常用公式表（一）
1。乘法公式
22
(1)(a +b )=a 2+2ab +b 2 (2)(a -b )=a 2-2ab +b 2
(3)a 2-b 2=(a +b )(a -b )
(4)a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2) (5)a 3-b 3=(a -b )(a 2+ab +b 2)
2、指数公式：
(1)a (4)a
=1(a ≠0) (2)a a =a
n
n
-p
=
1a
n p
m
(
3)a n
a a
m n
=
n
m n
m n m +n
(5)a
m
÷a =
n
n
=a
m -n
(6)(a m )
=a
(7)(ab )
(
10a ⎛a ⎫
=a b (8) ⎪=n
b ⎝b ⎭
n
(
9)2
=a
1
N
=a
(11)
b =log
1a
=a
-1
(
12b
=a 2
3、指数与对数关系：
（1）若a
b
=N
，则
b
（3）若e =N ，则b =ln
4、对数公式：
a
b
N
（2）若10
N
=N
，则b =lg
（1）
log
a
a =b
, ln e b
=b
(2)log a 1=0, ln 1=0
=ln N
（3）a （5）a
b
log aN
=N
ln a
b ln a M =e （6）ln MN =ln M +ln N (7)ln =ln M -ln N
N
n 1
（8）ln M =n ln M (
9)ln =ln M
n
，e ln N
=N
(4)log a N
（1）sin 2α
(4)
sin αcos α
=tan α
5、三角恒等式： 22
+cos α=1 （2）1+tan α（3）1+cot 2α=csc 2α (5)
=
1sin α
cos αsin α
=cot α
=sec α
2
1
(6)cot α
=
1cos α
=
tan α
(7)csc α
(8)sec α
6. 倍角公式：
（1）sin （3）cos
(1)sin
2
2α=2sin αcos α
2
2
(2)tan 2α
2
=
2tan α1-tan α
2
2
2α=cos α-sin α=2cos α-1=1-2sin α
=
sin α1+cos α
7. 半角公式（降幂公式）：
α
2=
1-cos α
2
(2)cos 2
α
2
=
1+cos α
2
(3)tan
α
2
=
1-cos αsin α
（1）若x=siny，则y=arcsinx （2）若x=cosy
，则y=arccosx （3）若x=tany，则y=arctanx （4）若x=coty，则y=arccotx
10、函数定义域求法：
1
（1）分式中的分母不能为0，（a α≠0） （2）负数不能开偶次方， （
a
α≥0）
g o l a N （3）对数中的真数必须大于0，（ N>0）
（4）反三角函数中arcsinx ，arccosx 的x 满足：（-1≤x ≤1） （5）上面数种情况同时在某函数出现时，此时应取其交集。
11、直线形式及直线位置关系：
（1） 直线形式：点斜式：y -
y 0=k (x -x 0)
=x -x 1
斜截式：y=kx+b
y -y 1
两点式：y 2-y 1x 2-x 1
（2）直线关系：l 1:y =k 1x +b 1 l 2:y =k 2x +b 2 平行：若l 1//l 2，则k 1
=k 2 垂直：若l 1⊥l 2，则k 1⋅k 2=-1
(1)sin (α±β)=sin αcos β±cos αsin β(2)cos (α±β)=cos αcos β
(3)tan (α
±β)=
tan α±tan β1 tan α⋅tan β
sin αsin β
14、奇偶性及反函数：
（1）奇函数：f (-x )=-f (x ) （图象关于原点对称）
（2）偶函数：f (-x )=f (x ) （图象关于y 轴对称） (3)性质:奇±奇=奇; 奇±偶=非奇非偶; 偶±偶=偶
奇⨯÷奇=偶; 奇⨯÷偶=奇; 偶⨯÷偶=偶
（4）y =f (x )与y =
f
-1
(x )关于直线y
=x
对称
常用公式表（二）
1、求导法则：
（1）(u
'(cu ) （3）
'
+v )=u '+v '
（2）(u
'
-v )=u '-v '
=c u '
'(uv ) （4）
=u 'v +u v '
'u 'v -uv '
⎛u ⎫
(5) ⎪= 2
v ⎝v ⎭
2、基本求导公式：
'
(C ) （1）
=0
x
''
()()x =ax a =a （2） （3）
a
a -1
x
x
x
ln a
'
()e =e 5log x '= （4）()()
a
1x ln a
(6)(ln x )'=
x
1
'
(sin x )（7）
=cos x
2
'
(cos x ) （8）
=-sin x 1sin x
2
2
(9)(tan x )'
=
1cos x
2
=sec x (10)(cot x )'=-
'(csc x ) (12)
=-csc x
'
(sec x )(11)
=sec x ⋅tan x =-csc x ⋅cot x
(13)(
arcsin x )'
==
11+x
2
(14)(
arccos x )'=- (16)(arc cot x )'=-
11+x
(15)(arctan x )'
2
3、微分
（1）函数的微分：dy =y 'dx =f '(x )dx
（2）近似计算：|Δx|很小时，f (x 0+∆x )≈f (x 0)+
4、基本积分公式
kdx
（1）⎰
=kx +C
f '(x 0)∆x
1x
（2）
+C
⎰
x
x dx =
a
1a +1
x
x
a +1
+C
（3）
⎰
=ln x +C
（4）
⎰a
x
dx =
a
x
ln a
e
（5）⎰
dx =e +C
（6）⎰
2
sin xdx =-cos x +C
cos
（7）⎰
xdx =sin x +C
（8）
⎰sec
xdx =
⎰cos
1-x
1
2
x
=tan x +C
（9）
⎰csc
2
xdx =
⎰sin
1
2
x
=-cot x +C
（10）
⎰
2
=arcsin x +C
x （11）
5、定积分公式：
⎰1+
1
2
dx =arctan x +C
(1)⎰a
b
b
f (x )dx =
a
⎰
b a
f (t )dt (2)⎰f
a
a
(x )dx
c
=0
b
(3)⎰a f (x )dx =-⎰b f (x )dx (4)⎰a f (x )dx =⎰a f (x )dx +⎰c f (x )dx
（5）若f （x ）是[-a,a]的连续奇函数，则⎰-a
（6）若f （x ）是[-a,a]的连续偶函数，则⎰-a
6、积分定理：
(1)⎡
⎢⎰a
⎣
x
b
a
f (x )dx =0
a
a
f (x )dx =2⎰f (x )dx
'b (x )
⎡⎤(2)⎢⎰f (t )dt ⎥=f [b (x )]b '(x )-f [a (x )]a '(x )'
⎤⎣a (x )⎦f (t )dt =f (x ) ⎥⎦
b
（3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则⎰a
7. 积分表
(1)⎰sec
xdx =ln sec x +tan x +C
f (x )dx =F (x )
b a
=F (b )-F (a )
(2)⎰csc
xdx =ln csc x -cot x +C
(3)⎰
1a
2
+x
2
=
1a
arctan
x a
+C
=2
12a
ln
(4)⎰
1a
2
-x
2
=arcsin
x a
+C
(5)⎰
1x -a
2
x -a x +a
+C
8．积分方法
（一）凑微分：(y 'dx =dy )
(1)e x dx =de x ; (2)cos xdx =d sin x ; (3)sin xdx =-d cos x ; (4)dx =(5)x
dx =
a
1a
d (ax +b )1
2
1a +1
(9(1)f (x )=
cos x sin x
1
=d arcsin x ; (10)dx =d arctan x 21+x dx
a +1
; (6)
1x
dx =d ln x ; (7)
1
2
dx =d tan x ; (8)
dx =-d cot x
（二）换元法：
ax +b
2
；设：
ax +b =t
则：dx =x '(t )dt
=a cos t ; dx
=a cos tdt
(2)f (x )=
f (x )=f (x )=
a
a
2
-x
2
2
；设：x =a sin t x -a
2
；设：x =a sec t udv =uv -
=a tan t , dx =a
sec t tan tdt =a sec t , dx =a sec tdt
2
+x
2
；设：x =a tan t
（三）分部积分法：⎰
9．全微分及隐函数
（1）全微分：dz =z 'x dx +z 'y dy
⎰vdu
（2）隐函数：若F (x , y )=0, 则:y '=
∂z
dy dx
=-
F x 'F y '
F y 'F x '∂z
（3）隐函数：若F (x , y , z )=0, 则:=-; =-
∂x F z '∂y F z '
常用公式表（一）
1。乘法公式
22
(1)(a +b )=a 2+2ab +b 2 (2)(a -b )=a 2-2ab +b 2
(3)a 2-b 2=(a +b )(a -b )
(4)a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2) (5)a 3-b 3=(a -b )(a 2+ab +b 2)
2、指数公式：
(1)a (4)a
=1(a ≠0) (2)a a =a
n
n
-p
=
1a
n p
m
(
3)a n
a a
m n
=
n
m n
m n m +n
(5)a
m
÷a =
n
n
=a
m -n
(6)(a m )
=a
(7)(ab )
(
10a ⎛a ⎫
=a b (8) ⎪=n
b ⎝b ⎭
n
(
9)2
=a
1
N
=a
(11)
b =log
1a
=a
-1
(
12b
=a 2
3、指数与对数关系：
（1）若a
b
=N
，则
b
（3）若e =N ，则b =ln
4、对数公式：
a
b
N
（2）若10
N
=N
，则b =lg
（1）
log
a
a =b
, ln e b
=b
(2)log a 1=0, ln 1=0
=ln N
（3）a （5）a
b
log aN
=N
ln a
b ln a M =e （6）ln MN =ln M +ln N (7)ln =ln M -ln N
N
n 1
（8）ln M =n ln M (
9)ln =ln M
n
，e ln N
=N
(4)log a N
（1）sin 2α
(4)
sin αcos α
=tan α
5、三角恒等式： 22
+cos α=1 （2）1+tan α（3）1+cot 2α=csc 2α (5)
=
1sin α
cos αsin α
=cot α
=sec α
2
1
(6)cot α
=
1cos α
=
tan α
(7)csc α
(8)sec α
6. 倍角公式：
（1）sin （3）cos
(1)sin
2
2α=2sin αcos α
2
2
(2)tan 2α
2
=
2tan α1-tan α
2
2
2α=cos α-sin α=2cos α-1=1-2sin α
=
sin α1+cos α
7. 半角公式（降幂公式）：
α
2=
1-cos α
2
(2)cos 2
α
2
=
1+cos α
2
(3)tan
α
2
=
1-cos αsin α
（1）若x=siny，则y=arcsinx （2）若x=cosy
，则y=arccosx （3）若x=tany，则y=arctanx （4）若x=coty，则y=arccotx
10、函数定义域求法：
1
（1）分式中的分母不能为0，（a α≠0） （2）负数不能开偶次方， （
a
α≥0）
g o l a N （3）对数中的真数必须大于0，（ N>0）
（4）反三角函数中arcsinx ，arccosx 的x 满足：（-1≤x ≤1） （5）上面数种情况同时在某函数出现时，此时应取其交集。
11、直线形式及直线位置关系：
（1） 直线形式：点斜式：y -
y 0=k (x -x 0)
=x -x 1
斜截式：y=kx+b
y -y 1
两点式：y 2-y 1x 2-x 1
（2）直线关系：l 1:y =k 1x +b 1 l 2:y =k 2x +b 2 平行：若l 1//l 2，则k 1
=k 2 垂直：若l 1⊥l 2，则k 1⋅k 2=-1
(1)sin (α±β)=sin αcos β±cos αsin β(2)cos (α±β)=cos αcos β
(3)tan (α
±β)=
tan α±tan β1 tan α⋅tan β
sin αsin β
14、奇偶性及反函数：
（1）奇函数：f (-x )=-f (x ) （图象关于原点对称）
（2）偶函数：f (-x )=f (x ) （图象关于y 轴对称） (3)性质:奇±奇=奇; 奇±偶=非奇非偶; 偶±偶=偶
奇⨯÷奇=偶; 奇⨯÷偶=奇; 偶⨯÷偶=偶
（4）y =f (x )与y =
f
-1
(x )关于直线y
=x
对称
常用公式表（二）
1、求导法则：
（1）(u
'(cu ) （3）
'
+v )=u '+v '
（2）(u
'
-v )=u '-v '
=c u '
'(uv ) （4）
=u 'v +u v '
'u 'v -uv '
⎛u ⎫
(5) ⎪= 2
v ⎝v ⎭
2、基本求导公式：
'
(C ) （1）
=0
x
''
()()x =ax a =a （2） （3）
a
a -1
x
x
x
ln a
'
()e =e 5log x '= （4）()()
a
1x ln a
(6)(ln x )'=
x
1
'
(sin x )（7）
=cos x
2
'
(cos x ) （8）
=-sin x 1sin x
2
2
(9)(tan x )'
=
1cos x
2
=sec x (10)(cot x )'=-
'(csc x ) (12)
=-csc x
'
(sec x )(11)
=sec x ⋅tan x =-csc x ⋅cot x
(13)(
arcsin x )'
==
11+x
2
(14)(
arccos x )'=- (16)(arc cot x )'=-
11+x
(15)(arctan x )'
2
3、微分
（1）函数的微分：dy =y 'dx =f '(x )dx
（2）近似计算：|Δx|很小时，f (x 0+∆x )≈f (x 0)+
4、基本积分公式
kdx
（1）⎰
=kx +C
f '(x 0)∆x
1x
（2）
+C
⎰
x
x dx =
a
1a +1
x
x
a +1
+C
（3）
⎰
=ln x +C
（4）
⎰a
x
dx =
a
x
ln a
e
（5）⎰
dx =e +C
（6）⎰
2
sin xdx =-cos x +C
cos
（7）⎰
xdx =sin x +C
（8）
⎰sec
xdx =
⎰cos
1-x
1
2
x
=tan x +C
（9）
⎰csc
2
xdx =
⎰sin
1
2
x
=-cot x +C
（10）
⎰
2
=arcsin x +C
x （11）
5、定积分公式：
⎰1+
1
2
dx =arctan x +C
(1)⎰a
b
b
f (x )dx =
a
⎰
b a
f (t )dt (2)⎰f
a
a
(x )dx
c
=0
b
(3)⎰a f (x )dx =-⎰b f (x )dx (4)⎰a f (x )dx =⎰a f (x )dx +⎰c f (x )dx
（5）若f （x ）是[-a,a]的连续奇函数，则⎰-a
（6）若f （x ）是[-a,a]的连续偶函数，则⎰-a
6、积分定理：
(1)⎡
⎢⎰a
⎣
x
b
a
f (x )dx =0
a
a
f (x )dx =2⎰f (x )dx
'b (x )
⎡⎤(2)⎢⎰f (t )dt ⎥=f [b (x )]b '(x )-f [a (x )]a '(x )'
⎤⎣a (x )⎦f (t )dt =f (x ) ⎥⎦
b
（3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则⎰a
7. 积分表
(1)⎰sec
xdx =ln sec x +tan x +C
f (x )dx =F (x )
b a
=F (b )-F (a )
(2)⎰csc
xdx =ln csc x -cot x +C
(3)⎰
1a
2
+x
2
=
1a
arctan
x a
+C
=2
12a
ln
(4)⎰
1a
2
-x
2
=arcsin
x a
+C
(5)⎰
1x -a
2
x -a x +a
+C
8．积分方法
（一）凑微分：(y 'dx =dy )
(1)e x dx =de x ; (2)cos xdx =d sin x ; (3)sin xdx =-d cos x ; (4)dx =(5)x
dx =
a
1a
d (ax +b )1
2
1a +1
(9(1)f (x )=
cos x sin x
1
=d arcsin x ; (10)dx =d arctan x 21+x dx
a +1
; (6)
1x
dx =d ln x ; (7)
1
2
dx =d tan x ; (8)
dx =-d cot x
（二）换元法：
ax +b
2
；设：
ax +b =t
则：dx =x '(t )dt
=a cos t ; dx
=a cos tdt
(2)f (x )=
f (x )=f (x )=
a
a
2
-x
2
2
；设：x =a sin t x -a
2
；设：x =a sec t udv =uv -
=a tan t , dx =a
sec t tan tdt =a sec t , dx =a sec tdt
2
+x
2
；设：x =a tan t
（三）分部积分法：⎰
9．全微分及隐函数
（1）全微分：dz =z 'x dx +z 'y dy
⎰vdu
（2）隐函数：若F (x , y )=0, 则:y '=
∂z
dy dx
=-
F x 'F y '
F y 'F x '∂z
（3）隐函数：若F (x , y , z )=0, 则:=-; =-
∂x F z '∂y F z '