规律探索问题
知识梳理
考点1 数字类规律探索问题
应该在读懂题意、领会问题实质的前提下进行，或分类归纳，或整体归纳，得出的规律要有一般性，而不是一些只适用于部分数据的规律。
考点2 图形类规律探索问题
要注意分析图形特征和图形变换规律，一要合理猜想，二要加以实例验证，为了做到结论的准确性，可以多举例，适当加大验证范围。
规律技巧
一：数与式变化规律
通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。
例1. （2010广东汕头）阅读下列材料：
1
31
2×3 ＝ (2×3×4－1×2×3)，
31
3×4 ＝ (3×4×5－2×3×4)，
3
1×2 ＝ (1×2×3－0×1×2)，
由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝ ×3×4×5 ＝ 20． 读完以上材料，请你计算下列各题：
(1) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）；
(2) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n ×(n ＋1) ＝ ______________； (3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ ______________．
1
3
二：点阵变化规律
在这类有关点阵规律中，我们需要根据点的个数，确定下一个图中哪些部分发生了变化，变化的的规律是什么，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．
例3（2010河北邯郸）观察图给出的四个点阵，s 表示每个点阵中的点的个数，按照图形中
的点的个数变化规律，猜想第n 个点阵中的点的个数s 为（ ）
A.3n ﹣2
B.3n ﹣1 C.4n +1
D.4n ﹣3
考点三：循环排列规律
循环排列规律是运动着的规律，我们只要根据题目的已知部分分析出图案或数据每隔几个图暗就会循环出现，看看最后所求的与循环的第几个一致即可。
例4：（2010广东佛山）观察下列图形，并判断照此规律从左向右第2007个图形是（ ）
A ． B ． C． D ．
考点六：高中知识衔接型——数列求和
本题通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求
例9： （2010广东汕头）阅读下列材料：
1
31
2×3 ＝ (2×3×4－1×2×3)，
31
3×4 ＝ (3×4×5－2×3×4)，
3
1×2 ＝ (1×2×3－0×1×2)， 由以上三个等式相加，可得
1×2＋2×3＋3×4＝ ×3×4×5 ＝ 20． 读完以上材料，请你计算下列各题：
(4) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）；
(5) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n ×(n ＋1) ＝ ______________；
1
3
(6) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ ______________． 三年中考精选
2012
2
3
2012
2
3
2012
1．（2012山东省滨州）求1+2+2+2+…+2的值，可令S=1+2+2+2+…+2，则
[**************]12
2S=2+2+2+2+…+2，因此2S ﹣S=2﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+5+5+…+5的值为（ ）
2. （2012广东肇庆）观察下列一组数：
246810
，，，，，„„ ，它们是按一定规律357911
排列的，那么这一组数的第k 个数是 ．
3. ( 2012年四川省巴中市) 观察下列面一列数：1，-2，3，-4，5，-6，…根据你发现的规律，第2012个数是___________ 4. （2012贵州省毕节市）在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有 个小正方形。
6. （2012珠海）观察下列等式：
12×231=132×21， 13×341=143×31， 23×352=253×32， 34×473=374×43， 62×286=682×26，
„„
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”.
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”： ①52× ＝ ×25； ② ×396＝693× .
7（2012云南省）
分别表示三角形、正方形、五角星）. 若第一个图形是三角形，则第18个图形是 （填图形名称）
15. ( 2012年浙江省宁波市) 同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
第1个
第2个 第3个
第4个
（1） 第5个图形有多少颗黑色棋子？
（2） 第几个图形有2013颗棋子？说明理由。
2011
2. （2011广东肇庆，15，3分）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n （n 是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ．
3. （2011内蒙古乌兰察布，18，4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）
第1个图形
第 2 个图形 第3个图形
第 18题图
第 4 个图形
4. （2011湖南益阳，16，8分）观察下列算式：
2
① 1 × 3 - 2= 3 - 4 = -1
2
② 2 × 4 - 3= 8 - 9 = -1
2
③ 3 × 5 - 4= 15 - 16 = -1 ④ „„
（1）请你按以上规律写出第4个算式； （2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
5．（2011广东汕头）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答
.
（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数； （2）用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n 行共有 个数；
（3）求第n 行各数之和．
6. （2011四川绵阳）观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120 个。
6. （2011山东济宁）观察下面的变形规律：
11111111 ＝1－； ＝－；＝－；„„ 1⨯222⨯3233⨯434
解答下面的问题：
（1）若n 为正整数，请你猜想（2）证明你猜想的结论； （3）求和：
1
＝ ；
n (n +1)
1111＋＋＋„＋ . 1⨯22⨯33⨯42009⨯2010
规律探索问题
知识梳理
考点1 数字类规律探索问题
应该在读懂题意、领会问题实质的前提下进行，或分类归纳，或整体归纳，得出的规律要有一般性，而不是一些只适用于部分数据的规律。
考点2 图形类规律探索问题
要注意分析图形特征和图形变换规律，一要合理猜想，二要加以实例验证，为了做到结论的准确性，可以多举例，适当加大验证范围。
规律技巧
一：数与式变化规律
通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。
例1. （2010广东汕头）阅读下列材料：
1
31
2×3 ＝ (2×3×4－1×2×3)，
31
3×4 ＝ (3×4×5－2×3×4)，
3
1×2 ＝ (1×2×3－0×1×2)，
由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝ ×3×4×5 ＝ 20． 读完以上材料，请你计算下列各题：
(1) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）；
(2) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n ×(n ＋1) ＝ ______________； (3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ ______________．
1
3
二：点阵变化规律
在这类有关点阵规律中，我们需要根据点的个数，确定下一个图中哪些部分发生了变化，变化的的规律是什么，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．
例3（2010河北邯郸）观察图给出的四个点阵，s 表示每个点阵中的点的个数，按照图形中
的点的个数变化规律，猜想第n 个点阵中的点的个数s 为（ ）
A.3n ﹣2
B.3n ﹣1 C.4n +1
D.4n ﹣3
考点三：循环排列规律
循环排列规律是运动着的规律，我们只要根据题目的已知部分分析出图案或数据每隔几个图暗就会循环出现，看看最后所求的与循环的第几个一致即可。
例4：（2010广东佛山）观察下列图形，并判断照此规律从左向右第2007个图形是（ ）
A ． B ． C． D ．
考点六：高中知识衔接型——数列求和
本题通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求
例9： （2010广东汕头）阅读下列材料：
1
31
2×3 ＝ (2×3×4－1×2×3)，
31
3×4 ＝ (3×4×5－2×3×4)，
3
1×2 ＝ (1×2×3－0×1×2)， 由以上三个等式相加，可得
1×2＋2×3＋3×4＝ ×3×4×5 ＝ 20． 读完以上材料，请你计算下列各题：
(4) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）；
(5) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n ×(n ＋1) ＝ ______________；
1
3
(6) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ ______________． 三年中考精选
2012
2
3
2012
2
3
2012
1．（2012山东省滨州）求1+2+2+2+…+2的值，可令S=1+2+2+2+…+2，则
[**************]12
2S=2+2+2+2+…+2，因此2S ﹣S=2﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+5+5+…+5的值为（ ）
2. （2012广东肇庆）观察下列一组数：
246810
，，，，，„„ ，它们是按一定规律357911
排列的，那么这一组数的第k 个数是 ．
3. ( 2012年四川省巴中市) 观察下列面一列数：1，-2，3，-4，5，-6，…根据你发现的规律，第2012个数是___________ 4. （2012贵州省毕节市）在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有 个小正方形。
6. （2012珠海）观察下列等式：
12×231=132×21， 13×341=143×31， 23×352=253×32， 34×473=374×43， 62×286=682×26，
„„
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”.
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”： ①52× ＝ ×25； ② ×396＝693× .
7（2012云南省）
分别表示三角形、正方形、五角星）. 若第一个图形是三角形，则第18个图形是 （填图形名称）
15. ( 2012年浙江省宁波市) 同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
第1个
第2个 第3个
第4个
（1） 第5个图形有多少颗黑色棋子？
（2） 第几个图形有2013颗棋子？说明理由。
2011
2. （2011广东肇庆，15，3分）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n （n 是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ．
3. （2011内蒙古乌兰察布，18，4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）
第1个图形
第 2 个图形 第3个图形
第 18题图
第 4 个图形
4. （2011湖南益阳，16，8分）观察下列算式：
2
① 1 × 3 - 2= 3 - 4 = -1
2
② 2 × 4 - 3= 8 - 9 = -1
2
③ 3 × 5 - 4= 15 - 16 = -1 ④ „„
（1）请你按以上规律写出第4个算式； （2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
5．（2011广东汕头）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答
.
（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数； （2）用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n 行共有 个数；
（3）求第n 行各数之和．
6. （2011四川绵阳）观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120 个。
6. （2011山东济宁）观察下面的变形规律：
11111111 ＝1－； ＝－；＝－；„„ 1⨯222⨯3233⨯434
解答下面的问题：
（1）若n 为正整数，请你猜想（2）证明你猜想的结论； （3）求和：
1
＝ ；
n (n +1)
1111＋＋＋„＋ . 1⨯22⨯33⨯42009⨯2010