如何求三角函数的周期

如何求三角函数的周期

三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法．

1、根据周期性函数的定义求三角函数的周期

例1 求下列函数的周期 (1) y =sin 2x , (2) y =tan 2x ． 3

(1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使sin 2(x +T ) ＝sin 2x 成立，同时考虑到正弦函数y =sin x 的周期是2π． 解：∵ sin 2x =sin(2x +2π) =sin 2(x +π) , 即 sin 2(x +π) =sin 2x ．

∴ 当自变量由x 增加到x +π时，函数值重复出现，因此y =sin 2x 的周期是π．

(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使 tan

是π． 22x (x +T ) =tan 成立，同时考虑到正切函数y =tan x 的周期33

2x 2x 23232x =tan(+π) =tan (x +π) , 即tan (x +π) =tan ． 3332323

2x 3∴ 函数y =tan 的周期是π． 32

注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值，

1如f (2x +T ) =f (2x ), 周期不是T ，而是T ； 2、是定义域内“f (x +T ) =f (x ) ”2解：∵ tan

的恒等式，即对于自变量x 取定义域内的每个值时，上式都成立．

2、根据公式求周期

对于函数y =A sin(ωx +ϕ) +B 或y =A cos(ωx +ϕ) +B 的周期公式是T =2π， |ω|

ωx +ϕ) +B 或y =cot(ωx +ϕ) +B 的周期公式是T =对于函数y =A tan(

例3 求函数y =3sin(

解： T =π． |ω|3πx -) 的周期 262π4π． =33

2

3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期

例4 求函数y =2sin x cos x -2sin 2x 的周期 解：y =23sin x cos x -2sin 2x =sin 2x +cos 2x -1

=2(

∴ T =1πsin 2x +cos 2x ) -1=2sin(2x +) -1 2262π=π． 2

x x x (sin+cos ), 求周期 333

x x 12x 12x 2x +sin cos =(1-cos ) +sin 解：∵f (x ) =sin 3332323 例5 已知函数f (x ) =sin

=

∴ T =112x 2x 122x π+(sin-cos ) =+-) 223322342π=3π． 2

3

4、遇到绝对值时，可利用公式 |a |=a 2, 化去绝对值符号再求周期

例6 求函数 y =|cos x |的周期

解：∵ y =|cos x |=cos x =

∴ T =21+cos 2x 22π=π ． 2

例7 求函数y =|sin x |+|cos x |的周期

解：∵y =|sin x |+|cos x |=

=+|sin x |+|cos x |2=+|sin 2x |=+sin 22x 1-cos 4x 1=1+(1-cos 4x ) 22

2ππ=． 42∴ 函数y =|sin x |+|cos x |的最小正周期 T =

5、若函数y =f 1(x ) +f 2(x ) + +f k (x ) ，且f 1(x ), f 2(x ), , f k (x ) ，都是周期函数，且最小正周期分别为T 1, T 2, T k ，如果找到一个正常数T , 使T =n 1T 1=n 2T 2= =n k T k ， (n 1, n 2, , n k 均为正整数且互质) ，则T 就是y =f 1(x ) +f 2(x ) + +f k (x ) 的最小正周期． 例8 求函数y =sin x +cos 1x 的周期 2

1x 的最小正周期是T 2=4π． 2解：∵ sin x 的最小正周期是T 1=2π， cos

∴ 函数y 的周期T =n 1T 1=n 2T 2 ，把T 1，T 2代入得 2π n 1=4π n 2，即n 1=2n 2，

因为n 1, n 2为正整数且互质， 所以 n 1=2, n 2 = 1．

1x 的周期T =n 1T 1=2⨯2π=4π． 2

23例9 求函数y =sin x +cos x 的周期 34

232π2π8π解： ∵ s i x 的最小正周期是T 1=， =3π，cos x 的最小正周期是T 2==343

34

8πn 2 ，9n 1=8n 2 (n 1, n 2为正整数且互质), 由n 1T 1=n 2T 2， 3π n 1=3 函数y =sin x +cos

得 n 1=8, n 2 = 9．

所以 函数y =sin 23x +cos x 的周期是T =n 1T 1=8⨯3π=24π． 34

函数的周期性

--函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中" 突然" 出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题

一. 明确复习目标

1. 理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；

2. 理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。

二、建构知识网络

1. 函数的周期性定义：

若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。

周期函数定义域必是无界的

2. 若T 是周期，则k ·T （k ≠0,k ∈Z ）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。

周期函数并非所都有最小正周期。如常函数f(x)=C；

3. 若函数f(x)对定义域内的任意x 满足：f(x+a)=f(x－a), 则2a 为函数f(x)的周期。

（若f(x)满足f(a+x)=f(a－x) 则f(x)的图象以x=a为图象的对称轴，应注意二者的区别)

4. 若函数f(x)图象有两条对称轴x=a和x=b，（a

是f （x ）的一个周期

5. 若函数f(x)图象有两个对称中心（a ，0），（b ，0）（a

6. 若函数f （x ）有一条对称轴x=a和一个对称中心（b ，0）（a

举例:y=sinx,等.

三. 双基题目练练手

1.f(x)是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f(1)=0，则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）

A ．5 B ．4 C ．3 D ．2

2. 若函数y=f(x)是周期为2的奇函数，且当x ∈(0,1)时

f(x)=x+1，则f(π) 的值为 （ ）

A ．π-5 B.5-π C.4-π D. π-4

3. 是偶函数，且 为奇函数，则f(1992)=

4. 设存在常数p>0,使 ，则 的一个周期是 ，f(px)的一个正周期是 ；

5. 数列 中

简答精讲：1、B ；2、A ；3、993；因（-1，0）是中心，x=0

是对称轴，则周期是4；4、 ， ；5、 ；由已知 ，周期为6。

四. 经典例题做一做

【例1】已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x ∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。

解法1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。）

∵ x ∈(1,2), 则-x ∈(-2,-1),

∴ 2-x ∈(0,1), ∵ T=2,是偶函数

∴ f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.

x ∈(1,2).

解法2（从图象入手也可解决，且较直观）f(x)=f(x+2) 如图：x ∈(0,1), f(x)=x+1.∵是偶函数

∴x ∈(-1,0)时f(x)=f(-x)=-x+1.

又周期为2， x ∈(1,2)时x-2∈（-1，0）

∴f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.

提炼方法：1. 解题体现了化归转化的思想, 即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上转化;

2. 用好数形结合, 对解题很有帮助.

【例2】f(x)的定义域是R ，且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),若f(0)=2008,求 f(2008)的值。

解：

周期为8，

法二：依次计算f(2、4、6、8) 知周期为8，须再验证。

方法提炼：

1. 求周期只需要弄出一个常数;

2. 注意既得关系式的连续使用.

【例3】若函数 在R 上是奇函数，且在 上是增函数，且 . ①求 的周期；

②证明f(x)的图象关于点(2k,0) 中心对称; 关于直线x=2k+1轴对称, (k∈Z );

③讨论f(x)在(1,2)上的单调性；

解: ①由已知f(x)=－f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期T=4. ②设P(x,y)是图象上任意一点, 则y=f(x),且P 关于点(2k,0)对称的点为P1(4k-x,-y).P关于直线x=2k+1对称的点为

P2(4k+2-x,y).

∵f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,∴点P1在图象上, 图象关于点(2k,0)对称.

又f(x)是奇函数,f(x+2)=-f(x)=f(-x)

∴f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y, ∴点P2在图象上, 图象关于直线2k+1对称.

③设1

∵f(x)在(-1,0)上递增, ∴f(2-x1)

又f(x+2)=-f(x)=f(-x) ∴f(2-x1)=f(x1), f(2-x2)=f(x2).

(*)为f(x2)

提炼方法：总结解周期性、单调性及图象对称性的方法。

【研究. 欣赏】已知函数y=f(x)是定义在R 上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1≤x ≤1) 是奇函数. 又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5.

① 证明： ；②求 的解析式；

③求 在 上的解析式.

解：∵ 是以 为周期的周期函数，且在[-1,1]上是奇函数，∴ ，∴ .

②当 时，由题意可设 ，

由 得 ，∴ ，

∴ .

③∵ 是奇函数，∴ ，

又知 在 上是一次函数，∴可设 ，而 ，

∴ ，∴当 时， ，

从而 时， ，故 时， .

∴当 时，有 ，∴ .

当 时， ，

∴

∴ .

五．提炼总结以为师

1. 函数的周期性及有关概念;

2. 用周期的定义求函数的周期;

3. 函数的周期性与图象的对称性之间的关系;

同步练习 2．7 函数的周期性

【选择题】

1.f （x ）是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f （－ ）的值为

A.0 B. C.T D. －

2. （2004天津）定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数. 若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈［0， ］时，f （x ）=sinx，则f （ ）的值为

A. － B.

【填空题】

3. 设 是定义在 上，以2为周期的周期函数，且 为偶函数，在区间[2，3]上， = ,则 =

4. 已知函数f(x)是偶函数，且等式f(4+x)＝f(4-x)，对一切实数x 成立，写出f(x)的一个最小正周

C. － D.

5. 对任意x ∈R ，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且f(0)=6,f(4)=3,则f(69)=

6. 设f(x)定义在R 上的偶函数，且 ，又当x ∈(0，3]时，f(x)=2x，则f(2007)= 。

答案提示：1、A ；由f （ ）=f（－ +T）=f（－ ）=－f （ ），知f （ ）=0.（或取特殊函数f （x ）=sinx）

2、D ； f （ ）=f（ －2π）=f（－ ）=f（ ）=sin = .

3、 ; 4、8；

5、f(x-1)=f(x)-f(x+1),∴

f(x)=f(x+1)-f(x+2)=f(x+2)-f(x+3)-f(x+2)= -f(x+3)

∴f(x)= -f(x+3)=f(x+6) .周期是6；f(69)=f(3)=f(-3)= -f(-3+3)= -6

6、 ，周期T=6， F(2007)=f(3)=6

【解答题】

7. 设函数f(x)的最小正周期为2002，并且f(1001+x)=f(1001－x) 对一切x ∈R 均成立，试讨论f(x)的奇偶性.

解: ∵周期是2002, ∴ f(2002+x)=f(x),

又由f(1001+x)=f(1001－x) 得f(2002-x)=f(x)

∴对任意的x 都有f(x)=f(2002-x)=f(-x),f(x)是偶函数.

8. 设f(x)为定义在实数集上周期为2的函数，且为偶函数，已知x ∈[2,3]时f(x)=x，求x ∈[-2,0]时f(x)的解析式。

分析：由T=2可得x ∈[-2,-1]和x ∈[0,1]时的解析式；再由奇偶性可得[-1，0]上的解析式。

解：因为函数f(x)是T=2的周期函数，所以f(x+2)=f(x).

又由于f(x)为偶函数，故

所以解析式为

9. 设f(x)是定义在（-∞，+∞）上的函数，对一切x ∈R 均有f(x)+f(x+2)=0，当-1

思路分析：∵ f(x)+f(x+2)=0 ∴ f(x)=-f(x+2)

∵ 该式对一切x ∈R 成立，

∴ 以x-2代x 得：f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x)

当1

评注：在化归过程中，一方面要转化自变量到已知解析式的定义域，另一方面要保持对应的函数值有一定关系。在化归过程中还体现了整体思想。

10. （2005广东）设函数 在 上满足 ， f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0。

（Ⅰ）试判断函数y=f(x)的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程f(x)=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．

解：由 得 即

由已知易得 ，所以 ，而 ，从而 且

故函数 是非奇非偶函数;

(II)由

, 从而知函数 的周期为

当 时， ，由已知 ，又 ，则

∴当 时，只有

∴方程 =0在一个周期内只有两个解

而函数 在闭区间［-2005，2005］共含有401个周期，所以方程 =0在闭区间［-2005，2005］共含有802个解

【探索题】对于k ∈Z ，用Ik 表示区间(2k-1，2k+1］。已知x ∈Ik 时，f(x)＝ (x-2k)2，

(1)当k ∈N*时, 求集合Mk ＝｛a ｜使方程f(x)＝ax 在Ik 上有两个不相等的实根的a 的值｝

(2)并讨论f(x)的周期性。

解：y ＝f(x)图像就是将y ＝x2(x∈（-1，1］）向右平移2k 个单位所得，其中k ∈N

设y1＝f(x),y2＝ax ，由集合Mk 可知，若a ∈M ，则函数y1＝f(x)与y2＝ax 图像有 两个交点，即当x ＝2k+1时，0＜y2≤1

∴0＜a ≤

∴Mk ＝｛a ｜0＜a ≤ ，k ∈N ｝，即Mk ＝(0， ］ 对任意

，

所以f(x)是2为周期的周期函数。

思路点拔：化简集合，弄清图像变换规律，数形结合求解；周期性的的讨论注要是看你运用定义的意识和能力

函数f (x ) ±ｇ(x ) 最小正周期的求法

若f (x ) 和ｇ(x ) 是三角函数，求f (x ) ±ｇ(x ) 的最小正周期没有统一的方法，往往因题而异，现介绍几种方法：

一、定义法

例1求函数y ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜的最小正周期.

解:∵f (x ) ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜

＝｜－sin x ｜＋｜cos x ｜

ππ) ｜＋｜sin(x ＋) ｜ 22

ππ＝｜sin(x ＋) ｜＋｜cos(x ＋) ｜ 22

π＝f (x +) 2

π对定义域内的每一个x ，当x 增加到x ＋时，函数值重复出现，因此函数的最小正周2

π期是. 2＝｜cos(x ＋

二、公式法

这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T ＝2π

|ω|，正余切函数T ＝π． |ω|

例2求函数y ＝cot x －tan x 的最小正周期.

11-tan x 21-tan 2x -tan x ==2cot 2x 解：y ＝＝2·tan x tan x 2tan x

∴T ＝π 2

三、最小公倍数法

设f (x ) 与ｇ(x ) 是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T 1、T 2分别是它们的周期，且T 1≠T 2，则f (x ) ±ｇ(x ) 的最小正周期T 1、T 2的最小公倍数，分数的最小公倍数＝T 1, T 2分子的最小公倍数 T 1, T 2分母的最大公约数

例3求函数y ＝sin3x ＋cos5x 的最小正周期.

解：设sin3x 、cos5x 的最小正周期分别为T 1、T 2，则T 1=

＋cos5x 的最小正周期T ＝2π／1＝2π. 2π2π, T 2=，所以y ＝sin3x 35

2x 的最小正周期. 5

2x 2π5π10π解：∵sin3x 与tan 的最小正周期是与，其最小公倍数是＝10π. 5321

2x ∴y ＝sin3x ＋tan 的最小正周期是10π. 5例4求y ＝sin3x ＋tan

四、图象法

例5求y ＝｜sin x ｜的最小正周期.

解：由y ＝｜sin x ｜的图象：

可知y ＝｜sin x ｜的周期T ＝π.

如何求三角函数的周期

三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法．

1、根据周期性函数的定义求三角函数的周期

例1 求下列函数的周期 (1) y =sin 2x , (2) y =tan 2x ． 3

(1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使sin 2(x +T ) ＝sin 2x 成立，同时考虑到正弦函数y =sin x 的周期是2π． 解：∵ sin 2x =sin(2x +2π) =sin 2(x +π) , 即 sin 2(x +π) =sin 2x ．

∴ 当自变量由x 增加到x +π时，函数值重复出现，因此y =sin 2x 的周期是π．

(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使 tan

是π． 22x (x +T ) =tan 成立，同时考虑到正切函数y =tan x 的周期33

2x 2x 23232x =tan(+π) =tan (x +π) , 即tan (x +π) =tan ． 3332323

2x 3∴ 函数y =tan 的周期是π． 32

注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值，

1如f (2x +T ) =f (2x ), 周期不是T ，而是T ； 2、是定义域内“f (x +T ) =f (x ) ”2解：∵ tan

的恒等式，即对于自变量x 取定义域内的每个值时，上式都成立．

2、根据公式求周期

对于函数y =A sin(ωx +ϕ) +B 或y =A cos(ωx +ϕ) +B 的周期公式是T =2π， |ω|

ωx +ϕ) +B 或y =cot(ωx +ϕ) +B 的周期公式是T =对于函数y =A tan(

例3 求函数y =3sin(

解： T =π． |ω|3πx -) 的周期 262π4π． =33

2

3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期

例4 求函数y =2sin x cos x -2sin 2x 的周期 解：y =23sin x cos x -2sin 2x =sin 2x +cos 2x -1

=2(

∴ T =1πsin 2x +cos 2x ) -1=2sin(2x +) -1 2262π=π． 2

x x x (sin+cos ), 求周期 333

x x 12x 12x 2x +sin cos =(1-cos ) +sin 解：∵f (x ) =sin 3332323 例5 已知函数f (x ) =sin

=

∴ T =112x 2x 122x π+(sin-cos ) =+-) 223322342π=3π． 2

3

4、遇到绝对值时，可利用公式 |a |=a 2, 化去绝对值符号再求周期

例6 求函数 y =|cos x |的周期

解：∵ y =|cos x |=cos x =

∴ T =21+cos 2x 22π=π ． 2

例7 求函数y =|sin x |+|cos x |的周期

解：∵y =|sin x |+|cos x |=

=+|sin x |+|cos x |2=+|sin 2x |=+sin 22x 1-cos 4x 1=1+(1-cos 4x ) 22

2ππ=． 42∴ 函数y =|sin x |+|cos x |的最小正周期 T =

5、若函数y =f 1(x ) +f 2(x ) + +f k (x ) ，且f 1(x ), f 2(x ), , f k (x ) ，都是周期函数，且最小正周期分别为T 1, T 2, T k ，如果找到一个正常数T , 使T =n 1T 1=n 2T 2= =n k T k ， (n 1, n 2, , n k 均为正整数且互质) ，则T 就是y =f 1(x ) +f 2(x ) + +f k (x ) 的最小正周期． 例8 求函数y =sin x +cos 1x 的周期 2

1x 的最小正周期是T 2=4π． 2解：∵ sin x 的最小正周期是T 1=2π， cos

∴ 函数y 的周期T =n 1T 1=n 2T 2 ，把T 1，T 2代入得 2π n 1=4π n 2，即n 1=2n 2，

因为n 1, n 2为正整数且互质， 所以 n 1=2, n 2 = 1．

1x 的周期T =n 1T 1=2⨯2π=4π． 2

23例9 求函数y =sin x +cos x 的周期 34

232π2π8π解： ∵ s i x 的最小正周期是T 1=， =3π，cos x 的最小正周期是T 2==343

34

8πn 2 ，9n 1=8n 2 (n 1, n 2为正整数且互质), 由n 1T 1=n 2T 2， 3π n 1=3 函数y =sin x +cos

得 n 1=8, n 2 = 9．

所以 函数y =sin 23x +cos x 的周期是T =n 1T 1=8⨯3π=24π． 34

函数的周期性

--函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中" 突然" 出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题

一. 明确复习目标

1. 理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；

2. 理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。

二、建构知识网络

1. 函数的周期性定义：

若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。

周期函数定义域必是无界的

2. 若T 是周期，则k ·T （k ≠0,k ∈Z ）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。

周期函数并非所都有最小正周期。如常函数f(x)=C；

3. 若函数f(x)对定义域内的任意x 满足：f(x+a)=f(x－a), 则2a 为函数f(x)的周期。

（若f(x)满足f(a+x)=f(a－x) 则f(x)的图象以x=a为图象的对称轴，应注意二者的区别)

4. 若函数f(x)图象有两条对称轴x=a和x=b，（a

是f （x ）的一个周期

5. 若函数f(x)图象有两个对称中心（a ，0），（b ，0）（a

6. 若函数f （x ）有一条对称轴x=a和一个对称中心（b ，0）（a

举例:y=sinx,等.

三. 双基题目练练手

1.f(x)是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f(1)=0，则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）

A ．5 B ．4 C ．3 D ．2

2. 若函数y=f(x)是周期为2的奇函数，且当x ∈(0,1)时

f(x)=x+1，则f(π) 的值为 （ ）

A ．π-5 B.5-π C.4-π D. π-4

3. 是偶函数，且 为奇函数，则f(1992)=

4. 设存在常数p>0,使 ，则 的一个周期是 ，f(px)的一个正周期是 ；

5. 数列 中

简答精讲：1、B ；2、A ；3、993；因（-1，0）是中心，x=0

是对称轴，则周期是4；4、 ， ；5、 ；由已知 ，周期为6。

四. 经典例题做一做

【例1】已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x ∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。

解法1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。）

∵ x ∈(1,2), 则-x ∈(-2,-1),

∴ 2-x ∈(0,1), ∵ T=2,是偶函数

∴ f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.

x ∈(1,2).

解法2（从图象入手也可解决，且较直观）f(x)=f(x+2) 如图：x ∈(0,1), f(x)=x+1.∵是偶函数

∴x ∈(-1,0)时f(x)=f(-x)=-x+1.

又周期为2， x ∈(1,2)时x-2∈（-1，0）

∴f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.

提炼方法：1. 解题体现了化归转化的思想, 即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上转化;

2. 用好数形结合, 对解题很有帮助.

【例2】f(x)的定义域是R ，且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),若f(0)=2008,求 f(2008)的值。

解：

周期为8，

法二：依次计算f(2、4、6、8) 知周期为8，须再验证。

方法提炼：

1. 求周期只需要弄出一个常数;

2. 注意既得关系式的连续使用.

【例3】若函数 在R 上是奇函数，且在 上是增函数，且 . ①求 的周期；

②证明f(x)的图象关于点(2k,0) 中心对称; 关于直线x=2k+1轴对称, (k∈Z );

③讨论f(x)在(1,2)上的单调性；

解: ①由已知f(x)=－f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期T=4. ②设P(x,y)是图象上任意一点, 则y=f(x),且P 关于点(2k,0)对称的点为P1(4k-x,-y).P关于直线x=2k+1对称的点为

P2(4k+2-x,y).

∵f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,∴点P1在图象上, 图象关于点(2k,0)对称.

又f(x)是奇函数,f(x+2)=-f(x)=f(-x)

∴f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y, ∴点P2在图象上, 图象关于直线2k+1对称.

③设1

∵f(x)在(-1,0)上递增, ∴f(2-x1)

又f(x+2)=-f(x)=f(-x) ∴f(2-x1)=f(x1), f(2-x2)=f(x2).

(*)为f(x2)

提炼方法：总结解周期性、单调性及图象对称性的方法。

【研究. 欣赏】已知函数y=f(x)是定义在R 上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1≤x ≤1) 是奇函数. 又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5.

① 证明： ；②求 的解析式；

③求 在 上的解析式.

解：∵ 是以 为周期的周期函数，且在[-1,1]上是奇函数，∴ ，∴ .

②当 时，由题意可设 ，

由 得 ，∴ ，

∴ .

③∵ 是奇函数，∴ ，

又知 在 上是一次函数，∴可设 ，而 ，

∴ ，∴当 时， ，

从而 时， ，故 时， .

∴当 时，有 ，∴ .

当 时， ，

∴

∴ .

五．提炼总结以为师

1. 函数的周期性及有关概念;

2. 用周期的定义求函数的周期;

3. 函数的周期性与图象的对称性之间的关系;

同步练习 2．7 函数的周期性

【选择题】

1.f （x ）是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f （－ ）的值为

A.0 B. C.T D. －

2. （2004天津）定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数. 若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈［0， ］时，f （x ）=sinx，则f （ ）的值为

A. － B.

【填空题】

3. 设 是定义在 上，以2为周期的周期函数，且 为偶函数，在区间[2，3]上， = ,则 =

4. 已知函数f(x)是偶函数，且等式f(4+x)＝f(4-x)，对一切实数x 成立，写出f(x)的一个最小正周

C. － D.

5. 对任意x ∈R ，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且f(0)=6,f(4)=3,则f(69)=

6. 设f(x)定义在R 上的偶函数，且 ，又当x ∈(0，3]时，f(x)=2x，则f(2007)= 。

答案提示：1、A ；由f （ ）=f（－ +T）=f（－ ）=－f （ ），知f （ ）=0.（或取特殊函数f （x ）=sinx）

2、D ； f （ ）=f（ －2π）=f（－ ）=f（ ）=sin = .

3、 ; 4、8；

5、f(x-1)=f(x)-f(x+1),∴

f(x)=f(x+1)-f(x+2)=f(x+2)-f(x+3)-f(x+2)= -f(x+3)

∴f(x)= -f(x+3)=f(x+6) .周期是6；f(69)=f(3)=f(-3)= -f(-3+3)= -6

6、 ，周期T=6， F(2007)=f(3)=6

【解答题】

7. 设函数f(x)的最小正周期为2002，并且f(1001+x)=f(1001－x) 对一切x ∈R 均成立，试讨论f(x)的奇偶性.

解: ∵周期是2002, ∴ f(2002+x)=f(x),

又由f(1001+x)=f(1001－x) 得f(2002-x)=f(x)

∴对任意的x 都有f(x)=f(2002-x)=f(-x),f(x)是偶函数.

8. 设f(x)为定义在实数集上周期为2的函数，且为偶函数，已知x ∈[2,3]时f(x)=x，求x ∈[-2,0]时f(x)的解析式。

分析：由T=2可得x ∈[-2,-1]和x ∈[0,1]时的解析式；再由奇偶性可得[-1，0]上的解析式。

解：因为函数f(x)是T=2的周期函数，所以f(x+2)=f(x).

又由于f(x)为偶函数，故

所以解析式为

9. 设f(x)是定义在（-∞，+∞）上的函数，对一切x ∈R 均有f(x)+f(x+2)=0，当-1

思路分析：∵ f(x)+f(x+2)=0 ∴ f(x)=-f(x+2)

∵ 该式对一切x ∈R 成立，

∴ 以x-2代x 得：f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x)

当1

评注：在化归过程中，一方面要转化自变量到已知解析式的定义域，另一方面要保持对应的函数值有一定关系。在化归过程中还体现了整体思想。

10. （2005广东）设函数 在 上满足 ， f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0。

（Ⅰ）试判断函数y=f(x)的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程f(x)=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．

解：由 得 即

由已知易得 ，所以 ，而 ，从而 且

故函数 是非奇非偶函数;

(II)由

, 从而知函数 的周期为

当 时， ，由已知 ，又 ，则

∴当 时，只有

∴方程 =0在一个周期内只有两个解

而函数 在闭区间［-2005，2005］共含有401个周期，所以方程 =0在闭区间［-2005，2005］共含有802个解

【探索题】对于k ∈Z ，用Ik 表示区间(2k-1，2k+1］。已知x ∈Ik 时，f(x)＝ (x-2k)2，

(1)当k ∈N*时, 求集合Mk ＝｛a ｜使方程f(x)＝ax 在Ik 上有两个不相等的实根的a 的值｝

(2)并讨论f(x)的周期性。

解：y ＝f(x)图像就是将y ＝x2(x∈（-1，1］）向右平移2k 个单位所得，其中k ∈N

设y1＝f(x),y2＝ax ，由集合Mk 可知，若a ∈M ，则函数y1＝f(x)与y2＝ax 图像有 两个交点，即当x ＝2k+1时，0＜y2≤1

∴0＜a ≤

∴Mk ＝｛a ｜0＜a ≤ ，k ∈N ｝，即Mk ＝(0， ］ 对任意

，

所以f(x)是2为周期的周期函数。

思路点拔：化简集合，弄清图像变换规律，数形结合求解；周期性的的讨论注要是看你运用定义的意识和能力

函数f (x ) ±ｇ(x ) 最小正周期的求法

若f (x ) 和ｇ(x ) 是三角函数，求f (x ) ±ｇ(x ) 的最小正周期没有统一的方法，往往因题而异，现介绍几种方法：

一、定义法

例1求函数y ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜的最小正周期.

解:∵f (x ) ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜

＝｜－sin x ｜＋｜cos x ｜

ππ) ｜＋｜sin(x ＋) ｜ 22

ππ＝｜sin(x ＋) ｜＋｜cos(x ＋) ｜ 22

π＝f (x +) 2

π对定义域内的每一个x ，当x 增加到x ＋时，函数值重复出现，因此函数的最小正周2

π期是. 2＝｜cos(x ＋

二、公式法

这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T ＝2π

|ω|，正余切函数T ＝π． |ω|

例2求函数y ＝cot x －tan x 的最小正周期.

11-tan x 21-tan 2x -tan x ==2cot 2x 解：y ＝＝2·tan x tan x 2tan x

∴T ＝π 2

三、最小公倍数法

设f (x ) 与ｇ(x ) 是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T 1、T 2分别是它们的周期，且T 1≠T 2，则f (x ) ±ｇ(x ) 的最小正周期T 1、T 2的最小公倍数，分数的最小公倍数＝T 1, T 2分子的最小公倍数 T 1, T 2分母的最大公约数

例3求函数y ＝sin3x ＋cos5x 的最小正周期.

解：设sin3x 、cos5x 的最小正周期分别为T 1、T 2，则T 1=

＋cos5x 的最小正周期T ＝2π／1＝2π. 2π2π, T 2=，所以y ＝sin3x 35

2x 的最小正周期. 5

2x 2π5π10π解：∵sin3x 与tan 的最小正周期是与，其最小公倍数是＝10π. 5321

2x ∴y ＝sin3x ＋tan 的最小正周期是10π. 5例4求y ＝sin3x ＋tan

四、图象法

例5求y ＝｜sin x ｜的最小正周期.

解：由y ＝｜sin x ｜的图象：

可知y ＝｜sin x ｜的周期T ＝π.