二面角的求法：
方法一（定义法）即从二面角棱上一点在两个面内分别引棱的垂线。（适用两边三角形全等、或都为等腰三角形）
例1、如图1－5所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为3的菱形，∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD ，PA ＝26，M ，N 分别为PB ，PD 的中点． (1)证明：MN∥平面ABCD ；
(2)过点A 作AQ⊥PC，垂足为点Q ，求二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值．
方法二（三垂线法）在二面角的一个面上一点P 棱及另一个面分别引垂线PA 、PB ，连接AB ，根据三垂线定理（或逆定理），∠PAB 为所求的二面角的平面角.
例3. 在棱长为1的正方体AC 1中，求平面C 1BD 与底面ABCD 所成二面角C 1-BD -C 的1
例4．如图，AB ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，若AB =BC =2BD ，求二面角B -AC -D 的正弦值
A
B
1
方法三（投影面积法）一个平面α上的图形面积为S ，它在另一个平面β上的投影面积为S' ，这两个平面的夹角为θ，则S'=Scosθ或cos θ=S .
/
S
例5．在正方体AC 1中，E 是BC 中点，F 在AA 1上，且A 1F∶FA=1∶2，求平面B 1EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的二面角.
方法四（空间向量法）如图5，设n 1, n 2, 是二面角α-l -β的两个半平面的法向量，其方向
n 1⋅n 2。 arccos α-l -β一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角的平面角=α．．
|n 1||n 2|
例6、点O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点．沿对角线AC 把正方形ABCD 折成直二面角D －AC －B ． （Ⅰ）求∠EOF 的大小；
（Ⅱ）求二面角E -OF -A 的大小．
练习题：
1. 在立体图形P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ，Q 是PC 中点． AC ，BD 交于O 点．
（Ⅰ）求二面角Q －BD －C 的大小： （Ⅱ）求二面角B －QD －C 的大小．
2
2. 已知平面α⊥平面β，交线为AB ，C ∈α，D ∈β，AB =AC =BC =43，E 为BC 的中点，AC ⊥BD ，BD=8． ①求证：BD ⊥平面α； ②求证：平面AED ⊥平面BCD ； ③求二面角B －AC －D 的正切值．
3. 如图，△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC= ∠DBC =120°，求
(1) A、D 连线和直线BC 所成角的大小； (2) 二面角A －BD －C 的大小
B
C
A
4. 如图平面SAC ⊥平面ACB ，ΔSAC 是边长为4的等边三角形，ΔACB 为直角三角形，∠ACB=90°，BC=42，求二面角S-AB-C 的余弦值。
22 11
5、如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=3，AA 1=4,M为AA 1
的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 点的最短路线长为29，设这条最短路线与C 1C 的交点为N 。求： ①该三棱柱的侧面展开图的对角线长； ②PC 和NC 的长；
③平面NMP 和平面ABC 所成锐二面角大小的余弦值
6、如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点 (1)证明：CD ⊥平面PAE ；
(2)若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等， 求四棱锥P －ABCD 的体积．
3
【解析】
1. 在立体图形P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ，Q 是PC 中点． AC ，BD 交于O 点．
（Ⅰ）求二面角Q －BD －C 的大小： （Ⅱ）求二面角B －QD －C 的大小．
2. 已知平面α⊥平面β，交线为AB ，C ∈α，D ∈β，AB =AC =BC =43，E 为BC 的中点，AC ⊥BD ，BD=8． ①求证：BD ⊥平面α； ②求证：平面AED ⊥平面BCD ； ③求二面角B －AC －D 的正切值．
3. 如图，△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC= ∠DBC =120°，求
(1) A、D 连线和直线BC 所成角的大小； (2) 二面角A －BD －C 的大小
B
C
A
4. 如图平面SAC ⊥平面ACB ，ΔSAC 是边长为4的等边三角形，ΔACB 为直角三角形，∠ACB=90°，BC=42，求二面角S-AB-C 的余弦值。
4
5、正解：①正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为92+42=97
②如图1，将侧面BC 1旋转120使其与侧面AC 1在同一平面上，点P 运动到点P 1的位置，连接MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过CC 1到点M 的最短路线。
设PC ＝x ，则P 1C ＝x ，
在Rt ∆MAP 3＋x ) 2+22=29, x =2 1中，（
∴
MC P 1C 24
==, ∴NC = MA P 1A 55
③连接PP 1（如图2），则PP 1就是NMP 与平面ABC 的交线，作NH ⊥PP 1于H ，又CC 1⊥平面ABC ，连结CH ，由三垂线定理得，
NMP 与平面ABC 所成二面角的平面角。 CH ⊥PP 1。∴∠NHC 就是平面在Rt ∆PHC 中， ∠PCH =
1
∠PCP 1=60 , ∴CH =1 2
NC 4541
=，所以余弦值为 CH 541
在Rt ∆NCH 中，tan ∠NHC =
6、解：解法1：(1)如下图(1)，连结AC. 由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°得AC ＝5. 又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE. 因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD. 而PA ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE. (2)过点B 作BG ∥CD ，分别与AE 、AD 相交于点F ，G ，连结PF.
由(1)CD⊥平面PAE 知，BG ⊥平面PAE. 于是∠BPF 为直线PB 与平面PAE 所成的角， 且BG ⊥AE. 由PA ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角． 由题意∠PBA ＝∠BPF ，因为sin ∠PBA ＝
PA BF
，sin ∠BPF ＝，所以PA ＝BF. PB PB
由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC ，又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形．
故GD ＝BC ＝3. 于是AG ＝2.
在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2
AB 216858BG ⊥AF ，所以BG ＝AB ＋AG ＝25，BF ＝＝＝于是PA ＝BF ＝.
BG 555
11
又梯形ABCD 的面积为S ＝×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝×S×PA
23＝
1851285
×＝
3515
5
解法2：如上图(2)，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设PA ＝h ，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，→→→
E(2,4,0)，P(0,0，h) ．(1)易知CD ＝(－4,2,0) ，AE ＝(2,4,0)，AP ＝(0,0，h) ． →→→→因为CD ·AE ＝－8＋8＋0＝0，CD ·AP ＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP. 而AP ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE. →→
(2)由题设和(1)知，CD ，PA 分别是平面PAE ，平面ABCD 的法向量．
→→
而PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos〈CD ，PB 〉|＝|cos→→⎪⎪→→⎪⎪CD ·PB PA ·PB →→
〈PA ，PB 〉|，即⎪→→＝⎪→→⎪.
|PB|⎪⎪|PA|·|PB|⎪⎪|CD|·
→→→
由(1)知，CD ＝(－4,2,0) ，PA ＝(0,0，－h) ，又PB ＝(4,0，－h) ， 5⎪－16＋0＋0⎪⎪0＋0＋h 故⎪＝. 解得h ＝. ⎪⎪5⎪216＋h ⎪⎪16＋h ⎪
1又梯形ABCD 的面积为S ＝×(5＋3)×4＝16
2
1185128，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝S×PA ＝×33515
6
2
1、如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面AB C1D 1的距离为 ( )
A ．1
2 B ．24 C ．22
D ．2
2、如图（20）图， α和β为平面，α⋂β=l , A ∈α, B ∈β, AB=5,A,B在棱l 上的射影分别为A ′，B ′，AA ′＝3，BB ′＝2. 若二面角α-l -β的大小为2π
3
， 求：（1）点B 到平面α的距离;
（2）异面直线l 与AB 所成的角（用反三角函数表示）. （3）求异面直线l 与AB 的距离 变式题：
已知α和β为平面，α⋂β=l , A ∈α, B ∈β, ,A,B 在棱l 上的射影分别为A ′、B ′，AA ′＝3，BB ′＝2 ，A ' B ' =3，若二面角α-l -β的大小为600
（1） 求AB 的长
（2） 异面直线l 与AB 所成的角 （3） 求异面直线l 与AB 的距离
7
二面角的求法：
方法一（定义法）即从二面角棱上一点在两个面内分别引棱的垂线。（适用两边三角形全等、或都为等腰三角形）
例1、如图1－5所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为3的菱形，∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD ，PA ＝26，M ，N 分别为PB ，PD 的中点． (1)证明：MN∥平面ABCD ；
(2)过点A 作AQ⊥PC，垂足为点Q ，求二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值．
方法二（三垂线法）在二面角的一个面上一点P 棱及另一个面分别引垂线PA 、PB ，连接AB ，根据三垂线定理（或逆定理），∠PAB 为所求的二面角的平面角.
例3. 在棱长为1的正方体AC 1中，求平面C 1BD 与底面ABCD 所成二面角C 1-BD -C 的1
例4．如图，AB ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，若AB =BC =2BD ，求二面角B -AC -D 的正弦值
A
B
1
方法三（投影面积法）一个平面α上的图形面积为S ，它在另一个平面β上的投影面积为S' ，这两个平面的夹角为θ，则S'=Scosθ或cos θ=S .
/
S
例5．在正方体AC 1中，E 是BC 中点，F 在AA 1上，且A 1F∶FA=1∶2，求平面B 1EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的二面角.
方法四（空间向量法）如图5，设n 1, n 2, 是二面角α-l -β的两个半平面的法向量，其方向
n 1⋅n 2。 arccos α-l -β一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角的平面角=α．．
|n 1||n 2|
例6、点O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点．沿对角线AC 把正方形ABCD 折成直二面角D －AC －B ． （Ⅰ）求∠EOF 的大小；
（Ⅱ）求二面角E -OF -A 的大小．
练习题：
1. 在立体图形P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ，Q 是PC 中点． AC ，BD 交于O 点．
（Ⅰ）求二面角Q －BD －C 的大小： （Ⅱ）求二面角B －QD －C 的大小．
2
2. 已知平面α⊥平面β，交线为AB ，C ∈α，D ∈β，AB =AC =BC =43，E 为BC 的中点，AC ⊥BD ，BD=8． ①求证：BD ⊥平面α； ②求证：平面AED ⊥平面BCD ； ③求二面角B －AC －D 的正切值．
3. 如图，△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC= ∠DBC =120°，求
(1) A、D 连线和直线BC 所成角的大小； (2) 二面角A －BD －C 的大小
B
C
A
4. 如图平面SAC ⊥平面ACB ，ΔSAC 是边长为4的等边三角形，ΔACB 为直角三角形，∠ACB=90°，BC=42，求二面角S-AB-C 的余弦值。
22 11
5、如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=3，AA 1=4,M为AA 1
的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 点的最短路线长为29，设这条最短路线与C 1C 的交点为N 。求： ①该三棱柱的侧面展开图的对角线长； ②PC 和NC 的长；
③平面NMP 和平面ABC 所成锐二面角大小的余弦值
6、如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点 (1)证明：CD ⊥平面PAE ；
(2)若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等， 求四棱锥P －ABCD 的体积．
3
【解析】
1. 在立体图形P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ，Q 是PC 中点． AC ，BD 交于O 点．
（Ⅰ）求二面角Q －BD －C 的大小： （Ⅱ）求二面角B －QD －C 的大小．
2. 已知平面α⊥平面β，交线为AB ，C ∈α，D ∈β，AB =AC =BC =43，E 为BC 的中点，AC ⊥BD ，BD=8． ①求证：BD ⊥平面α； ②求证：平面AED ⊥平面BCD ； ③求二面角B －AC －D 的正切值．
3. 如图，△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC= ∠DBC =120°，求
(1) A、D 连线和直线BC 所成角的大小； (2) 二面角A －BD －C 的大小
B
C
A
4. 如图平面SAC ⊥平面ACB ，ΔSAC 是边长为4的等边三角形，ΔACB 为直角三角形，∠ACB=90°，BC=42，求二面角S-AB-C 的余弦值。
4
5、正解：①正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为92+42=97
②如图1，将侧面BC 1旋转120使其与侧面AC 1在同一平面上，点P 运动到点P 1的位置，连接MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过CC 1到点M 的最短路线。
设PC ＝x ，则P 1C ＝x ，
在Rt ∆MAP 3＋x ) 2+22=29, x =2 1中，（
∴
MC P 1C 24
==, ∴NC = MA P 1A 55
③连接PP 1（如图2），则PP 1就是NMP 与平面ABC 的交线，作NH ⊥PP 1于H ，又CC 1⊥平面ABC ，连结CH ，由三垂线定理得，
NMP 与平面ABC 所成二面角的平面角。 CH ⊥PP 1。∴∠NHC 就是平面在Rt ∆PHC 中， ∠PCH =
1
∠PCP 1=60 , ∴CH =1 2
NC 4541
=，所以余弦值为 CH 541
在Rt ∆NCH 中，tan ∠NHC =
6、解：解法1：(1)如下图(1)，连结AC. 由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°得AC ＝5. 又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE. 因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD. 而PA ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE. (2)过点B 作BG ∥CD ，分别与AE 、AD 相交于点F ，G ，连结PF.
由(1)CD⊥平面PAE 知，BG ⊥平面PAE. 于是∠BPF 为直线PB 与平面PAE 所成的角， 且BG ⊥AE. 由PA ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角． 由题意∠PBA ＝∠BPF ，因为sin ∠PBA ＝
PA BF
，sin ∠BPF ＝，所以PA ＝BF. PB PB
由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC ，又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形．
故GD ＝BC ＝3. 于是AG ＝2.
在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2
AB 216858BG ⊥AF ，所以BG ＝AB ＋AG ＝25，BF ＝＝＝于是PA ＝BF ＝.
BG 555
11
又梯形ABCD 的面积为S ＝×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝×S×PA
23＝
1851285
×＝
3515
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解法2：如上图(2)，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设PA ＝h ，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，→→→
E(2,4,0)，P(0,0，h) ．(1)易知CD ＝(－4,2,0) ，AE ＝(2,4,0)，AP ＝(0,0，h) ． →→→→因为CD ·AE ＝－8＋8＋0＝0，CD ·AP ＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP. 而AP ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE. →→
(2)由题设和(1)知，CD ，PA 分别是平面PAE ，平面ABCD 的法向量．
→→
而PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos〈CD ，PB 〉|＝|cos→→⎪⎪→→⎪⎪CD ·PB PA ·PB →→
〈PA ，PB 〉|，即⎪→→＝⎪→→⎪.
|PB|⎪⎪|PA|·|PB|⎪⎪|CD|·
→→→
由(1)知，CD ＝(－4,2,0) ，PA ＝(0,0，－h) ，又PB ＝(4,0，－h) ， 5⎪－16＋0＋0⎪⎪0＋0＋h 故⎪＝. 解得h ＝. ⎪⎪5⎪216＋h ⎪⎪16＋h ⎪
1又梯形ABCD 的面积为S ＝×(5＋3)×4＝16
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1185128，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝S×PA ＝×33515
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2
1、如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面AB C1D 1的距离为 ( )
A ．1
2 B ．24 C ．22
D ．2
2、如图（20）图， α和β为平面，α⋂β=l , A ∈α, B ∈β, AB=5,A,B在棱l 上的射影分别为A ′，B ′，AA ′＝3，BB ′＝2. 若二面角α-l -β的大小为2π
3
， 求：（1）点B 到平面α的距离;
（2）异面直线l 与AB 所成的角（用反三角函数表示）. （3）求异面直线l 与AB 的距离 变式题：
已知α和β为平面，α⋂β=l , A ∈α, B ∈β, ,A,B 在棱l 上的射影分别为A ′、B ′，AA ′＝3，BB ′＝2 ，A ' B ' =3，若二面角α-l -β的大小为600
（1） 求AB 的长
（2） 异面直线l 与AB 所成的角 （3） 求异面直线l 与AB 的距离
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