二面角求法

二面角

一、定义法

1、若p是△ABC所在平面外一点，△ABC和△pBC都是边长为2

的正三角形。PA大小_______。答案；90

1

2、ABCD-A1B1C1D1是正方体，截面A1BD和截面C1BD所成二面角的余弦值_______。答案；

3

3、如图，二面角PQ中，点A和点B分别在平面和平面内。点C在棱PQ上，ACPBCP30，

PBCA的

CACBa，

AB

，求二面角PQ的大小。 答案；120

4、 三棱锥A－BCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝a， BD

，求二面角A－BD－C的大小． [解析] 取BD的中点为O，分别连AO、CO ∵AB＝AD，BC＝CD ∴AO⊥BD，CO⊥BD ∴∠AOC为二面角A－BD－C的平面角

∴OA2＋OC2＝AC2 ∴∠AOC＝90° 即二面角A－BD－C的大小为90°.

5、平面P内有一个圆，直径为AB，过A作SA⊥平面P，C为 上任意一点，连结SB、SC，

(1)求证：平面SAC⊥平面SBC；(2)若A在SB、SC上的射影分别为E、F，求证：∠AEF为二面角C－SB－A的平面角．

[解析] (1)∵SA⊥平面P，BC⊂平面P，∴SA⊥BC.

又AB为圆的直径，故BC⊥AC， 因此BC⊥平面SAC，可得平面SAC⊥平面SBC. (2)∵BC⊥平面SAC，AF⊂平面SAC，∴BC⊥AF， 又∵AF⊥SC，SC∩BC＝C， ∴AF⊥平面SBC，

∴AF⊥SB.又AE⊥SB，∴SB⊥平面AEF. ∴∠AEF为二面角C－SB－A的平面角． 二、利用棱的垂面求二面角

6、已知在60的二面角L内有一点P，它到、的距离分别为PA3,PB5，求P到棱L的距离。

7、变式：（1）PA3,PB5,AB7，求二面角L大小 。答案；60 另一种不成立

（2

）PAPB4,PQL大小。 答案；75或15

00

分P在AQB内和在AQB外两种情况

P

8．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为( )

A．30°

αAQB

β

B．60° C．30°或150° D．60°或120°

[答案] D

[解析] 如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC， 设平面ABC∩l＝D，

则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角， ∵AB＝6，BC＝3，

∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°， ∴二面角大小为60°或120°.

9、过正方形ABCD的顶点A作SA面ABCD，并使面SBC，面SCD与底面ABCD都成45。求二面角B-S-D的大小。

答案。120

10、若p是等边△ABC

所在平面外一点，ABPAPBPC5.求二面角PABC和C-PA-B的大小余弦值。

7 32B．30° C．60°

D．90°

11．ABCD是正方形，以BD为棱把它折成直二面角A－BD－C，E为CD的中点，则∠AED的大小为( )

A．45° [答案] D

[解析] 设BD中点为F，则AF⊥BD，CF⊥BD ∴∠AFC＝90°，∴AF⊥面BCD ∵E、F分别为CD、BD的中点， ∴EF∥BC，

∵BC⊥CD，∴CD⊥EF，

又AF⊥CD，∴CD⊥平面AEF，∴CD⊥AE.故选D. 12．如图，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝a.

(1)二面角A－PD－C的度数为________； (2)二面角B－PA－D的度数为________； (3)二面角B－PA－C的度数为________； (4)二面角B－PC－D的度数为________． [答案] 90°；90°；45°；120°

[解析] (1)PA⊥平面ABCD ∴PA⊥CD

又ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，

又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD， ∴二面角A－PD－C为90°.

(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA ∴∠BAD为二面角B－AP－D的平面角 又∠BAD＝90°，∴二面角B－AP－D为90° (3)PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA ∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角 又ABCD为正方形，∴∠BAC＝45° 即二面角B－PA－C为45° (4)作BE⊥PC于E，连DE

则由△PBC≌△PDC知∠BPE＝∠DPE 从而△PBE≌△PDE

∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE ∴∠BED为二面角B－PC－D的平面角 ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC， ∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB， PB·BC6∴BE＝＝a，BD＝2a

PC3

BO3

∴取BD中点O，则sin∠BEO＝＝，

BE2∴∠BEO＝60°，∴∠BED＝120° ∴二面角B－PC－D的度数为120°.

13．已知二面角α－AB－β为120°，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝AC＝BD＝a，则

(1)CD的长为________； (2)CD与AB所成的角为________． [答案] (1)2a (2)60°

[解析] 在平面β内，作AD′綊BD，连DD′，则DD′綊AB (1)∵AC⊥AB，D′A⊥AB，

∴∠D′AC为二面角α－AB－β的平面角 即∠D′AC＝120° ∵AB＝AC＝BD＝a，∴CD′3a

又AB⊥平面ACD′，DD′∥AB，∴DD′⊥平面ACD′ ∴DD′⊥D′C，又DD′＝a ∴CDDD′＋D′C＝2a (2)∵DD′∥AB

∴∠D′DC为异面直线CD与AB所成的角

在Rt△DD′C中，DD′＝a，CD＝2a ∴∠D′DC＝60°，即CD与AB所成的角为60°.

14.(08·湖南)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3.(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A－BE－P的大小．

[解析] (1)如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB，又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.

又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.

(2)由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角． 在Rt△PAB中，tan∠PBA＝∠PBA＝60°.

故二面角A－BE－P的大小是60°.

15．把等腰直角△ABC沿斜边BC上的高线AD折成一个二面角，此时∠BAC＝60°，那么此二面角的大小是__________． [答案] 90° [解析] 设AB＝a

∵AB＝AC，∠BAC＝60° ∴BC＝a，又BD＝DC＝∴∠BDC＝90° 又BD⊥AD，AD⊥CD

∴∠BDC为二面角B－AD－C的平面角． 故填90°. 三、三垂线法求二面角

16、 如图：一山坡的坡面与水平面成30°的二面角，坡面上有一直道AB，它和坡脚的水平线成30°的角，沿这山路行走20米后升高了多少米？

[解析] 如图，作BH⊥水平面，垂足为H，过H作HC⊥坡脚线，垂足为C，连BC，则∠BAC＝30°，由BH⊥AC，HC⊥AC知，AC⊥平面BHC，从而BC⊥AC ∴∠BCH为坡面与水平面所成二面角的平面角 ∴∠BCH＝30°

在Rt△ABC中和Rt△BCH中， ∵AB＝20 ∴BC＝10，∴BH＝5(米)， 答：升高了5米．

PA

3， AB

2 2

17、如果PA面ABC，AB⊥BC，PA=AB=

1

ACa，求二面角APCB的正切值。

2

答案：

4

18、 如图，已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB，SB＝BC，E是SC的中点，DE⊥SC交AC于D.求二面角E－BD－C的大小．

[解析]

BS＝BC

⇒SC⊥BE

SE＝EC

SC⊥DE



⇒SC⊥平面BED 

⇒SC⊥BD

SA⊥平面ABC

BD⊂平面ABC

⇒SA⊥BD



⇒BD⊥平面SAC ⇒∠EDC为二面角E－BD－C的平面角． 

设SA＝a，则SB＝BC

，∵BC⊥AB，SA⊥平面ABC，∴BC⊥SB.

∴SC＝2a，∠SCD＝30°，∴∠EDC＝60°，即二面角E－BD－C的大小是60°.

19、正方体A1B1C1D1－ABCD的棱长为1，p是AD的中点。求二面角ABD1P的大小。 答案；30°

20、已知△BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，AB面BCD，BAD=60，求二面角CADB的正切值。 答案；2

21、 如图，过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA＝AB＝a，求平面PAB和平面PCD所成二面角的大小． [解析] 过P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥PQ ∴PQ为平面PCD与平面PAD所成二面角的棱， ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB， 又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD， 又∵PQ∥AB，∴PQ⊥平面PAD， ∴∠APD为二面角D－PQ－A的平面角． ∵AD＝AB＝PA，∠PAD＝Rt∠，∴∠APD＝45°， 即平面PAB与平面PCD所成二面角大小为45°.

总结评述：此题易证AB⊥平面APD，∵PQ∥AB，∴PQ⊥平面APD.PA与PD是垂直于二面角的棱PQ的平面与二面角的两个面PAB和PDC的交线，这两条交线所成的角，就是二面角的平面角．也就是说，作一个平面与二面角的棱垂直，这个平面与二面角的两个面的两条交线所成的角为二面角的平面角或其补角． 解法探究：如下图将原图形补成正方体ABCD－PQRS，那么本例的解题途径 能更简捷地得到，这种补形法是解决空间问题的一种重要方法．

22、（中山2011届高三上期末统考）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，

角. BAD90,AD//BC,ABBCa，AD2a,PA底面ABCD,PD与底面成30°

（1）若AEPD,E为垂足，求证：BEPD；

（2）在（1）的条件下，求异面直线AE与CD所成角的余弦值； （3）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值.

解：（1）BAD90,



PA底面ABCD,

BAAD

BAPA.又PAADA,BA平面PAD.

PD平面PAD.PDBA.PDBE,即BEPD.

又PDAE,且BAAEA,PD平面BAE.

（2）过点E作EM//CD交PC于M，连结AM，则AE与ME所成角即为AE与CD所成角.



PA底面ABCD,且PD与底面ABCD成30角.PDA30.在RtPAD中,PAD90,PDA30,AD2aPA

,PD.

2

2a)2

PAADPAAEa.PE,CD.PDPDCDPEME.PD连结AC.在ACD中AD2a,AC,CD,AD2AC2CD2,

ACD90,CDAC,MEAC.MEPA.

MEAE又PA底面ABCD,PACD,ME平面PAC.

MA平面PAC,MEAM.在RtAME中,cosMEA

∴异面直线AE与CD所成角的余弦值为

2

4

（3）延长AB与DC相交于G点，连PG，则面PAB

与面PCD的交线为PG，易知CB⊥平面PAB，过B作BFPG于F点,连CF,则CFPG,

CFB为二面角CPGA的平面角,CB//

1

AD,

2

,AG2a. 1aa

PGA30,BFGB,tanBFC2,

a22

2GB= ABa,PDA30,PA

∴平面PAB与平面PCD所成的二面角的正切值为2.

23.如图，在底面是直角梯形的四棱锥PABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90

°，且

sinADC

，又PA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝3PA＝3a。

求(1) 二面角PCDA的正切值。(2)面PCD与面PAB的二面角的正切值。(3) 求点A到平面PBC的距离。

答案；2 (3) a

2 解：（1）在底面ABCD内，过A作AE⊥CD，垂足为E，连结PE

∵PA⊥平面ABCD，由三垂线定理知：PE⊥CD ∵∠PEA是二面角P—CD—A的平面角

在RtAED中，AD3a，AEADsinADE

35

a 在RtPAE中，tanPEA

PAAE

3∴二面角P—CD—A的正切值为3

（3）在平面APB中，过A作AH⊥PB，垂足为H∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC

又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB∴平面PBC⊥平面PAB

∴AH⊥平面PBC 故AH的长即为点A到平面PBC的距离

在等腰直角三角形PAB中，AH

2a，所以点A到平面PBC的距离为22

a 24. 如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为a，D为CC1的中点. (1)求证：A1B⊥平面AB1D.

(2)求平面A1BD与平面ABC所成二面角的度数

.

解析：这虽是一个棱柱，但所要论证的线面关系以及二面角的度数，都还是要利用直线和平面中的有关知识. 解 (1)∵正三棱柱的各棱长都相等， ∴侧面ABB1A1是正方形. ∴A1B⊥AB1.连DE， ∵ΔBCD≌ΔA1C1D，

∴BD＝A1D，而E为A1B的中点， A1B⊥DE.∴A1B⊥平面AB1D.

(2)延长A1D与AC的延长线交于S，连BS，则BS为平面A1BD和平面ABC所成二面角的公共棱. ∵DC∥A1A，且D为CC1的中点，∴AC＝CS.

又AB＝BC＝CA＝CS，∴∠ABS＝90°.又AB是A1B在底面上的射影，由三垂线定理得A1B⊥BS.

∴∠A1BA就是二面角A1—BS—A的平面角. ∵∠A1BA＝45°，

∴平面A1BD和平面ABC所成的二面角为45°.

评注：本题(2)的关键是根据公理二求平面A1BD和平面ABC的交线，在论证AB⊥BS时，用到了直角三角形斜边上的中线性质定理的逆定理.当然(2)还可以用S射＝S²cosθ来解θ.

25．等边三角形ABC的边长为4，M、N分别为AB、AC的中点，沿MN将△AMN折起，使得面AMN与面MNCB所成的二面角为30°，则四棱锥A－MNCB的体积为( )

3

A. 2

B.

3

C.3 2

D．3

[答案] A [解析] 在平面图形中如图(1)，过A作AL使AL⊥BC，AL交MN于K，则AK⊥MN，KL

⊥MN.

(1) (2)

所以图(2)中∠AKL＝30°.则四棱锥A－MNBC的高h＝AK·sin30°＝133VA－MNBC＝·33³.

322

333

S四边形BCNM＝³42³33， 244

26、二面角L的大小为45°，直线AB在平面内，AB与L所成的角为45°，则AB与所成的角为__________． 答案30°

27、A，B是二面角L的棱L上两点，P是面内一点，PBL于点B，PA与L所成的角为45°和面所成的角为30°，则二面角L的大小为__________．

答案45°或135°

2章末归纳总结

1． 知识结构

2.规律方法总结 (1)证点共线：常证明点在两个平面的交线上．

(2)证点线共面：常先据公理二及其推论确定一个平面，再证其它元素都在这个平面内． (3)证线线平行：常用公理4、线面平行的性质、面面平行的性质、两直线与同一平面垂直． (4)证线面平行：常用线面平行的判定定理，线面平行的定义．

(5)证面面平行：常用判定定理、定义、推论或证两平面和同一条直线垂直，有时也用两平面与同一平面平行． (6)证线线垂直：常用两直线所成的角是直角、线面垂直的性质、面面垂直的性质． (7)证线面垂直：常用判定定理、定义． (8)证面面垂直：常用判定定理、定义．

(9)求二面角、直线与直线所成角：常先作出角然后组成三角形，并通过解三角形求角． 3．空间中的垂直关系、平行关系的判定方法归纳如下：表1 直线与直线平行

表2 直线与平面平行

表3 两平面平行

表5 平面与平面垂直

表4 直线与平面垂直

4.本章所涉及的一些思想方法：

(1)数学研究的对象有两大块——数量关系和空间形式．其中¡°空间形式¡±主要是由几何研究的．立体几何是训练逻辑推理能力和空间想像能力的好素材．在训练发展思维能力和空间想象能力上，具有其它内容不可替代的作用． 第一章从对空间几何体的整体观察入手，遵循从整体到局部、具体到抽象的原则，通过直观感知认识空间图形． 本章在第一章直观感知的基础上进行系统的理论研究．以四个公理为基础，通过定义定理的形式，构建立体几何的大厦．通过学习逐步形成和发展几何直观能力和空间想象能力，以及运用几何语言、图形语言进行交流的能力．

立体几何在中学数学中的重要地位还表现在它与平面几何、集合、函数、方程的联系上．贯穿于立体几何中的化归思想、分类讨论思想、数形结合思想以及立体几何特有的平移法、正投影法、体积法、展开法、翻折法、割补法等都极

大地丰富了中学数学的思想和方法． (2)深刻体会转化思想

立体几何中最重要的最常用的思想就是化归与转化思想．

②点面距、线面距、面面距、点线距等它们之间也可相互转化，例如求点面距时，可沿平行线平移，点面距→线面距→点面距；或沿平面的斜线转移，例如求A到平面α的距离，AB与α相交于点B，P为AB中点，就可转化为求P到平面α的距离等等．

③通过将几何体补形或分割为常见的基本几何体，通过等体积变换，使问题变为可求的转化策略．

④通过添加辅助线面，将空间问题化为平面几何问题的降维转化策略．

(3)逐步体会、掌握立体几何特有的方法．

①平移，沿平行线转移，沿平面的斜线转移，沿平面转移等． ②平行投影与中心投影，特别是正投影． ③等积变换与割补．

④展开、卷起、折叠、旋转．

数学思想与方法不是孤立的，不能截然分离开来，在数学思想指导下研究解决具体问题的方法，而研究解决问题的方法过程中又丰富了数学思想．

(4)类比的方法，类比平面几何的一些结论，可猜想立体几何的一些结论，从而提供思维的方向．

二面角

一、定义法

1、若p是△ABC所在平面外一点，△ABC和△pBC都是边长为2

的正三角形。PA大小_______。答案；90

1

2、ABCD-A1B1C1D1是正方体，截面A1BD和截面C1BD所成二面角的余弦值_______。答案；

3

3、如图，二面角PQ中，点A和点B分别在平面和平面内。点C在棱PQ上，ACPBCP30，

PBCA的

CACBa，

AB

，求二面角PQ的大小。 答案；120

4、 三棱锥A－BCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝a， BD

，求二面角A－BD－C的大小． [解析] 取BD的中点为O，分别连AO、CO ∵AB＝AD，BC＝CD ∴AO⊥BD，CO⊥BD ∴∠AOC为二面角A－BD－C的平面角

∴OA2＋OC2＝AC2 ∴∠AOC＝90° 即二面角A－BD－C的大小为90°.

5、平面P内有一个圆，直径为AB，过A作SA⊥平面P，C为 上任意一点，连结SB、SC，

(1)求证：平面SAC⊥平面SBC；(2)若A在SB、SC上的射影分别为E、F，求证：∠AEF为二面角C－SB－A的平面角．

[解析] (1)∵SA⊥平面P，BC⊂平面P，∴SA⊥BC.

又AB为圆的直径，故BC⊥AC， 因此BC⊥平面SAC，可得平面SAC⊥平面SBC. (2)∵BC⊥平面SAC，AF⊂平面SAC，∴BC⊥AF， 又∵AF⊥SC，SC∩BC＝C， ∴AF⊥平面SBC，

∴AF⊥SB.又AE⊥SB，∴SB⊥平面AEF. ∴∠AEF为二面角C－SB－A的平面角． 二、利用棱的垂面求二面角

6、已知在60的二面角L内有一点P，它到、的距离分别为PA3,PB5，求P到棱L的距离。

7、变式：（1）PA3,PB5,AB7，求二面角L大小 。答案；60 另一种不成立

（2

）PAPB4,PQL大小。 答案；75或15

00

分P在AQB内和在AQB外两种情况

P

8．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为( )

A．30°

αAQB

β

B．60° C．30°或150° D．60°或120°

[答案] D

[解析] 如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC， 设平面ABC∩l＝D，

则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角， ∵AB＝6，BC＝3，

∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°， ∴二面角大小为60°或120°.

9、过正方形ABCD的顶点A作SA面ABCD，并使面SBC，面SCD与底面ABCD都成45。求二面角B-S-D的大小。

答案。120

10、若p是等边△ABC

所在平面外一点，ABPAPBPC5.求二面角PABC和C-PA-B的大小余弦值。

7 32B．30° C．60°

D．90°

11．ABCD是正方形，以BD为棱把它折成直二面角A－BD－C，E为CD的中点，则∠AED的大小为( )

A．45° [答案] D

[解析] 设BD中点为F，则AF⊥BD，CF⊥BD ∴∠AFC＝90°，∴AF⊥面BCD ∵E、F分别为CD、BD的中点， ∴EF∥BC，

∵BC⊥CD，∴CD⊥EF，

又AF⊥CD，∴CD⊥平面AEF，∴CD⊥AE.故选D. 12．如图，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝a.

(1)二面角A－PD－C的度数为________； (2)二面角B－PA－D的度数为________； (3)二面角B－PA－C的度数为________； (4)二面角B－PC－D的度数为________． [答案] 90°；90°；45°；120°

[解析] (1)PA⊥平面ABCD ∴PA⊥CD

又ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，

又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD， ∴二面角A－PD－C为90°.

(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA ∴∠BAD为二面角B－AP－D的平面角 又∠BAD＝90°，∴二面角B－AP－D为90° (3)PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA ∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角 又ABCD为正方形，∴∠BAC＝45° 即二面角B－PA－C为45° (4)作BE⊥PC于E，连DE

则由△PBC≌△PDC知∠BPE＝∠DPE 从而△PBE≌△PDE

∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE ∴∠BED为二面角B－PC－D的平面角 ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC， ∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB， PB·BC6∴BE＝＝a，BD＝2a

PC3

BO3

∴取BD中点O，则sin∠BEO＝＝，

BE2∴∠BEO＝60°，∴∠BED＝120° ∴二面角B－PC－D的度数为120°.

13．已知二面角α－AB－β为120°，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝AC＝BD＝a，则

(1)CD的长为________； (2)CD与AB所成的角为________． [答案] (1)2a (2)60°

[解析] 在平面β内，作AD′綊BD，连DD′，则DD′綊AB (1)∵AC⊥AB，D′A⊥AB，

∴∠D′AC为二面角α－AB－β的平面角 即∠D′AC＝120° ∵AB＝AC＝BD＝a，∴CD′3a

又AB⊥平面ACD′，DD′∥AB，∴DD′⊥平面ACD′ ∴DD′⊥D′C，又DD′＝a ∴CDDD′＋D′C＝2a (2)∵DD′∥AB

∴∠D′DC为异面直线CD与AB所成的角

在Rt△DD′C中，DD′＝a，CD＝2a ∴∠D′DC＝60°，即CD与AB所成的角为60°.

14.(08·湖南)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3.(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A－BE－P的大小．

[解析] (1)如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB，又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.

又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.

(2)由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角． 在Rt△PAB中，tan∠PBA＝∠PBA＝60°.

故二面角A－BE－P的大小是60°.

15．把等腰直角△ABC沿斜边BC上的高线AD折成一个二面角，此时∠BAC＝60°，那么此二面角的大小是__________． [答案] 90° [解析] 设AB＝a

∵AB＝AC，∠BAC＝60° ∴BC＝a，又BD＝DC＝∴∠BDC＝90° 又BD⊥AD，AD⊥CD

∴∠BDC为二面角B－AD－C的平面角． 故填90°. 三、三垂线法求二面角

16、 如图：一山坡的坡面与水平面成30°的二面角，坡面上有一直道AB，它和坡脚的水平线成30°的角，沿这山路行走20米后升高了多少米？

[解析] 如图，作BH⊥水平面，垂足为H，过H作HC⊥坡脚线，垂足为C，连BC，则∠BAC＝30°，由BH⊥AC，HC⊥AC知，AC⊥平面BHC，从而BC⊥AC ∴∠BCH为坡面与水平面所成二面角的平面角 ∴∠BCH＝30°

在Rt△ABC中和Rt△BCH中， ∵AB＝20 ∴BC＝10，∴BH＝5(米)， 答：升高了5米．

PA

3， AB

2 2

17、如果PA面ABC，AB⊥BC，PA=AB=

1

ACa，求二面角APCB的正切值。

2

答案：

4

18、 如图，已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB，SB＝BC，E是SC的中点，DE⊥SC交AC于D.求二面角E－BD－C的大小．

[解析]

BS＝BC

⇒SC⊥BE

SE＝EC

SC⊥DE



⇒SC⊥平面BED 

⇒SC⊥BD

SA⊥平面ABC

BD⊂平面ABC

⇒SA⊥BD



⇒BD⊥平面SAC ⇒∠EDC为二面角E－BD－C的平面角． 

设SA＝a，则SB＝BC

，∵BC⊥AB，SA⊥平面ABC，∴BC⊥SB.

∴SC＝2a，∠SCD＝30°，∴∠EDC＝60°，即二面角E－BD－C的大小是60°.

19、正方体A1B1C1D1－ABCD的棱长为1，p是AD的中点。求二面角ABD1P的大小。 答案；30°

20、已知△BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，AB面BCD，BAD=60，求二面角CADB的正切值。 答案；2

21、 如图，过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA＝AB＝a，求平面PAB和平面PCD所成二面角的大小． [解析] 过P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥PQ ∴PQ为平面PCD与平面PAD所成二面角的棱， ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB， 又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD， 又∵PQ∥AB，∴PQ⊥平面PAD， ∴∠APD为二面角D－PQ－A的平面角． ∵AD＝AB＝PA，∠PAD＝Rt∠，∴∠APD＝45°， 即平面PAB与平面PCD所成二面角大小为45°.

总结评述：此题易证AB⊥平面APD，∵PQ∥AB，∴PQ⊥平面APD.PA与PD是垂直于二面角的棱PQ的平面与二面角的两个面PAB和PDC的交线，这两条交线所成的角，就是二面角的平面角．也就是说，作一个平面与二面角的棱垂直，这个平面与二面角的两个面的两条交线所成的角为二面角的平面角或其补角． 解法探究：如下图将原图形补成正方体ABCD－PQRS，那么本例的解题途径 能更简捷地得到，这种补形法是解决空间问题的一种重要方法．

22、（中山2011届高三上期末统考）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，

角. BAD90,AD//BC,ABBCa，AD2a,PA底面ABCD,PD与底面成30°

（1）若AEPD,E为垂足，求证：BEPD；

（2）在（1）的条件下，求异面直线AE与CD所成角的余弦值； （3）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值.

解：（1）BAD90,



PA底面ABCD,

BAAD

BAPA.又PAADA,BA平面PAD.

PD平面PAD.PDBA.PDBE,即BEPD.

又PDAE,且BAAEA,PD平面BAE.

（2）过点E作EM//CD交PC于M，连结AM，则AE与ME所成角即为AE与CD所成角.



PA底面ABCD,且PD与底面ABCD成30角.PDA30.在RtPAD中,PAD90,PDA30,AD2aPA

,PD.

2

2a)2

PAADPAAEa.PE,CD.PDPDCDPEME.PD连结AC.在ACD中AD2a,AC,CD,AD2AC2CD2,

ACD90,CDAC,MEAC.MEPA.

MEAE又PA底面ABCD,PACD,ME平面PAC.

MA平面PAC,MEAM.在RtAME中,cosMEA

∴异面直线AE与CD所成角的余弦值为

2

4

（3）延长AB与DC相交于G点，连PG，则面PAB

与面PCD的交线为PG，易知CB⊥平面PAB，过B作BFPG于F点,连CF,则CFPG,

CFB为二面角CPGA的平面角,CB//

1

AD,

2

,AG2a. 1aa

PGA30,BFGB,tanBFC2,

a22

2GB= ABa,PDA30,PA

∴平面PAB与平面PCD所成的二面角的正切值为2.

23.如图，在底面是直角梯形的四棱锥PABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90

°，且

sinADC

，又PA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝3PA＝3a。

求(1) 二面角PCDA的正切值。(2)面PCD与面PAB的二面角的正切值。(3) 求点A到平面PBC的距离。

答案；2 (3) a

2 解：（1）在底面ABCD内，过A作AE⊥CD，垂足为E，连结PE

∵PA⊥平面ABCD，由三垂线定理知：PE⊥CD ∵∠PEA是二面角P—CD—A的平面角

在RtAED中，AD3a，AEADsinADE

35

a 在RtPAE中，tanPEA

PAAE

3∴二面角P—CD—A的正切值为3

（3）在平面APB中，过A作AH⊥PB，垂足为H∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC

又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB∴平面PBC⊥平面PAB

∴AH⊥平面PBC 故AH的长即为点A到平面PBC的距离

在等腰直角三角形PAB中，AH

2a，所以点A到平面PBC的距离为22

a 24. 如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为a，D为CC1的中点. (1)求证：A1B⊥平面AB1D.

(2)求平面A1BD与平面ABC所成二面角的度数

.

解析：这虽是一个棱柱，但所要论证的线面关系以及二面角的度数，都还是要利用直线和平面中的有关知识. 解 (1)∵正三棱柱的各棱长都相等， ∴侧面ABB1A1是正方形. ∴A1B⊥AB1.连DE， ∵ΔBCD≌ΔA1C1D，

∴BD＝A1D，而E为A1B的中点， A1B⊥DE.∴A1B⊥平面AB1D.

(2)延长A1D与AC的延长线交于S，连BS，则BS为平面A1BD和平面ABC所成二面角的公共棱. ∵DC∥A1A，且D为CC1的中点，∴AC＝CS.

又AB＝BC＝CA＝CS，∴∠ABS＝90°.又AB是A1B在底面上的射影，由三垂线定理得A1B⊥BS.

∴∠A1BA就是二面角A1—BS—A的平面角. ∵∠A1BA＝45°，

∴平面A1BD和平面ABC所成的二面角为45°.

评注：本题(2)的关键是根据公理二求平面A1BD和平面ABC的交线，在论证AB⊥BS时，用到了直角三角形斜边上的中线性质定理的逆定理.当然(2)还可以用S射＝S²cosθ来解θ.

25．等边三角形ABC的边长为4，M、N分别为AB、AC的中点，沿MN将△AMN折起，使得面AMN与面MNCB所成的二面角为30°，则四棱锥A－MNCB的体积为( )

3

A. 2

B.

3

C.3 2

D．3

[答案] A [解析] 在平面图形中如图(1)，过A作AL使AL⊥BC，AL交MN于K，则AK⊥MN，KL

⊥MN.

(1) (2)

所以图(2)中∠AKL＝30°.则四棱锥A－MNBC的高h＝AK·sin30°＝133VA－MNBC＝·33³.

322

333

S四边形BCNM＝³42³33， 244

26、二面角L的大小为45°，直线AB在平面内，AB与L所成的角为45°，则AB与所成的角为__________． 答案30°

27、A，B是二面角L的棱L上两点，P是面内一点，PBL于点B，PA与L所成的角为45°和面所成的角为30°，则二面角L的大小为__________．

答案45°或135°

2章末归纳总结

1． 知识结构

2.规律方法总结 (1)证点共线：常证明点在两个平面的交线上．

(2)证点线共面：常先据公理二及其推论确定一个平面，再证其它元素都在这个平面内． (3)证线线平行：常用公理4、线面平行的性质、面面平行的性质、两直线与同一平面垂直． (4)证线面平行：常用线面平行的判定定理，线面平行的定义．

(5)证面面平行：常用判定定理、定义、推论或证两平面和同一条直线垂直，有时也用两平面与同一平面平行． (6)证线线垂直：常用两直线所成的角是直角、线面垂直的性质、面面垂直的性质． (7)证线面垂直：常用判定定理、定义． (8)证面面垂直：常用判定定理、定义．

(9)求二面角、直线与直线所成角：常先作出角然后组成三角形，并通过解三角形求角． 3．空间中的垂直关系、平行关系的判定方法归纳如下：表1 直线与直线平行

表2 直线与平面平行

表3 两平面平行

表5 平面与平面垂直

表4 直线与平面垂直

4.本章所涉及的一些思想方法：

(1)数学研究的对象有两大块——数量关系和空间形式．其中¡°空间形式¡±主要是由几何研究的．立体几何是训练逻辑推理能力和空间想像能力的好素材．在训练发展思维能力和空间想象能力上，具有其它内容不可替代的作用． 第一章从对空间几何体的整体观察入手，遵循从整体到局部、具体到抽象的原则，通过直观感知认识空间图形． 本章在第一章直观感知的基础上进行系统的理论研究．以四个公理为基础，通过定义定理的形式，构建立体几何的大厦．通过学习逐步形成和发展几何直观能力和空间想象能力，以及运用几何语言、图形语言进行交流的能力．

立体几何在中学数学中的重要地位还表现在它与平面几何、集合、函数、方程的联系上．贯穿于立体几何中的化归思想、分类讨论思想、数形结合思想以及立体几何特有的平移法、正投影法、体积法、展开法、翻折法、割补法等都极

大地丰富了中学数学的思想和方法． (2)深刻体会转化思想

立体几何中最重要的最常用的思想就是化归与转化思想．

②点面距、线面距、面面距、点线距等它们之间也可相互转化，例如求点面距时，可沿平行线平移，点面距→线面距→点面距；或沿平面的斜线转移，例如求A到平面α的距离，AB与α相交于点B，P为AB中点，就可转化为求P到平面α的距离等等．

③通过将几何体补形或分割为常见的基本几何体，通过等体积变换，使问题变为可求的转化策略．

④通过添加辅助线面，将空间问题化为平面几何问题的降维转化策略．

(3)逐步体会、掌握立体几何特有的方法．

①平移，沿平行线转移，沿平面的斜线转移，沿平面转移等． ②平行投影与中心投影，特别是正投影． ③等积变换与割补．

④展开、卷起、折叠、旋转．

数学思想与方法不是孤立的，不能截然分离开来，在数学思想指导下研究解决具体问题的方法，而研究解决问题的方法过程中又丰富了数学思想．

(4)类比的方法，类比平面几何的一些结论，可猜想立体几何的一些结论，从而提供思维的方向．