2013山东理数高考真题

绝密★启用并使用完毕前

2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分, 共4页。满分150分。考试用时150分钟。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：

1. 答题前, 考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后, 用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。答案不能答在试卷上。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答, 答案必须写在答题卡个题目指定区域内相应的位置, 不能写在试卷上；如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

4. 填空题请直接填写答案, 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：

如果事件A, B互斥, 那么P(A+B)=P(A)+P(B); 如果事件A, B独立, 那么P(AB)=P(A)·P(B).

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题: 本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

(1) 复数z满足(z－3)(2－i)＝5, 则z的共轭复数为 (A) 2＋i (B) 2－i (C) 5＋i (D) 5－i (2) 已知集合A＝{0,1,2}, 则集合B＝{x－y | x∈A, y∈A}中元素的个数是 (A)1

(B) 3

(D) 9

, 则f (－1)＝

(D) 2

(3) 已知函数f (x)为奇函数, 且当x＞0时, f(x)x2

(A) －2

(B) 6

(4) 已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直, 体积为,

若 P为底面A1B1C1的中心, 则PA与平面ABC所成角的大小为 (A)

512

(B)



(C)

 4

(D)

 6

(5) 将函数ysin(2x)的图象沿x轴向左平移

的一个可能取值为 (A)

34



个单位后, 得到一个偶函数的图象, 则8

(B)

 4

本卷第1页（共4页）

(D) 



2xy20

(6) 在平面直角坐标系xOy中, M为不等式组x2y10所表示的区域上一动点, 则直线

3xy80

OM斜率的最小值为 (A) 2

(B) 1

(7) 给定两个命题p, q, 若p是q的必要而不充分条件, 则p是q的 (A) 充分而不必要条件 (C) 充要条件

(8) 函数yxcosxsinx的图象大致为

(B) 必要而不充分条件

(D) 既不充分也不必要条件

(A)

(B)

(C)

(D)

(9) 过点(3,1)作圆(x1)2y21的两条切线, 切点分别为A, B, 则直线AB的方程为 (A) 2x＋y－3＝0 (B) 2x－y－3＝0 (C) 4x－y－3＝0 (D) 4x＋y－3＝0

(10) 用0, 1, …, 9十个数字, 可以组成有重复数字的三位数的个数为 (A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 279 (11) 抛物线C1:y

12p

x(p0)的焦点与双曲线C2:

x23

y21的右焦点的连线交C1于第一

象限的点M. 若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线, 则p＝

(A)

(B)

(C)

(D)

取得最大值时,

31y

2z

(12) 设正实数x, y, z满足x23xy4y2z0. 则当

为 (A) 0

(B) 1

(C)

xyz

的最大值

(D) 3

本卷第2页（共4页）

第Ⅱ卷(共90分)

二、填空题: 本大题共4小题, 每小题4分, 共16分.

(13) 执行右面的程序框图, 若输入的ò的值为0.25, 则输出的n

的值为_________.

(14) 在区间[－3,3]上随机取一个数x, 使得|x1||x2|1成

立的概率为_________.

(15) 已知向量AB与AC的夹角为120°, 且|AB|3, |AC|2.

若APABAC, 且APBC, 则实数λ的值为_________.

(16) 定义“正对数”: lnx

0,lnx,

0x1x1.





现有四个命题:

①若a＞0, b＞0, 则ln(ab)blna; ②若a＞0, b＞0, 则ln(ab)lnalnb; ③若a＞0, b＞0, 则lnlnalnb; ④若a＞0, b＞0, 则ln(ab)lnalnbln2. 其中的真命题有_________. (写出所有真命题的编号)

三、解答题: 本大题共6小题, 共74分. (17) (本小题满分12分)

设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且a＋c＝6, b＝2, cosB(Ⅰ) 求a, c的值;

(Ⅱ) 求sin(AB)的值.

(18) (本小题满分12分)

如图所示, 在三棱锥P－ABQ中, PB⊥平面ABQ, BA＝BP＝BQ, D, C, E, F分别是AQ, BQ, AP, BP的中点, AQ＝2BD, PD与EQ交于点G, PC与FQ交于点H, 连接GH. (Ⅰ) 求证: AB//GH;

(Ⅱ) 求二面角D－GH－E的余弦值.

(19) 甲、乙两支球队进行比赛, 约定先胜3局者获得比赛的胜

本卷第3页（共4页）

ab

利, 比赛随即结束. 除第五局甲队获胜的概率是是

外, 其余每局比赛加队获胜的概率都

. 假设每局比赛结果相互独立.

(Ⅰ) 分别求甲队以3:0, 3:1, 3:2胜利的概率;

(Ⅱ) 若比赛结果为3:0 或 3:1, 则胜利方得3分、对方得0分; 若比赛结果为3:2, 则胜利方得2分, 对方得1分. 求乙队得分X的分布列及数学期望.

(20) (本小题满分12分)

设等差数列{an}的前n项和为Sn, 且S4＝4S2, a2n＝2an＋1. (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式.

(Ⅱ) 设数列{bn}的前n项和为Tn, 且Tn的前n项和Rn.

(21)(本小题满分13分) 设函数f(x)

xe2x

c(e＝2.71828…是自然对数的底数, c∈R)

an12

(λ为常数). 令cnb2n(nN), 求数列cn

(Ⅰ) 求f (x)的单调区间, 最大值;

(Ⅱ) 讨论关于x的方程|lnx|f(x)根的个数.

(22)(本小题满分13分) 椭圆C:

x2a2

y2b2

1(ab0)的左、右焦点分别是F1,F2,

, 过F1且垂直于x轴

的直线被椭圆C截得的线段长为1. (Ⅰ) 求椭圆C的方程.

(Ⅱ) 点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点, 连接PF1, PF2, 设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0), 求m的取值范围;

(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下, 过点P作斜率为k的直线l, 使得l与椭圆C有且只有一个公共点. 设直线PF1, PF2的斜率分别为k1, k2. 若k≠0, 试证明

1kk1



1kk2

为定值, 并求出这个定值.

本卷第4页（共4页）

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分, 共4页。满分150分。考试用时150分钟。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：

1. 答题前, 考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后, 用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。答案不能答在试卷上。

4. 填空题请直接填写答案, 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：

如果事件A, B互斥, 那么P(A+B)=P(A)+P(B); 如果事件A, B独立, 那么P(AB)=P(A)·P(B).

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题: 本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

(1) 复数z满足(z－3)(2－i)＝5, 则z的共轭复数为 (A) 2＋i (B) 2－i (C) 5＋i (D) 5－i (2) 已知集合A＝{0,1,2}, 则集合B＝{x－y | x∈A, y∈A}中元素的个数是 (A)1

(B) 3

(D) 9

, 则f (－1)＝

(D) 2

(3) 已知函数f (x)为奇函数, 且当x＞0时, f(x)x2

(A) －2

(B) 6

(4) 已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直, 体积为,

若 P为底面A1B1C1的中心, 则PA与平面ABC所成角的大小为 (A)

512

(B)



(C)

 4

(D)

 6

(5) 将函数ysin(2x)的图象沿x轴向左平移

的一个可能取值为 (A)

34



个单位后, 得到一个偶函数的图象, 则8

(B)

 4

本卷第1页（共4页）

(D) 



2xy20

(6) 在平面直角坐标系xOy中, M为不等式组x2y10所表示的区域上一动点, 则直线

3xy80

OM斜率的最小值为 (A) 2

(B) 1

(7) 给定两个命题p, q, 若p是q的必要而不充分条件, 则p是q的 (A) 充分而不必要条件 (C) 充要条件

(8) 函数yxcosxsinx的图象大致为

(B) 必要而不充分条件

(D) 既不充分也不必要条件

(A)

(B)

(C)

(D)

(9) 过点(3,1)作圆(x1)2y21的两条切线, 切点分别为A, B, 则直线AB的方程为 (A) 2x＋y－3＝0 (B) 2x－y－3＝0 (C) 4x－y－3＝0 (D) 4x＋y－3＝0

(10) 用0, 1, …, 9十个数字, 可以组成有重复数字的三位数的个数为 (A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 279 (11) 抛物线C1:y

12p

x(p0)的焦点与双曲线C2:

x23

y21的右焦点的连线交C1于第一

象限的点M. 若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线, 则p＝

(A)

(B)

(C)

(D)

取得最大值时,

31y

2z

(12) 设正实数x, y, z满足x23xy4y2z0. 则当

为 (A) 0

(B) 1

(C)

xyz

的最大值

(D) 3

本卷第2页（共4页）

第Ⅱ卷(共90分)

二、填空题: 本大题共4小题, 每小题4分, 共16分.

(13) 执行右面的程序框图, 若输入的ò的值为0.25, 则输出的n

的值为_________.

(14) 在区间[－3,3]上随机取一个数x, 使得|x1||x2|1成

立的概率为_________.

(15) 已知向量AB与AC的夹角为120°, 且|AB|3, |AC|2.

若APABAC, 且APBC, 则实数λ的值为_________.

(16) 定义“正对数”: lnx

0,lnx,

0x1x1.





现有四个命题:

三、解答题: 本大题共6小题, 共74分. (17) (本小题满分12分)

设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且a＋c＝6, b＝2, cosB(Ⅰ) 求a, c的值;

(Ⅱ) 求sin(AB)的值.

(18) (本小题满分12分)

如图所示, 在三棱锥P－ABQ中, PB⊥平面ABQ, BA＝BP＝BQ, D, C, E, F分别是AQ, BQ, AP, BP的中点, AQ＝2BD, PD与EQ交于点G, PC与FQ交于点H, 连接GH. (Ⅰ) 求证: AB//GH;

(Ⅱ) 求二面角D－GH－E的余弦值.

(19) 甲、乙两支球队进行比赛, 约定先胜3局者获得比赛的胜

本卷第3页（共4页）

ab

利, 比赛随即结束. 除第五局甲队获胜的概率是是

外, 其余每局比赛加队获胜的概率都

. 假设每局比赛结果相互独立.

(Ⅰ) 分别求甲队以3:0, 3:1, 3:2胜利的概率;

(Ⅱ) 若比赛结果为3:0 或 3:1, 则胜利方得3分、对方得0分; 若比赛结果为3:2, 则胜利方得2分, 对方得1分. 求乙队得分X的分布列及数学期望.

(20) (本小题满分12分)

设等差数列{an}的前n项和为Sn, 且S4＝4S2, a2n＝2an＋1. (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式.

(Ⅱ) 设数列{bn}的前n项和为Tn, 且Tn的前n项和Rn.

(21)(本小题满分13分) 设函数f(x)

xe2x

c(e＝2.71828…是自然对数的底数, c∈R)

an12

(λ为常数). 令cnb2n(nN), 求数列cn

(Ⅰ) 求f (x)的单调区间, 最大值;

(Ⅱ) 讨论关于x的方程|lnx|f(x)根的个数.

(22)(本小题满分13分) 椭圆C:

x2a2

y2b2

1(ab0)的左、右焦点分别是F1,F2,

, 过F1且垂直于x轴

的直线被椭圆C截得的线段长为1. (Ⅰ) 求椭圆C的方程.

(Ⅱ) 点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点, 连接PF1, PF2, 设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0), 求m的取值范围;

(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下, 过点P作斜率为k的直线l, 使得l与椭圆C有且只有一个公共点. 设直线PF1, PF2的斜率分别为k1, k2. 若k≠0, 试证明

1kk1



1kk2

为定值, 并求出这个定值.

本卷第4页（共4页）

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