1 引言
众所周知，热力学的许多原理通常表述为能量从一种形式转化为另一种形式的不可能性。例如，热力学第二定律的开尔文表述是：通过一个热力学循环，不可能从一个单一热源提取能量做功，而不对外界产生影响。在与日常生活相关的经典、宏观领域，这个定律得到迄今为止所有实验的支持，业已成为一个常识性的真理。但是，怎样从微观角度理解热力学第二定律却经常是莫衷一是，众说纷纭，甚至会导致一些违反这一常识性真理的永动机设想的产生。特别是将它应用到计算科学领域时，其间的一些说辞更是有失严谨，例如，改进材料性能可以使计算机不消耗能量不散热。要回答计算过程原理上是否需要消耗能量，就必须了解当代与麦克斯韦妖(Maxwell’s demon)佯谬相关的热力学科学前沿的发展。
麦克斯韦妖是理想实验中的智慧精灵。在麦克斯韦假想实验中，它可以区分容器中每个分子的速度，并据此打开和关闭容器中间隔板上的阀门，使得原本温度均匀分布的气体分子最终按高、低两种速度分别分布于隔板的两边，从而在隔板两边形成温度差(见图1)。置于它们之间的热机随后就会通过完成热力学循环对外做功。在这个过程中，外界没有对妖怪做功，妖怪和系统也没有发生能量交换。乍一看来，麦克斯韦妖的存在使得热量从低温热库流向高温热库，而没有产生任何其他后果。因此，表面上看，热力学第二定律(克劳修斯表述)可以被违反，第二类永动机就有可能出现。
图1 麦克斯韦妖示意图(取自维基百科网站)。其中绿色图标代表麦克斯韦妖，蓝色和红色分别代表低速和高速运动的分子。由于妖怪的干预，开始均匀分布的气体分子最后被分割开来。快速(高温)的分子全部到右边，慢速(低温)的分子全部到左边
然而当代研究表明，这种违反热力学第二定律的结论只是一个佯谬。麦克斯韦妖必须作为热机工作物质的一部分参与热力学循环。在上述描述中，存贮于麦克斯韦妖记忆体(存储单元)中关于气体分子速度的信息没有被擦除，热力学循环本质上并没有完成。根据兰道尔(R. Landauer)原理，擦除一个比特信息在平衡态时至少要消耗能量kTln2~10-21J(这里k 是玻尔兹曼常数，T 是环境温度)。这是因为每擦除1 bit 信息，环境中的熵将增加kln2。这里的熵增最终会补偿前面的热流引起的熵减少。因此，即使自然界存在无所不能的麦克斯韦妖，也绝不会存在第二类永动机。由于现有的普适的计算过程必然包括擦除信息的初始化过程，这就意味着必然要消耗一定的能量。兰道尔原理本质上也预言了现有计算过程能量消耗一定存在下界约束。在现有的计算框架下，无论怎样改进器件的物理性能，都不能破坏这个下界。这是热力学第二定律的要求。在过去的五十年中，这个预言激发人们去不断探索超越现有计算技术物理极限的可能性，从而导致了可逆计算和量子计算等前沿科学领域的兴起。
本文结合当代热力学发展的前沿科学问题，从麦克斯韦(J. C. Maxwell)最早提出的热力学佯谬谈起，并论及希拉德(L. Szilard)利用单分子热机模型对此热力学佯谬进行的精确表述，然后给出兰道尔原理一个直观的证明，以演示信息擦除为什么必定要耗功并产生热，使得热力学对计算过程施加一个物理极限。我们还以单分子热机为例，阐述贝奈特(C. H. Bennett)是怎样从可逆计算的研究受到启发，利用兰道尔信息擦除原理解决麦克斯韦佯谬的。最后，我们还指出，正是这些探索，促使了人们开始量子信息和量子计算的研究。
2 麦克斯韦妖假想实验挑战热力学第二定律
1871 年，麦克斯韦在他出版的《热理论》(Theory of Heat)一书的一章中，讨论了热力学第二定律的局限性。他设想有一个充满气体、温度均匀的容器(如图1)，容器中间有一个隔板，把容器分成A和B两个区域，隔板上有一个阀门。另外，有一个今天被称为麦克斯韦妖(Maxwell’s demon)的想象中的精灵，它能够观察气体中每个分子的速度，并能够自由地打开和关闭这个阀门。我们可以假设，在理想情况下，打开和关闭阀门都不做功。所以，它可以让较快的分子从A到B，而让较慢的分子从B到A。经过足够长的时间以后，容器中的A区温度变低，而B区温度变高。从而使处于A和B之间热机可以利用两边温度差对外做功。把麦克斯韦妖和热机集成为一个整体，似乎形成了一个违反第二定律的永动机——第二类永动机，实现了从单一热源吸热做功。
麦克斯韦由此认为，如果存在这种智慧精灵，那么热力学第二定律有可能被违反。麦克斯韦本来是想通过这个假想实验说明热力学第二定律是一个统计性的原理，它有一定的概率因为涨落现象被违反。不过这种可能性随着系统的自由度数量(如气体中分子数)增加而急剧减少。麦克斯韦的这个假想实验后来吸引了很多物理学家的注意，他们认为这个假想实验还有很多地方并没有被理解清楚。比如，有人认为，即使存在这个智慧精灵(开尔文(W. Thomson)在1874 年第一次将它命名为麦克斯韦妖)，热力学第二定律仍然不会被违反，但是并不能进一步说明为什么不被违反；还有人关心如果麦克斯韦妖能够导致热力学第二定律被违反，那么整个热力学理论体系是否都要改写。
在众多的早期对麦克斯韦妖模型有兴趣的物理学家中，布朗运动理论研究的先驱者之一，波兰物理学家斯莫卢霍夫斯基(M. Smoluchowski)就是其中很著名的一位。他认为，完全自动化的(没有智能的)模型才能够在物理实验中实现。因此他提问：能否构造一个完全机械的模型来取代麦克斯韦的智能模型？斯莫卢霍夫斯基希望没有智慧精灵的参与，但是同样能够利用分子运动的涨落，使一个体系的熵减少，从而构造出一个永动机。1912 年斯莫卢霍夫斯基提出了一个“单向弹簧门”(trapped door)模型(见图2)。这个模型和麦克斯韦最初的模型很相似。不同之处在于斯莫卢霍夫斯基的“单向弹簧门”模型中没有作为外界控制者的智慧精灵。阀门由弹簧与挡板连接，并且阀门只能单向移动。当右边腔中的分子以很高的速度撞击阀门时，阀门被打开，从而使分子可以进入到左边腔中，但是当分子速度不够高时，它无法撞击开阀门，从而仍然呆在右边腔中。这个完全自动化的模型似乎也可以实现麦克斯韦开始设想的效果，把速度快和速度慢的分子区分开。但是斯莫卢霍夫斯基自己当时就认识到他的模型并不能实现麦克斯韦开始的设想。因为这个阀门足够小，在经历几次撞击之后，它的温度就会足够高。这样“单向弹簧门”开始做布朗运动，从而变成了“双向弹簧门”。气体分子既可以从左到右，又可以从右到左了。因此斯莫卢霍夫斯基当时就断言，不可能构建一个完全自动化的(机械的)模型来实现麦克斯韦的设想，但是如果有一个智慧精灵的参与(如同麦克斯韦设想的那样)，还是有可能构造出一个永动机的。顺便指出一下，在斯莫卢霍夫斯基的模型被提出近80年后，美国物理学家祖瑞克(W. H. Zurek)和合作者进行了数值模拟研究。他们的数值结果肯定了斯莫卢霍夫斯基在1912 年的论断，即“单向弹簧门”模型不可能实现麦克斯韦设想的效果。他们的结果发表在1992年的《美国物理》杂志上。
图2 斯莫卢霍夫斯基单向弹簧门模型。挡板上的“单向弹簧门”在分子撞击下时而开启，时而关闭。斯莫卢霍夫斯基设想由于挡板运动的“单向”性，分子只能从右边到左边，不能从左边到右边
无独有偶，还有另一个重要的自动化的模型。那就是1963 年费曼(R. P. Feynman)在他的《费曼物理讲义》(卷一)中提出的“费曼棘齿和棘爪”(ratchet and pawl)模型(见图3)。这个模型由一个连杆连接着一个形状不对称的棘齿和棘爪，一个由绳子吊着的重物，还有几个很大的叶片。其中叶片和棘齿棘爪系统分别处于两个温度不同的热库中，温度分别用T1和T2表示。当温度为T1的热库中的快速运动的气体分子撞击叶片时，叶片会发生转动。连杆会同时带动棘齿转动。由弹簧连接的棘爪与棘齿相互咬合。需要指出的是，棘爪处于温度为T2的热库中，它会在气体分子的碰撞下做布朗运动。从而使这个棘爪与棘齿时而咬合，时而松开。当棘爪与棘齿未咬合时，棘齿就不仅仅作顺时针运动，它有时也会做逆时针运动。由于棘齿的形状不对称，连杆向一个方向转动的概率会大于向另一个方向转动的概率，平均来看，连杆会向一个方向(棘齿斜率小的那边)作定向转动。
图3 费曼棘齿和棘爪模型。这个模型依赖分子运动的涨落工作。它既可以工作在热机区间(热流从T1到T2，重物被举起)，也可以工作在制冷机区间(热流从T2到T1，重物下降)，具体在哪个区间由模型的参数决定
不同于斯莫卢霍夫斯基的“单向弹簧门”模型，这个模型可以利用气体分子的热涨落来实现对外做功或制冷(把热量从低温热库抽运到高温热库)的功能。至于到底它是对外做功还是制冷，依赖于两个热库的温度、重物的质量和棘爪尺寸等参数的选取。需要指出的是，对于费曼棘齿和棘爪模型，无论参数是选取在做功区间还是制冷区间，它都非常不同于一般的热机和制冷机模型。后者一般对应一些热力学循环(如卡诺循环、奥托循环)，而费曼棘齿和棘爪模型不对应于任何热力学循环，它工作时处于一个非平衡稳态。另外，费曼棘齿和棘爪必须依赖热涨落来工作，而一般的热机和制冷机不需要考虑工作物质的涨落。需要指出的是，如果两个热库的温度相同(即T1=T2)，费曼棘齿和棘爪模型也不能对外做功。因为此时棘爪做布朗运动，棘齿向两个方向运动的几率相同，不会导致定向运动。因此，虽然费曼棘齿和棘爪模型可以利用热涨落实现对外做功或制冷，但是它不能实现麦克斯韦设想那样的“永动机”，即在单一温度条件下(T1=T2)，实现对外做功。
3 信息的价值和获取信息的代价
有关麦克斯韦妖问题的研究在1929 年出现了一个转折。著名的物理学家希拉德提出了一个简化版的麦克斯韦妖模型——希拉德单分子热机模型。在这个模型中，希拉德设想一个智慧精灵(麦克斯韦妖)操控一个单分子热机，其基本原理如图4(A)和图4(B)所示。开始时，一个气体分子在一个盒子中自由运动(如图4(A)的第一排和图4(B)中的(a)图所示)。若在中间插入一块挡板将盒子分成两个部分，则气体分子必然占据某一侧，如图4(A)的第二排所示。由于分子运动的随机性，我们在插入挡板的时候，并不确切知道这个分子是处于左侧还是右侧。在这个时候，麦克斯韦妖做了一次测量，通过测量，了解分子所处的位置到底是左边还是右边。如果测量的结果是分子处于挡板的右边(如图4(A)第二排左边和图4(B)中的(b)图所示)，则在挡板右边通过一根细绳连接一个重物(如图4(B)中的(c)图所示)。整个容器与一个热库接触足够长的时间，单个分子气体经历一个等温过程，通过从环境吸热而膨胀，同时提升重物做功(如图4(A)的第三排左边和图4(B)中的(c)图和(d)图所示)。如果测量的结果是分子处于挡板的左边，则在挡板左边通过一根细绳连接一个重物，通过同样的方式提升重物做功。这就是图4(A) 第二排到第四排右边代表的过程。完成上述膨胀做功过程后，气体分子回到初始状态(如图4(A)的第五排和图4(B)中的(a)图所示)。这样一个循环完成，接下来进入下一个循环，完全重复上述过程。
图4 希拉德单分子热机的循环原理。(A)图代表在盒子中间插一个挡板，然后进行测量，若分子处在右(左)边则让分子气体向左(右)等温膨胀对外做功。(B)图是更详细的示意图，说明当测量结果为分子处在挡板右边时，分子气体做功的过程
在一个循环中，单分子气体等温膨胀，体积从V/2 扩张到V，推动活塞做功，提升重物。显然，抽出活塞，系统形式上完成了一个循环，其净效应是从单一热源提取热量对外做功。若整个过程足够缓慢(即准静态过程)，不难计算这个过程中气体分子做功为
这里P 为压强，V 为体积，k 为玻尔兹曼常数，T为外界温度。如果仅考虑这个单分子气体以及它的环境热库，而忽略麦克斯韦妖，希拉德单分子热机相当于一个永动机，它可以源源不断地从单一热源吸热对外做功。或者说它不断让环境的热力学熵减少。不过希拉德不认为这个模型是一个永动机，他认为必然是因为某一过程(如测量过程)导致熵增。这个熵增足够补偿前面提到的熵减少。但是希拉德本人对于到底是哪个步骤有熵增以及熵增的机制有些含混不清。希拉德相信，因为这个原因，即使存在麦克斯韦妖，热力学第二定律也不会被违反。值得指出的是，早在信息科学诞生之前的1929 年，希拉德就意识到与二进制有关的信息的概念，他还发明了我们今天称为“比特”的信息单位。另外，希拉德还认识到麦克斯韦妖在获取信息过程中的另外两个重要概念：测量过程和存储单元。可以说希拉德先驱性的工作为现代信息科学奠定了基础，并且指出了它与物理学的联系。
1951 年，另外一个著名的物理学家布里渊(L. Brillouin)更加具体地研究了获取信息(测量)过程的能量消耗及其导致的熵增。他希望把测量过程更加具体化，以此来证实测量过程导致熵增这种假设或猜测。同时还有盖博(D. Gabor)独立地进行了类似的研究。他们聚焦在麦克斯韦妖获取信息的过程中，而且他们都假设妖怪是通过光信号照射单个分子来对分子进行测量的。他们的结论是：获取信息的过程一定会有能量的耗散。因而，即使存在这样的妖怪，热力学第二定律也不会被违反。布里渊还声称，他发现了一个重要的物理定律：每次测量过程都伴随着一个熵增，而且存在一个熵增下限，如果低于这个下限，测量无法完成。
至此，人们一般认为，麦克斯韦在1871 年提出的问题已获得解决。获取信息不是免费的。麦克斯韦妖必须为获取信息付出代价。这个代价将导致能量的消耗以及环境的熵增，并最终保证热力学第二定律不被违反。
4 有关信息擦除的兰道尔原理与贝奈特的解决方案
然而事实证明，布里渊等人并没有最终的解决有关麦克斯韦妖问题。我们现在暂时离开物理学，来看看另外一个领域——计算机科学领域发生的故事。大约在1960年，IBM公司的物理学家兰道尔开始研究数据处理的热力学问题。数据处理，比如从一个器件到另一个器件复制数据，与测量过程很类似，都是一个器件获得另一个器件的态的信息。在1950 年代，人们都认为数据处理的过程是内禀不可逆的过程(热力学意义上的不可逆)。这和希拉德及布里渊所认为的测量过程是不可逆过程是一致的。因此当时人们普遍接受的观点是：任何一种数据操作都会导致一个不低于某下限的热量耗散。大约在1960年，兰道尔更仔细地分析了这个问题，他却发现大家以前普遍接受的观点其实是有问题的。正确的结论是：完成几乎所有的信息处理过程，比如“读”、“写”和“复制”数据，原则上可以不消耗任何能量。但是另外一些数据操作过程，比如信息擦除过程，有一个能量耗散的下限，同时会导致热量耗散的下限。这个结论今天被称作兰道尔原理，其文字表述如下：“任何对于信息的逻辑上不可逆的操作，比如擦除1 比特(bit)的信息或者合并两条计算路径，一定伴随着信息载体以外的系统的相应的熵增。”
擦除存储单元的信息是一个热力学不可逆的操作。兰道尔还确认了其他几种热力学不可逆的操作，所有这些热力学不可逆的操作都有一个共同点， 那就是“ 丢掉计算机过去的状态的信息”。用兰道尔本人的话说，这些操作是“逻辑上不可逆”的。信息擦除的过程就是从一个现有的态K(这个态是任意的)到一个标准态L(如全部为0 的态)，是一个逻辑不可逆的过程。逻辑不可逆是指从K 到L 的映射没有一个唯一的逆映射，即“输出态不能够唯一确定输入态”。兰道尔认为，任何一个逻辑态都对应一个物理态。逻辑不可逆的过程对应着物理态自由度减少的过程，必然导致能量耗散。兰道尔原理预言了擦除1 bit信息所需要耗费的最少的能量为kTln2。这里k 是玻尔兹曼常数(约1.38×10-23 J/K)，T 是环境温度( 约27 ℃ 或300 K)， ln2 是2 的自然对数。用kTln2~10-21J 的功擦除1 bit 的信息，同时导致同样多的热量被释放到环境中。
这个关于逻辑不可逆操作的能量耗散下限最早是冯·诺依曼(Von Neumann)提出来的，但是严格的论证是由兰道尔给出的。兰道尔用双势阱中的一个粒子处于左边和右边势阱分别代表0 和1。中间的势垒远超过kT。这样热涨落不会使系统在0和1之间发生跳跃。擦除信息的过程就是，通过使势阱变形，让开始处于任意一边的粒子都演化到某一边，如左边(0 态)。兰道尔比较信息擦除过程中的散热量与擦除的信息量，就得到了兰道尔原理。兰道尔在证明他的定理时用到了热力学第二定律。兰道尔认为，擦除信息的过程导致环境熵增。另外，英国物理学家彭罗斯(O. Penrose)也在1970 年独立于兰道尔提出了类似的原理。这里顺便指出，这个原理在它被提出半个多世纪后的2012年才最终被欧洲科学家从实验上验证。
前面提到，在研究麦克斯韦妖问题时，布里渊认为测量的过程会导致kT 量级的能量损耗。兰道尔认为“ 计算过程与测量过程有密切联系”，而且他认为，布里渊的分析中提到测量过程，却没有能够很好定义测量过程。兰道尔还认为，布里渊没有回答下面这个重要的问题：当系统A和系统B耦合在一起时，测量是在何时发生的？事实上两个物理系统耦合在一起，并不一定导致耗散。
1982 年，兰道尔在IBM的同事贝奈特明确指出，测量并获得信息的过程原则上是逻辑可逆的过程，可以做到不消耗能量，也不导致熵增。由此他很自然地得到：即使存在麦克斯韦妖，热力学第二定律也不会被违反。关键在于麦克斯韦妖信息存储单元中信息擦除的过程，而不是布里渊等人认为的测量过程。相反，信息擦除的过程一定是逻辑不可逆的过程，它总是伴随着一个最低的能量消耗和一个最小的熵增。这个能量消耗的下限或熵增的下限是兰道尔原理给出的。它保证了即使存在麦克斯韦妖这种智慧精灵，热力学第二定律也不会被违反。贝奈特证明的一个关键点是，认识到用光信号来做测量手段不是必须的。虽然布里渊证明了如果妖怪用光信号来获取信息，测量过程的能量耗散足以保证热力学第二定律不被违反。贝奈特发现用光信号来测量(获取信息)不是必须的。若用别的手段来做测量，测量过程原则上可以不导致能量耗散。他给出的一个例子是通过分子磁矩(而不是布里渊用的光信号)来进行测量，所耗散的能量原则上可以无穷小。
为了说明测量与观察等信息提取过程在上述麦克斯韦妖热机循环过程中的作用，我们首先说明什么是信息和信息的度量，以及为什么信息本质上是物理的。一般说来，一个物体所包含的信息是由其可能状态的多少来确定的。一个人事先并不知道物体处在n 个状态中的哪一个状态上，只是知道每一个状态相应的几率为P1， P2，P3，……，Pn，香农(C. E. Shannon)用
来刻画信息量，此S 称为香农熵。例如，在希拉德模型中，气体分子开始以50%的几率分别处于A 和B两个区域。一旦人们知道气体分子是处在两个态之中的哪一个态上，人们便获得了1 bit的信息。
基于以上关于信息及其度量的简单讨论，我们可以用图5 描述一个信息擦除的物理过程。设一个气体分子可能处在左边或右边中任意一个，但是我们不知道到底是哪一个。我们事先不管分子是处在左边或右边，只要抽出中间挡板，并且把活塞从右向左一直推到中间，分子最后必然是处在左边。于是，体系的香农熵减少1 bit(即由S = 1 bit变为0)。相应地，外界对系统做功为W = kTln2。
图5 信息擦除的物理过程(其基本思想是：无论分子开始处于左还是右(0 或1 态)，抽出中间挡板，然后从右边开始等温压缩气体分子，直到挡板到达活塞中间。这样分子必然到左边(0 态)，原来的信息被擦除。这个擦除过程的能耗为kTln2)
基于上述物理分析，我们看到擦除信息需要消耗功，我们可以重新描述麦克斯韦妖佯谬(见图6)。注意到麦克斯韦妖的作用是观察单分子的状态，然后把信息贮存在它的存储单元中，存储单元在物理上是一个二态系统。初始时系统处于A 态， 分子可以处于空间的任何一个位置，妖怪处于0 态。妖怪进行一次测量(过程(a))后，整个系统达到B 态。若分子处在挡板的右边，妖怪将其信息存储单元重置为R 态；若分子处在挡板的左边，妖怪将其记忆存储单元重置为L 态。过程(a)不花费能量。接下来的过程(b)是妖怪根据自己记录的信息控制分子气体。让它从热库吸热向外膨胀，同时对外做功，最后系统到达状态C。此时系统加妖怪的熵比以前增加了。如果前面的过程完全可逆，这个增加量正好等于热库熵的减少量。此时妖怪的信息存储单元中的信息未被擦除。为了麦克斯韦妖的初始化，在(c)过程中外界必须对其做功，最后擦除它的信息，回到初态A。不难看出，若计算这个可逆过程对外做功， 净做功量为零。因此，没有第二类永动机存在。
图6 麦克斯韦妖和热机作为一个整体的循环过程(图片取自维基媒体网站)。(上)图代表妖怪监控单分子热机对外做功。同时它的存储单元也有相应的信息记录和擦除的过程。妖怪标注为O，R和L，分别代表妖怪的存储单元处于O 态，R 态和L 态。过程(b)中Q和W及箭头分别代表热机从外界吸热同时对外做功。(下)图用“相空间”体积的变化描述这个过程，横轴和纵轴分别代表气体分子及妖怪所处的位置。“相空间”体积正比于热机和妖怪的总熵(S)的大小。在过程(b)中获得的功，在过程(c)中全部用于擦除妖怪的信息，因此不会有第二类永动机存在
在1982 年贝奈特的工作之前，绝大多数的研究者都先验地接受布里渊的假设，妖怪是用光信号(而不是其他的物理手段)探测分子速度的。因此，整整一代物理学家都被“洗脑”。认为布里渊已经彻底解决了麦克斯韦妖佯谬问题。1982 年，贝奈特的文章的观点(准确说是兰道尔—彭罗斯—贝奈特方案的出现)让物理学家认识到布里渊工作的问题所在，并很快放弃了布里渊的结论。1982 年以后，除了个别研究者持有异议外，物理学界几乎一致地接受了兰道尔—彭罗斯—贝奈特的解决方案。
至此，经历一个多世纪的有关麦克斯韦妖的争论终于尘埃落定。麦克斯韦在最初提出他的假想实验时恐怕也没有想到这个问题的答案远远超出了他的时代。对他的问题的最终的回答必须等到信息科学诞生和兰道尔原理的提出。他山之石，可以攻玉，物理学家对麦克斯韦妖佯谬的解决历程再次佐证了这样一个结论：不同学科的发展可以互相借鉴，互相促进。
未
完
待
续
本文选自《物理》2013年第11期
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END
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1 引言
众所周知，热力学的许多原理通常表述为能量从一种形式转化为另一种形式的不可能性。例如，热力学第二定律的开尔文表述是：通过一个热力学循环，不可能从一个单一热源提取能量做功，而不对外界产生影响。在与日常生活相关的经典、宏观领域，这个定律得到迄今为止所有实验的支持，业已成为一个常识性的真理。但是，怎样从微观角度理解热力学第二定律却经常是莫衷一是，众说纷纭，甚至会导致一些违反这一常识性真理的永动机设想的产生。特别是将它应用到计算科学领域时，其间的一些说辞更是有失严谨，例如，改进材料性能可以使计算机不消耗能量不散热。要回答计算过程原理上是否需要消耗能量，就必须了解当代与麦克斯韦妖(Maxwell’s demon)佯谬相关的热力学科学前沿的发展。
麦克斯韦妖是理想实验中的智慧精灵。在麦克斯韦假想实验中，它可以区分容器中每个分子的速度，并据此打开和关闭容器中间隔板上的阀门，使得原本温度均匀分布的气体分子最终按高、低两种速度分别分布于隔板的两边，从而在隔板两边形成温度差(见图1)。置于它们之间的热机随后就会通过完成热力学循环对外做功。在这个过程中，外界没有对妖怪做功，妖怪和系统也没有发生能量交换。乍一看来，麦克斯韦妖的存在使得热量从低温热库流向高温热库，而没有产生任何其他后果。因此，表面上看，热力学第二定律(克劳修斯表述)可以被违反，第二类永动机就有可能出现。
图1 麦克斯韦妖示意图(取自维基百科网站)。其中绿色图标代表麦克斯韦妖，蓝色和红色分别代表低速和高速运动的分子。由于妖怪的干预，开始均匀分布的气体分子最后被分割开来。快速(高温)的分子全部到右边，慢速(低温)的分子全部到左边
然而当代研究表明，这种违反热力学第二定律的结论只是一个佯谬。麦克斯韦妖必须作为热机工作物质的一部分参与热力学循环。在上述描述中，存贮于麦克斯韦妖记忆体(存储单元)中关于气体分子速度的信息没有被擦除，热力学循环本质上并没有完成。根据兰道尔(R. Landauer)原理，擦除一个比特信息在平衡态时至少要消耗能量kTln2~10-21J(这里k 是玻尔兹曼常数，T 是环境温度)。这是因为每擦除1 bit 信息，环境中的熵将增加kln2。这里的熵增最终会补偿前面的热流引起的熵减少。因此，即使自然界存在无所不能的麦克斯韦妖，也绝不会存在第二类永动机。由于现有的普适的计算过程必然包括擦除信息的初始化过程，这就意味着必然要消耗一定的能量。兰道尔原理本质上也预言了现有计算过程能量消耗一定存在下界约束。在现有的计算框架下，无论怎样改进器件的物理性能，都不能破坏这个下界。这是热力学第二定律的要求。在过去的五十年中，这个预言激发人们去不断探索超越现有计算技术物理极限的可能性，从而导致了可逆计算和量子计算等前沿科学领域的兴起。
本文结合当代热力学发展的前沿科学问题，从麦克斯韦(J. C. Maxwell)最早提出的热力学佯谬谈起，并论及希拉德(L. Szilard)利用单分子热机模型对此热力学佯谬进行的精确表述，然后给出兰道尔原理一个直观的证明，以演示信息擦除为什么必定要耗功并产生热，使得热力学对计算过程施加一个物理极限。我们还以单分子热机为例，阐述贝奈特(C. H. Bennett)是怎样从可逆计算的研究受到启发，利用兰道尔信息擦除原理解决麦克斯韦佯谬的。最后，我们还指出，正是这些探索，促使了人们开始量子信息和量子计算的研究。
2 麦克斯韦妖假想实验挑战热力学第二定律
1871 年，麦克斯韦在他出版的《热理论》(Theory of Heat)一书的一章中，讨论了热力学第二定律的局限性。他设想有一个充满气体、温度均匀的容器(如图1)，容器中间有一个隔板，把容器分成A和B两个区域，隔板上有一个阀门。另外，有一个今天被称为麦克斯韦妖(Maxwell’s demon)的想象中的精灵，它能够观察气体中每个分子的速度，并能够自由地打开和关闭这个阀门。我们可以假设，在理想情况下，打开和关闭阀门都不做功。所以，它可以让较快的分子从A到B，而让较慢的分子从B到A。经过足够长的时间以后，容器中的A区温度变低，而B区温度变高。从而使处于A和B之间热机可以利用两边温度差对外做功。把麦克斯韦妖和热机集成为一个整体，似乎形成了一个违反第二定律的永动机——第二类永动机，实现了从单一热源吸热做功。
麦克斯韦由此认为，如果存在这种智慧精灵，那么热力学第二定律有可能被违反。麦克斯韦本来是想通过这个假想实验说明热力学第二定律是一个统计性的原理，它有一定的概率因为涨落现象被违反。不过这种可能性随着系统的自由度数量(如气体中分子数)增加而急剧减少。麦克斯韦的这个假想实验后来吸引了很多物理学家的注意，他们认为这个假想实验还有很多地方并没有被理解清楚。比如，有人认为，即使存在这个智慧精灵(开尔文(W. Thomson)在1874 年第一次将它命名为麦克斯韦妖)，热力学第二定律仍然不会被违反，但是并不能进一步说明为什么不被违反；还有人关心如果麦克斯韦妖能够导致热力学第二定律被违反，那么整个热力学理论体系是否都要改写。
在众多的早期对麦克斯韦妖模型有兴趣的物理学家中，布朗运动理论研究的先驱者之一，波兰物理学家斯莫卢霍夫斯基(M. Smoluchowski)就是其中很著名的一位。他认为，完全自动化的(没有智能的)模型才能够在物理实验中实现。因此他提问：能否构造一个完全机械的模型来取代麦克斯韦的智能模型？斯莫卢霍夫斯基希望没有智慧精灵的参与，但是同样能够利用分子运动的涨落，使一个体系的熵减少，从而构造出一个永动机。1912 年斯莫卢霍夫斯基提出了一个“单向弹簧门”(trapped door)模型(见图2)。这个模型和麦克斯韦最初的模型很相似。不同之处在于斯莫卢霍夫斯基的“单向弹簧门”模型中没有作为外界控制者的智慧精灵。阀门由弹簧与挡板连接，并且阀门只能单向移动。当右边腔中的分子以很高的速度撞击阀门时，阀门被打开，从而使分子可以进入到左边腔中，但是当分子速度不够高时，它无法撞击开阀门，从而仍然呆在右边腔中。这个完全自动化的模型似乎也可以实现麦克斯韦开始设想的效果，把速度快和速度慢的分子区分开。但是斯莫卢霍夫斯基自己当时就认识到他的模型并不能实现麦克斯韦开始的设想。因为这个阀门足够小，在经历几次撞击之后，它的温度就会足够高。这样“单向弹簧门”开始做布朗运动，从而变成了“双向弹簧门”。气体分子既可以从左到右，又可以从右到左了。因此斯莫卢霍夫斯基当时就断言，不可能构建一个完全自动化的(机械的)模型来实现麦克斯韦的设想，但是如果有一个智慧精灵的参与(如同麦克斯韦设想的那样)，还是有可能构造出一个永动机的。顺便指出一下，在斯莫卢霍夫斯基的模型被提出近80年后，美国物理学家祖瑞克(W. H. Zurek)和合作者进行了数值模拟研究。他们的数值结果肯定了斯莫卢霍夫斯基在1912 年的论断，即“单向弹簧门”模型不可能实现麦克斯韦设想的效果。他们的结果发表在1992年的《美国物理》杂志上。
图2 斯莫卢霍夫斯基单向弹簧门模型。挡板上的“单向弹簧门”在分子撞击下时而开启，时而关闭。斯莫卢霍夫斯基设想由于挡板运动的“单向”性，分子只能从右边到左边，不能从左边到右边
无独有偶，还有另一个重要的自动化的模型。那就是1963 年费曼(R. P. Feynman)在他的《费曼物理讲义》(卷一)中提出的“费曼棘齿和棘爪”(ratchet and pawl)模型(见图3)。这个模型由一个连杆连接着一个形状不对称的棘齿和棘爪，一个由绳子吊着的重物，还有几个很大的叶片。其中叶片和棘齿棘爪系统分别处于两个温度不同的热库中，温度分别用T1和T2表示。当温度为T1的热库中的快速运动的气体分子撞击叶片时，叶片会发生转动。连杆会同时带动棘齿转动。由弹簧连接的棘爪与棘齿相互咬合。需要指出的是，棘爪处于温度为T2的热库中，它会在气体分子的碰撞下做布朗运动。从而使这个棘爪与棘齿时而咬合，时而松开。当棘爪与棘齿未咬合时，棘齿就不仅仅作顺时针运动，它有时也会做逆时针运动。由于棘齿的形状不对称，连杆向一个方向转动的概率会大于向另一个方向转动的概率，平均来看，连杆会向一个方向(棘齿斜率小的那边)作定向转动。
图3 费曼棘齿和棘爪模型。这个模型依赖分子运动的涨落工作。它既可以工作在热机区间(热流从T1到T2，重物被举起)，也可以工作在制冷机区间(热流从T2到T1，重物下降)，具体在哪个区间由模型的参数决定
不同于斯莫卢霍夫斯基的“单向弹簧门”模型，这个模型可以利用气体分子的热涨落来实现对外做功或制冷(把热量从低温热库抽运到高温热库)的功能。至于到底它是对外做功还是制冷，依赖于两个热库的温度、重物的质量和棘爪尺寸等参数的选取。需要指出的是，对于费曼棘齿和棘爪模型，无论参数是选取在做功区间还是制冷区间，它都非常不同于一般的热机和制冷机模型。后者一般对应一些热力学循环(如卡诺循环、奥托循环)，而费曼棘齿和棘爪模型不对应于任何热力学循环，它工作时处于一个非平衡稳态。另外，费曼棘齿和棘爪必须依赖热涨落来工作，而一般的热机和制冷机不需要考虑工作物质的涨落。需要指出的是，如果两个热库的温度相同(即T1=T2)，费曼棘齿和棘爪模型也不能对外做功。因为此时棘爪做布朗运动，棘齿向两个方向运动的几率相同，不会导致定向运动。因此，虽然费曼棘齿和棘爪模型可以利用热涨落实现对外做功或制冷，但是它不能实现麦克斯韦设想那样的“永动机”，即在单一温度条件下(T1=T2)，实现对外做功。
3 信息的价值和获取信息的代价
有关麦克斯韦妖问题的研究在1929 年出现了一个转折。著名的物理学家希拉德提出了一个简化版的麦克斯韦妖模型——希拉德单分子热机模型。在这个模型中，希拉德设想一个智慧精灵(麦克斯韦妖)操控一个单分子热机，其基本原理如图4(A)和图4(B)所示。开始时，一个气体分子在一个盒子中自由运动(如图4(A)的第一排和图4(B)中的(a)图所示)。若在中间插入一块挡板将盒子分成两个部分，则气体分子必然占据某一侧，如图4(A)的第二排所示。由于分子运动的随机性，我们在插入挡板的时候，并不确切知道这个分子是处于左侧还是右侧。在这个时候，麦克斯韦妖做了一次测量，通过测量，了解分子所处的位置到底是左边还是右边。如果测量的结果是分子处于挡板的右边(如图4(A)第二排左边和图4(B)中的(b)图所示)，则在挡板右边通过一根细绳连接一个重物(如图4(B)中的(c)图所示)。整个容器与一个热库接触足够长的时间，单个分子气体经历一个等温过程，通过从环境吸热而膨胀，同时提升重物做功(如图4(A)的第三排左边和图4(B)中的(c)图和(d)图所示)。如果测量的结果是分子处于挡板的左边，则在挡板左边通过一根细绳连接一个重物，通过同样的方式提升重物做功。这就是图4(A) 第二排到第四排右边代表的过程。完成上述膨胀做功过程后，气体分子回到初始状态(如图4(A)的第五排和图4(B)中的(a)图所示)。这样一个循环完成，接下来进入下一个循环，完全重复上述过程。
图4 希拉德单分子热机的循环原理。(A)图代表在盒子中间插一个挡板，然后进行测量，若分子处在右(左)边则让分子气体向左(右)等温膨胀对外做功。(B)图是更详细的示意图，说明当测量结果为分子处在挡板右边时，分子气体做功的过程
在一个循环中，单分子气体等温膨胀，体积从V/2 扩张到V，推动活塞做功，提升重物。显然，抽出活塞，系统形式上完成了一个循环，其净效应是从单一热源提取热量对外做功。若整个过程足够缓慢(即准静态过程)，不难计算这个过程中气体分子做功为
这里P 为压强，V 为体积，k 为玻尔兹曼常数，T为外界温度。如果仅考虑这个单分子气体以及它的环境热库，而忽略麦克斯韦妖，希拉德单分子热机相当于一个永动机，它可以源源不断地从单一热源吸热对外做功。或者说它不断让环境的热力学熵减少。不过希拉德不认为这个模型是一个永动机，他认为必然是因为某一过程(如测量过程)导致熵增。这个熵增足够补偿前面提到的熵减少。但是希拉德本人对于到底是哪个步骤有熵增以及熵增的机制有些含混不清。希拉德相信，因为这个原因，即使存在麦克斯韦妖，热力学第二定律也不会被违反。值得指出的是，早在信息科学诞生之前的1929 年，希拉德就意识到与二进制有关的信息的概念，他还发明了我们今天称为“比特”的信息单位。另外，希拉德还认识到麦克斯韦妖在获取信息过程中的另外两个重要概念：测量过程和存储单元。可以说希拉德先驱性的工作为现代信息科学奠定了基础，并且指出了它与物理学的联系。
1951 年，另外一个著名的物理学家布里渊(L. Brillouin)更加具体地研究了获取信息(测量)过程的能量消耗及其导致的熵增。他希望把测量过程更加具体化，以此来证实测量过程导致熵增这种假设或猜测。同时还有盖博(D. Gabor)独立地进行了类似的研究。他们聚焦在麦克斯韦妖获取信息的过程中，而且他们都假设妖怪是通过光信号照射单个分子来对分子进行测量的。他们的结论是：获取信息的过程一定会有能量的耗散。因而，即使存在这样的妖怪，热力学第二定律也不会被违反。布里渊还声称，他发现了一个重要的物理定律：每次测量过程都伴随着一个熵增，而且存在一个熵增下限，如果低于这个下限，测量无法完成。
至此，人们一般认为，麦克斯韦在1871 年提出的问题已获得解决。获取信息不是免费的。麦克斯韦妖必须为获取信息付出代价。这个代价将导致能量的消耗以及环境的熵增，并最终保证热力学第二定律不被违反。
4 有关信息擦除的兰道尔原理与贝奈特的解决方案
然而事实证明，布里渊等人并没有最终的解决有关麦克斯韦妖问题。我们现在暂时离开物理学，来看看另外一个领域——计算机科学领域发生的故事。大约在1960年，IBM公司的物理学家兰道尔开始研究数据处理的热力学问题。数据处理，比如从一个器件到另一个器件复制数据，与测量过程很类似，都是一个器件获得另一个器件的态的信息。在1950 年代，人们都认为数据处理的过程是内禀不可逆的过程(热力学意义上的不可逆)。这和希拉德及布里渊所认为的测量过程是不可逆过程是一致的。因此当时人们普遍接受的观点是：任何一种数据操作都会导致一个不低于某下限的热量耗散。大约在1960年，兰道尔更仔细地分析了这个问题，他却发现大家以前普遍接受的观点其实是有问题的。正确的结论是：完成几乎所有的信息处理过程，比如“读”、“写”和“复制”数据，原则上可以不消耗任何能量。但是另外一些数据操作过程，比如信息擦除过程，有一个能量耗散的下限，同时会导致热量耗散的下限。这个结论今天被称作兰道尔原理，其文字表述如下：“任何对于信息的逻辑上不可逆的操作，比如擦除1 比特(bit)的信息或者合并两条计算路径，一定伴随着信息载体以外的系统的相应的熵增。”
擦除存储单元的信息是一个热力学不可逆的操作。兰道尔还确认了其他几种热力学不可逆的操作，所有这些热力学不可逆的操作都有一个共同点， 那就是“ 丢掉计算机过去的状态的信息”。用兰道尔本人的话说，这些操作是“逻辑上不可逆”的。信息擦除的过程就是从一个现有的态K(这个态是任意的)到一个标准态L(如全部为0 的态)，是一个逻辑不可逆的过程。逻辑不可逆是指从K 到L 的映射没有一个唯一的逆映射，即“输出态不能够唯一确定输入态”。兰道尔认为，任何一个逻辑态都对应一个物理态。逻辑不可逆的过程对应着物理态自由度减少的过程，必然导致能量耗散。兰道尔原理预言了擦除1 bit信息所需要耗费的最少的能量为kTln2。这里k 是玻尔兹曼常数(约1.38×10-23 J/K)，T 是环境温度( 约27 ℃ 或300 K)， ln2 是2 的自然对数。用kTln2~10-21J 的功擦除1 bit 的信息，同时导致同样多的热量被释放到环境中。
这个关于逻辑不可逆操作的能量耗散下限最早是冯·诺依曼(Von Neumann)提出来的，但是严格的论证是由兰道尔给出的。兰道尔用双势阱中的一个粒子处于左边和右边势阱分别代表0 和1。中间的势垒远超过kT。这样热涨落不会使系统在0和1之间发生跳跃。擦除信息的过程就是，通过使势阱变形，让开始处于任意一边的粒子都演化到某一边，如左边(0 态)。兰道尔比较信息擦除过程中的散热量与擦除的信息量，就得到了兰道尔原理。兰道尔在证明他的定理时用到了热力学第二定律。兰道尔认为，擦除信息的过程导致环境熵增。另外，英国物理学家彭罗斯(O. Penrose)也在1970 年独立于兰道尔提出了类似的原理。这里顺便指出，这个原理在它被提出半个多世纪后的2012年才最终被欧洲科学家从实验上验证。
前面提到，在研究麦克斯韦妖问题时，布里渊认为测量的过程会导致kT 量级的能量损耗。兰道尔认为“ 计算过程与测量过程有密切联系”，而且他认为，布里渊的分析中提到测量过程，却没有能够很好定义测量过程。兰道尔还认为，布里渊没有回答下面这个重要的问题：当系统A和系统B耦合在一起时，测量是在何时发生的？事实上两个物理系统耦合在一起，并不一定导致耗散。
1982 年，兰道尔在IBM的同事贝奈特明确指出，测量并获得信息的过程原则上是逻辑可逆的过程，可以做到不消耗能量，也不导致熵增。由此他很自然地得到：即使存在麦克斯韦妖，热力学第二定律也不会被违反。关键在于麦克斯韦妖信息存储单元中信息擦除的过程，而不是布里渊等人认为的测量过程。相反，信息擦除的过程一定是逻辑不可逆的过程，它总是伴随着一个最低的能量消耗和一个最小的熵增。这个能量消耗的下限或熵增的下限是兰道尔原理给出的。它保证了即使存在麦克斯韦妖这种智慧精灵，热力学第二定律也不会被违反。贝奈特证明的一个关键点是，认识到用光信号来做测量手段不是必须的。虽然布里渊证明了如果妖怪用光信号来获取信息，测量过程的能量耗散足以保证热力学第二定律不被违反。贝奈特发现用光信号来测量(获取信息)不是必须的。若用别的手段来做测量，测量过程原则上可以不导致能量耗散。他给出的一个例子是通过分子磁矩(而不是布里渊用的光信号)来进行测量，所耗散的能量原则上可以无穷小。
为了说明测量与观察等信息提取过程在上述麦克斯韦妖热机循环过程中的作用，我们首先说明什么是信息和信息的度量，以及为什么信息本质上是物理的。一般说来，一个物体所包含的信息是由其可能状态的多少来确定的。一个人事先并不知道物体处在n 个状态中的哪一个状态上，只是知道每一个状态相应的几率为P1， P2，P3，……，Pn，香农(C. E. Shannon)用
来刻画信息量，此S 称为香农熵。例如，在希拉德模型中，气体分子开始以50%的几率分别处于A 和B两个区域。一旦人们知道气体分子是处在两个态之中的哪一个态上，人们便获得了1 bit的信息。
基于以上关于信息及其度量的简单讨论，我们可以用图5 描述一个信息擦除的物理过程。设一个气体分子可能处在左边或右边中任意一个，但是我们不知道到底是哪一个。我们事先不管分子是处在左边或右边，只要抽出中间挡板，并且把活塞从右向左一直推到中间，分子最后必然是处在左边。于是，体系的香农熵减少1 bit(即由S = 1 bit变为0)。相应地，外界对系统做功为W = kTln2。
图5 信息擦除的物理过程(其基本思想是：无论分子开始处于左还是右(0 或1 态)，抽出中间挡板，然后从右边开始等温压缩气体分子，直到挡板到达活塞中间。这样分子必然到左边(0 态)，原来的信息被擦除。这个擦除过程的能耗为kTln2)
基于上述物理分析，我们看到擦除信息需要消耗功，我们可以重新描述麦克斯韦妖佯谬(见图6)。注意到麦克斯韦妖的作用是观察单分子的状态，然后把信息贮存在它的存储单元中，存储单元在物理上是一个二态系统。初始时系统处于A 态， 分子可以处于空间的任何一个位置，妖怪处于0 态。妖怪进行一次测量(过程(a))后，整个系统达到B 态。若分子处在挡板的右边，妖怪将其信息存储单元重置为R 态；若分子处在挡板的左边，妖怪将其记忆存储单元重置为L 态。过程(a)不花费能量。接下来的过程(b)是妖怪根据自己记录的信息控制分子气体。让它从热库吸热向外膨胀，同时对外做功，最后系统到达状态C。此时系统加妖怪的熵比以前增加了。如果前面的过程完全可逆，这个增加量正好等于热库熵的减少量。此时妖怪的信息存储单元中的信息未被擦除。为了麦克斯韦妖的初始化，在(c)过程中外界必须对其做功，最后擦除它的信息，回到初态A。不难看出，若计算这个可逆过程对外做功， 净做功量为零。因此，没有第二类永动机存在。
图6 麦克斯韦妖和热机作为一个整体的循环过程(图片取自维基媒体网站)。(上)图代表妖怪监控单分子热机对外做功。同时它的存储单元也有相应的信息记录和擦除的过程。妖怪标注为O，R和L，分别代表妖怪的存储单元处于O 态，R 态和L 态。过程(b)中Q和W及箭头分别代表热机从外界吸热同时对外做功。(下)图用“相空间”体积的变化描述这个过程，横轴和纵轴分别代表气体分子及妖怪所处的位置。“相空间”体积正比于热机和妖怪的总熵(S)的大小。在过程(b)中获得的功，在过程(c)中全部用于擦除妖怪的信息，因此不会有第二类永动机存在
在1982 年贝奈特的工作之前，绝大多数的研究者都先验地接受布里渊的假设，妖怪是用光信号(而不是其他的物理手段)探测分子速度的。因此，整整一代物理学家都被“洗脑”。认为布里渊已经彻底解决了麦克斯韦妖佯谬问题。1982 年，贝奈特的文章的观点(准确说是兰道尔—彭罗斯—贝奈特方案的出现)让物理学家认识到布里渊工作的问题所在，并很快放弃了布里渊的结论。1982 年以后，除了个别研究者持有异议外，物理学界几乎一致地接受了兰道尔—彭罗斯—贝奈特的解决方案。
至此，经历一个多世纪的有关麦克斯韦妖的争论终于尘埃落定。麦克斯韦在最初提出他的假想实验时恐怕也没有想到这个问题的答案远远超出了他的时代。对他的问题的最终的回答必须等到信息科学诞生和兰道尔原理的提出。他山之石，可以攻玉，物理学家对麦克斯韦妖佯谬的解决历程再次佐证了这样一个结论：不同学科的发展可以互相借鉴，互相促进。
未
完
待
续
本文选自《物理》2013年第11期
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