２１ ０ １年 第 ４期
河北理 科教 学研 究
口 ’题 讨论 ］
三角 形 关 于 旁切 圆 半径 的 性 质
宁夏 回族 自治 区彭 阳县 第 三 中学 王伯龙 ７ ６０ ５５ ０
文 ［］ １推导 出三角形 内有关 内切 圆半径 的一组结论 ， 于任意三角形 的有关旁切 圆 对
半 径有 如下 的几 个性 质 ．
性 质 １ 在 Ａ ＢＣ 中 ， 边 Ｂ Ｃ Ａ 三 Ｃ， Ａ，
ａ
， ０ Ｃ ＝ ＿ ＿ 于是就 有 ｃｓ ｕ
，
：
【 上
推论 １ 在 △ Ｒ Ｂ ｔＡ Ｃ中 ， 三边 Ｂ Ｃ Ｃ， Ａ， Ａ Ｂ分别 为 ａ ｂ Ｃ Ａ ＝ ９。 Ａ 为 Ｂ ，，． ０， Ｄ Ｃ边
上 的 高 ， ，ｏ ，， ， ｏ ， ｏ ：分 别 为 Ａ Ａ Ｃ 中 Ｂ Ｂ ＡＣ所 对 的旁切 圆 ， Ａ Ａ ＤＣ中 Ａ Ｃ所 Ｄ
ＡＢ分别 为 ａ ｂ Ｃ Ａ 为 Ｂ ， ，． Ｄ Ｃ边 上 的高 ， ， ｏ ，
ｏ ， ， ， 分 别 为 Ａ Ａ Ｃ 中 Ｂ ｏ Ｂ ＡＣ所对 的
旁切 圆， Ａ Ａ ＤＣ 中 ＡＤＣ所 对 的旁 切 圆 ，
对 的旁切 圆 ， Ａ Ｂ 中 Ａ Ｂ 所 对 的旁 切 △ Ｄ Ｄ
△ Ａ Ｂ中 Ａ Ｂ所对的旁切圆 ． Ｄ Ｄ 半径分别
圆 径 别 ｒ： 等 ＋ ． 分 为， ＋ 等 半 ｒ
＝ ２ａ ．
为ｒ －： ，，测 ｒｒ
＋
＋ 孚
证 明： ． 记 ｓ＝ Ｓ ， １＝ ． ４ｃ ． △ ５ ｓ 『 ， △Ｊ ｓ ２＝
性质 ２ 在 Ａ Ａ Ｃ中 ， Ｂ 三边 Ｂ ， Ａ， Ｂ ＣＣ Ａ 分 别 为 ａ ｂＣ Ａ 为 Ｂ ， ，． Ｄ Ｃ边 上 的 中 线 ， ， ｏ ，
ｓ Ｄ， 同， ０ｓ ＝去（ Ｂ下 贝 ｂ＋ｃ一口 ｒ＝ ）
ｏ ，， ，分 别为 Ａ Ａ Ｃ中 日 ｏ Ｂ Ａｃ所对 的旁 切 圆 ， Ａ Ｃ 中 Ａ Ａ Ｄ ＤＣ 所 对 的 旁 切 圆 ，
己ｃ Ｂ Ｔ ｃ ．Ａ ： ｓｃ 。ｉ 号＝ Ｓｂ ・Ｄ ６ｎ ｓ ｌ ． ｎ ｎ ・ ｉ
＝ ｃｉ ｓｎＢ， ＢＤ ＝ ｃ ｏ Ｂ ， ｃｓ ＣＤ ＝ ｂｏ ｃ ｓＣ， ＝ ａ
１
ＡＡ Ｂ中 Ａ Ｂ所对的旁切圆． Ｄ Ｄ 半径分别为
ｃ。 Ｂ＋ｂ ｏ Ｃ．． １：— （ Ｄ＋ＤＣ ｃｓ ｃｓ ． Ｓ ． １
一
６ｒ ）Ｉ ：
．
ｒ－ 测 ＋ ２—２ｃ２ｏ． ， ｒ 古 ：ｂ ＋ｃＡ ｒ ， ￣ ＋ 一ｅ ／ ２ｂ — ｓ
证 明 ： １（ ＋ｃ 。 ｒ： ｓ： ６ ） １。 ｓ ｃ ＝ ６ｉ ＝ ｎ ＞
一
： — ｃｉＢ ６ ｉＣ ＋ ｂ ｏＣ 一 ６ ｎ ｓ ： （ ｓ ｎ ｎ ｃｓ ）
ｎ ｓ ｃ ＝
÷＝
， ’
．Ｂ ＝ Ｃ ， ＝ ・Ｄ Ｄ ＝ Ａ ． ‘ ａＤ
， … ｃ ： 。ｉ ． Ｊ 且 … ｕ… …… 所 ／ ｉ
，
５ １（ Ｄ ＋Ｂ ２＝ Ａ Ｄ
—
ｃ ｒ １ Ｂ ｉ ） ２＝ ｃ・ Ｄｓ ｎ
（ ｓｎ ＋ Ｃ Ｓ — ） ｃ ｓｎ ｏ ８＝ ｃ ｉ Ｂ Ｃ Ｏ Ｂ Ｃ ｒ ＝ ２ ｉ Ｂｃ ｓ ９
… ｒ ， 一 ｃｉ ｓｎＢ ’ 一 ｒ … 。 ●
以 Ｓ １（ Ｄ＋Ｄ １： Ａ Ｃ
一
６ ｒ １Ｄ ） １： ｃ． ｓ ｃ ６ｉ ｎ
（ ＋ 一 ｒ ｓｊ ＝ Ａ ６ ＝ ｉ 砉 Ｄａ ） ｎ ｃ
ＡＡ Ｂ 中， Ｄ 同理 可 得 ｒ ’
ｃｏ Ｂ ｃｓ
＝ 一
号＋ ， ２即
＋
＋ 号
＝
２．
特别 的 ， 当 Ｂ ＡＣ ＝ ９。 ， ｃｓ ＝ ０ 时 有 ｏＢ
・
所有 麦＋ ： 以砉＋ ÷
ｄ
・
２ １ 年 第 ４期 ０１
ＡＤ ＋ ＤＣ — ｂ ＋ ＡＤ ＋ 肋
ａ ｓｎＣ ｂｉ
河 北理科 教 学研 究
一 ｃ＋ ｂ＋ Ｃ— ａ ＡＤ ＋ ＤＣ — ｂ
问题 讨论
一
：
＿ ±
２ Ｓ
’Ｉｒ １ ＋ ｒ ＋ ｒ ： ＂ 即 。 ＇ 一
，
ｒ 。
，
ａ ｓｎＢ ｃｉ
‘
垒 ±！ ± ： ：
． ｓ
！
‘
ｓ ２＝ ｌ （ ｎ ＋Ｂ Ａ Ｄ
—
ｃｒ ） ２＝ １ Ｂ ・ｃｉ Ｄ ｓ ｎ １＝
特别 的 ， 当
４ ＝ ９。 ， 有 ： ｃ Ｏ时 就
推论 ２ 在 Ａ Ａ Ｃ中 ， Ｂ 三边 Ｂ Ｃ Ａ Ｃ， Ａ， Ｂ 分别 为 ａ ｂ Ｃ Ａ ＝９。Ａ ， ，． ０， Ｄ为 Ｂ Ｃ边上 的 中 线 ， ， ，， ， 别 为 Ａ Ａ Ｃ 中 Ｂ ｏ，ｏ 。ｏ ２分 Ｂ ＡＣ
ｊ （ Ｄ ＋Ｂ — ｃ ｒ Ａ Ｄ ） １＝ Ｂ ・ ｓ Ｄ ｃｉ ｎ
ＡＤ ＋ ＢＤ — Ｃ Ｃ
ＡＤ ＋ ＢＤ — Ｃ
ｃ ｉ ｌ ｓｎＢ ： ｌ
０ ＋ Ｃ
Ｌｂ＋ｃ ｒ （ ＋ 。）２一 ２
ａｓ Ｂ ｃｉ ｎ
所对的旁切圆， Ｄ Ａ Ｃ所对的旁切 ＡＡ Ｃ中 Ｄ 圆， Ａ Ｂ中 Ａ Ｂ所对 的旁切圆． ａ Ｄ Ｄ 半径分
． 一
（ ｂ＋Ｃ ｒ ＋ ）１
２ＡＤ
ｃ
一 旦± ＝ ＝
’ ’
ａ ｓｎ ｃ ｉ Ｂ
别 ｒ ，则 ＋ 号 ． 为 ， ｒ 去 ＋ ＝ ｒ ，
性 质 ３ 在 △ Ａ Ｃ 中 ， 边 ＢＣ， Ａ， Ｂ 三 Ｃ Ａ Ｂ分 别 为 ａ， ， ． Ｄ 为 ｂＣ Ａ Ａｃ的平分 线 ， ｏ ，ｏ ， ，）： ， 。（ ， 分别 为 ａ Ａ Ｃ中 Ｂ 三 Ｂ Ｃ所
一ｓｉ 一ｂｃｓｉ 一ｓ Ａ 一 ÷即１ ｎＡ ｎＡ ｎ— ． 十 ｂ ｃ ｂ ｉ ｒ ｃ ‘ 肛 ＋ ｒ
＝ 一 一 ＝
２Ａ Ｄ
ｃ
ｂ＋ Ｃ
２ＡＤ
２
＋＿
吼 “
‘
对的旁切 圆， Ａ Ｃ中 Ａ Ｃ所对 的旁切 Ａ Ｄ Ｄ 圆， Ｄ ａＡ Ｂ中 Ａ Ｂ所对的旁切圆． Ｄ 半径分
特别 的 ， 当
Ｂ Ｃ ： ９ 。 ， 有 ： Ａ ０时 就 推论 ３ 在 Ａ Ｂ 中 ， 边 Ｂ Ｃ Ａ Ｃ 三 Ｃ， Ａ， ＡＢ分别 为 ａ， ， ． Ａ ＝９。Ａ ６ Ｃ ０， Ｄ为 Ｂ ＡＣ 的平分 线 ，ｏ ， ，） 分别 为 Ａ Ａ ｏ ， （， 三 ＢＣ中 Ｂ ＡＣ所对 的旁 切 圆 ， ＡＤＣ中 Ａ ａ ＤＣ所
别 ｒ。 ， ＋ ＝ ． 为 ，，则 ＋ ｒｒ 鲁 ＿
吼 “
证明 ： 由角 平 分 线 的 性 质 及 角 平 分 线 长 的 计 算 公 式 易 得 ＤＣ ：
，
对的旁切 圆， Ｄ 中 Ａ Ｂ所对 的旁切 ａＡ Ｂ Ｄ
，Ｄ ： Ｂ 圆 ． 径分 别 为 ｒ Ｆ，ｚ则 ＋ｃ 半 ， ｔ ｒ，
＋
，，
Ａ ＝ ｃ ５ 吉６ ｃ Ｄ ｏ ＝ （＋ 一 ｓ ．
．
＝
２ √２
。 ｒ ： ｉ ｓ Ａ ） ｂ ｉ １ ＝ ｃｎ
Ｉ
．
ｓ ＝
（ Ｄ ＋ＤＣ 一６ ｒ Ａ ） ｌ： １ Ｃ ．ｂｉ Ｃ Ｄ ｓ ｎ
参考 文献
（ ＋ ６。 Ｄ ・ｉ １ Ａ 号一） ＝ Ｃ ６ ｃ ｉ＝ Ｄ ｒ ｓ ｎ
ｌ 陈鸿斌 ． 角形 内关于 内切 圆半径 的美妙 性质 三
数 学通讯 ．０ １ ３ （ ２ １ （ ）下半月 ）
・
５ ・
２１ ０ １年 第 ４期
河北理 科教 学研 究
口 ’题 讨论 ］
三角 形 关 于 旁切 圆 半径 的 性 质
宁夏 回族 自治 区彭 阳县 第 三 中学 王伯龙 ７ ６０ ５５ ０
文 ［］ １推导 出三角形 内有关 内切 圆半径 的一组结论 ， 于任意三角形 的有关旁切 圆 对
半 径有 如下 的几 个性 质 ．
性 质 １ 在 Ａ ＢＣ 中 ， 边 Ｂ Ｃ Ａ 三 Ｃ， Ａ，
ａ
， ０ Ｃ ＝ ＿ ＿ 于是就 有 ｃｓ ｕ
，
：
【 上
推论 １ 在 △ Ｒ Ｂ ｔＡ Ｃ中 ， 三边 Ｂ Ｃ Ｃ， Ａ， Ａ Ｂ分别 为 ａ ｂ Ｃ Ａ ＝ ９。 Ａ 为 Ｂ ，，． ０， Ｄ Ｃ边
上 的 高 ， ，ｏ ，， ， ｏ ， ｏ ：分 别 为 Ａ Ａ Ｃ 中 Ｂ Ｂ ＡＣ所 对 的旁切 圆 ， Ａ Ａ ＤＣ中 Ａ Ｃ所 Ｄ
ＡＢ分别 为 ａ ｂ Ｃ Ａ 为 Ｂ ， ，． Ｄ Ｃ边 上 的高 ， ， ｏ ，
ｏ ， ， ， 分 别 为 Ａ Ａ Ｃ 中 Ｂ ｏ Ｂ ＡＣ所对 的
旁切 圆， Ａ Ａ ＤＣ 中 ＡＤＣ所 对 的旁 切 圆 ，
对 的旁切 圆 ， Ａ Ｂ 中 Ａ Ｂ 所 对 的旁 切 △ Ｄ Ｄ
△ Ａ Ｂ中 Ａ Ｂ所对的旁切圆 ． Ｄ Ｄ 半径分别
圆 径 别 ｒ： 等 ＋ ． 分 为， ＋ 等 半 ｒ
＝ ２ａ ．
为ｒ －： ，，测 ｒｒ
＋
＋ 孚
证 明： ． 记 ｓ＝ Ｓ ， １＝ ． ４ｃ ． △ ５ ｓ 『 ， △Ｊ ｓ ２＝
性质 ２ 在 Ａ Ａ Ｃ中 ， Ｂ 三边 Ｂ ， Ａ， Ｂ ＣＣ Ａ 分 别 为 ａ ｂＣ Ａ 为 Ｂ ， ，． Ｄ Ｃ边 上 的 中 线 ， ， ｏ ，
ｓ Ｄ， 同， ０ｓ ＝去（ Ｂ下 贝 ｂ＋ｃ一口 ｒ＝ ）
ｏ ，， ，分 别为 Ａ Ａ Ｃ中 日 ｏ Ｂ Ａｃ所对 的旁 切 圆 ， Ａ Ｃ 中 Ａ Ａ Ｄ ＤＣ 所 对 的 旁 切 圆 ，
己ｃ Ｂ Ｔ ｃ ．Ａ ： ｓｃ 。ｉ 号＝ Ｓｂ ・Ｄ ６ｎ ｓ ｌ ． ｎ ｎ ・ ｉ
＝ ｃｉ ｓｎＢ， ＢＤ ＝ ｃ ｏ Ｂ ， ｃｓ ＣＤ ＝ ｂｏ ｃ ｓＣ， ＝ ａ
１
ＡＡ Ｂ中 Ａ Ｂ所对的旁切圆． Ｄ Ｄ 半径分别为
ｃ。 Ｂ＋ｂ ｏ Ｃ．． １：— （ Ｄ＋ＤＣ ｃｓ ｃｓ ． Ｓ ． １
一
６ｒ ）Ｉ ：
．
ｒ－ 测 ＋ ２—２ｃ２ｏ． ， ｒ 古 ：ｂ ＋ｃＡ ｒ ， ￣ ＋ 一ｅ ／ ２ｂ — ｓ
证 明 ： １（ ＋ｃ 。 ｒ： ｓ： ６ ） １。 ｓ ｃ ＝ ６ｉ ＝ ｎ ＞
一
： — ｃｉＢ ６ ｉＣ ＋ ｂ ｏＣ 一 ６ ｎ ｓ ： （ ｓ ｎ ｎ ｃｓ ）
ｎ ｓ ｃ ＝
÷＝
， ’
．Ｂ ＝ Ｃ ， ＝ ・Ｄ Ｄ ＝ Ａ ． ‘ ａＤ
， … ｃ ： 。ｉ ． Ｊ 且 … ｕ… …… 所 ／ ｉ
，
５ １（ Ｄ ＋Ｂ ２＝ Ａ Ｄ
—
ｃ ｒ １ Ｂ ｉ ） ２＝ ｃ・ Ｄｓ ｎ
（ ｓｎ ＋ Ｃ Ｓ — ） ｃ ｓｎ ｏ ８＝ ｃ ｉ Ｂ Ｃ Ｏ Ｂ Ｃ ｒ ＝ ２ ｉ Ｂｃ ｓ ９
… ｒ ， 一 ｃｉ ｓｎＢ ’ 一 ｒ … 。 ●
以 Ｓ １（ Ｄ＋Ｄ １： Ａ Ｃ
一
６ ｒ １Ｄ ） １： ｃ． ｓ ｃ ６ｉ ｎ
（ ＋ 一 ｒ ｓｊ ＝ Ａ ６ ＝ ｉ 砉 Ｄａ ） ｎ ｃ
ＡＡ Ｂ 中， Ｄ 同理 可 得 ｒ ’
ｃｏ Ｂ ｃｓ
＝ 一
号＋ ， ２即
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＋ 号
＝
２．
特别 的 ， 当 Ｂ ＡＣ ＝ ９。 ， ｃｓ ＝ ０ 时 有 ｏＢ
・
所有 麦＋ ： 以砉＋ ÷
ｄ
・
２ １ 年 第 ４期 ０１
ＡＤ ＋ ＤＣ — ｂ ＋ ＡＤ ＋ 肋
ａ ｓｎＣ ｂｉ
河 北理科 教 学研 究
一 ｃ＋ ｂ＋ Ｃ— ａ ＡＤ ＋ ＤＣ — ｂ
问题 讨论
一
：
＿ ±
２ Ｓ
’Ｉｒ １ ＋ ｒ ＋ ｒ ： ＂ 即 。 ＇ 一
，
ｒ 。
，
ａ ｓｎＢ ｃｉ
‘
垒 ±！ ± ： ：
． ｓ
！
‘
ｓ ２＝ ｌ （ ｎ ＋Ｂ Ａ Ｄ
—
ｃｒ ） ２＝ １ Ｂ ・ｃｉ Ｄ ｓ ｎ １＝
特别 的 ， 当
４ ＝ ９。 ， 有 ： ｃ Ｏ时 就
推论 ２ 在 Ａ Ａ Ｃ中 ， Ｂ 三边 Ｂ Ｃ Ａ Ｃ， Ａ， Ｂ 分别 为 ａ ｂ Ｃ Ａ ＝９。Ａ ， ，． ０， Ｄ为 Ｂ Ｃ边上 的 中 线 ， ， ，， ， 别 为 Ａ Ａ Ｃ 中 Ｂ ｏ，ｏ 。ｏ ２分 Ｂ ＡＣ
ｊ （ Ｄ ＋Ｂ — ｃ ｒ Ａ Ｄ ） １＝ Ｂ ・ ｓ Ｄ ｃｉ ｎ
ＡＤ ＋ ＢＤ — Ｃ Ｃ
ＡＤ ＋ ＢＤ — Ｃ
ｃ ｉ ｌ ｓｎＢ ： ｌ
０ ＋ Ｃ
Ｌｂ＋ｃ ｒ （ ＋ 。）２一 ２
ａｓ Ｂ ｃｉ ｎ
所对的旁切圆， Ｄ Ａ Ｃ所对的旁切 ＡＡ Ｃ中 Ｄ 圆， Ａ Ｂ中 Ａ Ｂ所对 的旁切圆． ａ Ｄ Ｄ 半径分
． 一
（ ｂ＋Ｃ ｒ ＋ ）１
２ＡＤ
ｃ
一 旦± ＝ ＝
’ ’
ａ ｓｎ ｃ ｉ Ｂ
别 ｒ ，则 ＋ 号 ． 为 ， ｒ 去 ＋ ＝ ｒ ，
性 质 ３ 在 △ Ａ Ｃ 中 ， 边 ＢＣ， Ａ， Ｂ 三 Ｃ Ａ Ｂ分 别 为 ａ， ， ． Ｄ 为 ｂＣ Ａ Ａｃ的平分 线 ， ｏ ，ｏ ， ，）： ， 。（ ， 分别 为 ａ Ａ Ｃ中 Ｂ 三 Ｂ Ｃ所
一ｓｉ 一ｂｃｓｉ 一ｓ Ａ 一 ÷即１ ｎＡ ｎＡ ｎ— ． 十 ｂ ｃ ｂ ｉ ｒ ｃ ‘ 肛 ＋ ｒ
＝ 一 一 ＝
２Ａ Ｄ
ｃ
ｂ＋ Ｃ
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２
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吼 “
‘
对的旁切 圆， Ａ Ｃ中 Ａ Ｃ所对 的旁切 Ａ Ｄ Ｄ 圆， Ｄ ａＡ Ｂ中 Ａ Ｂ所对的旁切圆． Ｄ 半径分
特别 的 ， 当
Ｂ Ｃ ： ９ 。 ， 有 ： Ａ ０时 就 推论 ３ 在 Ａ Ｂ 中 ， 边 Ｂ Ｃ Ａ Ｃ 三 Ｃ， Ａ， ＡＢ分别 为 ａ， ， ． Ａ ＝９。Ａ ６ Ｃ ０， Ｄ为 Ｂ ＡＣ 的平分 线 ，ｏ ， ，） 分别 为 Ａ Ａ ｏ ， （， 三 ＢＣ中 Ｂ ＡＣ所对 的旁 切 圆 ， ＡＤＣ中 Ａ ａ ＤＣ所
别 ｒ。 ， ＋ ＝ ． 为 ，，则 ＋ ｒｒ 鲁 ＿
吼 “
证明 ： 由角 平 分 线 的 性 质 及 角 平 分 线 长 的 计 算 公 式 易 得 ＤＣ ：
，
对的旁切 圆， Ｄ 中 Ａ Ｂ所对 的旁切 ａＡ Ｂ Ｄ
，Ｄ ： Ｂ 圆 ． 径分 别 为 ｒ Ｆ，ｚ则 ＋ｃ 半 ， ｔ ｒ，
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，，
Ａ ＝ ｃ ５ 吉６ ｃ Ｄ ｏ ＝ （＋ 一 ｓ ．
．
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２ √２
。 ｒ ： ｉ ｓ Ａ ） ｂ ｉ １ ＝ ｃｎ
Ｉ
．
ｓ ＝
（ Ｄ ＋ＤＣ 一６ ｒ Ａ ） ｌ： １ Ｃ ．ｂｉ Ｃ Ｄ ｓ ｎ
参考 文献
（ ＋ ６。 Ｄ ・ｉ １ Ａ 号一） ＝ Ｃ ６ ｃ ｉ＝ Ｄ ｒ ｓ ｎ
ｌ 陈鸿斌 ． 角形 内关于 内切 圆半径 的美妙 性质 三
数 学通讯 ．０ １ ３ （ ２ １ （ ）下半月 ）
・
５ ・