２㊀
频率的稳定性
１ 能根据频率的特点确定一个事件的频率．２ 能利用频率的稳定性估计一个事件的概率．
要点１㊀ 估计一个事件的频率
如果一组数据共有n 个, 而其中的某一类数据出现了m 次, 那么m 就叫做该在n 次重复试验中, 不确定事件A 发生了m 次, 则比值m 称为事件A 发生的
n 频率．
当试验次数很大时, 频率具有稳定性, 常在一个常数附近震荡．
个, 某学习小组做摸球试验, 将球搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色, 再把它放回袋中, 不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据:
摸球的次数n 摸到白球的次数m 摸到白球的频率１００５８
１５０９６
２００１１６
５００２９５
８００１０００４８４
６０１
白两种颜色的球共２㊀ 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑㊁ ０
类数据在该组数据中出现的频数．
０．５８０．６４０．５８０．５９０．６０５０．６０１
;
() 试估算口袋中黑㊁ 白两种颜色的球各有多少个? ３
) 请估计:当n 很大时, 摸到白球的频率将会接近㊀㊀㊀㊀ ; ㊀㊀ (１() 假如你去摸一次, 你摸到白球的机会是㊀ ㊀ ㊀ , 摸到黑球的机会是２() 解决了上面的问题, 小明同学猛然顿悟, 过去一个悬而未决的问题有办法４了．这个问题是:在一个不透明的口袋里装有若干个白球, 在不允许将球倒出来数的情况下, 如何估计白球的个数? (可以借助其他工具及用品) 请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题, 写出解决这个问题的主要步骤及估算方法．
精析:观察统计表, 联系稳定频率与机会的关系, 注意机会的计算公式．() 解答:从频率试验表中可以看出, 当摸球次数大于５摸到白球的频率１００时,
稳定在０．这可以作为平稳的频率, 因此, 可以估计:当n 很大时, 摸到白球６０左右,
的频率将会接近０．６０．
() ) , 由(得, 白球的个数为２个) 黑球的个数为２３２０ˑ０．６＝１２(０ˑ０．４＝(个) ８．
() 设白球的个数为x , 再向袋中放入n 个黑球, 然后每次从袋中摸出一球, 记４下颜色后并放回, 重复上述动作, 经过多次摸球试验后, 设摸球的总次数为M , 摸到
() 因为稳定的频率接近于概率, 所以摸到白球的概率是０．又摸到白球的２６０．概率与摸到黑球的概率之和等于１, 所以摸到黑球的概率是１－０．６０＝０．４０．
N 故x ＝n 白球的次数为N , 则有x ＝, ．
M －N ＋n 检测, 结果如下:抽取球数n
优等品数m 优等品的频率
从最近生产的一大批乒乓球中, 抽取６批进行质量㊀ 某乒乓球生产厂,
５０４５０．９００
１００９２０．９２０
２００１８７０．９３５
５００４７００．９４０
１０００９５４０．９５４
２０００１９０２
４０００３８０２
０．９５１０．９５０５
㊀㊀ 从上表中你能得出什么结论?
精析:从０．表面上看逐渐增大, 但仔细分析不难发现, 前几组优等９０~０．９５０５, 品数相差不大但频率相差大, 而后几组优等品数相差较大但频率相差小, 而且后几组在０．可见０．９５附近震荡, ９５是一个稳定常数．
(解答:该厂优等品的频率为０．意即乒乓球优等品达９９５５％) ．
随着抽取球数n 的增大, 频率具有稳定性, 常在一个常数附近震荡．
要点２㊀ 用频率估计概率
的概率．记作P (A ) ．
一般地, 表示一个随机事件A 发生可能性(机会) 大小的数, 叫做这个事件发生
在大量重复试验后, 一个事件发生的频率都具有稳定性, 我们用随机事件发生
的频率逐渐稳定到的常数来刻画它发生的可能性的大小．这样, 求一个随机事件的基本方法可以是:通过大量的重复试验, 用这个事件发生的频率作为它的概率的估计值．
必然事件发生的概率为１, 不可能事件发生的概率为０, 随机事件A 发生的概
率０＜P (A ) ＜１．
掷一个图钉, 钉尖朝上 的概率, 两个小组用同一个图钉做试验㊀ 研究
进行比较, 他们的统计数据如下:
掷图钉的次数
３针尖朝上第一小组２的次数
第二小组２４
５０１００３９４１
２００７９８１
３００
１２１１２４
４００
１６０１６４
) 请你估计第一小组和第二小组所得的概率分别是多少? ㊀㊀ (１
() 你认为哪一个小组的结果更准确? 为什么? ２用频率估计概率;
() 根据概率的计算方法与意义, 结合题意, 可得答案．２
() 解答:根据题意, 就越精确, １ȵ㊀ 次数越多, ʑ㊀ 选取试验次数最多的进行计算可得６０第一小组所得的概率是ʈ ０．４;
００
() 精析:根据题意, 用频数除以试验次数, 得到频率, 由于试验次数较多, 可以１
() 不知道哪一个更准确．因为试验数据可能有误差, 不能准确说明偏向．２
考查利用频率估计概率, 大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的
知识点为:概率＝所求情况数与总情况数之比．相同) 的袋中红球接近多少个, 在不将袋中球倒出来的情况下, 分小组进行摸球试验, 两人一组, 共２其中一位学生摸球, 另一位学生记录所摸球０组进行摸球试验．６０００次．
() 估计从袋中任意摸出一个球, 恰好是红球的概率是多少? １
的颜色, 并将球放回袋中摇匀, 每一组做４汇兑起来后, 摸到红球次数为００次试验,
() 请你估计袋中红球接近多少个? ２精析:求出总次数, 根据红球出现的频数, 求出红球出现的频率, 即可用来估计() 解答:１ȵ㊀ ２０ˑ ４００＝８０００,
每个球除颜色外都㊀ 某活动小组为了估计装有５个白球和若干个红球(
６４第二小组所得的概率是ʈ ０．４１．
００
红球出现的概率．
０００
＝０．７５．ʑ㊀ 摸到红球的频率为０００
因为试验次数很大, 大量试验时, 频率接近于理论概率, () 设袋中红球有x 个, 根据题意, 得x ＝０．２７５,
＋５
解得x ＝１５, 经检验, x ＝１５是原方程的解．
所以估计从袋中任意摸出一个球, 恰好是红球的概率是０．７５．
ʑ㊀ 估计袋中红球接近１５个．
考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为:概率
＝所求情况数与总情况数之比．
综合应用
) 要点１已知全班同学他们有的步行, 有的骑车, 还有的乘车上学, 根㊀ (
上学方式 正 字法记录
频数频率
步行正正正
骑车
乘车
据已知信息完成下表．
９
一般地, 如果一组数据共有n 个, 而其中的某一类数据出现了m 次, 那么㊀㊀ 精析:
而m 就叫做该类数据在该组数据中出现的频数, 出现的频率．
０．４
则称为该类数据在该组数据中
５(人) 步行的频数是１频率是骑车的频率是９＝０．乘车０．６＝４０．５, ＝０．３７５;
２２５; ０４０的频数是４表格略．０ˑ ０．４＝１６．
归纳 演绎:步行的频率＋骑车的频率＋乘车的频率＝１．
) 要点２不透明的袋中有３个大小相同的小球, 其中２个为白色, 例㊀ (１个
解答:因为步行有１骑车有９人, 共２占总数的０．所以总数有２５人, ４人, ６, ４ː
探究创新
分数据．
为红色, 每次从袋中摸１个球, 然后放回搅匀再摸, 在摸球试验中得到下列表中部
摸球次数４０出现红色球的频数出现红色球的频率
１４３５％
８０１２０１６０２００２４０２８０３２０３６０４００２３
３８
５２
６７
８６
９７１１１１２０１３６３５％３５％
３２％３３％
) 请将数据表补充完整; ㊀㊀ (１
() 画出折线图; ２
() 观察图象, 你有什么发现? ３() 你能估计出这个事件的概率吗? 若能, 请估计摸出红色球的概率．４
精析:先根据图表进行计算, 求出频率, 再估计概率即可．故顺次填２１３６ː ４００＝３４％, ９％, ３３％, ３６％, ３３％, ３４％．() ２
() 解答:１２３ː８０＝２９％; ６７ː２００＝３３％; ８６ː２４０＝３６％; １２０ː３６０＝３３％;
图６．２Ｇ１
() 随着试验次数的增大, 出现红色小球的频率逐渐趋于稳定．３
() 能, 摸出红色球的概率为１．４
３
技法 规律:画出图象, 就可以轻松的观察出红色球出现的概率．大量试验的
图６．２Ｇ２
频率接近于概率
．
㊀ 小明在做抛掷一枚硬币的试验中获得如下数据．
抛掷次数出现正面的频数
１０２
２０５
３０９
１５４０
２１５０
２７６０
ɔ １判断失误㊀ 试验次数不多,
出现正面的频率２０．０％２５．０％３０．０％３７．５％４２．０％４５．０％
得出如下结论:㊀㊀ 他观察了统计表,
结果无法预测; ①抛掷硬币前,
出现正面的频率不稳定．③随着抛掷次数的增大,
请问:他的哪些结论是合理的? 为什么?
错解:因为从试验中可以看出正面最大频率在４所以①②③都是合理的, ５％, 正解:每次试验的结果是不确定的, 无法预测结果; ①合理, 试验次数不够多; ②不合理,
当试验次数足够多后, 出现正面的频率会逐渐稳定在５③不合理, ０％左右．
警醒:没有理解反复试验观察不确定现象的意义．我们可以用大量试验来稳定②出现正面的可能性较小;
正面出现的可能性较小, 可见正面出现的频率也就不稳定．
不确定现象出现的频率．
一个汽水瓶盖继续做试验, 又抛了１于是, 由试验结果他得出一个关于频率０１次, 稳定性的结论, 你同意他的结论吗?
但抛到第９接着他用㊀ 小华在做抛啤酒瓶盖的试验, ９次时瓶盖滚丢了,
ɔ ２试验条件改变㊀ 在反复试验中,
错解:啤酒瓶有正㊁ 反面, 汽水瓶盖也有正㊁ 反面, 所以这个结论是真实可靠的．正解:这个结论不正确．应重新寻一个新啤酒瓶盖做该试验．
警醒:在大量重复试验下, 随机事件A 发生的频率会稳定到某个常数P 附近, 在此强调每次试验其条件应相同．
布袋中搅匀, 再摸, 依次重复３所得数据如下表:００次, 试验次数出现５的倍数的次数
３０５
６０
９０
１２０２３
２０．７％１５０
１８０３４
分别写有１, 然后把卡片放在一个不透明的㊀ 有３０张卡片, ２, ３ ３０,
２１０４０
２０．８％２４０
２７０５２
３００６２
ɔ ３㊀ 用频率估计概率不准确
出现５的倍
１６．７％２１．７％２２．２％
数的频率
) 完成上表; ㊀㊀ (１
() 出现５的倍数的机会是多少? ２
() 或填２２１９％(１％) () ２２０％
() 错解:频数㊁ 频率㊁ 总数三者之间关系弄不清．计算不准确导致填表失误．１() 正解:１１３㊀ ２０㊀ ３１㊀ ５０㊀ １９．２％㊀１８．９％㊀１９．０％㊀１９．３％㊀２０．７％
２１, 为足够多了, 且５或６再根据四舍五入原则得出１或＝１９．３％(＝２０．６％) ９％(２７０３００
, 其实应看这些数值在什么附近波动, 分析不难发现在２２１％) ０％附近波动．
频数
() (, 警醒:频率; 有些同学看见最后实数次数２或３以１２) ７０次(００次) 总数＝
夯基固本
) (, 要点１欢迎进入高中) 在这段句子的所有１ (W e l c o m e t oS e n i o rH i hS c h o o l ．g
英文字母中, 字母o 出现的频率是㊀㊀㊀㊀ ．要点１) 在对１各组的频数之和等于２ (００个数据进行整理的频率分布表中,
各组的频率之和等于㊀㊀㊀㊀ ．, ) 要点１在一个样本中, 第一㊁ 二㊁ 三㊁ 五组的数据３ ５０个数据分别落在５个组内,
个数分别为２, 则第四组的频数为㊀㊀㊀㊀ , 频率为．８, １５, ５,
) 要点２对某工厂生产的大批同类产品进行合格率检查, 取５件, ４ (１０件,
检查结果如下表所示:６０件, １５０件, ６００件, ９００件, １２００件, １８００件,
抽取的件数n 合格件数m 合格频率(/m n )
５１０５
８
６
０５３
１５０１３１
６００５４２
９００１２００１８００８２０１０９１１６３．１
１０．８０．８８３０．８７３０．９１３０．９１１０．９０９０．９０６
) 要点２某少儿活动中心在 六一 活动中, 举行了一次转盘摇奖活动, 是一个可５ (
以自由转动的转盘, 如图．当转动停止时, 指针落在哪一个区域就可以获得相应
的奖品(落在分界线上时重新摇奖) 下表是活动进行中统计的有关数据．．
求该厂产品的合格率．
(第５题)
转动转盘的次数n 落在 铅笔 区域中的次数m 落在 铅笔 区域中的频率１００６８
１５０１１１
２００１３６
５００３５２
８０
０１０００５５６
７０１
综合应用
() 计算并完成表格; １
() 当转动转盘的次数n 很大时, 概率将会接近多少? ２
) , 要点１㊁ 某工厂新生产一种节能灯泡, 设计使用寿命为１现从第一批６ (２００００h的大量产品中抽取若干个, 在同等条件下进行使用寿命检验, 有关数据如下:
灯泡个数１００００h 的灯泡个数
合格率使用寿命ȡ
２０４０１００２００４００１０００１９３７９３１７９３６１９０２
) 要点１㊁ 某水果公司以１．如果公司希７ (２２元∕千克的成本进了１００００kg 柑橘,
() 补全表中空缺并完成表后的填空．１
柑橘总质量n (千克) １００１５０２００２５０３００３５０５０
望这些柑橘能够获得利润５０００元．
() 使用寿命ȡ １计算各批灯泡的合格频率; １００００h 的灯泡为合格产品, () () 根据频率的稳定性估计灯泡的合格概率．精确到０．２１
柑橘损坏率统计表损坏柑橘总
柑橘损坏的频率m
n ０．１１０．１５
质量m (千克)
１０．５０１５．１５１９．４２２４．２５３０．９３３５．３２５．５
０．０９７０．１０３
４００４５０５００
３９．２４４４．５７５１．５４
０．０９８０．０９９
续㊀ 表
() 在出售柑橘(以去掉损坏的柑橘) 时, ? ２
要点１㊁ , 结果如下表所示:８ (２
射击次数(n ) １０击中靶心的次数(m ) 击中靶心的频率８
２０
５０
１００９２
２００
５００
柑橘损坏的频率在㊀㊀㊀㊀ 左右摆动, 并且随统计数据的㊀㊀ 从表中发现,
增加, 这种规律愈加明显, 所以估计柑橘损坏的概率为;
１９４４１７８４５５
()
) 要点１表中是一个机器人做９９抛硬币 游戏时记录下的出现正面的频９ (９９次 数和频率．
抛掷结果出现正面的频数出现正面的频率
５次５０次３００次８００次３２００次６０００次９９９９次１
３１
１３５
４０８
１５８０
２９８０
５００６
() 计算表中击中靶心的各个频率; １
() 这个射手射击一次, 击中靶心的概率约是多少? ２
２
０％６２％４５％５１％４９．４％４９．７％５０．１％
() 由这张频数和频率表可知, 机器人抛掷完５次时, 得到１次正面, 正面出现的１
频率是２那么, 也就是说机器人抛掷完５次时, 得到次反面, 反０％, () , 机器人抛掷完９９得到次正面, ２９９次时, 正面出现的频率是．那么, 也就是说机器人抛掷完９９得到９９次时,
面出现的频率是．
探究创新
反面出现的频率是㊀㊀㊀㊀ ．次反面,
) 要点１一次数学竞赛, 某校有４抽出２１０ (００名学生参加, ０名学生的数学成绩如下:
８５㊀ ７５㊀ ８９㊀ ９０㊀ ８５㊀ ７８㊀ ９４㊀ ８８㊀ ８３㊀ ６６
７２㊀ ７１㊀ ８５㊀ ８６㊀ ９６㊀ ８０㊀ ９８㊀ ８７㊀ ６２㊀ ９２() :１
分组６０．５~７０．５７０．５~８０．５９０．５~１００．５
合计
() 根据上表估计:全校４成绩在８２００名学生中, ０分以上的人数约为多少? 占
多大比例?
８０．５~９０．５
频数累计
频数
频率
) 要点１㊁ 对下列说法谈谈你的看法:１１ (２
() 某彩票的中奖机会是２％, 如果我买１１００００张彩票一定有２００张会中奖;
() , 我和同学玩飞行棋游戏, 我掷了２说明我掷得 ２０次骰子还没掷得 ６点 ６
点 的机会比其他同学掷得 的机会小; ６点
() 我们知道, 抛掷一枚普通硬币得到正面和反面的机会各为５也就是说, ３０％, 虽然没人能保证抛掷１０但是, 我敢００次会得到５００次正面和５００次反面,
保证得到正面的次数会非常接近得到反面的次数．
) 要点２为了估计某鱼塘中的鱼数, 养鱼者首先从鱼塘中捕获１在每１２ (００条鱼, 一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘, 经过一段时间后, 再从鱼塘中打捞
出若干条, 分别数出标有记号的条数．进行重复试验, 试验数据如下表:
每次打捞每次打捞鱼中带记号鱼数(m ) 鱼数(n )
４０４
８０３
１２０５
１６０８
２００９
２４０１３
２８０１４
３２０１６
m
n
０．１０００．０３８０．０４２０．０５００．０４４０．０５４０．０５００．０５０
() 根据表中的数据, 频率m 的值稳定在哪个常数附近? (结果用小数表示, 精１
n
) 确到０．０１() 请你估算出这个鱼塘中鱼数有多少条? ２
小概率原理
说出了事物发生的偶然性．不对的是, 夸大了偶然的成份, 忽视了偶然中的必然规律和量的关系．
举例说, 在世界上火车与汽车相撞的事件, 时有发生．然而, 却几乎没有人, 由于担心火车与汽车相撞, 不去乘火车㊁ 汽车而宁愿步行．这是为什么呢? 原因是:在现实中, 这种相撞的可能性实在是太小了．在世界上千千万万次的车祸中, 能找到的也只是极少数几例．又如, 人遭遇车祸, 这种可能性通常要比火车与汽车相撞的可能性大不知多少倍．然而, 在人们亿万次的外出中, 遭遇车祸毕竟还是占少数．这 小概率原理, 潜意识包含了一条极重要的原理 即一个概率很小的事件, 一般不会在一次试验中发生．
天有不测风云, 人有旦夕祸福 这话有对的一面, 也有不对的一面, 对的是, ．
P １４２随堂练习P １４５随堂练习() 不是．１０．９㊀０．８㊀０．８２㊀０．８８㊀０．４８㊀１．不同意, ０．８５８㊀ ０．８６１() 略２() 略３
２．不能．
P １４６习题６．３
) １．(１０．９４㊀ ０．９５５㊀ ０．９４６㊀ ０．９５４㊀ () ３０．９５) ２．(１０．７㊀ ０．８㊀ ０．８６㊀ ０．８１㊀ ０．８２() 不一定一样．３) ３．(１１, ２, ３, ４, ５, ６．() 相同; 相同．２
() 相同３
０．８２８㊀ ０．８２５() ２０．８２５０．９５３㊀ ０．９４９６() 略２
P １４２㊀ 习题６．２
) １．(１０．９㊀ ０．９５㊀ ０．９４㊀ ０．９３０．９３５㊀ ０．９３４㊀ ０．９３５() 略２() 略３
２．一样大
P １４４想一想０ɤ P (A ) ɤ １P １４５议一议
１正面朝上) 正面朝下) P (＝P (＝
２
底
:
２㊀
频率的稳定性
１ 能根据频率的特点确定一个事件的频率．２ 能利用频率的稳定性估计一个事件的概率．
要点１㊀ 估计一个事件的频率
如果一组数据共有n 个, 而其中的某一类数据出现了m 次, 那么m 就叫做该在n 次重复试验中, 不确定事件A 发生了m 次, 则比值m 称为事件A 发生的
n 频率．
当试验次数很大时, 频率具有稳定性, 常在一个常数附近震荡．
个, 某学习小组做摸球试验, 将球搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色, 再把它放回袋中, 不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据:
摸球的次数n 摸到白球的次数m 摸到白球的频率１００５８
１５０９６
２００１１６
５００２９５
８００１０００４８４
６０１
白两种颜色的球共２㊀ 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑㊁ ０
类数据在该组数据中出现的频数．
０．５８０．６４０．５８０．５９０．６０５０．６０１
;
() 试估算口袋中黑㊁ 白两种颜色的球各有多少个? ３
) 请估计:当n 很大时, 摸到白球的频率将会接近㊀㊀㊀㊀ ; ㊀㊀ (１() 假如你去摸一次, 你摸到白球的机会是㊀ ㊀ ㊀ , 摸到黑球的机会是２() 解决了上面的问题, 小明同学猛然顿悟, 过去一个悬而未决的问题有办法４了．这个问题是:在一个不透明的口袋里装有若干个白球, 在不允许将球倒出来数的情况下, 如何估计白球的个数? (可以借助其他工具及用品) 请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题, 写出解决这个问题的主要步骤及估算方法．
精析:观察统计表, 联系稳定频率与机会的关系, 注意机会的计算公式．() 解答:从频率试验表中可以看出, 当摸球次数大于５摸到白球的频率１００时,
稳定在０．这可以作为平稳的频率, 因此, 可以估计:当n 很大时, 摸到白球６０左右,
的频率将会接近０．６０．
() ) , 由(得, 白球的个数为２个) 黑球的个数为２３２０ˑ０．６＝１２(０ˑ０．４＝(个) ８．
() 设白球的个数为x , 再向袋中放入n 个黑球, 然后每次从袋中摸出一球, 记４下颜色后并放回, 重复上述动作, 经过多次摸球试验后, 设摸球的总次数为M , 摸到
() 因为稳定的频率接近于概率, 所以摸到白球的概率是０．又摸到白球的２６０．概率与摸到黑球的概率之和等于１, 所以摸到黑球的概率是１－０．６０＝０．４０．
N 故x ＝n 白球的次数为N , 则有x ＝, ．
M －N ＋n 检测, 结果如下:抽取球数n
优等品数m 优等品的频率
从最近生产的一大批乒乓球中, 抽取６批进行质量㊀ 某乒乓球生产厂,
５０４５０．９００
１００９２０．９２０
２００１８７０．９３５
５００４７００．９４０
１０００９５４０．９５４
２０００１９０２
４０００３８０２
０．９５１０．９５０５
㊀㊀ 从上表中你能得出什么结论?
精析:从０．表面上看逐渐增大, 但仔细分析不难发现, 前几组优等９０~０．９５０５, 品数相差不大但频率相差大, 而后几组优等品数相差较大但频率相差小, 而且后几组在０．可见０．９５附近震荡, ９５是一个稳定常数．
(解答:该厂优等品的频率为０．意即乒乓球优等品达９９５５％) ．
随着抽取球数n 的增大, 频率具有稳定性, 常在一个常数附近震荡．
要点２㊀ 用频率估计概率
的概率．记作P (A ) ．
一般地, 表示一个随机事件A 发生可能性(机会) 大小的数, 叫做这个事件发生
在大量重复试验后, 一个事件发生的频率都具有稳定性, 我们用随机事件发生
的频率逐渐稳定到的常数来刻画它发生的可能性的大小．这样, 求一个随机事件的基本方法可以是:通过大量的重复试验, 用这个事件发生的频率作为它的概率的估计值．
必然事件发生的概率为１, 不可能事件发生的概率为０, 随机事件A 发生的概
率０＜P (A ) ＜１．
掷一个图钉, 钉尖朝上 的概率, 两个小组用同一个图钉做试验㊀ 研究
进行比较, 他们的统计数据如下:
掷图钉的次数
３针尖朝上第一小组２的次数
第二小组２４
５０１００３９４１
２００７９８１
３００
１２１１２４
４００
１６０１６４
) 请你估计第一小组和第二小组所得的概率分别是多少? ㊀㊀ (１
() 你认为哪一个小组的结果更准确? 为什么? ２用频率估计概率;
() 根据概率的计算方法与意义, 结合题意, 可得答案．２
() 解答:根据题意, 就越精确, １ȵ㊀ 次数越多, ʑ㊀ 选取试验次数最多的进行计算可得６０第一小组所得的概率是ʈ ０．４;
００
() 精析:根据题意, 用频数除以试验次数, 得到频率, 由于试验次数较多, 可以１
() 不知道哪一个更准确．因为试验数据可能有误差, 不能准确说明偏向．２
考查利用频率估计概率, 大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的
知识点为:概率＝所求情况数与总情况数之比．相同) 的袋中红球接近多少个, 在不将袋中球倒出来的情况下, 分小组进行摸球试验, 两人一组, 共２其中一位学生摸球, 另一位学生记录所摸球０组进行摸球试验．６０００次．
() 估计从袋中任意摸出一个球, 恰好是红球的概率是多少? １
的颜色, 并将球放回袋中摇匀, 每一组做４汇兑起来后, 摸到红球次数为００次试验,
() 请你估计袋中红球接近多少个? ２精析:求出总次数, 根据红球出现的频数, 求出红球出现的频率, 即可用来估计() 解答:１ȵ㊀ ２０ˑ ４００＝８０００,
每个球除颜色外都㊀ 某活动小组为了估计装有５个白球和若干个红球(
６４第二小组所得的概率是ʈ ０．４１．
００
红球出现的概率．
０００
＝０．７５．ʑ㊀ 摸到红球的频率为０００
因为试验次数很大, 大量试验时, 频率接近于理论概率, () 设袋中红球有x 个, 根据题意, 得x ＝０．２７５,
＋５
解得x ＝１５, 经检验, x ＝１５是原方程的解．
所以估计从袋中任意摸出一个球, 恰好是红球的概率是０．７５．
ʑ㊀ 估计袋中红球接近１５个．
考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为:概率
＝所求情况数与总情况数之比．
综合应用
) 要点１已知全班同学他们有的步行, 有的骑车, 还有的乘车上学, 根㊀ (
上学方式 正 字法记录
频数频率
步行正正正
骑车
乘车
据已知信息完成下表．
９
一般地, 如果一组数据共有n 个, 而其中的某一类数据出现了m 次, 那么㊀㊀ 精析:
而m 就叫做该类数据在该组数据中出现的频数, 出现的频率．
０．４
则称为该类数据在该组数据中
５(人) 步行的频数是１频率是骑车的频率是９＝０．乘车０．６＝４０．５, ＝０．３７５;
２２５; ０４０的频数是４表格略．０ˑ ０．４＝１６．
归纳 演绎:步行的频率＋骑车的频率＋乘车的频率＝１．
) 要点２不透明的袋中有３个大小相同的小球, 其中２个为白色, 例㊀ (１个
解答:因为步行有１骑车有９人, 共２占总数的０．所以总数有２５人, ４人, ６, ４ː
探究创新
分数据．
为红色, 每次从袋中摸１个球, 然后放回搅匀再摸, 在摸球试验中得到下列表中部
摸球次数４０出现红色球的频数出现红色球的频率
１４３５％
８０１２０１６０２００２４０２８０３２０３６０４００２３
３８
５２
６７
８６
９７１１１１２０１３６３５％３５％
３２％３３％
) 请将数据表补充完整; ㊀㊀ (１
() 画出折线图; ２
() 观察图象, 你有什么发现? ３() 你能估计出这个事件的概率吗? 若能, 请估计摸出红色球的概率．４
精析:先根据图表进行计算, 求出频率, 再估计概率即可．故顺次填２１３６ː ４００＝３４％, ９％, ３３％, ３６％, ３３％, ３４％．() ２
() 解答:１２３ː８０＝２９％; ６７ː２００＝３３％; ８６ː２４０＝３６％; １２０ː３６０＝３３％;
图６．２Ｇ１
() 随着试验次数的增大, 出现红色小球的频率逐渐趋于稳定．３
() 能, 摸出红色球的概率为１．４
３
技法 规律:画出图象, 就可以轻松的观察出红色球出现的概率．大量试验的
图６．２Ｇ２
频率接近于概率
．
㊀ 小明在做抛掷一枚硬币的试验中获得如下数据．
抛掷次数出现正面的频数
１０２
２０５
３０９
１５４０
２１５０
２７６０
ɔ １判断失误㊀ 试验次数不多,
出现正面的频率２０．０％２５．０％３０．０％３７．５％４２．０％４５．０％
得出如下结论:㊀㊀ 他观察了统计表,
结果无法预测; ①抛掷硬币前,
出现正面的频率不稳定．③随着抛掷次数的增大,
请问:他的哪些结论是合理的? 为什么?
错解:因为从试验中可以看出正面最大频率在４所以①②③都是合理的, ５％, 正解:每次试验的结果是不确定的, 无法预测结果; ①合理, 试验次数不够多; ②不合理,
当试验次数足够多后, 出现正面的频率会逐渐稳定在５③不合理, ０％左右．
警醒:没有理解反复试验观察不确定现象的意义．我们可以用大量试验来稳定②出现正面的可能性较小;
正面出现的可能性较小, 可见正面出现的频率也就不稳定．
不确定现象出现的频率．
一个汽水瓶盖继续做试验, 又抛了１于是, 由试验结果他得出一个关于频率０１次, 稳定性的结论, 你同意他的结论吗?
但抛到第９接着他用㊀ 小华在做抛啤酒瓶盖的试验, ９次时瓶盖滚丢了,
ɔ ２试验条件改变㊀ 在反复试验中,
错解:啤酒瓶有正㊁ 反面, 汽水瓶盖也有正㊁ 反面, 所以这个结论是真实可靠的．正解:这个结论不正确．应重新寻一个新啤酒瓶盖做该试验．
警醒:在大量重复试验下, 随机事件A 发生的频率会稳定到某个常数P 附近, 在此强调每次试验其条件应相同．
布袋中搅匀, 再摸, 依次重复３所得数据如下表:００次, 试验次数出现５的倍数的次数
３０５
６０
９０
１２０２３
２０．７％１５０
１８０３４
分别写有１, 然后把卡片放在一个不透明的㊀ 有３０张卡片, ２, ３ ３０,
２１０４０
２０．８％２４０
２７０５２
３００６２
ɔ ３㊀ 用频率估计概率不准确
出现５的倍
１６．７％２１．７％２２．２％
数的频率
) 完成上表; ㊀㊀ (１
() 出现５的倍数的机会是多少? ２
() 或填２２１９％(１％) () ２２０％
() 错解:频数㊁ 频率㊁ 总数三者之间关系弄不清．计算不准确导致填表失误．１() 正解:１１３㊀ ２０㊀ ３１㊀ ５０㊀ １９．２％㊀１８．９％㊀１９．０％㊀１９．３％㊀２０．７％
２１, 为足够多了, 且５或６再根据四舍五入原则得出１或＝１９．３％(＝２０．６％) ９％(２７０３００
, 其实应看这些数值在什么附近波动, 分析不难发现在２２１％) ０％附近波动．
频数
() (, 警醒:频率; 有些同学看见最后实数次数２或３以１２) ７０次(００次) 总数＝
夯基固本
) (, 要点１欢迎进入高中) 在这段句子的所有１ (W e l c o m e t oS e n i o rH i hS c h o o l ．g
英文字母中, 字母o 出现的频率是㊀㊀㊀㊀ ．要点１) 在对１各组的频数之和等于２ (００个数据进行整理的频率分布表中,
各组的频率之和等于㊀㊀㊀㊀ ．, ) 要点１在一个样本中, 第一㊁ 二㊁ 三㊁ 五组的数据３ ５０个数据分别落在５个组内,
个数分别为２, 则第四组的频数为㊀㊀㊀㊀ , 频率为．８, １５, ５,
) 要点２对某工厂生产的大批同类产品进行合格率检查, 取５件, ４ (１０件,
检查结果如下表所示:６０件, １５０件, ６００件, ９００件, １２００件, １８００件,
抽取的件数n 合格件数m 合格频率(/m n )
５１０５
８
６
０５３
１５０１３１
６００５４２
９００１２００１８００８２０１０９１１６３．１
１０．８０．８８３０．８７３０．９１３０．９１１０．９０９０．９０６
) 要点２某少儿活动中心在 六一 活动中, 举行了一次转盘摇奖活动, 是一个可５ (
以自由转动的转盘, 如图．当转动停止时, 指针落在哪一个区域就可以获得相应
的奖品(落在分界线上时重新摇奖) 下表是活动进行中统计的有关数据．．
求该厂产品的合格率．
(第５题)
转动转盘的次数n 落在 铅笔 区域中的次数m 落在 铅笔 区域中的频率１００６８
１５０１１１
２００１３６
５００３５２
８０
０１０００５５６
７０１
综合应用
() 计算并完成表格; １
() 当转动转盘的次数n 很大时, 概率将会接近多少? ２
) , 要点１㊁ 某工厂新生产一种节能灯泡, 设计使用寿命为１现从第一批６ (２００００h的大量产品中抽取若干个, 在同等条件下进行使用寿命检验, 有关数据如下:
灯泡个数１００００h 的灯泡个数
合格率使用寿命ȡ
２０４０１００２００４００１０００１９３７９３１７９３６１９０２
) 要点１㊁ 某水果公司以１．如果公司希７ (２２元∕千克的成本进了１００００kg 柑橘,
() 补全表中空缺并完成表后的填空．１
柑橘总质量n (千克) １００１５０２００２５０３００３５０５０
望这些柑橘能够获得利润５０００元．
() 使用寿命ȡ １计算各批灯泡的合格频率; １００００h 的灯泡为合格产品, () () 根据频率的稳定性估计灯泡的合格概率．精确到０．２１
柑橘损坏率统计表损坏柑橘总
柑橘损坏的频率m
n ０．１１０．１５
质量m (千克)
１０．５０１５．１５１９．４２２４．２５３０．９３３５．３２５．５
０．０９７０．１０３
４００４５０５００
３９．２４４４．５７５１．５４
０．０９８０．０９９
续㊀ 表
() 在出售柑橘(以去掉损坏的柑橘) 时, ? ２
要点１㊁ , 结果如下表所示:８ (２
射击次数(n ) １０击中靶心的次数(m ) 击中靶心的频率８
２０
５０
１００９２
２００
５００
柑橘损坏的频率在㊀㊀㊀㊀ 左右摆动, 并且随统计数据的㊀㊀ 从表中发现,
增加, 这种规律愈加明显, 所以估计柑橘损坏的概率为;
１９４４１７８４５５
()
) 要点１表中是一个机器人做９９抛硬币 游戏时记录下的出现正面的频９ (９９次 数和频率．
抛掷结果出现正面的频数出现正面的频率
５次５０次３００次８００次３２００次６０００次９９９９次１
３１
１３５
４０８
１５８０
２９８０
５００６
() 计算表中击中靶心的各个频率; １
() 这个射手射击一次, 击中靶心的概率约是多少? ２
２
０％６２％４５％５１％４９．４％４９．７％５０．１％
() 由这张频数和频率表可知, 机器人抛掷完５次时, 得到１次正面, 正面出现的１
频率是２那么, 也就是说机器人抛掷完５次时, 得到次反面, 反０％, () , 机器人抛掷完９９得到次正面, ２９９次时, 正面出现的频率是．那么, 也就是说机器人抛掷完９９得到９９次时,
面出现的频率是．
探究创新
反面出现的频率是㊀㊀㊀㊀ ．次反面,
) 要点１一次数学竞赛, 某校有４抽出２１０ (００名学生参加, ０名学生的数学成绩如下:
８５㊀ ７５㊀ ８９㊀ ９０㊀ ８５㊀ ７８㊀ ９４㊀ ８８㊀ ８３㊀ ６６
７２㊀ ７１㊀ ８５㊀ ８６㊀ ９６㊀ ８０㊀ ９８㊀ ８７㊀ ６２㊀ ９２() :１
分组６０．５~７０．５７０．５~８０．５９０．５~１００．５
合计
() 根据上表估计:全校４成绩在８２００名学生中, ０分以上的人数约为多少? 占
多大比例?
８０．５~９０．５
频数累计
频数
频率
) 要点１㊁ 对下列说法谈谈你的看法:１１ (２
() 某彩票的中奖机会是２％, 如果我买１１００００张彩票一定有２００张会中奖;
() , 我和同学玩飞行棋游戏, 我掷了２说明我掷得 ２０次骰子还没掷得 ６点 ６
点 的机会比其他同学掷得 的机会小; ６点
() 我们知道, 抛掷一枚普通硬币得到正面和反面的机会各为５也就是说, ３０％, 虽然没人能保证抛掷１０但是, 我敢００次会得到５００次正面和５００次反面,
保证得到正面的次数会非常接近得到反面的次数．
) 要点２为了估计某鱼塘中的鱼数, 养鱼者首先从鱼塘中捕获１在每１２ (００条鱼, 一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘, 经过一段时间后, 再从鱼塘中打捞
出若干条, 分别数出标有记号的条数．进行重复试验, 试验数据如下表:
每次打捞每次打捞鱼中带记号鱼数(m ) 鱼数(n )
４０４
８０３
１２０５
１６０８
２００９
２４０１３
２８０１４
３２０１６
m
n
０．１０００．０３８０．０４２０．０５００．０４４０．０５４０．０５００．０５０
() 根据表中的数据, 频率m 的值稳定在哪个常数附近? (结果用小数表示, 精１
n
) 确到０．０１() 请你估算出这个鱼塘中鱼数有多少条? ２
小概率原理
说出了事物发生的偶然性．不对的是, 夸大了偶然的成份, 忽视了偶然中的必然规律和量的关系．
举例说, 在世界上火车与汽车相撞的事件, 时有发生．然而, 却几乎没有人, 由于担心火车与汽车相撞, 不去乘火车㊁ 汽车而宁愿步行．这是为什么呢? 原因是:在现实中, 这种相撞的可能性实在是太小了．在世界上千千万万次的车祸中, 能找到的也只是极少数几例．又如, 人遭遇车祸, 这种可能性通常要比火车与汽车相撞的可能性大不知多少倍．然而, 在人们亿万次的外出中, 遭遇车祸毕竟还是占少数．这 小概率原理, 潜意识包含了一条极重要的原理 即一个概率很小的事件, 一般不会在一次试验中发生．
天有不测风云, 人有旦夕祸福 这话有对的一面, 也有不对的一面, 对的是, ．
P １４２随堂练习P １４５随堂练习() 不是．１０．９㊀０．８㊀０．８２㊀０．８８㊀０．４８㊀１．不同意, ０．８５８㊀ ０．８６１() 略２() 略３
２．不能．
P １４６习题６．３
) １．(１０．９４㊀ ０．９５５㊀ ０．９４６㊀ ０．９５４㊀ () ３０．９５) ２．(１０．７㊀ ０．８㊀ ０．８６㊀ ０．８１㊀ ０．８２() 不一定一样．３) ３．(１１, ２, ３, ４, ５, ６．() 相同; 相同．２
() 相同３
０．８２８㊀ ０．８２５() ２０．８２５０．９５３㊀ ０．９４９６() 略２
P １４２㊀ 习题６．２
) １．(１０．９㊀ ０．９５㊀ ０．９４㊀ ０．９３０．９３５㊀ ０．９３４㊀ ０．９３５() 略２() 略３
２．一样大
P １４４想一想０ɤ P (A ) ɤ １P １４５议一议
１正面朝上) 正面朝下) P (＝P (＝
２
底
: