13 波动
13
班号 学号 姓名 成绩
一、选择题
（在下列各题中，均给出了4个~5个答案，其中有的只有1个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内）
1. 在下列关于机械波的表述中，不正确的是：
A. 机械波实际上就是在波的传播方向上，介质中各质元的集体受迫振动； B. 在波的传播方向上，相位差为2π 的两质元之间的距离称为波长； C. 振动状态在介质中传播时，波线上各质元均可视为新的子波波源； D. 波的振幅、频率、相位与波源相同；
E. 波线上离波源越远的质元，相位越落后。 （D ） [知识点] 机械波的概念。
[分析与题解]平面简谐波在弹性介质中传播，介质中各质元都做受迫振动，各质元均可视为新的子波波源，因此，各质元的振幅、频率与波源是相同的，但各质元的相位是沿传播方向逐点落后的。
2. 平面简谐波波函数的一般表达式为y 的是：
A ．
x
=A cos[ω(t ) +ϕ]，则下列说法中不正确
u
ωx
表示波线上任一质元落后于原点处质元的相位，或者说是波线上相距为x 的u
两质元的相位差；
B ．
x
表示波从x = 0 传到 x 处所需时间； u
x x
C ．(-) 中的负号表示相位落后；(+) 中的正号表示相位超前；
u u
D ．
∂y
是任一时刻波线上任一质元的振动速度v ，它并不等于波速u ； ∂t
∂y
表示波速u ，它与介质的性质有关。 （E ） ∂t
E ．
[知识点] 波动方程中各物理量的意义。 [分析与题解]
∂y ∂y 表示波动某一质元的振动速度v ，它并不等于波速u 。一般来说是时∂t ∂t
间的函数并且与质元位置x 有关，而波速u 只与介质的性质有关。
3．在下列关于波的能量的表述中，正确的是： A ．波的能量E =E k +E p =
12
kA ； 2
π； 2
B ．机械波在介质中传播时，任一质元的E k 和E P 均随时间t 变化，但相位相差
C ．由于E k 和E P 同时为零，又同时达到最大值，表明能量守恒定律在波动中不成立； D ．E k 和E P 同相位，表明波的传播是能量传播的过程。 （D ） [知识点] 波的能量特征。
[分析与题解] 波在介质中传播时，各质元的动能和势能都随时间变化，且两者同相位，其总能量随时间变化，说明能量在传播。
能量守恒定律是自然界普遍适用的物理规律，波动中各质元的机械能不守恒，是因为前后质元作用给该质元的弹性力要做功，这也说明了波的传播是能量传播的过程。
4. 一列平面余弦波，在t = 0 时波动曲线如图13-1(a)所示，则P 点和Q 点的振动初相位分别为： A ．-
ππππ
， ； B ．，-；
2222
π3π
C ． 0， 0； D ．， 。 （A ）
22
图13-1(a)
图13-1(b)
[知识点] 波线上任一点振动方向的判断。
[分析与题解] 依平面余弦波行波的特性，t +∆t 时刻的波形如图13-1(b)所示。可知t = 0时刻，P 点向y 轴正方向运动，且y 0=0，则P 点此时振动的初相位ϕP 0=-点相距半个波长，则Q 点与P 点必反向，则Q 点此时振动的初相位ϕQ 0
5. 一列平面余弦波t 时刻的波形如图13-2所示，则该时刻能量为最大值的介质质元的位置是：（B ）
A ．a , c , e ； B ．b , d , f； C ．a , e ； D ．c 。
[知识点] 平面简谐波能量特征，最大能量位置判断。
[分析与题解] 波动中质元的动能、势能与总能量同相变化，且在平衡位置处动能、势能与总能量最大，在位移最大处动能、势能与总能量最小。
由题意得：b 、d 、f 在平衡位置处，且向x 轴正或负方向运动；a 、c 、e 处在位移最大处。因此，则该时刻能量为最大值的介质质元的位置是b 、d 、f 。
6. 一频率为500Hz 的平面简谐波，波速为360m / s ，则同一波线上相位差为距离为：
A ．0.24m ； B ．0.48m ；
C ．0.36m ； D ．0.12m 。 （D ） [知识点] 波线上两点间相位差公式∆ϕ=
π
；Q 点与P 2
ππ=π-=。
22
图13-2
π
两点间3
2π
λ
d 。
[分析与题解] 已知ν=500Hz ，u =360m/s，则波长为 λ=
u
ν
=
360
=0. 72m 500
2π
由波线上相隔距离为d 的两点间相位差公式∆ϕ=
λ
d ，得
d =
λ
2π
∆ϕ=
0. 72π
⨯=0. 12m 2π3
7. 已知一波动在t = 0.5s的波形如图13-3(a)所示，波速为10m / s，若此时P 点处介质质元的振动动能在逐渐增大，则波动方程为：
x
)]cm 10x
B ．y =10cos[π(t +) +π]cm；
10x
C ．y =10cos[π(t -)]cm；
10x
D ．y =10cos[π(t -) +π]cm。 （B ）
10
A ．y =10cos[π(t +
图13-3(a)
图13-3(b)
[知识点] 由波形曲线求波动方程。
[分析与题解] 已知u =10m/s，由图13-3(a)的波形曲线知
A =10cm ， λ=20m ，ω=2πν=2π
u
λ
=2π
10
=πrad/s 20
且此时P 点质元的动能在增大，应向平衡位置靠近，则下一时刻的波形曲线如图13-3(b)中虚线所示。
由行波特性知此波沿x 轴负方向传播，进而得出当t = 0.5s时坐标原点（x = 0）的质元在平衡位置且向y 轴的正方向运动。
即 ωt +ϕ=所以 ϕ=
3π
2
3π3π-ωt =-π⨯0.5=π 22
x
波动方程为 y =10cos[π(t +) +π]c m
10
8. 在下列关于波的干涉的表述中，正确的是： A ．两列波在空间相遇，叠加的结果形成干涉；
B ．两列相干波干涉的结果，使介质中各质元不是“加强”，就是“减弱”（即极大或
极小）；
C ．干涉加强意味着合振幅A 有极大值，干涉减弱意味着合振幅A 有极小值； D ．干涉加强点意味着该质元的y 不随时间变化，始终处于极大值位置；
E ．两列相干波形成干涉，某时刻介质中P 点处的质元距平衡位置为y ，且（A min
[分析与题解] 要形成干涉必须是满足相干条件的两列波叠加而成，而不满足相干条件的两列波叠加后不能形成干涉。
干涉加强或减弱是指合振幅取极大值或极小值的情况，而干涉中还有合振幅介于两者之间（即不是“加强”也不是“减弱”）的情况存在。
干涉加强点的振幅为极大值A =A 1+A 2，但该点仍在做简谐振动，其位移随时间在-A 与+A 之间不变化。
由y >A min 只能说明P 点不是减弱点，但由y
9. 一列火车驶过火车站时，站台上的观察者测得火车汽笛声的频率由1200Hz 变为1000Hz ，空气中的声速为330m / s，则火车的速度为：
A ．30m / s； B ．55m / s；
C ．66m / s； D ．90m / s。 （A ）
[知识点] 多普勒效应。
[分析与题解] 已知空气中的声速u =330m/s，设火车汽笛声源的频率为ν，火车的速度为v s ，则当火车驶向站台时，观察者测得火车汽笛声的声波频率为
ν1'=
u 330
ν=ν=1200 (1) u -v s 330-v s
则当火车驶离站台时，观察者测得火车汽笛声的声波频率为
'=ν2
u 330
=ν=1000 (2) u +v s 330+v s
联立式(1)和式(2)，可得火车的速度为 v s =30m/s
10. 在下列关于电磁波的表述中，正确的是：
A ．电磁波在传播过程中，E 、H 的振动方向相互垂直，频率相同；
B ．振幅满足
E =μH 的关系；
1
=c ；
C ．电磁波在真空中的波速u =
0μ0
D ．电磁波是纵波。 （A 、B 、C ） [知识点] 电磁波的性质。 [分析与题解] 电磁波是横波。
二、填空题
1. 一平面简谐波的波动方程为y =0. 2cos 2π
x ⎫⎛t -⎪m ，则这列波的角频率为⎝0. 020. 05⎭
，波速u =，其沿方向传播。 ω= 100πr a d / s
[知识点] 根据波动方程求描述波动的特征量。 [分析与题解] 波动方程的标准式为
⎡⎛t x ⎫⎤x ⎛⎫
y =A cos ω(t -) +ϕ⎪=A cos ⎢2π -⎪+ϕ⎥
u ⎝⎭⎣⎝T λ⎭⎦
经比较，可得出：A =0. 2m ，T =0. 02s ，λ=0. 05m ，ϕ=0。
2π2π
==100πrad/s T 0. 02λ0. 05
=2. 5m/s 波速为 u ==
T 0. 02x
) 项，可判断该平面简谐波是沿x 轴正方向传播的。 由波动方程中的(-0. 05
则角频率为 ω=
2. 波源位于x = -1m处，其振动方程为y =0. 5cos 2πt +
⎛⎝
π⎫
⎪m ，此波源产生的波无吸3⎭
收地分别向x 轴正、负方向传播，波速u = 2 m/s，则向x 轴正向传播的波动方程为y 1 =
2π⎫⎛
0. 5cos 2πt -πx -⎪m ，则向x 轴负向传播的波动方程为y 2 =
3⎭⎝4π⎫⎛
0. 5cos 2πt +πx +⎪m 。
3⎭⎝
[知识点] 沿x 轴正、负方向传播的波动方程的建立。
[分析与题解] 沿x 轴正方向传播的波动方程为 y =A cos ω(t -) +ϕ1⎪
⎛⎝
x u
⎫⎭
将x =-1m 代入上式并与给定的该点的振动方程为y =0. 5cos 2πt +
⎛⎝
π⎫
⎪m 相比较，有 3⎭
π
且ω=2πrad/s
u 3
πωx π2π⨯(-1) 2π
=+=-即 ϕ1=+
3u 323
-
+ϕ1=
则沿x 轴正方向传播的波动方程为 y =0. 05cos 2π(t -) -
ωx
⎛
⎝
x 2
2⎫π⎪m 3⎭
同理，沿x 轴负方向传播的波动方程为 y =A cos ω(t +) +ϕ2⎪ 则有 ϕ2=
⎛⎝
x u
⎫⎭
πωx π2π⨯(-1) 4π-=-= 3u 323
则沿x 轴负方向传播的波动方程为 y =0. 05cos 2π(t +
⎛
⎝x 4⎫) +π⎪m 23⎭
3. 一沿x 轴正方向传播的平面简谐波，波速为u = 10 m/s，频率为ν = 5Hz ，振幅A = 0.02m 。t = 0时，位于坐标原点处的质元的位移为y 0 = 0.01m，速度动方程为y = 0. 02cos 10πt -πx -= 0. 1π 。
[知识点] 波动方程的建立，波线上两质元间相位差公式∆ϕ=[分析与题解] ω=2πν=10π rad/s，λ=
d y
>0，则此列波的波d t
⎛⎝
π⎫
位于x 1 = 4m和x 2 = 4.1m处两质元的相位差 φ ⎪m ；3⎭
2π
λ
d 。
u
ν
=2m
由y 0=0. 01m 且A =0. 02m ，有 y 0=0. 02cos ϕ=0. 01 即 c os ϕ=
1π，ϕ=± 23
d y
>0，得初相位ϕ 应在第四象限，则 d t
πϕ=-
3
由题意已知t = 0时，y 0>0，且
则沿x 轴正方向传播的波动方程为
y =0. 02cos 10π(t -两质元的相位差为 ∆ϕ=
⎛⎝
x π⎫π⎫⎛
) -⎪=0. 02cos 10πt -πx -⎪m 103⎭3⎭⎝d =
2π
2π
λλ
(x 2-x 1) =
2π
⨯(4.1-4. 0) =0.1π 2
4. 一列波在t = 0时的波动曲线如图13-4(a)所示，则可知： 波长λ = 0.5m ；
O 点的振动方程为y 0 = 0. 05cos 40πt -
⎛⎝
π⎫⎪m 2⎭
波动方程为y = 0. 05cos 40π(t +
⎛⎝
x π⎫) -⎪m 102⎭
相位差为∆φ = 0.8π的两质元相距为∆x = 0.2m 。
图13-4(a)
图13-4(b)
[知识点] 由波动曲线建立波动方程，波线上两质元间相位差公式∆ϕ=[分析与题解] 由波形曲线知，λ=0. 5m ，A =0. 05m ，ω=2π对坐标原点的质元，当t = 0时，y 0=0，则有
y 0=0. 05cos ϕ=0
即 cos ϕ=0，ϕ=±
2π
λ
d 。
u
λ
=2π
10
=40π rad/s 0. 5
π 2
由于波动曲线沿x 轴负方向传播，则下一时刻的波形曲线如图13-4(b)所示，则此时
d y
>0，得初相位ϕ 应在第四象限，则 d t
ϕ=-
⎛⎝
π 2
O 点的振动方程为 y O =0. 05cos 40πt -
π⎫⎪m 2⎭
波动方程为 y =0. 05cos 40π(t +两质元相距为 ∆x =
⎛⎝
x π⎫π⎫⎛
) -⎪=0. 05cos 40πt +4πx -⎪m 102⎭2⎭⎝
λ
2π
∆ϕ=
0. 5
⨯0. 8π=0.2m 2π
5. 一列波由波疏介质向波密介质传播，在两介质的分界面上反射，则反射波的相位将 会发生π相位的突变（相当于发生了半个波长的变化） ，这个现象称为 半波损失 。 [知识点] 半波损失的概念。
t （SI ）6. 已知驻波方程为y =0. 04cos 20x cos 800，则形成该驻波的两列行波的振幅A =
，波速u ，相邻两波节的距离为∆x = [知识点] 根据驻波方程求描述驻波的特征量。 [分析与题解] 驻波方程的标准式为
π
m 。 20
y =2A cos 2π
经比较，可得出：A =0. 02m ，λ=则 ν=
x
λ
⋅cos ωt
2ππ
=m ，ω=800rad/s 2010
400
Hz ，u =λν=40m/s
2ππ
λπ
m 相邻两波节的距离为 ∆x ==
220
=
7. 一列平面波简谐波，频率为v ，波长为λ，由波疏介质向波密介质传播，并在两介质分界面上E 点反射回来，已知O 点处质元的运动方程为y 0=A cos 2πνt +L （如图13-5所示），则
入射波的波动方程为y 入 = A cos 2πνt -
ω
⎛
⎝
π⎫
，OE = ⎪（SI ）
2⎭
⎛⎝
2πx
λ
2π
+
π⎫⎪ ； 2⎭
3π⎫⎪ 。 2⎭
反射波的波动方程为y 反 = A cos 2πνt -[知识点] 波动方程的建立，半波损失。
⎛⎝
λ
(2L -x ) +
[分析与题解] 取如图所示坐标正方向，已知坐标原点O 点处质元的振动方程为
图13-5
π⎫⎛
y 0=A cos 2πνt +⎪
2⎭⎝
则入射波的波动方程为 y 入=A cos 2πνt -
⎛
⎝
2π
π⎫x +⎪ λ2⎭
⎛
⎝
2ππ⎫L +⎪ λ2⎭
入射波传到E 点的振动方程为 y 入E =A cos 2πνt -
在E 点反射由于是由波疏介质向波密介质分界面上的反射，是有半波损失（即π相位的突变）的，所以反射波从E 点反射后E 点的振动方程为
2ππ⎛⎫
y 反E =A cos 2πνt -L ++π⎪
λ2⎝⎭
在波线上（x 轴）任设一P 点，其位置坐标为x ，则反射波从E 点传播到P 点的距离为（L -x ），P 点的相位比E 点落后∆ϕ=
则反射波传到P 点的振动方程为
2π
λ
(L -x ) 。
2ππ2π⎛⎫
y 反P =A cos 2πνt -L ++π-(L -x ) ⎪
λ2λ⎝⎭
2π3π⎫⎛
=A cos 2πνt -(2L -x ) +⎪
λ2⎭⎝
波线上任一点的振动方程就是沿该波线传播的波的波动方程。所以，反射波的波动方程为 y 反=A c o s 2πνt -
8. 一列平面波简谐波在介质中传播，波速u =1. 0⨯10m/s，振幅为A =1. 0⨯10m ，频率为ν=1. 0⨯10Hz ，介质密度为
3
3
-4
⎛
⎝
2π
λ
(2L -x ) +
3π⎫4πL 2ππ⎫⎛
s 2πνt -+x -⎪ ⎪=A c o
2⎭λλ2⎭⎝
ρ=8. 0⨯102kg/m3，则该波的能流密度为I =
-423
1. 58⨯105W/m3；在60s 内垂直通过面积为S =4. 0⨯10m 的总能量为W = 3. 79⨯10J 。
[知识点] 波的能流密度（波强）的计算。
[分析与题解] 该波的能流密度（波强）为
I =
11
ρuA 2ω2=ρuA 2(2πν) 2 221
=⨯8. 0⨯102⨯1. 0⨯103⨯(1.0⨯10-4) 2⨯(2π⨯1.0⨯103) 2 2
=1. 58⨯105W/m2
5-43
总能量为 W =IS ∆t =1. 58⨯10⨯4. 0⨯10⨯60=3. 79⨯10J
9. 一个功率为W 的波源位于O 点，以O 为圆心作两个同心球面，它们的半径分别为r 1和r 2，则通过这两个球面的能流密度之比为I 1:I 2积∆S 1和∆S 2，则通过它们的平均能流分别为1
=r 22:r 12；若在两个球面上分别取面
W W
和 ∆S ∆S 2 。 =1222
4πr 14πr 2
=
[知识点] 波的能流密度（波强）和平均能流的计算。
[分析与题解]以波源为球心，r 1和r 2 为的半径的球面处波的强度分别为
I 1=
W W W W
， =I ==2
S 1球面4πr 12S 2球面4πr 22
I 1r 22
则通过这两个球面的能流密度之比为 =2
I 2r 1
由波的能流密度I =
，得平均能流为=IS 。 S
则通过球面上的面积∆S 1和∆S 2的平均能流分别为
1=I 1∆S 1=
W W
， ∆S =I ∆S =∆S 2 122222
4πr 14πr 2
10. 多普勒效应指的是： 要发生变化的现象 。
现有一声源S ，其振动频率为2040Hz ，以速度v = 0.25 m/s向一反射面接近，如图13-6所示，观察者B 处测得直接由声源S 传播过来的波的频率为ν1
B 观
察者
S 声源
v
反射面
= ；测得由反射面
图13-6
反射回来的波的频率为ν2[知识点] 多普勒效应。
。 = u = 340 m/s）
[分析与题解] 已知声速u =340m/s，波源运动v =0. 25m/s 直接由声源S 传播过来的波的频率为
ν1=
u 340
ν0=⨯2040=2038. 5Hz u +v 340+0. 25
反射面反射回来的波的频率为
ν2=
u 340ν0=⨯2040=2041. 5Hz u -v 340-0. 25
三、计算与证明题
1. 利用波的干涉原理制成的发动机排气噪声的消声器，如图13-7所示。排气噪声的声波到达A 点时，分成直管和弯管两个声通道，到达B 点时，两列声波因干涉而相消。若噪声频率ν=300Hz ，声速u =340m/s，则图13-7中直管与弯管的长度差（声波的波程差）至少应为多少？
[分析与解答] 根据两列声波相位差与波程差的关系，并考虑ϕ1=ϕ2和相干相消条件，有
∆ϕ=
2π(r 2-r 1)
λ
=(2k +1) π
（k =0, ±1, ±2⋅⋅⋅，）
则波程差为 ∆r =r 2-r 1=
λ
2
(2k +1)
B
令式中k =0，则Δr 至少应为
图13-7
u 340∆r ====0. 57m
22ν2⨯300
λ
2. 一列角频率为ω的平面简谐波，速度为u ，沿x 轴正方向传播。
（1）已知t = 0时波动曲线（如图13-8(a)所示），试画出该时刻x 轴上各质元的振动速度v 与坐标x 的关系曲线。
（2）如图11-8(b)所示为t 时刻波线上各质元的v — x 曲线，试画出该时刻的波形图。 [分析与解答] 利用y 与v 的相位关系得 t = 0时v —x 的关系曲线，t 时刻的波形图如图所示。
A
A ω
-A
A -A ω
A
-A
-A
（a ） （b ）
图13-8
3. 如图13-9所示，一列平面简谐波A =0. 05m ，频率ν=100Hz ，波速u =4m/s，沿x 负方向传播。当t = 0时，距O 点为b = 0.1m的N 点处质元过平衡位置，且向正方向运动。试求：
（1）N 点处的质元的运动方程；
（2）波线上任一点P 处质元的运动方程； （3）当t = 1s时，x = 1m处质元的相位。
[分析与解答]（1）A =0. 05m ，ω=2πν=200πrad/s 按题设条件，在t = 0时，N 点处质元y N 0=0，且v N 0>0，则N 点处质元的初相位为
图13-9
ϕ=-
π
2
π)m 2
ω(x -b )
（2）由于波沿x 负向传播，故P 点的相位超前N 点
u
ω(x -b )π
2[00πt +-] 则任一点P 的运动方程为 y =0. 05c o s
u 2200π(x -0. 1)π
-] =0. 05cos[200πt +
42
则N 点的运动方程为 y N =0. 05cos(200πt -
=0. 05cos[200πt +50πx -
11π
]m 2
（3）x = 1m时，此处质元的振动方程为
11π
] 2489π
=244.5π t = 1s，则该处质元相位为：ωt +ϕ=2
y ' =0. 05cos[200πt +50π-
4. 如图13-10所示，S 1和S 2是波长均为λ 的两个相干波的波源，相距且S 1的相位较S 2超前了
λ
，振幅均为A 0，4
π
。若两列波在S 1和S 2连线方向上的各点的强度相同，不随距离2
变化，且两波的强度都为I 0。试求：
（1）S 1和S 2连线上，在S 1左侧各点的合成波的强度为多少？
（2）S 1和S 2连线上，在S 2右侧各点的合成波的强度为多少？
[分析与解答] （1）按题意，在S 1左侧任选一点P 1，设P 则P 1S 2=r 2=x +1S 1=r 1=x ，且知 ϕ2-ϕ1=-故S 1和S 2到P 1的相位差为
P 1
2
x
图13-10
λ
4
，
π
2
2π
∆ϕ=ϕ2-ϕ1-
2π
λ
(r 2-r 1) =ϕ2-ϕ1-
λ
(x +
λ
4
-x ) =-
ππ
-=-π 22
满足干涉减弱条件∆ϕ=(2k +1) π，合振幅为 A =0 故S 1左侧任一点P 1的合成波的强度为 表明S 1左侧无波传播。
（2）同理，在S 2右侧任选一点P 2，知S 1和S 2到P 2的相位差为
I 1=0
∆ϕ=ϕ2-ϕ1-
2π
λ
(r 2-r 1) =ϕ2-ϕ1-
2π
λππ
(x -x -) =-+=0 λ422
满足干涉加强条件∆ϕ=2k π，合振幅为 A = 2A 0 则S 2右侧任一点P 2各点的合成波的强度 I 2∝A =4A 0
5. 设入射波方程为y 1=A cos[2π(
2
2
t x
+)]，在弦上传播并在x = 0处反射，反射点为T λ
自由点，如图13-11所示。试求：
（1）反射波的波动方程； （2）合成波动方程； （3）波腹和波节的位置。
[分析与解答] （1）由题设条件可知，y 1沿x 轴负方向传播，在x = 0处反射，且反射点为自由端，即无相位突变的半波损失，则反射波方程为 y 2=A cos[2π(
（2）合成波的方程为 y =y 1+y 2=2A cos
t x -)] T λ
x
2πx
⎛2πt ⎫⎛2πt ⎫cos ⎪=A ' cos ⎪ λ⎝T ⎭⎝T ⎭2πx
图13-11
（3）由A ' =2A cos
波腹处：cos
λ
，得
2πx
λλ
2
=1，即
2πx
λ
=k π，则
x =k
波节处：cos
（k =0, +1, +2, ）
2πx
λ
=0 ， 即
2πx
λ
=(2k +1) π，则
x =(2k +1)
λ
4
（k =0, +1, +2, ）
四、论述题
试以“行波与驻波”为题，练习写一篇物理小论文。 [提示] 行波与驻波两者本质的区别如下：
形成机理：行波是由简谐振动在弹性介质中的传播所形成，而驻波是由两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反的方向传播叠加的结果。
能量特征：行波伴随着能量的传播，驻波能量被限制在小区段中，并不传播。 相位特征：行波波线上各质元振动的相位不同；驻波相邻波节间的质元相位相反。 振幅特征：行波在波线各点均作振幅相等的简谐振动，波形在传播；驻波在波线上各点作振幅不同的简谐振动，波形被驻定。
13 波动
13
班号 学号 姓名 成绩
一、选择题
（在下列各题中，均给出了4个~5个答案，其中有的只有1个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内）
1. 在下列关于机械波的表述中，不正确的是：
A. 机械波实际上就是在波的传播方向上，介质中各质元的集体受迫振动； B. 在波的传播方向上，相位差为2π 的两质元之间的距离称为波长； C. 振动状态在介质中传播时，波线上各质元均可视为新的子波波源； D. 波的振幅、频率、相位与波源相同；
E. 波线上离波源越远的质元，相位越落后。 （D ） [知识点] 机械波的概念。
[分析与题解]平面简谐波在弹性介质中传播，介质中各质元都做受迫振动，各质元均可视为新的子波波源，因此，各质元的振幅、频率与波源是相同的，但各质元的相位是沿传播方向逐点落后的。
2. 平面简谐波波函数的一般表达式为y 的是：
A ．
x
=A cos[ω(t ) +ϕ]，则下列说法中不正确
u
ωx
表示波线上任一质元落后于原点处质元的相位，或者说是波线上相距为x 的u
两质元的相位差；
B ．
x
表示波从x = 0 传到 x 处所需时间； u
x x
C ．(-) 中的负号表示相位落后；(+) 中的正号表示相位超前；
u u
D ．
∂y
是任一时刻波线上任一质元的振动速度v ，它并不等于波速u ； ∂t
∂y
表示波速u ，它与介质的性质有关。 （E ） ∂t
E ．
[知识点] 波动方程中各物理量的意义。 [分析与题解]
∂y ∂y 表示波动某一质元的振动速度v ，它并不等于波速u 。一般来说是时∂t ∂t
间的函数并且与质元位置x 有关，而波速u 只与介质的性质有关。
3．在下列关于波的能量的表述中，正确的是： A ．波的能量E =E k +E p =
12
kA ； 2
π； 2
B ．机械波在介质中传播时，任一质元的E k 和E P 均随时间t 变化，但相位相差
C ．由于E k 和E P 同时为零，又同时达到最大值，表明能量守恒定律在波动中不成立； D ．E k 和E P 同相位，表明波的传播是能量传播的过程。 （D ） [知识点] 波的能量特征。
[分析与题解] 波在介质中传播时，各质元的动能和势能都随时间变化，且两者同相位，其总能量随时间变化，说明能量在传播。
能量守恒定律是自然界普遍适用的物理规律，波动中各质元的机械能不守恒，是因为前后质元作用给该质元的弹性力要做功，这也说明了波的传播是能量传播的过程。
4. 一列平面余弦波，在t = 0 时波动曲线如图13-1(a)所示，则P 点和Q 点的振动初相位分别为： A ．-
ππππ
， ； B ．，-；
2222
π3π
C ． 0， 0； D ．， 。 （A ）
22
图13-1(a)
图13-1(b)
[知识点] 波线上任一点振动方向的判断。
[分析与题解] 依平面余弦波行波的特性，t +∆t 时刻的波形如图13-1(b)所示。可知t = 0时刻，P 点向y 轴正方向运动，且y 0=0，则P 点此时振动的初相位ϕP 0=-点相距半个波长，则Q 点与P 点必反向，则Q 点此时振动的初相位ϕQ 0
5. 一列平面余弦波t 时刻的波形如图13-2所示，则该时刻能量为最大值的介质质元的位置是：（B ）
A ．a , c , e ； B ．b , d , f； C ．a , e ； D ．c 。
[知识点] 平面简谐波能量特征，最大能量位置判断。
[分析与题解] 波动中质元的动能、势能与总能量同相变化，且在平衡位置处动能、势能与总能量最大，在位移最大处动能、势能与总能量最小。
由题意得：b 、d 、f 在平衡位置处，且向x 轴正或负方向运动；a 、c 、e 处在位移最大处。因此，则该时刻能量为最大值的介质质元的位置是b 、d 、f 。
6. 一频率为500Hz 的平面简谐波，波速为360m / s ，则同一波线上相位差为距离为：
A ．0.24m ； B ．0.48m ；
C ．0.36m ； D ．0.12m 。 （D ） [知识点] 波线上两点间相位差公式∆ϕ=
π
；Q 点与P 2
ππ=π-=。
22
图13-2
π
两点间3
2π
λ
d 。
[分析与题解] 已知ν=500Hz ，u =360m/s，则波长为 λ=
u
ν
=
360
=0. 72m 500
2π
由波线上相隔距离为d 的两点间相位差公式∆ϕ=
λ
d ，得
d =
λ
2π
∆ϕ=
0. 72π
⨯=0. 12m 2π3
7. 已知一波动在t = 0.5s的波形如图13-3(a)所示，波速为10m / s，若此时P 点处介质质元的振动动能在逐渐增大，则波动方程为：
x
)]cm 10x
B ．y =10cos[π(t +) +π]cm；
10x
C ．y =10cos[π(t -)]cm；
10x
D ．y =10cos[π(t -) +π]cm。 （B ）
10
A ．y =10cos[π(t +
图13-3(a)
图13-3(b)
[知识点] 由波形曲线求波动方程。
[分析与题解] 已知u =10m/s，由图13-3(a)的波形曲线知
A =10cm ， λ=20m ，ω=2πν=2π
u
λ
=2π
10
=πrad/s 20
且此时P 点质元的动能在增大，应向平衡位置靠近，则下一时刻的波形曲线如图13-3(b)中虚线所示。
由行波特性知此波沿x 轴负方向传播，进而得出当t = 0.5s时坐标原点（x = 0）的质元在平衡位置且向y 轴的正方向运动。
即 ωt +ϕ=所以 ϕ=
3π
2
3π3π-ωt =-π⨯0.5=π 22
x
波动方程为 y =10cos[π(t +) +π]c m
10
8. 在下列关于波的干涉的表述中，正确的是： A ．两列波在空间相遇，叠加的结果形成干涉；
B ．两列相干波干涉的结果，使介质中各质元不是“加强”，就是“减弱”（即极大或
极小）；
C ．干涉加强意味着合振幅A 有极大值，干涉减弱意味着合振幅A 有极小值； D ．干涉加强点意味着该质元的y 不随时间变化，始终处于极大值位置；
E ．两列相干波形成干涉，某时刻介质中P 点处的质元距平衡位置为y ，且（A min
[分析与题解] 要形成干涉必须是满足相干条件的两列波叠加而成，而不满足相干条件的两列波叠加后不能形成干涉。
干涉加强或减弱是指合振幅取极大值或极小值的情况，而干涉中还有合振幅介于两者之间（即不是“加强”也不是“减弱”）的情况存在。
干涉加强点的振幅为极大值A =A 1+A 2，但该点仍在做简谐振动，其位移随时间在-A 与+A 之间不变化。
由y >A min 只能说明P 点不是减弱点，但由y
9. 一列火车驶过火车站时，站台上的观察者测得火车汽笛声的频率由1200Hz 变为1000Hz ，空气中的声速为330m / s，则火车的速度为：
A ．30m / s； B ．55m / s；
C ．66m / s； D ．90m / s。 （A ）
[知识点] 多普勒效应。
[分析与题解] 已知空气中的声速u =330m/s，设火车汽笛声源的频率为ν，火车的速度为v s ，则当火车驶向站台时，观察者测得火车汽笛声的声波频率为
ν1'=
u 330
ν=ν=1200 (1) u -v s 330-v s
则当火车驶离站台时，观察者测得火车汽笛声的声波频率为
'=ν2
u 330
=ν=1000 (2) u +v s 330+v s
联立式(1)和式(2)，可得火车的速度为 v s =30m/s
10. 在下列关于电磁波的表述中，正确的是：
A ．电磁波在传播过程中，E 、H 的振动方向相互垂直，频率相同；
B ．振幅满足
E =μH 的关系；
1
=c ；
C ．电磁波在真空中的波速u =
0μ0
D ．电磁波是纵波。 （A 、B 、C ） [知识点] 电磁波的性质。 [分析与题解] 电磁波是横波。
二、填空题
1. 一平面简谐波的波动方程为y =0. 2cos 2π
x ⎫⎛t -⎪m ，则这列波的角频率为⎝0. 020. 05⎭
，波速u =，其沿方向传播。 ω= 100πr a d / s
[知识点] 根据波动方程求描述波动的特征量。 [分析与题解] 波动方程的标准式为
⎡⎛t x ⎫⎤x ⎛⎫
y =A cos ω(t -) +ϕ⎪=A cos ⎢2π -⎪+ϕ⎥
u ⎝⎭⎣⎝T λ⎭⎦
经比较，可得出：A =0. 2m ，T =0. 02s ，λ=0. 05m ，ϕ=0。
2π2π
==100πrad/s T 0. 02λ0. 05
=2. 5m/s 波速为 u ==
T 0. 02x
) 项，可判断该平面简谐波是沿x 轴正方向传播的。 由波动方程中的(-0. 05
则角频率为 ω=
2. 波源位于x = -1m处，其振动方程为y =0. 5cos 2πt +
⎛⎝
π⎫
⎪m ，此波源产生的波无吸3⎭
收地分别向x 轴正、负方向传播，波速u = 2 m/s，则向x 轴正向传播的波动方程为y 1 =
2π⎫⎛
0. 5cos 2πt -πx -⎪m ，则向x 轴负向传播的波动方程为y 2 =
3⎭⎝4π⎫⎛
0. 5cos 2πt +πx +⎪m 。
3⎭⎝
[知识点] 沿x 轴正、负方向传播的波动方程的建立。
[分析与题解] 沿x 轴正方向传播的波动方程为 y =A cos ω(t -) +ϕ1⎪
⎛⎝
x u
⎫⎭
将x =-1m 代入上式并与给定的该点的振动方程为y =0. 5cos 2πt +
⎛⎝
π⎫
⎪m 相比较，有 3⎭
π
且ω=2πrad/s
u 3
πωx π2π⨯(-1) 2π
=+=-即 ϕ1=+
3u 323
-
+ϕ1=
则沿x 轴正方向传播的波动方程为 y =0. 05cos 2π(t -) -
ωx
⎛
⎝
x 2
2⎫π⎪m 3⎭
同理，沿x 轴负方向传播的波动方程为 y =A cos ω(t +) +ϕ2⎪ 则有 ϕ2=
⎛⎝
x u
⎫⎭
πωx π2π⨯(-1) 4π-=-= 3u 323
则沿x 轴负方向传播的波动方程为 y =0. 05cos 2π(t +
⎛
⎝x 4⎫) +π⎪m 23⎭
3. 一沿x 轴正方向传播的平面简谐波，波速为u = 10 m/s，频率为ν = 5Hz ，振幅A = 0.02m 。t = 0时，位于坐标原点处的质元的位移为y 0 = 0.01m，速度动方程为y = 0. 02cos 10πt -πx -= 0. 1π 。
[知识点] 波动方程的建立，波线上两质元间相位差公式∆ϕ=[分析与题解] ω=2πν=10π rad/s，λ=
d y
>0，则此列波的波d t
⎛⎝
π⎫
位于x 1 = 4m和x 2 = 4.1m处两质元的相位差 φ ⎪m ；3⎭
2π
λ
d 。
u
ν
=2m
由y 0=0. 01m 且A =0. 02m ，有 y 0=0. 02cos ϕ=0. 01 即 c os ϕ=
1π，ϕ=± 23
d y
>0，得初相位ϕ 应在第四象限，则 d t
πϕ=-
3
由题意已知t = 0时，y 0>0，且
则沿x 轴正方向传播的波动方程为
y =0. 02cos 10π(t -两质元的相位差为 ∆ϕ=
⎛⎝
x π⎫π⎫⎛
) -⎪=0. 02cos 10πt -πx -⎪m 103⎭3⎭⎝d =
2π
2π
λλ
(x 2-x 1) =
2π
⨯(4.1-4. 0) =0.1π 2
4. 一列波在t = 0时的波动曲线如图13-4(a)所示，则可知： 波长λ = 0.5m ；
O 点的振动方程为y 0 = 0. 05cos 40πt -
⎛⎝
π⎫⎪m 2⎭
波动方程为y = 0. 05cos 40π(t +
⎛⎝
x π⎫) -⎪m 102⎭
相位差为∆φ = 0.8π的两质元相距为∆x = 0.2m 。
图13-4(a)
图13-4(b)
[知识点] 由波动曲线建立波动方程，波线上两质元间相位差公式∆ϕ=[分析与题解] 由波形曲线知，λ=0. 5m ，A =0. 05m ，ω=2π对坐标原点的质元，当t = 0时，y 0=0，则有
y 0=0. 05cos ϕ=0
即 cos ϕ=0，ϕ=±
2π
λ
d 。
u
λ
=2π
10
=40π rad/s 0. 5
π 2
由于波动曲线沿x 轴负方向传播，则下一时刻的波形曲线如图13-4(b)所示，则此时
d y
>0，得初相位ϕ 应在第四象限，则 d t
ϕ=-
⎛⎝
π 2
O 点的振动方程为 y O =0. 05cos 40πt -
π⎫⎪m 2⎭
波动方程为 y =0. 05cos 40π(t +两质元相距为 ∆x =
⎛⎝
x π⎫π⎫⎛
) -⎪=0. 05cos 40πt +4πx -⎪m 102⎭2⎭⎝
λ
2π
∆ϕ=
0. 5
⨯0. 8π=0.2m 2π
5. 一列波由波疏介质向波密介质传播，在两介质的分界面上反射，则反射波的相位将 会发生π相位的突变（相当于发生了半个波长的变化） ，这个现象称为 半波损失 。 [知识点] 半波损失的概念。
t （SI ）6. 已知驻波方程为y =0. 04cos 20x cos 800，则形成该驻波的两列行波的振幅A =
，波速u ，相邻两波节的距离为∆x = [知识点] 根据驻波方程求描述驻波的特征量。 [分析与题解] 驻波方程的标准式为
π
m 。 20
y =2A cos 2π
经比较，可得出：A =0. 02m ，λ=则 ν=
x
λ
⋅cos ωt
2ππ
=m ，ω=800rad/s 2010
400
Hz ，u =λν=40m/s
2ππ
λπ
m 相邻两波节的距离为 ∆x ==
220
=
7. 一列平面波简谐波，频率为v ，波长为λ，由波疏介质向波密介质传播，并在两介质分界面上E 点反射回来，已知O 点处质元的运动方程为y 0=A cos 2πνt +L （如图13-5所示），则
入射波的波动方程为y 入 = A cos 2πνt -
ω
⎛
⎝
π⎫
，OE = ⎪（SI ）
2⎭
⎛⎝
2πx
λ
2π
+
π⎫⎪ ； 2⎭
3π⎫⎪ 。 2⎭
反射波的波动方程为y 反 = A cos 2πνt -[知识点] 波动方程的建立，半波损失。
⎛⎝
λ
(2L -x ) +
[分析与题解] 取如图所示坐标正方向，已知坐标原点O 点处质元的振动方程为
图13-5
π⎫⎛
y 0=A cos 2πνt +⎪
2⎭⎝
则入射波的波动方程为 y 入=A cos 2πνt -
⎛
⎝
2π
π⎫x +⎪ λ2⎭
⎛
⎝
2ππ⎫L +⎪ λ2⎭
入射波传到E 点的振动方程为 y 入E =A cos 2πνt -
在E 点反射由于是由波疏介质向波密介质分界面上的反射，是有半波损失（即π相位的突变）的，所以反射波从E 点反射后E 点的振动方程为
2ππ⎛⎫
y 反E =A cos 2πνt -L ++π⎪
λ2⎝⎭
在波线上（x 轴）任设一P 点，其位置坐标为x ，则反射波从E 点传播到P 点的距离为（L -x ），P 点的相位比E 点落后∆ϕ=
则反射波传到P 点的振动方程为
2π
λ
(L -x ) 。
2ππ2π⎛⎫
y 反P =A cos 2πνt -L ++π-(L -x ) ⎪
λ2λ⎝⎭
2π3π⎫⎛
=A cos 2πνt -(2L -x ) +⎪
λ2⎭⎝
波线上任一点的振动方程就是沿该波线传播的波的波动方程。所以，反射波的波动方程为 y 反=A c o s 2πνt -
8. 一列平面波简谐波在介质中传播，波速u =1. 0⨯10m/s，振幅为A =1. 0⨯10m ，频率为ν=1. 0⨯10Hz ，介质密度为
3
3
-4
⎛
⎝
2π
λ
(2L -x ) +
3π⎫4πL 2ππ⎫⎛
s 2πνt -+x -⎪ ⎪=A c o
2⎭λλ2⎭⎝
ρ=8. 0⨯102kg/m3，则该波的能流密度为I =
-423
1. 58⨯105W/m3；在60s 内垂直通过面积为S =4. 0⨯10m 的总能量为W = 3. 79⨯10J 。
[知识点] 波的能流密度（波强）的计算。
[分析与题解] 该波的能流密度（波强）为
I =
11
ρuA 2ω2=ρuA 2(2πν) 2 221
=⨯8. 0⨯102⨯1. 0⨯103⨯(1.0⨯10-4) 2⨯(2π⨯1.0⨯103) 2 2
=1. 58⨯105W/m2
5-43
总能量为 W =IS ∆t =1. 58⨯10⨯4. 0⨯10⨯60=3. 79⨯10J
9. 一个功率为W 的波源位于O 点，以O 为圆心作两个同心球面，它们的半径分别为r 1和r 2，则通过这两个球面的能流密度之比为I 1:I 2积∆S 1和∆S 2，则通过它们的平均能流分别为1
=r 22:r 12；若在两个球面上分别取面
W W
和 ∆S ∆S 2 。 =1222
4πr 14πr 2
=
[知识点] 波的能流密度（波强）和平均能流的计算。
[分析与题解]以波源为球心，r 1和r 2 为的半径的球面处波的强度分别为
I 1=
W W W W
， =I ==2
S 1球面4πr 12S 2球面4πr 22
I 1r 22
则通过这两个球面的能流密度之比为 =2
I 2r 1
由波的能流密度I =
，得平均能流为=IS 。 S
则通过球面上的面积∆S 1和∆S 2的平均能流分别为
1=I 1∆S 1=
W W
， ∆S =I ∆S =∆S 2 122222
4πr 14πr 2
10. 多普勒效应指的是： 要发生变化的现象 。
现有一声源S ，其振动频率为2040Hz ，以速度v = 0.25 m/s向一反射面接近，如图13-6所示，观察者B 处测得直接由声源S 传播过来的波的频率为ν1
B 观
察者
S 声源
v
反射面
= ；测得由反射面
图13-6
反射回来的波的频率为ν2[知识点] 多普勒效应。
。 = u = 340 m/s）
[分析与题解] 已知声速u =340m/s，波源运动v =0. 25m/s 直接由声源S 传播过来的波的频率为
ν1=
u 340
ν0=⨯2040=2038. 5Hz u +v 340+0. 25
反射面反射回来的波的频率为
ν2=
u 340ν0=⨯2040=2041. 5Hz u -v 340-0. 25
三、计算与证明题
1. 利用波的干涉原理制成的发动机排气噪声的消声器，如图13-7所示。排气噪声的声波到达A 点时，分成直管和弯管两个声通道，到达B 点时，两列声波因干涉而相消。若噪声频率ν=300Hz ，声速u =340m/s，则图13-7中直管与弯管的长度差（声波的波程差）至少应为多少？
[分析与解答] 根据两列声波相位差与波程差的关系，并考虑ϕ1=ϕ2和相干相消条件，有
∆ϕ=
2π(r 2-r 1)
λ
=(2k +1) π
（k =0, ±1, ±2⋅⋅⋅，）
则波程差为 ∆r =r 2-r 1=
λ
2
(2k +1)
B
令式中k =0，则Δr 至少应为
图13-7
u 340∆r ====0. 57m
22ν2⨯300
λ
2. 一列角频率为ω的平面简谐波，速度为u ，沿x 轴正方向传播。
（1）已知t = 0时波动曲线（如图13-8(a)所示），试画出该时刻x 轴上各质元的振动速度v 与坐标x 的关系曲线。
（2）如图11-8(b)所示为t 时刻波线上各质元的v — x 曲线，试画出该时刻的波形图。 [分析与解答] 利用y 与v 的相位关系得 t = 0时v —x 的关系曲线，t 时刻的波形图如图所示。
A
A ω
-A
A -A ω
A
-A
-A
（a ） （b ）
图13-8
3. 如图13-9所示，一列平面简谐波A =0. 05m ，频率ν=100Hz ，波速u =4m/s，沿x 负方向传播。当t = 0时，距O 点为b = 0.1m的N 点处质元过平衡位置，且向正方向运动。试求：
（1）N 点处的质元的运动方程；
（2）波线上任一点P 处质元的运动方程； （3）当t = 1s时，x = 1m处质元的相位。
[分析与解答]（1）A =0. 05m ，ω=2πν=200πrad/s 按题设条件，在t = 0时，N 点处质元y N 0=0，且v N 0>0，则N 点处质元的初相位为
图13-9
ϕ=-
π
2
π)m 2
ω(x -b )
（2）由于波沿x 负向传播，故P 点的相位超前N 点
u
ω(x -b )π
2[00πt +-] 则任一点P 的运动方程为 y =0. 05c o s
u 2200π(x -0. 1)π
-] =0. 05cos[200πt +
42
则N 点的运动方程为 y N =0. 05cos(200πt -
=0. 05cos[200πt +50πx -
11π
]m 2
（3）x = 1m时，此处质元的振动方程为
11π
] 2489π
=244.5π t = 1s，则该处质元相位为：ωt +ϕ=2
y ' =0. 05cos[200πt +50π-
4. 如图13-10所示，S 1和S 2是波长均为λ 的两个相干波的波源，相距且S 1的相位较S 2超前了
λ
，振幅均为A 0，4
π
。若两列波在S 1和S 2连线方向上的各点的强度相同，不随距离2
变化，且两波的强度都为I 0。试求：
（1）S 1和S 2连线上，在S 1左侧各点的合成波的强度为多少？
（2）S 1和S 2连线上，在S 2右侧各点的合成波的强度为多少？
[分析与解答] （1）按题意，在S 1左侧任选一点P 1，设P 则P 1S 2=r 2=x +1S 1=r 1=x ，且知 ϕ2-ϕ1=-故S 1和S 2到P 1的相位差为
P 1
2
x
图13-10
λ
4
，
π
2
2π
∆ϕ=ϕ2-ϕ1-
2π
λ
(r 2-r 1) =ϕ2-ϕ1-
λ
(x +
λ
4
-x ) =-
ππ
-=-π 22
满足干涉减弱条件∆ϕ=(2k +1) π，合振幅为 A =0 故S 1左侧任一点P 1的合成波的强度为 表明S 1左侧无波传播。
（2）同理，在S 2右侧任选一点P 2，知S 1和S 2到P 2的相位差为
I 1=0
∆ϕ=ϕ2-ϕ1-
2π
λ
(r 2-r 1) =ϕ2-ϕ1-
2π
λππ
(x -x -) =-+=0 λ422
满足干涉加强条件∆ϕ=2k π，合振幅为 A = 2A 0 则S 2右侧任一点P 2各点的合成波的强度 I 2∝A =4A 0
5. 设入射波方程为y 1=A cos[2π(
2
2
t x
+)]，在弦上传播并在x = 0处反射，反射点为T λ
自由点，如图13-11所示。试求：
（1）反射波的波动方程； （2）合成波动方程； （3）波腹和波节的位置。
[分析与解答] （1）由题设条件可知，y 1沿x 轴负方向传播，在x = 0处反射，且反射点为自由端，即无相位突变的半波损失，则反射波方程为 y 2=A cos[2π(
（2）合成波的方程为 y =y 1+y 2=2A cos
t x -)] T λ
x
2πx
⎛2πt ⎫⎛2πt ⎫cos ⎪=A ' cos ⎪ λ⎝T ⎭⎝T ⎭2πx
图13-11
（3）由A ' =2A cos
波腹处：cos
λ
，得
2πx
λλ
2
=1，即
2πx
λ
=k π，则
x =k
波节处：cos
（k =0, +1, +2, ）
2πx
λ
=0 ， 即
2πx
λ
=(2k +1) π，则
x =(2k +1)
λ
4
（k =0, +1, +2, ）
四、论述题
试以“行波与驻波”为题，练习写一篇物理小论文。 [提示] 行波与驻波两者本质的区别如下：
形成机理：行波是由简谐振动在弹性介质中的传播所形成，而驻波是由两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反的方向传播叠加的结果。
能量特征：行波伴随着能量的传播，驻波能量被限制在小区段中，并不传播。 相位特征：行波波线上各质元振动的相位不同；驻波相邻波节间的质元相位相反。 振幅特征：行波在波线各点均作振幅相等的简谐振动，波形在传播；驻波在波线上各点作振幅不同的简谐振动，波形被驻定。