确定x 1, x 2, A 1, A 2，使下面公式为Gauss 求积公式:
⎰f (x )dx ≈A f (x )+A f (x )
1
1
2
2
1
解：（1）作变量置换x =
a +b b -a
+t ，x ∈[a , b ]时，t ∈[-1, 1]，则有 22
⎰
1
f (x ) dx =
11111⎡1111⎤
f (+t ) dt ≈f (-) +f (+) ⎥ ⎰⎢-12222⎣22322⎦
（2）题中有4个待定参数，至少要建立4个方程。按代数精确度，分别令f (x ) =1, x , x 2, x 3，
1. 取步长
h =0. 1，试用显式Euler 法求解初值问题：
2x ⎧'
⎪y =y -y , 0≤x ≤1⎨ ⎪y (0)=1. ⎩
并将计算解和精确解(要求求出) 比较.
解：原方程等价于y y '=y 2-2x 令y 2=u ，得u '=2u -4x ，解得u =ce 用初始条件，解得c =0，得u =2x +1，方程精确解为y (x ) =显式Euler 公式：y n +1=y n +hf (x n , y n ) ，计算结果见下表：
2x
+2x +1，利
2x +1
1. 对于方程
f (x )=3x 2-e x =0，选择适当的初始值，分别用牛顿法和割线
法求它的全部根。
牛顿迭代公式：x k +1=x k -
f (x k )
，k =0, 1, 2 f '(x k )
迭代终止准则采用
x k -x k +1
1+x k
迭代结果如下：x 1=-0.4590，x 2=0.9100，x 3=3.7331 割线法公式：x k +1=x k -
x k -x k -1
f (x k ) ，k =0, 1, 2
f (x k ) -f (x k -1)
证明：由题意不妨设f (x ) =(x -x ) g (x ) ，对ϕ(x ) 和ψ(x ) 求导即可得证。（证明略） 4. 试确定常数
*m
p , q 和r , 使迭代法
qa ra 2
+5, k =0, 1, 2, x k +1=px k +2x k x k
局部收敛于
a ，并使收敛阶尽量高。是几阶方法？
科学和工程计算基础复习题
一、 填空题:
1.
:2. 计算机计费的主要依据有两项:一是使用
要由
算数运算的次数决定; 二是占据存储器的空间, 3. 用计算机进行数值计算时, 4.
5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 敛的充分必要条件是选代矩阵B 的 谱半径ρ(B )
(n +1)
(x )在开区间(a , b )上存在. 若
{x }
n
i i =0
为[a , b ]上的n +1个互异插值节点, 并记ωn +1(x )=
n
∏(x -x ), 则插值多项式
i
i =0
n
f (n +1) (ξx ) ωn +1(x )的余项为R n (x ) =f (x ) -L n (x ) =ωn +1(x ) L n (x )=∑f (x k )
'+1x k (n +1)! x -x k ωn k =0
其中ξx =ξ(x ) ∈(a , b ) .
13. 若函数组
⎧
满足(ϕ, ϕ) {ϕk (x )}n []⊂C a , b k l ⎨k =0
=0, k ≠l
, 则称
≠0, k =l ⎩
为正交函数序列. {ϕk (x )}n
k =014. 复化梯形求积公式
⎰
b
a
n -1
h ⎡⎤
f (x ) dx ≈T n (f ) =⎢f (a ) +2∑f (a +kh ) +f (b ) ⎥2⎣k =1⎦
其余项为R T
n
(b -a ) h 2
=-f ''(η), η∈(a , b )
12
二、 选择题
1. 下述哪个条件不是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方程组Ax =b , A =a ij
充分条件? ( D )
A. 矩阵A 的各阶顺序主子式均不为零; B. A 对称正定;
C. A 严格对角占优; D. A 的行列式不为零.
2. 高斯消去法的计算量是以下述哪个数量级的渐近速度增长的? ( B ) A.
()
n ⨯n
的
13213n ; B. n 3; C. n 3; D. n 3. 3344
3. 对于任意的初始向是x
(0)
和右端项f , 求解线性代数方程组的迭代法x (
k +1)
k
=Bx ()+f 收
敛的充分必要条件是( A ). A.
ρ(B )
4. 下述哪个条件不是能使求解线性代数方程组Ax =b , A =a ij
()
n ⨯n
的Gauss-Seidel 迭代法收
敛的充分条件? ( C )
A. A 为严格对角占优阵; B. A 为不可约弱对角占优阵; C. A 的行列式不为零; D. A 为对称正定阵.
5. 设
过点
(a , 6. 设ϕ1), 则
ϕn ( A. 7. A. C. 8. A. m
m
C. 权数{w i }i =0; D. 离散点的函数值{y i }i =0. 9. Simpson求积公式的余项是( B ).
h 3h 5(4)
f ''(η), η∈(a , b ); B. R (f )=-f (η), η∈(a , b ); A. R (f )=-1290h 4(b -a )(4)h 2(b -a )
C. R (f )=-f (η), η∈(a , b ) f ''(η), η∈(a , b ); D. R (f )=-
9012
10. n 个互异节点的Gauss 型求积公式具有( D ) 次代数精确度.
A. n ; B. n +1; C. 2n +1; D. 2n -1.
11. 一阶导数的数值计算公式中, 中心差商公式的精度为( B ).
3222
A. O (h ); B. O h ; C. o h ; D. O h .
()()()
12. 对于用插值法建立的数值求导公式, 通常导数值的精确度比用插值公式求得的函数值的
精度( B ).
A. 高; B, 低; C. 相同; D. 不可比.
13. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 梯形公式是显式Euler 公式和隐式Euler 公式的
( A ).
A. 算术平均; B. 几何平均; C. 非等权平均; D. 和. 14. 当( B ) 时, 求解y '=λy , (λ
15. A C.
16. 在代法
x k +( 17. 18. 19. A.
x k -x k -11+x k
x k -x k -1
x k
x k -x k -11+x k -1
20. 在求解非线性方程组时, 加进阻尼项的目的, 是使线性方程组的( C ).
A. 系数矩阵非奇异; B. 系数矩阵的行列式不等于零; C. 系数矩阵非奇异并良态; D. 系数矩阵可逆.
三、 判断题
1. 在用计算机求数学问题的数值解就是构造算法的构造问题.( × )
2. 用计算机进行数值计算时, 所有的函数都必须转化成算术运算; 在作加减法时, 应避免接
近的两个数相减; 在所乘除法时, 计算结果的精度不会比原始数据的高.( √ ) 3. 用计算机作加减法时, 交换律和结合律成立.( × ) 4. 单调减且有下界的数列一定存在极限。(√ ) 5. 设B ∈R 6. 若A ∈R
n ⨯n
, 则lim B =0的充要条件是B 的谱半径ρ(B )
k
k →∞
n ⨯n
, 则一定有A
2
=ρ(B ).( × )
7. 求解线性代数方程组, 当n 很大时,Cholesky 分解法的计算量比Gauss 消去法大约减少了
一半. (√ )
8. 在用迭代法求解线性代数方程组时, 若Jacobi 迭代矩阵为非负矩阵, 则Jacobi 方法和
Gauss-Seidel 方法同时收敛, 或同时不收敛; 若同时收敛, 则方法比Jacobi 方法收敛快. (√ ) 9. 均差(或差商) 与点列x i , f (x i )10. 11. 12. 13.
{}
n
i =0
的次序有关. (× )
线性最小二乘法问题的解与所选基函数有关. (× 复化梯形求积公式是2阶收敛的, 复化Simpson 4√Gauss 求积系数都是正的. (√ )
在常微分方程初值问题的数值解法中, Euler 公式的算术平均, 而Euler 公式和隐式, . (× )
14. 在Runge-Kutta 法中, . (√) 15. 求解y '=λy , (λ
稳定性好. (√ )
17. . (√)
18. , 最有效的是Steffensen 迭代法和Newton 迭代法. 前者不
, ; 后者需要求导数, 但可直接推广到多元方程组. (√ 19. 常微分方程边值问题的差分法, 就是将解空间和微分算子离散化、组成满足边值条件的
差分方程组, 求解此方程组, 得到边值问题在节点上函数的近似值. (√ )
20. 在求解非线性方程组时, 在一定条件下映内性可保证不动点存在, 因而也能保证唯一性.
(× )
四、 线性代数方程组的数值解法
1. 用高斯消去法求解方程组
Ax =b ，即
⎡211⎤⎡x 1⎤⎡4⎤⎢132⎥⎢x ⎥=⎢6⎥⎢⎥⎢2⎥⎢⎥ ⎢⎣122⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣5⎥⎦
（1） 列出用增广矩阵
[A , b ]表示的计算过程及解向量x ；
A =LU 中的三角阵L 和U ；
（2） 列出由此得到的Doolittle 三角分解（3） 由
3
⨯=3
U 计算det A 。det A =2⨯5⎡
⎢7⎢⎢0⎢⎢0⎢⎣
第二次消元：消元因子l 32=
⎤
1-13⎥26161⎥
⎥
777⎥82017⎥777⎥⎦
4
，进行消元，得 13
⎡
⎢71⎢260⎢
7⎢
⎢00⎢⎣
217319
=回代得x 3=，x 2=-，x 1
1962814
易知
⎤
-13⎥161⎥
⎥
77⎥196217⎥9191⎥⎦19= 28
⎤-1⎥⎡⎤⎡
⎢1⎢700⎥1
⎢⎣2342⎥⎦
第一次消元：消元因子l 21=2, l 31=2，进行消元，得
31⎤⎡13
⎢0-5-50⎥ ⎢⎥⎢⎣0-3-20⎥⎦
第二次消元：消元因子l 32=
3
，进行消元，得 5
31⎤⎡13
⎢0-5-50⎥ ⎢⎥⎢10⎥⎣00⎦
回代得x 3=0，x 2=0，x 1=1 易知
⎡⎢1L =⎢2
⎢⎢2⎤
3⎤00⎥
⎡13
⎢⎥
10⎥，U =⎢0-5-5⎥ 3⎥⎢1⎥1⎥⎣00⎦ ⎡
⎢2-1⎢110⎢
2⎢
⎢0-1⎢2⎣
第二次消元：消元因子l 32=-
-1
1-2112
⎤4⎥⎥5⎥ ⎥5⎥⎥⎦
1
，进行消元，得 11
⎡
⎢2-1-1⎢1110-⎢
22⎢
⎢0060⎢11⎣
回代得x 3=1，x 2=1，x 1=3 易知
⎤
4⎥⎥5⎥ ⎥60⎥⎥11⎦
⎡
⎢1⎤⎡⎤
⎢2-1-1⎥00⎥
42⎤⎡123
⎢1491610⎥
⎥ 解：方程组增广矩阵⎢
⎢18276444⎥⎢⎥[1**********]⎣⎦
第一次消元：消元因子l 21=1, l 31=1, l 41=1，进行消元，得
42⎤⎡123
⎢02612⎥8⎢⎥ ⎢06246042⎥⎢⎥[1**********]⎣⎦
第二次消元：消元因子l 32=3，l 42=7，进行消元，得
⎡1⎢0⎢⎢0⎢⎣02342⎤26128⎥⎥ 062418⎥
⎥
036168132⎦
第三次消元：消元因子l 43=6，进行消元，得
⎡1⎢0⎢⎢0⎢⎣0
2200
342⎤61262418⎥
2424⎦
回代得x 4=1，x 3=-1，x 2=11=-1 易知
⎡⎢1L =⎢
⎢1⎢⎣1
det A =⨯⨯24
716
⎢020⎥⎥， U =⎢⎢000⎥
⎥⎢1⎦⎣0034⎤
612⎥⎥ 624⎥
⎥024⎦
6. Ax =b ，即
1⎤⎡x 1⎤⎡21⎤⎢x ⎥⎢52⎥4⎥⎥⎢2⎥=⎢⎥8⎥⎢x 3⎥⎢79⎥ ⎥⎢⎥⎢⎥6⎦⎢⎣x 4⎥⎦⎣82⎦
⎡24
⎢286⎢
⎢3108⎢
⎣41210
（1） 列出用增广矩阵
[A , b ]表示的计算过程及解向量x ；
A =LU 中的三角阵L 和U ；
（2） 列出由此得到的Doolittle 三角分解（3） 由
U 计算det A 。
⎡124⎢286
解：方程组增广矩阵⎢
⎢3108⎢
⎣41210
1486
21⎤52⎥⎥ 79⎥⎥82⎦
第一次消元：消元因子l 21=2, l 31=3, l 41=4，进行消元，得
⎡1⎢0⎢⎢0⎢⎣024121⎤4-2210⎥⎥ 4-4516⎥
⎥
4-62-2⎦
第二次消元：消元因子l 32=1，l 42=1，进行消元，得
⎡1⎢0⎢⎢0⎢⎣024121⎤4-220-236⎥
0-0-12⎦
第三次消元：消元因子l 43=2
⎢000221422⎥ -236⎥
⎥
00-6-24⎦
回代得3=x 2=2，x 1=1 易知
L =⎢⎢⎣4
01110012
0⎤1⎤⎡124
⎢04-22⎥0⎥⎥， U =⎢⎥ ⎢00-23⎥0⎥
⎥⎢⎥1⎦⎣000-6⎦
det A =1⨯4⨯-2⨯-6=48
7.
用追赶法求解三对角方程组A x =f , 其中
⎡4-10⎤
⎥, A =⎢-14-1⎢⎥
⎢⎣0-14⎥⎦
⎡1⎤
⎢⎥f =⎢1⎥
⎢⎣1⎥⎦
解：d 1=c 1=-1，d 2=c 2=-1，u 1=b 1=4，l 2=
a 2
115=-，u 2=b 2-l 2c 1=， 144
l 3=
a 3
2
=-
456
，u 3=b 3-l 3c 2=，得 1515
⎤⎡⎤
⎢4-10⎥00⎥
⎥⎢15⎥10⎥，U =⎢0-1⎥
4⎥⎢⎥
456⎢00⎥-1⎥
⎢15⎥15⎥⎦⎣⎦
54
解得y =1
，y =，y =，
⎡⎢1⎢1L =⎢-
⎢4⎢0⎢⎣
解得y 1=1，y 2=3. 25，y 3=2. 8668， 得x 3=0. 7679，x 2=1. 0714，x 1=0. 5179
Page77 例3.3.1
9.
用追赶法求解三对角方程组A x =f , 其中
⎛2-1⎫⎛6⎫ ⎪ ⎪-13-21⎪ ⎪ A =, f = ⎪ -2⎪ -24-3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-35⎭⎝⎝1⎭
解：d 1=c 1=-1，d 2=c 2=-2，d 3=c 3=-3，u 1=b 1=2，l 2=
1
=-， 12
54125a
u 2=b 2-l 2c 1=，l 3=3=-，u 3=b 3-l 3c 2=，l 4=a 4=-
232554
5
u =b -l c =得
a 2
并求2
2. 已知f (1)=0, f (-1)=-3, f (2)=4, 求函数f (x )过这三点的二项Lagrange 插值
多项式L 2(x ). 解：这里n=2
(2) l 0(x ) =
(x +1)(x -2) 1
=-(x +1)(x -2)
(1+1)(1-2) 2(x -1)(x -2) 1
=(x -1)(x -2)
(-1-1)(-1-2) 6
l 1(2) (x ) =
(2) l 2(x ) =
(x -1)(x +1) 1
=(x -1)(x +1)
(2-1)(2+1) 3
5237x +x - 623
(2) (2)
L 2(x ) =0⨯l 0(x ) -3⨯l 1(2) (x ) +4⨯l 2(x ) =
3. 求不超过3次的多项式p 3(x )，使它满足插值条件：
p (-1)=-2, p (0)=-1, p (1)=0, p '(0)=0.
Page 121 例4.2.4
⎧⎪α⎪⎨⎪
⎪α⎩
由于p (2) =1，得a ==x (x -
2
2222，所以p (x ) =(3-2x ) x +(x -1) x +x (x -1) 44
1
4
2
39x +) 24
(1) 作函数f (x )的均差表;
(2) 用牛顿插值公式求三次插值多项式N 3(x ).
111
(x +2)(x -1) 2，α1(x ) =(2-x )(x +1) 2，β0(x ) =(x +1)(x -1) 2 44412
β1(x ) =(x -1)(x +1)
4
91
H (x ) =-(x +2)(x -1) 2+(2-x )(x +1) 2+
44151
(x +1)(x -1) 2-(x -1)(x +1) 2 44
计算得α0(x ) =
7. 己知函数
f (x )的三个点处的值为：
f (-1)=1, f (0)=0, f (1)=1
在区间[-1, 1]上, 求f (x )在自然边界条件下的三次样条插值多项式.
P129 例4.4.1
8. 已知
f (x )为定义在区间[0,3]上的函数, 且有
1.
f 解：h i μi
d 1d 0=
6
(f [x 0, x 1]-f '(x 0)) =6⨯(0. 5-0. 2) =1. 8 h 0
6
(f '(x n ) -f [x n -1, x n ])=6⨯(-1+0. 5) =-3 h 2
d 3=
利用固支条件，得矩阵
100⎫⎛M 0⎫⎛1. 8⎫⎛2
⎪ ⎪ ⎪
0. 520. 50⎪ M 1⎪ 3⎪ 00. 520. 5⎪ M ⎪= -6⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪012⎪⎝⎭⎝M 3⎭⎝-3⎭
用追赶法求解方程组：
a
d 1=c 1=1，d 2=c 2=0. 5，d 3=c 3=0. 5，u 1=b 1=2，l 2=2=0. 25，
1
u 2=b 2-l 2c 1=1. 75，l 3=
u =b -l c =
45得 a 3
2
=
2137a =
，u 3=b 3-l 3c 2=，l 4=4
31377
递推公式构造对应的正交多项式ϕ0(x ), ϕ1(x ), ϕ2(x ). 解：ϕ0(x ) =x =1，
(x ϕ0, ϕ0) m
=∑w i x i [ϕ0(x i )]2=2 ϕ1(x ) =x -a 0，a 0=
(ϕ0, ϕ0) i =0
于是ϕ1(x ) =x -2
ϕ1={ϕ1(x i )}=(-4, -3, -2, -1, 0) ，(ϕ1, ϕ1) =∑w i [ϕ1(x i )]2=22
4i =0
T
i =0
4
(x ϕ1, ϕ1) =∑w i x i [ϕ1(x i )]2=-24
i =0
4
a 1=
(ϕ, ϕ) 22(x ϕ1, ϕ1) 12
=-，b 1=11=
(ϕ0, ϕ0) 5(ϕ1, ϕ1) 11
12221222
) ϕ1(x ) -ϕ0(x ) =(x +)(x -2) -
115115
于是ϕ2(x ) =(x +
图形如下：
值
⎰(sin x -α-βx )
2
dx 最小.
解：最小二乘原理：Page146 定义4.6.1，对于连续函数的情况可以用函数范数代替向量范数。
令y =sin x ，ϕ(x ) =α+βx ，选择多项式子空间Φ的基函数为ϕ0(x ) =1, ϕ1(x ) =x , 权函数w (x ) =1。
⎡π
⎡(ϕ0, ϕ0) (ϕ1, ϕ0)⎤⎢⎰02dx
格兰姆矩阵G=⎢⎥=⎢π
(ϕ, ϕ) (ϕ, ϕ) 11⎦⎣01
⎢⎰2xdx ⎣0⎡π⎤2
⎛(y , ϕ0) ⎫⎢⎰0sin xdx ⎥⎡1⎤
右端向量d= ⎥=⎢1⎥ (y , ϕ) ⎪⎪=⎢π
1⎭⎝⎢⎰2x sin xdx ⎥⎣⎦
⎣0⎦
解正规方程组，得到α*=G -1d =⎢
⎤⎡π2
⎰0xdx ⎥=⎢2π⎥⎢π2
2⎢⎰02x dx ⎥⎦⎢⎣8
π
π2⎤
8⎥⎥
π3⎥24⎥⎦
⎡0. 1148⎤
⎥
2
3
解：题中有4个待定参数，至少要建立4个方程。按代数精确度，分别令f (x ) =1, x , x , x ，带入上式，有
f (x ) =1，A 0+A 1+A 2=2 11
A 0+x 1A 1+A 2=0 22112
f (x ) =x 2，A 0+x 12A 1+A 2=
443
f (x ) =x ，-
11
f (x ) =x 3，-A 0+x 13A 1+A 2=0
88
2
由第一式可知，A 0+A 2=2-A 1，代入第三式可得(12x 1-3) A 1=2， 24乘以第四式减去第二式得，(4x 1-1) x 1A 1=0，由题目和上面的结论知x 1≠±
1
，A 1≠02
得x 1=0，A 1=-于是得求积公式
24，A 0=A 2= 33
⎰
1
-1
f (x ) dx ≈
41241
f (-) -f (0) +f ()
32332
3，,
(3)
⎰f (x )dx ≈A f (0)+A f (1)+A f '(0)
1
2
1
解：P165 例5.2.1，本题有三个未知量，至少有2次代数精度，和例5.2.1类似。
3. 确定下列求积公式的待定参数, 使该求积公式的代数精确度尽量高, 指出其代数精
确度的次数, 并求出余项中的常数k .
(1)
⎰f (x )dx =A f (0)+A f (1)+A f '(1)+kf '''(ξ),
1
2
1
ξ∈(0,1)
解：余项为三阶导数，可知求积公式至少有2次代数精度
题中有3个待定参数，至少要建立3个方程。按代数精确度，分别令f (x ) =1, x , x 2，带入上式，有
f (x ) =1，A 0+A 1=1
1 21
f (x ) =x 2，A 1+2A 2=
3
1121121
解得
A =，A =，A =-，则有f (x ) dx ≈f (0) +f (1) -f '(1)
f (x ) =x ，A 1+A 2=
2
，1解得A 0=，A 1=，x 1=，则有⎰f (x ) dx ≈f (-1) +f ()
-1222233
43
令f (x ) =x ，分别代入求积公式的左右两边，左边=0，右边=，左边不等于右边，不能
9
使求积公式准确成立，所以该求积公式只有2次代数精度。 考虑余项，当f (x ) =x 时，代入求积公式，得0=
3
42
+6k ，k =-，所以余项为： 927
R (f ) =-
2
f '''(ξ) 27
分别用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算解：h =0. 2，n =4
复化梯形公式：
⎰
2. 6
1. 8
f (x )dx 的近似值.
⎰
b
a
n -
1
h
f (x ) dx ≈T n (f ) =[f (a ) +2∑f (a +kh ) +f (b ) ]，
]
⎰
b
a
n -1
h
f (x ) dx ≈T n (f ) =[f (a ) +2∑f (a +kh ) +f (b ) ]，
2k =1
=1⨯[f (1) +2⨯f (3) +2⨯f (5) +2⨯f (7) +f (9)]≈17.228
h =2，n =2
复化Simpson 公式:
b
n -1n -1
h
f (x ) dx ≈S n (f ) =[f (a ) +4∑f (a +(2k +1) h ) +2∑f (a +2kh ) +f (b ) ]
3k =0k =1
⎰
a
=
2
⨯[f (1) +4⨯f (3) +4⨯f (7) +2⨯f (5) +f (9)]≈17.322 3
精确解：17.333，复化Simpson 精确度更高些。
************************************************************************** （2）（1）n=4,h=(3-2)/4=1
4
复化梯形公式：
) ]
解：作变量置换x =
⎰
⎰
4
8
f (x ) dx =⎰
2
-2
+t ，x ∈[a , b ]时，t ∈[-2, 2] 24
244
f (2+t ) dt =⎰g (t ) dt ≈[2g (-1) -g (0) +2g (1)]=[2f (1) -f (2) +2f (3)]
-233
2
4
44
f (x ) dx =⎰f (6+t ) dt =⎰g (t ) dt ≈[2g (-1) -g (0) +2g (1)]=[2f (5) -f (6) +2f (7)]
-2-233
2
则
⎰
80
f (x )dx =4[2f (1) -f (2) +2f (3) +2f (5) -f (6) +2f (7)]
3
7. 用两种不同的方法确定x 1, x 2, A 1, A 2，使下面公式为Gauss 求积公式:
⎰f (x )dx ≈A f (x )+A f (x )
1
1
2
2
1
解：（1）作变量置换x =
a +b b -a
+t ，x ∈[a , b ]时，t ∈[-1, 1]，则有 22
⎰
1
f (x ) dx =
11111⎡1111⎤
f (+t ) dt ≈f (-) +f (+) ⎥ ⎰⎢-12222⎣22322⎦
（2）题中有4个待定参数，至少要建立4个方程。按代数精确度，分别令f (x ) =1, x , x 2, x 3，
1. 取步长
h =0. 1，试用显式Euler 法求解初值问题：
2x ⎧'
⎪y =y -y , 0≤x ≤1⎨ ⎪y (0)=1. ⎩
并将计算解和精确解(要求求出) 比较.
解：原方程等价于y y '=y 2-2x 令y 2=u ，得u '=2u -4x ，解得u =ce 用初始条件，解得c =0，得u =2x +1，方程精确解为y (x ) =显式Euler 公式：y n +1=y n +hf (x n , y n ) ，计算结果见下表：
2x
+2x +1，利
2x +1
1. 对于方程
f (x )=3x 2-e x =0，选择适当的初始值，分别用牛顿法和割线
法求它的全部根。
牛顿迭代公式：x k +1=x k -
f (x k )
，k =0, 1, 2 f '(x k )
迭代终止准则采用
x k -x k +1
1+x k
迭代结果如下：x 1=-0.4590，x 2=0.9100，x 3=3.7331 割线法公式：x k +1=x k -
x k -x k -1
f (x k ) ，k =0, 1, 2
f (x k ) -f (x k -1)
证明：由题意不妨设f (x ) =(x -x ) g (x ) ，对ϕ(x ) 和ψ(x ) 求导即可得证。（证明略） 4. 试确定常数
*m
p , q 和r , 使迭代法
qa ra 2
+5, k =0, 1, 2, x k +1=px k +2x k x k
局部收敛于
a ，并使收敛阶尽量高。是几阶方法？