【摘 要】立体几何中的二面角问题是考察学生空间想象能力的的一个重要知识点。二面角的求解方法很多，本文通过常用实例总结了几种典型的二面角求解方法，并给出了评述。
【关键词】立体几何；二面角；空间想象能力；求解方法
二面角问题是立体几何的一个重点也是难点，它的求法很多，且在各种求法中需要充分运用立体几何中的线线、线面、面面关系，教材引进空间向量后解决就更多了，因此，二面角问题具有综合性强，灵活性大的特点，这一内容也自然成为高考的热点，学生需要掌握这一问题的常用方法。
例如：如图1（a）所示，在底面是等腰直角△ABC中，∠B=90°，PA⊥面ABC，且PA=AB=BC. 求二面角B-PC-A的大小。
1 直接法
直接作出二面角的平面角来求大小，
突出一个“作”。
解法一：如图1（b），过A作AE⊥PB交PB于E，在面PBC内作EF⊥PC交PC于F，连接AF，
设PA=PB=PC=a，
∵PA⊥面ABC，且CB在面ABC内
∴PA⊥BC
∵在等腰直角△ABC中， CB⊥AB，且PA∩PB=A
∴CB⊥面PAB，且CB在面PBC内
∴面PCB⊥面PBA
∵在等腰直角△PAB中，AE⊥PB，且PB=面PAB∩面CPB
∴AE⊥面PBC，且PC在面PCB内，
∴AE⊥PC
∵PC⊥EF，且AE∩EF=E
∴PC⊥面AEF
即∠AFE就是二面角B-PC-A的平面角
∴∠AFE=60°
故二面角B-PC-A的大小为60°
点评：在二面角的棱上任取一点，然后在两个平面内分别作棱的垂线，则这两条直线所成的角即为二面角的平面角，这是利用二面角的定义来作平面角，这种方法叫也做定义法。
2 间接法
间接法就是不直接作出二面角的平面角，突出一个“不作”。
方法主要有：
1）射影面积法是常用的典型方法，如图1（c），在平面α内有一个平面图形ABC，在平面β内的平面图形OBC为平面图形ABC在平面β内的射影，设二面角的大小为θ，射影图形的面积为S射，原来图形的面积为S原，则可证明cos=S射/S原
2）向量法是将求二面角的平面角的大小转化为求两个向量的夹角或补角，如图1（d）。
3）坐标法是将求二面角的平面角的大小转化为求两个半平面的法向量的夹角或补角。如图2（a）。
解法二：射影面积法， 如图2（b）
∵面PAC⊥面ABC
过B作BD⊥AC，连结PD
∴BD⊥面PAC
∴△PDC就是△PBC在面PAC上的射影
设PA=PB=PC=a
设二面角B-PC-A的平面角为θ
∴cosθ=60°
故二面角B-PC-A的平面角为60°
点评：用此方法求二面角的平面角的大小，不需要作出二面角的平面角，但注意是二面角的角而不是异面直线夹角。
解法三：向量法
将二面角的平面角转化为向量的夹角，向量法求二面角的大小，是当前解这类题型的主要方法，近年来，在高考试题中，用向量法解立体几何题要比传统的几何方法简单一些，主要原因是它将复杂的几何问题转化为代数问题，复杂的几何证明变成了简单的代数运算。
如图2（c），过A作AE⊥PC，过B作BF⊥PC，则就是二面角B-PC-A的平面角。
设PA=AB=BC=a
故二面角B-PC-A的平面角为60°
点评：用此方法求二面角的大小，解题思路更加清晰，难度相对要小一些，不过用此方法解题时特别注意用向量方向来确定二面角的大小，关键在二面角的平面内作棱的垂线。
解法四：坐标法
坐标法就是将二面角的大小转化为两个半平面的法向量的夹角。
一般地，如果两个面的法向量所指方向均指二面角的内部或外部，那么法向量的夹角就是二面角的平面角的补角；如果两个面的法向量所指方向中，一个指向二面角内部，而另一个指向二面角的外部，那么，二面角的平面角等于法向量的夹角。
如图2（d）以A为原点，以AB为x轴的正半轴，过A作Ay∥BC， 以Ay为y轴的正半轴，过A作AP⊥面BAY，以AP为z轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系，设PA=AB=BC=a
∵A（0，0，0），C（a，a，0），B（a，0，0），p（0，0，a）
故二面角B-PC-A的平面角为60°。
点评：用平面的法向量求二面角的大小关键是要确定两个半平面的法向量，其次要根据法向量的方向来确定二面角的大小。
【参考文献】
[1]杨喜霞.对比新旧教材 谈二面角的求法[J].科学大众，2008（03）.
[2]高文友.谈“二面角”教学[J].赤峰教育学院学报，1999（02）.
[3]邹南辰.空间角度的精确计算[J].西北师范大学学报：自然科学版，1988（01）.
[4]徐霁晖.二面角与平面角：类比方法的运用[J].中国科技信息，2005（06）.
[5]张桂荣.浅谈无棱二面角的求解策略[J].赤峰教育学院学报，2003（04）.
[6]曹世国.立体几何入门：初学立体几何的障碍及解决对策[J].中国西部科技，2008（12）.
[7]彭庆涛.多彩课堂 快乐学习[J].科技资讯，2011（23）.
[8]欧阳玉先.注重过程 培养能力[J].黑龙江科技信息，2010（07）.
[9]朱兰平，刘正军.化归与转化思想在立体几何中的应用[J].科学大众，2008（07）.
[10]章如磊，邓国光.关于空间直线和平面的教学[J].江西师范大学学报：自然科学版，1978（01）.
[责任编辑：丁艳]
【摘 要】立体几何中的二面角问题是考察学生空间想象能力的的一个重要知识点。二面角的求解方法很多，本文通过常用实例总结了几种典型的二面角求解方法，并给出了评述。
【关键词】立体几何；二面角；空间想象能力；求解方法
二面角问题是立体几何的一个重点也是难点，它的求法很多，且在各种求法中需要充分运用立体几何中的线线、线面、面面关系，教材引进空间向量后解决就更多了，因此，二面角问题具有综合性强，灵活性大的特点，这一内容也自然成为高考的热点，学生需要掌握这一问题的常用方法。
例如：如图1（a）所示，在底面是等腰直角△ABC中，∠B=90°，PA⊥面ABC，且PA=AB=BC. 求二面角B-PC-A的大小。
1 直接法
直接作出二面角的平面角来求大小，
突出一个“作”。
解法一：如图1（b），过A作AE⊥PB交PB于E，在面PBC内作EF⊥PC交PC于F，连接AF，
设PA=PB=PC=a，
∵PA⊥面ABC，且CB在面ABC内
∴PA⊥BC
∵在等腰直角△ABC中， CB⊥AB，且PA∩PB=A
∴CB⊥面PAB，且CB在面PBC内
∴面PCB⊥面PBA
∵在等腰直角△PAB中，AE⊥PB，且PB=面PAB∩面CPB
∴AE⊥面PBC，且PC在面PCB内，
∴AE⊥PC
∵PC⊥EF，且AE∩EF=E
∴PC⊥面AEF
即∠AFE就是二面角B-PC-A的平面角
∴∠AFE=60°
故二面角B-PC-A的大小为60°
点评：在二面角的棱上任取一点，然后在两个平面内分别作棱的垂线，则这两条直线所成的角即为二面角的平面角，这是利用二面角的定义来作平面角，这种方法叫也做定义法。
2 间接法
间接法就是不直接作出二面角的平面角，突出一个“不作”。
方法主要有：
1）射影面积法是常用的典型方法，如图1（c），在平面α内有一个平面图形ABC，在平面β内的平面图形OBC为平面图形ABC在平面β内的射影，设二面角的大小为θ，射影图形的面积为S射，原来图形的面积为S原，则可证明cos=S射/S原
2）向量法是将求二面角的平面角的大小转化为求两个向量的夹角或补角，如图1（d）。
3）坐标法是将求二面角的平面角的大小转化为求两个半平面的法向量的夹角或补角。如图2（a）。
解法二：射影面积法， 如图2（b）
∵面PAC⊥面ABC
过B作BD⊥AC，连结PD
∴BD⊥面PAC
∴△PDC就是△PBC在面PAC上的射影
设PA=PB=PC=a
设二面角B-PC-A的平面角为θ
∴cosθ=60°
故二面角B-PC-A的平面角为60°
点评：用此方法求二面角的平面角的大小，不需要作出二面角的平面角，但注意是二面角的角而不是异面直线夹角。
解法三：向量法
将二面角的平面角转化为向量的夹角，向量法求二面角的大小，是当前解这类题型的主要方法，近年来，在高考试题中，用向量法解立体几何题要比传统的几何方法简单一些，主要原因是它将复杂的几何问题转化为代数问题，复杂的几何证明变成了简单的代数运算。
如图2（c），过A作AE⊥PC，过B作BF⊥PC，则就是二面角B-PC-A的平面角。
设PA=AB=BC=a
故二面角B-PC-A的平面角为60°
点评：用此方法求二面角的大小，解题思路更加清晰，难度相对要小一些，不过用此方法解题时特别注意用向量方向来确定二面角的大小，关键在二面角的平面内作棱的垂线。
解法四：坐标法
坐标法就是将二面角的大小转化为两个半平面的法向量的夹角。
一般地，如果两个面的法向量所指方向均指二面角的内部或外部，那么法向量的夹角就是二面角的平面角的补角；如果两个面的法向量所指方向中，一个指向二面角内部，而另一个指向二面角的外部，那么，二面角的平面角等于法向量的夹角。
如图2（d）以A为原点，以AB为x轴的正半轴，过A作Ay∥BC， 以Ay为y轴的正半轴，过A作AP⊥面BAY，以AP为z轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系，设PA=AB=BC=a
∵A（0，0，0），C（a，a，0），B（a，0，0），p（0，0，a）
故二面角B-PC-A的平面角为60°。
点评：用平面的法向量求二面角的大小关键是要确定两个半平面的法向量，其次要根据法向量的方向来确定二面角的大小。
【参考文献】
[1]杨喜霞.对比新旧教材 谈二面角的求法[J].科学大众，2008（03）.
[2]高文友.谈“二面角”教学[J].赤峰教育学院学报，1999（02）.
[3]邹南辰.空间角度的精确计算[J].西北师范大学学报：自然科学版，1988（01）.
[4]徐霁晖.二面角与平面角：类比方法的运用[J].中国科技信息，2005（06）.
[5]张桂荣.浅谈无棱二面角的求解策略[J].赤峰教育学院学报，2003（04）.
[6]曹世国.立体几何入门：初学立体几何的障碍及解决对策[J].中国西部科技，2008（12）.
[7]彭庆涛.多彩课堂 快乐学习[J].科技资讯，2011（23）.
[8]欧阳玉先.注重过程 培养能力[J].黑龙江科技信息，2010（07）.
[9]朱兰平，刘正军.化归与转化思想在立体几何中的应用[J].科学大众，2008（07）.
[10]章如磊，邓国光.关于空间直线和平面的教学[J].江西师范大学学报：自然科学版，1978（01）.
[责任编辑：丁艳]